مجموعه قوانین مصوب xv. قانون لغو اتاق حقوق فئودالی (1656). بویار دوما است

ارائه و درس با موضوع:
"نمودار تابع $y=ax^2+bx+c$. خواص"

مواد اضافی
کاربران گرامی، فراموش نکنید که نظرات، نظرات، خواسته های خود را بنویسید! تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه هشتم
کتابچه راهنمای کتاب درسی توسط Dorofeev G.V. راهنمای کتاب درسی توسط Nikolsky S.M.

بچه ها، در آخرین درس هاما ساختیم تعداد زیادی ازنمودارها، از جمله سهمی های زیادی. امروز دانشی را که به دست آورده‌ایم خلاصه می‌کنیم و یاد می‌گیریم که چگونه این تابع را در کلی‌ترین شکل آن ترسیم کنیم.
بیایید به مثلث درجه دوم $a*x^2+b*x+c$ نگاه کنیم. $a,b,c$ ضرایب نامیده می شوند. آنها می توانند هر عددی باشند، اما $a≠0$. $a*x^2$ اصطلاح اصلی نامیده می شود، $a$ ضریب پیشرو است. شایان ذکر است که ضرایب $b$ و $c$ می تواند باشد برابر با صفریعنی سه جمله ای از دو جمله تشکیل شده و سومی برابر با صفر است.

بیایید به تابع $y=a*x^2+b*x+c$ نگاه کنیم. به این تابع "مربع" می گویند زیرا بالاترین توان دوم است، یعنی مربع. ضرایب همان است که در بالا تعریف شده است.

در آخرین درس در آخرین نمونه، ساخت یک نمودار از یک تابع مشابه را تجزیه و تحلیل کردیم.
بیایید ثابت کنیم که هر تابع درجه دوم را می توان به این شکل کاهش داد: $y=a(x+l)^2+m$.

نمودار چنین تابعی با استفاده از سیستم اضافیمختصات که در ریاضی بزرگ، اعداد بسیار نادر هستند. تقریباً هر مشکلی نیاز به اثبات دارد مورد کلی. امروز به یکی از این شواهد نگاه خواهیم کرد. بچه ها، شما می توانید تمام قدرت را ببینید دستگاه ریاضی، اما پیچیدگی آن نیز وجود دارد.

برجسته کنیم مربع کاملاز جانب سه جمله ای درجه دوم:
$a*x^2+b*x+c=(a*x^2+b*x)+c=a(x^2+\frac(b)(a)*x)+c=$$= a(x^2+2\frac(b)(2a)*x+\frac(b^2)(4a))-\frac(b^2)(4a)+c=a(x+\frac(b) (2a))^2+\frac(4ac-b^2)(4a)$.
ما به آنچه می خواستیم رسیدیم.
هر تابع درجه دوم را می توان به صورت زیر نشان داد:
$y=a(x+l)^2+m$، که در آن $l=\frac(b)(2a)$، $m=\frac(4ac-b^2)(4a)$.

برای رسم نمودار $y=a(x+l)^2+m$، باید تابع $y=ax^2$ را رسم کنید. علاوه بر این، راس سهمی در نقطه ای با مختصات $(-l;m)$ قرار خواهد گرفت.
بنابراین، تابع $y=a*x^2+b*x+c$ ما یک سهمی است.
محور سهمی خط مستقیم $x=-\frac(b)(2a)$ خواهد بود و مختصات راس سهمی در امتداد محور آبسیسا، همانطور که می بینیم، با فرمول $ محاسبه می شود. x_(c)=-\frac(b)(2a) $.
برای محاسبه مختصات محور y راس سهمی، می توانید:

• از فرمول استفاده کنید: $y_(в)=\frac(4ac-b^2)(4a)$،
• مستقیماً مختصات راس را در امتداد $x$ به تابع اصلی جایگزین کنید: $y_(в)=ax_(в)^2+b*x_(в)+c$.

ترتیب یک راس را چگونه محاسبه کنیم؟ باز هم، انتخاب با شماست، اما معمولاً روش دوم برای محاسبه آسان تر خواهد بود.
اگر نیاز به توصیف برخی از ویژگی ها یا پاسخ به برخی سؤالات خاص دارید، همیشه نیازی به ایجاد نموداری از تابع ندارید. ما سؤالات اصلی را که بدون ساخت و ساز در داخل می توان پاسخ داد را در نظر خواهیم گرفت مثال زیر.

مثال 1.
بدون ترسیم نمودار تابع $y=4x^2-6x-3$، به سوالات زیر پاسخ دهید:

راه حل.
الف) محور سهمی خط مستقیم است $x=-\frac(b)(2a)=-\frac(-6)(2*4)=\frac(6)(8)=\frac(3) ) (4) دلار.
ب) آبسیسا راس را بالای $x_(c)=\frac(3)(4)$ پیدا کردیم.
ترتیب راس را با جایگزینی مستقیم به تابع اصلی می یابیم:
$y_(v)=4*(\frac(3)(4))^2-6*\frac(3)(4)-3=\frac(9)(4)-\frac(18)(4 )-\frac(12)(4)=-\frac(21)(4)$.
ج) نمودار تابع مورد نیاز با انتقال موازی گراف $y=4x^2$ بدست خواهد آمد. شاخه های آن به سمت بالا نگاه می کنند، به این معنی که شاخه های سهمی تابع اصلی نیز به سمت بالا نگاه می کنند.
به طور کلی، اگر ضریب $a>0$، آنگاه شاخه ها به سمت بالا نگاه می کنند، اگر ضریب $a باشد.
مثال 2.
نمودار تابع: $y=2x^2+4x-6$.

راه حل.
بیایید مختصات راس سهمی را پیدا کنیم:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(4)(4)=-1$.
$y_(v)=2*(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8$.
مختصات راس را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم. در این مرحله، گویی در سیستم جدیدمختصات ما یک سهمی $y=2x^2$ خواهیم ساخت.

راه های زیادی برای ساده سازی ساخت نمودار سهمی وجود دارد.

• ما می توانیم دو مورد را پیدا کنیم نقاط متقارن، مقدار تابع را در این نقاط محاسبه کنید، آنها را علامت بزنید هواپیمای مختصاتو آنها را به راس منحنی توصیف کننده سهمی متصل کنید.
• می توانیم شاخه ای از سهمی را در سمت راست یا چپ راس بسازیم و سپس آن را منعکس کنیم.
• ما می توانیم نقطه به نقطه بسازیم.

مثال 3.
پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین ارزشتوابع: $y=-x^2+6x+4$ در بازه $[-1;6]$.

راه حل.
بیایید یک نمودار از این تابع بسازیم، بازه مورد نیاز را انتخاب کنیم و پایین ترین و بالاترین نقطه نمودار خود را پیدا کنیم.
بیایید مختصات راس سهمی را پیدا کنیم:
$x_(c)=-\frac(b)(2a)=-\frac(6)(-2)=3$.
$y_(v)=-1*(3)^2+6*3+4=-9+18+4=13$.
در نقطه ای با مختصات $(3;13)$ یک سهمی $y=-x^2$ می سازیم. بیایید بازه مورد نیاز را انتخاب کنیم. پایین ترین نقطه دارای مختصات -3، بیشترین است نقطه اوج- مختصات 13.
$y_(name)=-3$; $y_(حداکثر)=13$.

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. بدون ترسیم نمودار تابع $y=-3x^2+12x-4$، به سوالات زیر پاسخ دهید:
الف) خط مستقیمی را که به عنوان محور سهمی عمل می کند، مشخص کنید.
ب) مختصات راس را بیابید.
ج) سهمی به کدام سمت (بالا یا پایین) اشاره می کند؟
2. نموداری از تابع بسازید: $y=2x^2-6x+2$.
3. نمودار تابع: $y=-x^2+8x-4$.
4. بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع را پیدا کنید: $y=x^2+4x-3$ در بخش $[-5;2]$.

همانطور که تمرین نشان می دهد، وظایف مربوط به ویژگی ها و نمودارهای یک تابع درجه دوم مشکلات جدی ایجاد می کند. این کاملاً عجیب است، زیرا آنها تابع درجه دوم را در کلاس هشتم مطالعه می کنند و سپس در طول سه ماهه اول کلاس نهم ویژگی های سهمی را "عذاب" می کنند و نمودارهای آن را برای پارامترهای مختلف می سازند.

این به این دلیل است که هنگام وادار کردن دانش آموزان به ساخت سهمی، آنها عملاً زمانی را به "خواندن" نمودارها اختصاص نمی دهند، یعنی درک اطلاعات دریافت شده از تصویر را تمرین نمی کنند. ظاهراً فرض بر این است که پس از ساختن ده ها نمودار، خود یک دانش آموز باهوش رابطه بین ضرایب موجود در فرمول و فرمول را کشف و فرموله خواهد کرد. ظاهرهنرهای گرافیکی در عمل این کار نمی کند. برای چنین تعمیم، تجربه جدی در تحقیقات کوچک ریاضی لازم است، که البته اکثر دانش آموزان کلاس نهم از آن بی بهره هستند. در همین حال، سازمان بازرسی دولتی پیشنهاد می کند تا علائم ضرایب را با استفاده از برنامه تعیین کند.

ما از دانش آموزان غیرممکن را مطالبه نخواهیم کرد و به سادگی یکی از الگوریتم های حل چنین مشکلاتی را ارائه خواهیم داد.

بنابراین، تابعی از فرم است y = تبر 2 + bx + cبه نام درجه دوم، نمودار آن سهمی است. همانطور که از نام آن پیداست، اصطلاح اصلی است تبر 2. به این معنا که آنباید برابر با صفر باشد، ضرایب باقی مانده ( بو با) می تواند برابر با صفر باشد.

بیایید ببینیم که چگونه علائم ضرایب آن بر ظاهر یک سهمی تأثیر می گذارد.

بیشترین وابستگی سادهبرای ضریب آ. بیشتر دانش‌آموزان با اطمینان پاسخ می‌دهند: «اگر آ> 0، سپس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند و اگر آ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой آ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

که در در این مورد آ = 0,5

و اکنون برای آ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

در این مورد آ = - 0,5

تاثیر ضریب بادنبال کردن آن نیز بسیار آسان است. بیایید تصور کنیم که می خواهیم مقدار یک تابع را در یک نقطه پیدا کنیم ایکس= 0. صفر را جایگزین فرمول کنید:

y = آ 0 2 + ب 0 + ج = ج. معلوم می شود که y = c. به این معنا که بامنتخب نقطه تقاطع سهمی با محور y است. به طور معمول، این نقطه به راحتی در نمودار پیدا می شود. و تعیین کنید که بالای صفر است یا پایین. به این معنا که با> 0 یا با < 0.

با > 0:

y = x 2 + 4x + 3

با < 0

y = x 2 + 4x - 3

بر این اساس، اگر با= 0، پس سهمی لزوماً از مبدأ عبور می کند:

y = x 2 + 4x

با پارامتر مشکل تر است ب. نقطه ای که ما آن را پیدا خواهیم کرد نه تنها به آن بستگی دارد ببلکه از آ. این قسمت بالای سهمی است. آبسیسا آن (مختصات محور ایکس) با فرمول پیدا می شود x در = - b/(2a). بدین ترتیب، b = - 2x اینچ. یعنی به صورت زیر عمل می کنیم: راس سهمی را روی نمودار پیدا می کنیم، علامت آبسیسا آن را تعیین می کنیم، یعنی به سمت راست صفر نگاه می کنیم ( x در> 0) یا به سمت چپ ( x در < 0) она лежит.

با این حال، این همه چیز نیست. باید به علامت ضریب هم توجه کنیم آ. یعنی ببینید شاخه های سهمی به کجا هدایت می شوند. و تنها پس از آن، طبق فرمول b = - 2x اینچعلامت را تعیین کنید ب.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، یعنی آ> 0، سهمی محور را قطع می کند درزیر صفر یعنی با < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x در> 0. بنابراین b = - 2x اینچ = -++ = -. ب < 0. Окончательно имеем: آ > 0, ب < 0, با < 0.

عبارتی از شکل ax 2 + bx + c را در نظر بگیرید که در آن a، b، c - اعداد واقعی، و با صفر متفاوت است. این بیان ریاضیبه عنوان سه جمله ای درجه دوم شناخته می شود.

به یاد بیاورید که محور 2 عبارت اصلی این سه جمله درجه دوم است و a ضریب اصلی آن است.

اما یک مثلث درجه دوم همیشه هر سه جمله را ندارد. برای مثال عبارت 3x 2 + 2x را در نظر می گیریم که در آن a=3، b=2، c=0.

بیایید به تابع درجه دوم y=ax 2 +in+c برویم، جایی که a، b، c هر کدام هستند. اعداد دلخواه. این تابع درجه دوم است زیرا شامل یک عبارت درجه دوم یعنی x مربع است.

رسم یک تابع درجه دوم بسیار آسان است، برای مثال می توانید از روش جداسازی یک مربع کامل استفاده کنید.

بیایید مثالی از ساخت یک نمودار از تابع y برابر با -3x 2 - 6x + 1 در نظر بگیریم.

برای انجام این کار، اولین چیزی که به یاد می آوریم، طرح جداسازی یک مربع کامل در مثلثی -3x 2 - 6x + 1 است.

از دو ترم اول 3- را برداریم. ما 3 برابر مجموع x مجذور به اضافه 2x داریم و 1 را جمع می کنیم. با جمع و تفریق یک در پرانتز، فرمول مجموع مجذور را به دست می آوریم که می تواند جمع شود. ضرب در مجموع (x+1) مجذور 1 منهای 1 به دست می آوریم -3 را ضرب می کنیم. پرانتزها را باز کنید و بیاورید اصطلاحات مشابه، عبارت به دست می آید: -3 ضرب در مجذور مجموع (x+1) 4 اضافه کنید.

بیایید تابع حاصل را با رفتن به رسم کنیم سیستم کمکیمختصات با مبدا در نقطه با مختصات (-1؛ 4).

در شکل از ویدئو، این سیستم با خطوط نقطه چین نشان داده شده است. اجازه دهید تابع y را معادل 3x2- به سیستم مختصات ساخته شده مرتبط کنیم. برای راحتی، اجازه دهید نقاط کنترل را در نظر بگیریم. به عنوان مثال، (0;0)، (1;-3)، (-1;-3)، (2;-12)، (-2;-12). در عین حال آنها را در سیستم مختصات ساخته شده کنار می گذاریم. سهمی به دست آمده در طول ساخت، نموداری است که ما نیاز داریم. در تصویر یک سهمی قرمز است.

با استفاده از روش جداسازی یک مربع کامل، تابع درجه دوم به شکل y = a*(x+1) 2 + m را داریم.

نمودار سهمی y = ax 2 + bx + c را می توان به راحتی از سهمی y = ax 2 با ترجمه موازی بدست آورد. این با یک قضیه تأیید می شود که می توان آن را با جدا کردن مربع کامل دو جمله ای اثبات کرد. عبارت ax 2 + bx + c بعد از تحولات پی در پیبه عبارتی از شکل تبدیل می شود: a*(x+l) 2 + m. بیایید یک نمودار رسم کنیم. بیایید یک حرکت موازی از سهمی y = ax 2 انجام دهیم و راس را با نقطه با مختصات (-l; m) تراز کنیم. نکته مهم این است که x = -l به معنای -b/2a است. این بدان معنی است که این خط مستقیم محور سهمی محور 2 + bx + c است، راس آن در نقطه ای است که ابسیسا x صفر برابر با منهای b تقسیم بر 2a است، و ترتیب با استفاده از فرمول دست و پا گیر 4ac - b 2 محاسبه می شود. /. اما لازم نیست این فرمول را به خاطر بسپارید. از آنجایی که با جایگزینی مقدار ابسیسا به تابع، اردین را بدست می آوریم.

برای تعیین معادله محور، جهت شاخه های آن و مختصات راس سهمی به مثال زیر توجه کنید.

بیایید تابع y = -3x 2 - 6x + 1 را در نظر بگیریم. پس از ایجاد معادله برای محور سهمی، داریم که x = -1. و این مقدار مختصات x راس سهمی است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که منتخب را پیدا کنیم. با جایگزینی مقدار -1 به تابع، 4 را دریافت می کنیم. راس سهمی در نقطه (-1؛ 4) است.

نمودار تابع y = -3x 2 - 6x + 1 زمانی به دست آمد که انتقال موازینمودار تابع y = -3x 2، به این معنی که عملکرد مشابهی دارد. ضریب پیشرو منفی است، بنابراین شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند.

می بینیم که برای هر تابعی از شکل y = ax 2 + bx + c، ساده ترین آخرین سوالیعنی جهت شاخه های سهمی. اگر ضریب a مثبت باشد، شاخه ها رو به بالا و اگر منفی باشد، شاخه ها رو به پایین هستند.

سخت ترین سوال بعدی، سوال اول است، زیرا نیاز به محاسبات اضافی دارد.

و دومی سخت ترین است، زیرا علاوه بر محاسبات، شما همچنین به دانش فرمول هایی نیاز دارید که x صفر و y صفر است.

بیایید یک نمودار از تابع y = 2x 2 - x + 1 بسازیم.

ما بلافاصله تعیین می کنیم - نمودار یک سهمی است، شاخه ها به سمت بالا هدایت می شوند، زیرا ضریب پیشرو 2 است، و این عدد مثبت. با استفاده از فرمول، متوجه می شویم که ابسیسا x صفر است، برابر با 1.5 است. برای پیدا کردن رده، به یاد داشته باشید که y صفر برابر است با تابعی از 1.5 در هنگام محاسبه، ما -3.5 را دریافت می کنیم.

بالا - (1.5;-3.5). محور - x=1.5. بیایید نقاط x=0 و x=3 را در نظر بگیریم. y=1. بیایید این نکات را مشخص کنیم. در سه نقاط شناخته شدهگراف مورد نیاز را می سازیم.

برای رسم نمودار تابع ax 2 + bx + c شما نیاز دارید:

مختصات راس سهمی را بیابید و در شکل مشخص کنید و سپس محور سهمی را رسم کنید.

در محور oh، دو نقطه را که نسبت به محور سهمی متقارن هستند، بردارید، مقدار تابع را در این نقاط پیدا کنید و آنها را در صفحه مختصات علامت بزنید.

در صورت لزوم، سهمی را از طریق سه نقطه بسازید، می توانید چند نقطه دیگر را بردارید و بر اساس آنها نمودار بسازید.

در مثال زیر یاد خواهیم گرفت که چگونه بزرگترین و کوچکترین مقادیر تابع -2x 2 + 8x - 5 را در بخش پیدا کنیم.

طبق الگوریتم: a=-2، b=8، یعنی x صفر برابر 2، و y صفر برابر با 3، (2;3) راس سهمی و x=2 محور است.

بیایید مقادیر x=0 و x=4 را بگیریم و مختصات این نقاط را پیدا کنیم. این -5 است. یک سهمی می سازیم و تعیین می کنیم که کوچکترین مقدار تابع در x=0 -5 و در x=2 بزرگترین آن 3 باشد.

چگونه یک سهمی بسازیم؟ چندین روش برای رسم نمودار یک تابع درجه دوم وجود دارد. هر کدام از آنها جوانب مثبت و منفی خود را دارند. بیایید دو راه را در نظر بگیریم.

بیایید با رسم یک تابع درجه دوم به شکل y=x²+bx+c و y= -x²+bx+c شروع کنیم.

مثال.

تابع y=x²+2x-3 را رسم کنید.

راه حل:

y=x²+2x-3 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های بالا است. مختصات راس سهمی

از راس (-1;-4) نموداری از سهمی y=x² می سازیم (از مبدأ مختصات. به جای (0;0) - راس (-1;-4). از (-1; -4) با 1 واحد به سمت راست می رویم و با 1 واحد به سمت چپ می رویم و سپس: 2 - سمت راست، 4 - بالا، 3 - 9 - بالا، 3 -. چپ، 9 - بالا اگر این 7 امتیاز کافی نیست، 4 به سمت راست، 16 به بالا و غیره).

نمودار تابع درجه دوم y= -x²+bx+c یک سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند. برای ساختن یک نمودار، مختصات راس را جستجو می کنیم و از آن سهمی y= -x² می سازیم.

مثال.

تابع y= -x²+2x+8 را رسم کنید.

راه حل:

y= -x²+2x+8 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی

از بالا یک سهمی y= -x² می سازیم (1 - به راست، 1- پایین؛ 1 - چپ، 1 - پایین؛ 2 - راست، 4 - پایین؛ 2 - چپ، 4 - پایین، و غیره):

این روش به شما امکان می دهد تا به سرعت یک سهمی بسازید و اگر بدانید چگونه توابع y=x² و y= -x² را ترسیم کنید، دشوار نیست. عیب: اگر مختصات راس باشد اعداد کسری، ساخت یک نمودار خیلی راحت نیست. اگر نیاز دارید بدانید مقادیر دقیقنقاط تقاطع نمودار با محور Ox، باید معادله x²+bx+c=0 (یا -x²+bx+c=0) را حل کنید، حتی اگر این نقاط را بتوان مستقیماً از نقاشی تعیین کرد.

راه دیگر برای ساختن سهمی توسط نقاط است، یعنی می توان چندین نقطه را در نمودار پیدا کرد و یک سهمی از آنها رسم کرد (با در نظر گرفتن اینکه خط x=xₒ محور تقارن آن است). معمولاً برای این کار آنها راس سهمی، نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات و 1-2 نقطه اضافی را می گیرند.

نموداری از تابع y=x²+5x+4 رسم کنید.

راه حل:

y=x²+5x+4 یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی است با شاخه های بالا. مختصات راس سهمی

یعنی بالای سهمی نقطه است (2.5-؛ 2.25-).

به دنبال. در نقطه تقاطع با محور Ox y=0: x²+5x+4=0. ریشه ها معادله درجه دوم x1=-1، x2=-4، یعنی دو نقطه در نمودار (-1; 0) و (-4; 0) گرفتیم.

در نقطه تقاطع نمودار با محور Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. امتیاز را گرفتیم (0؛ 4).

برای روشن شدن نمودار، می توانید یک نکته اضافی بیابید. بیایید x=1 را در نظر بگیریم، سپس y=1²+5∙1+4=10، یعنی نقطه دیگری در نمودار (1؛ 10) است. این نقاط را در صفحه مختصات مشخص می کنیم. با در نظر گرفتن تقارن سهمی نسبت به خطی که از راس آن می گذرد، دو نقطه دیگر را علامت گذاری می کنیم: (-5; 6) و (-6; 10) و یک سهمی از آنها ترسیم می کنیم:

تابع y= -x²-3x را رسم کنید.

راه حل:

y= -x²-3x یک تابع درجه دوم است. نمودار یک سهمی با شاخه های پایین است. مختصات راس سهمی

راس (1.5-؛ 2.25) اولین نقطه سهمی است.

در نقاط تقاطع نمودار با محور x y=0، یعنی معادله -x²-3x=0 را حل می کنیم. ریشه های آن x=0 و x=-3 است، یعنی (0;0) و (-3;0) - دو نقطه دیگر در نمودار. نقطه (o; 0) همچنین نقطه تقاطع سهمی با محور ارتجاعی است.

در x=1 y=-1²-3∙1=-4، یعنی (1; -4) یک نقطه اضافی برای رسم است.

ساختن سهمی از نقاط روشی پر زحمت تر از روش اول است. اگر سهمی محور Ox را قطع نکند، امتیاز اضافیبیشتر مورد نیاز خواهد بود.

قبل از اینکه به توطئه ادامه دهید توابع درجه دومبه شکل y=ax²+bx+c، ساخت نمودارهای توابع را با استفاده از تبدیل های هندسی در نظر بگیرید. همچنین ساختن نمودارهایی از توابع به شکل y=x²+c با استفاده از یکی از این تبدیل‌ها - ترجمه موازی - راحت‌تر است.

دسته بندی: |

شکل y = kx + m با دو متغیر x, y. درست است، متغیرهای x، y، که در این معادله (در این مدل ریاضی) ظاهر می‌شوند، نابرابر در نظر گرفته می‌شوند: x یک متغیر مستقل (استدلال) است که می‌توانیم هر مقداری را بدون در نظر گرفتن هر چیزی به آن اختصاص دهیم. y یک متغیر وابسته است زیرا مقدار آن به مقدار x انتخاب شده بستگی دارد. اما پس از آن به وجود می آید سوال طبیعی: قرار نیستن؟ مدل های ریاضیاز همان طرح، اما آنهایی که در آنها y از طریق x بیان می شود نه بر اساس فرمول y = kx + m، بلکه به روش دیگری؟ پاسخ روشن است: البته که دارند. مثلاً اگر x ضلع مربع و y آن باشد
مساحت، سپس y - x 2. اگر x ضلع یک مکعب و y حجم آن باشد، y - x 3. اگر x یک ضلع مستطیلی است که مساحت آن 100 سانتی متر مربع است و y ضلع دیگر آن است، پس. بنابراین، طبیعی است که در ریاضیات محدود به مطالعه مدل y-kx + m نیستند، آنها باید مدل y = x 2 و مدل y = x 3 و مدل و بسیاری از مدل های دیگر را مطالعه کنند. ساختار یکسانی دارند: در سمت چپ معادله یک متغیر y و در سمت راست مقداری عبارت با متغیر x وجود دارد. برای چنین مدل‌هایی، اصطلاح «تابع» با حذف صفت «خطی» حفظ می‌شود.

در این بخش تابع y = x 2 را در نظر می گیریم و آن را می سازیم برنامه.

بیایید به متغیر مستقل x چندین بدهیم ارزش های خاصو مقادیر مربوط به متغیر وابسته y را محاسبه کنید (با استفاده از فرمول y = x 2):

اگر x = 0، y = O 2 = 0.
اگر x = 1، آنگاه y = I 2 = 1.
اگر x = 2، آنگاه y = 2 2 = 4;
اگر x = 3، آنگاه y = 3 2 = 9.
اگر x = - 1، پس y = (- I 2) - 1;
اگر x = - 2، آنگاه y = (- 2) 2 = 4;
اگر x = - 3، آنگاه y = (- 3) 2 = 9.
به طور خلاصه جدول زیر را تهیه کرده ایم:

ایکس	0	1	2	3	-1	-2	-3
U	0	1	4	9	1	4	9

بیایید نقاط پیدا شده را بسازیم (0; 0)، (1; 1)، (2; 4)، 93; 9)، (-1؛ 1)، (- 2؛ 4)، (- 3؛ 9)، در مختصات هواپیما xOy(شکل 54، الف).

این نقاط روی یک خط مشخص قرار دارند، بیایید آن را رسم کنیم (شکل 54، ب). این خط سهمی نامیده می شود.

البته، در حالت ایده آل، آرگومان x را همه چیز می دهیم مقادیر ممکن، مقادیر مربوط به متغیر y را محاسبه کرده و نقاط حاصل را رسم کنید (x; y). سپس برنامه کاملاً دقیق و بی عیب و نقص خواهد بود. با این حال، این غیر واقعی است، زیرا چنین نکاتی بی نهایت زیاد است. به همین دلیل است که ریاضیدانان این کار را می کنند: می گیرند مجموعه محدودنقاط، آنها را بر اساس هواپیمای مختصاتو ببینید چه خطی با این نقاط مشخص شده است. اگر خطوط این خط کاملاً واضح ظاهر شود (مثلاً در مثال 1 از § 28، همانطور که برای ما چنین بود)، این خط رسم می شود. آیا خطا ممکن است؟ بدون آن نه. به همین دلیل است که ما باید ریاضیات را بیشتر و عمیق تر مطالعه کنیم تا ابزاری برای جلوگیری از اشتباه داشته باشیم.

بیایید سعی کنیم، با نگاهی به شکل 54، توضیح دهیم خواص هندسیسهمی ها

اولا، توجه می کنیم که سهمی بسیار زیبا به نظر می رسد زیرا دارای تقارن است. در واقع، اگر هر خط مستقیمی را موازی با محور x بالای محور x رسم کنید، این خط مستقیم سهمی را در دو نقطه واقع در فواصل مساویاز محور y، اما در امتداد طرف های مختلفاز آن (شکل 55). به هر حال، در مورد نقاط مشخص شده در شکل 54 نیز می توان گفت:

(1; 1) و (- 1; 1)؛ (2; 4) و (-2; 4)؛ ج 9) و (-3؛ 9).

آنها می گویند که محور y محور تقارن سهمی y=x2 است یا اینکه سهمی نسبت به محور y متقارن است.

دوما، متوجه می شویم که به نظر می رسد محور تقارن سهمی را به دو قسمت تقسیم می کند که معمولاً به آنها شاخه های سهمی می گویند.

سوم، توجه می کنیم که سهمی نقطه خاصی دارد که در آن هر دو شاخه به هم می رسند و روی محور تقارن سهمی قرار دارد - نقطه (0; 0). با توجه به ویژگی های آن، نام خاصی به آن داده شد - بالای سهمی.

چهارمهنگامی که یک شاخه از سهمی در راس به شاخه دیگر متصل می شود، این به آرامی و بدون گسست اتفاق می افتد. به نظر می رسد سهمی به محور x فشرده شده است. معمولاً می گویند: سهمی محور x را لمس می کند.

حال بیایید سعی کنیم، با نگاهی به شکل 54، برخی از ویژگی های تابع y = x 2 را شرح دهیم.

اولا، توجه می کنیم که y - 0 در x = 0، y > 0 در x > 0 و در x< 0.

ثانیاًما توجه می کنیم که نام y. = 0، اما نایب وجود ندارد.

سوم، متوجه می شویم که تابع y = x 2 روی پرتو کاهش می یابد (-°°, 0] - با این مقادیر x، در حرکت در امتداد سهمی از چپ به راست، "از تپه پایین می رویم" (شکل 2 را ببینید). 55) تابع y = x 2 روی پرتو افزایش می یابد.
ب) در بخش [- 3، - 1.5]؛
ج) در بخش [- 3، 2].

راه حل،

الف) بیایید یک سهمی y = x 2 بسازیم و بخشی از آن را که با مقادیر متغیر x مطابقت دارد از قسمت انتخاب کنیم (شکل 56). برای قسمت انتخاب شده از نمودار ما در نام پیدا می کنیم. = 1 (در x = 1)، y حداکثر. = 9 (در x = 3).

ب) یک سهمی y = x 2 بسازیم و بخشی از آن را که با مقادیر متغیر x مطابقت دارد از بخش [-3، -1.5] انتخاب کنیم (شکل 57). برای قسمت انتخاب شده از نمودار، نام y را پیدا می کنیم. = 2.25 (در x = - 1.5)، y حداکثر. = 9 (در x = - 3).

ج) بیایید یک سهمی y = x 2 بسازیم و بخشی از آن را که با مقادیر متغیر x مطابقت دارد از بخش [-3, 2] انتخاب کنیم (شکل 58). برای بخش انتخاب شده از نمودار، y max = 0 (در x = 0)، y max را پیدا می کنیم. = 9 (در x = - 3).

مشاوره. برای جلوگیری از ترسیم تابع y - x 2 نقطه به نقطه در هر بار، یک الگوی سهمی را از کاغذ ضخیم جدا کنید. با کمک آن شما یک سهمی را خیلی سریع ترسیم خواهید کرد.

اظهار نظر. با دعوت از شما برای تهیه یک الگوی سهمی، به نظر می رسد که حقوق تابع y = x 2 و را برابر می کنیم. تابع خطی y = kx + m. پس از همه، برنامه تابع خطییک خط مستقیم است و برای نشان دادن یک خط مستقیم، از یک خط کش معمولی استفاده می شود - این الگوی نمودار تابع y = kx + m است. بنابراین اجازه دهید یک الگو برای نمودار تابع y = x 2 داشته باشید.

مثال 2.نقاط تقاطع سهمی y = x 2 و خط مستقیم y - x + 2 را پیدا کنید.

راه حل. اجازه دهید در یک سیستم مختصات سهمی y = x 2 و خط مستقیم y = x + 2 را بسازیم (شکل 59). آنها در نقاط A و B همدیگر را قطع می کنند و از ترسیم یافتن مختصات این نقاط A و B دشوار نیست: برای نقطه A داریم: x = - 1، y = 1، و برای نقطه B داریم: x - 2، y = 4.

پاسخ: سهمی y = x 2 و خط مستقیم y = x + 2 در دو نقطه قطع می شوند: A (-1؛ 1) و B (2؛ 4).

یادداشت مهم.تا به حال، من و شما در نتیجه گیری با استفاده از نقاشی بسیار جسورانه عمل کرده ایم. با این حال، ریاضیدانان بیش از حد به نقاشی ها اعتماد ندارند. ریاضیدان پس از کشف دو نقطه تقاطع سهمی و خط مستقیم در شکل 59 و تعیین مختصات این نقاط با استفاده از نقشه، معمولاً خود را بررسی می کند: آیا نقطه (1-؛ 1) واقعاً روی هر دو خط مستقیم قرار دارد یا خیر. و سهمی؛ آیا واقعاً نقطه (2؛ 4) هم روی خط مستقیم و هم روی سهمی قرار دارد؟

برای این کار باید مختصات نقاط A و B را در معادله خط مستقیم و معادله سهمی قرار دهید و سپس مطمئن شوید که در هر دو حالت برابری صحیح به دست آمده است. در مثال 2 در هر دو مورد دریافت می کنیم برابری های واقعی. این بررسی اغلب زمانی انجام می شود که در مورد صحت نقشه شک وجود داشته باشد.

در پایان، ما به یک ویژگی جالب سهمی اشاره می کنیم که به طور مشترک توسط فیزیکدانان و ریاضیدانان کشف و اثبات شده است.

اگر سهمی y = x 2 را به عنوان یک صفحه در نظر بگیریم، به عنوان یک سطح بازتابنده، و یک منبع نور را در نقطه قرار دهیم، آنگاه پرتوهای منعکس شده از سهمی صفحه، یک پرتو موازی نور را تشکیل می دهند (شکل 60). . نقطه کانون سهمی نامیده می شود. این ایده در اتومبیل ها استفاده می شود: سطح بازتابنده چراغ جلو شکل سهمی دارد و لامپ در نقطه کانونی قرار می گیرد - سپس نور چراغ جلو به اندازه کافی گسترش می یابد.

برنامه ریزی تقویمی- موضوعی در ریاضیات، ویدئودر ریاضیات آنلاین، ریاضیات در مدرسه دانلود

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین وظایف و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، سوالات بحث تکلیف منزل سوالات بلاغیاز دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و اضافی فرهنگ لغات اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کامل طرح تقویمبرای یک سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی