Wenn eine Linie senkrecht zu zwei sich schneidenden Linien steht. Satz, wenn eine Gerade senkrecht zu zwei sich schneidenden Geraden steht. Textmitschrift der Lektion

Diese Lektion richtet sich an diejenigen, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit der Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben – linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können ist unbedingt notwendig, um nicht in der nun behandelten Thematik „steckenzubleiben“.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele nennen:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige davon mögen Ihnen komplexer erscheinen, während andere im Gegenteil zu einfach sind. Aber eines haben sie alle gemeinsam wichtiges Zeichen: Ihre Notation enthält die Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lassen Sie uns daher die Definition einführen:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d. h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Außerdem angegebene FunktionÄhnliche Gleichungen können beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten – Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Wir haben die Definition geklärt. Die Frage ist nun: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist sowohl einfach als auch komplex.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit dem Unterrichten vieler Studenten kann ich sagen, dass die meisten von ihnen Exponentialgleichungen viel einfacher finden als die gleichen Logarithmen und vor allem die Trigonometrie.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Manchmal werden die Verfasser von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ getroffen und ihr von Drogen berauschtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass ihre Lösung nicht nur für Schüler problematisch wird – sogar viele Lehrer bleiben bei solchen Problemen stecken .

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jedes davon zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, auf welche Potenz muss man die Zahl 2 erhöhen, um die Zahl 4 zu erhalten? Wahrscheinlich der zweite? Schließlich gilt $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ – und wir haben Recht numerische Gleichheit, d.h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Schauen wir uns die folgende Gleichung an:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas komplizierter. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ die Multiplikationstabelle ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition ist negative Mächte(in Analogie zur Formel $((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich erkennen nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und zu folgendem Ergebnis führen:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Aber das ist schon völlig lösbar! Links in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, rechts in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, außer ihnen gibt es nirgendwo etwas anderes. Daher können wir die Grundlagen „verwerfen“ und die Indikatoren dummerweise gleichsetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung erhalten, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „ lineare Gleichungen„Und wiederhole es. Denn ohne ein klares Verständnis dieses Themas ist es zu früh, sich mit Exponentialgleichungen auseinanderzusetzen.

\[((9)^(x))=-3\]

Wie können wir das also lösen? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, daher kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns daran, dass bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung erhalten wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn mit dem Gleichmut eines Pokémon haben wir das Minuszeichen vor die Drei in die Potenz dieser Drei gesetzt. Aber das kannst du nicht tun. Und deshalb. Schauen Sie mal rein verschiedene Grade Dreiergruppen:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bei der Zusammenstellung dieser Tafel habe ich mein Bestes gegeben, um Perversionen zu vermeiden: und positive Grade sowohl als negative als auch als gebrochene Werte betrachtet ... nun, wo ist mindestens einer? eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte(egal wie viel Sie eins multiplizieren oder durch zwei dividieren, es wird immer noch eine positive Zahl sein), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Aber auf keinen Fall: Es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen den quadratischen Gleichungen sehr ähnlich – es darf auch keine Wurzeln geben. Aber wenn in quadratische Gleichungen die Anzahl der Wurzeln wird durch die Diskriminante bestimmt (positive Diskriminante – 2 Wurzeln, negativ – keine Wurzeln), dann hängt bei Exponentialfunktionen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Lassen Sie uns also die wichtigste Schlussfolgerung formulieren: die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, das Problem zu lösen oder sofort aufzuschreiben, dass es keine Wurzeln gibt?

Dieses Wissen wird uns oft helfen, wenn wir mehr entscheiden müssen komplexe Aufgaben. Jetzt aber genug der Texte – es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Formulieren wir also das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem „naiven“ Algorithmus, den wir zuvor verwendet haben, ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn außerdem anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck vorhanden ist, erhalten wir eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90 % der Fälle. Was ist dann mit den restlichen 10 %? Die restlichen 10 % sind leicht „schizophrene“ Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nun, auf welche Potenz muss man 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? Erste? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. Zweite? Auch nein: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Welches denn?

Versierte Studierende haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es nicht möglich ist, es „schön“ zu lösen, kommt die „schwere Artillerie“ – Logarithmen – ins Spiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mit Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (außer einer) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern etwas über Logarithmen erzähle, warne ich immer: Diese Formel (auch die Hauptformel). logarithmische Identität oder, wenn Sie so wollen, die Definition eines Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und an den unerwartetsten Stellen „auftauchen“. Nun, sie ist aufgetaucht. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unser ist Originalnummer, rechts stehend, und $b=2$ ist die eigentliche Basis Exponentialfunktion, auf die wir die rechte Seite reduzieren wollen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort erhalten: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele an einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hätte? Ich beeile mich, Ihnen eine Freude zu machen: Hier liegt kein Fehler vor, und die Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind recht typische Situation. Also gewöhne dich daran. :)

Nun lösen wir die verbleibenden beiden Gleichungen analog:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir haben einen Multiplikator zum Argument des Logarithmus eingeführt. Aber niemand hält uns davon ab, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

Darüber hinaus sind alle drei Optionen richtig – es ist ganz einfach verschiedene Formen Datensätze mit der gleichen Nummer. Welche Sie in dieser Lösung auswählen und aufschreiben möchten, liegt bei Ihnen.

Somit haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ streng positiv sind. Jedoch harte Realität Unsere Welt ist so ähnlich einfache Aufgaben Sie werden sich sehr, sehr selten treffen. Meistens werden Sie auf so etwas stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Wie können wir das also lösen? Lässt sich das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen können schnell und einfach auf reduziert werden einfache Formeln worüber wir bereits nachgedacht haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebrakurs merken. Und natürlich gibt es keine Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen. Das alles erzähle ich euch jetzt. :)

Exponentialgleichungen umwandeln

Das Erste, woran man sich erinnern sollte: Jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie auch sein mag, muss auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden – diejenigen, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zur Lösung einer beliebigen Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen seltsamen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens „Gleichung umwandeln“;
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke der Form $((4)^(x))=4$ oder etwas Ähnliches. Darüber hinaus kann eine Ausgangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig ergeben.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar – sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt Papier schreiben. Auch der dritte Punkt scheint mehr oder weniger klar zu sein – wir haben oben bereits eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was für Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich Folgendes anmerken. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung besteht aus Exponentialfunktionen mit derselben Basis. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs – sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei der Lösung wird uns eine Technik wie das Hervorheben stabiler Ausdrücke helfen.

Einen stabilen Ausdruck isolieren

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier sind unterschiedlich stark angehoben. Aber all diese Grade - einfache Summen Variable $x$ mit anderen Zahlen. Daher ist es notwendig, sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen zu erinnern:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt kann die Addition in ein Potenzprodukt umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Grade aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

IN die ersten vier Die Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt noch, beide Seiten der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, d.h. im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf ihre einfachste Form reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir im Lösungsprozess entdeckt (und es sogar aus der Klammer genommen): gemeinsamer Multiplikator$((4)^(x))$ ist ein stabiler Ausdruck. Sie kann als neue Variable bezeichnet werden oder Sie können sie einfach sorgfältig ausdrücken und die Antwort erhalten. Auf jeden Fall, Schlüsselprinzip Die Lösungen lauten wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit fast jeder Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck isolieren können.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: ähnliche Ausdrücke kann ziemlich knifflig sein und ziemlich schwer zu identifizieren sein. Schauen wir uns also ein weiteres Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft?“ Hier gibt es verschiedene Basen – 5 und 0,2.“ Aber versuchen wir, die Potenz auf die Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden, indem wir ihn auf einen regulären Bruch reduzieren:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, kam die Zahl 5 immer noch vor, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator in negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eines davon die wichtigsten Regeln Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig gelogen. Denn für volles Verständnis Formel zum Loswerden negative Indikatoren hätte so geschrieben werden sollen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit Brüchen zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Aber in diesem Fall müssen Sie in der Lage sein, eine Potenz auf eine andere Potenz zu erhöhen (ich möchte Sie daran erinnern: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht „umkehren“ – vielleicht ist das für einige einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher gelöst werden kann als die zuvor betrachtete: Hier muss nicht einmal ein stabiler Ausdruck ausgewählt werden – alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich eine Technik erwähnen, die uns alle Berechnungen erheblich vereinfacht hat:

Bei Exponentialgleichungen unbedingt darauf verzichten Dezimalzahlen, wandeln Sie sie in normale um. Dadurch können Sie die gleichen Gradzahlen sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu mehr komplexe Gleichungen, in dem es verschiedene Basen gibt, die durch Grade überhaupt nicht aufeinander reduziert werden können.

Verwenden der Degrees-Eigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welcher Grundlage gegeben werden soll. Wo Ausdrücke festlegen? Wo sind die gleichen Gründe? Davon gibt es nichts.

Aber versuchen wir, einen anderen Weg zu gehen. Wenn es keine fertigen identischen Basen gibt, können Sie versuchen, diese durch Faktorisieren der vorhandenen Basen zu finden.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun – aus den Zahlen 7 und 3 die Zahl 21 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten außerhalb des Produkts genommen und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

IN in diesem Fall Es stellte sich heraus, dass die Brüche irreduzibel waren, aber wenn etwas reduziert werden konnte, reduzieren Sie es unbedingt. Oft wird es so sein interessante Gründe, mit dem Sie bereits arbeiten können.

Leider hat sich für uns nichts Besonderes ergeben. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Ich möchte Sie daran erinnern: Um das Minuszeichen im Indikator zu entfernen, müssen Sie nur den Bruch „umdrehen“. Nun, schreiben wir die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach ausgeführt allgemeiner Indikator aus dem Produkt aus Klammern nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, und in letzterem einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, es ist offensichtlich: Es handelt sich um Potenzen gleicher Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

In diesem Fall erhalten Sie rechts auch einen Grad mit der gleichen Basis, für den es genügt, den Bruch einfach „umzudrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Unsere Gleichung wird schließlich die Form annehmen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass sogar mit aus unterschiedlichen Gründen Wir versuchen mit allen Mitteln, diese Grundlagen auf das Gleiche zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Umformungen von Gleichungen und Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann sind sie anzuwenden? Wie verstehen Sie, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen die Basis der Exponentialfunktion faktorisieren müssen?

Die Antwort auf diese Frage wird mit der Erfahrung kommen. Versuchen Sie sich zunächst an einfachen Gleichungen und verkomplizieren Sie die Probleme dann nach und nach – und schon bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede beliebige Exponentialgleichung aus demselben Einheitlichen Staatsexamen oder einer unabhängigen Prüfungsarbeit zu lösen.

Und um Ihnen in dieser schwierigen Angelegenheit zu helfen, schlage ich vor, einen Satz Gleichungen herunterzuladen unabhängige Entscheidung. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst testen können.

Exponentialgleichungen. Bekanntlich - in Zusammensetzung des Einheitlichen Staatsexamens inbegriffen einfache Gleichungen. Einige haben wir bereits betrachtet – diese sind logarithmisch, trigonometrisch, rational. Hier sind die Exponentialgleichungen.

In einem kürzlich erschienenen Artikel haben wir mit Exponentialausdrücken gearbeitet, es wird nützlich sein. Die Gleichungen selbst werden einfach und schnell gelöst. Sie müssen nur die Eigenschaften von Exponenten kennen und... DarüberWeiter.

Lassen Sie uns die Eigenschaften von Exponenten auflisten:

Die Nullpotenz einer beliebigen Zahl ist gleich eins.

Eine Folgerung aus dieser Eigenschaft:

Noch ein bisschen Theorie.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält, also eine Gleichung der Form:

F(X) Ausdruck, der eine Variable enthält

Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen

1. Durch Transformationen lässt sich die Gleichung auf die Form reduzieren:

Dann wenden wir die Eigenschaft an:

2. Nach Erhalt einer Gleichung der Form ein f (X) = B Mit der Definition des Logarithmus erhalten wir:

3. Als Ergebnis von Transformationen können Sie eine Gleichung der Form erhalten:

Angewendeter Logarithmus:

Drücken Sie x aus und finden Sie es.

Bei Aufgaben Optionen für das einheitliche Staatsexamen Es reicht aus, die erste Methode zu verwenden.

Das heißt, es ist notwendig, die linke und rechte Seite in Form von Befugnissen darzustellen die gleiche Grundlage, und dann setzen wir die Exponenten gleich und lösen die übliche lineare Gleichung.

Betrachten Sie die Gleichungen:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung 4 1–2x = 64.

Es ist darauf zu achten, dass links und rechts die richtigen Teile war demonstrative Ausdrücke mit einer Basis. Wir können 64 als 4 hoch 3 darstellen. Wir erhalten:

4 1–2x = 4 3

1 – 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Untersuchung:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Antwort 1

Finden Sie die Wurzel von Gleichung 3 x–18 = 1/9.

Es ist bekannt, dass

Also 3 x-18 = 3 -2

Die Grundlagen sind gleich, wir können die Indikatoren gleichsetzen:

x – 18 = – 2

x = 16

Untersuchung:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Antwort: 16

Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Stellen wir den Bruch 1/64 als ein Viertel hoch dritter Potenz dar:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Untersuchung:

Antwort: 11

Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Stellen wir uns 1/3 als 3 –1 und 9 als 3 zum Quadrat vor, dann erhalten wir:

(3 –1) 8–2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

Jetzt können wir die Indikatoren gleichsetzen:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Untersuchung:

Antwort: 5

26654. Finden Sie die Wurzel der Gleichung:

Lösung:

Antwort: 8,75

Tatsächlich können wir keine negative Zahl erhalten, ganz gleich, wie stark wir eine positive Zahl a potenzieren.

Jede Exponentialgleichung reduziert sich nach entsprechenden Transformationen auf die Lösung einer oder mehrerer einfacher Gleichungen.In diesem Abschnitt werden wir uns auch mit der Lösung einiger Gleichungen befassen, das sollten Sie sich nicht entgehen lassen!Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Exponentialgleichungen sind solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten enthalten ist. Die einfachste Exponentialgleichung hat die Form: a x = a b, wobei a > 0, a 1, x unbekannt ist.

Die Haupteigenschaften von Potenzen, mit denen Exponentialgleichungen transformiert werden: a>0, b>0.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen verwenden sie auch die folgenden Eigenschaften Exponentialfunktion: y = a x, a > 0, a1:

Um eine Zahl als Potenz darzustellen, verwenden Sie die grundlegende logarithmische Identität: b = , a > 0, a1, b > 0.

Aufgaben und Tests zum Thema „Exponentialgleichungen“

• Exponentialgleichungen

  Lektionen: 4 Aufgaben: 21 Tests: 1

• Exponentialgleichungen - Wichtige Themen zur Wiederholung des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik

  Aufgaben: 14

• Systeme exponentieller und logarithmischer Gleichungen - Demonstrativ und logarithmische Funktionen Klasse 11

  Lektionen: 1 Aufgaben: 15 Tests: 1

• §2.1. Exponentialgleichungen lösen

  Lektionen: 1 Aufgaben: 27

• §7 Exponentielle und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen - Abschnitt 5. Exponentielle und logarithmische Funktionen, Klasse 10

  Lektionen: 1 Aufgaben: 17

Für erfolgreiche Lösung Exponentialgleichungen Sie müssen die grundlegenden Eigenschaften von Potenzen, Eigenschaften der Exponentialfunktion und die grundlegende logarithmische Identität kennen.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen werden im Wesentlichen zwei Methoden verwendet:

1. Übergang von der Gleichung a f(x) = a g(x) zur Gleichung f(x) = g(x);
2. Einführung neuer Linien.

Beispiele.

1. Gleichungen auf das Einfachste reduziert. Sie werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung auf eine Potenz mit derselben Basis reduziert werden.

3 x = 9 x – 2.

Lösung:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Antwort: 4.

2. Gleichungen, die durch Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern gelöst werden.

Lösung:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Antwort: 3.

3. Gleichungen, die durch eine Variablenänderung gelöst werden.

Lösung:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Wir bezeichnen 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Die Gleichung hat keine Lösungen, weil 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Antwort: Protokoll 2 3.

4. Gleichungen, die Potenzen mit zwei verschiedenen (nicht aufeinander reduzierbaren) Basen enthalten.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Antwort: 2.

5. Gleichungen, die bezüglich a x und b x homogen sind.

Generelle Form: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Lösung:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Bezeichnen wir (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Antwort: log 3/2 2; - Protokoll 3/2 2.

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. Potenz- oder Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variablen in Potenzen vorliegen und die Basis eine Zahl ist. Zum Beispiel:

Die Lösung der Exponentialgleichung reduziert sich ganz auf 2 einfache Aktionen:

1. Sie müssen prüfen, ob die Grundlagen der Gleichung rechts und links gleich sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen.

2. Nachdem die Basen gleich geworden sind, setzen wir die Grade gleich und lösen die resultierende neue Gleichung.

Angenommen, wir erhalten eine Exponentialgleichung folgender Typ:

Lösung starten gegebene Gleichung Kosten aus der Analyse der Basis. Die Basen sind unterschiedlich – 2 und 4, aber zum Lösen müssen sie gleich sein, also transformieren wir 4 mit der folgenden Formel –\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Wir ergänzen die ursprüngliche Gleichung:

Nehmen wir es aus Klammern \

Lassen Sie uns \ ausdrücken

Da die Grade gleich sind, verwerfen wir sie:

Antwort: \

Wo kann ich eine Exponentialgleichung mit einem Online-Löser lösen?

Sie können die Gleichung auf unserer Website https://site lösen. Mit dem kostenlosen Online-Löser können Sie Online-Gleichungen beliebiger Komplexität in Sekundenschnelle lösen. Sie müssen lediglich Ihre Daten in den Solver eingeben. Auf unserer Website können Sie sich auch Videoanleitungen ansehen und erfahren, wie Sie die Gleichung lösen. Und wenn Sie noch Fragen haben, können Sie diese in unserer VKontakte-Gruppe http://vk.com/pocketteacher stellen. Treten Sie unserer Gruppe bei, wir helfen Ihnen gerne weiter.