Ermitteln Sie die Gesamtfläche der offenen rechteckigen Box. Extreme Probleme mit Derivaten

Extreme Probleme mit Derivaten

Ganz richtig, manchmal sind solche Aufgaben wirklich atemberaubend. Heute werden wir in der Lektion eine weitere wichtige Anwendung analysieren. Derivat, das am meisten hat angewandter Wert! Wir werden über Probleme mit einer bestimmten geometrischen, physikalischen, wirtschaftlichen usw. sprechen. Inhalt, bei dem Sie basierend auf der Bedingung unabhängig eine Funktion zusammenstellen und ihren minimalen oder maximalen Punkt ermitteln müssen (bzw. Minimum bzw. Maximum).

Für vollständiges Studium Lektion, die Sie wissen müssen Derivate finden, VERSTEHEN, Was ist ein Derivat? und mit den Konzepten vertraut sein Zunahme, Abnahme und Extremum der Funktion. Daher empfehle ich Anfängern, mit den oben genannten Artikeln zu beginnen, um hier nicht in ein echtes Extrem zu geraten =) Und bereits geübte Schüler sollten keine besonderen Schwierigkeiten haben. Sich warm laufen Algebra-Problem Und Neues Material nach dem Weg:

Aufgabe 1

Es ist bekannt, dass die Summe zweier positiver Zahlen 12 ist. Wie müssen diese Zahlen sein, damit das Produkt ihrer Quadrate maximal ist?

Lösung: Zunächst einmal wissen wir genau, was von uns verlangt wird: Die Bedingung enthält zwei positive Zahlen und wir wissen es auch nicht. Aber ihre Summe ist 12.

Wenn es zum Beispiel 2 und 10 ist, dann ist das Produkt der Quadrate;
wenn 7 und 5, dann usw.

Und wir müssen ein Paar dafür finden diese Arbeit wird der Größte sein. Es ist klar, dass Sie hier mit der Auswahlmethode gequält werden, außerdem können sich die gewünschten Zahlen als Bruchzahlen herausstellen. Nehmen wir daher die Hilfe des leistungsstarken Apparats der mathematischen Analyse in Anspruch.

Aber zuerst erinnern wir uns an die Schule und erinnern uns daran, wie wir naiv mit den Wimpern flatterten und etwas mit dem „x“ bezeichneten ... Bezeichnen wir mit einer der Zahlen. Dann lautet die zweite Zahl:

Überprüfen wir, ob ihre Summe wirklich 12 beträgt:
- aber sie sagen die Wahrheit, dass alles Geniale einfach ist =)

Jetzt schreiben wir die Funktion des Produkts ihrer Quadrate:

Viele Leser verstehen bereits die nächsten Schritte: Als nächstes müssen Sie die Ableitung finden, kritische Punkte und ermitteln Sie die Punkte, an denen die Funktion ihr Maximum erreicht (falls es sie überhaupt gibt, natürlich).

Und ein kleines technisches Problem: Das Derivat hier kann auf verschiedene Arten gefunden werden. Meiner Meinung nach ist die folgende Option praktisch: Wir fahren die Faktoren unter einen Grad und öffnen dort die Klammern: , danach Differenzieren einer komplexen Funktion:

So, sind kritische Punkte.

Aufgrund der Bedingung sind beide Zahlen positiv, daher schließen wir die Werte sofort aus der Betrachtung aus. Es bleibt zu überprüfen ausreichende Bedingung für ein Extremum für einen Punkt und finden Sie heraus, ob die Funktion dort ein Minimum oder Maximum erreicht. Oder vielleicht bringt es nichts.

Sie kennen den Test: Wir zeichnen numerische Achse, ermitteln Sie die Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom Punkt und fällen Sie ein Urteil. Sie können also entscheiden, und das wird auch so sein richtige Entscheidung aber es geht auch anders!

Die zweite hinreichende Bedingung für ein Extremum

Die Ableitung der Funktion sei am kritischen Punkt gleich Null:
und lass es eine Sekunde dauern ungleich Null Derivat: . Dann:

wenn, dann erreicht die Funktion an dem Punkt ein Minimum;
wenn, dann ist das Maximum.

In unserem Fall müssen wir finden zweite Ableitung und berechnen - wenn sich herausstellt, dass, dann ist Mindestpunktzahl; wenn, dann Maximalpunkt.

Zur Vereinfachung der Unterscheidung kürzen wir den Vorgänger:
und schätzen diesen Komfort sofort:

Ersatz kritischer Wert :
, also die Funktion erreicht an dieser Stelle sein Maximum:

Antworten: gewünschte Zahlen: 6 und 6, während das maximale Quadratprodukt:

Im Allgemeinen war es je nach Bedingung nicht erforderlich, das Werk selbst zu finden, aber nach den Regeln des guten Tons ist es besser, es zu berechnen und in der Antwort anzugeben. Außerdem ist es sehr interessant.

In der Praxis treten in den allermeisten Fällen Probleme mit geometrischer Bedeutung auf, weshalb ihnen der Hauptteil der Lektion gewidmet wird. Beginnen wir mit einer einfachen Frage typisches Beispiel, was aus irgendeinem Grund ziemlich oft Probleme verursacht:

Aufgabe 2

Finden Sie den kleinsten Abstand zwischen einer Parabel und einer Geraden

Lösung: Hier bitte das Meiste, was weder vorhanden ist praktischer Sinn Stellen Sie sich vor, Sie müssten von Straße zu Straße gehen. Es ist ganz klar, dass es bei Abwesenheit von Hindernissen am vorteilhaftesten ist, dies auf dem kürzesten Weg zu tun.

Da verlangt der Zustand das Mindeste Distanz Dann müssen wir natürlich eine Funktion des Abstands zwischen der Parabel und der Linie erstellen. Für das Argument dieser Funktion nehmen wir die Abszisse des Punktes, der zur Parabel gehört und sich „frei entlang dieser bewegt“:

Wir gebrauchen Punktabstandsformelzu gerade :

In unserem Fall (d. h.);
.

Auf diese Weise:
ist eine Funktion des Abstands zwischen der Parabel und der Geraden, abhängig von der Abszisse des Parabelpunktes.

Unterscheiden Sie in Bezug auf üblichen Regeln, Egal ob Modul:

- kritischer Punkt

Lassen Sie uns die Ausführung überprüfen ausreichender Zustand Extremum. Schätzen Sie, um wie viel die zweite hinreichende Bedingung angenehmer und bequemer ist als die erste:
für alle x. Insbesondere:
Daher erreicht die Funktion ein Minimum an der Stelle:

Die gewünschte „Straße“ ist in der Zeichnung als purpurrote Linie dargestellt.

Antworten:

Physiker können in Liedtexten die Ordinate eines Punktes finden, Normalgleichung und sie Schnittpunkt mit einer Geraden. Übrigens warum kürzester Weg läuft es normal? Befestigen Sie die Kante Ihrer Handfläche an einer geraden Linie und beginnen Sie, sie sanft in eine Parabel zu verschieben: Der erste Punkt, den Sie berühren, ist genau der Punkt, Ihre Hand nimmt die Position ein Tangente zum Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt und Abstand zwischen zwei Geraden gerade durch das purpurrote Segment der normalen Geraden bestimmt.

Nächste Aufgabe Für unabhängige Lösung:

Aufgabe 3

Aus einem Stück Draht 30 cm Ich muss ein Rechteck biegen größte Fläche. Welche Abmessungen hat dieses Rechteck?

Lassen Sie uns den Zustand ein wenig analysieren:

Was müssen Sie finden? Offensichtlich sind Länge und Breite die „traditionellen“ Merkmale, die ein Rechteck definieren.

Welche Funktion soll geschrieben werden? Wahrscheinlich haben es viele schon verstanden diese Regelmäßigkeit:

Müssen Sie die minimale/maximale Fläche ermitteln? Wir bilden die Flächenfunktion;
Minimale/maximale Diagonale? Wir stellen eine Funktion der Länge der Diagonale zusammen;
Minimaler/maximaler Umfang? Erstellen Sie die Umfangsfunktion
usw.

Ich erinnere Sie daran, dass der Umfang die Länge des Randes der Figur ist, in dieser Fall ist die Summe der Seitenlängen des Rechtecks. Das Problem lässt sich übrigens ganz einfach „rein mathematisch“ umformulieren:

„Finden Sie ein Rechteck mit der größten Fläche, wenn sein Umfang 30 cm beträgt“

Erstellen Sie eine schematische Zeichnung, überlegen Sie, was Sie für „x“ bezeichnen möchten (was gibt es jedoch zu bedenken), bilden Sie eine Funktion der Fläche – und weiter entlang der gerändelten.

Betrachten wir nach einfachen Aufwärmaufgaben etwas Solideres:

Aufgabe 4

Auf einer Buchseite sollte der gedruckte Text (zusammen mit den Leerzeichen zwischen den Zeilen) 192 einnehmen. Der obere und untere Rand beträgt 4 cm, links und rechts - 3 cm. Betrachtet man nur die Papiereinsparung, welche Seitengrößen sollten die vorteilhaftesten sein?

Lösung: Wir lösen die Aufgabe nach dem gleichen logischen Schema:

Was müssen Sie finden? Beste Seitengrößen. Eine Seite hat normalerweise die Form eines Rechtecks. Da wir über das Sparen von Papier sprechen, müssen Sie natürlich etwas finden solch Breite und Höhe des Blattes so anpassen, dass seine Fläche minimal ist. Daraus folgt, dass wir eine Funktion des Seitenbereichs erstellen müssen. Darüber hinaus legt die Bedingung die Größe der Felder fest, für den Druckbereich werden jedoch 192 zugewiesen, und seine Größe kann beliebig sein ( schattiertes Rechteck an schematische Zeichnung) :

Bezeichnet die Breite des Druckbereichs (Himbeerschnitt)(Sie können die Höhe angeben – Sie erhalten eine äquivalente Lösung). Dann die Höhe des Druckbereichs:
(rote Linie).

Unter Berücksichtigung der bekannten Randwerte ermitteln wir die Breite des gesamten Blatts:

Und seine Höhe:

Lassen Sie uns die Blattflächenfunktion zusammenstellen und sie sofort für die Differenzierung vorbereiten:

Finden wir die kritischen Punkte:

Der Punkt erfüllt nicht die geometrische Bedeutung des Problems, aber der Wert ist viel interessanter.

(zählt hier nicht)

Somit sind die Abmessungen des optimalen Blattes:
;
;
dabei Mindestfläche:

Antworten: optimale Seitenbreite: , seine Höhe: ; während die Mindestfläche beträgt:

Wie Sie sehen, besteht die Hauptschwierigkeit darin, die Bedingung zu verstehen und zusammenzustellen gewünschte Funktion. Und die Zeichnung hilft sehr dabei, diese Schwierigkeit zu überwinden. Deshalb Wir versuchen immer, eine schematische Zeichnung oder zumindest eine Zeichnung anzufertigen. Auch in solchen einfache Fälle, wie in Problem Nr. 3, ganz zu schweigen von dem gerade analysierten Beispiel.

Nächste Aufgabe für unabhängige Lösung:

Aufgabe 5

Beschreiben Sie ein Rechteck mit dem größten Umfang in einen Halbkreis mit Radius

Einfach und geschmackvoll. Und wieder ein paar Tipps, die Sie bei der Lösung anderer Probleme beachten sollten:

! Erstens Beachten Sie, dass die Bedingung formuliert ist Im Algemeinen und Größe gilt als berühmt. Wenn es wirklich schwierig ist, lösen Sie das Problem mit einem bestimmten Radiuswert, zum Beispiel mit radius .

! Zweitens Erstellen Sie eine schematische Zeichnung, die hier sehr einfach ist: Eine der Seiten des Rechtecks ​​​​liegt auf dem Durchmesser des Halbkreises und der Eckpunkte gegenüberliegende Seite- auf einem Halbkreis. Offensichtlich können in einen Halbkreis unendlich viele Rechtecke eingeschrieben werden, und Ihre Aufgabe besteht darin, eines mit dem größten Umfang zu finden. Ich hoffe, dass jeder versteht, welche Funktion zusammengesetzt werden muss. Überlegen Sie, was für „x“ bequemer ist, und frischen Sie außerdem Ihr Gedächtnis auf der Satz des Pythagoras.

! Drittens, das Problem kann in gelöst werden verschiedene Stile. Die Beispiellösung ist „ausschließlich geometrisch“ gestaltet, es gibt jedoch eine solche Möglichkeit: Zeichnen Sie einen Halbkreis ein Kartesisches Koordinatensystem– in der oberen Halbebene mittig im Punkt . Als nächstes verfassen Kreisgleichung, drücken Sie die Funktion des oberen Halbkreises aus und berücksichtigen Sie die variablen Koordinaten des Scheitelpunkts des Rechtecks, das auf diesem Halbkreis liegt. Darüber hinaus kann das Problem aufgrund der Symmetrie der Figuren um die Achse im 1. Koordinatenquadranten gelöst werden, d. h. Zeichne nur einen Viertelkreis (Aber vergessen Sie dann nicht, eine der Seiten des Rechtecks ​​zu verdoppeln.). Wer fühlt sich wohler?

! Und viertens, bei dieser Aufgabe geht es darum, dass es manchmal überhaupt nicht notwendig ist, sich bei neuem Material „die Stirn zu brechen“ ;-) Falls Ihnen die zweite Aufgabe zu kompliziert erschien ausreichendes Zeichen Extremum also Niemand verbietet die Verwendung des 1. ausreichenden Zeichens- Bestimmen Sie die Vorzeichen der ersten Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt im Intervall und ziehen Sie eine Schlussfolgerung.

Glückliche Entscheidung!

Unser Unterricht ist in vollem Gange und es ist Zeit, die Aufgaben zu analysieren, die in meiner Praxis ohne Übertreibung Dutzende Male aufgetreten sind:

Aufgabe 6

Bestimmen Sie die Abmessungen eines Außenpools mit einem Volumen der Form Quader mit quadratischem Boden, an dessen Wand- und Bodenverkleidung es anliegt geringste Menge Material.

Lösung: stellte den Pool vor. Quadratischer Boden. Wände. Die Abmessungen des Beckens werden eindeutig durch seine Länge und Breite bestimmt, die in diesem Fall gleich sind (je nach Zustand ist der Boden quadratisch) und Tiefe (Wandhöhe). Wollte finden solch Die Abmessungen des Beckens müssen so gewählt werden, dass möglichst wenig Material (z. B. Fliesen) auf der Auskleidung der Oberfläche zurückbleibt. Daraus folgt, dass wir eine Funktion der Gesamtfläche des Bodens und der 4 Wände erstellen müssen. Auf der Zeichnung anzeigen fegen Pool - sein Boden und 4 Wände, die ordentlich nebeneinander liegen:

Für „x“ muss hier natürlich die Seite des Quadrats bezeichnet werden. Dann ist der untere Bereich. Es bleibt noch die Höhe der Wand auszudrücken und ihre Fläche zu ermitteln.

Das Volumen des Beckens beträgt je nach Zustand 32 Kubikmeter. Auch ohne sich zu erinnern und ohne nach der entsprechenden Formel zu suchen, kann man leicht herausfinden, dass das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds das Produkt der Fläche seines „Bodens“ und der Höhe ist:

In unserem Fall: .

Lassen Sie uns die Funktion der gesamten Bodenfläche zusammenstellen und vier identisch Poolwände:

Finden wir die kritischen Punkte:

- kritischer Punkt.

Überprüfen wir die Erfüllung der hinreichenden Extremumbedingung:

, was bedeutet, dass die Funktion im Punkt ein Minimum erreicht.

Auf diese Weise:
optimale Beckenseite;
Tiefe ;
während die Mindestfläche der Verkleidung:
.

Antworten: optimale Poolseite: 4 M, Tiefe: 2 M; während die Mindestfläche der Verkleidung.

Diese Entscheidung ist übrigens keineswegs selbstverständlich – zum Beispiel beansprucht ein „Planschbecken“ mit einer Tiefe von 1 Meter erfolgreich die beste Option, und es ist schließlich sehr schwierig, „mit dem Auge“ zu bestimmen, was rentabler ist , die Verkleidungsfläche des letzteren ist nur geringfügig größer:. Und ja - wir müssen den Autoren der Probleme für den Realismus Tribut zollen, sonst kommt es nicht so selten vor, dass man lustige Ergebnisse a la einem 32 Meter tiefen Pool erhält, wie es heißt: Schwimmen und nicht krächzen =)

Ein ähnliches Problem bei den harten Tscheljabinsker Sprotten:

Aufgabe 7

Wie groß sollen die Abmessungen sein? Blechdose zylindrische Form, so dass bei der Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird, wenn das Volumen der Dose 0,5 Liter beträgt?

Aber bevor Sie sich entscheiden, lesen Sie bitte ein paar nützliche Hinweise:

Erstens ist ein Liter eine Volumeneinheit. Ich habe mich speziell auf die Physik konzentriert, da für den Laien ein Liter sehr oft fälschlicherweise mit einem Kilogramm (einer Masseneinheit) gleichgesetzt wird. Spüren Sie den Unterschied – eine halbe Liter Dose Sprotte und die gleiche Dose gefüllt mit Nägeln. Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter oder tausend Kubikzentimeter:

Und jetzt sehr wichtiger Punkt : Da die Abmessungen der Dose natürlich in Zentimetern angegeben werden, sollten 0,5 Liter sofort in Kubikzentimeter umgerechnet werden!

Was sind das übrigens für Dimensionen? Ein Zylinder wird standardmäßig durch einen Basisradius und eine Höhe definiert. Zweitens. Frischen wir unsere Erinnerung an die Formeln auf:

Fläche eines Kreises:
Seitenfläche des Zylinders:
Zylindervolumen:

Und noch einmal werde ich bei bleiben wichtiger Grundsatz effektives Lernen Mathematik: Füllen Sie keine Formeln (ohne Notfall, Sicherlich). Insbesondere der vergessene Bereich der Mantelfläche des Zylinders lässt sich auch im Kopf leicht erschließen: Stellen Sie sich die Wand einer Blechdose ohne Boden und Deckel vor. Machen Sie einen vertikalen Schnitt und richten Sie die Seitenwand auf dem Tisch gerade aus. Das Ergebnis ist ein Rechteck, dessen eine Seite natürlich der Höhe der Dose und die andere dem Umfang entspricht. Die Fläche eines Rechtecks ​​wird elementar berechnet:

Die Lösung erfolgt analog zu Aufgabe 6, Musterexemplar am Ende der Lektion.

Lassen Sie uns einen typischen Typ beheben inverse Probleme:

Aufgabe 8

Bestimmen Sie die maximale Kapazität eines zylindrischen Tanks, wenn seine Oberfläche (ohne Deckel) gleich sein soll

Lösung: In diesem Fall ist das Gegenteil der Fall – die Oberfläche ist bekannt (falls schwierig, durch eine bestimmte Zahl ersetzen) und es ist erforderlich, das maximale Volumen des Tanks zu bestimmen.

Für „x“ bezeichnen wir ... aber warum eigentlich zusätzliche Buchstaben? Von den ersten Lektionen an Derivat Viele haben erkannt, dass es möglich ist, nach jeder Variablen zu differenzieren, und jetzt werden wir endlich alle Komplexe los.

Aus welcher Variablen soll die Volumenfunktion ermittelt werden? IN entsprechende Formel Der Radius ist am meisten „ausgetrickst“, daher ist es logisch, zu versuchen, eine Funktion zu erstellen, die davon abhängt. Sie müssen nur die Höhe angeben.

Die Summe der unteren Flächen (Vergessen Sie nicht, dass der Deckel fehlt!) und die Mantelfläche ist genau gleich bekannter Wert: , daraus finden wir:

Auf diese Weise:

Finden wir die kritischen Punkte:

geometrischer Sinn Das Problem erfüllt natürlich die positive Wurzel. Überprüfen wir die Erfüllung der hinreichenden Extremumbedingung:

, was bedeutet, dass die Funktion im Punkt ihr Maximum erreicht.

In diesem Fall beträgt die Höhe des Tanks:


maximale Lautstärke:

Antworten: optimaler Tankgrundradius: , Höhe: , während maximales Volumen:

Die Lösung mag im Allgemeinen ungewöhnlich erscheinen, aber schätzen Sie ihre Vielseitigkeit – jetzt müssen Sie sie nur noch ersetzen spezifische Bedeutung Fläche und berechnen Sie sofort die Abmessungen des optimalen Zylinders.

Beruhigende Aufgabe zur eigenständigen Lösung:

Aufgabe 9

Ein rechteckiger Karton hat Abmessungen. Es ist erforderlich, an den Ecken Quadrate auszuschneiden, damit nach dem Biegen der verbleibenden Kanten eine Schachtel mit dem größten Fassungsvermögen entsteht.

Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion.

Neben den oben besprochenen geometrischen Objekten findet man in der Praxis auch Dreiecke, Trapeze, Kugeln, Kegel usw., diese sind jedoch seltener zu Gast. (in Bezug auf vergessene Formeln – Nachschlagewerke helfen). Leider ist es unmöglich, die Unermesslichkeit zu erfassen, und deshalb habe ich mich im Rahmen dieses Artikels auf die gängigsten Beispiele beschränkt. Schließlich kann man sich viele Aufgaben einfallen lassen – und man kann sie nicht alle lösen, Hauptsache man versteht es gut Prinzipien und Lösungsmethoden, die ich versucht habe, so vollständig und effizient wie möglich darzustellen.

Darüber hinaus gibt es extreme Probleme physikalischer, chemischer, wirtschaftlicher und anderer Art, aber da es solche Probleme in meiner Sammlung nicht gab, weinte die Katze nicht einmal. Aber erkennen Was ist ein Derivat? und haben elementare Technik der Differenzierung, Sie sollten mit diesen Aufgaben keine ernsthaften Schwierigkeiten haben, obwohl Sie zur Lösung natürlich Kenntnisse in der Physik / Chemie / Wirtschaftswissenschaften oder einem anderen Fachgebiet benötigen.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3: Lösung: Finden Sie den Halbumfang des Rechtecks: . Bezeichnen Sie mit der Länge der Seite des Rechtecks ​​(beliebig). Dann ist die Länge angrenzende Seite:

Schreiben wir die Funktion der Fläche des Rechtecks:
.
Finden wir die kritischen Punkte:

- kritischer Punkt.
Überprüfen wir die Erfüllung der hinreichenden Extremumbedingung.
, was bedeutet, dass die Funktion im Punkt ihr Maximum erreicht.
Somit - die optimale Länge der Seite des Rechtecks, die Länge der angrenzenden Seite: ; während die maximale Fläche:

Antworten : Das optimale Rechteck ist ein Quadrat mit der Seite ; während die maximale Fläche: .

Um die Oberfläche einer Box zu ermitteln, addieren Sie die Flächen aller ihrer Flächen. Die Oberfläche des Kastens ist gleich der Summe der Flächen seiner Flächen. Um die Fläche einer rechteckigen Fläche zu ermitteln, multiplizieren Sie ihre gleich großen Seiten. Es gibt jedoch eine Formel zur Berechnung der Oberfläche, die den Vorgang vereinfacht:

• l ist die Länge der Box (die längste Kante).
• H ist die Höhe der Box.
• w- die Breite der Box.

Messen Sie die Länge der Box. Dies ist die längste Kante. Jede Box hat 4 lange Kanten. Um das Ausmessen des Kartons zu erleichtern, platzieren Sie ihn auf der Kante, die aus den langen und kurzen Kanten besteht.

• Beispiel: Die Länge der Box beträgt 50 cm.

Messen Sie die Höhe der Box, also den Abstand vom Boden bis zur Oberkante der Box. Verwechseln Sie Höhe nicht mit Länge!

• Beispiel: Die Höhe der Box beträgt 40 cm.

Messen Sie die Breite der Box. Dies ist die Kante, die senkrecht zur längsten Kante des Kastens steht (einen rechten Winkel bildet). Breite nicht mit Höhe verwechseln!

• Beispiel: Die Breite der Box beträgt 20 cm.

Stellen Sie sicher, dass Sie nicht zweimal dieselbe Kante messen. Die gemessenen Kanten müssen sich in einem Punkt schneiden. Um sich nicht zu irren, nehmen Sie einen beliebigen Scheitelpunkt des Quaders und messen Sie die drei Kanten, die an diesem Scheitelpunkt zusammenlaufen.

• Bedenken Sie, dass Kanten gleich sein können. Stellen Sie jedoch sicher, dass Sie drei verschiedene Kanten des Kartons messen, auch wenn zwei oder alle drei Kanten gleich sind.

Setzen Sie die gefundenen Werte in die Formel zur Berechnung der Oberfläche ein. Multiplizieren Sie die entsprechenden Werte und ermitteln Sie die Summe der Multiplikationsergebnisse.

• S = 2 l w + 2 l h + 2 w h (\displaystyle S=2lw+2lh+2wh)
• S = 2 (50) (20) + 2 (50) (40) + 2 (20) (40) (\displaystyle S=2(50)(20)+2(50)(40)+2(20) (40))
• S = 2000 + 4000 + 1600 (\displaystyle S=2000+4000+1600)
• S=7600 (\displaystyle S=7600)

Die Oberfläche wird ausgedrückt in quadratische Einheiten Messungen, die ein wesentlicher Bestandteil der Antwort sind. Verwenden Sie die Maßeinheiten, in denen alle Berechnungen durchgeführt werden. In unserem Beispiel wurden die Kanten der Box in Zentimetern gemessen, sodass die Oberfläche der Box in Quadratzentimetern ausgedrückt wird.

• Ermitteln Sie die Oberfläche einer Kiste, die 50 cm lang, 40 cm hoch und 20 cm breit ist.
• Antworten: 7600 cm²

Wenn die Box Komplexe Form Zerlegen Sie es im Geiste in seine Bestandteile, um die Oberfläche zu ermitteln. Beispielsweise ist die Box L-förmig. Teilen Sie in diesem Fall dieses Kästchen gedanklich in zwei auf – ein Kästchen, das horizontal angeordnet ist, und ein Kästchen, das vertikal angeordnet ist. Berechnen Sie die Oberfläche jedes der beiden Kästchen und addieren Sie dann die gefundenen Werte, um die Oberfläche des ursprünglichen Kästchens zu erhalten. Sie haben beispielsweise eine U-förmige Box.

• Gehen Sie davon aus, dass die Oberfläche einer horizontalen Box 12 Quadrateinheiten beträgt.
• Gehen Sie davon aus, dass die Oberfläche jedes vertikalen Kastens 15 Quadrateinheiten beträgt.
• Oberfläche der Originalverpackung: 12 + 15 + 15 = 42 Quadrateinheiten.

Der Zweck des Unterrichts: Die selbstständige Aneignung von Fähigkeiten in einem Komplex zur Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten sowie deren Übertragung auf neue Bedingungen.

Lernziele:

Pädagogisch und kognitiv:

• Festigung, Systematisierung und Verallgemeinerung von Kenntnissen und Fähigkeiten im Konzept des größten und kleinsten Wertes einer Funktion, praktischer Nutzen gebildete Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Entwicklung:

• Entwicklung der Fähigkeiten zum selbstständigen Arbeiten, Klarheit des Gedankenausdrucks, Selbsteinschätzung Aktivitäten lernen im Unterricht.

Gesprächig:

• Fähigkeit zur Teilnahme an Diskussionen, Fähigkeit zuzuhören und zuzuhören.

Während des Unterrichts

I. Wort des Lehrers: (2 Min.)

Jeder Mensch befindet sich von Zeit zu Zeit in einer Situation, in der es notwendig ist, den besten Weg zur Lösung eines Problems zu finden, und die Mathematik wird zu einem Mittel zur Lösung von Problemen bei der Organisation der Produktion und der Suche nach optimalen Lösungen. Eine wichtige Voraussetzung Die Steigerung der Produktionseffizienz und die Verbesserung der Produktqualität ist die flächendeckende Einführung mathematischer Methoden in der Technik. Unter den Problemen der Mathematik kommt den Extremaproblemen eine große Rolle zu, d.h. Aufgaben, um die größten und kleinsten Werte zu finden, die besten, die profitabelsten, die wirtschaftlichsten. Vertreter verschiedener Fachrichtungen müssen sich mit solchen Aufgaben auseinandersetzen: Verfahrensingenieure versuchen, die Produktion so zu organisieren, dass sie möglichst viele Produkte erhalten, Designer wollen das Gerät auf einem Raumschiff so planen, dass die Masse des Geräts gleich ist Die kleinsten Ökonomen versuchen, die Anbindung von Fabriken an Rohstoffquellen so zu planen Transportkosten erwies sich als minimal. Wir können sagen, dass die Probleme beim Finden der kleinsten und größten Werte eine große praktische Anwendung haben. Heute in der Lektion werden wir uns mit solchen Problemen befassen.

II. Zwei „starke“ Schüler werden an die Tafel gerufen, um Aufgaben zu lösen: (10 min)

1. Schüler:

Gegeben sei ein Tank ohne Deckel in Form eines rechteckigen Parallelepipeds, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Volumen 108 cm 3 beträgt. Bei welchen Abmessungen des Tanks wird für die Herstellung am wenigsten Material verbraucht?

Bezeichnen wir die Seite der Basis mit x cm, dann beträgt die Höhe des Parallelepipeds.

Sei S(x) die Oberfläche, dann ist S(x) =x 2 +4**x=x 2 +;

S / (x)=2x-; S/(x)=0;

2x 3 \u003d 432; x 3 \u003d 216; x=6;

Je nach Zustand des Problems x (0;)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0; 6) und im Intervall (6; ?). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“. Daher ist x \u003d 6 der Minimalpunkt, daher ist S (6) \u003d 108 cm 2 kleinster Wert. Die Seitenlänge des Sockels beträgt also 6 cm, die Höhe 12 cm.

2. Schüler:

Ein Rechteck mit der größten Fläche wird in einen Kreis mit einem Radius von 30 cm eingeschrieben. Finden Sie seine Abmessungen.

Bezeichnen wir eine Seite des Rechtecks ​​​​durch x cm, dann ist die zweite, S (x) die Fläche des Rechtecks, dann S (x) = x;

S / (x)= - S / (x)=0; Reduzieren wir den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner, erhalten wir

3600-2x 2 \u003d 0; x=30; Je nach Zustand des Problems nehmen wir nur einen positiven Wert an. Entsprechend der Bedeutung des Problems x (0; 60);

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0;30) und im Intervall (30;60). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“. Daher ist x=30 der Maximalpunkt. Daher ist eine Seite des Rechtecks ​​​​30 und die andere 30.

III. Zu diesem Zeitpunkt erfolgt eine gegenseitige Prüfung zum Thema „Anwendung der Ableitung“ (für jede richtige Antwort gibt es 1 Punkt). Jeder Schüler antwortet und gibt seine Antwort zur Überprüfung an seinen Tischnachbarn weiter.

Fragen werden auf eine tragbare Tafel geschrieben, es wird nur die Antwort gegeben:

1. Eine Funktion heißt in einem gegebenen Intervall wachsend, wenn...
2. Eine Funktion heißt in einem gegebenen Intervall abnehmend, wenn...
3. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt, wenn ...
4. Der Punkt x 0 heißt Maximalpunkt, wenn ...
5. Stationäre Punkte Funktionen Rufpunkte...
6. Schreiben generelle Form Tangentengleichungen.
7. physikalische Bedeutung Derivat.

IV. Die Klasse sitzt in Gruppen. Gruppen führen Aufgaben aus, um das Minimum und Maximum der Funktion zu ermitteln.

1 Aufgabe:

Finden Sie für die Funktion f (x) \u003d x 2 + das Minimum im Intervall (0; ? );

2 Aufgabe:

Finden Sie für die Funktion f (x) \u003d x das Maximum im Intervall (0; 60);

V. Das Wort „starke“ Schüler wird gegeben. Die Schüler überprüfen ihre Lösungen. (10 Min.).

VI. Für jede Gruppe werden Auswahlaufgaben gestellt. (10 Minuten)

1 Gruppe.

Um „3“ zu markieren

Finden Sie für die Funktion f (x) = x 2 * (6-x) den kleinsten Wert im Segment

f (x) = x 2 * (6-x) = 6x 2 + x 3;

f / (x) = 12x-3x 2; f / (x)=0; 12x-3x 2 \u003d 0; x 1 =0; x 2 =4;

f(0)=0; f(6)=0; f(4)=32-max

Um „4“ zu markieren

Aus einem 20 cm langen Draht muss ein Rechteck mit der größten Fläche geformt werden. Finden Sie seine Abmessungen.

Bezeichnen wir eine Seite des Rechtecks ​​​​mit x cm, dann beträgt die zweite Seite (10-x) cm, die Fläche S (x) = (10-x) * x = 10x-x 2;

S / (x)=10-2x; S/(x)=0; x=5;

Je nach Zustand des Problems x (0; 10)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0;5) und im Intervall (5;10). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“. Daher gilt: x=5 ist der Maximalpunkt, S(5)=25cm 2 ist der höchste Wert. Daher beträgt eine Seite des Rechtecks ​​5 cm, die zweite 10x=10-5=5cm;

Um „5“ zu markieren

Ein Grundstück mit einer Fläche von 2400 m 2 muss in zwei rechteckige Abschnitte unterteilt werden, damit die Länge des Zauns am kleinsten ist. Finden Sie die Größe der Grundstücke.

Wir bezeichnen eine Seite des Geländes mit x m, dann ist die zweite m, die Länge des Zauns P (x) = 3x +;

P / (x) = 3-; P / (x) = 0; 3x 2 = 4800; x 2 = 1600; x=40. Wir nehmen nur positiver Wert je nach Aufgabenstellung.

Durch die Bedingung des Problems x (0; )

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung auf dem Intervall (0;40) und auf dem Intervall (40; ?). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“. Von hier aus ist x=40 der Minimalpunkt, daher ist P(40)=240m der kleinste Wert, was bedeutet, dass eine Seite 40m beträgt, die zweite = 60m.

2 Gruppe.

Um „3“ zu markieren

Finden Sie für die Funktion f (x) \u003d x 2 + (16-x) 2 den kleinsten Wert im Segment

f / (x)=2x-2(16-x)x=4x-32; f / (x)=0; 4x-32=0; x=8;

f(0)=256; f(16)=256; f(8)=128-min;

Um „4“ zu markieren

Ein rechteckiger Bereich, dessen eine Seite an das Gebäude angrenzt. Angesichts der Abmessungen des Umfangs in m ist es notwendig, das Gelände so einzuschließen, dass die Fläche möglichst groß ist.

Bezeichnen wir eine Seite des rechteckigen Abschnitts durch x m, dann ist die zweite Seite (-2x) m, die Fläche S (x) = (-2x) x = x -2x 2;

S / (x) \u003d -4x; S/(x)=0; -4x; x =;

Je nach Zustand des Problems x (0;)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung auf dem Intervall (0; ) und auf dem Intervall (;). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“. Daher ist x = Maximalpunkt. Daher ist eine Seite der Site \u003d m, die zweite -2x \u003d m;

Um „5“ zu markieren

Aus rechteckiges Blatt Wenn Sie Karton mit einer Seitenlänge von 80 cm und 50 cm benötigen, müssen Sie eine rechteckige Schachtel herstellen, indem Sie Quadrate entlang der Kanten ausschneiden und die resultierenden Kanten biegen. Wie hoch sollte die Box sein, um ihr Volumen zu maximieren?

Wir bezeichnen die Höhe der Box (das ist die Seite des ausgeschnittenen Quadrats) mit x m, dann beträgt eine Seite der Basis (80-2x) cm, die zweite (50-2x) cm, Volumen V (x) = x (80-2x) (50-2x) = 4x 3 -260x 2 + 4000x;

V / (x) = 12x 2 -520x + 4000; V / (x)=0; 12x 2 -520x+4000=0; x 1 =10; x 2 =

Je nach Zustand des Problems x (0; 25); x 1 (0; 25), x 2 (0; 25)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0; 10) und im Intervall (10; 25). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“. Daher ist x = 10 der Maximalpunkt. Daher beträgt die Höhe der Box = 10 cm.

3. Gruppe.

Um „3“ zu markieren

Finden Sie für die Funktion f (x) = x * (60-x) den größten Wert im Segment

f(x)=x*(60-x)=60x-x 2 ;

f / (x)=60-2x; f / (x)=0; 60-2x=0; x=30;

f(0)=0; f(60)=0; f(30)=900-max

Um „4“ zu markieren

Ein rechteckiger Bereich, dessen eine Seite an das Gebäude angrenzt. Bei einem vorgegebenen Umfang von 20 m ist es notwendig, das Gelände so einzuzäunen, dass die Fläche möglichst groß ist.

Bezeichnen wir eine Seite des Rechtecks ​​​​mit x m, dann ist die zweite Seite (20 -2x) m, die Fläche S (x) = (20-2x) x = 20x -2x 2;

S / (x) \u003d 20 -4x; S/(x)=0; 20 -4x = 0; x = =5;

Je nach Zustand des Problems x (0; 10)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0; 5) und im Intervall (5; 10). Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ nach „-“. Daher ist x = 5 der Maximalpunkt. Daher ist eine Seite des Geländes \u003d 5 m, die zweite 20 -2x \u003d 10 m;

4 Gruppe.

Um „3“ zu markieren

Finden Sie für die Funktion f (x) \u003d x 2 (18-x) den größten Wert im Segment

f (x) \u003d x 2 (18-x) \u003d 18x 2 -x 3;

f / (x) = (18x 2 -x 3) /; f / (x)=0; 36x-3x 2 \u003d 0; x 1 =0; x 2 \u003d 12

f(0)=0; f(18)=0; f(12)=864-max

Um „4“ zu markieren

Ein rechteckiger Bereich, dessen eine Seite an das Gebäude angrenzt. Bei einem vorgegebenen Umfang von 200 m ist es notwendig, das Gelände so einzuzäunen, dass die Fläche möglichst groß ist.

Bezeichnen wir eine Seite des rechteckigen Abschnitts mit x m, dann ist die zweite Seite (200 -2x) m, die Fläche S (x) = (200-2x) x = 200x -2x 2;

S / (x) \u003d 200 -4x; S/(x)=0; 200 - 4x = 0; x = 200/4 = 50;

Je nach Zustand des Problems x (0; 100)

Finden Sie das Vorzeichen der Ableitung im Intervall (0; 50) und im Intervall (50; 100). Die Ableitung wechselt das Vorzeichen von „+“ nach „-“, daher ist x = 50 der Maximalpunkt. Daher ist eine Seite des Geländes = 50 m, die zweite 200 -2x = 100 m;

Um „5“ zu markieren

Es ist erforderlich, eine offene Schachtel in Form eines rechteckigen Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche und dem kleinsten Volumen herzustellen, wenn für ihre Herstellung 300 cm 2 aufgewendet werden können.

IX. Die Lektion wird zusammengefasst.

X. Hausaufgaben: Die Lösung des Problems ist um eine Punktzahl höher, wer die Aufgabe mit „5“ erledigt hat, ist von den Hausaufgaben befreit.