تفریق کسرهای مختلط چگونه کسری را با مخرج های مختلف کم کنیم؟ نحوه تفریق و جمع کسری که مخرج متفاوتی دارند

اعمال با کسر.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

بنابراین، کسری ها، انواع کسرها، تبدیل ها چیست - ما به یاد آوردیم. بریم سر موضوع اصلی.

با کسرها چه کاری می توانید انجام دهید؟بله، همه چیز با اعداد معمولی. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم.

همه این اقدامات با اعشاریکار با کسرها با اعداد کامل تفاوتی ندارد. در واقع، این چیزی است که در مورد آنها خوب است، اعشاری. تنها نکته این است که باید کاما را به درستی قرار دهید.

اعداد مختلط همانطور که قبلاً گفتم، برای اکثر اقدامات مفید نیستند. آنها هنوز باید به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

اما اقدامات با کسرهای معمولیآنها حیله گر تر خواهند بود. و خیلی مهمتر! بگذارید یادآوری کنم: تمام اعمال با عبارات کسری با حروف، سینوس، مجهولات، و غیره و غیره هیچ تفاوتی با اعمال با کسرهای معمولی ندارند.! عملیات با کسرهای معمولی اساس همه جبر است. به همین دلیل است که ما در اینجا تمام این محاسبات را با جزئیات زیاد تحلیل خواهیم کرد.

جمع و تفریق کسرها.

همه می توانند کسری را با مخرج یکسان جمع کنند (کسر کنند (من واقعا امیدوارم!). خوب، بگذارید به کسانی که کاملاً فراموشکار هستند یادآوری کنم: هنگام جمع (تفریق) مخرج تغییر نمی کند. شمارنده ها جمع می شوند (کاهش می شوند) تا به نتیجه برسد. نوع:

به طور خلاصه، در نمای کلی:

اگر مخرج ها متفاوت باشد چه؟ سپس با استفاده از ویژگی اصلی یک کسری (اینجا دوباره به کار می آید!)، مخرج ها را یکسان می کنیم! مثلا:

در اینجا باید از کسر 2/5 کسر را 4/10 کنیم. تنها به این منظور که مخرج ها یکسان شوند. اجازه دهید توجه داشته باشم، فقط در مورد، 2/5 و 4/10 هستند همان کسری! فقط 2/5 برای ما ناخوشایند است و 4/10 واقعاً خوب است.

به هر حال، این جوهر حل هر مسئله ریاضی است. زمانی که ما از ناراحتما عبارات را انجام می دهیم همان چیزی است، اما برای حل راحت تر است.

مثالی دیگر:

وضعیت مشابه است. در اینجا ما 48 از 16 را می گیریم. با ضرب سادهتوسط 3. این همه واضح است. اما به چیزی شبیه این برخورد کردیم:

چگونه بودن؟! سخت است که از هفت تا 9 بسازی! اما ما باهوشیم، قوانین را می دانیم! بیایید متحول شویم هرکسری به طوری که مخرج ها یکسان باشند. به این «کاهش به مخرج مشترک» می گویند:

وای! من از کجا با 63 آشنا شدم؟ بسیار ساده! 63 عددی است که همزمان بر 7 و 9 بخش پذیر است. چنین عددی همیشه با ضرب مخرج بدست می آید. اگر مثلاً عددی را در 7 ضرب کنیم، قطعاً حاصل بر 7 بخش پذیر خواهد بود!

در صورت نیاز به جمع (تفریق) چند کسر، نیازی به انجام آن به صورت جفت، مرحله به مرحله نیست. فقط باید مخرج مشترک همه کسرها را پیدا کنید و هر کسر را به همان مخرج کاهش دهید. مثلا:

و چه نوع مخرج مشترکاراده؟ البته می توانید 2، 4، 8 و 16 را ضرب کنید. تخمین زدن اینکه عدد 16 کاملا بر 2، 4 و 8 بخش پذیر است آسان تر است. بنابراین، از این اعداد به راحتی می توان 16 را بدست آورد. این عدد مخرج مشترک خواهد بود. بیایید 1/2 را به 8/16، 3/4 را به 12/16 و غیره تبدیل کنیم.

به هر حال، اگر 1024 را به عنوان مخرج مشترک بگیرید، همه چیز درست می شود، در نهایت همه چیز کاهش می یابد. اما همه به این هدف نمی رسند، زیرا محاسبات ...

خودتان مثال را کامل کنید. نه نوعی لگاریتم... باید 29/16 باشد.

بنابراین، جمع (تفریق) کسرها مشخص است، امیدوارم؟ البته، کار در یک نسخه کوتاه شده، با چند برابر اضافی آسان تر است. اما این لذت در اختیار کسانی است که صادقانه در آن کار کرده اند کلاس های خردسال... و من چیزی را فراموش نکردم.

و اکنون همان اعمال را انجام خواهیم داد، اما نه با کسری، بلکه با عبارات کسری. راک جدید در اینجا آشکار خواهد شد، بله...

پس باید دو تا اضافه کنیم عبارات کسری:

ما باید مخرج ها را یکسان کنیم. و فقط با کمک ضرب! این همان چیزی است که خاصیت اصلی یک کسری حکم می کند. بنابراین، من نمی توانم یک به X در کسر اول در مخرج اضافه کنم. (خوب خواهد بود!). اما اگر مخرج ها را ضرب کنید، می بینید که همه چیز با هم رشد می کند! بنابراین خط کسری را در بالا می نویسیم جای خالیبگذارید آن را رها کنیم، سپس آن را اضافه کنیم و حاصلضرب مخرج ها را در زیر بنویسیم تا فراموش نکنیم:

و البته، ما چیزی را در سمت راست ضرب نمی کنیم، پرانتز را باز نمی کنیم! و اکنون، با نگاه به مخرج مشترک سمت راست، متوجه می شویم: برای به دست آوردن مخرج x(x+1) در کسر اول، باید صورت و مخرج این کسر را در (x+1) ضرب کنید. . و در کسر دوم - به x. این چیزیست که شما گرفتید:

توجه داشته باشید! اینجا پرانتز است! این همان چنگک است که بسیاری از افراد روی آن پا می گذارند. البته نه پرانتز، بلکه نبود آنها. پرانتز ظاهر می شود زیرا ما در حال ضرب هستیم همهشمارنده و همهمخرج! و نه تک تک آنها...

در صورت‌حساب سمت راست مجموع اعداد را می‌نویسیم، همه چیز مانند است کسرهای عددی، سپس پرانتزها را در صورت حساب سمت راست باز کنید، i.e. همه چیز را ضرب می کنیم و موارد مشابه را می دهیم. نیازی به باز کردن پرانتز در مخرج یا ضرب کردن چیزی نیست! به طور کلی، در مخرج (هر) محصول همیشه خوشایندتر است! ما گرفتیم:

پس جواب گرفتیم. این روند طولانی و دشوار به نظر می رسد، اما به تمرین بستگی دارد. وقتی مثال ها را حل کنید، به آن عادت کنید، همه چیز ساده می شود. کسانی که به موقع بر کسرها مسلط شده اند، تمام این عملیات را با یک دست چپ، به طور خودکار انجام می دهند!

و یک نکته دیگر بسیاری هوشمندانه با کسری ها سر و کار دارند، اما در مثال هایی با آن گیر می کنند کلشماره. دوست دارم: 2 + 1/2 + 3/4 = ? دو تکه را کجا ببندیم؟ لازم نیست آن را در جایی ببندید، باید از دو کسری درست کنید. این آسان نیست، اما بسیار ساده است! 2=2/1. مثل این. هر عدد کامل را می توان به صورت کسری نوشت. صورت خود عدد است، مخرج یک است. 7 برابر 7/1، 3 برابر 3/1 و غیره است. در مورد حروف هم همینطور است. (a+b) = (a+b)/1، x=x/1 و غیره. و سپس طبق تمام قوانین با این کسرها کار می کنیم.

خوب دانش جمع و تفریق کسرها تازه شد. تبدیل کسرها از یک نوع به نوع دیگر تکرار شد. شما همچنین می توانید بررسی شوید. کمی حلش کنیم؟)

محاسبه:

پاسخ ها (به هم ریخته):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

ضرب / تقسیم کسری - در درس بعدی. همچنین وظایفی برای همه عملیات با کسری وجود دارد.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

که در این درسجمع و تفریق پوشش داده خواهد شد کسرهای جبریبا مخرج های یکسان ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک را با مخرج مشابه جمع و تفریق کنیم. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. توانایی کار با کسری با مخرج مشابه یکی از این موارد است سنگ بنادر یادگیری قوانین کار با کسرهای جبری. به ویژه، درک این موضوع، تسلط بیشتر را آسان می کند موضوع دشوار- جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه را مطالعه می کنیم و همچنین تجزیه و تحلیل می کنیم. کل خط نمونه های معمولی

قانون جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih کسری از یک-به-تو -می دان-م-نا-ته-لا-می (منطبق است با قاعده مشابه برای ضربات معمولی): که برای جمع یا محاسبه کسرهای الگب را-ی-چه-سکیه با یک به شما است. know-me-on-the-la-mi لازم است -ho-di-mo-compile a-geb-ra-i-che-compile مربوط به مجموع اعداد، و علامت-me-na-tel را بدون هیچ گونه ترک کنید.

ما این قانون را هم برای مثال ven-draws معمولی و هم برای مثال al-geb-ra-i-che-draw درک می کنیم.

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای معمولی

مثال 1. جمع کسرها: .

راه حل

بیایید تعداد کسرها را جمع کنیم و علامت را ثابت بگذاریم. پس از این، عدد را تجزیه کرده و به چند و ترکیب ساده وارد می کنیم. برویم بگیریمش: .

توجه: یک خطای استاندارد که هنگام حل نمونه های مشابه مجاز است، برای -شامل در راه حل احتمالی زیر: . این یک اشتباه فاحش است، زیرا علامت همان چیزی است که در کسرهای اصلی بود.

مثال 2. جمع کسرها: .

راه حل

این یکی هیچ تفاوتی با قبلی ندارد: .

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای جبری

از درو بیت های معمولی به الگب رای چ اسکیم می رویم.

مثال 3. کسرها را جمع کنید: .

راه حل: همانطور که در بالا ذکر شد، ترکیب کسری های الگب-را-ی-چه به هیچ وجه با کلمه مشابه جنگ های معمولی تفاوت ندارد. بنابراین روش حل یکسان است: .

مثال 4. شما کسر هستید: .

راه حل

شما-چی-تا-نی از الگب-را-ای-چه-سکیح کسری از جمع تنها با این واقعیت است که در عدد پی سی و ات سیا در تعداد کسرهای استفاده شده تفاوت دارد. از همین رو .

مثال 5. شما کسری هستید: .

راه حل: .

مثال 6. ساده کنید: .

راه حل: .

نمونه هایی از اعمال قانون به دنبال کاهش

در کسری که در نتیجه مرکب یا محاسبه به یک معنا باشد، ترکیبات ممکن است نیا. علاوه بر این، نباید ODZ کسرهای al-geb-ra-i-che-skih را فراموش کنید.

مثال 7. Simplify: .

راه حل: .

که در آن . به طور کلی، اگر ODZ کسرهای اولیه با ODZ کل منطبق باشد، می توان آن را حذف کرد (به هر حال، کسر در پاسخ است، همچنین با تغییرات قابل توجه مربوطه وجود نخواهد داشت). اما اگر ODZ کسرهای استفاده شده و پاسخ مطابقت نداشته باشد، ODZ باید نشان داده شود.

مثال 8. ساده کنید: .

راه حل: . در همان زمان، y (ODZ کسرهای اولیه با ODZ نتیجه منطبق نیست).

جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

برای جمع کردن و خواندن کسری های الگب رای چه با شناخت های مختلف، آنا-لو-گیو را با کسرهای معمولی-ون-نی انجام می دهیم و آن را به الگب منتقل می کنیم. -ra-i-che-fractions.

بیایید ساده ترین مثال را برای کسرهای معمولی بررسی کنیم.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قوانین جمع کردن کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع با کسری، لازم است آن را به یک علامت مشترک برسانیم. در نقش یک علامت کلی برای کسرهای معمولی، شما عمل می کنید کمترین مضرب مشترک(NOK) علائم اولیه.

تعریف

کوچکترین عدد که در همان زمان به اعداد و.

برای پیدا کردن NOC، باید دانش را به مجموعه های ساده تقسیم کنید، و سپس هر چیزی را که تعداد زیادی وجود دارد را انتخاب کنید، که در تقسیم بندی هر دو علامت گنجانده شده است.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن دانش کلی لازم است که هر یک از کسرها یک کثرت کامل پیدا کنند (در واقع علامت مشترک را بر روی علامت کسری مربوطه بریزند).

سپس هر کسر در یک ضریب نیمه پر ضرب می شود. بیایید از همان کسرهایی که می‌شناسید، آنها را جمع کنید و آنها را بخوانید.

بیا بخوریم: .

پاسخ:.

اکنون به ترکیب کسری های الگب رای چه با علائم مختلف نگاه می کنیم. حالا بیایید به کسرها نگاه کنیم و ببینیم آیا عددی وجود دارد یا خیر.

جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگو ریتم تصمیم ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen به مثال قبلی. گرفتن علامت مشترک کسرهای داده شده آسان است: و ضریب های اضافی برای هر یک از آنها.

.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید تشکیل دهیم الگو ریتم جمع و محاسبه کسرهای الگب رای چه اسکیه با علائم مختلف:

1. کوچکترین علامت مشترک کسر را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها ضرایب اضافی بیابید (در واقع، علامت مشترک علامت کسری -ام داده شده است).

3. تا تعداد زیادی اعداد در ضرایب تا به کامل مربوطه.

4. با استفاده از قوانین ترکیب و محاسبه کسرها با همان دانش -me-na-te-la-mi، کسرها را جمع یا محاسبه کنید.

حالا بیایید به مثالی با کسری نگاه کنیم که در علامت آن حروف you -nia وجود دارد.

صورت، و آنچه بر آن تقسیم می شود، مخرج است.

برای نوشتن کسری ابتدا صورت آن را بنویسید سپس یک خط افقی زیر آن عدد بکشید و مخرج را زیر خط بنویسید. خط افقی که صورت و مخرج را از هم جدا می کند، خط کسری نامیده می شود. گاهی اوقات به صورت "/" یا "∕" مایل به تصویر کشیده می شود. در این حالت، صورت در سمت چپ خط و مخرج در سمت راست نوشته می شود. بنابراین، به عنوان مثال، کسری "دو سوم" به عنوان 2/3 نوشته می شود. برای وضوح، صورت معمولاً در بالای خط نوشته می شود و مخرج در پایین، یعنی به جای 2/3 می توانید پیدا کنید: ⅔.

برای محاسبه حاصل ضرب کسرها ابتدا عدد یک را ضرب کنید کسرینسبت به شمارش متفاوت است. نتیجه را در صورت حساب جدید بنویسید کسری. پس از این، مخرج ها را ضرب کنید. مقدار کل را در جدید وارد کنید کسری. مثلا 1/3؟ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1؛ 3 × 5 = 15).

برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر ابتدا عدد اولی را در مخرج دوم ضرب کنید. همین کار را با کسر دوم (مقسوم کننده) انجام دهید. یا، قبل از انجام تمام اقدامات، اگر برای شما راحت تر است، ابتدا مقسوم علیه را "برگردانید": مخرج باید به جای صورتگر ظاهر شود. سپس مخرج تقسیم را در مخرج جدید مقسوم علیه ضرب کنید و اعداد را ضرب کنید. به عنوان مثال، 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5؛ 3 ? 1 = 3).

منابع:

• مسائل کسری اساسی

اعداد کسری را می توان در بیان کرد در اشکال مختلف ارزش دقیقمقادیر. شما می توانید همین کار را با کسری انجام دهید عملیات ریاضیمانند اعداد کامل: تفریق، جمع، ضرب و تقسیم. تا تصمیم گیری را یاد بگیریم کسری، باید برخی از ویژگی های آنها را به خاطر بسپاریم. آنها به نوع آنها بستگی دارد کسری، وجود یک جزء صحیح، یک مخرج مشترک. مقداری عملیات حسابیپس از اجرا نیاز به کاهش بخش کسری نتیجه دارند.

شما نیاز خواهید داشت

• - ماشین حساب

دستورالعمل ها

به اعداد و ارقام دقت کنید. اگر در بین کسری ها اعشاری و نامنظم وجود داشته باشد، گاهی اوقات راحت تر است که ابتدا عملیات را با اعشار انجام دهیم و سپس آنها را به شکل نامنظم تبدیل کنیم. میتونی ترجمه کنی کسریدر این شکل ابتدا مقدار را بعد از اعشار در صورتگر بنویسید و 10 را در مخرج قرار دهید. در صورت لزوم، با تقسیم اعداد بالا و پایین بر یک مقسوم علیه کسر را کاهش دهید. کسری که در آن برجسته است کل بخش، با ضرب آن در مخرج و جمع کردن صورت به نتیجه، آن را به شکل اشتباه درآورید. ارزش داده شدهتبدیل به شمارنده جدید خواهد شد کسری. برای انتخاب یک قسمت کامل از یک قسمت اولیه نادرست کسری، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. کل نتیجه را بنویسید کسری. و باقیمانده تقسیم تبدیل به صورت جدید، مخرج خواهد شد کسریتغییر نمی کند. برای کسرهای دارای جزء صحیح، می توان اعمال را به طور جداگانه انجام داد، ابتدا برای عدد صحیح و سپس برای قطعات کسری. به عنوان مثال، مجموع 1 2/3 و 2 ¾ را می توان محاسبه کرد:
- تبدیل کسرها به شکل اشتباه:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- مجزا کردن اعداد صحیح و قطعات کسریمقررات:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

آنها را با استفاده از جداکننده ":" بازنویسی کنید و ادامه دهید تقسیم منظم.

برای گرفتن نتیجه نهاییکسر به دست آمده را با تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد کامل کاهش دهید، بزرگترین عدد ممکن در در این مورد. در این حالت باید اعداد صحیح در بالا و پایین خط وجود داشته باشد.

توجه داشته باشید

با کسری که مخرج آنها متفاوت است، حساب را انجام ندهید. عددی را طوری انتخاب کنید که وقتی صورت و مخرج هر کسر را در آن ضرب کردید، مخرج هر دو کسر برابر باشد.

مشاوره مفید

هنگام ضبط اعداد کسریسود سهام بالای خط نوشته می شود. این کمیت به عنوان شمارنده کسر تعیین می شود. مقسوم علیه یا مخرج کسر زیر خط نوشته می شود. به عنوان مثال، یک و نیم کیلوگرم برنج به صورت کسری به صورت زیر نوشته می شود: 1 ½ کیلوگرم برنج. اگر مخرج کسری 10 باشد آن کسری را اعشار می نامند. در این حالت، در سمت راست تمام قسمت، که با کاما از هم جدا می شود، عدد (سود سهام) نوشته می شود: 1.5 کیلوگرم برنج. برای سهولت محاسبه، چنین کسری همیشه می تواند به شکل اشتباه نوشته شود: 1 2/10 کیلوگرم سیب زمینی. برای ساده‌تر کردن، می‌توانید با تقسیم کردن آن‌ها بر یک عدد صحیح، مقادیر صورت‌دهنده و مخرج را کاهش دهید. که در در این مثالممکن است بر 2 تقسیم شود. نتیجه 1 1/5 کیلوگرم سیب زمینی خواهد بود. اطمینان حاصل کنید که اعدادی که قرار است با آنها محاسبات انجام دهید به همین شکل ارائه شوند.

مطالعه تفریق کسری با مخرج های مختلف در یافت می شود موضوع مدرسه ایجبر در کلاس هشتم و گاهی اوقات درک آن را برای کودکان دشوار می کند. برای تفریق کسری با مخرج های مختلف از فرمول زیر استفاده کنید:

روش تفریق کسرها شبیه به جمع است، زیرا به طور کامل اصل عملکرد را کپی می کند.

اول، ما بیشترین محاسبه را انجام می دهیم عدد کوچک، که مضربی از مخرج یک و مخرج دیگر است.

ثانیاً، صورت و مخرج هر کسری را در عدد معینی ضرب می کنیم که به ما امکان می دهد مخرج را به حداقل مخرج مشترک برسانیم.

ثالثاً، روش تفریق خود رخ می دهد، زمانی که در پایان مخرج کپی می شود و صورت کسر دوم از کسر اول کم می شود.

مثال: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 کل 1/6

ابتدا باید آنها را به یک مخرج بیاورید و سپس کم کنید. به عنوان مثال، 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. یا، دشوارتر، 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. آیا لازم است توضیح دهید که چگونه کسرها به مخرج مشترک کاهش می یابد؟

برای عملیاتی مانند جمع یا تفریق کسرهای معمولیبا مخرج های مختلف، یک قانون ساده اعمال می شود - مخرج این کسرها به یک عدد کاهش می یابد و خود عمل با اعداد موجود در صورتگر انجام می شود. یعنی کسرها یک مخرج مشترک دریافت می کنند و به نظر می رسد که در یک ترکیب شوند. یافتن مخرج مشترک برای کسرهای دلخواه معمولاً به ضرب کردن هر کسری در مخرج کسر دیگر منجر می شود. اما بیشتر موارد سادهبلافاصله می توانید عواملی را پیدا کنید که مخرج کسرها را به یک عدد برساند.

مثالی از تفریق کسرها: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

بسیاری از بزرگسالان قبلاً فراموش کرده اند نحوه تفریق کسری با مخرج های مختلف، اما این عمل مربوط به ریاضیات ابتدایی است.

برای تفریق کسری با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید، یعنی حداقل مضرب مشترک مخرج ها را پیدا کنید، سپس اعداد را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید. برابر با نسبتحداقل مضرب مشترک و مخرج.

علائم کسری حفظ می شود. هنگامی که کسرها دارای مخرج یکسانی هستند، می توانید کسر را کم کنید، و سپس، در صورت امکان، کسر را کاهش دهید.

النا تصمیم گرفتی تکرار کنی دوره مدرسهریاضی؟)))

برای تفریق کسری با مخرج متفاوت، ابتدا باید آنها را به یک مخرج تقلیل داد و سپس آنها را کم کرد. ساده ترین گزینه: صورت و مخرج کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید و صورت و مخرج کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب کنید. دو کسر با مخرج یکسان بدست می آوریم. حالا صورت کسر دوم را از کسر اول کم می کنیم و مخرج یکسانی دارند.

مثلاً سه پنجم تفریق دو هفتم برابر است با بیست و یک سی و پنجم تفریق ده سی و پنجم و این برابر با یازده سی و پنجم است.

اگر مخرج ها اعداد بزرگی باشند، می توانید حداقل مضرب مشترک آنها را پیدا کنید. عددی که بر یک و مخرج دیگر بخش پذیر خواهد بود. و هر دو کسر را به مخرج مشترک بیاورید (کمترین مضرب مشترک)

نحوه تفریق کسری با مخرج های مختلف کار بسیار ساده ای است - ما کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و سپس تفریق را در صورت انجام می دهیم.

بسیاری از افراد زمانی که اعداد صحیح در کنار این کسرها وجود دارند با مشکل مواجه می شوند، بنابراین می خواستم نحوه انجام این کار را با مثال زیر نشان دهم:

تفریق کسری با اجزای کامل و مخرج های مختلف

ابتدا کل قسمت ها را کم می کنیم 8-5 = 3 (سه مورد نزدیک به کسر اول باقی می ماند).

کسرها را به مخرج مشترک 6 کاهش می دهیم (اگر صورت کسر اول باشد بیشتر از دومی، تفریق را انجام می دهیم و آن را در کنار کل قسمت می نویسیم، در مورد ما ادامه می دهیم).

کل قسمت 3 را به 2 و 1 تجزیه می کنیم.

1 را به صورت کسری 6/6 می نویسیم.

6/6+3/6-4/6 را زیر مخرج مشترک 6 می نویسیم و عملیات را در صورت انجام می دهیم.

ما نتیجه یافت شده را 2 5/6 یادداشت می کنیم.

مهم است که به یاد داشته باشید که کسرها در صورت وجود کم می شوند همان مخرج. بنابراین، هنگامی که ما کسری با مخرج های مختلف داریم، به سادگی باید آنها را به یک مخرج مشترک برسانیم، که انجام این کار دشوار نیست. فقط باید عدد هر کسر را فاکتور بگیریم و کمترین مضرب مشترک را محاسبه کنیم که نباید برابر با صفر باشد. همچنین فراموش نکنید که شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی حاصل ضرب کنید، اما در اینجا یک مثال برای راحتی وجود دارد:



اگر می‌خواهید کسرهایی را با مخرج‌های غیرمشابه کم کنید، ابتدا باید مخرج مشترک دو کسر را پیدا کنید. و دومی را از عدد کسر اول کم کنید. کسری جدید با معنای جدید به دست می آید.

تا جایی که من از درس ریاضی سوم دبستان یادم هست برای تفریق کسری با مخرج های مختلف ابتدا باید مخرج مشترک را محاسبه کرده و به آن تقلیل دهید و سپس به سادگی اعداد را از یکدیگر کم کنید و مخرج ثابت بماند.

برای تفریق کسری با مخرج غیرمشابه، ابتدا باید کمترین مخرج مشترک آن کسرها را پیدا کنیم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:



عدد بزرگتر 25 را بر عدد کوچکتر 20 تقسیم کنید. به این معنی که مخرج 25 را در چنین عددی ضرب می کنیم، مجموع حاصل را می توان بر 20 تقسیم کرد. این عدد 4 خواهد بود. 25x4=100. 100:20=5. بنابراین ما کمترین مخرج مشترک را پیدا کردیم - 100.

حالا باید پیدا کنیم ضریب اضافیبه هر کسری برای انجام این کار، مخرج جدید را بر مخرج قدیمی تقسیم کنید.

9 را در 4 = 36 ضرب کنید 7 را در 5 = 35 ضرب کنید.

با داشتن یک مخرج مشترک، تفریق را همانطور که در مثال نشان داده شده است انجام می دهیم و به نتیجه می رسیم.

در قرن پنجم قبل از میلاد، فیلسوف یونان باستان زنون از الئا، آپوریاهای معروف خود را تدوین کرد که معروف ترین آنها آپوریا "آخیل و لاک پشت" است. در اینجا به نظر می رسد:

فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل برای دویدن این مسافت طول می کشد، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم می دود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند تا بی نهایت ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، هیلبرت... همگی به نوعی به آپوریای زنون توجه داشتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث ها تا امروز ادامه دارد تا به یک نظر مشترک در مورد اصل پارادوکس ها برسیم جامعه علمیتاکنون امکان پذیر نبوده است... ما درگیر بررسی موضوع بودیم تجزیه و تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، فیزیکی جدید و رویکردهای فلسفی; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده برای مشکل تبدیل نشدند...«[ویکی‌پدیا، «آپوریای زنو». همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب شامل چه چیزی است.

از نقطه نظر ریاضی، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از کمیت به . این انتقال به جای استفاده از موارد دائمی، کاربرد دارد. تا آنجایی که من می فهمم، دستگاه ریاضیاستفاده از واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است یا در آپوریای Zeno اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما به دلیل اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را به مقدار متقابل اعمال می کنیم. با نقطه فیزیکیاز نظر به نظر می رسد که زمان تا رسیدن به آن کند می شود توقف کاملدر لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت پیشی بگیرد.

اگر منطق همیشگی خود را برگردانیم، همه چیز سر جای خود قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت. هر بخش بعدی از مسیر او ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم "بی نهایت" را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم "آشیل بی نهایت سریع به لاک پشت می رسد."

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای ثابت زمان بمانید و به آن نپرید متقابل. در زبان زنو به این صورت است:

در مدت زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. برای فاصله زمانی بعدی، برابر با اولآشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما اینطور نیست راه حل کاملچالش ها و مسائل. گفته انیشتین در مورد مقاومت ناپذیری سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آخیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، تجدید نظر و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو درباره یک فلش پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، و از آنجا که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا پارادوکس منطقیمی توان به سادگی بر آن غلبه کرد - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان یک فلش پرنده در نقاط مختلف فضا در حال استراحت است که در واقع حرکت است. در اینجا لازم است به نکته دیگری توجه شود. از یک عکس از یک ماشین در جاده نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله تا آن را تعیین کرد. برای تعیین اینکه آیا یک ماشین در حال حرکت است یا خیر، نیاز به دو عکس دارید که از یک نقطه در نقاط مختلف زمان گرفته شده اند، اما نمی توانید فاصله آنها را تعیین کنید. برای تعیین فاصله تا ماشین، شما نیاز به دو عکس دارید نقاط مختلففضا در یک نقطه از زمان است، اما تعیین واقعیت حرکت از آنها غیرممکن است (به طور طبیعی، داده های اضافی هنوز برای محاسبات مورد نیاز است، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به آن اشاره کنم توجه ویژه، این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در مکان چیزهای متفاوتی هستند که نباید با هم اشتباه گرفته شوند، زیرا فرصت های متفاوتی را برای تحقیق فراهم می کنند.

چهارشنبه 4 جولای 2018

تفاوت های بین مجموعه و چند مجموعه به خوبی در ویکی پدیا توضیح داده شده است. اجازه بدید ببینم.

همانطور که می بینید، "دو عنصر یکسان در یک مجموعه نمی تواند وجود داشته باشد"، اما اگر عناصر یکسان در یک مجموعه وجود داشته باشد، به چنین مجموعه ای "چند مجموعه" می گویند. چنین منطق پوچی موجودات ذی شعورهرگز نمی فهمد این سطح طوطی های سخنگو و میمون های تربیت شده است که از کلمه "کاملا" هوشی ندارند. ریاضیدانان مانند مربیان معمولی عمل می کنند و ایده های پوچ خود را به ما موعظه می کنند.

روزی روزگاری مهندسانی که این پل را ساخته بودند در قایق زیر پل بودند و پل را آزمایش می کردند. اگر پل فرو می ریزد، مهندس متوسط ​​زیر آوار ساخته خود می میرد. اگر پل می توانست بار را تحمل کند، مهندس با استعداد پل های دیگری می ساخت.

مهم نیست که چقدر ریاضیدانان پشت عبارت "من را ببند، من در خانه هستم" یا بهتر بگوییم "مطالعات ریاضیات" پنهان می شوند. مفاهیم انتزاعی"، یک بند ناف وجود دارد که آنها را به طور جدایی ناپذیر با واقعیت پیوند می دهد. این بند ناف پول است. اعمال کنید. نظریه ریاضیرا برای خود ریاضیدانان تنظیم می کند.

ما ریاضی را خیلی خوب خواندیم و الان پشت صندوق نشسته ایم و حقوق می دهیم. بنابراین یک ریاضیدان برای پولش نزد ما می آید. کل مبلغ را برای او می شمریم و آن را روی میز خود در انبوه های مختلف می گذاریم، که اسکناس های یک فرقه را در آن می گذاریم. سپس از هر پشته یک اسکناس می گیریم و به ریاضیدان می دهیم. مجموعه ریاضیحقوق." ما به ریاضیات توضیح می دهیم که او فقط زمانی صورتحساب های باقی مانده را دریافت می کند که ثابت کند مجموعه ای بدون عناصر یکسان با مجموعه ای با عناصر یکسان برابر نیست. اینجاست که سرگرمی شروع می شود.

اول از همه، منطق نمایندگان کار خواهد کرد: "این را می توان برای دیگران اعمال کرد، اما برای من نه!" سپس آنها شروع به اطمینان از ما می کنند که در اسکناس کرامت برابرشماره اسکناس های مختلفی وجود دارد، به این معنی که نمی توان آنها را عناصر یکسان در نظر گرفت. خوب، بیایید حقوق ها را به سکه حساب کنیم - هیچ عددی روی سکه ها وجود ندارد. در اینجا ریاضیدان دیوانه وار شروع به یادآوری فیزیک می کند: روی سکه های مختلف وجود دارد مقادیر مختلفخاک، ساختار کریستالی و آرایش اتمی هر سکه منحصر به فرد است...

و حالا من بیشترین را دارم علاقه بپرس: خطی که فراتر از آن عناصر یک چند مجموعه به عناصر یک مجموعه تبدیل می شوند کجاست و بالعکس؟ چنین خطی وجود ندارد - همه چیز توسط شمن ها تصمیم می گیرد، علم حتی به دروغ گفتن در اینجا نزدیک نیست.

اینجا را نگاه کن. ما استادیوم های فوتبال را با همان زمین انتخاب می کنیم. مناطق فیلدها یکسان است - به این معنی که ما یک چند مجموعه داریم. اما اگر به اسامی همین استادیوم ها نگاه کنیم، به تعداد زیادی می رسیم، زیرا نام ها متفاوت است. همانطور که می بینید، همان مجموعه عناصر هم یک مجموعه و هم چند مجموعه است. کدام درسته؟ و در اینجا، ریاضیدان-شمن-شارپیست یک خال از آستین خود بیرون می‌آورد و شروع می‌کند به ما درباره یک مجموعه یا چند مجموعه بگوید. در هر صورت او ما را متقاعد خواهد کرد که حق با اوست.

برای درک اینکه چگونه شمن های مدرن با تئوری مجموعه ها عمل می کنند و آن را به واقعیت گره می زنند، کافی است به یک سوال پاسخ دهیم: عناصر یک مجموعه با عناصر مجموعه دیگر چه تفاوتی دارند؟ من به شما نشان خواهم داد، بدون هیچ گونه «مفهوم به عنوان یک کل واحد» یا «مصالح به عنوان یک کل واحد».

یکشنبه 18 مارس 2018

مجموع ارقام یک عدد رقص شمن ها با تنبور است که ربطی به ریاضیات ندارد. بله، در درس های ریاضی به ما یاد می دهند که مجموع ارقام یک عدد را پیدا کرده و از آن استفاده کنیم، اما به همین دلیل است که آنها شمن هستند تا مهارت ها و خرد خود را به فرزندان خود بیاموزند، در غیر این صورت شمن ها به سادگی از بین می روند.

آیا نیاز به مدرک دارید؟ ویکی پدیا را باز کنید و سعی کنید صفحه «مجموع ارقام یک عدد» را پیدا کنید. او وجود ندارد هیچ فرمولی در ریاضیات وجود ندارد که بتوان از آن برای یافتن مجموع ارقام هر عددی استفاده کرد. از این گذشته ، اعداد نمادهای گرافیکی هستند که با آنها اعداد را می نویسیم ، و در زبان ریاضیات کار به این صورت است: "مجموع نمادهای گرافیکی را پیدا کنید که نشان دهنده هر عددی است." ریاضیدانان نمی توانند این مشکل را حل کنند، اما شمن ها می توانند آن را به راحتی انجام دهند.

بیایید بفهمیم که چه کاری و چگونه انجام می دهیم تا مجموع اعداد را پیدا کنیم شماره داده شده. و بنابراین، اجازه دهید عدد 12345 را داشته باشیم. برای یافتن مجموع ارقام این عدد چه باید کرد؟ بیایید تمام مراحل را به ترتیب در نظر بگیریم.

1. عدد را روی یک تکه کاغذ یادداشت کنید. ما چه کرده ایم؟ ما عدد را به نماد عدد گرافیکی تبدیل کرده ایم. این یک عملیات ریاضی نیست.

2. یک تصویر حاصل را به چندین عکس که حاوی اعداد جداگانه هستند برش می دهیم. برش عکس یک عملیات ریاضی نیست.

3. نمادهای گرافیکی فردی را به اعداد تبدیل کنید. این یک عملیات ریاضی نیست.

4. اعداد به دست آمده را اضافه کنید. حالا این ریاضی است.

مجموع ارقام عدد 12345 برابر با 15 است. اینها "دوره های برش و دوخت" از شمن ها هستند که ریاضیدانان از آنها استفاده می کنند. اما این همه ماجرا نیست.

از نظر ریاضی فرقی نمی کند که در کدام سیستم عددی عدد بنویسیم. بنابراین، در سیستم های مختلفدر حساب دیفرانسیل و انتگرال، مجموع ارقام یک عدد متفاوت خواهد بود. در ریاضیات، سیستم اعداد به صورت مشخص شده است زیرنویسسمت راست شماره با تعداد زیادی 12345 نمی خواهم سرم را گول بزنم، بیایید به عدد 26 از مقاله درباره . بیایید این عدد را در سیستم های اعداد باینری، اکتال، اعشاری و هگزادسیمال بنویسیم. ما به هر مرحله زیر میکروسکوپ نگاه نمی کنیم. بیایید به نتیجه نگاه کنیم.

همانطور که می بینید، در سیستم های اعداد مختلف، مجموع ارقام یک عدد متفاوت است. این نتیجه ربطی به ریاضیات ندارد. مثل این است که اگر مساحت یک مستطیل را بر حسب متر و سانتی متر تعیین کنید، نتایج کاملاً متفاوتی خواهید گرفت.

صفر در تمام سیستم های اعداد یکسان به نظر می رسد و مجموع ارقام ندارد. این یکی دیگر از استدلال ها به نفع این واقعیت است که. سوال برای ریاضیدانان: چگونه چیزی که عدد نیست در ریاضیات تعیین می شود؟ چه، برای ریاضیدانان چیزی جز اعداد وجود ندارد؟ من می توانم این را برای شمن ها مجاز کنم، اما برای دانشمندان نه. واقعیت فقط اعداد نیست.

نتیجه به‌دست‌آمده باید به عنوان دلیلی در نظر گرفته شود که سیستم‌های عددی واحدهای اندازه‌گیری اعداد هستند. از این گذشته، ما نمی توانیم اعداد را با واحدهای اندازه گیری مختلف مقایسه کنیم. اگر اقدامات یکسان با واحدهای اندازه گیری متفاوت از یک کمیت پس از مقایسه آنها به نتایج متفاوتی منجر شود، پس این ربطی به ریاضیات ندارد.

ریاضیات واقعی چیست؟ این زمانی است که نتیجه عملیات ریاضیبه اندازه عدد، واحد اندازه گیری استفاده شده و اینکه چه کسی عمل را انجام می دهد، بستگی ندارد.

روی درب امضا کنید در را باز می کند و می گوید:

اوه اینجا دستشویی زنانه نیست؟
- زن جوان! این آزمایشگاهی است برای مطالعه قدوسیت بی عیب ارواح در هنگام عروج آنها به بهشت! هاله در بالا و فلش به بالا. چه توالت دیگری؟

ماده ... هاله بالا و فلش پایین نر هستند.

اگر چنین اثر هنری طراحی چندین بار در روز از جلوی چشمان شما چشمک بزند،

پس تعجب آور نیست که شما به طور ناگهانی نماد عجیبی را در ماشین خود پیدا کنید:

من شخصاً تلاش می‌کنم تا منهای چهار درجه را در یک فرد مدفوع ببینم (یک تصویر) (ترکیبی از چندین تصویر: علامت منفی، شماره چهار، تعیین درجه). و به نظر من این دختر احمق نیست، نه مسلط به فیزیک. او فقط کلیشه ای از ادراک دارد تصاویر گرافیکی. و ریاضیدانان همیشه این را به ما می آموزند. در اینجا یک مثال است.

1A "منهای چهار درجه" یا "یک a" نیست. این "مرد مدفوع" یا عدد "بیست و شش" در نماد هگزا دسیمال است. افرادی که دائماً در این سیستم اعداد کار می کنند به طور خودکار یک عدد و یک حرف را به عنوان یک نماد گرافیکی درک می کنند.