Wer hat welche Hilbert-Probleme gelöst? VIVOS VOCO: David Hilbert, „Mathematische Probleme“. Zählbare und unzählbare Mengen

A. A. Bolibrukh. Hilberts Probleme (100 Jahre später)

Hilberts Probleme: Historische Einführung

Geschichte Internationale Mathematikkongresse stammt mehr als hundert Jahre zurück; Traditionell finden sie alle 4 Jahre statt. Die wohl berühmteste davon fand im August 1900 in Paris statt. Auf diesem Kongress sprach in der Rubrik „Didaktik und Methodik der Mathematik“ der 38-jährige deutsche Mathematiker David Hilbert. In seinem Bericht formulierte er diejenigen Probleme, die seiner Meinung nach für die Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts am bedeutsamsten waren.

Weder vor noch nach ihm hat sich jemand eine so gigantische Aufgabe gestellt. Schon damals war die Mathematik ziemlich spezialisiert: Es gab viele davon verschiedene Richtungen, und es war für eine Person sehr schwierig, alle Abschnitte abzudecken. Aber Hilbert hatte einen weiten Horizont: Er arbeitete in fast allen Bereichen der Mathematik, die es damals gab, und erzielte in vielen davon hervorragende Ergebnisse. Dies ermöglichte es ihm, die mittlerweile berühmten 23 mathematischen Probleme zu formulieren.

Diese Probleme sind wie folgt in Bereiche der Mathematik unterteilt:

Die Tabelle zeigt, dass sich Hilberts Probleme auf verschiedene Bereiche der Mathematik beziehen, teilweise sogar auf mehrere Bereiche gleichzeitig. Das ist ganz natürlich: Die Mathematik ist einheitlich und das gleiche Problem kann im Hinblick auf verschiedene mathematische Disziplinen formuliert und untersucht werden.

Gilberts Bericht auf dem Pariser Kongress findet sich insbesondere in der kürzlich erschienenen zweibändigen Sammlung seiner ausgewählten Werke. Der einleitende Teil dieses Berichts liest sich fast wie ein literarisches Werk. Es war die Zeit der „romantischen Mathematik“, und Hilbert selbst beginnt seinen Bericht mit Worten, die auch heute noch wunderbar klingen: „Wer von uns würde nicht den Vorhang heben wollen, hinter dem sich unsere Zukunft verbirgt, um zumindest mit einer solchen einzudringen.“ Welche besonderen Ziele werden sich die führenden mathematischen Köpfe der nächsten Generation setzen? Jahrhundert auf dem weiten und reichen Feld des mathematischen Denkens? So klang Hilberts mathematischer Bericht auf dem Internationalen Mathematischen Kongress.

Als diese Probleme formuliert wurden, stellte sich heraus, dass einige davon entweder gelöst waren oder kurz davor standen, gelöst zu werden. Bei anderen brauchte es jedoch mehrere Jahrzehnte und die Bemühungen vieler herausragender Mathematiker, sie zu lösen, und zwei davon sind immer noch nicht gelöst. Warum hat Gilbert diese 23 Probleme in seinen Bericht aufgenommen? Was hat ihn bei der Formulierung dieser Vorschläge geleitet?

Hilbert selbst zitierte zur Begründung seiner Wahl die Worte eines berühmten französischen Mathematikers: „ Mathematische Theorie kann nur dann als perfekt angesehen werden, wenn Sie es so deutlich gemacht haben, dass Sie sich verpflichten, seinen Inhalt der ersten Person, die Sie treffen, zu erklären.“ Natürlich ist hier etwas übertrieben, aber der zitierte Satz zeigt, dass Gilbert angehängt hat sehr wichtig Verständlichkeit und Zugänglichkeit der Mathematik.

Bei der Auswahl der Probleme für seinen Bericht hielt sich Gilbert an die folgenden Grundsätze. Er sagte, dass die Aufgabe a) verständlich sein sollte (es sollte klar sein, woher sie kam); b) schwierig genug, um Interesse zu wecken; c) nicht so schwierig, dass es nicht gelöst werden kann.

Kommen wir nun zu mehr ausführliche Geschichteüber einige dieser Probleme.

(Standard-Axiomensystem der Mengenlehre). Somit kann die Kontinuumshypothese in diesem Axiomensystem weder bewiesen noch widerlegt werden (sofern dieses Axiomensystem konsistent ist).

Planen:

Einführung

• 1 Liste der Probleme
• 2 24. Problem
• 3 Anmerkungen
• 4 Texte im Internet
Literatur

Einführung

Hilberts Probleme- Liste von 23 Kardinalprobleme Mathematik, vorgestellt von David Hilbert bei II Internationaler Kongress Mathematiker in Paris im Jahr 1900. Dann werden diese Probleme (die Grundlagen der Mathematik, Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Topologie, algebraische Geometrie, Lie-Gruppen, reelle und umfassende Analyse, Differentialgleichung, mathematische Physik und Wahrscheinlichkeitstheorie sowie der Variationsrechnung) wurden nicht gelöst. An dieser Moment 16 der 23 Probleme wurden gelöst. Zwei weitere sind keine korrekten mathematischen Probleme (eines ist zu vage formuliert, um zu verstehen, ob es gelöst wurde oder nicht, das andere ist alles andere als gelöst, sondern physikalisch und nicht mathematisch). Von den verbleibenden fünf Problemen wurden zwei in keiner Weise gelöst und drei wurden nur in einigen Fällen gelöst.

1. Liste der Probleme

2. 24. Problem

Ursprünglich enthielt die Liste 24 Probleme, doch während der Erstellung des Berichts ließ Gilbert eines davon fallen. Dieses Problem bezog sich auf die Beweistheorie des Kriteriums der Einfachheit und gängige Methoden. Dieses Problem wurde in Gilberts Notizen entdeckt Deutscher Historiker Wissenschaft von Rüdiger Thiele im Jahr 2000.

3. Notizen

1. Die Ergebnisse von Gödel und Cohen zeigen, dass weder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation dem Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem (dem Standard-Axiomensystem der Mengenlehre) widersprechen. Somit kann die Kontinuumshypothese in diesem Axiomensystem weder bewiesen noch widerlegt werden (sofern dieses Axiomensystem konsistent ist). Es gibt eine Debatte darüber, ob Cohens Ergebnis stimmt komplette Lösung Aufgaben.
2. Kurt Gödel bewies, dass die Konsistenz der Axiome der Arithmetik nicht anhand der Axiome der Arithmetik selbst nachgewiesen werden kann. Im Jahr 1936 bewies Gerhard Gentzen die Konsistenz der Arithmetik, doch dazu musste er der Liste der Axiome eine abgeschwächte Form der transfiniten Induktion hinzufügen.
3. Laut Rowe und Gray (siehe unten) wurden die meisten Probleme gelöst. Einige von ihnen wurden nicht präzise genug formuliert, aber die erzielten Ergebnisse erlauben es uns, sie als „gelöst“ zu betrachten. Moat und Gray bezeichnen das vierte Problem als eines, das zu vage ist, um beurteilen zu können, ob es gelöst wurde oder nicht.
4. Von Siegel und Gelfond (und unabhängig von Schneider) in einer allgemeineren Form gelöst: if A ≠ 0, 1 - algebraische Zahl, Und B- algebraisch, aber irrational also ein b- transzendente Zahl
5. Ausgabe Nr. 8 enthält zwei bekannte Probleme, die beide noch ungelöst sind. Die erste davon, die Riemann-Hypothese, ist eines der sieben Millenniumsprobleme, die als „Hilbert-Probleme“ des 21. Jahrhunderts bezeichnet werden.
6. Problem Nr. 9 wurde für den abelschen Fall gelöst; Der nichtabelsche Fall bleibt ungelöst.
7. Yuri Matiyasevich bewies 1970 die algorithmische Unentscheidbarkeit der Frage, ob eine beliebige diophantische Gleichung mindestens eine Lösung hat. Zunächst formulierte Hilbert das Problem nicht als Dilemma, sondern als Suche nach einem Algorithmus: Damals dachte man offenbar noch nicht einmal daran, dass es für solche Probleme eine negative Lösung geben könnte.
8. Die Aussage über die endliche Generation der Algebra der Invarianten ist für reduktive Gruppen bewiesen. Nagata konstruierte 1958 ein Beispiel für eine unipotente Gruppe, deren Algebra der Invarianten nicht endlich erzeugt wird. V.L. Popov hat bewiesen, dass die Gruppe G reduktiv ist, wenn die Algebra der Invarianten einer Aktion einer algebraischen Gruppe G auf eine affine algebraische Varietät endlich erzeugt wird.
9. Der erste (algebraische) Teil der Aufgabe Nr. 16 wird wie folgt genauer formuliert. Harnack bewies, dass die maximale Anzahl von Ovalen M=(n-1)(n-2)/2+1 ist und dass es solche Kurven gibt – sie werden M-Kurven genannt. Wie können die Ovale der M-Kurve angeordnet werden? Dieses Problem wurde bis einschließlich Grad n=6 bearbeitet, und für Grad n=8 ist ziemlich viel bekannt (obwohl es noch nicht abgeschlossen ist). Darüber hinaus gibt es allgemeine Aussagen, die die Anordnung der Ovale von M-Kurven einschränken – siehe die Arbeiten von Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert selbst (es ist jedoch zu bedenken, dass Hilberts Beweis für n= einen Fehler enthält 6: Einer der Fälle, den er für unmöglich hielt, erwies sich als möglich und wurde von Gudkov gebaut. Der zweite (differentielle) Teil bleibt auch für quadratische Vektorfelder offen – es ist nicht einmal bekannt, wie viele es sein können und dass eine Obergrenze existiert. Sogar der individuelle Endlichkeitssatz (dass jedes polynomiale Vektorfeld eine endliche Anzahl von Grenzzyklen hat) wurde erst kürzlich bewiesen. Es wurde von Dulac als bewiesen angesehen, aber in seinem Beweis wurde ein Fehler entdeckt, und dieser Satz wurde schließlich von Iljaschenko und Ecal bewiesen, wofür jeder von ihnen ein Buch schreiben musste.
10. Die von Hilbert angegebene Übersetzung des ursprünglichen Namens des Problems lautet: „16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen" - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html (Deutsch). Genauer gesagt könnte sein Inhalt (wie er heute betrachtet wird) jedoch durch den folgenden Titel vermittelt werden: „Die Anzahl und Lage der Ovale einer realen algebraischen Kurve eines bestimmten Grades auf der Ebene; die Anzahl und Lage der Grenzzyklen eines polynomialen Vektorfeldes eines bestimmten Grades auf der Ebene.“ Wahrscheinlich (wie aus ersichtlich ist englische Übersetzung Text der Ankündigung - aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 (Englisch) ), glaubte Hilbert, dass der Differentialteil (der sich in Wirklichkeit als viel schwieriger herausstellte als der algebraische Teil) würde mit den gleichen Methoden wie die algebraische Lösung lösbar sein und wurde daher nicht in den Titel aufgenommen.
11. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I.-Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
12. Rove und Gray bezeichnen Problem Nr. 18 in ihrem Buch aus dem Jahr 2000 auch als „offen“, da das Ballpacking-Problem (auch als Kepler-Problem bekannt) zu diesem Zeitpunkt noch nicht gelöst war, nun aber als gelöst gemeldet wird (siehe unten). Fortschritte bei der Lösung des Problems Nr. 16 wurden in jüngster Zeit sowie in den 1990er Jahren erzielt.
13. http://www.maa.org/news/Thiele.pdf - www.maa.org/news/Thiele.pdf

4. Texte im Internet

• Originaltext auf Deutscher Bericht Hilbert - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
• Russische Übersetzung von Gilberts Bericht – vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM ( Einführungsteil und Fazit)

Literatur

• Bolibrukh A. A. Hilberts Probleme (100 Jahre später) – www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2. - MCNMO, 1999. - T. 2. - 24 S. - (Bibliothek „Mathematische Bildung“).
• Demidov S. S. Zur Geschichte von Hilberts Problemen // Historische und mathematische Forschung. - M.: Nauka, 1966. - Nr. 17. - S. 91-122.
• Lyashko S. I., Nomirovsky D. A., Petunin Yu I., Semenov V. V. Hilberts zwanzigstes Problem. Verallgemeinerte Lösungen von Operatorgleichungen – shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html. - M.: „Dialektik“, 2009. - 192 S. - ISBN 978-5-8459-1524-5
• Gilberts Probleme – ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm, Sammlung herausgegeben von P. S. Aleksandrov, M., Nauka, 1969, 240 S.

(Standard-Axiomensystem der Mengenlehre). Somit kann die Kontinuumshypothese in diesem Axiomensystem weder bewiesen noch widerlegt werden (sofern dieses Axiomensystem konsistent ist).

A. A. Bolibrukh. Hilberts Probleme (100 Jahre später)

Hilberts erstes Problem: die Kontinuumshypothese

Die Kontinuumsvermutung, Hilberts erstes Problem, bezieht sich auf Probleme in den Grundlagen der Mathematik und der Mengenlehre. Es hängt eng mit so einfachen und natürlichen Fragen wie „Wie viel?“, „Mehr oder weniger?“ ​​zusammen, und fast jeder Oberstufenschüler kann verstehen, worum es bei diesem Problem geht. Für die Formulierung benötigen wir jedoch einige zusätzliche Informationen.

Äquivalenz festlegen

Lassen Sie uns überlegen nächstes Beispiel. In der Schule gibt es eine Tanzparty. Wie lässt sich feststellen, wer an diesem Abend präsenter ist: Mädchen oder Jungen?

Sie können natürlich beide zählen und die beiden erhaltenen Zahlen vergleichen. Aber die Antwort ist viel einfacher, wenn das Orchester einen Walzer spielt und alle Tänzer sich in Paare aufteilen. Wenn dann alle Anwesenden tanzen, bedeutet das, dass alle ein Paar gefunden haben, d. h. es sind gleich viele Jungen und Mädchen da. Wenn nur Jungen übrig bleiben, gibt es mehr Jungen und umgekehrt.

Diese Methode, die manchmal natürlicher ist als die direkte Neuberechnung, wird aufgerufen Prinzip der Paarung, oder Eins-zu-eins-Korrespondenzprinzip.

Betrachten wir nun eine Sammlung von Objekten beliebiger Natur --- ein Haufen. In einer Menge enthaltene Objekte werden als „it“ bezeichnet Elemente. Wenn-Element X im Set enthalten X, dies wird wie folgt bezeichnet: x X. Wenn das Set X 1 in vielen enthalten X 2, also alle Elemente der Menge X 1 sind auch Elemente X 2, dann sagen sie das X 1--- Teilmenge X 2, und schreibe es kurz so: X 1 X 2.

Ein Haufen Sicherlich, wenn es eine endliche Anzahl von Elementen hat. Mengen können entweder endlich (z. B. eine Menge von Schülern in einer Klasse) oder unendlich (z. B. --- ein Haufen alle natürlichen Zahlen 1,2,3,... ). Mengen, deren Elemente Zahlen sind, werden aufgerufen numerisch.

Lassen X Und Y--- zwei Sets. Sie sagen, dass es zwischen diesen Mengen hergestellt wird Eins-zu-eins-Korrespondenz, wenn alle Elemente dieser beiden Mengen in Paare der Form unterteilt werden (x,y), Wo x X, jJ, und jedes Element aus X und jedes Element aus Y nimmt an genau einem Paar teil.

Ein Beispiel ist, wenn auf einer Tanzparty alle Mädchen und Jungen in Paaren auftreten, und es gibt ein Beispiel für ein Eins-zu-eins-Match zwischen vielen Mädchen und vielen Jungen.

Mengen, zwischen denen eine Eins-zu-eins-Entsprechung hergestellt werden kann, werden aufgerufen Äquivalent oder gleich mächtig. Zwei endliche Mengen a sind genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Anzahl von Elementen haben. Daher ist es natürlich, davon auszugehen, dass dies der Fall ist unendliche Menge ist äquivalent zu einem anderen, dann hat es „die gleiche Anzahl“ von Elementen. Basierend auf dieser Definition der Äquivalenz kann man jedoch sehr unerwartete Eigenschaften unendlicher Mengen erhalten.

Unendliche Mengen

Betrachten wir jede endliche Menge und jede ihrer eigenen (nicht leeren und nicht mit sich selbst übereinstimmenden) Teilmengen. Dann die Elemente in der Teilmenge weniger, als in der Menge selbst, d.h. Ein Teil ist weniger als das Ganze.

Besitzen unendliche Mengen diese Eigenschaft? Und kann es sinnvoll sein zu sagen, dass eine unendliche Menge „weniger“ Elemente hat als eine andere, ebenfalls unendliche? Schließlich können wir bei zwei unendlichen Mengen vorerst nur sagen, ob sie äquivalent sind oder nicht. Gibt es überhaupt nichtäquivalente unendliche Mengen?

Als nächstes werden wir alle diese Fragen einzeln beantworten. Lassen Sie uns zunächst eine lustige, fantastische Geschichte aus N. Yas Buch „Stories about Sets“ erzählen. Die Aktion findet in ferner Zukunft statt, wenn Bewohner verschiedener Galaxien einander treffen können. Deshalb wurde für alle, die durch den Weltraum reisen, ein riesiges Hotel gebaut, das sich über mehrere Galaxien erstreckt.

In diesem Hotel unendlich viele Zahlen(Räume), aber erwartungsgemäß sind alle Räume nummeriert, und zwar für jede natürliche Zahl N Es gibt ein Zimmer mit dieser Nummer.

In diesem Hotel fand einst ein Kosmozoologenkongress statt, an dem Vertreter aller Galaxien teilnahmen. Da es auch unendlich viele Galaxien gibt, waren alle Plätze im Hotel belegt. Doch zu diesem Zeitpunkt kam sein Freund zum Hoteldirektor und bat ihn, ihn in diesem Hotel unterzubringen.

„Nach einigem Nachdenken wandte sich der Direktor an den Administrator und sagte:

Platziere ihn auf Platz 1.

Wo soll ich den Mieter dieses Zimmers unterbringen? --- fragte der Administrator überrascht.

Und verlegen Sie ihn nach Nr. 2. Schicken Sie den Mieter von Nr. 2 nach Nr. 3, von Nr. 3 nach Nr. 4 usw.

Generell gilt, dass der Gast im Zimmer wohnen darf k, wird in den Raum einziehen k+1, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Dann hat jeder wieder seine eigene Nummer und Nummer 1 ist frei.

So ist es uns gelungen, den neuen Gast unterzubringen – gerade weil es im Hotel unendlich viele Zimmer gibt.

Zunächst belegten die Kongressteilnehmer alle Hotelzimmer, also zwischen vielen Kosmozoologen und vielen Es wurde eine Eins-zu-Eins-Entsprechung hergestellt: Jeder Kosmozoologe erhielt eine Nummer, auf deren Tür die entsprechende natürliche Zahl geschrieben stand. Es liegt nahe, anzunehmen, dass es „so viele“ Delegierte gab, wie es natürliche Zahlen gibt. Doch es kam noch ein anderer, auch er wurde untergebracht, und die Zahl der Bewohner erhöhte sich um 1. Aber auch hier waren es „so viele“, wie es natürliche Zahlen gab: schließlich passte jeder ins Hotel! Und wenn wir die Zahl der Kosmozoologen mit bezeichnen 0 , dann erhalten wir die „Identität“ 0 = 0 +1 . Für kein Ende 0 es wurde natürlich nicht erfüllt.

Wir kamen zu einem überraschenden Ergebnis: Wenn Sie einer äquivalenten Menge ein weiteres Element hinzufügen, erhalten Sie eine Menge, die wiederum äquivalent ist. Aber es ist absolut klar, was die kosmozoologischen Delegierten vertreten Teil der vielen Menschen, die sich nach der Ankunft des neuen Gastes im Hotel niedergelassen haben. Das heißt, in diesem Fall ist der Teil nicht „weniger“ als das Ganze, sondern „gleich“ dem Ganzen!

Aus der Definition der Äquivalenz (die bei endlichen Mengen zu keinen „Seltsamkeiten“ führt) folgt also, dass ein Teil einer unendlichen Menge der gesamten Menge äquivalent sein kann.

Möglicherweise hatte der berühmte Bozener Mathematiker, der in seinen Überlegungen das Prinzip der Eins-zu-eins-Entsprechung anzuwenden versuchte, Angst vor solchen ungewöhnlichen Effekten und entwickelte diese Theorie daher nicht weiter. Es kam ihm völlig absurd vor. Doch Georg Cantor interessierte sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erneut für dieses Thema, begann es zu studieren und schuf Mengenlehre, ein wichtiger Abschnitt der Grundlagen der Mathematik.

Lassen Sie uns unsere Geschichte über das Endloshotel fortsetzen.

Der neue Gast „war nicht überrascht, als ihm am nächsten Morgen angeboten wurde, nach # zu ziehen 1,000,000 . Es ist nur so, dass Kosmozoologen der Galaxie VSK-3472 verspätet im Hotel angekommen sind und es notwendig war, mehr unterzubringen 999,999 Mieter.“

Doch dann passierte ein Missgeschick und Philatelisten kamen zum Kongress in dasselbe Hotel. Es gab auch unendlich viele davon – einen Vertreter aus jeder Galaxie. Wie platziere ich sie alle?

Diese Aufgabe erwies sich als sehr schwierig. Aber auch in diesem Fall gab es einen Ausweg.

„Zunächst ordnete der Verwalter an, den Mieter von Nr. 1 nach Nr. 2 zu verlegen.

Und verlegen Sie den Mieter von Nr. 2 nach Nr. 4, von Nr. 3 nach Nr. 6, im Allgemeinen aus dem Zimmer N--- zum Zimmer 2n.

Nun wurde sein Plan klar: Auf diese Weise machte er eine unendliche Anzahl ungerader Zahlen frei und konnte darin Philatelisten unterbringen. Infolgedessen stellte sich heraus, dass gerade Zahlen von Kosmozoologen besetzt waren und ungerade Zahlen --- Philatelisten... Philatelist steht in der Schlange N-m, besetzte den Raum 2n-1". Und wieder haben sie es geschafft, alle in einem Hotel unterzubringen. Ein noch erstaunlicherer Effekt: Bei der Kombination zweier Sets, die jeweils gleichwertig sind erhalten wir wieder ein Mengenäquivalent . D.h. Selbst wenn wir den Satz „verdoppeln“, erhalten wir einen Satz, der dem Original entspricht!

Zählbare und unzählbare Mengen

Betrachten Sie die folgende Kette: . ( --- ist eine Menge von ganzen Zahlen und --- Menge rationaler Zahlen, d. h. Menge von Zahlen der Form p/q, Wo P Und Q--- ganz, q0.) Alle diese Mengen sind unendlich. Betrachten wir die Frage ihrer Gleichwertigkeit.

Stellen wir eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen her Und : Wir bilden Paare der Form (n,2n) Und (-n,2n+1), N, sowie ein paar (0,1) (an erster Stelle in jedem Paar die Zahl von , und am zweiten --- von ).

Es gibt eine andere Möglichkeit, diese Entsprechung herzustellen: Schreiben Sie beispielsweise alle ganzen Zahlen in eine Tabelle, wie in der Abbildung gezeigt, und weisen Sie jeder ganzen Zahl eine bestimmte Zahl zu, indem Sie sie entlang der Pfeile umrunden. Somit sind wir „ lasst uns neu berechnen" alle ganzen Zahlen: jede z Es wird eine natürliche Zahl (Zahl) verglichen und für jede Zahl gibt es eine ganze Zahl, der diese Zahl zugeordnet wird. In diesem Fall ist es nicht erforderlich, eine explizite Formel aufzuschreiben.

Auf diese Weise, Äquivalent .

Jede zur Menge der natürlichen Zahlen äquivalente Menge wird aufgerufen zählbar. Eine solche Menge kann „nachgezählt“ werden: Alle ihre Elemente können nummeriert werden natürliche Zahlen.

Auf den ersten Blick stehen „viel mehr“ rationale Zahlen auf der Geraden als ganze Zahlen. Sie sind lokalisiert überall dicht: In jedem beliebig kleinen Intervall gibt es unendlich viele davon. Aber es stellt sich heraus, dass es so viele sind auch zählbar. Beweisen wir zunächst die Abzählbarkeit + (die Menge aller positiven rationalen Zahlen).

Schreiben wir alle Elemente auf + in die folgende Tabelle: in der ersten Zeile - alle Zahlen mit einem Nenner von 1 (d. h. ganze Zahlen), in der zweiten - mit einem Nenner von 2 usw. (siehe Abbildung). Jede positive rationale Zahl wird definitiv in dieser Tabelle auftauchen, und zwar mehr als einmal ( zum Beispiel Zahl 1====... kommt in jeder Zeile dieser Tabelle vor ) .

Nun berechnen wir diese Zahlen neu: Folgen Sie den Pfeilen und weisen Sie jeder Zahl eine Zahl zu (oder überspringen Sie diese Zahl, wenn wir sie bereits in einem anderen Eintrag gesehen haben). Da wir uns entlang der Diagonalen bewegen, umrunden wir die gesamte Tabelle (d. h. früher oder später gelangen wir zu einer der Zahlen).

Daher haben wir eine Möglichkeit aufgezeigt, alle Zahlen zu nummerieren + , d.h. sie haben das bewiesen + zählbar.

Beachten Sie, dass bei dieser Nummerierungsmethode die Reihenfolge nicht gewahrt bleibt: Von zwei rationalen Zahlen kann die größere früher oder vielleicht später erscheinen.

Was ist mit negativen rationalen Zahlen und Null? So wie bei Kosmozoologen und Philatelisten im Endloshotel. Lass uns nummerieren + nicht alle natürlichen Zahlen, sondern nur gerade Einsen (was ihnen die Zahlen nicht 1, 2, 3, ..., sondern 2, 4, 6, ... gibt), weisen wir die Zahl 1 der Null zu und weisen die Zahl 1 zu alle negativen rationalen Zahlen (nach dem gleichen Schema, als positiv) ungerade Zahlen, ab 3.

Das ist es Rationale Zahlen werden daher mit Naturtönen gezählt, zählbar.

Entsteht natürliche Frage:Vielleicht sind alle unendlichen Mengen abzählbar?

Es stellte sich heraus, dass --- die Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden ist überzählbar. Dieses von Cantor im letzten Jahrhundert erzielte Ergebnis hinterließ bei den Mathematikern einen sehr starken Eindruck.

Beweisen wir diese Tatsache auf die gleiche Weise wie Cantor: mit der Hilfe diagonaler Prozess.

Wie wir wissen, jeder reelle Zahl X kann in das Formular geschrieben werden Dezimal:
x=A, 1 2 ... n ...,
Wo A --- ganz Zahl, nicht unbedingt positiv, aber 1, 2, ..., n, ... --- Zahlen(von 0 bis 9). Diese Idee ist mehrdeutig: zum Beispiel
½=0,50000...=0,49999...
(In einer Version der Notation gibt es ab der zweiten Dezimalstelle nur Nullen und in der anderen nur Neunen). Um die Erfassung eindeutig zu machen, wählen wir in solchen Fällen immer die erste Option. Dann entspricht jede Zahl genau einer ihrer Dezimalschreibweisen.

Nehmen wir nun an, dass es uns gelungen ist, alle reellen Zahlen neu zu berechnen. Dann können sie in der Reihenfolge angeordnet werden:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...

Um zu einem Widerspruch zu kommen, konstruieren wir die folgende Zahl j, welche nicht gezählt, also nicht in dieser Tabelle enthalten.

Für jede beliebige Zahl A Definieren wir die Zahl wie folgt:
=
Lasst uns (diese Nummer k Die -te Ziffer nach dem Dezimalpunkt ist 1 oder 2, je nachdem, welche Ziffer angezeigt wird k-te Stelle nach dem Komma in Dezimalschreibweise Zahlen x k).

Zum Beispiel, wenn
x 1 = 2,1345...
x 2 = -3,4215...
x 3 = 10,5146...
x 4 = -13,6781...
.....................
Das =0,2112...

Mit dem Diagonalverfahren haben wir also eine reelle Zahl erhalten j, was mit keiner der Zahlen in der Tabelle übereinstimmt, weil j anders als jeder x k mindestens k die te Ziffer der Dezimalentwicklung und verschiedene Datensätze, wie wir wissen, entsprechen unterschiedlichen Zahlen.

Die Kontinuumshypothese zu beweisen bedeutet, sie aus diesen Axiomen abzuleiten. Es zu widerlegen bedeutet zu zeigen, dass es sich herausstellen wird, wenn man es diesem Axiomensystem hinzufügt widersprüchlich eine Reihe von Aussagen.

Lösung

Es stellte sich heraus, dass Hilberts erstes Problem eine völlig unerwartete Lösung hatte.

1963 bewies der amerikanische Mathematiker Paul Cohen die Kontinuumshypothese kann weder bewiesen noch widerlegt werden.

Das heißt, wenn wir das Standardsystem der Zermelo---Fraenkel-Axiome ( ZF) und die Kontinuumshypothese als weiteres Axiom hinzufügen, dann stellt sich heraus konsistent Genehmigungssystem. Aber wenn ja ZF hinzufügen Negation Kontinuumshypothese (d. h. die gegenteilige Aussage), dann erhalten wir wieder konsistent Genehmigungssystem.

Also weder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation es ist verboten leiten sich aus dem Standard-Axiomensystem ab.

Diese Schlussfolgerung hatte eine sehr starke Wirkung und spiegelte sich sogar in der Literatur wider (siehe Epigraph).

Wie geht man mit dieser Hypothese um? Normalerweise wird es einfach an das Zermelo-Frenkel-Axiomsystem angehängt. Aber jedes Mal, wenn etwas auf der Grundlage einer Kontinuumshypothese bewiesen wird, müssen sie angeben, dass es im Beweis verwendet wurde.