Winkel mit Parallelen bzw. Senkrechten. Unterricht in Planimetrie in einem Schulkurs

53.Winkel (Innenwinkel) eines Dreiecks Es werden drei Winkel genannt, von denen jeder durch drei Strahlen gebildet wird, die von den Eckpunkten des Dreiecks ausgehen und durch die beiden anderen Eckpunkte verlaufen.

54. Dreieckswinkelsummensatz. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

55. Außenecke eines Dreiecks ist ein Winkel, der an einen Winkel dieses Dreiecks angrenzt.

56. Außenecke Dreieck gleich der Summe zwei Winkel eines Dreiecks, die nicht an dieses angrenzen.

57. Wenn alle drei Ecken Dreieck scharf, dann heißt das Dreieck spitzwinklig.

58. Wenn eine der Ecken Dreieck unverblümt, dann heißt das Dreieck stumpfwinklig.

59. Wenn eine der Ecken Dreieck gerade, dann heißt das Dreieck rechteckig.

60. Seite rechtwinkliges Dreieck, gegenüber liegend rechter Winkel, angerufen Hypotenuse(Griechisches Wort gyipotenusa – „sich zusammenziehen“) und zwei Seiten, die einen rechten Winkel bilden – Beine(lateinisches Wort katetos – „Lot“) .

61. Satz über die Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Im Dreieck der größere Winkel liegt der größeren Seite gegenüber, und zurück, Die größere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber.

62. In einem rechtwinkligen Dreieck Die Hypotenuse ist länger als das Bein.

Weil Die größere Seite liegt immer dem größeren Winkel gegenüber.

Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks.

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel sind gleich, dann ist es gleichschenklig;

Wenn in einem Dreieck Die Winkelhalbierende ist der Median oder die Höhe,
dann ist dieses Dreieck gleichschenklig;

Wenn in einem Dreieck Der Median ist die Winkelhalbierende oder Höhe, Das

dieses Dreieck ist gleichschenklig;

Wenn in einem Dreieck Die Höhe ist der Median oder die Winkelhalbierende,

dann ist dieses Dreieck gleichschenklig.

64. Satz. Dreiecksungleichung. Die Länge jeder Seite des Dreiecks ist größer als die Differenz und weniger als der Betrag Längen der anderen beiden Seiten:

Eigenschaften der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Die Summe zweier spitzer Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 90°.

A + B = 90°

66. Eigenschaft des rechten Dreiecks.

Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks liegt einem Winkel von 30° gegenüber gleich der Hälfte Hypotenuse.

Wenn/ A = 30° also BC = ½ AB

67. Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks.

a) Wenn ein Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse ist, dann beträgt der Winkel gegenüber diesem Schenkel 30°.

Wenn BC = ½ AB, dann / B = 30°

B) Der zur Hypotenuse gezogene Median entspricht der Hälfte der Hypotenuse.

mittlerer CF = ½ AB

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke auf zwei Seiten.

Sind die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks entsprechend gleich den Schenkeln eines anderen, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Planimetrie lehren Schulkurs.

Lyzeum Nr. 000

Lyzeum Nr. 000.

„Wenn die gleiche Aufgabe anvertraut wird

zwei gleichermaßen unwissend davon

Menschen und einer von ihnen ist Mathematiker,

dann wird es ein Mathematiker besser können“,

Einführung

Beherrschung fast aller Dinge moderner Beruf erfordert gewisse mathematische Kenntnisse. Vorstellung über die Rolle der Mathematik in moderne Welt, mathematisches Wissen ist geworden notwendige Komponente Allgemeine Kultur. Für die Selbstverwirklichung des Lebens, Möglichkeiten produktive Tätigkeit In der Informationswelt ist ein ziemlich ausgeprägter mathematischer Hintergrund erforderlich.

Die Rolle und Stellung der Mathematik in der Wissenschaft und im Leben der Gesellschaft, der Wert der mathematischen Bildung, die Humanisierung und Humanisierung der Bildung, das Verständnis des Fachs Mathematik und die Persönlichkeitsstruktur bestimmen die Ziele der mathematischen Bildung. Es werden drei Gruppen von Zielen unterschieden, die mit allgemeinbildenden, erzieherischen und praktischen Funktionen in Zusammenhang stehen.

Ø Mathematikunterricht umfasst die Beherrschung eines Systems mathematischer Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, das einen Einblick in das Fach Mathematik, seine Sprache und Symbolik, Entwicklungsperioden, mathematische Modellierung, spezielle mathematische Techniken, Grundkenntnisse allgemeine wissenschaftliche Methoden Wissen.

Ø Bildung der Weltanschauung der Schüler, logischer und heuristischer Komponenten des Denkens, Erziehung zu Moral, Kommunikationskultur, Unabhängigkeit, Aktivität, Erziehung zu harter Arbeit, Verantwortung für die Entscheidungsfindung und der Wunsch nach Selbstverwirklichung.

Ø Die Angabe der einzelnen Teilziele ist wichtig für die Erstellung einer Reihe von Unterrichtszielen und deren Angemessenheit an den Fachinhalten Unterrichtsmaterial. Die Umsetzung von Bildungszielen in Maßnahmen wird es ermöglichen, den Prozess des Erwerbs von Wissen, Fähigkeiten, Entwicklung und Bildung eines Schülers zu diagnostizieren und zu steuern.

Auf der Ebene des eigentlichen Bildungsprozesses werden Lernziele unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Studierenden und der Möglichkeiten zur Differenzierung ihres Lernens gebildet.

Im Prozess der mathematischen Tätigkeit der Studierenden umfasst das Arsenal an Techniken und Denkmethoden Induktion und Deduktion, Verallgemeinerung und Spezifizierung, Analyse und Synthese, Klassifikation und Systematisierung, Abstraktion und Analogie. Objekte mathematischer Schlussfolgerungen und Regeln für ihre Konstruktion offenbaren den Mechanismus logische Konstruktionen, die Fähigkeit entwickeln, Urteile zu formulieren, zu begründen und zu beweisen und dadurch logisches Denken zu entwickeln. Die führende Rolle kommt der Mathematik bei der Bildung des algorithmischen Denkens zu und fördert die Fähigkeit, entsprechend zu handeln gegebener Algorithmus und beim Lösen von Problemen neue zu konstruieren, die Grundlage der Lernaktivitäten im Mathematikunterricht. Die kreativen und angewandten Seiten des Denkens entwickeln sich.

Einwände gegen die Kürzung des Schulmathematikkurses;

· Beurteilung des Kursprogramms als mit unnötigen oder zu speziellen Informationen überladen (z. B. viele Formeln, die man sich merken muss);

· Gespräche über die offensichtliche Unzulänglichkeit der für Mathematik (als wichtigstes Entwicklungsinstrument) vorgesehenen Stunden logisches Denken Schulkinder usw.);

Anforderungen des schulischen Mathematikkurses und der Aufnahmeprüfungen; Qualifikationen von Mathematiklehrern, denn jede Bildungsreform, jede Umstrukturierung des Studiengangs ist nur dann zum Erfolg verurteilt, wenn die Lehrer frühzeitig und umfassend darauf vorbereitet werden.

Derzeit haben Lehrer für jede Parallele eine ganze Reihe von Lehrbüchern in ihrem Arsenal. Bei der Auswahl eines bestimmten Systems geht jeder Lehrer selbstverständlich von seinen eigenen Kriterien und den Besonderheiten der Bildungseinrichtung aus. Es ist jedoch notwendig, die Möglichkeit der Umsetzung aufeinanderfolgender Verbindungen zwischen Kursen zu berücksichtigen und auch die Möglichkeit der Organisation zu analysieren differenziertes Lernen. Der Lehrer kann je nach den konkreten Arbeitsbedingungen und dem Vorbereitungsstand der Schüler eine vollwertige Ausbildung organisieren Bildungsprozess. Der Student erhält echte Chance Wenn Sie in derselben Klasse und nach demselben Programm lernen, wählen Sie das Lernniveau, das ihren Bedürfnissen, Interessen und Fähigkeiten entspricht. Das obligatorische Minimum in Mathematik bestimmt die Liste der Fragen, die in den Studiengängen und Lehrbüchern der Mathematik unabhängig von deren Niveau und Schwerpunkt gestellt werden müssen. Mit anderen Worten: Spezifische Programme und Lehrbücher, die in einer bestimmten Institution verwendet werden, können dieses Niveau erweitern, aber nicht verringern oder senken.

Levelauswahl mathematische Ausbildung sollten sich daher an den Bedürfnissen der Studierenden orientieren Bildungsinstitutionen Für humanitäre, juristische und andere Profile ist es ratsam, ein vertieftes Mathematikprogramm zu nutzen, da ihre Absolventen auch daran teilnehmen Technische Universitäten Darüber hinaus ist ein ernsthaftes Mathematikstudium für die Ausbildung und Entwicklung des logischen Denkens notwendig.

Das Wesen der Geometrie ist widersprüchlich: „... sie untersucht direkt ideale geometrische Figuren, die in der Realität nicht existieren, auf die ihre Schlussfolgerungen aber anwendbar sind.“ echte Dinge, Zu praktische Aufgaben" Die Aufgabe eines jeden Lehrers besteht darin, den Schülern ihr Verständnis näher zu bringen, ohne die Geometrie selbst durch zahlreiche Umfragen, Tests und Tests vor den Schülern zu verbergen und den Kindern die Möglichkeit zu geben, ihren eigenen Kenntnisstand in der Geometrie zu wählen. Jede Wahl ist dem Ziel des Schülers würdig und wird manchmal intuitiv, aber frei entschieden. Oft ist das beharrliche Festhalten an einem gesetzten Ziel und die Beharrlichkeit bei der Erreichung dieses Ziels völlig bedeutungslos, insbesondere wenn das Ziel des Lehrers nicht das Ziel des Schülers ist. Es lohnt sich wahrscheinlich, zu lernen, wie man die Aktivitäten der Schüler im Geometrieunterricht so organisiert, dass sie nicht durch unsere Ziele und Fragen eingeschränkt werden, sondern für alle möglichen Wahrnehmungen offen sind. Das Kind kommt mit vielen Fragen zur Schule, aber die Schule selbst hat noch ein Vielfaches mehr Fragen für ihn vorbereitet. Sie beantwortet ihre Fragen selbst und wird sogar wütend, wenn ihre Antworten schlecht aufgenommen werden.

Einer der Erkenntniswege besteht aus folgenden Phasen: einem Gedanken, einer Gedankenkette und schließlich einem streng logisch begründeten, gewünschten Ergebnis der Suche. Zweitens: mehr offener Weg Ich möchte es durch das großzügige Aufgabenpaket, das zu jedem Thema vorgeschlagen wird, umsetzen. Wenn man diesen Weg beschreitet, verlangsamt das Denken die Fantasie nicht, verschließt die intuitive Suche nicht, es gibt kein Streben nach Gedanken, es gibt keinen schnellen Sprung zum Ziel, sondern es herrscht eine ruhige, gemächliche Wahrnehmung und Beobachtung, Sensibilität erscheint, so scheint es fremd sein, aber manchmal ist es diese Fremdheit, die die Suche bereichert, zum Ziel führt. Wie oft stürzen wir uns im Unterricht auf Kinder und treiben sie wie eine Peitsche mit den Worten an: „Denken Sie nach. Denken." Oder ist es vielleicht so, dass jemand, der exzessiv sucht, möglicherweise keine Zeit zum Finden hat?

Unsere Aufgabe ist es, nach Wegen zu suchen, die zu Kenntnissen der Geometrie führen. Wir werden darüber nachdenken, wie wir Kindern helfen können, Wahrheiten für sich selbst zu entdecken, die Wahrheiten der Geometrie. Woran sollte sich ein Lehrer orientieren, welche Taktiken und Strategien sollte er wählen? Was sollte ein Lehrer im Unterricht tun? Sollten wir für Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten eintreten und argumentieren, dass Wissen Macht ist, oder mit aller Kraft versuchen, den Bildungsprozess so zu organisieren, dass Wissen das Wissen nicht überschattet und die Seele des Kindes nicht vom Wissen abwendet?

Vielleicht liegt die Weisheit eines Lehrers darin, die Geheimnisse der Entdeckung, die Geheimnisse der Erkenntnis und insbesondere die Geheimnisse der Geometrie zu kennen, in der Fähigkeit, im Klassenzimmer eine Atmosphäre zu schaffen, die die Beherrschung dieser Wahrnehmungs- und Erkenntnismethoden erleichtert. In welcher Beziehung sollten die Logik des Lehrers und die Logik des Schülers im Unterricht stehen? Was mehr? Vielleicht, wenn der Lehrer nicht eine Reihe klar durchdachter Fragen vorschlägt, sondern eine Abfolge von Aufgaben, über die der Schüler nachdenkt, erledigt sein Denken die gesamte Arbeit, die für den Moment vor der Entdeckung notwendig ist. Dann steht die Logik des Lehrers in der notwendigen Beziehung zur Logik des Schülers. Oder sollte die Grundlage der Suche vielleicht darin bestehen, die Intuition zu wählen, sie zu befreien, sie zu stimulieren, sich auf sie zu verlassen? Oder etwas anderes?

Vielleicht ist unter allen Lehrbüchern und unter allen Lektionen das Lehrbuch für die 7. Klasse das wichtigste und die erste Lektion die verantwortungsvollste, weil sie diejenigen sind, die einen systematischen Ablauf in das Studium einführen. Von den ersten Unterrichtsstunden an, von der Lektüre der ersten Seiten des Lehrbuchs an hängt es davon ab, ob der Lernprozess gelingt und ob die Schüler ein nachhaltiges Interesse für das Thema entwickeln können. Kein Student wird daran gehindert, einen Geometriekurs auf irgendeinem Niveau zu belegen. Das einzige Hindernis ist möglicherweise nicht die Komplexität des Materials, nicht die Schwierigkeit der Präsentation, sondern das mangelnde Interesse, weitere Seiten des Lehrbuchs zu lesen. Wenn der Student jedoch die Theorie bereits auf der allerersten (visuellen) Ebene studiert hat, kann er jedes Problem zu diesem Thema lösen, da er über genügend Wissen verfügt, um es zu lösen.

Fahren wir mit der Charakterisierung der Ebenen der Beherrschung des Unterrichtsmaterials fort und erklären wir dem Lehrer, wie er Material finden kann, das sich auf die einzelnen Ebenen bezieht.

Die erste Ebene ist Allgemeinbildung, humanitäre Bildung. Es enthält Inhalte, die jeder Schüler beherrschen sollte. In der Geometrie erfolgt die Untersuchung eines solchen Materials auf einer visuellen Ebene, weshalb wir die erste Ebene als visuell bezeichnen. Es enthält Definitionen von Konzepten, begleitet von zahlreichen Abbildungen, Formulierungen von Theoremen, Erklärungen ihrer Bedeutung in Zeichnungen und einfachen logischen Schlussfolgerungen.

Auf der zweiten Ebene dehnt sich das Material der ersten Ebene aus Es werden angewandte Probleme gelöst, es wird gezeigt, wie geometrisches Wissen auf das Wissen der Welt angewendet wird. Wir nennen diese Ebene die Anwendungsebene. Auf dieser Stufe wird von den Studierenden erwartet, dass sie die Beweise der meisten Theoreme beherrschen.

Die dritte Ebene schließlich ist eine deutliche Vertiefung des Stoffes der ersten Ebene, es wird ausreichend detailliert dargelegt Begründung. Das fortgeschrittenes Level enthält die schwierigsten Beweise von Theoremen, Theoretische Probleme. Auch die dritte Ebene ist problematisch.

Wir haben die erste Ebene der Assimilation identifiziert – visuell – praktisch, auf der Schüler wie Physiker Informationen durch Erfahrung erlangen. Der Schüler muss sich ein Objekt vorstellen, es beschreiben und damit verbundene Probleme lösen einfache Aufgabe. Und es spielt keine Rolle, wenn er gleichzeitig die Definition nicht genau aussprechen kann. Auf dieser Ebene sind visuelle und operative Kenntnisse des Themas unerlässlich visuelle Darstellungen und die Fähigkeit, sie richtig zu bedienen.

Beim Studium der Geometrie ist es notwendig, die Studierenden dazu einzuladen, selbstständig eine Definition eines bestimmten Konzepts zu formulieren. Dies geschieht nicht, damit die Kinder es sich später merken, sondern damit sie durch die Teilnahme an diesem Prozess tiefer in die Bedeutung des Konzepts eintauchen, die Struktur der Definition selbst und mehrere Formulierungen der Theoreme lernen. Dies wird zu einer tieferen Aufnahme des relevanten Lehrmaterials beitragen. Die Entdeckungen von Kindern sind ein großer Anreiz zum Lernen.

Es ist allgemein anerkannt, dass ein Geometriekurs logisches Denken vermitteln sollte. Allerdings beherrschen viele Studierende die Logik von Formulierungen und Beweisen oft nicht so sehr, als dass sie sie formal auswendig lernen. Eines der ersten Mittel zur Überwindung dieser Gefahr besteht darin, die Anzahl der Formulierungen und Beweise zu reduzieren, die der Schüler kennen (lernen, sich erinnern) muss. Wenn wir lehren wollen, logisch zu denken, dann müssen wir dies lehren und nicht das mechanische Auswendiglernen vorgefertigter Überlegungen. Daher sollten Formulierungen eher als Übungen zur Entwicklung des logischen Denkens betrachtet werden und nicht als Postulate, die man auswendig kennen muss. Für die Schüler ist es nützlich, so viele Beweise wie möglich zu analysieren und sie so weit wie möglich zu lösen, anstatt sie gedankenlos auswendig zu lernen große Menge Beweisprobleme: Für den Schüler ist es viel angenehmer und nützlicher, wenn er es selbst herausfindet, zumindest eine kleine Schlussfolgerung selbst zieht, anstatt sich die Argumentation eines anderen zu merken (natürlich mit Ausnahme derjenigen, die besonders lehrreich und witzig sind). und elegant).

Die Logik der Geometrie liegt nicht nur in einzelnen Formulierungen, sondern in ihrem Gesamtsystem. Die Bedeutung jeder Definition, jedes Theorems und Beweises wird letztlich nur durch dieses System bestimmt. Das macht Geometrie zu einer ganzheitlichen Theorie und nicht zu einer Sammlung einzelner Definitionen und Aussagen. Daher schlagen wir vor, dass unsere Kollegen versuchen, die Schüler nicht zu bitten, einen einzelnen Beweis von Theoremen für eine bestimmte Zeit zu bewerten, sondern diese Umfrage als theoretischen Test bis zum Ende eines ziemlich umfangreichen Themas durchzuführen, was wir am Lyceum tun . Die Kinder müssen sich an die Konzepte und Begriffe „Theorem“, „gegeben“, „beweisen“, „Beweis“ gewöhnen und deren Bedeutung verstehen. Natürlich müssen Theoreme bewiesen werden. Es kann notwendig sein, ihre Beweise mehr als einmal im Unterricht zu analysieren: frontal zu zweit, on verschiedene Zeichnungen. Aus unserer Sicht ist es durchaus akzeptabel, dass vor dem Beweis des Satzes unmittelbar nach der Analyse seiner Formulierung mit der Lösung von Problemen begonnen wird. Und wenn sich die Schüler an die Formulierung gewöhnt haben und ihre Bedeutung verstehen, können sie mit der Analyse des Beweises beginnen. Zu diesem Zeitpunkt werden die Schüler bis zu einem gewissen Grad eine Vorliebe für die Suche nach der Wahrheit entwickelt haben. Respekt vor ihr.

Natürlich, wenn sich der Unterricht völlig nur auf das Tatsächliche beschränkt geometrisches Wissen, dann die Entwicklung logischer Denkfähigkeiten und -elemente wissenschaftliche Weltanschauung wird nur im Rahmen dieser Wissenschaft durchgeführt. Daher muss der Lehrer die Aufmerksamkeit der Schüler ständig auf den Zusammenhang zwischen der Geometrie und anderen Wissenschaften und der Praxis lenken und die universelle (und nicht nur für die Geometrie) Bedeutung des Erfordernisses von Beweisen und Genauigkeit bei der Wahrheitsfindung aufzeigen. Dieser Punkt ist besonders wichtig für diejenigen Schüler, die nicht ausreichend motiviert sind, Geometrie als Wissenschaft zu studieren, im Gegensatz zu motivierten und interessierten Kindern, die dies nicht benötigen Noch einmal Anstoß und Anregung zur Lösung komplexer Probleme, nicht standardmäßige Aufgaben, halten Verschiedene Optionen Lösungen. Die Praxis zeigt auch, dass Schüler gerne den Geschichten des Lehrers über die Geschichte des Fachs zuhören. In der ersten Unterrichtsstunde können stärkere, interessierte Schüler aufgefordert werden, einfach Probleme zu lösen, die schön, interessant und in Form und Lösungsmethoden ungewöhnlich sind. Probleme, die es den Schülern ermöglichen würden, etwas Neues zu entdecken. Für unmotivierte Schüler ist der Prozess wichtig, sie möchten geometrische Formen mit ihren eigenen Händen bauen und zeichnen, und es ist notwendig, ihre Erwartungen insbesondere in den ersten Unterrichtsstunden zu erfüllen, ihnen anzubieten, Ornamente zu zeichnen, die verschiedene geometrische Formen enthalten, und dann Der emotionale Beginn dieser Lektionen wird gewährleistet. Die erste Lektion ist wichtig, sie gibt wie eine Stimmgabel den Ton für das gesamte Werk vor.

Eines möchte ich betonen: jetzt, wo es keine mehr gibt Pflichtprüfung In der Geometrie lohnt es sich vielleicht nicht, nach Wissen zu streben, um ein Kind von so etwas Schönem, Unaussprechlichem abzubringen nützliche Wissenschaft, was ist die Geometrie? Vielleicht arbeiten Sie einmal in Ihrem Leben in Ruhe. Damit es nicht über dir hängt Damoklesschwert Noten, Noten. Damit im Unterricht Lehrer und Schüler das gleiche Wissen haben, in mögliche Chancen. GEOMETRIE haben.

Welche Probleme in der Elementarmathematik gelten als die schwierigsten? Wahrscheinlich werden die meisten Leser antworten: geometrisch. Warum? Ja, denn in Algebra, Trigonometrie, Prinzipien mathematische Analyse Es wurden ganze Reihen von Lösungsalgorithmen entwickelt typische Aufgaben. Wenn es einen Algorithmus gibt, dann gibt es auch ein Aktionsprogramm, und daher sind Schwierigkeiten, wenn sie auftreten, meist eher technischer als grundlegender Natur.

Bei geometrischen Problemen ist das etwas anderes. In der Regel gibt es keine Algorithmen, um sie zu lösen und den am besten geeigneten auszuwählen dieser Fall Ein Satz aus einer umfangreichen Liste von Sätzen ist nicht einfach. Daher ist das Hauptrezept eher philosophischer als didaktischer Natur: Wenn Sie lernen wollen, wie man geometrische Probleme löst, lösen Sie sie! Es gibt jedoch einige allgemeine Prinzipien, die bei der Lösung geometrischer Probleme hilfreich sind. Über diese allgemeine Bestimmungen wir würden gerne reden.

Bei der Lösung geometrischer Probleme werden üblicherweise drei Hauptmethoden verwendet: geometrisch- wenn die erforderliche Aussage durch logisches Denken aus einer Reihe abgeleitet wird berühmte Sätze; algeparadiesisch- wenn die gewünschte geometrische Größe anhand berechnet wird diverse Abhängigkeiten zwischen Elementen geometrischer Formen direkt oder mithilfe von Gleichungen; kombiniert- wenn irgendwann die Entscheidung getroffen wird geometrische Methode und auf anderen - algebraisch.

Welcher Lösungsweg auch immer gewählt wird, der Erfolg seiner Anwendung hängt natürlich von der Kenntnis der Theoreme und der Fähigkeit, sie anzuwenden, ab. Ohne hier alle Theoreme der Planimetrie zu berücksichtigen, wollen wir uns auf diejenigen konzentrieren, die einerseits aktiv zur Lösung von Problemen eingesetzt werden, sich andererseits aber erfahrungsgemäß nicht immer „auf der ersten Ebene des Gedächtnisses“ befinden “ unter Studenten. Sie müssen diese Theoreme lieben und sie zu Ihren Assistenten machen, damit Ihre Schüler ihnen den Vorzug geben.

Lassen Sie uns diese Sätze aussprechen und zeigen spezifische Aufgaben wie sie arbeiten.

Bei der Lösung von Problemen werden in der Regel einzelne Phasen des Denkens erfasst. Dies geschieht aus Bequemlichkeitsgründen, um es einfacher zu machen, den Fortschritt der Argumentation zu verfolgen. Und ich möchte noch anmerken: Die Aufgaben werden von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad sein, aber diejenigen, die aus methodischer Sicht für den Lehrer am nützlichsten sind.

Dreiecke und Vierecke.

Bei der Lösung von Problemen zu Dreiecken und Vierecken achten wir auf die folgenden Sätze:

Satz 1. Winkelgleichheit untereinander senkrechte Seiten:

Wenn beide scharf oder beide stumpf sind und , dann .

THEOREM 2. Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes:

A) Mittellinie das Trapez ist parallel zu den Basen des Trapezes;

B) die Mittellinie ist gleich der halben Summe der Basen des Trapezes;

C) Die Mittellinie (und nur sie) halbiert jedes zwischen den Basen des Trapezes eingeschlossene Segment.

Diese Eigenschaften gelten auch für die Mittellinie eines Dreiecks, wenn wir das Dreieck als „entartetes“ Trapez betrachten, dessen eine Basis die Länge Null hat.

THEOREM 3. Über die Schnittpunkte von Medianen, Winkelhalbierenden und Höhen eines Dreiecks:

A) drei Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (er wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet) und teilen sich an diesem Punkt im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt aus;

B) drei Winkelhalbierende eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt;

C) Drei Höhen schneiden sich in einem Punkt (dieser wird als Orthozentrum des Dreiecks bezeichnet).

THEOREM 4. Eigenschaft des Medians in einem rechtwinkligen Dreieck:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte davon.

Treu und umgekehrter Satz: Wenn in einem Dreieck einer der Mediane gleich der Hälfte der Seite ist, zu der es gezogen wird, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig

THEOREM 5. Eigenschaft der Winkelhalbierenden des Innenwinkels eines Dreiecks:

Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels eines Dreiecks teilt die Seite, zu der es gezogen wird, in Teile, die proportional zu den gegenüberliegenden Seiten sind:

THEOREM 6. Metrische Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck:

Wennein undb – Beine,c – Hypotenuse,h ist die Höhe und sind die Projektionen der Beine auf die Hypotenuse, dann gilt: a) ; B) ; V) ; G) ; D)

THEOREM 7. Bestimmung des Dreieckstyps anhand seiner Seiten:

LassenA,B,c sind die Seiten des Dreiecks und c – größte Seite; Dann:

A) wenn , dann ist das Dreieck spitz;

B) wenn , dann ist das Dreieck rechtwinklig;

C) wenn , dann ist das Dreieck stumpf.

THEOREM 8. Metrische Beziehungen in einem Parallelogramm:

Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten:

.

Bei der Lösung geometrischer Probleme muss häufig die Gleichheit zweier Segmente (oder Winkel) festgestellt werden. Lassen Sie uns angeben drei Hauptmethoden, um die Gleichheit zweier Segmente geometrisch zu beweisen:

1) Betrachten Sie die Segmente als Seiten zweier Dreiecke und beweisen Sie, dass diese Dreiecke gleich sind;

2) Stellen Sie die Segmente als Seiten eines Dreiecks dar und beweisen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist;

3) Ersetzen Sie das Segment A ein gleiches Segment https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif" width="17" height="19 src=">und beweisen Sie die Gleichheit der Segmente und .

Aufgabe 1.Zwei zueinander senkrechte Linien schneiden die SeitenAB,B.C.CD,AD-QuadratABCD an PunktenE,F,K,L entsprechend. Beweise dasEK =FL (siehe Abbildung für Aufgabe Nr. 1).

Lösung: 1. Unter Verwendung des ersten der oben genannten Pfade für die Gleichheit zweier Segmente zeichnen wir die Segmente und dann die für uns interessanten Segmente E.K. Und FL werden Seiten zweier rechtwinkliger Dreiecke EPK Und FML(siehe Abbildung für Aufgabe Nr. 1).

2 . Wir haben: PK =FM(mehr Details: PK =ANZEIGE.AD=AB,AB =FM bedeutetPK =FM),(als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten, Satz 1). Das bedeutet (entlang des Beins und scharfe Ecke). Aus der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke folgt die Gleichheit ihrer Hypotenusen, also Segmente E.K. Und FL. ■

Beachten Sie, dass Sie beim Lösen geometrischer Probleme häufig zusätzliche Konstruktionen erstellen müssen, zum Beispiel die folgenden: Zeichnen einer geraden Linie parallel oder senkrecht zu einer der Linien in der Abbildung (wie wir es in Aufgabe 1 getan haben); Verdoppeln Sie den Mittelwert des Dreiecks, um das Dreieck zu einem Parallelogramm zu vervollständigen (wir werden dies in Aufgabe 2 tun), und zeichnen Sie eine Hilfshalbierende. Es gibt nützliche Zusatzkonstruktionen rund um den Kreis.

Aufgabe 2.Die Seiten sind gleichA,B,C. Berechnen Sie den auf Seite c gezeichneten Median (siehe Abbildung für Aufgabe 2).

Lösung: Verdoppeln wir den Median, bauen ihn zum Parallelogramm ACVR auf und wenden Satz 8 auf dieses Parallelogramm an. Wir erhalten: , d. h. , wo wir finden:

Aufgabe 3.Beweisen Sie, dass in jedem Dreieck die Summe der Mediane größer als ¾ des Umfangs, aber kleiner als der Umfang ist.

Lösung: 1. Betrachten Sie https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif" width="131" height="41">; . Als AM + MS > AC, Das

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Signatur:" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif" width="111" height="41 src="> (3)

Durch Addition der Ungleichungen (1), (2), (3) erhalten wir: ,

d. h. wir haben nachgewiesen, dass die Summe der Mediane größer als ¾ des Umfangs ist.

2. Verdoppeln wir den Median BD und vervollständigen das Dreieck zu einem Parallelogramm (siehe Abbildung für Aufgabe 3)..gif" width="80" height="24 src="> (4)

Ähnlich: https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif" alt=" Bildunterschrift: Abb. für Aufgabe Nr. 3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

Wenn wir die Ungleichungen (4), (5), (6) hinzufügen, erhalten wir: https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif" align="left" width="159" height=" 93 "> Lösung: Sei DIA ein rechtwinkliges Dreieck, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif" width="233" height="21"> (siehe Abbildung für Aufgabe 4).

1. als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif" alt=" Signatur:" align="left" width="148" height="33">!} 2. Da (siehe Satz 4) gilt, ist SM = MV, und daraus schließen wir, dass So,

3. Da und (CD ist schließlich eine Winkelhalbierende) musste dies bewiesen werden. ■

Aufgabe 5. In einem Parallelogramm mit SeitenA Undb Winkelhalbierende werden gezeichnet Innenecken(siehe Abbildung für Aufgabe 5). Ermitteln Sie die Längen der Diagonalen des Vierecks, das am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entsteht.

Lösung: 1 ..gif" width="27 height=17" height="17">(siehe Abbildung). da in einem Parallelogramm d.h. dann Dies bedeutet, dass im Dreieck ABC die Summe der Winkel A und B gleich 900 ist, dann ist der Winkel K gleich 900, d.h. die Winkelhalbierenden AE und BP stehen senkrecht zueinander.

Ebenso wird die gegenseitige Rechtwinkligkeit der Winkelhalbierenden AE und DQ, BP und CF, CF und DQ bewiesen.

AUSGABE: KLMN ist ein Viereck mit rechten Winkeln, also ein Rechteck. Ein Rechteck hat gleiche Diagonalen, daher reicht es aus, die Länge einer davon zu ermitteln, zum Beispiel KM.

2. Nehmen wir an, er hat AK – sowohl die Winkelhalbierende als auch die Höhe. Das bedeutet erstens, dass das Dreieck ABP gleichschenklig ist, d.h. AB = AP = B, und zweitens, dass die Strecke AK gleichzeitig der Median des Dreiecks ABP ist, d. h. K der Mittelpunkt der Winkelhalbierenden BP ist.

Auf ähnliche Weise wird bewiesen, dass M der Mittelpunkt der Winkelhalbierenden DQ ist.

3. Betrachten Sie das Segment KM. Es halbiert die Segmente BP und DQ. Aber die Mittellinie eines Parallelogramms (beachten Sie, dass ein Parallelogramm ist besonderer Fall Trapez; Wenn wir von der Mittellinie eines Trapezes sprechen können, können wir genauso gut von der Mittellinie eines Parallelogramms sprechen, das die gleichen Eigenschaften hat und durch die Punkte K und M verläuft (siehe Satz 2). Das bedeutet, dass KM ein Segment auf der Mittellinie ist und daher .

4. Da und ist KMDP ein Parallelogramm und daher

Antwort: ■

Tatsächlich haben wir uns im Lösungsprozess des Problems (in den Phasen 1 und 2) als recht erwiesen wichtige Eigenschaft: Die Winkelhalbierenden neben der Seite eines Trapezes schneiden sich im rechten Winkel in einem Punkt, der auf der Mittellinie des Trapezes liegt.

Es ist zu beachten, dass die Hauptmethode zum Erstellen von Gleichungen in geometrische Probleme Ist Methode tragendes Element, Das ist wie folgt: Das gleiche Element (Seite, Winkel, Fläche, Radius usw.) wird durch bekannte und unbekannte Größen durch zwei ausgedrückt verschiedene Wege und die resultierenden Ausdrücke werden gleichgesetzt.

Nicht selten wird eine Fläche als Referenzelement gewählt Figuren. Dann sagen wir das, um die Gleichung zu konstruieren, die wir verwenden Flächenmethode.

Es ist notwendig, den Schülern beizubringen, grundlegende Probleme, also technische Probleme, zu lösen. Welche sind enthalten als Bestandteile zu vielen anderen Aufgaben. Dies sind zum Beispiel Probleme des Findens Hauptelemente Dreieck: Median, Höhe, Winkelhalbierende, Radien eingeschriebener und umschriebener Kreise, Fläche.

Aufgabe 6. Im Dreieck ABC-Seite AB und BC sind gleich, BN ist die Höhe. Auf der BC-Seite wird ein Punkt vergebenD so dass (siehe Abbildung für Aufgabe 6). In welchem ​​Verhältnis steht das SegmentAD teilt die Höhe von VN?

Lösung: 1. Sei BD = A, dann CD = 4 A, AB = 5a.

2. Zeichnen wir ein Segment (siehe Abbildung zu Aufgabe 6). Da NK die Mittellinie des Dreiecks ACD DK = KC = ist 2 A .

3. Betrachten Sie das Dreieck VNK. Wir haben: BD = A,

DK = 2A und https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif" width="84" height="41"> aber Das bedeutet, dass ■

Wenn das Problem das Ermitteln des Verhältnisses einiger – oder Mengen – erfordert, ist das Problem in der Regel gelöst unter Verwendung der Hilfsparametermethode. Das bedeutet, dass wir zu Beginn der Lösung eines Problems einige ankündigen linearer Wert bekannt, indem man es zum Beispiel mit dem Buchstaben bezeichnet A, und drücken Sie es dann durch aus A diejenigen Größen, deren Verhältnis gefunden werden muss. Wenn die erforderliche Beziehung kompiliert ist, wird der Hilfsparameter verwendet A schrumpft. Genau so haben wir bei dem Problem vorgegangen . Unser Rat: bei der Lösung von Problemen, bei denen es darum geht, das Mengenverhältnis zu ermitteln (insbesondere bei Problemen zur Winkelbestimmung – in der Regel nämlich bei der Winkelberechnung). wir reden über darum, ihn zu finden Trigonometrische Funktion, d. h. über das Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks), sollte den Schülern beigebracht werden, die Einführung eines Hilfsparameters als erste Stufe der Lösung hervorzuheben. Die Hilfsparametermethode wird auch bei Problemen verwendet, bei denen geometrische Figur bis zur Ähnlichkeit bestimmt.

Aufgabe 7. Ein Rechteck wird in ein Dreieck mit den Seitenlängen 10, 17 und 21 cm eingeschrieben, sodass sich seine beiden Eckpunkte auf einer Seite des Dreiecks und die anderen beiden Eckpunkte auf den beiden anderen Seiten des Dreiecks befinden. Finden Sie die Seiten des Rechtecks, wenn bekannt ist, dass sein Umfang 22,5 cm beträgt.

Lösung. 1. Bestimmen wir zunächst die Art des Dreiecks. Wir haben: 102 = 100; 172 = 289; 212 = 441. Da 212 > 102 + 172 ist, ist das Dreieck stumpfwinklig (siehe Satz 7), was bedeutet, dass ein Rechteck nur auf eine Weise darin eingeschrieben werden kann: indem man seine beiden Eckpunkte aufeinander legt größere Seite Dreieck ABC(siehe Abbildung für Aufgabe 7), wobei AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

2. Ermitteln Sie die Höhe ВН des Dreiecks ABC. BH = 8 cm.

3. Lassen Sie uns sagen ED=X. Dann EF = 11,25 –X(da der Umfang des Rechtecks DEFK gleich 22,5 cm), Blutdruck = 8 – x. Die Dreiecke BEF und ABC sind ähnlich, was bedeutet (in ähnliche Dreiecke das Verhältnis der entsprechenden Höhen ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten), d.h. Daraus ergibt sich x = 6.

Antwort: 6 cm, 5,25 cm. ■

Bei der Lösung des Problems haben wir die Aussage verwendet, dass bei ähnlichen Dreiecken nicht nur die Seiten, sondern auch die entsprechenden Höhen proportional sind. Mehr gemeinsamer Faktor ist das Folgende, was sozusagen ein verallgemeinerter Ähnlichkeitssatz ist:

Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann kann jedes lineare Element (oder jede Summe) lineare Elemente) eines Dreiecks bezieht sich auf das entsprechende Linienelement (oder die Summe der entsprechenden Linienelemente) des anderen Dreiecks als entsprechende Seiten.

Insbesondere werden die Radien umschriebener oder eingeschriebener Kreise, Umfänge, entsprechende Höhen, Mittelwerte und Winkelhalbierende zweier ähnlicher Dreiecke als entsprechende Seiten in Beziehung gesetzt.

Aufgabe 8.Im Dreieck ABC beträgt der Winkel A das Zweifache mehr Winkel C, Seite BC ist 2 cm größer als Seite AB und AC = 5 cm. Finden Sie AB und BC.

Lösung. 1. Zeichnen wir die Winkelhalbierende AD des Winkels A..gif" alt=" Signatur:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Die Dreiecke ABC und ABC sind ähnlich, da der Winkel B dieser Dreiecke gemeinsam ist. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke schließen wir darauf d.h.

4. Finden X Und bei Man erhält ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten: Wo

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten subtrahieren, erhalten wir 5y – 10 = 2y, d. h. y = . Das bedeutet z.B. x=4.

Antwort: AB = 4 cm; BC = 6 cm. ■

Sehr oft, wenn die Beziehungen der entsprechenden Seiten in ähnlichen Dreiecken in nicht trivialen Fällen zusammengestellt werden (triviale Fälle von Ähnlichkeit gab es in den Aufgaben 6 und 7 - das Dreieck wurde von letzterem durch eine gerade Linie parallel zu einer seiner Seiten abgeschnitten). , diejenigen, die das Problem lösen. Sie machen rein technische Fehler: Entweder verwechseln sie die Reihenfolge der Dreiecke (welches das erste und welches das zweite ist), oder sie wählen erfolglos Seitenpaare als entsprechende aus. Unser Tipp: Wenn die Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und DEF festgestellt ist, empfehlen wir, wie folgt vorzugehen: Die Seiten eines Dreiecks in die Zähler „treiben“, zum Beispiel so: vorausgesetzt, dass die entsprechenden Seiten in ähnlichen Dreiecken diejenigen sind, die gegenüberliegend liegen gleiche Winkel, finde das meiste einfache Paare relevante Parteien; Wenn dies AB und DE, BC und DF sind, dann schreiben Sie: https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif" align="left" width="121" height="96 src= " >b) so dass Sie ca. hineinpassen.Umfangs ist es notwendig und ausreichend, dass die Summen der Längen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich sind.

SATZ 5. Metrische Verhältnisse im Kreis:

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif" alt=" Signatur: Abb. 2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif" alt=" Signatur: Abb. 3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif" width="13 height=19" height="19">, Hypotenuse - c (siehe Abbildung). Berechnen Sie den Radius r des eingeschriebenen Kreises.

Lösung. 1. Zeichnen Sie vom Mittelpunkt O des eingeschriebenen Kreises Radien zu den Punkten, an denen er die Seiten des Dreiecks tangiert. Dabei berücksichtigen wir, dass sie senkrecht zu den entsprechenden Seiten stehen (siehe Satz 1, a), und notieren dann unter Verwendung von Satz 1, b die Paare gleiche Segmente: CD= SE, AE= AF,BD =B.F.(siehe Bild).

2. Als EODC- Quadrat (Ecken E,D, C - gerade und EU= CD), dann OE =Außendurchmesser= CD = CE= R. Dann BD= A -r, AE =B -R Und , jeweils, BF=BD = a– R,AF=AE =B-R.

3. Seitdem AB= AF+FB, Das c = (B -r) + (ein –R), von wo .■

Beachten Sie, dass es fast immer ratsam ist, die Radien an den Kontaktpunkten des Kreises mit den Seiten zu zeichnen, wenn es sich um einen Kreis handelt, der in ein Dreieck (oder Viereck) eingeschrieben ist, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Radien senkrecht dazu stehen entsprechenden Seiten und markieren Sie sofort Paare gleicher Segmente in der Zeichnung (für zwei Tangenten, die von einem bestimmten Punkt an den Kreis gezogen werden). Dies haben wir bei der Lösung des oben genannten Problems getan.

Achten wir auf die Formel https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif" width="43" height="44">, wobei S die Fläche ist, R– Halbumfang eines Dreiecks.

Bezüglich des Radius R Kreis um ein Dreieck umschrieben, dann wird für ein rechtwinkliges Dreieck (die Hypotenuse ist der Durchmesser eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises) für ein nicht rechtwinkliges Dreieck normalerweise die Formel https://pandia.ru/text/78 verwendet /456/images/image114_1.gif" width="59 " height="41 src=">.

Aufgabe 10. Gegeben sei ein rechteckiger Kreissektor.Es wird ein Kreis mit demselben Radius gezeichnet, dessen Mittelpunkt am Ende des Sektorbogens liegt; er teilt den Sektor in zwei krummlinige Dreiecke. In das kleinere dieser Dreiecke ist ein Kreis eingeschrieben (siehe Abbildung). Finden Sie das Verhältnis der Radien des eingeschriebenen Kreises und des Sektors.

Lösung. 1. Führen wir die notwendigen Zusatzkonstruktionen durch, die üblicherweise durchgeführt werden, wenn es um die innere oder äußere Tangentialität von Kreisen oder die Tangentialität eines Kreises und einer Geraden geht: O2O3– Linie der Zentren; IN- Anlaufstelle; O1O3– Linie der Zentren; A- Anlaufstelle; O3C O1C; MIT– Kontaktstelle (siehe Abbildung).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif" width="43" height="41">. Also, .

Antwort: . ■

Lassen Sie uns noch zwei Ergänzungen zu nützlichen Zusatzkonstruktionen geben: 1) Wenn sich zwei Kreise berühren (intern oder äußerlich), dann ist es unbedingt erforderlich, eine Mittelpunktslinie zu zeichnen, d obiges Problem, das der Schlüssel zum Erfolg war); 2) Manchmal ist es sinnvoll (als zusätzliche Konstruktionen), eine sogenannte „entfernte“ Zeichnung anzufertigen, d. h. ein Fragment einer vorhandenen ausreichenden Zeichnung komplexe Zeichnung separat herausnehmen für spezielle Studie(Also haben wir bei der Lösung des Problems ein separates Fragment herausgenommen, das ∆ enthält O1O2O3– siehe Abb.).

Aufgabe 11. KreisradiusR geht durch zwei benachbarte Eckpunkte A undD-Quadrat (siehe Abbildung). Die Tangente BM an den Kreis, der vom dritten Scheitelpunkt B des Quadrats aus gezeichnet wird, ist doppelt so lang wie dessen Seite. Finden Sie die Seite des Quadrats.

Lösung. Lassen Sie uns die Notation einführen VA= x, VM = 2x. Fahren wir mit dem Abschnitt fort VA bis es den Kreis am Punkt schneidet ZU. Dann VK ∙ VA = VM2(siehe Satz 5, c), d.h. VK ∙ x= 4x2, wo wir finden: VC= 4x- Bedeutet, AK= Zx. Weiter, KAD = = 90°, das heißt KD– Durchmesser des Kreises. Aus einem rechtwinkligen Dreieck ADK wir finden: AD2+ AK2= KD2, d.h. x2+9x2= 4R 2, woher X= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif" width="45" height="45 src=">. ■

Das Orthozentrum, also der Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks, hat eine Zahl interessante Eigenschaften: Orthozentrum spitzwinkliges Dreieck fällt mit dem Mittelpunkt eines Kreises zusammen, der in ein Dreieck eingeschrieben ist, dessen Eckpunkte die Basis der Höhen des gegebenen Dreiecks sind; in einem nicht rechtwinkligen Dreieck ABC-Distanz vom Orthozentrum zum Scheitelpunkt B ist doppelt so groß wie der Abstand vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises des Dreiecks zur Seite AC. Wir verwenden die letzte Eigenschaft, um das Konzept der Euler-Geraden einzuführen. Aus optischen Gründen beschränken wir uns auf ein spitzwinkliges Dreieck.

Also lass N– Orthozentrum, O – Zirkumzentrum, Außendurchmesser Wechselstrom,OD║BH,ANZEIGE= Gleichstrom(siehe Bild).

Zeichnen wir den Median BD und segmentieren ER. Dreiecke VNM Und MODähnlich, was bedeutet https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif" width="56" height="41 src=">.gif" width="17" height="16 src =">C = 90°, dann ist Eulers Gerade eine Gerade, die durch den Scheitelpunkt C des rechten Winkels und die Mitte verläuft UM Hypotenuse AB, d.h. der Median.

Lassen Sie uns das Gespräch über die Lösung planimetrischer Probleme fortsetzen. Fahren wir mit der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit dem Konzept der Fläche einer ebenen Figur fort.

Beginnen wir wie in den vorherigen Fällen damit, „funktionierende“ Theoreme zu identifizieren. Zur Flächenberechnung gibt es zwei solcher Theoreme.

Satz 1. Flächenverhältnis ähnliche Figuren gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

SATZ 2. A) Wenn zwei Dreiecke gleich sindBasen, dann hängen ihre Flächen mit ihren Höhen zusammen.

B) Wenn zwei Dreiecke die gleiche Höhe haben, dann sind ihreFlächen werden als Stützpunkte behandelt.

Und natürlich ist es sinnvoll, die Grundformeln zur Berechnung der Flächen ebener Figuren anzugeben.

1. Formeln für die Fläche eines Dreiecks:

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif" width="84" height="41 src=">; c) ;

d) S = RR, Wo R=; R– Radius des umschriebenen Kreises; R- Radius des eingeschriebenen Kreises;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif" align="left hspace=12" width="159" height="139"> a) S= A.C.∙ BDsin;

Für Winkel mit bzw parallele Seiten Es gelten folgende Sätze:

1. Wenn die Seiten a und b eines Winkels jeweils parallel zu den Seiten a und b eines anderen Winkels sind und dieselben Richtungen wie diese haben, dann sind die Winkel gleich.

2. Wenn unter der gleichen Parallelitätsbedingung die Seiten a und b gegenüber den Seiten a und b ausgerichtet sind, dann sind auch die Winkel gleich.

3. Wenn schließlich die Seiten a und parallel und in der gleichen Richtung sind und die Seiten parallel und in entgegengesetzter Richtung sind, dann ergänzen sich die Winkel, bis sie umgekehrt sind.

Nachweisen. Lassen Sie uns den ersten dieser Sätze beweisen. Die Seiten der Winkel seien parallel und gleich gerichtet (Abb. 191). Verbinden wir die Eckpunkte mit einer geraden Linie.

In diesem Fall sind zwei Fälle möglich: Die Gerade verläuft innerhalb der Ecken oder außerhalb dieser Ecken (Abb. 191, b). In beiden Fällen liegt der Beweis auf der Hand: So im ersten Fall

aber woher bekommen wir es? Im zweiten Fall haben wir

und das Ergebnis folgt wieder aus den Gleichungen

Die Beweise der Sätze 2 und 3 überlassen wir dem Leser. Wir können sagen: Wenn die Seiten der Winkel jeweils parallel sind, dann sind die Winkel entweder gleich oder addieren sich zum entgegengesetzten Winkel.

Offensichtlich sind sie gleich, wenn beide gleichzeitig spitz oder beide stumpf sind, und ihre Summe ist gleich, wenn einer von ihnen spitz und der andere stumpf ist.

Winkel mit entsprechend senkrechten Seiten sind bis zu einem geraden Winkel gleich oder komplementär zueinander.

Nachweisen. Sei a ein Winkel (Abb. 192) und O der Scheitelpunkt des durch gerade Linien gebildeten Winkels; es gebe also einen der vier durch diese beiden geraden Linien gebildeten Winkel. Drehen wir den Winkel (d. h. beide Seiten) um seinen Scheitelpunkt O im rechten Winkel; wir erhalten einen diesem gleichen Winkel, dessen Seiten jedoch senkrecht zu den Seiten des in Abb. angegebenen gedrehten Winkels stehen. 192 durch Sie verlaufen parallel zu den geraden Linien, die sich bilden angegebenen Winkel A. Winkel bedeuten also, dass Winkel entweder gleich sind oder in ihrer Summe einen umgekehrten Winkel bilden.

KAPITEL III.
PARALLEL DIREKT

§ 40. Winkel mit jeweils parallelen Winkeln
UND SENKRECHTE SEITEN.

1. Winkel mit entsprechend parallelen Seiten.

Nehmen wir zwei Punkte C und O in der Ebene und zeichnen wir von diesen Punkten zwei Strahlenpaare
CA || OM und SV || ON, sodass die Winkel ACB und MON entweder beide spitz (Abb. 211) oder beide stumpf (Abb. 212) sind.

Die Winkel ACB und MON sind Winkel mit parallelen Seiten. Beweisen wir, dass diese Winkel einander gleich sind.

CB schneide OM im Punkt D. / DIA = / MDV, wie entsprechende Winkel mit parallelem AC und MO und sekantem SV.

/ MDV = / MON, wie die entsprechenden Winkel für paralleles CB und ON und sekantes MO, aber dann / DIA = / MO.

Somit, Winkel mit entsprechend parallelen Seiten sind gleich, wenn sie beide spitz oder beide stumpf sind.

Lasst uns zwei scharfe bauen Winkel DIA und MON mit entsprechend parallelen Seiten (Abb. 213): CA || MO und NE || ON und fahren Sie über den Scheitelpunkt O der Seite des Winkels MON hinaus fort.

Am Scheitelpunkt O wurden zwei stumpfe Winkel EOM und FON gebildet (da der an sie angrenzende Winkel MON konstruktionsbedingt spitz ist).

Jeder von ihnen addiert zum Winkel MON beträgt 2 D, und da / MO = / DIA,
Das / DIA+ / MOE = 2 D Und / DIA+ / FON = 2 D.

Somit, Winkel mit entsprechend parallelen Seiten addieren sich zu 2

2. Winkel mit entsprechend senkrechten Seiten.

Konstruieren wir einen beliebigen spitzen Winkel ABC. Zeichnen wir Strahlen senkrecht zu seinen Seiten durch den Scheitelpunkt des Winkels, sodass sie einen spitzen Winkel bilden.

BO_|_ BC und VC _|_ AB (Zeichnung 214). Wir werden es bekommen neuer Blickwinkel OBK.
Die Seiten der Winkel ABC und OBC stehen zueinander senkrecht.

/ ABC = D - / SVK;
/ HVAC = D - / SVK.

Es folgt dem / ABC = / HVAC.

Lassen Sie uns eine beliebige erstellen stumpfer Winkel AOB und zeichnen Sie Strahlen senkrecht zu seinen Seiten durch seinen Scheitelpunkt, sodass sie einen stumpfen Winkel bilden.
OK_|_OA und OS_|_OV (Abb. 215), Winkel KOS - stumpf. Die Seiten der Winkel AOB und KOS stehen also senkrecht zueinander

/ AOB = D + / KOV;
/ CBS = D+ / KOV.

Es folgt dem / AOB = / KOS.

Winkel mit entsprechend senkrechten Seiten sind gleich, wenn sie beide spitz oder beide stumpf sind.

Konstruieren wir einen beliebigen spitzen Winkel AOB und zeichnen wir Senkrechte durch seinen Scheitelpunkt zu seinen Seiten, sodass sie einen spitzen Winkel bilden (Abb. 216).
Wir bekommen: / COM = / AOB. Setzen wir die Seite OK über den Scheitelpunkt O hinaus fort. Die Seiten des Winkels EOM stehen senkrecht zu den Seiten des Winkels AOB. Dabei / EOM - dumm, da es daneben liegt / MOK – scharf. / KOM + / EOM = 2 D(wie benachbarte Winkel). Aber / KOM ist, wie bereits bewiesen, gleich / AOB. Daher und / AOB + / EOM = 2 D.

Winkel mit entsprechend senkrechten Seiten addieren sich zu 2d wenn einer von ihnen scharf und der andere stumpf ist.

Wir haben Winkel berücksichtigt, die durch zueinander senkrechte Seiten entstehen, als dies der Fall war gemeinsame Spitze. Die von uns abgeleiteten Eigenschaften gelten auch für den Fall, dass die Winkel keinen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Konstruieren wir einen beliebigen spitzen Winkel AOB und zeichnen wir durch einen Punkt C (Abb. 217) die Strahlen CE __|_OA und SK _|_ OB, sodass auch der Winkel KCE spitz ist.

Die Winkel AOB bis KSE werden durch zueinander senkrechte Seiten gebildet. Beweisen wir, dass sie einander gleich sind. Gehen Sie dazu durch Punkt O (Scheitelpunkt / AOB) werden wir OK"||SK und OE" || durchführen SE. / KSE = / CFU“, da sie aus zueinander parallelen Seiten bestehen und beide scharf sind. Aber / K"OE" = / AOB laut bewiesen. Somit, / AOB = / KSE.

Wenn wir die Seite CE über den Scheitelpunkt der Ecke hinaus verlängern, erhalten wir / MSK nebenan / KSE.
/ MSC + / KSE = 2 D, Aber / KSE = / AOB, deshalb / AOB + / MSK = 2 D.

Satz 1.Winkelgleichheit mit zueinander senkrechten Seiten:Wenn
beide scharf oder beide stumpf und
,
, Das
. THEOREM 2. Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes:A) die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen des Trapezes;B) die Mittellinie ist gleich der halben Summe der Basen des Trapezes;C) Die Mittellinie (und nur sie) halbiert jedes zwischen den Basen des Trapezes eingeschlossene Segment. Diese Eigenschaften gelten auch für die Mittellinie eines Dreiecks, wenn wir das Dreieck als „entartetes“ Trapez betrachten, dessen eine Basis die Länge Null hat. THEOREM 3. Über die Schnittpunkte von Medianen, Winkelhalbierenden und Höhen eines Dreiecks:A) drei Mediane eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (er wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet) und teilen sich an diesem Punkt im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt aus;B) drei Winkelhalbierende eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt;C) Drei Höhen schneiden sich in einem Punkt (dieser wird als Orthozentrum des Dreiecks bezeichnet).THEOREM 4. Eigenschaft des Medians in einem rechtwinkligen Dreieck:In einem rechtwinkligen Dreieck ist der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte davon. Auch der umgekehrte Satz gilt: Wenn in einem Dreieck einer der Mediane gleich der Hälfte der Seite ist, zu der es gezogen wird, dann ist dieses Dreieck rechtwinkligTHEOREM 5. Eigenschaft der Winkelhalbierenden des Innenwinkels eines Dreiecks:Die Winkelhalbierende eines Innenwinkels eines Dreiecks teilt die Seite, zu der es gezogen wird, in Teile, die proportional zu den gegenüberliegenden Seiten sind:
THEOREM 6. Metrische Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck:WennAUndB- Beine,C– Hypotenuse,H- Höhe, Und - Projektionen der Beine auf die Hypotenuse, dann: a)
; B)
; V)
; G)
; D)
THEOREM 7. Bestimmung des Dreieckstyps anhand seiner Seiten:LassenA, B, C– Seiten des Dreiecks, wobei c die größte Seite ist; Dann:Und wenn
, dann ist das Dreieck spitz;B) wenn
, dann ist das Dreieck rechtwinklig;B) wenn
, dann ist das Dreieck stumpf.THEOREM 8. Metrische Beziehungen in einem Parallelogramm:Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten:
. Bei der Lösung geometrischer Probleme muss häufig die Gleichheit zweier Segmente (oder Winkel) festgestellt werden. Lassen Sie uns angeben drei Hauptmethoden, um die Gleichheit zweier Segmente geometrisch zu beweisen: 1) Betrachten Sie die Segmente als Seiten zweier Dreiecke und beweisen Sie, dass diese Dreiecke gleich sind; 2) Stellen Sie die Segmente als Seiten eines Dreiecks dar und beweisen Sie, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist; 3 ) ersetzen das Segment A ein gleichwertiges Segment , und das Segment B – gleich und beweisen Sie die Gleichheit der Segmente und . Aufgabe 1.Zwei zueinander senkrechte Linien schneiden die SeitenAB, B.C., CD, ANZEIGEQuadratA B C Dan PunktenE, F, K, Ljeweils. Beweise dasE.K. = FL(siehe Abbildung für Aufgabe Nr. 1).R

Reis. zur Aufgabe Nr. 1

Lösung: 1. Unter Verwendung des ersten der oben genannten Pfade für die Gleichheit zweier Segmente zeichnen wir die Segmente
Und
- dann die Segmente, die uns interessieren E.K. Und FL werden Seiten zweier rechtwinkliger Dreiecke EPK Und FML(siehe Abbildung für Aufgabe Nr. 1). 2

Reis. zur Aufgabe Nr. 1

Wir haben: PK = FM(mehr Details: PK = ANZEIGE, ANZEIGE = AB, AB = FM, Bedeutet,PK = FM), (als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten, Satz 1). Das bedeutet (entlang des Beins und im spitzen Winkel). Aus der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke folgt, dass ihre Hypotenusen gleich sind, d.h. Segmente E.K. Und FL. ■ Beachten Sie, dass Sie beim Lösen geometrischer Probleme oft zusätzliche Konstruktionen erstellen müssen, zum Beispiel die folgenden: Zeichnen einer geraden Linie parallel oder senkrecht zu einer der Linien in der Abbildung (wie wir es in Aufgabe 1 getan haben); Verdoppeln Sie den Mittelwert des Dreiecks, um das Dreieck zu einem Parallelogramm zu vervollständigen (wir werden dies in Aufgabe 2 tun), und zeichnen Sie eine Hilfshalbierende. Es gibt nützliche Zusatzkonstruktionen rund um den Kreis. Aufgabe 2.Partys
gleichA, B, C. Berechnen Sie den Median , zur Seite c gezogen. (siehe Abbildung für Aufgabe 2).R

Reis. zu Problem Nr. 2

Lösung: Verdoppeln Sie den Median durch Vervollständigen
auf das Parallelogramm ACVR und wenden Satz 8 auf dieses Parallelogramm an. Wir erhalten: , d.h.
, wo wir finden:
Aufgabe 3.Beweisen Sie, dass in jedem Dreieck die Summe der Mediane größer als ¾ des Umfangs, aber kleiner als der Umfang ist.R
Lösung: 1. Lassen Sie uns überlegen
(siehe Abbildung für Problem 3) Wir haben:
;
. Als AM + MS > AC, Das
(1) P

Reis. zu Problem Nr. 3

Wenn wir ähnliche Überlegungen für die Dreiecke AMB und BMC anstellen, erhalten wir:
(2)
(3) Durch Addition der Ungleichungen (1), (2), (3) erhalten wir:
, T
.e. Wir haben bewiesen, dass die Summe der Mediane größer als ¾ des Umfangs ist. 2. Verdoppeln wir den Median BD und vervollständigen das Dreieck zu einem Parallelogramm (siehe Abbildung für Aufgabe 3). Dann von
wir bekommen: B.K. < B.C. + CK, diese.
(4) Ebenfalls:
(5)

Reis. zu Problem Nr. 3

(6) Durch Addition der Ungleichungen (4), (5), (6) erhalten wir: , d.h. die Summe der Mediane ist kleiner als der Umfang. ■ Aufgabe 4.Beweisen Sie, dass in einem nicht gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck die Winkelhalbierende eines rechten Winkels den Winkel zwischen dem Median und der vom gleichen Scheitelpunkt ausgehenden Höhe halbiert.R
Lösung: Sei ACB ein rechtwinkliges Dreieck,
, CH – Höhe, CD – Winkelhalbierende, SM – Median. Führen wir die folgende Notation ein: (siehe Abbildung für Aufgabe 4) . 1.
als Winkel mit zueinander senkrechten Seiten (). 2

Reis. zu Problem Nr. 4

Als
(siehe Satz 4), dann SM = MV und dann von
Wir schließen daraus
Also, 3. Da und (CD ist schließlich eine Winkelhalbierende) musste dies bewiesen werden. ■ Aufgabe 5.In einem Parallelogramm mit SeitenA UndBEs werden Winkelhalbierende der Innenwinkel gezeichnet (siehe Abbildung für Aufgabe 5). Ermitteln Sie die Längen der Diagonalen des Vierecks, das am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entsteht.Lösung: 1 . AE – Winkelhalbierende
, BP – Winkelhalbierende
(Siehe Abbildung) . da in einem Parallelogramm
diese. dann Dies bedeutet, dass im Dreieck ABC die Summe der Winkel A und B gleich 90 0 ist, dann ist der Winkel K gleich 90 0, d. h. die Winkelhalbierenden AE und BP stehen senkrecht zueinander. A
Die gegenseitige Rechtwinkligkeit der Winkelhalbierenden AE und DQ, BP und CF, CF und DQ wird logisch bewiesen. AUSGABE: KLMN ist ein Viereck mit rechten Winkeln, d. h. Rechteck. Ein Rechteck hat gleiche Diagonalen, daher reicht es aus, die Länge einer davon zu ermitteln, zum Beispiel KM. 2

Reis. zu Problem Nr. 5

Lassen Sie uns überlegen
Er hat AK – sowohl die Winkelhalbierende als auch die Höhe. Das bedeutet erstens, dass das Dreieck ABP gleichschenklig ist, d.h. AB = AP = B, und zweitens, dass die Strecke AK zugleich der Median des Dreiecks ABP ist, d.h. K – die Mitte der Winkelhalbierenden BP. Auf ähnliche Weise wird bewiesen, dass M der Mittelpunkt der Winkelhalbierenden DQ ist. 3. Betrachten Sie das Segment KM. Es halbiert die Segmente BP und DQ. Aber die Mittellinie eines Parallelogramms (beachten Sie, dass ein Parallelogramm ein Sonderfall eines Trapezes ist; wenn wir über die Mittellinie eines Trapezes sprechen können, dann können wir genauso gut über die Mittellinie eines Parallelogramms sprechen, die das Gleiche hat Eigenschaften) verläuft durch die Punkte K und M (siehe Satz 2). Dies bedeutet, dass KM ein Segment auf der Mittellinie ist und daher
.4. Als
Und
, dann ist KMDP ein Parallelogramm und daher. Antwort:
■ Tatsächlich haben wir im Prozess der Lösung des Problems (in den Phasen 1 und 2) eine ziemlich wichtige Eigenschaft bewiesen: Die Winkelhalbierenden, die an die Seite eines Trapezes angrenzend sind, schneiden sich im rechten Winkel in einem Punkt, der auf der Mittellinie des Trapezes liegt Trapez. Es ist zu beachten, dass die Hauptmethode zum Erstellen von Gleichungen bei geometrischen Problemen ist Methodetragendes Element, Das ist wie folgt: Das gleiche Element (Seite, Winkel, Fläche, Radius usw.) wird durch bekannte und unbekannte Größen auf zwei verschiedene Arten ausgedrückt und die resultierenden Ausdrücke werden gleichgesetzt. Nicht selten wird eine Fläche als Referenzelement gewähltFiguren. Dann sagen wir das, um die Gleichung zu konstruieren, die wir verwenden Flächenmethode. Es ist notwendig, den Schülern beizubringen, grundlegende Probleme zu lösen, d.h. diese. Die als Komponenten in viele andere Aufgaben eingebunden sind. Dies sind beispielsweise Probleme beim Finden der Grundelemente eines Dreiecks: Median, Höhe, Winkelhalbierende, ein- und umschriebene Kreisradien, Fläche. Z Problem 6.Im Dreieck ABC sind die Seiten AB und BC gleich und BH ist die Höhe. Auf der BC-Seite wird ein Punkt vergebenDAlso
(siehe Abbildung für Aufgabe 6). In welchem ​​Verhältnis steht das SegmentANZEIGEteilt die Höhe der VN?Lösung: 1. Sei BD = A, dann CD = 4 A, AB = 5a.2

Reis. zu Problem Nr. 6

Zeichnen wir ein Segment
(siehe Abbildung zu Aufgabe 6) Da NK die Mittellinie des Dreiecks ACD ist, ist DK = KC = 2 A .3. Betrachten Sie das Dreieck VNK. Wir haben: BD = A,DK = 2 A Und
. Nach dem Satz von Thales
Aber
Das bedeutet
■ Wenn es bei einem Problem darum geht, das Verhältnis einer beliebigen Anzahl von Größen zu ermitteln, ist das Problem in der Regel gelöst unter Verwendung der Hilfsparametermethode. Das bedeutet, dass wir zu Beginn der Lösung des Problems eine lineare Größe für bekannt erklären und sie beispielsweise mit dem Buchstaben bezeichnen A, und drücken Sie es dann durch aus A diejenigen Größen, deren Verhältnis gefunden werden muss. Wenn die erforderliche Beziehung kompiliert ist, wird der Hilfsparameter verwendet A schrumpft. Genau so haben wir bei dem Problem vorgegangen . Unser Rat: bei der Lösung von Problemen, bei denen es darum geht, das Mengenverhältnis zu ermitteln (insbesondere bei Problemen zur Bestimmung eines Winkels – schließlich geht es bei der Berechnung eines Winkels in der Regel um die Ermittlung seiner trigonometrischen Funktion, also um das Verhältnis von Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks) sollten den Schülern beigebracht werden. Die erste Stufe der Lösung ist die Einführung eines Hilfsparameters. Die Hilfsparametermethode wird auch bei Problemen verwendet, bei denen eine geometrische Figur bis zur Ähnlichkeit definiert wird. Aufgabe 7.Ein Rechteck wird in ein Dreieck mit den Seitenlängen 10, 17 und 21 cm eingeschrieben, sodass sich seine beiden Eckpunkte auf einer Seite des Dreiecks und die anderen beiden Eckpunkte auf den beiden anderen Seiten des Dreiecks befinden. Finden Sie die Seiten des Rechtecks, wenn bekannt ist, dass sein Umfang 22,5 cm beträgt.R
Entscheidung . 1. Bestimmen wir zunächst die Art des Dreiecks. Wir haben: 10 2 = 100; 17 2 = 289; 21 2 = 441. Da 21 2 > 10 2 + 17 2 ist, ist das Dreieck stumpfwinklig (siehe Satz 7), was bedeutet, dass ein Rechteck nur auf eine Weise darin eingeschrieben werden kann: indem seine beiden Eckpunkte auf dem größeren platziert werden Seite des Dreiecks ABC (siehe Abb. . zu Aufgabe 7), wobei AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm. 2