Zerlegen Sie die Gleichung. Gleichungen. Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Lassen Sie uns zwei Arten von Lösungen für Gleichungssysteme analysieren:

1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, da der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, ersetzen wir y im ersten Punkt, an dem wir es ausgedrückt haben.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Auf dieser Grundlage für die Gleichungen verwenden verschiedene Methoden und Theoreme zur Lösungsfindung. Gleichungen lösen dieser Art bedeutet, die erforderlichen Wurzeln in allgemeiner Form zu finden. Mit unserem Service können Sie selbst die komplexesten algebraischen Gleichungen online lösen. Sie können sowohl eine allgemeine Lösung der Gleichung als auch eine bestimmte Lösung für die von Ihnen angegebenen Gleichungen erhalten Zahlenwerte Koeffizienten Um eine algebraische Gleichung auf der Website zu lösen, reicht es aus, nur zwei Felder korrekt auszufüllen: die linke und die rechte Seite für gegebene Gleichung. U algebraische Gleichungen mit variablen Koeffizienten eine unendliche Anzahl von Lösungen und durch Angabe bestimmte Bedingungen, private werden aus einer Reihe von Lösungen ausgewählt. Quadratische Gleichung. Die quadratische Gleichung hat die Form ax^2+bx+c=0 für a>0. Gleichungen lösen quadratischer Look impliziert, die Werte von x zu finden, bei denen die Gleichheit ax^2+bx+c=0 gilt. Ermitteln Sie dazu den Diskriminanzwert mithilfe der Formel D=b^2-4ac. Wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann hat die Gleichung Nein echte Wurzeln(Die Wurzeln sind vom Feld komplexe Zahlen), Wenn gleich Null, dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel und wenn die Diskriminante Über Null, dann hat die Gleichung zwei echte Wurzeln, die durch die Formel gefunden werden: D= -b+-sqrt/2a. Um eine quadratische Gleichung online zu lösen, müssen Sie lediglich die Koeffizienten der Gleichung (Ganzzahlen, Brüche oder Dezimalzahlen) eingeben. Wenn eine Gleichung Subtraktionszeichen enthält, müssen Sie den entsprechenden Termen der Gleichung ein Minuszeichen voranstellen. Entscheiden quadratische Gleichung online und abhängig vom Parameter, also den Variablen in den Koeffizienten der Gleichung. Unser Online-Service zum Finden allgemeine Lösungen. Lineare Gleichungen. Für Lösungen lineare Gleichungen(oder Gleichungssysteme) gibt es in der Praxis hauptsächlich vier Methoden. Wir werden jede Methode im Detail beschreiben. Substitutionsmethode. Um Gleichungen mit der Substitutionsmethode zu lösen, muss eine Variable durch die anderen ausgedrückt werden. Danach wird der Ausdruck in andere Gleichungen des Systems eingesetzt. Daher der Name der Lösungsmethode, d. h. anstelle einer Variablen wird deren Ausdruck durch die übrigen Variablen ersetzt. In der Praxis erfordert die Methode komplexe Berechnungen Obwohl es leicht zu verstehen ist, hilft die Online-Lösung einer solchen Gleichung, Zeit zu sparen und die Berechnungen zu vereinfachen. Sie müssen lediglich die Anzahl der Unbekannten in der Gleichung angeben und die Daten aus den linearen Gleichungen eingeben, dann führt der Dienst die Berechnung durch. Gauß-Methode. Die Methode basiert auf einfachsten Transformationen des Systems, um zu einem äquivalenten System zu gelangen dreieckiges Aussehen. Daraus werden die Unbekannten einzeln bestimmt. In der Praxis ist es erforderlich, eine solche Gleichung online mit zu lösen detaillierte Beschreibung, dank dessen Sie die Gaußsche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme gut verstehen. Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem im richtigen Format auf und berücksichtigen Sie die Anzahl der Unbekannten, um das System genau zu lösen. Cramers Methode. Diese Methode löst Gleichungssysteme in Fällen, in denen das System einzige Entscheidung. Hauptsächlich mathematische Operation Hier ist die Berechnung der Matrixdeterminanten. Das Lösen von Gleichungen nach der Cramer-Methode erfolgt online, Sie erhalten sofort das Ergebnis mit einer vollständigen und detaillierten Beschreibung. Es genügt, das System mit Koeffizienten zu füllen und die Anzahl der unbekannten Variablen auszuwählen. Matrix-Methode. Diese Methode besteht aus dem Sammeln der Koeffizienten der Unbekannten in Matrix A, der Unbekannten in Spalte X und der freien Terme in Spalte B. Somit wird das System linearer Gleichungen auf reduziert Matrixgleichung Geben Sie AxX=B ein. Diese Gleichung hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A von Null verschieden ist, andernfalls hat das System keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen. Gleichungen lösen Matrixmethode ist zu finden inverse Matrix A.

Anweisungen

Substitutionsmethode: Drücken Sie eine Variable aus und ersetzen Sie sie in eine andere Gleichung. Sie können jede Variable nach Ihrem Ermessen ausdrücken. Drücken Sie beispielsweise y aus der zweiten Gleichung aus:
x-y=2 => y=x-2Dann setze alles in die erste Gleichung ein:
2x+(x-2)=10 Verschiebe alles ohne „x“ nach rechte Seite und berechne:
2x+x=10+2
3x=12 Als nächstes teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3, um x zu erhalten:
x=4. Sie haben also „x. Finden Sie „y. Ersetzen Sie dazu „x“ in der Gleichung, aus der Sie „y“ ausgedrückt haben:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Führen Sie eine Überprüfung durch. Setzen Sie dazu die resultierenden Werte in die Gleichungen ein:
2*4+2=10
4-2=2
Die Unbekannten wurden korrekt gefunden!

Eine Möglichkeit, Gleichungen zu addieren oder zu subtrahieren. Entfernen Sie alle Variablen sofort. In unserem Fall geht das einfacher mit „y“.
Da in „y“ ein „+“-Zeichen und im zweiten ein „-“ steht, können Sie die Additionsoperation durchführen, d.h. Falten Sie die linke Seite mit der linken und die rechte mit der rechten Seite:
2x+y+(x-y)=10+2Umrechnen:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Setzen Sie „x“ in eine beliebige Gleichung ein und finden Sie „y“:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Mit der 1. Methode können Sie sehen, dass sie korrekt gefunden wurden.

Liegen keine klar definierten Variablen vor, ist eine geringfügige Umformung der Gleichungen erforderlich.
In der ersten Gleichung haben wir „2x“ und in der zweiten einfach „x“. Damit x bei der Addition reduziert wird, multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 2:
x-y=2
2x-2y=4Dann subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Beachten Sie, dass wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht, dieses nach dem Öffnen in das Gegenteil geändert wird:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
Finden Sie y=2x, indem Sie es aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, d. h.
x=4

Video zum Thema

Tipp 2: So lösen Sie eine lineare Gleichung in zwei Variablen

Die gleichung, geschrieben in der allgemeinen Form ax+bó+c=0, heißt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Diese Gleichung selbst enthält unendliche Menge Lösungen, daher wird es bei Problemen immer durch etwas ergänzt - eine andere Gleichung oder Randbedingungen. Lösen Sie abhängig von den Bedingungen des Problems eine lineare Gleichung mit zwei Variablen sollen verschiedene Wege.

Du wirst brauchen

• - lineare Gleichung mit zwei Variablen;
• - zweite Gleichung oder zusätzliche Bedingungen.

Anweisungen

Lösen Sie ein gegebenes System aus zwei linearen Gleichungen wie folgt. Wählen Sie eine der Gleichungen aus, in der die Koeffizienten enthalten sind Variablen kleiner und drücken Sie eine der Variablen aus, zum Beispiel x. Setzen Sie dann diesen Wert, der y enthält, in die zweite Gleichung ein. In der resultierenden Gleichung gibt es nur eine Variable y. Verschieben Sie alle Teile mit y nach links und die freien Teile nach rechts. Finden Sie y und setzen Sie es in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um x zu finden.

Es gibt eine andere Möglichkeit, ein System aus zwei Gleichungen zu lösen. Multiplizieren Sie eine der Gleichungen mit einer Zahl, sodass der Koeffizient einer der Variablen, beispielsweise x, in beiden Gleichungen gleich ist. Subtrahieren Sie dann eine der Gleichungen von der anderen (wenn die rechte Seite nicht gleich 0 ist, denken Sie daran, die rechten Seiten auf die gleiche Weise zu subtrahieren). Sie werden sehen, dass die x-Variable verschwunden ist und nur noch eine y-Variable übrig ist. Lösen Sie die resultierende Gleichung und setzen Sie den gefundenen Wert von y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Finden Sie x.

Die dritte Möglichkeit, ein System aus zwei linearen Gleichungen zu lösen, ist grafisch. Zeichnen Sie ein Koordinatensystem und zeichnen Sie zwei Geraden grafisch auf, deren Gleichungen in Ihrem System angegeben sind. Setzen Sie dazu zwei beliebige x-Werte in die Gleichung ein und ermitteln Sie das entsprechende y – dies sind die Koordinaten der zur Geraden gehörenden Punkte. Der bequemste Weg, den Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen zu finden, besteht darin, einfach die Werte x=0 und y=0 zu ersetzen. Die Koordinaten des Schnittpunkts dieser beiden Linien werden die Aufgaben sein.

Wenn es in den Problembedingungen nur eine lineare Gleichung gibt, dann wurden Ihnen zusätzliche Bedingungen gegeben, durch die Sie eine Lösung finden können. Lesen Sie das Problem sorgfältig durch, um diese Bedingungen zu finden. Wenn Variablen x und y geben Distanz, Geschwindigkeit, Gewicht an – Sie können den Grenzwert gerne x≥0 und y≥0 festlegen. Es ist durchaus möglich, dass x oder y die Anzahl der Äpfel usw. verbirgt. – dann können die Werte nur sein. Wenn x das Alter des Sohnes ist, ist es klar, dass er nicht älter als sein Vater sein kann, also geben Sie dies in den Bedingungen der Aufgabe an.

Quellen:

• wie man eine Gleichung mit einer Variablen löst

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisungen

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie durch diese zu ersetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel ist es in diesem Fall, es wieder in den Normalzustand zu versetzen Die gleichung mit einer unbekannten Person. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine Variable oder eine Variable so zu multiplizieren, dass zwei Unbekannte gleichzeitig gelöscht werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie höchstwahrscheinlich; die spätere Lösung wird nicht schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Ebenso müssen Sie beim Subtrahieren von Gleichungen bedenken, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn die vorherigen Methoden nicht geholfen haben, verwenden Sie im Allgemeinen Lösungen für beliebige Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten für x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Variablen (B). Bitte beachten Sie, dass Sie durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix freier Terme erhalten, d. h. A*X=B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), indem Sie zunächst finden. Beachten Sie, dass sie nicht gleich Null sein sollte. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X mit Angabe aller Werte.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen für Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein Gleichungssystem zu lösen ist herausfordernd und spannend. Wie komplexeres System, desto interessanter ist es, es zu lösen. Am häufigsten in Mathematik weiterführende Schule Es gibt Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, aber in höhere Mathematik Möglicherweise gibt es weitere Variablen. Systeme können mit mehreren Methoden gelöst werden.

Anweisungen

Die gebräuchlichste Methode zur Lösung eines Gleichungssystems ist die Substitution. Dazu müssen Sie eine Variable durch eine andere ausdrücken und sie durch die zweite ersetzen Die gleichung Systeme, also führend Die gleichung auf eine Variable. Zum Beispiel anhand der folgenden Gleichungen: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ausgehend vom zweiten Ausdruck ist es praktisch, eine der Variablen auszudrücken, alles andere auf die rechte Seite des Ausdrucks zu verschieben und nicht zu vergessen, das Vorzeichen des Koeffizienten zu ändern: x = 3-y.

Öffnen Sie die Klammern: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Wir setzen den resultierenden Wert y in den Ausdruck ein: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Im ersten Ausdruck sind alle Terme 2, Sie können 2 aus Klammern setzen Verteilungseigenschaft Multiplikation: 2*(2x-y-3)=0. Nun können beide Teile des Ausdrucks um diese Zahl reduziert und dann als y ausgedrückt werden, da der Modulkoeffizient dafür gleich eins ist: -y = 3-2x oder y = 2x-3.

Genau wie im ersten Fall ersetzen wir dieser Ausdruck in dieser Sekunde Die gleichung und wir erhalten: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Setzen Sie den resultierenden Wert in den Ausdruck ein: y=2x -3;y=4-3=1.

Wir sehen, dass der Koeffizient für y den gleichen Wert, aber ein unterschiedliches Vorzeichen hat. Wenn wir also diese Gleichungen hinzufügen, werden wir y vollständig los: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2. Setzen Sie den Wert von x in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und erhalten Sie y=1.

Video zum Thema

Biquadratisch Die gleichung repräsentiert Die gleichung vierter Grad, generelle Form Dies wird durch den Ausdruck ax^4 + bx^2 + c = 0 dargestellt. Seine Lösung basiert auf der Verwendung der Methode der Substitution von Unbekannten. IN in diesem Fall x^2 wird durch eine andere Variable ersetzt. Das Ergebnis ist also ein gewöhnliches Quadrat Die gleichung, das gelöst werden muss.

Anweisungen

Lösen Sie die quadratische Gleichung Die gleichung, resultierend aus der Ersetzung. Berechnen Sie dazu zunächst den Wert nach der Formel: D = b^2? 4ac. In diesem Fall sind die Variablen a, b, c die Koeffizienten unserer Gleichung.

Finden Sie die Wurzeln biquadratische Gleichung. Ziehen Sie dazu die Quadratwurzel aus den erhaltenen Lösungen. Wenn es eine Lösung gab, dann wird es zwei geben – positiv und negative Bedeutung Quadratwurzel. Gäbe es zwei Lösungen, hätte die biquadratische Gleichung vier Wurzeln.

Video zum Thema

Einer von klassische Methoden Das Lösen linearer Gleichungssysteme ist die Gauß-Methode. Es besteht in der sequentiellen Eliminierung von Variablen bei der Verwendung eines Gleichungssystems einfache Transformationen wird in ein schrittweises System übersetzt, aus dem alle Variablen nacheinander gefunden werden, beginnend mit der letzten.

Anweisungen

Bringen Sie zunächst das Gleichungssystem in eine Form, in der alle Unbekannten in strenger Reihenfolge vorliegen. in einer bestimmten Reihenfolge. Beispielsweise erscheinen alle unbekannten X-Zeichen zuerst in jeder Zeile, alle Y-Zeichen folgen nach den X-Zeichen, alle Z-Zeichen folgen nach den Y-Zeichen und so weiter. Auf der rechten Seite jeder Gleichung sollten keine Unbekannten vorhanden sein. Bestimmen Sie im Geiste die Koeffizienten vor jeder Unbekannten sowie die Koeffizienten auf der rechten Seite jeder Gleichung.

In diesem Video analysieren wir eine ganze Reihe linearer Gleichungen, die mit demselben Algorithmus gelöst werden – deshalb werden sie als die einfachsten bezeichnet.

Definieren wir zunächst: Was ist eine lineare Gleichung und welche wird als die einfachste bezeichnet?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der es nur eine Variable gibt, und zwar nur im ersten Grad.

Die einfachste Gleichung bedeutet die Konstruktion:

Alle anderen linearen Gleichungen werden mit dem Algorithmus auf die einfachste reduziert:

1. Erweitern Sie ggf. Klammern.
2. Verschieben Sie Begriffe, die eine Variable enthalten, auf eine Seite des Gleichheitszeichens und Begriffe ohne Variable auf die andere.
3. Führen ähnliche Begriffe links und rechts vom Gleichheitszeichen;
4. Teilen Sie die resultierende Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen $x$.

Natürlich hilft dieser Algorithmus nicht immer. Tatsache ist, dass sich nach all diesen Machenschaften manchmal herausstellt, dass der Koeffizient der Variablen $x$ gleich Null ist. In diesem Fall sind zwei Optionen möglich:

1. Die Gleichung hat überhaupt keine Lösungen. Wenn zum Beispiel so etwas wie $0\cdot x=8$ herauskommt, d.h. links ist Null und rechts ist eine Zahl ungleich Null. Im folgenden Video werden wir uns mehrere Gründe ansehen, warum diese Situation möglich ist.
2. Die Lösung sind alle Zahlen. Dies ist nur dann möglich, wenn die Gleichung auf die Konstruktion $0\cdot x=0$ reduziert wurde. Es ist ganz logisch, dass, egal welches $x$ wir ersetzen, immer noch herauskommt: „Null ist gleich Null“, d. h. Korrekte numerische Gleichheit.

Sehen wir uns nun anhand von Beispielen aus der Praxis an, wie das alles funktioniert.

Beispiele zum Lösen von Gleichungen

Heute haben wir es mit linearen Gleichungen zu tun, und zwar nur mit den einfachsten. Im Allgemeinen bedeutet eine lineare Gleichung jede Gleichheit, die genau eine Variable enthält und nur bis zum ersten Grad reicht.

Solche Konstruktionen werden ungefähr auf die gleiche Weise gelöst:

1. Zunächst müssen Sie ggf. die Klammern öffnen (wie in unserem letztes Beispiel);
2. Dann bringen Sie ähnliches mit
3. Isolieren Sie abschließend die Variable, d. h. Bewegen Sie alles, was mit der Variablen zusammenhängt – die Begriffe, in denen sie enthalten ist – auf eine Seite und alles, was ohne sie übrig bleibt, auf die andere Seite.

Dann müssen Sie in der Regel auf jeder Seite der resultierenden Gleichheit ähnliche Werte angeben, und danach müssen Sie nur noch durch den Koeffizienten von „x“ dividieren, und wir erhalten das endgültige Ergebnis.

In der Theorie sieht das schön und einfach aus, aber in der Praxis können selbst erfahrene Oberstufenschüler bei relativ einfachen linearen Gleichungen beleidigende Fehler machen. Typischerweise werden entweder beim Öffnen von Klammern oder bei der Berechnung der „Pluspunkte“ und „Minuspunkte“ Fehler gemacht.

Darüber hinaus kommt es vor, dass eine lineare Gleichung überhaupt keine Lösungen hat oder dass die Lösung der gesamte Zahlenstrahl ist, d. h. irgendeine Nummer. Wir werden uns diese Feinheiten in der heutigen Lektion ansehen. Aber wir beginnen, wie Sie bereits verstanden haben, mit dem Ganzen einfache Aufgaben.

Schema zur Lösung einfacher linearer Gleichungen

Lassen Sie mich zunächst noch einmal das gesamte Schema zur Lösung der einfachsten linearen Gleichungen schreiben:

1. Erweitern Sie ggf. die Klammern.
2. Wir isolieren die Variablen, d.h. Wir verschieben alles, was „X“ enthält, auf eine Seite und alles ohne „X“ auf die andere.
3. Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
4. Wir dividieren alles durch den Koeffizienten „x“.

Natürlich funktioniert dieses Schema nicht immer; es gibt bestimmte Feinheiten und Tricks, und jetzt werden wir sie kennenlernen.

Lösen realer Beispiele einfacher linearer Gleichungen

Aufgabe Nr. 1

Im ersten Schritt müssen wir die Klammern öffnen. Da sie in diesem Beispiel nicht vorhanden sind, überspringen wir sie diese Phase. Im zweiten Schritt müssen wir die Variablen isolieren. Beachten Sie: wir reden über nur über einzelne Begriffe. Schreiben wir es auf:

Wir präsentieren links und rechts ähnliche Begriffe, dies wurde hier jedoch bereits getan. Daher gehen wir zum vierten Schritt über: Division durch den Koeffizienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Also haben wir die Antwort bekommen.

Aufgabe Nr. 2

Wir können die Klammern in diesem Problem sehen, also erweitern wir sie:

Sowohl links als auch rechts sehen wir ungefähr das gleiche Design, aber wir handeln nach dem Algorithmus, d.h. Trennen der Variablen:

Hier sind einige ähnliche:

An welchen Wurzeln funktioniert das? Antwort: für jeden. Daher können wir schreiben, dass $x$ eine beliebige Zahl ist.

Aufgabe Nr. 3

Interessanter ist die dritte lineare Gleichung:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Es gibt mehrere Klammern, aber sie werden nicht mit irgendetwas multipliziert, ihnen wird einfach ein vorangestellt verschiedene Zeichen. Lassen Sie uns sie aufschlüsseln:

Wir führen den uns bereits bekannten zweiten Schritt durch:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lassen Sie uns rechnen:

Wir führen den letzten Schritt aus – dividieren Sie alles durch den Koeffizienten „x“:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dinge, die Sie beim Lösen linearer Gleichungen beachten sollten

Wenn wir allzu einfache Aufgaben außer Acht lassen, möchte ich Folgendes sagen:

• Wie ich oben sagte, hat nicht jede lineare Gleichung eine Lösung – manchmal gibt es einfach keine Wurzeln;
• Selbst wenn es Wurzeln gibt, kann es sein, dass es null darunter gibt – daran ist nichts auszusetzen.

Null ist die gleiche Zahl wie die anderen; Sie sollten sie in keiner Weise diskriminieren oder davon ausgehen, dass Sie etwas falsch gemacht haben, wenn Sie Null erhalten.

Eine weitere Funktion betrifft das Öffnen von Klammern. Bitte beachten Sie: Wenn davor ein „Minus“ steht, entfernen wir es, aber in Klammern ändern wir die Vorzeichen in Gegenteil. Und dann können wir es mit Standardalgorithmen öffnen: Wir erhalten das, was wir in den obigen Berechnungen gesehen haben.

Das verstehen einfache Tatsache wird es Ihnen ermöglichen, dumme und beleidigende Fehler in der High School zu vermeiden, wenn solche Handlungen als selbstverständlich angesehen werden.

Komplexe lineare Gleichungen lösen

Kommen wir zu mehr komplexe Gleichungen. Jetzt werden die Entwürfe bei der Ausführung komplexer verschiedene Transformationen Es entsteht eine quadratische Funktion. Wir sollten jedoch keine Angst davor haben, denn wenn wir nach dem Plan des Autors eine lineare Gleichung lösen, werden sich während des Transformationsprozesses alle Monome, die eine quadratische Funktion enthalten, mit Sicherheit aufheben.

Beispiel Nr. 1

Der erste Schritt besteht natürlich darin, die Klammern zu öffnen. Gehen wir dabei ganz vorsichtig vor:

Werfen wir nun einen Blick auf den Datenschutz:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen, daher schreiben wir Folgendes in die Antwort:

\[\varnothing\]

oder es gibt keine Wurzeln.

Beispiel Nr. 2

Wir führen die gleichen Aktionen aus. Erster Schritt:

Verschieben wir alles mit einer Variablen nach links und ohne sie nach rechts:

Hier sind einige ähnliche:

Offensichtlich hat diese lineare Gleichung keine Lösung, deshalb schreiben wir sie so:

\[\varnothing\],

oder es gibt keine Wurzeln.

Nuancen der Lösung

Beide Gleichungen sind vollständig gelöst. Am Beispiel dieser beiden Ausdrücke waren wir erneut davon überzeugt, dass selbst in den einfachsten linearen Gleichungen möglicherweise nicht alles so einfach ist: Es kann entweder eine oder keine oder unendlich viele Wurzeln geben. In unserem Fall haben wir zwei Gleichungen betrachtet, die beide einfach keine Wurzeln haben.

Aber ich möchte Ihre Aufmerksamkeit auf eine andere Tatsache lenken: wie man mit Klammern umgeht und wie man sie öffnet, wenn ein Minuszeichen davor steht. Betrachten Sie diesen Ausdruck:

Vor dem Öffnen müssen Sie alles mit „X“ multiplizieren. Bitte beachten: multipliziert jeder einzelne Begriff. Darin befinden sich zwei Terme – bzw. zwei Terme und multipliziert.

Und erst nachdem diese scheinbar elementaren, aber sehr wichtigen und gefährlichen Transformationen abgeschlossen sind, können Sie die Klammer unter dem Gesichtspunkt öffnen, dass dahinter ein Minuszeichen steht. Ja, ja: Erst jetzt, wenn die Transformationen abgeschlossen sind, erinnern wir uns daran, dass vor den Klammern ein Minuszeichen steht, was bedeutet, dass alles darunter einfach das Vorzeichen wechselt. Gleichzeitig verschwinden die Klammern selbst und vor allem auch das vordere „Minus“.

Das Gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung:

Es ist kein Zufall, dass ich auf diese kleinen, scheinbar unbedeutenden Tatsachen achte. Denn das Lösen von Gleichungen ist immer eine Abfolge elementarer Transformationen, bei denen es nicht möglich ist, sie klar und kompetent durchzuführen einfache Schritte führt dazu, dass Gymnasiasten zu mir kommen und wieder lernen, solche einfachen Gleichungen zu lösen.

Natürlich wird der Tag kommen, an dem Sie diese Fähigkeiten bis zur Automatisierung verfeinern werden. Sie müssen nicht mehr jedes Mal so viele Transformationen durchführen; Sie schreiben alles in eine Zeile. Aber während Sie gerade erst lernen, müssen Sie jede Aktion separat schreiben.

Lösen noch komplexerer linearer Gleichungen

Was wir jetzt lösen werden, kann kaum als einfachste Aufgabe bezeichnet werden, aber die Bedeutung bleibt dieselbe.

Aufgabe Nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Lassen Sie uns alle Elemente im ersten Teil multiplizieren:

Lassen Sie uns etwas Privatsphäre schaffen:

Hier sind einige ähnliche:

Lassen Sie uns den letzten Schritt abschließen:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier ist unsere endgültige Antwort. Und trotz der Tatsache, dass wir im Lösungsprozess Koeffizienten mit einer quadratischen Funktion hatten, löschten sie sich gegenseitig aus, was die Gleichung linear und nicht quadratisch machte.

Aufgabe Nr. 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Führen wir den ersten Schritt sorgfältig aus: Multiplizieren Sie jedes Element aus der ersten Klammer mit jedem Element aus der zweiten. Nach den Transformationen soll es insgesamt vier neue Begriffe geben:

Lassen Sie uns nun die Multiplikation in jedem Term sorgfältig durchführen:

Verschieben wir die Begriffe mit „X“ nach links und die ohne „X“ nach rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier sind ähnliche Begriffe:

Wieder einmal haben wir die endgültige Antwort erhalten.

Nuancen der Lösung

Der wichtigste Hinweis zu diesen beiden Gleichungen ist, dass wir mit der Multiplikation von Klammern beginnen, die mehr als einen Term enthalten nächste Regel: Wir nehmen den ersten Term vom ersten und multiplizieren ihn mit jedem Element vom zweiten; dann nehmen wir das zweite Element vom ersten und multiplizieren auf ähnliche Weise mit jedem Element vom zweiten. Infolgedessen werden wir vier Amtszeiten haben.

Über die algebraische Summe

Mit diesem letzten Beispiel möchte ich die Schüler daran erinnern, was algebraische Summe. In der klassischen Mathematik meinen wir mit 1-7$ einfaches Design: subtrahiere sieben von eins. In der Algebra meinen wir damit Folgendes: Zur Zahl „eins“ addieren wir eine weitere Zahl, nämlich „minus sieben“. Darin unterscheidet sich eine algebraische Summe von einer gewöhnlichen arithmetischen Summe.

Sobald Sie bei der Durchführung aller Transformationen, jeder Addition und Multiplikation ähnliche Konstruktionen wie die oben beschriebenen sehen, werden Sie bei der Arbeit mit Polynomen und Gleichungen in der Algebra einfach keine Probleme mehr haben.

Schauen wir uns abschließend noch ein paar weitere Beispiele an, die noch komplexer sein werden als die, die wir gerade betrachtet haben. Um sie zu lösen, müssen wir unseren Standardalgorithmus leicht erweitern.

Gleichungen mit Brüchen lösen

Für Lösungen ähnliche Aufgaben Wir müssen unserem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen. Aber zunächst möchte ich Sie an unseren Algorithmus erinnern:

1. Öffne die Klammern.
2. Separate Variablen.
3. Bringen Sie ähnliche mit.
4. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Leider erweist sich dieser wunderbare Algorithmus trotz seiner Wirksamkeit als nicht ganz geeignet, wenn wir Brüche vor uns haben. Und in dem, was wir weiter unten sehen werden, haben wir in beiden Gleichungen sowohl links als auch rechts einen Bruch.

Wie geht man in diesem Fall vor? Ja, es ist ganz einfach! Dazu müssen Sie dem Algorithmus einen weiteren Schritt hinzufügen, der sowohl vor als auch nach der ersten Aktion durchgeführt werden kann, nämlich das Entfernen von Brüchen. Der Algorithmus sieht also wie folgt aus:

1. Beseitigen Sie Brüche.
2. Öffne die Klammern.
3. Separate Variablen.
4. Bringen Sie ähnliche mit.
5. Teilen Sie durch das Verhältnis.

Was bedeutet es, „Brüche loszuwerden“? Und warum kann dies sowohl nach als auch vor dem ersten Standardschritt erfolgen? Tatsächlich sind in unserem Fall alle Brüche im Nenner numerisch, d.h. Überall ist der Nenner nur eine Zahl. Wenn wir also beide Seiten der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren, werden wir Brüche los.

Beispiel Nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Lassen Sie uns die Brüche in dieser Gleichung loswerden:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bitte beachten Sie: Alles wird einmal mit „vier“ multipliziert, d. h. Nur weil Sie zwei Klammern haben, heißt das nicht, dass Sie jede mit „vier“ multiplizieren müssen. Lass uns schreiben:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Lassen Sie uns nun erweitern:

Wir schließen die Variable ab:

Wir führen die Reduktion ähnlicher Begriffe durch:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Wir bekamen endgültige Entscheidung, fahren wir mit der zweiten Gleichung fort.

Beispiel Nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier führen wir alle gleichen Aktionen aus:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Das Problem ist behoben.

Das ist eigentlich alles, was ich Ihnen heute sagen wollte.

Wichtige Punkte

Die wichtigsten Erkenntnisse sind:

• Kennen Sie den Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen.
• Möglichkeit, Klammern zu öffnen.
• Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es sehen quadratische Funktionen Höchstwahrscheinlich werden sie im Zuge weiterer Transformationen abnehmen.
• Es gibt drei Arten von Wurzeln in linearen Gleichungen, selbst in den einfachsten: eine einzelne Wurzel, die gesamte Zahlenlinie ist eine Wurzel und überhaupt keine Wurzeln.

Ich hoffe, dass diese Lektion Ihnen dabei hilft, ein einfaches, aber sehr wichtiges Thema für ein besseres Verständnis der gesamten Mathematik zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, gehen Sie auf die Website und lösen Sie die dort vorgestellten Beispiele. Bleiben Sie dran, es erwarten Sie noch viele weitere interessante Dinge!

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe sind Sie am meisten auf klare Weise du kannst lernen.
Beispielsweise müssen Sie die einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine Gleichung dieser Art heißt linear, weil Der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite entfällt.

Zum Beispiel, wie man es löst Bruchgleichung:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Seiten mit 5. Wir erhalten:
x+20=45
x=45-20=25

Ein weiteres Beispiel, wenn das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art heißen fraktional-rational oder einfach fraktional.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche entfernen, woraufhin sich diese Gleichung meist in eine lineare oder quadratische Gleichung verwandelt, die gelöst werden kann in gewohnter Weise. Sie müssen lediglich die folgenden Punkte berücksichtigen:

• der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 dreht, kann keine Wurzel sein;
• Sie können eine Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier kommt der Flächenbegriff zum Tragen akzeptable Werte(ODZ) sind solche Werte der Wurzeln der Gleichung, für die die Gleichung einen Sinn ergibt.

Daher ist es beim Lösen der Gleichung notwendig, die Wurzeln zu finden und diese dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserer ODZ entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Beispielsweise müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Aufgrund der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d. h. ODZ in diesem Fall: x – jeder Wert ungleich Null.

Wir entfernen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und wir lösen die übliche Gleichung

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Antwort: x = 1/3

Lösen wir eine kompliziertere Gleichung:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles auf eine Seite schieben und die Brüche auf reduzieren gemeinsamer Nenner. Wir werden sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck multiplizieren, der alle Nenner auf einmal eliminiert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x+2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Das bedeutet, dass beide Seiten der Gleichung mit 2(x+2) multipliziert werden müssen:

Genau das gewöhnliche Multiplikation Brüche, die wir oben bereits besprochen haben

Schreiben wir die gleiche Gleichung, aber etwas anders

Die linke Seite wird um (x+2) reduziert, die rechte um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x = 4 – 2 = 2, was unserer ODZ entspricht

Antwort: x = 2.

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abmelden.