Mit welcher Formel kann man die Fläche eines Dreiecks ermitteln? So berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks. Allgemeine Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispiel: \(\log_(2)(8)\) gleich der Leistung, auf den \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		Weil \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Weil \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument eines Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Logarithmuszeichen geschrieben. Und dieser Eintrag lautet wie folgt: „Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Welche Macht macht eine Nummer eins? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Erstens ist jede Zahl in der ersten Potenz gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von dort wissen wir, was es ist Teilleistung, und das bedeutet Quadratwurzel ist die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition eines Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Eigenschaften des Grades: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir kommen zur Gleichheit der Indikatoren
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antwort : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichung funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Womit ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Klügsten werden sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau schreibt man diese Nummer? Um diese Frage zu beantworten, wurde der Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\), wie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es in das Formular schreiben wollten Dezimal, dann würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf die gleiche Basis gebracht werden. Das bedeutet, dass Sie auf einen Logarithmus nicht verzichten können. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehen wir die Gleichung um, so dass X auf der linken Seite steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen wir \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine gewöhnliche Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Das ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber sie wählen die Antwort nicht aus.

Antwort : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter allen mögliche Gründe Es gibt zwei davon, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Einer davon heißt „Basic“. logarithmische Identität" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Lass uns erinnern kurze Anmerkung Definitionen von Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Weitere Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antwort : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) anstelle von zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), was bedeutet, dass wir auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben können. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir also zwei als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sei es in einer Gleichung, in einem Ausdruck oder in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach das Quadrat der Basis als Argument.

Das Gleiche gilt für das Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antwort : \(1\)

Haupteigenschaften.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identische Gründe

Log6 4 + log6 9.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Übergang zu einer neuen Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, wissen Sie und genauer Wert Aussteller und das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.

3.

4. Wo .

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Beispiel 3. Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Aber da sind Logarithmen nicht genau reguläre Zahlen, hier gibt es Regeln, die aufgerufen werden Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes Problem lösen. logarithmisches Problem. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment Hier - identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine einzelnen Teile nicht gezählt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie du sehen kannst, Quellausdrücke bestehen aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat gezählt werden. Aber nach den Transformationen stellen sie sich ganz schön heraus normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Was ist mit den Kontrollen? ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) werden im Einheitlichen Staatsexamen angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

ich denke an letztes Beispiel Aufklärung erforderlich. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum letzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen.

Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln sind in der konventionellen Medizin selten zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur durch eine Entscheidung beurteilen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Berücksichtigung der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit die gleiche Grundlage, wir bekommen:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: den Logarithmus zu einer beliebigen Basis a dieser Basis selbst gleich eins.
2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist es ein Logarithmus gleich Null! Weil a0 = 1 ist direkte Konsequenz aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine Potenz x() zu finden, bei der die Gleichheit erfüllt ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Es ist notwendig, die oben genannten Eigenschaften zu kennen, da fast alle Probleme und Beispiele im Zusammenhang mit Logarithmen auf ihrer Grundlage gelöst werden. Der Rest der exotischen Eigenschaften kann durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formel für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) stößt man häufig darauf. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gebräuchlichsten Logarithmen sind solche, bei denen die Basis gerade zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird üblicherweise als dezimaler Logarithmus bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus der Aufnahme geht klar hervor, dass die Grundlagen in der Aufnahme nicht niedergeschrieben sind. Beispielsweise

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis ein Exponent ist (bezeichnet mit ln(x)).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und einer mehr wichtiger Logarithmus Basis zwei bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion ist gleich eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Beziehung bestimmt

Das bereitgestellte Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern, werde ich nur einige gängige Beispiele nennen Lehrplan und Universitäten.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

2.
Durch die Eigenschaft der Differenz von Logarithmen haben wir

3.
Mit den Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Dem Aussehen nach komplexer Ausdruck Durch die Verwendung einer Reihe von Regeln wird die Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Lösung. Für die Berechnung beziehen wir uns auf die letzten Laufzeiten 5 und 13

Wir halten es zu Protokoll und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nehmen wir einen Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe ihrer Terme zu schreiben

Dies ist erst der Anfang unserer Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie das Rechnen, erweitern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen benötigen Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen um nichts weniger erweitern wichtiges Thema- logarithmische Ungleichungen...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Logarithmus einer Zahl N bezogen auf A Exponent genannt X , auf die Sie bauen müssen A um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt Folgendes
, d.h.
- Diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden dezimale Logarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Logarithmen zur Basis e werden als natürlich bezeichnet und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus von Eins ist für jede Basis gleich Null.

Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen von Faktoren.

3) Logarithmus des Quotienten gleich der Differenz Logarithmen

Faktor
wird als Übergangsmodul vom Logarithmus zur Basis bezeichnet A zu Logarithmen an der Basis B .

Mithilfe der Eigenschaften 2–5 ist es häufig möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen an Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen eines Logarithmus werden Logarithmen genannt. Zum Logarithmus inverse Transformationen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Grenze der Funktion
ist eine endliche Zahl A if, as xx 0 für jeden vorgegeben
, es gibt so eine Nummer
das sobald
, Das
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich von ihr um einen verschwindend kleinen Betrag:
, wo- b.m.v., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j tendiert gegen Null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Grenze konstanter Wert gleich diesem konstanten Wert

.

Betrags-(Differenz-)Grenze endliche Zahl Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzen dieser Funktionen.

Grenze des Produkts einer endlichen Anzahl von Funktionen gleich dem Produkt die Grenzen dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners nicht Null ist.

Wunderbare Grenzen

,
, Wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Grenzwerte so einfach berechnen. In den meisten Fällen kommt es bei der Berechnung des Grenzwerts darauf an, eine Unsicherheit der folgenden Art aufzudecken: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit habe etwas Zuwachs bekommen
. Dann erhält die Funktion ein Inkrement
.

Argumentwert entspricht dem Funktionswert
.

Argumentwert
entspricht dem Funktionswert.

Somit, .

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses bei
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition 3 Ableitung einer gegebenen Funktion
durch Argumentation heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null tendiert.

Ableitung einer Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Mechanische Bedeutung von Derivat.

Betrachten wir die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann mal lassen beweglicher Punkt
war in einiger Entfernung von der Ausgangsposition aus
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit materieller Punkt
. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dessen die Grenze dieses Verhältnisses ermitteln
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Ermittlung der Ableitung des Weges nach der Zeit.

2.2. Geometrische Bedeutung Derivat

Lassen Sie uns eine grafisch definierte Funktion haben
.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn
, dann zeigen
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung für einen gegebenen Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem bestimmten Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Inverse trigonometrische Funktion

2.4. Differenzierungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung von komplexe Funktion.

Die Funktion sei gegeben
so dass es in der Form dargestellt werden kann

Und
, wo die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

3. Differentialfunktion.

Lass es sein
, differenzierbar auf einem bestimmten Intervall
lassen Sie es gehen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann können wir schreiben

(1),

Wo - eine unendlich kleine Größe,

seit wann

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Größe
wird als Differential der Funktion bezeichnet
und ist bezeichnet

.

3.1. Geometrischer Wert des Differentials.

Die Funktion sei gegeben
.

Abb.2. Geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an einem bestimmten Punkt.

3.2. Ableitungen und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, Dann
heißt die erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung der n-ten Ordnung der Funktion
heißt die Ableitung (n-1)-ter Ordnung und wird geschrieben:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung genannt.

.

.

3.3 Lösung biologische Probleme Differenzierung nutzen.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen einem Gesetz unterliegt
, Wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), T – Zeit (Tage).

b) Wird die Population der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antwort. Die Größe der Kolonie wird zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu überwachen. Durch T Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration anhand des Verhältnisses bestimmt

.

Wann wird der See eine minimale Bakterienkonzentration aufweisen und kann man darin schwimmen?

Lösung: Eine Funktion erreicht ihr Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns das Maximum oder Minimum in 6 Tagen bestimmen. Nehmen wir dazu die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus von Eins. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, d. h. log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Der Beweis ist nicht schwierig: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt der zu beweisende Gleichheitslog a 1=0 unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft: log 3 1=0, log1=0 und .

Lass uns weitergehen zu zur folgenden Eigenschaft: Logarithmus der Zahl, gleich der Basis, gleich eins, also, log a a=1 für a>0, a≠1. In der Tat, da a 1 =a für jedes a gilt, dann per Definition Logarithmus-Log a a=1 .

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind die Gleichungen log 5 5=1, log 5,6 5,6 und lne=1.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts von zwei positive Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, und da durch die logarithmische Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y, dann a log a x ·a log a y =x·y. Somit ist ein log a x+log a y =x·y, woraus nach der Definition eines Logarithmus die zu beweisende Gleichheit folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts lässt sich auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as verallgemeinern log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Diese Gleichheit lässt sich problemlos beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus eines Produkts durch die Summe von drei ersetzt werden natürliche Logarithmen Zahlen 4 , e , und .

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten entspricht einer Formel der Form, wobei a>0, a≠1, x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel ist ebenso bewiesen wie die Formel für den Logarithmus eines Produkts: seit , dann per Definition eines Logarithmus.

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Schreiben wir diese Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz als Formel: log a b p =p·log a |b|, wobei a>0, a≠1, b und p Zahlen sind, so dass der Grad b p sinnvoll ist und b p > 0.

Zuerst beweisen wir, dass diese Eigenschaft positiv b ist. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p·log a b . Wir kommen also zu der Gleichung b p =a p·log a b, woraus wir durch die Definition eines Logarithmus schließen, dass log a b p =p·log a b.

Es bleibt noch, diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grades b p sein muss Über Null, V ansonsten der Logarithmus macht keinen Sinn), und in diesem Fall b p =|b| P. Dann b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, woraus log a b p =p·log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Produkt aus dem Bruch 1/n und dem Logarithmus radikaler Ausdruck, also, , wobei a>0, a≠1, n – natürliche Zahl, größer als eins, b>0 .

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt lasst uns beweisen Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis Art . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b·log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b =log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b·log c a bewiesen, was bedeutet, dass auch die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus bewiesen ist.

Lassen Sie uns einige Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise auf natürliche oder natürliche Weise umsteigen dezimale Logarithmen damit Sie den Wert des Logarithmus aus der Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel zum Wechseln zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu ermitteln, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Häufig verwendet besonderer Fall Formeln für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis mit c=b der Form . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

Die Formel wird auch häufig verwendet , was zum Finden von Logarithmuswerten praktisch ist. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie man damit den Wert eines Logarithmus der Form berechnen kann. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es reicht aus, die Formel für den Übergang zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Eigenschaften des Vergleichs von Logarithmen zu beweisen.

Beweisen wir, dass für alle positiven Zahlen b 1 und b 2, b 1 log a b 2 und für a>1 – die Ungleichung log a b 1

Abschließend bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Beschränken wir uns auf den Beweis des ersten Teils, das heißt, wir werden beweisen, dass a 1 > 1, a 2 > 1 und a 1 gilt 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Eigenschaft von Logarithmen werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

Lassen Sie uns die umgekehrte Methode verwenden. Angenommen, für a 1 >1, a 2 >1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b≤log a 2 b . Basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als Und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤log b a 2 bzw. log b a 1 ≥log b a 2. Dann müssen entsprechend den Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥b log b a 2 und b log b a 1 ≥b log b a 2 gelten, also a 1 ≥a 2 . Wir kamen also zu einem Widerspruch zur Bedingung a 1

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Für größere Werte benötigen Sie jedoch eine Leistungstabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Es ergibt sich folgender Ausdruck: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung einer Ungleichung beide Bereiche akzeptabel sind Werte und die Punkte werden durch Brechen dieser Funktion bestimmt. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die zwingende Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder auf eine allgemeine Form reduziert werden kann. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen es notwendig ist, einen großen Wert der Zahl b in einfachere Faktoren zu zerlegen. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung), sondern auch in Teil C (den komplexesten und umfangreichsten Aufgaben) enthalten. Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen sind den offiziellen Versionen des Einheitlichen Staatsexamens entnommen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

• Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
• Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Typ