نحوه حل معادله با کسرهای 6. ODZ. حوزه ارزش های قابل قبول نحوه حل معادلات با کسری - x در عدد
دستورالعمل ها
البته شاید واضح ترین نکته در اینجا باشد. کسرهای عددیهیچ خطری نداشته باشد ( معادلات کسری، که در آن همه مخرج ها فقط شامل اعداد هستند، به طور کلی خطی خواهند بود)، اما اگر متغیری در مخرج وجود داشته باشد، باید آن را در نظر گرفت و یادداشت کرد. اولاً این است که x که مخرج را به 0 تبدیل می کند، نمی تواند باشد و به طور کلی باید این واقعیت را جداگانه بیان کرد که x نمی تواند با این عدد برابر باشد. حتی اگر موفق شوید که هنگام جایگزینی به صورت شمار، همه چیز کاملاً همگرا شود و شرایط را برآورده کند. ثانیاً، نمی‌توانیم هیچ یک از طرفین معادله را در . برابر با صفر.
پس از این، چنین معادله ای به جابجایی تمام عبارات آن به سمت چپ کاهش می یابد تا 0 در سمت راست باقی بماند.
لازم است همه عبارت ها را به یک مخرج مشترک بیاوریم و در صورت لزوم، اعداد را در عبارات گمشده ضرب کنیم.
در مرحله بعد، معادله معمولی که در صورت حساب نوشته شده را حل می کنیم. ما می توانیم آن را تحمل کنیم عوامل مشترکفراتر از براکت ها، ضرب اختصاری را اعمال کنید، موارد مشابه را بیاورید، ریشه ها را محاسبه کنید معادله درجه دوماز طریق ممیز و غیره
نتیجه باید فاکتورسازی به شکل حاصلضرب براکت ها (x-(i-امین ریشه)) باشد. این ممکن است شامل چند جمله ای هایی باشد که ریشه ندارند، به عنوان مثال، سه جمله ای درجه دومبا ممیز کمتر از صفر (البته اگر فقط مشکل باشد ریشه های واقعی، همانطور که اغلب اتفاق می افتد).
فاکتورگیری مخرج و یافتن پرانتزهایی که قبلاً در صورت‌دهنده موجود است، ضروری است. اگر مخرج شامل عباراتی مانند (x-(عدد)) باشد، بهتر است هنگام تقلیل به مخرج مشترک، پرانتزهای داخل آن را مستقیما ضرب نکنید، بلکه آنها را به عنوان حاصل ضرب عبارات ساده اصلی بگذارید.
پرانتزهای یکسان در صورت و مخرج را می توان با نوشتن ابتدا، همانطور که در بالا ذکر شد، شرایط x را کوتاه کرد.
پاسخ در کروشه های فرفری، به عنوان مجموعه ای از مقادیر x یا به سادگی به صورت شمارش نوشته می شود: x1=...، x2=...، و غیره.
منابع:
- کسری معادلات منطقی
چیزی که نمی توانید بدون آن در فیزیک، ریاضیات، شیمی انجام دهید. کمترین. بیایید اصول حل آنها را بیاموزیم.
دستورالعمل ها
کلی‌ترین و ساده‌ترین طبقه‌بندی را می‌توان بر اساس تعداد متغیرهایی که دارند و درجاتی که این متغیرها در آن قرار دارند تقسیم کرد.
معادله را با تمام ریشه های آن حل کنید یا ثابت کنید که وجود ندارد.
هر معادله ای بیش از P ریشه ندارد، جایی که P حداکثر معادله داده شده است.
اما برخی از این ریشه ها ممکن است منطبق باشند. بنابراین، برای مثال، معادله x^2+2*x+1=0، که در آن ^ نماد قدرت است، به مربع عبارت (x+1) تا می شود، یعنی به حاصل ضرب دو یکسان. براکت ها که هر کدام x=- 1 را به عنوان راه حل می دهند.
اگر در یک معادله فقط یک مجهول وجود داشته باشد، به این معنی است که شما می توانید به طور صریح ریشه های آن (واقعی یا مختلط) را بیابید.
برای این به احتمال زیاد نیاز خواهید داشت، تحولات مختلف: ضرب اختصاری، محاسبه ممیز و ریشه یک معادله درجه دوم، انتقال عبارت از یک جزء به قسمت دیگر، کاهش به مخرج مشترک، ضرب هر دو قسمت معادله در یک عبارت، در یک مربع و غیره.
تبدیل هایی که بر ریشه های معادله تأثیر نمی گذارند یکسان هستند. آنها برای ساده کردن فرآیند حل یک معادله استفاده می شوند.
شما همچنین می توانید به جای تجزیه و تحلیل سنتی استفاده کنید روش گرافیکیو یادداشت کنید معادله داده شدهدر قالب، سپس انجام تحقیقات خود.
اگر در یک معادله بیش از یک مجهول وجود داشته باشد، شما فقط قادر خواهید بود یکی از آنها را بر حسب دیگری بیان کنید و در نتیجه مجموعه ای از راه حل ها را نشان دهید. به عنوان مثال، اینها معادلاتی با پارامترهایی هستند که در آنها یک x مجهول و یک پارامتر a وجود دارد. تصميم گرفتن معادله پارامتریک- به این معنی است که همه a باید x را از طریق a بیان کنند، یعنی همه موارد ممکن را در نظر بگیرند.
اگر معادله مشتقات یا دیفرانسیل مجهولات باشد (تصویر را ببینید)، تبریک می‌گوییم، این معادله دیفرانسیل، و در اینجا شما نمی توانید بدون آن کار کنید ریاضیات بالاتر).
منابع:
برای حل مشکل با در کسری، باید یاد بگیرید که چگونه با آنها برخورد کنید عملیات حسابی. آنها می توانند اعشاری باشند، اما اغلب مورد استفاده قرار می گیرند کسرهای طبیعیبا صورت و مخرج فقط پس از این می توانیم به سراغ راه حل ها برویم مسائل ریاضیبا مقادیر کسری.
شما نیاز خواهید داشت
- - ماشین حساب؛
- - آگاهی از خواص کسری؛
- - توانایی انجام عملیات با کسری.
دستورالعمل ها
کسری نمادی برای تقسیم یک عدد بر عدد دیگر است. اغلب این کار را نمی توان به طور کامل انجام داد، به همین دلیل است که این عمل ناتمام می ماند. عددی که قابل بخش است (بالا یا قبل از علامت کسر ظاهر می شود) را ممیز و عدد دوم (زیر یا بعد از علامت کسر) را مخرج می گویند. اگر صورت از مخرج بزرگتر باشد، کسر را کسر نامناسب می نامند و می توان یک جزء کامل را از آن جدا کرد. اگر شمارنده کمتر از مخرج، پس چنین کسری را مناسب می نامند و آن را کل بخشبرابر 0 است.
وظایفبه چند نوع تقسیم می شوند. مشخص کنید که وظیفه به کدام یک از آنها تعلق دارد. ساده ترین گزینه- یافتن کسری یک عدد به صورت کسری بیان می شود. برای حل این مشکل کافی است این عدد را در کسری ضرب کنید. مثلا 8 تن سیب زمینی تحویل داده شد. در هفته اول 3/4 فروخته شد تعداد کل. چند عدد سیب زمینی باقی مانده است؟ برای حل این مشکل عدد 8 را در 3/4 ضرب کنید. معلوم می شود 8∙3/4=6 تن.
اگر می خواهید عددی را در قسمت آن پیدا کنید، ضرب کنید قسمت شناخته شدهاعداد به کسری، متقابل کسری که نشان می دهد سهم یک جزء معین در عدد چقدر است. مثلاً 8 نفر از آنها 1/3 کل دانش آموزان را تشکیل می دهند. چند در؟ از آنجایی که 8 نفر بخشی است که نشان دهنده 1/3 کل است، پس پیدا کنید کسری متقابلکه برابر است با 3/1 یا فقط 3. سپس برای به دست آوردن تعداد دانش آموزان کلاس 8∙3=24 دانش آموز.
هنگامی که باید پیدا کنید که کدام قسمت از یک عدد یک عدد از دیگری است، عددی را که نمایانگر جزء است بر آن که کل است تقسیم کنید. به عنوان مثال، اگر مسافت 300 کیلومتر باشد و خودرو 200 کیلومتر را طی کرده باشد، این مسافت چند قسمتی از کل مسافت خواهد بود؟ قسمتی از مسیر را به 200 تقسیم کنید مسیر کامل 300، پس از کاهش کسر به نتیجه خواهید رسید. 200/300=2/3.
برای پیدا کردن کسری مجهول از یک عدد در صورت وجود یک عدد معلوم، عدد کامل را به عنوان یک واحد متعارف در نظر بگیرید و کسری معلوم را از آن کم کنید. مثلاً اگر 4/7 درس گذشته باشد، آیا هنوز زمان باقی است؟ کل درس را به صورت واحد در نظر بگیرید و 4/7 از آن کم کنید. دریافت 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
حل معادلات با کسربیایید به نمونه هایی نگاه کنیم. مثال ها ساده و گویا هستند. با کمک آنها شما بیشتر هستید به روشی واضحشما میتوانید بیاموزید.
به عنوان مثال، شما باید معادله ساده x/b + c = d را حل کنید.
معادله ای از این نوع خطی نامیده می شود، زیرا مخرج فقط شامل اعداد است.
راه حل با ضرب هر دو طرف معادله در b انجام می شود، سپس معادله به شکل x = b*(d – c)، یعنی. مخرج کسری در سمت چپ لغو می شود.
به عنوان مثال، چگونه یک معادله کسری را حل کنیم:
x/5+4=9
هر دو طرف را در 5 ضرب می کنیم.
x+20=45
x=45-20=25
مثال دیگر وقتی مجهول در مخرج است:
معادلات این نوع را کسری - گویا یا به سادگی کسری می نامند.
ما یک معادله کسری را با خلاص شدن از کسری حل می کنیم، پس از آن این معادله اغلب به یک معادله خطی یا درجه دوم تبدیل می شود که قابل حل است. به روش معمول. فقط باید نکات زیر را در نظر بگیرید:
- مقدار متغیری که مخرج را به 0 تبدیل می کند نمی تواند ریشه باشد.
- شما نمی توانید یک معادله را با عبارت =0 تقسیم یا ضرب کنید.
اینجاست که مفهوم منطقه مقادیر مجاز (ADV) به اجرا در می آید - اینها مقادیر ریشه های معادله هستند که معادله برای آنها معنی دارد.
بنابراین، هنگام حل معادله، لازم است ریشه ها را پیدا کنید، و سپس آنها را برای انطباق با ODZ بررسی کنید. آن ریشه هایی که با ODZ ما مطابقت ندارند از پاسخ حذف می شوند.
به عنوان مثال، شما باید یک معادله کسری را حل کنید:
بر اساس قانون فوق، x نمی تواند = 0 باشد، یعنی. ODZ در در این مورد: x – هر مقداری غیر از صفر.
با ضرب تمام عبارات معادله در x از مخرج خلاص می شویم
و معادله معمول را حل می کنیم
5x - 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
پاسخ: x = 1/3
بیایید یک معادله پیچیده تر را حل کنیم:
ODZ نیز در اینجا وجود دارد: x -2.
هنگام حل این معادله، ما همه چیز را به یک طرف منتقل نمی کنیم و کسرها را به یک مخرج مشترک نمی آوریم. بلافاصله هر دو طرف معادله را در عبارتی ضرب می کنیم که همه مخرج ها را به یکباره باطل می کند.
برای کاهش مخرج، باید سمت چپ را در x+2 و سمت راست را در 2 ضرب کنید. این بدان معناست که هر دو طرف معادله باید در 2 ضرب شود (x+2):
دقیقا این ضرب معمولیکسری که قبلاً در بالا مورد بحث قرار گرفتیم
بیایید همان معادله را بنویسیم، اما کمی متفاوت
سمت چپ با (x+2) و سمت راست با 2 کاهش می یابد معادله خطی:
x = 4 – 2 = 2 که با ODZ ما مطابقت دارد
پاسخ: x = 2.
حل معادلات با کسرآنقدرها هم که به نظر می رسد دشوار نیست در این مقاله با مثال هایی این موضوع را نشان داده ایم. اگر مشکلی دارید با نحوه حل معادلات با کسر، سپس در نظرات لغو اشتراک کنید.
کمترین مخرج مشترکبرای ساده سازی این معادله استفاده می شود.این روش زمانی استفاده می شود که نمی توانید معادله داده شده را با یک بنویسید بیان منطقیدر هر طرف معادله (و از روش ضرب متقاطع استفاده کنید). این روش زمانی استفاده می شود که یک معادله منطقی با 3 یا بیشتر کسر به شما داده شود (در مورد دو کسر بهتر است از ضرب متقاطع استفاده کنید).
کمترین مخرج مشترک کسرها (یا حداقل مضرب مشترک) را بیابید. NOZ است کوچکترین عدد، که به طور مساوی بر هر مخرج تقسیم می شود.
- گاهی اوقات NPD یک عدد واضح است. برای مثال، اگر معادله x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 داده شود، بدیهی است که کمترین مضرب مشترک اعداد 3، 2 و 6 6 است.
- اگر NCD واضح نیست، مضربی از آن را یادداشت کنید مخرج بزرگو در میان آنها یکی را بیابید که برای مخرج های دیگر متعدد باشد. اغلب NOD را می توان با ضرب دو مخرج به سادگی یافت. برای مثال، اگر معادله x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 داده شود، NOS = 8*9 = 72.
- اگر یک یا چند مخرج حاوی یک متغیر باشد، فرآیند تا حدودی پیچیده‌تر می‌شود (اما غیرممکن نیست). در این مورد، NOC یک عبارت (شامل یک متغیر) است که بر هر مخرج تقسیم می شود. به عنوان مثال، در معادله 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1)، زیرا این عبارت بر هر مخرج تقسیم می شود: 3x(x-1)/(x -1 = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
هم صورت و هم مخرج هر کسر را در عددی برابر با حاصل تقسیم NOC بر مخرج مربوط به هر کسر ضرب کنید. از آنجایی که شما هم صورت و هم مخرج را در یک عدد ضرب می کنید، به طور موثر کسر را در 1 ضرب می کنید (مثلاً 2/2 = 1 یا 3/3 = 1).
- بنابراین در مثال ما، x/3 را در 2/2 ضرب کنید تا 2x/6 به دست آید، و 1/2 در 3/3 ضرب کنید تا 3/6 به دست آید (کسری 3x +1/6 نیازی به ضرب ندارد زیرا مخرج 6 است).
- هنگامی که متغیر در مخرج است به همین ترتیب ادامه دهید. در مثال دوم ما، NOZ = 3x(x-1)، بنابراین 5/(x-1) را در (3x)/(3x) ضرب کنید تا 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ضرب در 3(x-1)/3(x-1) و 3(x-1)/3x(x-1) بدست می آید. 2/(3x) در (x-1)/(x-1) ضرب شده و 2(x-1)/3x(x-1) بدست می آید.
x را پیدا کنید.اکنون که کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش داده اید، می توانید از مخرج خلاص شوید. برای این کار هر ضلع معادله را در مخرج مشترک ضرب کنید. سپس معادله حاصل را حل کنید، یعنی "x" را پیدا کنید. برای انجام این کار، متغیر را در یک طرف معادله جدا کنید.
- در مثال ما: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. می توانید 2 کسر را با آن اضافه کنید همان مخرجپس معادله را به صورت زیر بنویسید: (2x+3)/6=(3x+1)/6. دو طرف معادله را در 6 ضرب کنید و از مخرج ها خلاص شوید: 2x+3 = 3x +1. حل کنید و x=2 را بدست آورید.
- در مثال دوم ما (با یک متغیر در مخرج)، معادله به نظر می رسد (پس از کاهش به مخرج مشترک): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). با ضرب دو طرف معادله در N3، از مخرج خلاص می شوید و به دست می آورید: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1)، یا 15x = 3x - 3 + 2x -2، یا 15x = x - 5 حل کنید و بدست آورید: x = -5/14.
معادلات کسری ODZ.
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")
ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. باقی ماند آخرین نمای – معادلات کسری. یا به آنها بسیار محترمانه تر گفته می شود - معادلات گویا کسری. این همان است.
معادلات کسری
همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. مثلا:
به شما یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط باشند شماره، این معادلات خطی هستند.
نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه، از شر کسری خلاص شوید! پس از این، معادله اغلب به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا یک عبارت نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.
اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ بسیار ساده. اعمال همان تبدیل های یکسان.
باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. فرض کنید باید معادله را حل کنیم:
همانطور که در کلاس های خردسال? ما همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. فراموش کن چگونه رویای وحشتناک! این همان کاری است که باید هنگام جمع یا تفریق انجام دهید. عبارات کسری. یا با نابرابری ها کار می کنید. و در معادلات، فوراً هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟
در سمت چپ، برای کاهش مخرج نیاز به ضرب در x+2. و در سمت راست، ضرب در 2 مورد نیاز است، به این معنی که معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). تکثیر کردن:
این یک ضرب معمولی کسری است، اما من آن را با جزئیات شرح می دهم:
لطفا توجه داشته باشید که من هنوز براکت را باز نمی کنم (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:
در سمت چپ به طور کامل منقبض می شود (x+2)، و در سمت راست 2. چیزی که لازم بود! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:
و همه می توانند این معادله را حل کنند! x = 2.
بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:
اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1، می توانیم بنویسیم:
و دوباره از آنچه واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.
می بینیم که برای کاهش مخرج با X، باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همه سمت راست:
دوباره پرانتز (x - 2)من فاش نمی کنم. من با کل براکت طوری کار می کنم که انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.
با احساس رضایت عمیق ما را کاهش می دهیم (x - 2)و معادله ای بدون کسری با خط کش می گیریم!
حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم:
موارد مشابه را می آوریم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:
اما قبل از آن ما حل مشکلات دیگر را یاد خواهیم گرفت. بر اساس علاقه اتفاقاً این یک چنگک است!
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
