Was ist eine Symmetrieachse? 3. Mathematikstunde. Thema: „Symmetrieachse.“ Konstruieren symmetrischer Punkte relativ zum Mittelpunkt
Was ist eine Symmetrieachse? Dabei handelt es sich um eine Menge von Punkten, die eine gerade Linie bilden, die die Grundlage der Symmetrie darstellt, d. h. wenn auf einer Seite ein bestimmter Abstand von einer geraden Linie eingehalten wird, wird diese in der anderen Richtung in gleicher Größe reflektiert . Die Achse kann alles sein – ein Punkt, eine gerade Linie, eine Ebene usw. Aber es ist besser, anhand klarer Beispiele darüber zu sprechen.
Symmetrie
Um zu verstehen, was eine Symmetrieachse ist, müssen Sie sich mit der Definition von Symmetrie befassen. Dies ist die Entsprechung eines bestimmten Körperfragments relativ zu einer beliebigen Achse, wenn seine Struktur unverändert bleibt und die Eigenschaften und die Form eines solchen Objekts relativ zu seinen Transformationen gleich bleiben. Wir können sagen, dass Symmetrie die Eigenschaft von Körpern ist, darzustellen. Wenn ein Fragment keine solche Übereinstimmung aufweisen kann, spricht man von Asymmetrie oder Arrhythmie.
Manche Figuren weisen keine Symmetrie auf, weshalb sie unregelmäßig oder asymmetrisch genannt werden. Dazu gehören verschiedene Trapeze (außer gleichschenklige), Dreiecke (außer gleichschenklige und gleichseitige) und andere.
Arten von Symmetrie
Wir werden auch einige Arten von Symmetrie diskutieren, um dieses Konzept vollständig zu untersuchen. Sie sind wie folgt aufgeteilt:
Geschichte der Symmetrie
Das eigentliche Konzept der Symmetrie kommt oft vor Startpunkt in den Theorien und Hypothesen von Wissenschaftlern der Antike, die von der mathematischen Harmonie des Universums sowie von der Manifestation des göttlichen Prinzips überzeugt waren. Die alten Griechen glaubten fest daran, dass das Universum symmetrisch sei, denn Symmetrie ist großartig. Der Mensch verwendet seit langem die Idee der Symmetrie in seinem Wissen über das Bild des Universums.
Im 5. Jahrhundert v. Chr. betrachtete Pythagoras die Kugel als die Kugel perfekte Form und dachten, dass die Erde die Form einer Kugel hätte und sich auf die gleiche Weise bewegte. Er glaubte auch, dass sich die Erde in Form einer Art „zentralem Feuer“ bewegte, um das sich 6 (damals bekannte) Planeten, der Mond, die Sonne und alle anderen Sterne drehen sollten.
Und der Philosoph Platon betrachtete Polyeder als die Personifizierung der vier natürlichen Elemente:
- Tetraeder ist Feuer, da seine Spitze nach oben gerichtet ist;
- Würfel - Erde, da es der stabilste Körper ist;
- Oktaeder - Luft, keine Erklärung;
- Ikosaeder - Wasser, da der Körper keine groben geometrischen Formen, Winkel usw. hat;
- Das Bild des gesamten Universums war das Dodekaeder.
Wegen all dieser Theorien regelmäßige Polyeder werden platonische Körper genannt.
Auch Architekten verwendeten Symmetrie Antikes Griechenland. Alle ihre Gebäude waren symmetrisch, wie die Bilder belegen Antiker Tempel Zeus in Olympia.
Auch der niederländische Künstler M.C. Escher verwendete in seinen Gemälden Symmetrie. Insbesondere ein Mosaik aus zwei auf sie zufliegenden Vögeln wurde zur Grundlage des Gemäldes „Tag und Nacht“.
Auch unsere Kunstkritiker haben die Regeln der Symmetrie nicht vernachlässigt, wie am Beispiel von Vasnetsovs Gemälde „Bogatyrs“ zu sehen ist.
Was können wir sagen, Symmetrie - Schlüsselkonzept für alle Künstler über viele Jahrhunderte hinweg, aber im 20. Jahrhundert wurde seine Bedeutung auch von allen Persönlichkeiten geschätzt exakte Wissenschaften. Genaue Beweise sind physikalische und kosmologische Theorien, zum Beispiel die Relativitätstheorie, die Stringtheorie, absolut alles Quantenmechanik. Aus der Zeit von Das alte Babylon und endet mit innovativen Entdeckungen moderne Wissenschaft, werden die Wege zum Studium der Symmetrie und zur Entdeckung ihrer Grundgesetze nachgezeichnet.
Symmetrie geometrischer Formen und Körper
Lass uns genauer hinschauen geometrische Körper. Beispielsweise ist die Symmetrieachse einer Parabel eine gerade Linie, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft und sie zerlegt gegebener Körper entzwei. Diese Figur hat eine einzige Achse.
Bei geometrischen Figuren ist die Situation jedoch anders. Die Symmetrieachse eines Rechtecks ist ebenfalls gerade, es gibt jedoch mehrere davon. Sie können die Achse parallel zu den Breitensegmenten oder parallel zu den Längensegmenten zeichnen. Aber so einfach ist es nicht. Hier hat die Gerade keine Symmetrieachsen, da ihr Ende nicht definiert ist. Es könnte nur eine zentrale Symmetrie existieren, aber dementsprechend wird es eine solche nicht geben.
Sie sollten auch wissen, dass einige Körper viele Symmetrieachsen haben. Das ist nicht schwer zu erraten. Es ist nicht nötig, darüber zu sprechen, wie viele Symmetrieachsen ein Kreis hat. Jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, ist eine solche, und es gibt unendlich viele dieser geraden Linien.
Einige Vierecke können zwei Symmetrieachsen haben. Aber die zweiten müssen senkrecht sein. Dies geschieht im Fall einer Raute und eines Rechtecks. Im ersten Fall sind die Symmetrieachsen Diagonalen und im zweiten die Mittellinien. Nur ein Quadrat hat viele solcher Achsen.
Symmetrie in der Natur
Die Natur überrascht mit vielen Beispielen für Symmetrie. Sogar unser menschlicher Körper ist symmetrisch. Zwei Augen, zwei Ohren, Nase und Mund sind symmetrisch zueinander angeordnet Zentralachse Gesichter. Arme, Beine und der gesamte Körper sind symmetrisch zu einer Achse angeordnet, die durch die Körpermitte verläuft.
Und wie viele Beispiele umgeben uns ständig! Dies sind Blumen, Blätter, Blütenblätter, Gemüse und Früchte, Tiere und sogar Bienenwaben, die eine ausgeprägte Wirkung haben Geometrische Figur und Symmetrie. Die gesamte Natur ist geordnet, alles hat seinen Platz, was einmal mehr die Vollkommenheit der Naturgesetze bestätigt, bei denen Symmetrie die Hauptbedingung ist.
Abschluss
Wir sind ständig von einigen Phänomenen und Objekten umgeben, zum Beispiel einem Regenbogen, einem Tropfen, Blumen, Blütenblättern usw. Ihre Symmetrie ist offensichtlich; in gewissem Maße ist sie auf die Schwerkraft zurückzuführen. In der Natur wird häufig der Begriff „Symmetrie“ verstanden regelmäßige Schicht Tag und Nacht, Jahreszeiten und so weiter.
Ähnliche Eigenschaftenüberall dort beachtet, wo Ordnung und Gleichheit herrschen. Auch die Naturgesetze selbst – astronomische, chemische, biologische und sogar genetische – unterliegen bestimmten Symmetrieprinzipien, da sie vollkommen systematisch sind, was bedeutet, dass das Gleichgewicht eine allumfassende Skala hat. Folglich ist die Achsensymmetrie eines der Grundgesetze des gesamten Universums.
Friedrich V.A. 1
Dementieva V.V. 1
1 Gemeindehaushalt Bildungseinrichtung"Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 6“, Alexandrowsk, Gebiet Perm
Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
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Einführung
„Vor einer Tafel stehen und darauf zeichnen
Kreide verschiedene Figuren,
Mir kam plötzlich der Gedanke:
Warum gefällt Symmetrie dem Auge?
Was ist Symmetrie?
Das ist ein angeborenes Gefühl, antwortete ich mir.“
L.N. Tolstoi
Im Lehrbuch Mathematik Klasse 6, Autor Nikolsky S. M., auf den Seiten 132 - 133 Abschnitt Zusätzliche Aufgaben In Kapitel Nr. 3 gibt es Aufgaben zum Studium von Figuren auf einer Ebene, die symmetrisch zu einer Geraden sind. Ich bin interessiert dieses Thema, beschloss ich, die Aufgaben zu erledigen und dieses Thema genauer zu studieren.
Das Untersuchungsobjekt ist Symmetrie.
Gegenstand der Untersuchung ist die Symmetrie als Grundgesetz des Universums.
Welche Hypothese werde ich testen:
Ich glaube, dass Achsensymmetrie nicht nur mathematisch und bedingt ist geometrisches Konzept, und dient nicht nur der Lösung relevanter Probleme, sondern ist auch die Grundlage für Harmonie, Schönheit, Ausgeglichenheit und Nachhaltigkeit. Das Prinzip der Symmetrie wird in fast allen Wissenschaften verwendet, in unserer Alltagsleben und ist eines der „Grundgesetze“, auf denen das Universum als Ganzes basiert.
Relevanz des Themas
Das Konzept der Symmetrie zieht sich durch jahrhundertealte Geschichte menschliche Kreativität. Es findet sich bereits am Anfang seiner Entwicklung. Heutzutage ist es wahrscheinlich schwierig, jemanden zu finden, der keine Vorstellung von Symmetrie hätte. Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Symmetrie von Häusern, Straßen, Schöpfungen der Natur und des Menschen. Symmetrie begegnet uns buchstäblich auf Schritt und Tritt: in Technik, Kunst, Wissenschaft.
Daher sind Kenntnisse und Verständnis über die Symmetrie in der Welt um uns herum zwingend erforderlich und notwendig, was in Zukunft für das Studium anderer nützlich sein wird wissenschaftliche Disziplinen. Das ist die Relevanz meines gewählten Themas.
Ziel und Aufgaben
Ziel der Arbeit: Finden Sie heraus, welche Rolle Symmetrie im menschlichen Alltag, in der Natur, der Architektur, dem Alltag, der Musik und anderen Wissenschaften spielt.
Um mein Ziel zu erreichen, muss ich folgende Aufgaben erledigen:
1. Finden notwendige Informationen, Literatur und Fotografien. Installieren größte Zahl Daten, die für meine Arbeit notwendig sind, unter Verwendung der mir zur Verfügung stehenden Quellen: Lehrbücher, Enzyklopädien oder andere für ein bestimmtes Thema relevante Medien.
2. Geben allgemeines Konzeptüber Symmetrie, Symmetrietypen und die Entstehungsgeschichte des Begriffs.
3. Um Ihre Hypothese zu bestätigen, erstellen Sie Kunsthandwerk und führen Sie ein Experiment mit diesen Figuren durch, die symmetrisch und nicht asymmetrisch sind.
4. Demonstrieren und präsentieren Sie die Ergebnisse der Beobachtungen in Ihrer Forschung.
Für den praktischen Teil Forschungsarbeit Ich muss Folgendes tun, wofür ich einen Arbeitsplan erstellt habe:
1. Erstellen Sie Ihre eigenen Bastelarbeiten mit gegebene Eigenschaften- symmetrische und asymmetrische Modelle, Komposition, Verwendung buntes Papier, Pappe, Schere, Marker, Kleber usw.;
2. Führen Sie ein Experiment mit meinem Handwerk durch, mit zwei Möglichkeiten der Symmetrie.
3. Recherchieren, analysieren und systematisieren Sie die erzielten Ergebnisse durch Erstellung einer Tabelle.
4. Um das erworbene Wissen visuell und interessant zu festigen, erstellen Sie mit der Anwendung „Paint 3 D“ Zeichnungen zur Verdeutlichung und zeichnen Sie Bilder mit Aufgaben – um die Zeichnung einer symmetrischen Hälfte zu vervollständigen (beginnend mit einfachen Zeichnungen und endend mit komplexe) und kombinieren Sie sie, um ein elektronisches Buch zu erstellen.
Forschungsmethoden:
1. Analyse der Artikel und aller Informationen zur Symmetrie.
2. Computermodellierung(Fotobearbeitung mit einem Grafikeditor).
3. Verallgemeinerung und Systematisierung der erhaltenen Daten.
Hauptteil.
Achsensymmetrie und das Konzept der Perfektion
Seit der Antike hat der Mensch Vorstellungen von Schönheit entwickelt und versucht, die Bedeutung von Vollkommenheit zu verstehen. Alle Schöpfungen der Natur sind wunderschön. Menschen sind auf ihre Art schön, Tiere und Pflanzen sind erstaunlich. Der Anblick erfreut das Auge Edelstein oder ein Salzkristall, es ist schwer, eine Schneeflocke oder einen Schmetterling nicht zu bewundern. Aber warum passiert das? Es scheint uns, dass das Erscheinungsbild von Objekten korrekt und vollständig ist, deren rechte und linke Hälfte gleich aussehen.
Anscheinend waren die Kunstschaffenden die ersten, die über das Wesen der Schönheit nachdachten.
Dieses Konzept wurde erstmals von Künstlern, Philosophen und Mathematikern des antiken Griechenlands begründet. Antike Bildhauer, die bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. die Struktur des menschlichen Körpers untersuchten. Das Konzept der „Symmetrie“ wurde verwendet. Dieses Wort hat Griechischer Ursprung und bedeutet Harmonie, Proportionalität und Ähnlichkeit in der Anordnung der Einzelteile. Antiker griechischer Denker und der Philosoph Platon argumentierte, dass nur das schön sein kann, was symmetrisch und verhältnismäßig ist.
Tatsächlich erfreuen jene Phänomene und Formen, die proportional und vollständig sind, „das Auge“. Wir nennen sie richtig.
Arten von Symmetrie
In der Geometrie und Mathematik werden drei Arten von Symmetrie berücksichtigt: Achsensymmetrie (relativ zu einer Geraden), Zentralsymmetrie (relativ zu einem Punkt) und Spiegelsymmetrie (relativ zu einer Ebene).
Axialsymmetrie als mathematisches Konzept
Punkte sind symmetrisch zu einer bestimmten Geraden (Symmetrieachse), wenn sie auf einer Geraden senkrecht zu dieser Geraden und im gleichen Abstand von der Symmetrieachse liegen.
Eine Figur gilt als symmetrisch zu einer Geraden, wenn zu jedem Punkt der betrachteten Figur auch ein zu ihr symmetrischer Punkt zu einer gegebenen Geraden auf dieser Figur liegt. Die Gerade ist in diesem Fall die Symmetrieachse der Figur.
Figuren, die symmetrisch zu einer Geraden sind, sind gleich. Wenn geometrische Figur Aufgrund der Achsensymmetrie lässt sich die Definition von Spiegelpunkten visualisieren, indem man sie einfach entlang der Achse biegt und gleiche Hälften „von Angesicht zu Angesicht“ faltet. Die gewünschten Punkte berühren sich.
Beispiele für eine Symmetrieachse: Winkelhalbierende eines nicht entwickelten Winkels gleichschenkligen Dreiecks, jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen wird usw. Wenn eine geometrische Figur durch Achsensymmetrie gekennzeichnet ist, kann die Definition von Spiegelpunkten visualisiert werden, indem man sie einfach entlang der Achse biegt und gleiche Hälften „gegenüber“ legt. Die gewünschten Punkte berühren sich.
Figuren können mehrere Symmetrieachsen haben:
· die Symmetrieachse eines Winkels ist die Gerade, auf der seine Winkelhalbierende liegt;
· die Symmetrieachse eines Kreises und eines Kreises ist jede gerade Linie, die durch ihren Durchmesser verläuft;
Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Symmetrieachse, gleichseitiges Dreieck- drei Symmetrieachsen;
· Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen, ein Quadrat vier und eine Raute zwei Symmetrieachsen.
Eine Symmetrieachse ist eine imaginäre Linie, die ein Objekt in symmetrische Teile teilt. Der Übersichtlichkeit halber ist es in meiner Zeichnung dargestellt.
Es gibt Figuren, die keine einzige Symmetrieachse haben. Zu diesen Figuren gehören ein Parallelogramm, das sich von einem Rechteck und einer Raute unterscheidet, und ein ungleichseitiges Dreieck.
Achsensymmetrie in der Natur
Die Natur ist weise und rational, daher haben fast alle ihre Schöpfungen eine harmonische Struktur. Dies gilt sowohl für Lebewesen als auch für unbelebte Objekte.
Eine sorgfältige Beobachtung zeigt, dass die Grundlage der Schönheit vieler von der Natur geschaffener Formen die Symmetrie ist. Blätter, Blüten und Früchte weisen eine ausgeprägte Symmetrie auf. Ihre Spiegel-, Radial-, Zentral- und Axialsymmetrie ist offensichtlich. Dies ist größtenteils auf das Phänomen der Schwerkraft zurückzuführen.
Geometrische Formen von Kristallen mit ihren flache Oberflächen vertreten erstaunliches Phänomen Natur. Die wahre physikalische Symmetrie eines Kristalls manifestiert sich jedoch nicht so sehr in seiner Aussehen, wie viel drin Interne Struktur kristalline Substanz.
Achsensymmetrie im Tierreich
Symmetrie in der Welt der Lebewesen manifestiert sich in einer regelmäßigen Anordnung identische Teile eines Körpers relativ zu einem Mittelpunkt oder einer Achse. In der Natur kommt die Achsensymmetrie häufiger vor. Es bestimmt nicht nur allgemeine Struktur Organismus, sondern auch die Möglichkeiten seiner weiteren Entwicklung. Jede Tierart hat eine charakteristische Farbe. Wenn in der Farbgebung ein Muster erscheint, wird es in der Regel auf beiden Seiten dupliziert.
Achsensymmetrie und Mensch
Wenn Sie sich welche ansehen Lebewesen Die Symmetrie der Körperstruktur fällt sofort ins Auge. Mensch: zwei Arme, zwei Beine, zwei Augen, zwei Ohren und so weiter.
Das bedeutet, dass es eine bestimmte Linie gibt, entlang der Tiere und Menschen optisch in zwei identische Hälften „geteilt“ werden können, das heißt, ihre geometrische Struktur basiert auf Achsensymmetrie.
Wie aus den obigen Beispielen ersichtlich ist, erschafft die Natur jeden lebenden Organismus nicht chaotisch und sinnlos, sondern entsprechend allgemeine Gesetze Weltordnung, denn nichts im Universum hat einen rein ästhetischen, dekorativen Zweck. Dies ist auf eine natürliche Notwendigkeit zurückzuführen.
Natürlich zeichnet sich die Natur selten durch mathematische Präzision aus, dennoch ist die Ähnlichkeit der Elemente eines Organismus verblüffend.
Symmetrie in der Architektur
Seit jeher wussten Architekten Bescheid mathematisches Verhältnis und Symmetrie und nutzte sie im Bauwesen architektonische Strukturen. Zum Beispiel die Architektur der Russen Orthodoxe Kirchen und Kathedralen der Rus: der Kreml, die Christ-Erlöser-Kathedrale in Moskau, die Kasaner und die Isaaks-Kathedrale in St. Petersburg usw.
Neben anderen weltberühmten Attraktionen, von denen sich viele in allen Ländern der Welt befinden, können wir noch sehen: ägyptische Pyramiden, Louvre, Taj Mahal, Kölner Dom usw. Wie wir sehen, sind sie alle symmetrisch.
Symmetrie in der Musik
ich studiere in Musikschule Es war für mich interessant, Beispiele für Symmetrie in diesem Bereich zu finden. Nicht nur Musikinstrumente haben offensichtliche Symmetrie, aber auch Teile Musikalische Werke Ton rein in einer bestimmten Reihenfolge, im Einklang mit der Partitur und den Absichten des Komponisten.
Zum Beispiel reprise – (französisch reprise, von reprendre – erneuern). Wiederholung eines Themas oder einer Themengruppe nach der Phase seiner (ihrer) Entwicklung oder Präsentation neuen thematischen Materials.
Auch das musikalische Prinzip des Rhythmus besteht in der eindimensionalen zeitlichen Wiederholung in gleichen Abständen.
Symmetrie in der Technologie
Wir leben in einer sich schnell verändernden High-Tech-Informationsgesellschaft und denken nicht darüber nach, warum manche Objekte und Phänomene um uns herum einen Sinn für Schönheit wecken, andere hingegen nicht. Wir bemerken sie nicht, wir denken nicht einmal über ihre Eigenschaften nach.
Aber darüber hinaus sind die technischen und mechanische Geräte, Teile, Mechanismen, Baugruppen können überhaupt nicht richtig funktionieren und funktionieren, wenn die Symmetrie bzw. eine bestimmte Achse in der Mechanik nicht eingehalten wird;
Ausgewogen in der Mitte in diesem Fall ist eine zwingende technische Anforderung, deren Einhaltung durch GOST oder TU streng geregelt ist und eingehalten werden muss.
Symmetrie und Weltraumobjekte
Aber vielleicht sind Weltraumobjekte die mysteriösesten Objekte, die viele seit der Antike beunruhigt haben. Die auch Symmetrie haben – Sonne, Mond, Planeten.
Diese Kette lässt sich fortsetzen, aber jetzt sprechen wir über etwas Einzelnes: dass die Achsensymmetrie das Grundgesetz des Universums ist, die Grundlage für Schönheit, Harmonie und Proportionalität und in ihrer Beziehung zur Mathematik.
Praktischer Teil
Nachdem ich die notwendigen Informationen gefunden und die Literatur studiert hatte, war ich von der Richtigkeit meiner Hypothese überzeugt und kam zu dem Schluss, dass Asymmetrie in den Augen einer Person am häufigsten mit Unregelmäßigkeit oder Minderwertigkeit verbunden ist. Daher sind Symmetrie und Harmonie in den meisten Schöpfungen menschlicher Hände eine notwendige und zwingende Voraussetzung.
Dies ist in meiner Zeichnung deutlich zu erkennen, die ein Schwein mit unverhältnismäßig großen Körperteilen zeigt, was sofort ins Auge fällt!
Und erst wenn man ihn etwas länger anschaut, findet man ihn süß?
Obwohl dieses Thema bekannt und gut untersucht ist, werden alle diese Daten in jeder Disziplin separat betrachtet. Ich bin nicht auf verallgemeinerte Daten gestoßen, dass das Prinzip der Symmetrie verwendet wird, und darauf basieren viele andere Wissenschaften und ihre Beziehung zur Mathematik.
Deshalb habe ich beschlossen, meine Aussage mit der für mich einfachsten und zugänglichsten Methode zu beweisen. Ich glaube, diese Lösung bestünde darin, ein Experiment mit Tests durchzuführen.
Um eindeutig zu beweisen, dass asymmetrische Modelle nicht stabil sind, nicht über die erforderlichen Anforderungen und lebenswichtigen Fähigkeiten verfügen, und um meine Hypothese zu bestätigen, muss ich Kunsthandwerk, Zeichnungen und Kompositionen erstellen:
Option 1 – symmetrisch zur Achse;
Option 2 – mit einer klaren Verletzung der Symmetrie.
Da ich glaube, dass ein solches Ungleichgewicht deutlich sichtbar sein wird folgende Beispiele, für das ich Origami-Kunstwerke (Flugzeug und Frosch) aus farbigem Papier hergestellt habe. Um die Reinheit des Experiments zu gewährleisten, wurden sie aus dem gleichen farbigen Papier hergestellt und unter den gleichen Bedingungen getestet. Und die Komposition „Lighthouse“, bei der der Leuchtturm aus leerem Material besteht Plastikflasche, mit farbigem Papier bedeckt. Zur Dekoration der Komposition wurden menschliche Spielzeugfiguren, Modelle eines Segelboots und eines Bootes verwendet. dekorative Steine, und um Licht zu simulieren, habe ich ein batteriebetriebenes Element verwendet, das leuchtet.
Ich habe Tests mit diesen Fahrzeugen durchgeführt, alle Indikatoren aufgezeichnet und in eine Tabelle eingetragen (Alle Indikatoren können im Anhang Nr. 1, S. 18 - 21 eingesehen werden).
Alle Handarbeiten wurden unter Einhaltung der Sicherheitsvorschriften hergestellt (Anhang Nr. 2 S. 21)
Ich habe alle erhaltenen Daten analysiert und Folgendes herausgefunden:
Analyse der empfangenen Daten
Experiment Nr. 1
Versuch- Weitsprung der Frösche, der diese Distanz misst.
Der Grüne Frosch (symmetrisch) springt sanft über eine größere Distanz, aber der Rote (nicht symmetrisch) sprang nie geradeaus, immer mit einer Drehung oder einem Flip zur Seite, eine Distanz, die zwei- bis dreimal kürzer ist.
Daraus können wir schließen, dass ein solches Tier nicht in der Lage sein wird, schnell zu jagen oder im Gegenteil wegzulaufen und effektiv Nahrung zu beschaffen, was die Überlebenschancen verringert. Dies beweist, dass in der Natur alles ausgewogen, proportional, korrekt und symmetrisch ist .
Experiment Nr. 2
Art des Tests- Flugzeuge in den Flug starten und die Distanz der Fluglänge messen.
Flugzeug Nr. 1 „Pink“ (symmetrisch) fliegt 10 Mal, 8 Mal gleichmäßig und gerade, bis zu seiner maximalen Länge (d. h. der gesamten Länge meines Zimmers) und die Flugbahn von Flugzeug Nr. 2 „Orange“ (nicht symmetrisch). ) ab 10 Mal - flog nie geradeaus, immer mit einer Drehung oder einem Überschlag, über eine kürzere Distanz. Das heißt, wenn es ein echtes Flugzeug wäre, könnte es nicht reibungslos fliegen in die richtige Richtung. Ein solcher Flug wäre für Menschen (wie auch für Vögel), Autos und andere sehr unbequem oder sogar gefährlich Verkehrsmittel Bewegung, wäre nicht in der Lage zu reiten, zu schwimmen usw. in die gewünschte Richtung.
Experiment Nr. 3
Art des Tests -Überprüfung der Stabilität des Mayak-Gebäudes, wenn der Neigungswinkel der Struktur relativ zur Oberfläche abnimmt.
1. Nachdem ich die Komposition „Mayak“ erstellt hatte, habe ich sie direkt installiert, d. h. senkrecht (in einem Winkel von 90 0) relativ zu den Wänden der Struktur zur Oberfläche. Dieses Design steht waagerecht, hält dem eingebauten Lichtelement und der menschlichen Figur stand.
2. Um das Experiment weiter durchzuführen, musste ich die Basis des Turms in einem Winkel von 10 0 zeichnen.
Danach schneide ich von der Basis einen Winkel von 10 0 ab.
Bei einem Winkel von 80° steht das Gebäude schief, schwankt, hält aber der zusätzlichen Belastung stand.
3. Nachdem ich weitere 10 0 abgeschnitten habe, habe ich einen Neigungswinkel von 70 0 erhalten, bei dem meine gesamte Struktur zusammenbricht.
Diese Erfahrung beweist, dass die historisch gewachsene Tradition des rechtwinkligen Bauens und der Wahrung der Symmetrie des Gebäudes selbst Bestand hat eine notwendige Bedingung für den nachhaltigen, zuverlässigen Bau und Betrieb architektonischer Gebäude und Bauwerke.
Für klares Beispiel Achsensymmetrie und Beweis der Aussage, dass ein Mensch alle ihn umgebenden Gegenstände, Bilder von Tieren usw. wahrnimmt. Nur symmetrisch, das heißt, wenn beide Seiten, „Hälften“, gleich, gleich sind, habe ich ein elektronisches Malbuch erstellt, das ausgedruckt werden kann und so ein Malbuch für Kinder ergibt. Dieses Handbuch wird jedem helfen, der das Thema besser verstehen, eine interessante und unterhaltsame Erfahrung machen möchte Freizeit (Titelblatt(siehe Abbildung, weitere Abbildungen finden Sie im Anhang Nr. 3, S. 21–24).
Die von mir durchgeführten Experimente beweisen, dass Symmetrie nicht nur ein mathematisches und geometrisches Konzept ist, sondern eine Sphäre, die Umgebung unseres Lebens, eine bestimmte technische Anforderung und auch eine notwendige Überlebensbedingung im Allgemeinen, sowohl für Menschen als auch für Tiere. Symmetrie bringt alles zusammen und geht weit über die gewöhnliche Wissenschaft hinaus!
Abschluss
Schlussfolgerungen:
Ich habe herausgefunden, dass Symmetrie einer der Hauptbestandteile im menschlichen Alltag, in Haushaltsgegenständen, in Architektur, Technik, Natur, Musik, Wissenschaft usw. ist.
Ergebnis:
Ich habe die notwendigen Informationen gefunden, meine Hypothese bewiesen, sie experimentell getestet und bestätigt. Ich habe Kunsthandwerk, Kompositionen, Zeichnungen und ein elektronisches Malbuch erstellt, um das Experiment visuell durchzuführen.
Ich fand heraus, dass alle Naturgesetze – biologische, chemische, genetische, astronomische – mit Symmetrie zusammenhängen. Praktisch alles, was uns umgibt und vom Menschen geschaffen wurde, unterliegt den uns allen gemeinsamen Symmetrieprinzipien, da sie über ein beneidenswertes System verfügen. Somit haben Gleichgewicht und Identität als Prinzip eine universelle Gültigkeit.
Können wir sagen, dass Symmetrie ein Grundgesetz ist, auf dem die Grundgesetze der Wissenschaft basieren? Vielleicht ja.
Die großen Denker der Menschheit versuchten, dieses Geheimnis zu verstehen. Auch wir stürzen uns heute in die Lösung dieses Rätsels.
Einer der berühmten Mathematiker Hermann Weyl schrieb: „Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.“
Vielleicht haben wir das Geheimnis zur Schaffung von Schönheit, Perfektion oder sogar zur Schaffung der Grundgesetze des Universums gefunden? Vielleicht liegt es an der Symmetrie?
Anwendungen
Anhang Nr. 1 Testtabelle:
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Experiment Nr. 1 |
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Versuch Nr. |
Art des Tests |
"Grüner Frosch" (symmetrisch) |
Testergebnis und Eigenschaften „Roter Frosch“ (nicht symmetrisch) |
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Frosch-Weitsprung (Maß in cm) |
6,0 nach links |
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14,4 mit einer leichten Rechtsdrehung |
9,0 Rückwärtsdrehung |
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10,5 fast genau |
2.0 Coupé |
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9,5 mit einer leichten Rechtsdrehung |
5,0 links abbiegen |
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10,6 mit einer leichten Rechtsdrehung |
3,0 nach links |
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9,0 Coupé |
9,0 links abbiegen |
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13,5 fast genau |
1,5 zurück, links abbiegen |
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9,5 übrig mit einem Flip |
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21,2 fast genau |
4,5 nach links mit einem Flip |
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Experiment Nr. 2 |
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Flugzeug „Rosa“ (Symmetrisch) |
Flugzeug "Orange" (Nicht symmetrisch) |
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Flugzeugstart Maximal (5,1 Meter) |
5.1 mit 2 Flips |
3.04 mit Flips nach rechts |
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2,78 mit Flips nach rechts |
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5.1 nach rechts geneigt |
3,65 mit Flips nach rechts |
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5.1 nach rechts geneigt |
1,51 fast genau |
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5,1 fast genau |
4,73 mit Flips nach rechts |
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5.1 mit einer Neigung nach links |
3,82 rechts abbiegen |
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5,1 fast genau |
3,41 mit Flips |
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5,1 fast genau |
3,37 biegen Sie links ab |
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5.1 mit Umkehrung |
3,51 mit Flips nach links |
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5,1 fast genau |
3.19 mit Flips nach rechts |
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Experiment Nr. 3 |
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Versuch Nr. |
Eigenschaften von Immobilien Objekt |
Art und Merkmale des Tests |
Ergebnis |
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Das Gebäude steht senkrecht zur Oberfläche (d. h. in einem Winkel von 90 0) |
Installation zusätzliche Belastung: Leuchtendes Element und menschliches Figurenspielzeug |
Der Leuchtturm steht eben und zuverlässig |
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In einem Winkel von 80 0 |
Vom Sockel des Leuchtturms habe ich einen Winkel von 10 0 geheftet und abgeschnitten |
Der Leuchtturm hält der Belastung stand, steht aber unzuverlässig und wackelt |
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In einem Winkel von 70 0 |
Vom Sockel des Leuchtturms habe ich noch einmal 10 0 abgeschnitten |
Das Gebäude fällt und stürzt ein |
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Anhang Nr. 2
Bei der Herstellung meiner Bastelarbeiten wurden Sicherheitsvorkehrungen beachtet, nämlich:
Die Schere bzw. das Messer muss gut geschärft und justiert sein.
Muss an einem bestimmten Ort gespeichert werden sicherer Ort oder Kiste.
Beim Umgang mit einer Schere (Messer) darf man sich nicht ablenken lassen, man muss möglichst aufmerksam und diszipliniert vorgehen.
Halten Sie die Schere (Messer) beim Überreichen an der geschlossenen Klinge (Kante).
Platzieren Sie die Schere (Messer) rechts mit der geschlossenen Klinge (Schneide) von Ihnen weg.
Beim Schneiden sollte die schmale Klinge der Schere (Messerspitze) unten liegen.
Waschen Sie Ihre Hände, nachdem Sie den Kleber verwendet haben.
Anhang Nr. 3
Elektronisches Malbuch
Symmetrie-
Das bedeutet, dass ein Teil eines Objekts einem anderen ähnlich ist.
Achsensymmetrie ist die Symmetrie um eine Gerade (Linie).
Eine Symmetrieachse ist eine imaginäre Linie, die ein Objekt in symmetrische Teile teilt. Zur Verdeutlichung ist es auf den Bildern dargestellt.
In diesem Buch vervollständigst du die Zeichnungen, indem du die Punkte verbindest.
Dann können Sie das, was Sie haben, ausmalen.
Versuchen Sie, diese Zeichnungen zu vervollständigen:
Herz
Dreieck Haus
Sternblatt
Weihnachtsbaummaus
HundSperren
ZU Neben der Achsensymmetrie gibt es auch eine Punktsymmetrie.
Dieser Ball ist symmetrisch
Und eine andere Art von Symmetrie ist die Spiegelsymmetrie.
Spiegelsymmetrie-
das ist Symmetrie um die Ebene. Zum Beispiel in Bezug auf einen Spiegel.
Symmetrie ist -
Gebrauchte Bücher
2. Hermann Weyl „Symmetrie“ (Verlag „Wissenschaft“) Hauptredaktion Physikalische und mathematische Literatur, Moskau 1968)
4. Meine Zeichnungen und Fotografien.
5. Handbuch des Maschinenbaus, Band 1, (Staatlicher wissenschaftlich-technischer Verlag für Maschinenbauliteratur, Moskau 1960)
6. Fotos und Zeichnungen aus dem Internet.
Heute werden wir über ein Phänomen sprechen, dem jeder von uns im Leben ständig begegnet: Symmetrie. Was ist Symmetrie?
Wir alle verstehen ungefähr die Bedeutung dieses Begriffs. Das Wörterbuch sagt: Symmetrie ist Proportionalität und vollständige Übereinstimmung der Anordnung von Teilen von etwas relativ zu einer geraden Linie oder einem Punkt. Es gibt zwei Arten von Symmetrie: axial und radial. Schauen wir uns zuerst die axiale an. Dies ist, sagen wir, „Spiegelsymmetrie“, wenn eine Hälfte eines Objekts völlig identisch mit der zweiten ist, sie aber als Spiegelbild wiederholt. Schauen Sie sich die Blatthälften an. Sie sind spiegelsymmetrisch. Auch die Hälften des menschlichen Körpers sind symmetrisch (ganzes Gesicht) – identische Arme und Beine, identische Augen. Aber täuschen wir uns nicht; in der organischen (lebenden) Welt gibt es tatsächlich keine absolute Symmetrie! Die Blatthälften kopieren einander alles andere als perfekt, das gilt auch für menschlicher Körper(Schauen Sie selbst genauer hin); Dasselbe gilt auch für andere Organismen! Übrigens ist es erwähnenswert, dass jeder symmetrische Körper nur in einer Position relativ zum Betrachter symmetrisch ist. Es lohnt sich zum Beispiel, ein Blatt Papier umzudrehen oder eine Hand zu heben, und was passiert? – Sie sehen es selbst.
Menschen erreichen wahre Symmetrie in den Produkten ihrer Arbeit (Dingen) – Kleidung, Autos … In der Natur ist dies charakteristisch anorganische Formationen, zum Beispiel Kristalle.
Aber kommen wir zum Üben. Sie sollten nicht mit komplexen Objekten wie Menschen und Tieren beginnen. Versuchen wir, als erste Übung in einem neuen Bereich die Spiegelhälfte des Blattes fertig zu zeichnen.
Ein symmetrisches Objekt zeichnen - Lektion 1
Wir achten darauf, dass es so ähnlich wie möglich ausfällt. Um dies zu erreichen, werden wir buchstäblich unseren Seelenverwandten aufbauen. Denken Sie nicht, dass es, insbesondere beim ersten Mal, so einfach ist, mit einem Strich eine spiegelbildliche Linie zu zeichnen!
Markieren wir mehrere Bezugspunkte für eine zukünftige symmetrische Linie. Wir gehen so vor: Mit einem Bleistift zeichnen wir ohne zu drücken mehrere Senkrechte zur Symmetrieachse – der Mittelrippe des Blattes. Vier oder fünf reichen vorerst. Und auf diesen Senkrechten messen wir rechts den gleichen Abstand wie auf der linken Hälfte zur Linie des Blattrandes. Ich empfehle Ihnen, ein Lineal zu verwenden und sich nicht zu sehr auf Ihr Auge zu verlassen. In der Regel neigen wir dazu, die Zeichnung zu verkleinern – dies ist erfahrungsgemäß zu beobachten. Wir empfehlen, Entfernungen nicht mit den Fingern zu messen: Der Fehler ist zu groß.
Verbinden wir die resultierenden Punkte mit einer Bleistiftlinie:
Schauen wir uns nun genau an, ob die Hälften wirklich gleich sind. Wenn alles richtig ist, kreisen wir es mit einem Filzstift ein und verdeutlichen unsere Zeile:
Das Pappelblatt ist fertig, jetzt können Sie das Eichenblatt schwingen.
Zeichnen wir eine symmetrische Figur – Lektion 2
Die Schwierigkeit liegt in diesem Fall darin, dass die Adern markiert sind und nicht senkrecht zur Symmetrieachse verlaufen und nicht nur die Abmessungen, sondern auch der Neigungswinkel strikt eingehalten werden müssen. Nun, schulen wir unser Auge:
Also wurde ein symmetrisches Eichenblatt gezeichnet, oder besser gesagt, wir haben es nach allen Regeln gebaut:
Wie zeichnet man ein symmetrisches Objekt - Lektion 3
Und konsolidieren wir das Thema – wir zeichnen ein symmetrisches Fliederblatt fertig.
Das hat er auch interessante Form- herzförmig und mit Ohren an der Basis, du musst pusten:
Das haben sie gezeichnet:
Schauen Sie sich die entstandene Arbeit aus der Distanz an und beurteilen Sie, wie genau wir die geforderte Ähnlichkeit vermitteln konnten. Hier ein Tipp: Schauen Sie sich Ihr Bild im Spiegel an und es wird Ihnen sagen, ob es Fehler gibt. Eine andere Möglichkeit: Biegen Sie das Bild genau entlang der Achse (wir haben bereits gelernt, wie man es richtig biegt) und schneiden Sie das Blatt entlang der ursprünglichen Linie aus. Schauen Sie sich die Figur selbst und das ausgeschnittene Papier an.
Du wirst brauchen
- - Eigenschaften symmetrischer Punkte;
- - Eigenschaften symmetrischer Figuren;
- - Herrscher;
- - Quadrat;
- - Kompass;
- - Bleistift;
- - Blatt Papier;
- - ein Computer mit einem Grafikeditor.
Anweisungen
Zeichnen Sie eine gerade Linie a, die die Symmetrieachse sein wird. Wenn seine Koordinaten nicht angegeben sind, zeichnen Sie es willkürlich. Platzieren Sie einen beliebigen Punkt A auf einer Seite dieser Linie. Sie müssen einen symmetrischen Punkt finden.
Symmetrieeigenschaften werden in AutoCAD ständig verwendet. Nutzen Sie hierzu die Option „Spiegeln“. Um ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren oder gleichschenkliges Trapez Es reicht zum Zeichnen untere Basis und der Winkel zwischen ihm und der Seite. Reflektieren Sie sie mit dem angegebenen Befehl und erweitern Sie sie Seiten auf den erforderlichen Wert. Im Falle eines Dreiecks ist dies der Schnittpunkt und für ein Trapez - Wert einstellen.
In Grafikeditoren stößt man immer wieder auf Symmetrie, wenn man die Option „vertikal/horizontal spiegeln“ verwendet. In diesem Fall wird als Symmetrieachse eine Gerade angenommen, die einer der vertikalen oder horizontalen Seiten des Bilderrahmens entspricht.
Quellen:
- wie man zeichnet zentrale Symmetrie
Einen Querschnitt eines Kegels zu konstruieren ist nicht so schwierige Aufgabe. Die Hauptsache ist, sich daran zu halten strenge Reihenfolge Aktionen. Dann diese Aufgabe wird einfach zu bewerkstelligen sein und erfordert nicht viel Arbeit von Ihnen.
Du wirst brauchen
- - Papier;
- - Griff;
- - Kreis;
- - Herrscher.
Anweisungen
Bei der Beantwortung dieser Frage müssen Sie zunächst entscheiden, welche Parameter den Abschnitt definieren.
Dies sei die Schnittlinie der Ebene l mit der Ebene und dem Punkt O, der der Schnittpunkt mit ihrem Abschnitt ist.
Der Aufbau ist in Abb. 1 dargestellt. Der erste Schritt beim Konstruieren eines Abschnitts erfolgt durch die Mitte des Abschnitts mit seinem Durchmesser, der senkrecht zu dieser Linie auf l verlängert wird. Das Ergebnis ist Punkt L. Als nächstes zeichnen Sie eine Gerade LW durch Punkt O und konstruieren zwei Leitkegel, die im Hauptabschnitt O2M und O2C liegen. Am Schnittpunkt dieser Hilfslinien liegen Punkt Q sowie der bereits gezeigte Punkt W. Dies sind die ersten beiden Punkte des gewünschten Abschnitts.
Zeichnen Sie nun eine Senkrechte MS an der Basis des Kegels BB1 und konstruieren Sie die Generatoren senkrechter Schnitt O2B und O2B1. Zeichnen Sie in diesem Abschnitt durch Punkt O eine gerade Linie RG parallel zu BB1. Т.R und Т.G sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn der Querschnitt der Kugel bekannt wäre, könnte sie bereits zu diesem Zeitpunkt gebaut werden. Dabei handelt es sich jedoch überhaupt nicht um eine Ellipse, sondern um etwas Elliptisches, das Symmetrie bezüglich der Strecke QW aufweist. Daher sollten Sie möglichst viele Schnittpunkte bilden, um diese später mit einer glatten Kurve zu verbinden und so eine möglichst zuverlässige Skizze zu erhalten.
Konstruieren Sie einen beliebigen Schnittpunkt. Zeichnen Sie dazu einen beliebigen Durchmesser AN an der Basis des Kegels und konstruieren Sie die entsprechenden Führungen O2A und O2N. Zeichnen Sie durch t.O eine gerade Linie, die durch PQ und WG verläuft, bis sie die neu konstruierten Hilfslinien an den Punkten P und E schneidet. Dies sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn Sie auf die gleiche Weise fortfahren, können Sie so viele Punkte finden, wie Sie möchten.
Zwar kann das Verfahren zu ihrer Ermittlung durch Symmetrie in Bezug auf QW etwas vereinfacht werden. Dazu können Sie in der Ebene des gewünschten Abschnitts gerade Linien SS‘ parallel zu RG zeichnen, bis sie die Kegeloberfläche schneiden. Die Konstruktion wird durch Abrunden der konstruierten Polylinie aus Akkorden abgeschlossen. Aufgrund der bereits erwähnten Symmetrie bezüglich QW reicht es aus, die Hälfte des gewünschten Abschnitts zu konstruieren.
Video zum Thema
Tipp 3: So erstellen Sie ein Diagramm Trigonometrische Funktion
Du musst zeichnen Zeitplan trigonometrisch Funktionen? Beherrschen Sie den Aktionsalgorithmus am Beispiel der Konstruktion einer Sinuskurve. Um das Problem zu lösen, verwenden Sie die Forschungsmethode.
Du wirst brauchen
- - Herrscher;
- - Bleistift;
- - Kenntnisse der Grundlagen der Trigonometrie.
Anweisungen
Video zum Thema
beachten Sie
Wenn die beiden Halbachsen eines Einstreifen-Hyperboloids gleich sind, kann die Figur durch Drehen einer Hyperbel mit Halbachsen erhalten werden, von denen eine die obige und die andere von den beiden gleichen verschieden ist imaginäre Achse.
Hilfreicher Rat
Wenn man diese Figur relativ zu den Oxz- und Oyz-Achsen untersucht, wird deutlich, dass ihre Hauptabschnitte Hyperbeln sind. Und wenn man das schneidet räumliche Figur Rotation um die Oxy-Ebene, sein Querschnitt ist eine Ellipse. Die Halsellipse eines Einstreifen-Hyperboloids verläuft durch den Koordinatenursprung, weil z=0.
Die Halsellipse wird durch die Gleichung x²/a² +y²/b²=1 beschrieben, und die anderen Ellipsen setzen sich aus der Gleichung x²/a² +y²/b²=1+h²/c² zusammen.
Quellen:
- Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide. Geradlinige Generatoren
Die Form eines fünfzackigen Sterns wird vom Menschen seit der Antike häufig verwendet. Wir halten seine Form für schön, weil wir in ihm unbewusst die Zusammenhänge des Goldenen Schnitts erkennen, also Die Schönheit des fünfzackigen Sterns ist mathematisch begründet. Euklid beschrieb in seinen Elementen als erster den Aufbau eines fünfzackigen Sterns. Lassen Sie uns an seiner Erfahrung teilhaben.
Du wirst brauchen
- Herrscher;
- Bleistift;
- Kompass;
- Winkelmesser.
Anweisungen
Bei der Konstruktion eines Sterns kommt es auf die Konstruktion und anschließende Verbindung seiner Spitzen miteinander nacheinander durch eins an. Um den richtigen Kreis zu bilden, müssen Sie den Kreis in fünf Teile teilen.
Konstruieren Sie mit einem Zirkel einen beliebigen Kreis. Markieren Sie seinen Mittelpunkt mit Punkt O.
Markieren Sie Punkt A und zeichnen Sie mit einem Lineal das Liniensegment OA. Jetzt müssen Sie das Segment OA in zwei Hälften teilen. Zeichnen Sie dazu vom Punkt A aus einen Bogen mit dem Radius OA, bis er den Kreis an zwei Punkten M und N schneidet. Konstruieren Sie das Segment MN. Der Punkt E, an dem MN OA schneidet, halbiert das Segment OA.
Stellen Sie die Senkrechte OD auf den Radius OA wieder her und verbinden Sie die Punkte D und E. Machen Sie eine Kerbe B auf OA vom Punkt E mit dem Radius ED.
Markieren Sie nun mit dem Liniensegment DB den Kreis um fünf gleiche Teile. Beschriften Sie die Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks der Reihe nach mit Zahlen von 1 bis 5. Verbinden Sie die Punkte in der folgenden Reihenfolge: 1 mit 3, 2 mit 4, 3 mit 5, 4 mit 1, 5 mit 2. Hier ist die richtige fünfzackiger Stern, V regelmäßiges Fünfeck. Genau so habe ich es gebaut
Punkte M Und M 1 werden als symmetrisch bezüglich einer gegebenen Geraden bezeichnet L, wenn diese Gerade die Mittelsenkrechte zum Segment ist MM 1 (Abbildung 1). Jeder Punkt ist gerade L symmetrisch zu sich selbst. Transformation einer Ebene, bei der jeder Punkt auf einen Punkt abgebildet wird, der relativ zu einer gegebenen Linie symmetrisch zu ihm ist L, angerufen axiale Symmetrie mit der L-Achse und ist bezeichnet S L :S L (M) = M 1 .
Punkte M Und M 1 sind zueinander symmetrisch in Bezug auf L, Deshalb S L (M 1 )=M. Folglich ist die zur Axialsymmetrie umgekehrte Transformation dieselbe Axialsymmetrie: S L -1= S L , S L° S L = E. Mit anderen Worten, die Achsensymmetrie der Ebene ist involutiv Transformation.
Das Bild eines bestimmten Punktes mit Achsensymmetrie kann einfach mit nur einem Kompass erstellt werden. Lassen L- Symmetrieachse, A Und B- beliebige Punkte dieser Achse (Abbildung 2). Wenn S L (M) = M 1, dann gilt aufgrund der Eigenschaft der Punkte der Mittelsenkrechten zum Segment: AM = AM 1 Und BM = BM 1 . Also, Punkt M 1 gehört zu zwei Kreisen: einem Kreis mit Mittelpunkt A Radius BIN. und Kreise mit Mittelpunkt B Radius B.M. (M- angegebenen Punkt). Figur F und ihr Bild F 1 mit Achsensymmetrie genannt symmetrische Figuren relativ gerade L(Figur 3).
Satz. Achsensymmetrie einer Ebene ist Bewegung.
Wenn A Und IN- beliebige Punkte der Ebene und S L (A) = A 1 , S L (B) = B 1, dann müssen wir das beweisen A 1 B 1 = AB. Dazu stellen wir vor rechteckiges System Koordinaten OXY damit die Achse OCHSE fällt mit der Symmetrieachse zusammen. Punkte A Und IN Koordinaten haben Axt 1 ,-y 1 ) Und B(x 1 ,-y 2 ) .Punkte A 1 und IN 1 habe Koordinaten A 1 (X 1 ,y 1 ) Und B 1 (X 1 ,y 2 ) (Abbildung 4 - 8). Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten finden wir:
Aus diesen Beziehungen geht hervor, dass AB=A 1 IN 1, was bewiesen werden musste.
Aus einem Vergleich der Ausrichtungen des Dreiecks und seines Bildes erhalten wir, dass die Achsensymmetrie der Ebene ist Bewegung zweiter Art.
Die Achsensymmetrie bildet jede Linie auf eine gerade Linie ab. Insbesondere wird jede der Geraden senkrecht zur Symmetrieachse durch diese Symmetrie auf sich selbst abgebildet.
Satz. Eine gerade Linie, die nicht senkrecht zur Symmetrieachse steht, und ihr Bild bei dieser Symmetrie schneiden sich auf der Symmetrieachse oder sind parallel zu ihr.
Nachweisen. Gegeben sei eine Gerade, nicht senkrecht zur Achse L Symmetrie. Wenn M? L=P Und S L (m)=m 1 also M 1 ?M Und S L (P)=P, Deshalb Pm1(Abbildung 9). Wenn m || L, Das M 1 || L, Seit in ansonsten gerade M Und M 1 würde sich in einem Punkt auf einer Geraden schneiden L, was der Bedingung widerspricht m ||L(Abbildung 10).
Per Definition gleiche Figuren, gerade, symmetrisch zu einer geraden Linie L, mit einer geraden Linie bilden L gleiche Winkel(Abbildung 9).
Gerade L angerufen Symmetrieachse der Figur F, wenn mit Symmetrie zur Achse L Figur F bildet sich selbst ab: S L (F) =F. Sie sagen, dass die Figur F symmetrisch um eine Gerade L.
Beispielsweise ist jede Gerade, die den Mittelpunkt eines Kreises enthält, die Symmetrieachse dieses Kreises. In der Tat, lass M - beliebiger Punkt Kreis sch mit Mitte UM, OL, S L (M)= M 1 . Dann S L (O) = O Und OM 1 =OM, d.h. M 1 є ü. Das Bild eines beliebigen Punktes auf einem Kreis gehört also zu diesem Kreis. Somit, S L (u)=u.
Die Symmetrieachsen eines Paares nichtparalleler Linien sind zwei senkrechte Linien, die die Winkelhalbierenden zwischen diesen Linien enthalten. Die Symmetrieachse eines Segments ist die Gerade, die es enthält, sowie Mittelsenkrechte zu diesem Segment.
Eigenschaften der Achsensymmetrie
- 1. Bei Achsensymmetrie ist das Bild einer Geraden eine Gerade, das Bild paralleler Linien sind parallele Linien
- 3. Die Achsensymmetrie bewahrt die einfache Beziehung von drei Punkten.
- 3. Bei der Achsensymmetrie geht ein Segment in ein Segment über, ein Strahl in einen Strahl, eine Halbebene in eine Halbebene.
- 4. Bei Achsensymmetrie wandelt sich ein Winkel in einen ihm gleichen Winkel um.
- 5. Bei Achsensymmetrie zur d-Achse bleibt jede Gerade senkrecht zur d-Achse an Ort und Stelle.
- 6. Bei axialer Symmetrie wandelt sich ein Orthonormalrahmen in einen Orthonormalrahmen um. In diesem Fall geht der Punkt M mit den Koordinaten x und y relativ zum Referenzpunkt R zum Punkt M` mit den gleichen Koordinaten x und y, aber relativ zum Referenzpunkt R`.
- 7. Die Achsensymmetrie der Ebene transformiert den rechten Orthonormalrahmen in den linken und umgekehrt den linken Orthonormalrahmen in den rechten.
- 8. Zusammensetzung von zwei Axialsymmetrien Es gibt Ebenen mit parallelen Achsen Parallelübertragung zu einem Vektor senkrecht zu den gegebenen Linien, dessen Länge doppelt so groß ist wie der Abstand zwischen den gegebenen Linien
