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Methode der direkten Integration Lösungsbeispiele. Methode der direkten Integration. Beispiele zur Selbstlösung

Hauptintegrale, die jeder Schüler kennen sollte

Die aufgeführten Integrale sind die Basis, die Basis der Fundamente. Diese Formeln sollten Sie sich natürlich merken. Beim Rechnen mehr komplexe Integrale Sie müssen sie ständig verwenden.

Zahlen Besondere Aufmerksamkeit zu den Formeln (5), (7), (9), (12), (13), (17) und (19). Vergessen Sie nicht, beim Integrieren eine beliebige Konstante C zur Antwort hinzuzufügen!

Integral einer Konstante

∫ A d x = A x + C (1)

Leistungsfunktionsintegration

Eigentlich könnte man sich auf die Formeln (5) und (7) beschränken, aber die restlichen Integrale aus dieser Gruppe sind so häufig, dass es sich lohnt, ihnen ein wenig Aufmerksamkeit zu schenken.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Integrale der Exponentialfunktion und der hyperbolischen Funktionen

Natürlich kann Formel (8) (vielleicht am bequemsten zu merken) als betrachtet werden besonderer Fall Formeln (9). Formeln (10) und (11) für die Integrale von hyperbolischer Sinus und hyperbolischer Kosinus lassen sich leicht aus Formel (8) ableiten, aber es ist besser, sich diese Beziehungen einfach zu merken.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Grundintegrale trigonometrischer Funktionen

Ein Fehler, den Schüler oft machen: Sie verwechseln die Vorzeichen in den Formeln (12) und (13). Wenn man sich daran erinnert, dass die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist, glauben viele Menschen aus irgendeinem Grund, dass das Integral von sinx-Funktionen gleich cosx. Das ist nicht wahr! Das Integral von Sinus ist "minus Cosinus", aber das Integral von Cosx ist "nur Sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrale, die auf inverse trigonometrische Funktionen reduziert werden

Formel (16), die auf den Arcustangens führt, ist natürlich ein Spezialfall von Formel (17) für a = 1. Ebenso ist (18) ein Sonderfall von (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Komplexere Integrale

Es ist auch wünschenswert, sich diese Formeln zu merken. Sie werden auch ziemlich oft verwendet und ihre Ausgabe ist ziemlich langweilig.

Allgemeine Integrationsregeln

1) Integral der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe zugehörige Integrale: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Integral der Differenz zweier Funktionen ist gleich der Differenz zugehörige Integrale: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Die Konstante lässt sich aus dem Integralzeichen herausnehmen: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Es ist leicht zu sehen, dass Eigenschaft (26) einfach eine Kombination der Eigenschaften (25) und (27) ist.

4) Integral von komplexe Funktion, wenn innere Funktion ist linear: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Dabei ist F(x) die Stammfunktion der Funktion f(x). Beachten Sie, dass diese Formel nur funktioniert, wenn die innere Funktion Ax + B ist.

Wichtig: existiert nicht universelle Formel für das Integral des Produkts zweier Funktionen sowie für das Integral des Bruchs:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (dreißig)

Das bedeutet natürlich nicht, dass eine Fraktion oder ein Produkt nicht integriert werden kann. Es ist nur so, dass Sie jedes Mal, wenn Sie ein Integral wie (30) sehen, einen Weg finden müssen, damit zu „kämpfen“. In manchen Fällen hilft Ihnen die partielle Integration, irgendwo müssen Sie eine Variablenänderung vornehmen, und manchmal können sogar "Schulformeln" der Algebra oder Trigonometrie helfen.

Ein einfaches Beispiel zur Berechnung des unbestimmten Integrals

Beispiel 1. Finden Sie das Integral: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Wir verwenden die Formeln (25) und (26) (das Integral der Summe oder Differenz von Funktionen ist gleich der Summe oder Differenz der entsprechenden Integrale. Wir erhalten: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Erinnern Sie sich, dass die Konstante aus dem Integralzeichen herausgenommen werden kann (Formel (27)). Der Ausdruck wird in das Formular umgewandelt

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ Sünde x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

Lassen Sie uns jetzt einfach die Tabelle der Basisintegrale verwenden. Wir müssen die Formeln (3), (12), (8) und (1) anwenden. Lassen Sie uns die Potenzfunktion, den Sinus, den Exponenten und die Konstante 1 integrieren. Vergessen Sie nicht, am Ende eine beliebige Konstante C hinzuzufügen:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Nach elementaren Transformationen erhalten wir die endgültige Antwort:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Testen Sie sich selbst mit Differentiation: Nehmen Sie die Ableitung der resultierenden Funktion und vergewissern Sie sich, dass sie gleich dem ursprünglichen Integranden ist.

Übersichtstabelle der Integrale

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 Sünde 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = ein r c t g x + C = − ein r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a ein r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + ein 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C

∫ 1 x 2 − ein 2 d x = ln | x + x 2 − ein 2 | +C

∫ ein 2 − x 2 d x = x 2 ein 2 − x 2 + ein 2 2 arcsin x ein + C (a > 0)

∫ x 2 + ein 2 d x = x 2 x 2 + ein 2 + ein 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − ein 2 d x = x 2 x 2 − ein 2 − ein 2 2 ln | x + x 2 − ein 2 | + C (a > 0)

Laden Sie die Tabelle der Integrale (Teil II) von diesem Link herunter

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In einem früheren Material wurde die Frage des Auffindens des Derivats betrachtet und dessen verschiedene Anwendungen: Berechnung Neigung Tangente an den Graphen, Lösung von Optimierungsproblemen, Untersuchung von Funktionen auf Monotonie und Extrema. $\neuerBefehl(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\neuerBefehl(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\neuerBefehl(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Bild 1.

Auch das Problem, die Momentangeschwindigkeit $v(t)$ durch die Ableitung nach einer vorher bekannten zurückgelegten Strecke, ausgedrückt durch die Funktion $s(t)$, zu finden, wurde betrachtet.

Figur 2.

Das umgekehrte Problem ist auch sehr häufig, wenn Sie den Weg $s(t)$ finden müssen, der von einem Zeitpunkt $t$ zurückgelegt wird, wobei Sie die Geschwindigkeit des Punktes $v(t)$ kennen. Wie Sie sich erinnern, ergibt sich die Momentangeschwindigkeit $v(t)$ als Ableitung der Wegfunktion $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Also um sich zu entscheiden umgekehrtes Problem, das heißt, um den Weg zu berechnen, müssen Sie eine Funktion finden, deren Ableitung gleich der Geschwindigkeitsfunktion ist. Aber wir wissen, dass die Ableitung des Weges die Geschwindigkeit ist, also: $s'(t) = v(t)$. Die Geschwindigkeit ist gleich dem Produkt aus Beschleunigung und Zeit: $v=at$. Es ist leicht festzustellen, dass die gewünschte Pfadfunktion die Form hat: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Aber das ist nicht ganz eine vollständige Lösung. Komplette Lösung sieht so aus: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, wobei $C$ eine Konstante ist. Warum das so ist, wird später diskutiert. Prüfen wir in der Zwischenzeit die Korrektheit der gefundenen Lösung: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=bei=v( t)$.

Es ist erwähnenswert, dass es in Bezug auf Geschwindigkeit einen Weg zu finden gilt körperlicher Sinn Primitive.

Die resultierende Funktion $s(t)$ heißt die Stammfunktion von $v(t)$. Sehr interessant u ungewöhnlicher Name, Oder. Darin liegt großartiger Sinn was das Wesen erklärt dieses Konzept und führt zum Verstehen. Sie können sehen, dass es zwei Wörter "first" und "image" enthält. Sie sprechen für sich. Das heißt, dies ist die Funktion, die das Original für die Ableitung ist, die wir haben. Und bei dieser Ableitung suchen wir die Funktion, die am Anfang war, das „erste“, „erste Bild“, also die Stammfunktion. Sie wird manchmal auch als Stammfunktion oder Stammfunktion bezeichnet.

Wie wir bereits wissen, nennt man den Vorgang des Auffindens der Ableitung Differentiation. Und der Vorgang, die Stammfunktion zu finden, heißt Integration. Die Integrationsoperation ist die Umkehrung der Differentiationsoperation. Auch die Umkehrung gilt.

Definition. Eine Stammfunktion für eine Funktion $f(x)$ in einem bestimmten Intervall ist eine Funktion $F(x)$, deren Ableitung gleich dieser Funktion $f(x)$ für alle $x$ aus dem angegebenen Intervall ist: $F'( x)=f(x)$.

Jemand mag eine Frage haben: Woher kamen $F(x)$ und $f(x)$ in der Definition, wenn es ursprünglich um $s(t)$ und $v(t)$ ging. Der Punkt ist, dass $s(t)$ und $v(t)$ Sonderfälle der Notation für Funktionen sind, die in haben dieser Fall spezifische Bedeutung, das heißt, es ist eine Funktion der Zeit bzw. eine Funktion der Geschwindigkeit. Dasselbe gilt für die Variable $t$ – sie repräsentiert die Zeit. Und $f$ und $x$ sind traditionelle Ausführung allgemeine Bezeichnung Funktion und Variable. Besondere Aufmerksamkeit verdient die Notation der Stammfunktion $F(x)$. Erstens ist $F$ Kapital. Stammfunktionen sind gekennzeichnet Großbuchstaben. Zweitens sind die Buchstaben gleich: $F$ und $f$. Das heißt, für die Funktion $g(x)$ wird die Stammfunktion mit $G(x)$ bezeichnet, für $z(x)$ mit $Z(x)$. Unabhängig von der Notation sind die Regeln zum Auffinden der Stammfunktion immer gleich.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1 Beweisen Sie, dass die Funktion $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ die Stammfunktion der Funktion $f(x)=\cos5x$ ist.

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Definition bzw. die Tatsache, dass $F'(x)=f(x)$, und finden die Ableitung der Funktion $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Also ist $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ die Stammfunktion von $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Beispiel 2 Finden Sie heraus, welchen Funktionen die folgenden Stammfunktionen entsprechen: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Um die gewünschten Funktionen zu finden, berechnen wir ihre Ableitungen:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Beispiel 3 Wie lautet die Stammfunktion für $f(x)=0$?
Verwenden wir die Definition. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Funktion eine Ableitung gleich $0$ haben kann. Wenn wir uns an die Ableitungstabelle erinnern, erhalten wir, dass jede Konstante eine solche Ableitung hat. Wir erhalten die gesuchte Stammfunktion: $F(x)= C$.

Die resultierende Lösung lässt sich geometrisch und physikalisch erklären. Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente an den Graphen $y=F(x)$ an jedem Punkt dieses Graphen horizontal ist und daher mit der Achse $Ox$ zusammenfällt. Physikalisch dadurch erklärt, dass ein Punkt eine Geschwindigkeit hat Null, bleibt an Ort und Stelle, das heißt, der von ihm zurückgelegte Weg bleibt unverändert. Darauf aufbauend können wir den folgenden Satz formulieren.

Satz. (Funktionskonstanzzeichen). Wenn in irgendeinem Intervall $F'(x) = 0$ ist, dann ist die Funktion $F(x)$ in diesem Intervall konstant.

Beispiel 4 Bestimmen Sie die Stammfunktionen, deren Funktionen die Funktionen sind a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, wobei $a$ eine Zahl ist.
Aus der Definition einer Stammfunktion schließen wir, dass wir zur Lösung dieser Aufgabe die Ableitungen der uns gegebenen Stammfunktionen berechnen müssen. Denken Sie beim Rechnen daran, dass die Ableitung einer Konstanten, also einer beliebigen Zahl, gleich Null ist.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Was sehen wir? Mehrere verschiedene Funktionen sind Stammfunktionen derselben Funktion. Das bedeutet, dass jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, und sie haben die Form $F(x) + C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist. Das heißt, die Operation der Integration ist im Gegensatz zur Operation der Differenzierung mehrwertig. Darauf aufbauend formulieren wir einen Satz, der die Haupteigenschaft von Stammfunktionen beschreibt.

Satz. (Die Haupteigenschaft von Primitiven). Die Funktionen $F_1$ und $F_2$ seien Stammfunktionen der Funktion $f(x)$ in einem bestimmten Intervall. Dann gilt für alle Werte aus diesem Intervall folgende Gleichheit: $F_2=F_1+C$, wobei $C$ irgendeine Konstante ist.

Tatsache der Anwesenheit eine unendliche Zahl Stammfunktionen können geometrisch interpretiert werden. Mit Hilfe parallele Übertragung entlang der Achse $Oy$ kann man Graphen zweier beliebiger Stammfunktionen für $f(x)$ voneinander erhalten. Das ist geometrischen Sinn Primitive.

Es ist sehr wichtig, darauf zu achten, dass es durch die Wahl der Konstanten $C$ möglich ist, den Graphen der Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt gehen zu lassen.

Figur 3

Beispiel 5 Finden Sie die Stammfunktion für die Funktion $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, deren Graph durch den Punkt $(3; 1)$ geht.
Finden wir zunächst alle Stammfunktionen für $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Als nächstes finden wir eine Zahl C, für die der Graph $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ durch den Punkt $(3; 1)$ geht. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Gleichung des Graphen ein und lösen sie nach $C$ auf:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Wir haben den Graphen $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ erhalten, der der Stammfunktion $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ entspricht.

Tabelle der Stammfunktionen

Eine Tabelle mit Formeln zum Auffinden von Stammfunktionen kann mit Hilfe von Formeln zum Auffinden von Derivaten zusammengestellt werden.

Tabelle der Stammfunktionen

Funktionen	Stammfunktionen
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln\|x\|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cosx$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$

Sie können die Richtigkeit der Tabelle wie folgt überprüfen: Suchen Sie für jeden Satz Stammfunktionen in der rechten Spalte die Ableitung, wodurch die entsprechenden Funktionen in der linken Spalte erhalten werden.

Einige Regeln zum Finden von Stammfunktionen

Wie Sie wissen, haben viele Funktionen mehr komplexe Ansicht als die in der Stammfunktionstabelle angegebenen und können beliebige Kombinationen von Summen und Produkten von Funktionen aus dieser Tabelle sein. Und hier stellt sich die Frage, wie man die Stammfunktionen ähnlicher Funktionen berechnet. Aus der Tabelle wissen wir zum Beispiel, wie man die Stammfunktionen $x^3$, $\sin x$ und $10$ berechnet. Aber wie berechnet man zum Beispiel die Stammfunktion $x^3-10\sin x$? Mit Blick auf die Zukunft ist anzumerken, dass er gleich $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ sein wird.
1. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ ist, ist $G(x)$ für $g(x)$, dann ist für $f(x)+g(x)$ die Stammfunktion wird gleich $ F(x)+G(x)$ sein.
2. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ und $a$ eine Konstante ist, dann ist für $af(x)$ die Stammfunktion $aF(x)$.
3. Wenn für $f(x)$ die Stammfunktion $F(x)$ ist, $a$ und $b$ Konstanten sind, dann ist $\frac(1)(a) F(ax+b)$ Stammfunktion für $f (ax+b)$.
Mit den erhaltenen Regeln können wir die Stammfunktionstabelle erweitern.

Funktionen	Stammfunktionen
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln\|ax+b\|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Beispiel 5 Stammfunktionen finden für:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle\sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

In der Schule können viele Integrale nicht lösen oder haben Schwierigkeiten damit. Dieser Artikel wird Ihnen helfen, es herauszufinden, denn darin finden Sie alles Tabellen von Integralen.

Integral ist eine der wichtigsten Berechnungen und Konzepte in mathematische Analyse. Sein Erscheinen geschah aus zwei Gründen:
Erstes Ziel- Wiederherstellung der Funktion mit ihrer Ableitung.
Zweites Tor- Berechnung der im Abstand vom Graphen befindlichen Fläche zur Funktion f (x) auf einer Geraden, wobei a größer oder gleich x größer oder gleich b und der Abszissenachse ist.

Diese Ziele führen uns zu bestimmten und unbestimmten Integralen. Die Verbindung zwischen diesen Integralen liegt in der Suche nach Eigenschaften und der Berechnung. Aber alles fließt und alles verändert sich mit der Zeit, es wurden neue Lösungen gefunden, Ergänzungen wurden aufgedeckt und brachten damit bestimmte und unbestimmte Integrale in andere Formen der Integration.

Was unbestimmtes Integral du fragst. Dies ist die Stammfunktion F(x) einer Variablen x im Intervall a größer als x größer als b. heißt irgendeine Funktion F(x), in dieses Intervall für jede Notation x ist die Ableitung gleich F(x). Es ist klar, dass F(x) eine Stammfunktion für f(x) im Intervall a größer als x größer als b ist. Daher ist F1(x) = F(x) + C. C - ist eine beliebige Konstante und Stammfunktion für f(x) im gegebenen Intervall. Diese Aussage ist umkehrbar, für die Funktion f(x) - 2 unterscheiden sich die Stammfunktionen nur in einer Konstante. Basierend auf dem Satz Integralrechnung es stellt sich heraus, dass jede kontinuierliche im Intervall a

Bestimmtes Integral wird als Grenze in ganzen Summen oder in einer Situation verstanden gegebene Funktion f(x) definiert auf einer Linie (а,b) mit der Stammfunktion F, was die Differenz ihrer Ausdrücke an den Enden der gegebenen Linie F(b) - F(a) bedeutet.

Zur Verdeutlichung des Studiums dieses Themas empfehle ich, sich das Video anzusehen. Es erklärt ausführlich und zeigt, wie man Integrale findet.

Jede Integraltabelle ist für sich genommen sehr nützlich, da sie bei der Lösung einer bestimmten Art von Integral hilft.

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Wir listen die Integrale auf elementare Funktionen, die manchmal tabellarisch genannt werden:

Jede der obigen Formeln kann bewiesen werden, indem die Ableitung der rechten Seite genommen wird (als Ergebnis wird der Integrand erhalten).

Integrationsmethoden

Betrachten wir einige grundlegende Methoden der Integration. Diese beinhalten:

1. Zersetzungsmethode(direkte Einbindung).

Diese Methode basiert auf der direkten Anwendung von Tabellenintegralen sowie auf der Anwendung der Eigenschaften 4 und 5 des unbestimmten Integrals (d. h. Herausnehmen des konstanten Faktors aus der Klammer und/oder Darstellung des Integranden als Summe von Funktionen - Erweitern des Integranden in Terme).

Beispiel 1 Um beispielsweise (dx/x 4) zu finden, können Sie direkt das Tabellenintegral für x n dx verwenden. Tatsächlich ist (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Sehen wir uns noch ein paar weitere Beispiele an.

Beispiel 2 Um zu finden, verwenden wir dasselbe Integral:

Beispiel 3 Um zu finden, müssen Sie nehmen

Beispiel 4 Um zu finden, stellen wir den Integranden in der Form dar und verwenden Sie das Tabellenintegral für die Exponentialfunktion:

Erwägen Sie die Verwendung von Klammern für den konstanten Faktor.

Beispiel 5Lassen Sie uns zum Beispiel finden . In Anbetracht dessen bekommen wir

Beispiel 6 Lass uns finden. Weil die verwenden wir das Tabellenintegral Erhalten

In den folgenden beiden Beispielen können Sie auch Klammern und Tabellenintegrale verwenden:

Beispiel 7

(wir verwenden und );

Beispiel 8

(wir gebrauchen und ).

Schauen wir uns komplexere Beispiele an, die das Summenintegral verwenden.

Beispiel 9 Lassen Sie uns zum Beispiel finden
. Um die Erweiterungsmethode im Zähler anzuwenden, verwenden wir die Würfelsummenformel  und dividieren dann das resultierende Polynom Term für Term durch den Nenner.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Es sollte beachtet werden, dass am Ende der Lösung eine gemeinsame Konstante C geschrieben wird (und nicht getrennte, wenn jeder Term integriert wird). In Zukunft wird auch vorgeschlagen, die Konstanten bei der Integration einzelner Terme im Lösungsprozess wegzulassen, solange der Ausdruck mindestens ein unbestimmtes Integral enthält (eine Konstante schreiben wir am Ende der Lösung).

Beispiel 10 Lass uns finden . Um dieses Problem zu lösen, faktorisieren wir den Zähler (danach können wir den Nenner reduzieren).

Beispiel 11. Lass uns finden. Hier können trigonometrische Identitäten verwendet werden.

Manchmal müssen Sie komplexere Techniken anwenden, um einen Ausdruck in Begriffe zu zerlegen.

Beispiel 12. Lass uns finden . Im Integranden wählen wir den ganzzahligen Teil des Bruchs . Dann

Beispiel 13 Lass uns finden

2. Variablenersetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

Das Verfahren basiert auf folgender Formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, wobei x =(t) eine nach dem betrachteten Intervall differenzierbare Funktion ist.

Nachweisen. Lassen Sie uns die Ableitungen in Bezug auf die Variable t von links und finden richtige Teile Formeln.

Beachten Sie, dass es auf der linken Seite eine komplexe Funktion gibt, deren Zwischenargument x = (t) ist. Um es also nach t zu differenzieren, differenzieren wir zuerst das Integral nach x und nehmen dann die Ableitung des Zwischenarguments nach t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Ableitung der rechten Seite:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Da diese Ableitungen gleich sind, unterscheiden sich nach einer Folge des Satzes von Lagrange der linke und der rechte Teil der zu beweisenden Formel um eine Konstante. Da die unbestimmten Integrale selbst bis auf einen unbestimmten konstanten Term definiert sind, kann diese Konstante in der endgültigen Notation weggelassen werden. Bewährt.

Ein erfolgreicher Variablenwechsel ermöglicht es uns, das ursprüngliche Integral zu vereinfachen und im einfachsten Fall auf ein tabellarisches zu reduzieren. Bei der Anwendung dieses Verfahrens werden die Verfahren der linearen und nichtlinearen Substitution unterschieden.

a) Lineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1
. Lett= 1 – 2x, dann

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Zu beachten ist, dass die neue Variable nicht explizit ausgeschrieben werden muss. Man spricht in solchen Fällen von der Transformation einer Funktion unter dem Vorzeichen des Differentials oder von der Einführung von Konstanten und Variablen unter dem Vorzeichen des Differentials, d.h. um implizite Variablensubstitution.

Beispiel 2 Lassen Sie uns zum Beispiel cos(3x + 2)dx finden. Durch die Eigenschaften des Differentials dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), dann giltcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

In beiden betrachteten Beispielen wurde die lineare Substitution t=kx+b(k0) verwendet, um die Integrale zu finden.

Im allgemeinen Fall gilt der folgende Satz.

Linearer Substitutionssatz. Sei F(x) eine Stammfunktion für die Funktion f(x). Dannf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, wobei k und b einige Konstanten sind, k0.

Nachweisen.

Per Definition des Integrals f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Wir nehmen den konstanten Faktor k für das Integralzeichen heraus: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nun können wir den linken und rechten Teil der Gleichheit durch k dividieren und erhalten die zu beweisende Behauptung bis zur Notation eines konstanten Gliedes.

Dieser Satz besagt, dass wenn der Ausdruck (kx+b) in die Definition des Integrals f(x)dx= F(x) + C eingesetzt wird, dies dazu führt, dass ein zusätzlicher Faktor 1/k davor erscheint des Antiderivativs.

Unter Verwendung des bewiesenen Theorems lösen wir die folgenden Beispiele.

Beispiel 3

Lass uns finden . Hier kx+b= 3 –x, also k= -1,b= 3. Dann

Beispiel 4

Lass uns finden. Hier kx+b= 4x+ 3, also k= 4,b= 3. Dann

Beispiel 5

Lass uns finden . Hier kx+b= -2x+ 7, also k= -2,b= 7. Dann

Beispiel 6 Lass uns finden
. Hier ist kx+b= 2x+ 0, also k= 2,b= 0.

Vergleichen wir das erhaltene Ergebnis mit Beispiel 8, das mit der Zerlegungsmethode gelöst wurde. Als wir das gleiche Problem mit einer anderen Methode lösten, bekamen wir die Antwort
. Vergleichen wir die Ergebnisse: Somit unterscheiden sich diese Ausdrücke durch einen konstanten Term voneinander , d.h. die eingegangenen Antworten widersprechen sich nicht.

Beispiel 7 Lass uns finden
. Wir wählen im Nenner ein ganzes Quadrat aus.

In einigen Fällen reduziert die Änderung der Variablen das Integral nicht direkt auf ein tabellarisches Integral, kann aber die Lösung vereinfachen, indem sie es ermöglicht, im nächsten Schritt die Zerlegungsmethode anzuwenden.

Beispiel 8 Lassen Sie uns zum Beispiel finden . Ersetze t=x+ 2, dann dt=d(x+ 2) =dx. Dann

wo C \u003d C 1 - 6 (wenn wir anstelle von t den Ausdruck (x + 2) ersetzen, erhalten wir anstelle der ersten beiden Terme ½x 2 -2x - 6).

Beispiel 9 Lass uns finden
. Sei t= 2x+ 1, dann dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Wir ersetzen den Ausdruck (2x + 1) anstelle von t, öffnen die Klammern und geben ähnliche an.

Beachten Sie, dass wir im Prozess der Transformationen zu einem anderen konstanten Begriff übergegangen sind, weil die Gruppe der konstanten Terme im Transformationsprozess könnte weggelassen werden.

b) Methode der nichtlinearen Substitution Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 1
. Sei t= -x 2 . Außerdem könnte man x durch t ausdrücken, dann einen Ausdruck für dx finden und eine Variablenänderung in das gewünschte Integral implementieren. Aber in diesem Fall ist es einfacher, es anders zu machen. Finde dt=d(-x 2) = -2xdx. Beachten Sie, dass der Ausdruck xdx ein Faktor des Integranden des gewünschten Integrals ist. Wir drücken es aus der resultierenden Gleichheit xdx= - ½dt aus. Dann

Auf dieser Seite finden Sie:

1. Eigentlich die Stammfunktionstabelle - sie kann im PDF-Format heruntergeladen und ausgedruckt werden;

2. Video zur Verwendung dieser Tabelle;

3. Eine Reihe von Beispielen zur Berechnung der Stammfunktion aus verschiedenen Lehrbüchern und Tests.

Im Video selbst werden wir viele Aufgaben analysieren, bei denen es erforderlich ist, Stammfunktionen zu berechnen, die oft recht komplex sind, aber vor allem keine Potenzgesetze sind. Alle in der oben vorgeschlagenen Tabelle zusammengefassten Funktionen müssen wie Ableitungen auswendig bekannt sein. Ohne sie unmöglich weiteres Studium Integrale und ihre Anwendung zur Lösung praktischer Probleme.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit Primitives und gehen zu etwas mehr über schwieriges Thema. Wenn drin letztes Mal Da wir Stammfunktionen nur von Potenzfunktionen und etwas komplexeren Strukturen betrachtet haben, werden wir heute Trigonometrie und vieles mehr analysieren.

Wie ich in der letzten Lektion sagte, werden Stammfunktionen im Gegensatz zu Derivaten niemals mit Hilfe von any "leer" gelöst Standardregeln. Außerdem, schlechte Nachrichten ist, dass die Stammfunktion im Gegensatz zur Ableitung überhaupt nicht berücksichtigt werden darf. Wenn wir perfekt schreiben Zufallsfunktion und versuchen, seine Ableitung zu finden, dann ist dies mit einem sehr sehr wahrscheinlich wir werden Erfolg haben, aber das Primitive wird in diesem Fall fast nie zählen. Aber es gibt auch gute Nachrichten: Es gibt eine ziemlich große Klasse von Funktionen, die elementar genannt werden und deren Stammfunktionen sehr einfach zu berechnen sind. Und alle anderen sind mehr komplexe Strukturen, die auf alle Arten von Kontrollen, unabhängigen und Prüfungen gegeben sind, bestehen in der Tat aus diesen elementaren Funktionen durch Addieren, Subtrahieren und andere einfache Aktionen. Die Stammfunktionen solcher Funktionen werden seit langem berechnet und in speziellen Tabellen zusammengefasst. Mit solchen Funktionen und Tabellen werden wir heute arbeiten.

Aber wir beginnen wie immer mit einer Wiederholung: Denken Sie daran, was eine Stammfunktion ist, warum es unendlich viele davon gibt und wie man sie bestimmt. generelle Form. Dazu habe ich mir zwei einfache Aufgaben vorgenommen.

Einfache Beispiele lösen

Beispiel 1

Beachten Sie sofort, dass $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ und das Vorhandensein von $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ weist uns sofort darauf hin, dass das gewünschte Stammfunktion einer Funktion der Trigonometrie zugeordnet. Und tatsächlich, wenn wir uns die Tabelle ansehen, stellen wir fest, dass $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nichts anderes ist als $\text(arctg)x$. Schreiben wir also:

Um zu finden, müssen Sie Folgendes schreiben:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Beispiel #2

Hier auch wir reden um trigonometrische Funktionen. Wenn wir uns die Tabelle ansehen, dann wird es tatsächlich so aussehen:

Wir müssen unter allen Stammfunktionen diejenige finden, die durch den angegebenen Punkt geht:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Schreiben wir es endlich auf:

So einfach ist das. Das einzige Problem besteht darin, die Primitiven zu zählen einfache Funktionen, müssen Sie die Stammfunktionstabelle lernen. Nachdem ich jedoch die Ableitungstabelle für Sie gelernt habe, denke ich, dass dies kein Problem sein wird.

Lösen von Problemen, die eine Exponentialfunktion enthalten

Beginnen wir mit dem Schreiben der folgenden Formeln:

\[((e)^(x))\bis ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\nach \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Mal sehen, wie das alles in der Praxis funktioniert.

Beispiel 1

Wenn wir uns den Inhalt der Klammern ansehen, werden wir feststellen, dass es in der Tabelle der Stammfunktionen keinen solchen Ausdruck gibt, dass $((e)^(x))$ in einem Quadrat steht, also muss dieses Quadrat geöffnet werden. Dazu verwenden wir die abgekürzten Multiplikationsformeln:

Lassen Sie uns die Stammfunktion für jeden der Terme finden:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((z )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Und jetzt sammeln wir alle Terme in einem einzigen Ausdruck und erhalten eine gemeinsame Stammfunktion:

Beispiel #2

Diesmal ist der Exponent bereits größer, daher wird die abgekürzte Multiplikationsformel ziemlich kompliziert. Erweitern wir die Klammern:

Versuchen wir nun, die Stammfunktion unserer Formel aus dieser Konstruktion zu entnehmen:

Wie Sie sehen können, gibt es in den Stammfunktionen der Exponentialfunktion nichts Kompliziertes und Übernatürliches. All one wird durch Tabellen berechnet, aufmerksame Schüler werden jedoch sicherlich feststellen, dass die Stammfunktion $((e)^(2x))$ viel näher an $((e)^(x))$ liegt als an $((a )^(x))$. Vielleicht gibt es also eine speziellere Regel, die es erlaubt, $((e)^(2x))$ zu finden, wenn man die Stammfunktion $((e)^(x))$ kennt? Ja, es gibt eine solche Regel. Und darüber hinaus ist es ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit mit der Stammfunktionstabelle. Wir werden es jetzt anhand derselben Ausdrücke analysieren, mit denen wir gerade als Beispiel gearbeitet haben.

Regeln für die Arbeit mit der Stammfunktionstabelle

Schreiben wir unsere Funktion um:

Im vorherigen Fall haben wir die folgende Formel zur Lösung verwendet:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Aber machen wir jetzt etwas anderes: Denken Sie daran, auf welcher Basis $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Wie bereits gesagt, weil die Ableitung von $((e)^(x))$ nichts anderes als $((e)^(x))$ ist, ist ihre Stammfunktion gleich $((e) ^( x))$. Aber das Problem ist, dass wir $((e)^(2x))$ und $((e)^(-2x))$ haben. Versuchen wir nun, die Ableitung $((e)^(2x))$ zu finden:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Schreiben wir unsere Konstruktion noch einmal um:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Und das bedeutet, wenn wir die Stammfunktion $((e)^(2x))$ finden, erhalten wir Folgendes:

\[((e)^(2x))\zu \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Wie Sie sehen können, haben wir dasselbe Ergebnis wie zuvor erhalten, aber wir haben die Formel nicht verwendet, um $((a)^(x))$ zu finden. Das mag jetzt dumm erscheinen: Warum komplizierte Berechnungen, wenn es eine Standardformel gibt? Allerdings in etwas mehr komplexe Ausdrücke Sie werden sehen, dass diese Technik sehr effektiv ist, d.h. Verwendung von Derivaten, um Stammfunktionen zu finden.

Lassen Sie uns zum Aufwärmen die Stammfunktion von $((e)^(2x))$ auf ähnliche Weise finden:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Bei der Berechnung wird unsere Konstruktion wie folgt geschrieben:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Wir haben genau das gleiche Ergebnis erzielt, sind aber in die andere Richtung gegangen. Dieser Weg, der uns jetzt etwas komplizierter erscheint, wird in Zukunft effizienter sein, um komplexere Stammfunktionen zu berechnen und Tabellen zu verwenden.

Beachten Sie! Das ist sehr wichtiger Punkt: Sowohl Stammfunktionen als auch Derivate können als Satz gezählt werden verschiedene Wege. Wenn jedoch alle Berechnungen und Berechnungen gleich sind, ist die Antwort dieselbe. Wir haben das gerade am Beispiel von $((e)^(-2x))$ gesehen - zum einen haben wir diese Stammfunktion „durchgehend“ berechnet, indem wir die Definition verwendet und mit Hilfe von Transformationen berechnet haben, zum anderen Andererseits haben wir uns daran erinnert, dass $ ((e)^(-2x))$ als $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ dargestellt werden kann und dann Verwenden Sie die Stammfunktion für die Funktion $( (a)^(x))$. Nach all den Transformationen ist das Ergebnis jedoch das gleiche wie erwartet.

Und jetzt, wo wir das alles verstehen, ist es an der Zeit, zu etwas Wesentlicherem überzugehen. Jetzt werden wir zwei einfache Konstruktionen analysieren, aber die Technik, die in ihre Lösung integriert wird, ist leistungsfähiger und nützliches Werkzeug als einfaches "Laufen" zwischen benachbarten Primitiven aus der Tabelle.

Problemlösung: Finden Sie die Stammfunktion einer Funktion

Beispiel 1

Geben Sie den Betrag in den Zählern an und zerlegen Sie ihn in drei getrennte Brüche:

Dies ist ein ziemlich natürlicher und verständlicher Übergang - die meisten Schüler haben damit keine Probleme. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

Erinnern wir uns nun an diese Formel:

In unserem Fall erhalten wir Folgendes:

Um all diese dreistöckigen Brüche loszuwerden, schlage ich vor, Folgendes zu tun:

Beispiel #2

Anders als beim vorherigen Bruch ist der Nenner nicht das Produkt, sondern die Summe. In diesem Fall können wir unseren Bruch nicht mehr durch die Summe mehrerer teilen einfache Brüche, aber Sie müssen irgendwie versuchen, dass der Zähler ungefähr denselben Ausdruck wie der Nenner hat. In diesem Fall ist es ziemlich einfach:

Eine solche Notation, die in der Sprache der Mathematik "Addieren von Nullen" genannt wird, ermöglicht es uns, den Bruch erneut in zwei Teile zu teilen:

Lassen Sie uns nun finden, wonach wir gesucht haben:

Das sind alle Berechnungen. Trotz der offensichtlich größeren Komplexität als bei der vorherigen Aufgabe fiel der Rechenaufwand noch geringer aus.

Nuancen der Lösung

Und hier liegt die Hauptschwierigkeit bei der Arbeit mit tabellarischen Primitiven, dies macht sich besonders bei der zweiten Aufgabe bemerkbar. Tatsache ist, dass wir, um einige Elemente auszuwählen, die sich leicht durch die Tabelle zählen lassen, genau wissen müssen, wonach wir suchen, und in der Suche nach diesen Elementen besteht die gesamte Berechnung der Stammfunktionen.

Mit anderen Worten, es reicht nicht aus, sich nur die Tabelle der Stammfunktionen zu merken - Sie müssen in der Lage sein, etwas zu sehen, das noch nicht da ist, sondern was der Autor und Compiler dieses Problems gemeint hat. Deshalb streiten sich viele Mathematiker, Lehrer und Professoren ständig: „Was ist Stammfunktion oder Integration – ist es nur ein Werkzeug oder ist es echte Kunst?“ Tatsächlich ist Integration meiner persönlichen Meinung nach überhaupt keine Kunst - es ist nichts Erhabenes darin, es ist nur Übung und nochmals Übung. Und zur Übung lösen wir drei ernstere Beispiele.

Integration in der Praxis üben

Aufgabe 1

Lassen Sie uns die folgenden Formeln schreiben:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\bis \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Schreiben wir folgendes:

Aufgabe Nr. 2

Schreiben wir es wie folgt um:

Die Gesamtstammfunktion ist gleich:

Aufgabe Nr. 3

Die Komplexität dieser Aufgabe liegt darin, dass im Gegensatz zu den vorherigen Funktionen keine Variable $x$ darüber steht, d.h. Uns ist nicht klar, was wir addieren oder subtrahieren sollen, um zumindest etwas Ähnliches wie unten zu erhalten. Tatsächlich wird dieser Ausdruck jedoch als noch einfacher angesehen als jeder Ausdruck aus den vorherigen Konstrukten, weil diese Funktion kann so umgeschrieben werden:

Sie fragen sich jetzt vielleicht: Warum sind diese Funktionen gleich? Lass uns das Prüfen:

Schreiben wir nochmal um:

Ändern wir unseren Ausdruck ein wenig:

Und wenn ich das alles meinen Schülern erkläre, taucht fast immer das gleiche Problem auf: bei der ersten Funktion ist alles mehr oder weniger klar, bei der zweiten kann man mit Glück oder Übung auch rausfinden, aber was für ein alternatives Bewusstsein tun müssen Sie haben, um das dritte Beispiel zu lösen? Eigentlich keine Angst. Die Technik, die wir beim Berechnen der letzten Stammfunktion verwendet haben, heißt "Zerlegen einer Funktion in die einfachste Funktion", und dies ist eine sehr ernsthafte Technik, und ihr wird eine separate Videolektion gewidmet.

In der Zwischenzeit schlage ich vor, auf das eben Gelernte, nämlich Exponentialfunktionen, zurückzukommen und die Aufgaben inhaltlich etwas zu verkomplizieren.

Komplexere Probleme zur Lösung von Stammfunktionsfunktionen

Aufgabe 1

Beachte das Folgende:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Um die Stammfunktion dieses Ausdrucks zu finden, verwenden Sie einfach die Standardformel $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

In unserem Fall sieht das Primitiv so aus:

Vor dem Hintergrund der Konstruktion, die wir gerade gelöst haben, sieht diese natürlich einfacher aus.

Aufgabe Nr. 2

Auch hier ist leicht zu erkennen, dass diese Funktion leicht in zwei getrennte Terme zu unterteilen ist – zwei getrennte Brüche. Schreiben wir um:

Es bleibt, die Stammfunktion jedes dieser Begriffe gemäß der obigen Formel zu finden:

Trotz scheinbarer Komplexität Exponentialfunktionen Im Vergleich zu Power-Modellen erwies sich die Gesamtmenge der Berechnungen und Berechnungen als viel einfacher.

Natürlich für sachkundige Studenten Was wir gerade analysiert haben (insbesondere vor dem Hintergrund dessen, was wir zuvor analysiert haben), mag als elementare Ausdrücke erscheinen. Mit der Auswahl dieser beiden Aufgaben für das heutige Video-Tutorial habe ich mir jedoch nicht das Ziel gesetzt, Ihnen einen weiteren komplexen und kniffligen Trick zu verraten – ich wollte Ihnen nur zeigen, dass Sie keine Angst haben sollten, Standard-Algebra-Tricks anzuwenden, um die ursprünglichen Funktionen umzuwandeln .

Mit der "geheimen" Technik

Abschließend möchte ich noch einen analysieren interessanter Trick, die einerseits über das hinausgeht, was wir heute hauptsächlich analysiert haben, andererseits aber erstens keineswegs kompliziert, d.h. selbst Anfänger können es beherrschen, und zweitens ist es ziemlich oft auf allen Arten von Kontrolle und zu finden unabhängige Arbeit, d.h. es zu wissen, wird zusätzlich zur Kenntnis der Stammfunktionstabelle sehr nützlich sein.

Aufgabe 1

Offensichtlich haben wir etwas, das einer Potenzfunktion sehr ähnlich ist. Wie sollen wir in diesem Fall vorgehen? Denken wir darüber nach: $x-5$ unterscheidet sich nicht so sehr von $x$ - es wurden nur $-5$ hinzugefügt. Schreiben wir es so:

\[((x)^(4))\nach \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Versuchen wir, die Ableitung von $((\left(x-5 \right))^(5))$ zu finden:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dies impliziert:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ rechts))^(\prime ))\]

Es gibt keinen solchen Wert in der Tabelle, also haben wir diese Formel jetzt selbst hergeleitet, indem wir die Standardstammfunktionsformel für verwendet haben Machtfunktion. Schreiben wir die Antwort so:

Aufgabe Nr. 2

Für viele Schüler, die sich die erste Lösung ansehen, scheint alles sehr einfach zu sein: Es reicht aus, $x$ in der Potenzfunktion durch einen linearen Ausdruck zu ersetzen, und alles wird sich ergeben. Leider ist nicht alles so einfach, und das werden wir jetzt sehen.

In Analogie zum ersten Ausdruck schreiben wir Folgendes:

\[((x)^(9))\nach \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Um zu unserer Ableitung zurückzukehren, können wir schreiben:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Ab hier folgt sofort:

Nuancen der Lösung

Bitte beachten Sie: Wenn sich beim letzten Mal nichts Wesentliches geändert hat, dann erschien im zweiten Fall $-30$ anstelle von $-10$. Was ist der Unterschied zwischen $-10$ und $-30$? Offensichtlich um einen Faktor von $-3$. Frage: Woher kam es? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass es als Ergebnis der Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktion genommen wurde – der Koeffizient, der bei $x$ stand, erscheint in der Stammfunktion unten. Das ist sehr wichtige Regel, die ich im heutigen Video-Tutorial ursprünglich überhaupt nicht analysieren wollte, aber ohne sie wäre die Darstellung tabellarischer Stammfunktionen unvollständig.

Also machen wir es noch einmal. Sei unsere Hauptpotenzfunktion:

\[((x)^(n))\zu \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Und jetzt ersetzen wir statt $x$ den Ausdruck $kx+b$. Was wird dann passieren? Wir müssen Folgendes finden:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \right)\cdot k)\]

Auf welcher Grundlage behaupten wir das? Sehr einfach. Finden wir die Ableitung der oben geschriebenen Konstruktion:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Dies ist derselbe Ausdruck, der ursprünglich war. Somit ist diese Formel auch richtig und kann zur Ergänzung der Stammfunktionstabelle verwendet werden, aber es ist besser, sich nur die gesamte Tabelle zu merken.

Schlussfolgerungen aus dem "Geheimnis: Rezeption:

Beide Funktionen, die wir gerade betrachtet haben, lassen sich zwar durch Öffnen der Grade auf die in der Tabelle angegebenen Stammfunktionen zurückführen, aber wenn wir mit dem vierten Grad einigermaßen irgendwie fertig werden, dann würde ich den neunten Grad überhaupt nicht machen gewagt zu enthüllen.
Wenn wir die Abschlüsse öffnen würden, dann würden wir so einen Rechenaufwand bekommen einfache Aufgabe würde uns unzureichend nehmen große Menge Zeit.
Deshalb müssen solche Aufgaben, in denen sich lineare Ausdrücke befinden, nicht "leer" gelöst werden. Sobald Sie auf eine Stammfunktion stoßen, die sich von der in der Tabelle nur durch das Vorhandensein des Ausdrucks $kx+b$ darin unterscheidet, erinnern Sie sich sofort an die oben geschriebene Formel, ersetzen Sie sie in Ihre tabellarische Stammfunktion, und alles wird viel werden schneller und einfacher.

Natürlich werden wir aufgrund der Komplexität und Ernsthaftigkeit dieser Technik in zukünftigen Video-Tutorials immer wieder darauf zurückkommen, aber für heute habe ich alles. Ich hoffe, dass diese Lektion den Schülern, die Stammfunktionen und Integration verstehen wollen, wirklich helfen wird.

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