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Ausdrücke konvertieren. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdrücke konvertieren

Das hören wir oft unangenehmer Satz: "den Ausdruck vereinfachen." Normalerweise sehen wir eine Art Monster wie dieses:

„Es ist viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert normalerweise nicht.

Jetzt werde ich dir beibringen, vor nichts Angst zu haben ähnliche Aufgaben. Darüber hinaus werden Sie dieses Beispiel am Ende der Lektion auf (gerade!) vereinfachen. reguläre Zahl(Ja, zum Teufel mit diesen Briefen).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen „“ und „“ beherrschen.

Hast du es gelesen? Wenn ja, dann sind Sie jetzt bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Schauen wir uns nun die grundlegenden Techniken an, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Das einfachste ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse gelernt, als in der Mathematik zum ersten Mal Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit demselben Buchstabenteil. Zum Beispiel insgesamt ähnliche Begriffe- Das bin ich.

Erinnerst du dich?

Ähnliches zu bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe einander hinzuzufügen und einen Begriff zu erhalten.

Wie können wir die Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn man sich vorstellt, dass es sich bei den Buchstaben um Gegenstände handelt. Ein Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viele werden es sein? Genau, Stühle: .

Versuchen Sie es nun mit diesem Ausdruck: .

Um Verwirrung zu vermeiden, lassen Sie verschiedene Buchstaben stellen verschiedene Objekte dar. Beispielsweise ist - (wie üblich) ein Stuhl und - ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Beispielsweise ist in einem Monom der Koeffizient gleich. Und darin ist gleich.

Die Regel für das Mitbringen ähnlicher Exemplare lautet also:

Beispiele:

Geben Sie ähnliche an:

Antworten:

2. (und ähnlich, da diese Begriffe also den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil bei der Vereinfachung von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche Werte angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meist faktorisiert, also als Produkt dargestellt werden. Dies ist besonders bei Brüchen wichtig: Um einen Bruch kürzen zu können, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die Methoden zur Faktorisierung von Ausdrücken im Thema „“ ausführlich besprochen, hier müssen Sie sich also nur noch daran erinnern, was Sie gelernt haben. Entscheiden Sie sich dazu für mehrere Beispiele(muss faktorisiert werden):

Lösungen:

3. Einen Bruch kürzen.

Was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners zu streichen und aus Ihrem Leben zu verbannen?

Das ist das Schöne am Downsizing.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können diese gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, das Wesentliche der Reduktionsoperation ist Folgendes Wir dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu reduzieren, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren , sie können durchgestrichen werden.

Das Prinzip ist meiner Meinung nach klar?

Ich möchte Sie auf eine Sache aufmerksam machen typischer Fehler beim Vertragsabschluss. Obwohl dieses Thema einfach ist, machen viele Menschen alles falsch und verstehen das nicht reduzieren- das heisst teilen Zähler und Nenner sind die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn der Zähler oder Nenner eine Summe ist.

Zum Beispiel: Wir müssen vereinfachen.

Manche Leute machen das: Das ist absolut falsch.

Ein weiteres Beispiel: reduzieren.

Der „Klügste“ wird das tun: .

Sag mir, was hier los ist? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, was bedeutet, dass er reduziert werden kann.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor nur eines Termes im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht faktorisiert.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck ist faktorisiert, was bedeutet, dass Sie ihn reduzieren können, d. h. den Zähler und den Nenner durch dividieren und dann durch:

Sie können es sofort aufteilen in:

Um solche Fehler zu vermeiden, sollten Sie sich eine einfache Möglichkeit merken, um festzustellen, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die bei der Berechnung des Werts eines Ausdrucks zuletzt ausgeführt wird, ist die „Master“-Operation. Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann wenn letzte Aktion Es wird eine Multiplikation geben, was bedeutet, dass wir ein Produkt haben (der Ausdruck ist faktorisiert). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Zur Festigung lösen Sie einige selbst Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben es nicht sofort mit dem Schneiden eilig und? Es reichte immer noch nicht aus, Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte die Faktorisierung sein:

4. Brüche addieren und subtrahieren. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Addition und Subtraktion gewöhnliche Brüche- Die Operation ist bekannt: Wir suchen einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind relativ prim, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Faktoren. Daher ist der kgV dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Das Erste hier gemischte Brüche Wir verwandeln sie in falsche und folgen dann dem üblichen Muster:

Ganz anders verhält es sich, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen numerischen Brüchen: Wir finden den gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie im Zähler ähnliche Werte angeben, falls vorhanden, und diese faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

· Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

· dann schreiben wir alle gemeinsamen Faktoren einzeln auf;

· und multiplizieren Sie sie mit allen anderen nicht-gemeinsamen Faktoren.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu ermitteln, faktorisieren wir sie zunächst in Primfaktoren:

Lassen Sie uns die gemeinsamen Faktoren hervorheben:

Lassen Sie uns nun die gemeinsamen Faktoren einzeln aufschreiben und alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzufügen:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Briefen. Die Nenner werden genauso angegeben:

· Faktorisieren Sie die Nenner;

· gemeinsame (identische) Faktoren ermitteln;

· alle gemeinsamen Faktoren einmal aufschreiben;

· Multiplizieren Sie sie mit allen anderen nicht-gemeinsamen Faktoren.

Also, der Reihe nach:

1) Faktorisieren Sie die Nenner:

2) Bestimmen Sie gemeinsame (identische) Faktoren:

3) Schreiben Sie alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multiplizieren Sie sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Hier gibt es also einen gemeinsamen Nenner. Der erste Bruch muss mit multipliziert werden, der zweite mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen in den Nennern die gleichen Faktoren, nur alle mit verschiedene Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

bis zu einem Grad

bis zu einem Grad

bis zu einem Grad

bis zu einem Grad.

Machen wir die Aufgabe komplizierter:

Wie bringt man Brüche dazu, den gleichen Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die Grundeigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zum Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was hast du gelernt?

Also noch eine unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf reduzieren gemeinsamer Nenner, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber womit muss man multiplizieren, um zu erhalten?

Also multiplizieren Sie mit. Und multiplizieren mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, nennen wir „Elementarfaktoren“. Beispielsweise ist dies ein elementarer Faktor. - Dasselbe. Aber nein: Es kann faktorisiert werden.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, weil es faktorisiert werden kann:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema „“) gelesen.

Die elementaren Faktoren, zu denen man den Ausdruck mit Buchstaben erweitert, sind also ein Analogon Primfaktoren, in die man die Zahlen zerlegt. Und wir werden mit ihnen genauso umgehen.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Multiplikator haben. Es wird bis zum Grad auf den gemeinsamen Nenner gebracht (erinnern Sie sich, warum?).

Der Faktor ist elementar und sie haben keinen gemeinsamen Faktor, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren? Sie repräsentieren beide:

Großartig! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Lassen Sie uns wie üblich die Nenner faktorisieren. Im ersten Nenner setzen wir ihn einfach aus Klammern; im zweiten - die Quadratdifferenz:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie ähnlich... Und es stimmt:

Also lasst uns schreiben:

Das heißt, es kam so: Innerhalb der Klammer vertauschten wir die Begriffe und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies häufig tun müssen.

Bringen wir es nun auf einen gemeinsamen Nenner:

Habe es? Lass es uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an etwas erinnern – den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel „Quadrat der Summe“ enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen: .

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und letzten und nicht deren Doppelprodukt. Unvollständiges Quadrat Die Summe ist einer der Faktoren bei der Entwicklung der Würfeldifferenz:

Was tun, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja, das Gleiche! Stellen wir zunächst sicher, dass dies der Fall ist Höchstbetrag Die Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Bitte beachten Sie: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch in das Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch wieder in das Gegenteil. Dadurch hat es sich (das Vorzeichen vor dem Bruch) nicht geändert.

Wir schreiben den gesamten ersten Nenner in den gemeinsamen Nenner und addieren dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es stellt sich so heraus:

Hmm... Es ist klar, was man mit Brüchen machen soll. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Also müssen wir aus zwei einen Bruch machen! Denken wir daran: Ein Bruch ist eine Division (der Zähler wird durch den Nenner geteilt, falls Sie es vergessen haben). Und es gibt nichts einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird in einen Bruch umgewandelt:

Genau das, was benötigt wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber zugleich Wichtigste:

Verfahren

Wie läuft die Zählung ab? numerischer Ausdruck? Denken Sie daran, indem Sie die Bedeutung dieses Ausdrucks berechnen:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich möchte Sie daran erinnern.

Der erste Schritt besteht darin, den Grad zu berechnen.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig erfolgen, können diese in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Auch hier wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: Der Ausdruck in Klammern wird außer der Reihe ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, berechnen wir zunächst den Ausdruck in jeder der Klammern und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn sich innerhalb der Klammern weitere Klammern befinden? Nun, denken wir mal: Ein Ausdruck steht in den Klammern. Was sollten Sie bei der Berechnung eines Ausdrucks zuerst tun? Richtig, berechnen Sie die Klammern. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Vorgehensweise für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, also die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben?

Nein, es ist das Gleiche! Nur statt Rechenoperationen Sie müssen Algebraik ausführen, d. h. die in beschriebenen Aktionen Vorherige Sektion: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche reduzieren usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies oft, wenn wir mit Brüchen arbeiten). In den meisten Fällen müssen Sie zum Faktorisieren I verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern setzen.

Normalerweise besteht unser Ziel darin, den Ausdruck als Produkt oder Quotienten darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zunächst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir eine Differenz von Brüchen und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotienten darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck noch weiter zu vereinfachen; alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Brüche multiplizieren: Was könnte einfacher sein?

3) Jetzt können Sie kürzen:

OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts Kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zunächst, das Problem selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst die Reihenfolge der Aktionen festlegen. Zuerst addieren wir die Brüche in Klammern, sodass wir statt zwei Brüchen einen erhalten. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, addieren wir das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich Ihnen den Vorgang und färbe die aktuelle Aktion rot ein:

Abschließend gebe ich Ihnen noch zwei nützliche Tipps:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen diese sofort mitgebracht werden. Wann auch immer in unserem Land ähnliche Probleme auftauchen, es ist ratsam, sie sofort zur Sprache zu bringen.

2. Das Gleiche gilt auch für das Kürzen von Brüchen: Sobald sich die Gelegenheit zum Kürzen bietet, muss sie genutzt werden. Die Ausnahme bilden Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: wenn sie jetzt haben gleiche Nenner, dann sollte die Reduzierung auf später verschoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und was gleich zu Beginn versprochen wurde:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie mindestens die ersten drei Beispiele gemeistert haben, dann haben Sie das Thema gemeistert.

Nun geht es ans Lernen!

AUSDRÜCKE KONVERTIEREN. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Begriffe hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie deren Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: den gemeinsamen Faktor ausklammern, anwenden usw.
• Einen Bruch reduzieren: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, wodurch sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, können diese durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Brüche addieren und subtrahieren:
  ;
• Brüche multiplizieren und dividieren:
  ;

Oft erfordern Aufgaben eine vereinfachte Antwort. Obwohl sowohl vereinfachte als auch nicht vereinfachte Antworten richtig sind, kann Ihr Lehrer Ihre Note herabsetzen, wenn Sie Ihre Antwort nicht vereinfachen. Darüber hinaus ist es viel einfacher, mit dem vereinfachten mathematischen Ausdruck zu arbeiten. Daher ist es sehr wichtig zu lernen, Ausdrücke zu vereinfachen.

Schritte

Korrekte Reihenfolge mathematischer Operationen

1. Merken Sie sich die richtige Reihenfolge für die Ausführung mathematischer Operationen. Beim Vereinfachen mathematischer Ausdruck müssen beachtet werden bestimmte Reihenfolge Aktionen, da einige mathematische Operationen haben Vorrang vor anderen und müssen zuerst ausgeführt werden (tatsächlich führt die Nichteinhaltung der richtigen Reihenfolge der Vorgänge zu einem falschen Ergebnis). Denken Sie an die folgende Reihenfolge mathematischer Operationen: Ausdruck in Klammern, Potenzierung, Multiplikation, Division, Addition, Subtraktion.

   • Beachten Sie, dass Sie die meisten einfachen Ausdrücke vereinfachen können, wenn Sie die richtige Reihenfolge der Operationen kennen. Um jedoch ein Polynom (einen Ausdruck mit einer Variablen) zu vereinfachen, müssen Sie es wissen Spezialbewegungen(siehe nächster Abschnitt).

2. Lösen Sie zunächst den Ausdruck in Klammern. In der Mathematik weisen Klammern darauf hin, dass der darin enthaltene Ausdruck zuerst ausgewertet werden muss. Wenn Sie einen mathematischen Ausdruck vereinfachen, beginnen Sie daher mit der Lösung des in Klammern eingeschlossenen Ausdrucks (es spielt keine Rolle, welche Operationen Sie innerhalb der Klammern ausführen müssen). Denken Sie jedoch daran, dass Sie bei der Arbeit mit einem in Klammern eingeschlossenen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen einhalten müssen, d. h. die Terme in Klammern werden zuerst multipliziert, dividiert, addiert, subtrahiert usw.

   • Vereinfachen wir zum Beispiel den Ausdruck 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Hier beginnen wir mit den Ausdrücken in Klammern: 5 + 2 = 7 und 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Der Ausdruck im zweiten Klammerpaar vereinfacht sich zu 5, da 4/2 zuerst dividiert werden muss (entsprechend der richtigen Reihenfolge der Operationen). Wenn Sie diese Reihenfolge nicht einhalten, erhalten Sie die falsche Antwort: 3 + 4 = 7 und 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Wenn sich in den Klammern ein weiteres Klammerpaar befindet, beginnen Sie mit der Vereinfachung, indem Sie den Ausdruck in den inneren Klammern lösen und fahren Sie dann mit der Lösung des Ausdrucks in den äußeren Klammern fort.

3. Potenzieren. Nachdem Sie die Ausdrücke in Klammern gelöst haben, fahren Sie mit der Potenzierung fort (denken Sie daran, dass eine Potenz einen Exponenten und eine Basis hat). Erhöhen Sie den entsprechenden Ausdruck (oder die entsprechende Zahl) mit einer Potenz und setzen Sie das Ergebnis in den Ihnen gegebenen Ausdruck ein.

   • In unserem Beispiel der einzige Ausdruck(Zahl) hoch ist 3 2: 3 2 = 9. Ersetzen Sie in dem Ihnen gegebenen Ausdruck anstelle von 3 2 9 und Sie erhalten: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Multiplizieren. Denken Sie daran, dass die Multiplikationsoperation durch die folgenden Symbole dargestellt werden kann: „x“, „∙“ oder „*“. Wenn jedoch zwischen der Zahl und der Variablen (z. B. 2x) oder zwischen der Zahl und der Zahl in Klammern (z. B. 4(7)) keine Symbole stehen, handelt es sich auch hier um eine Multiplikationsoperation.

   • In unserem Beispiel gibt es zwei Multiplikationsoperationen: 2x (zwei multipliziert mit der Variablen „x“) und 4(7) (vier multipliziert mit sieben). Da wir den Wert von x nicht kennen, lassen wir den Ausdruck 2x unverändert. 4(7) = 4 x 7 = 28. Jetzt können Sie den Ihnen gegebenen Ausdruck wie folgt umschreiben: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Teilen. Denken Sie daran, dass die Divisionsoperation durch die folgenden Symbole angezeigt werden kann: „/“, „÷“ oder „–“ ( letztes Zeichen finden Sie in Brüchen). Beispielsweise ist 3/4 drei geteilt durch vier.

   • In unserem Beispiel gibt es keine Divisionsoperation mehr, da Sie beim Lösen des Klammerausdrucks bereits 4 durch 2 (4/2) geteilt haben. Sie können also mit dem nächsten Schritt fortfahren. Denken Sie daran, dass die meisten Ausdrücke nicht alle mathematischen Operationen enthalten (nur einige davon).

6. Falten. Wenn Sie Begriffe eines Ausdrucks hinzufügen, können Sie mit dem Begriff beginnen, der am weitesten links steht, oder Sie können die Begriffe, die sich leicht hinzufügen lassen, zuerst hinzufügen. Beispielsweise ist es im Ausdruck 49 + 29 + 51 +71 einfacher, zuerst 49 + 51 = 100, dann 29 + 71 = 100 und schließlich 100 + 100 = 200 zu addieren. Es ist viel schwieriger, so zu addieren: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • In unserem Beispiel 2x + 28 + 9 + 5 gibt es zwei Additionsoperationen. Beginnen wir mit dem äußersten (linken) Term: 2x + 28; Sie können 2x und 28 nicht addieren, da Sie den Wert der Variablen „x“ nicht kennen. Addieren Sie daher 28 + 9 = 37. Nun kann der Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden: 2x + 37 - 5.

7. Subtrahieren. Das letzte Operation in der richtigen Reihenfolge der Ausführung mathematischer Operationen. In dieser Phase können Sie auch hinzufügen negative Zahlen oder tun Sie dies beim Hinzufügen von Mitgliedern – dies hat keinerlei Auswirkungen auf das Endergebnis.

   • In unserem Beispiel 2x + 37 - 5 gibt es nur eine Subtraktionsoperation: 37 - 5 = 32.

8. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie nach Durchführung aller mathematischen Operationen einen vereinfachten Ausdruck erhalten. Wenn der Ihnen gegebene Ausdruck jedoch eine oder mehrere Variablen enthält, denken Sie daran, dass der Term mit der Variablen so bleibt, wie er ist. Das Lösen (nicht Vereinfachen) eines Ausdrucks mit einer Variablen erfordert das Ermitteln des Werts dieser Variablen. Manchmal können Variablenausdrücke mithilfe von vereinfacht werden spezielle Methoden(siehe nächster Abschnitt).

   • In unserem Beispiel lautet die endgültige Antwort 2x + 32. Sie können die beiden Terme erst addieren, wenn Sie den Wert der Variablen „x“ kennen. Sobald Sie den Wert der Variablen kennen, können Sie dieses Binomial leicht vereinfachen.

   Komplexe Ausdrücke vereinfachen

   1. Hinzufügung ähnlicher Begriffe. Denken Sie daran, dass Sie nur ähnliche Terme subtrahieren und addieren können, also Terme mit derselben Variablen und der gleiche Indikator Grad. Sie können beispielsweise 7x und 5x addieren, aber nicht 7x und 5x 2 (da die Exponenten unterschiedlich sind).

      • Diese Regel gilt auch für Mitglieder mit mehreren Variablen. Sie können beispielsweise 2xy 2 und -3xy 2 hinzufügen, aber nicht 2xy 2 und -3x 2 y oder 2xy 2 und -3y 2 .
      • Schauen wir uns ein Beispiel an: x 2 + 3x + 6 - 8x. Hier ähnliche Mitglieder sind 3x und 8x, können also addiert werden. Ein vereinfachter Ausdruck sieht so aus: x 2 - 5x + 6.

   2. Vereinfachen Sie den Zahlenbruch. In einem solchen Bruch enthalten sowohl der Zähler als auch der Nenner Zahlen (ohne Variable). Numerischer Bruch in mehrfacher Hinsicht vereinfacht. Teilen Sie zunächst einfach den Nenner durch den Zähler. Zweitens faktorisieren Sie den Zähler und den Nenner und streichen die gleichen Faktoren (da die Division einer Zahl durch sich selbst 1 ergibt). Mit anderen Worten: Wenn Zähler und Nenner denselben Faktor haben, können Sie ihn weglassen und einen vereinfachten Bruch erhalten.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Bruch 36/60. Teilen Sie mit einem Taschenrechner 36 durch 60, um 0,6 zu erhalten. Sie können diesen Bruch aber auch auf andere Weise vereinfachen, indem Sie Zähler und Nenner faktorisieren: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Da 6/6 = 1 ist, lautet der vereinfachte Bruch: 1 x 6/10 = 6/10. Dieser Bruch lässt sich aber auch vereinfachen: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Wenn ein Bruch eine Variable enthält, können Sie ähnliche Faktoren mit der Variablen aufheben. Faktorisieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner und streichen Sie die Like-Faktoren, auch wenn sie die Variable enthalten (denken Sie daran, dass die Like-Faktoren hier die Variable enthalten können oder nicht).

      • Schauen wir uns ein Beispiel an: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Dieser Ausdruck kann in der Form umgeschrieben (faktorisiert) werden: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Da der 3x-Term sowohl im Zähler als auch im Nenner enthalten ist, können Sie ihn streichen, um einen vereinfachten Ausdruck zu erhalten: (x + 1)/(5 – x). Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Bitte beachten Sie, dass Sie keine Terme stornieren können – nur identische Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden sind, werden storniert. Beispielsweise steht im Ausdruck (x(x + 2))/x die Variable (Faktor) „x“ sowohl im Zähler als auch im Nenner, sodass „x“ reduziert werden kann, um einen vereinfachten Ausdruck zu erhalten: (x + 2)/1 = x + 2. Im Ausdruck (x + 2)/x kann die Variable „x“ jedoch nicht reduziert werden (da „x“ kein Faktor im Zähler ist).

   4. Öffnen Sie die Klammer. Multiplizieren Sie dazu den Term außerhalb der Klammern mit jedem Term in den Klammern. Manchmal hilft es zu vereinfachen komplexer Ausdruck. Dies gilt für beide Mitglieder Primzahlen und an Mitglieder, die die Variable enthalten.

      • Zum Beispiel: 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 und 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Bitte beachten Sie, dass in Bruchausdrücke Es ist nicht nötig, die Klammern zu öffnen, wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner derselbe Faktor vorhanden ist. Im Ausdruck (3(x 2 + 8))/3x ist es beispielsweise nicht erforderlich, die Klammern zu erweitern, da Sie hier den Faktor 3 streichen können und den vereinfachten Ausdruck (x 2 + 8)/x erhalten. Mit diesem Ausdruck lässt sich leichter arbeiten; Wenn Sie die Klammern erweitern würden, würden Sie den folgenden komplexen Ausdruck erhalten: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorisieren Sie Polynome. Mit dieser Methode können Sie einige Ausdrücke und Polynome vereinfachen. Faktorisieren ist die entgegengesetzte Operation zum Öffnen von Klammern, d. h. ein Ausdruck wird als Produkt zweier Ausdrücke geschrieben, die jeweils in Klammern eingeschlossen sind. In einigen Fällen kann die Faktorisierung reduziert werden gleicher Ausdruck. IN Sonderfälle(normalerweise mit quadratische Gleichungen) Durch Faktorisieren können Sie die Gleichung lösen.

      • Betrachten Sie den Ausdruck x 2 - 5x + 6. Er wird faktorisiert: (x - 3)(x - 2). Wenn also beispielsweise der Ausdruck gegeben ist (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), dann können Sie ihn als (x - 3)(x - 2)/(2(x) umschreiben - 2)), reduzieren Sie den Ausdruck (x - 2) und erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck (x - 3)/2.
      • Die Faktorisierung von Polynomen wird verwendet, um Gleichungen zu lösen (Wurzeln zu finden) (eine Gleichung ist ein Polynom gleich 0). Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x 2 - 5x + 6 = 0. Durch Faktorisieren erhalten Sie (x - 3)(x - 2) = 0. Da jeder mit 0 multiplizierte Ausdruck gleich 0 ist, können wir ihn wie folgt schreiben dies: x - 3 = 0 und x - 2 = 0. Somit ist x = 3 und x = 2, das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Ihnen gegebenen Gleichung gefunden.

Ist es möglich, eine nichtlineare Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren? Ja, wenn der Integrand das Produkt zweier Faktoren ist: Ein Faktor ist eine komplexe Funktion einer nichtlinearen Funktion und der andere Faktor ist die Ableitung dieser nichtlinearen Funktion. Schauen wir uns das Gesagte anhand von Beispielen an.

Finden Sie unbestimmte Integrale.

Beispiel 1. ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Was stellt dieser Integrand dar? Arbeiten Power-Funktion aus (x 2 + x + 2) und dem Multiplikator (2x + 1), der gleich der Ableitung der Basis der Potenz ist: (x 2 + x + 2)“ = 2x + 1.

Dadurch konnten wir (2x + 1) unter das Differentialzeichen setzen:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Formel 1). )

Untersuchung. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 6 (x 2 + x + 2) 5 (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Beispiel 2.∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6+C

Und wie unterscheidet sich dieses Beispiel von Beispiel 1? Nichts! Dieselbe fünfte Potenz mit der Basis (x 3 – x 2 + 3x + 1) wird mit dem Trinom (3x 2 – 2x + 3) multipliziert, das die Ableitung der Basis der Potenz ist: (x 3 – x 2 + 3x + 1)" = 3x 2 – 2x + 3. Wir haben diese Basis des Grades unter das Differentialzeichen gebracht, von dem aus sich der Wert des Integranden nicht geändert hat, und dann die gleiche Formel 1) angewendet. Integrale)

Beispiel 3.

Hier ergibt die Ableitung von (2x 3 – 3x) (6x 2 – 3), und bei uns

es gibt (12x 2 – 6), also den Ausdruck in 2 mal größer, das heißt, wir setzen (2x 3 – 3x) unter das Differentialzeichen und einen Faktor vor das Integral 2 . Wenden wir die Formel an 2) ( Blatt ).

Folgendes passiert:

Lassen Sie uns dies überprüfen und dabei Folgendes berücksichtigen:

Beispiele. Finden Sie unbestimmte Integrale.

1. ∫(6x+5) 3 dx. Wie werden wir entscheiden? Blick auf das Blatt und wir argumentieren etwa so: Der Integrand stellt einen Grad dar, und wir haben eine Formel für das Integral des Grades (Formel 1) ), sondern darin die Grundlage des Abschlusses u und auch die Integrationsvariable u.

Und wir haben eine Integrationsvariable X und die Basis des Abschlusses (6x+5). Nehmen wir eine Änderung an der Integrationsvariablen vor: Anstelle von dx schreiben wir d (6x+5). Was hat sich geändert? Da das, was nach dem Differentialzeichen d kommt, standardmäßig differenziert ist,

dann d (6x+5)=6dx, d.h. Beim Ersetzen der Variablen x durch die Variable (6x+5) erhöhte sich die Integrandenfunktion um das Sechsfache, daher setzen wir den Faktor 1/6 vor das Integralzeichen. Diese Argumente können wie folgt geschrieben werden:

Also haben wir dieses Beispiel gelöst, indem wir eine neue Variable eingeführt haben (die Variable x wurde durch die Variable 6x+5 ersetzt). Wo haben Sie die neue Variable (6x+5) geschrieben? Unter dem Differentialzeichen. Deshalb, diese Methode Das Einführen einer neuen Variablen wird oft aufgerufen Methode ( oder Weg ) zusammenfassen(neue Variable ) unter dem Differentialzeichen.

Im zweiten Beispiel erhielten wir zunächst einen Abschluss mit negativer Indikator, und dann unter das Differentialzeichen (7x-2) setzen und die Gradintegralformel verwenden 1) (Integrale ).

Schauen wir uns die Beispiellösung an 3.

Dem Integral ist ein Koeffizient von 1/5 vorangestellt. Warum? Da d (5x-2) = 5dx, haben wir durch Einsetzen der Funktion u = 5x-2 unter das Differentialzeichen den Integranden also um das Fünffache erhöht, so dass der Wert Ausdruck gegeben hat sich nicht geändert - es musste durch 5 geteilt werden, d.h. mit 1/5 multiplizieren. Als nächstes wurde die Formel verwendet 2) (Integrale) .

Alle einfachsten Integralformeln sehen so aus:

∫f (x) dx=F (x)+C, und die Gleichheit muss erfüllt sein:

(F (x)+C)"=f (x).

Integrationsformeln können durch Invertieren der entsprechenden Differenzierungsformeln erhalten werden.

Wirklich,

Exponent N kann gebrochen sein. Oft muss man das unbestimmte Integral der Funktion y=√x finden. Berechnen wir das Integral der Funktion f (x)=√x anhand der Formel 1) .

Schreiben wir dieses Beispiel als Formel 2) .

Da (x+C)"=1, dann ist ∫dx=x+C.

3) ∫dx=x+C.

Indem wir 1/x² durch x -2 ersetzen, berechnen wir das Integral von 1/x².

Könnten Sie diese Antwort erhalten, indem Sie Kontakt aufnehmen? berühmte Formel Differenzierung:

Schreiben wir unsere Argumentation in Form einer Formel 4).

Wenn wir beide Seiten der resultierenden Gleichheit mit 2 multiplizieren, erhalten wir die Formel 5).

Finden wir die Integrale der wichtigsten trigonometrische Funktionen, ihre Ableitungen kennen: (sinx)"=cosx; (cosx)"=-sinx; (tgx)"=1/cos²x; (ctgx)"=-1/sin²x. Wir erhalten die Integrationsformeln 6) — 9).

6) ∫cosxdx=sinx+C;

7) ∫sinxdx=-cosx+C;

Nach dem Studium des Demonstrativs und logarithmische Funktionen, fügen wir noch ein paar Formeln hinzu.

Grundlegende Eigenschaften sind es nicht bestimmtes Integral.

ICH. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden .

(∫f (x) dx)"=f (x).

II. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden.

d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. Unbestimmtes Integral des Differentials (Ableitung) einer Funktion gleich der Summe diese Funktion und eine beliebige Konstante C.

∫dF (x)=F (x)+C oder ∫F"(x) dx=F (x)+C.

Bitte beachten Sie: In I, II und III-Eigenschaften die Vorzeichen des Differentials und des Integrals (Integral und Differential) „fressen“ sich gegenseitig!

IV. Aus dem Integralzeichen kann der konstante Faktor des Integranden entnommen werden.

∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx, Wo k - Konstante, ungleich Null.

V. Das Integral der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich algebraische Summe Integrale dieser Funktionen.

∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Wenn F (x) eine Stammfunktion von f (x) ist, und k Und B sind konstante Werte und k≠0, dann ist (1/k)·F (kx+b) eine Stammfunktion für f (kx+b). Tatsächlich nach der Regel zur Berechnung der Ableitung komplexe Funktion wir haben:

Du kannst schreiben:

Für jede mathematische Operation es gibt einen gegenteiligen Effekt. Zur Wirkung der Differenzierung (Finden von Ableitungen von Funktionen) gibt es auch eine umgekehrte Wirkung – die Integration. Durch Integration wird eine Funktion aus ihrer gegebenen Ableitung oder ihrem gegebenen Differential gefunden (rekonstruiert). Die gefundene Funktion wird aufgerufen Stammfunktion.

Definition. Differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt X Aus diesem Intervall gilt folgende Gleichheit: F′(x)=f (x).

Beispiele. Finden Sie Stammfunktionen für die Funktionen: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Da (x²)′=2x, dann ist die Funktion F (x)=x² per Definition eine Stammfunktion der Funktion f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Wenn wir f (x)=3cos3x und F (x)=sin3x bezeichnen, dann gilt per Definition einer Stammfunktion: F′(x)=f (x) und daher ist F (x)=sin3x eine Stammfunktion für f ( x)=3cos3x.

Beachten Sie, dass (sin3x +5 )′= 3cos3x, und (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V Gesamtansicht kann geschrieben werden: (sin3x +C)′= 3cos3x, Wo MIT- ein konstanter Wert. Diese Beispiele verdeutlichen die Mehrdeutigkeit der Integrationswirkung im Gegensatz zur Differenzierungswirkung, wenn jede differenzierbare Funktion eine einzige Ableitung hat.

Definition. Wenn die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form:

F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Die Menge aller Stammfunktionen F (x) + C der Funktion f (x) im betrachteten Intervall wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und mit dem Symbol bezeichnet ∫ (Integralzeichen). Aufschreiben: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ausdruck ∫f(x)dx lauten: „Integral ef von x bis de x.“

f(x)dx- Integrandenausdruck,

f(x)— Integrandenfunktion,

X ist die Integrationsvariable.

F(x)- Stammfunktion einer Funktion f(x),

MIT- ein konstanter Wert.

Nun können die betrachteten Beispiele wie folgt geschrieben werden:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Was bedeutet das Zeichen d?

D- Differentialzeichen – hat einen doppelten Zweck: Erstens trennt dieses Vorzeichen den Integranden von der Integrationsvariablen; Zweitens wird alles, was nach diesem Vorzeichen kommt, standardmäßig differenziert und mit dem Integranden multipliziert.

Beispiele. Finden Sie die Integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nach dem Differentialsymbol D Kosten XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Vergleichen Sie mit Beispiel 1).

Machen wir einen Check. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Nach dem Differentialsymbol D Kosten R. Dies bedeutet, dass die Integrationsvariable R und der Multiplikator X sollte als ein konstanter Wert betrachtet werden.

∫ 2хрдр=р²х+С. Vergleichen Sie mit Beispielen 1) Und 3).

Machen wir einen Check. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

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Unbestimmtes Integral.
Detaillierte Beispiele Lösungen

In dieser Lektion beginnen wir mit dem Studium des Themas Unbestimmtes Integral, und wir werden auch Beispiele für Lösungen der einfachsten (und nicht so einfachen) Integrale im Detail analysieren. In diesem Artikel werde ich mich auf ein Minimum an Theorie beschränken, und unsere Aufgabe besteht nun darin, zu lernen, wie man Integrale löst.

Was müssen Sie wissen, um das Material erfolgreich zu beherrschen? Um mit der Integralrechnung zurechtzukommen, müssen Sie in der Lage sein, Ableitungen zumindest auf einem mittleren Niveau zu finden. Wenn das Material veröffentlicht wurde, empfehle ich Ihnen daher, zunächst die Lektionen sorgfältig zu lesen Wie findet man die Ableitung? Und Ableitung einer komplexen Funktion. Es ist keine Verschwendung von Erfahrung, wenn Sie über mehrere Dutzend (vorzugsweise hundert) unabhängig voneinander gefundene Derivate verfügen. Zumindest sollten Sie sich nicht durch Aufgaben zur Unterscheidung der einfachsten und gebräuchlichsten Funktionen verwirren lassen. Es scheint, was haben Ableitungen damit zu tun, wenn es in dem Artikel um Integrale geht?! Hier ist das Ding. Es geht darum, Ableitungen zu finden und zu finden unbestimmte Integrale(Differenzierung und Integration) sind zwei wechselseitig umgekehrte Aktion, wie etwa Addition/Subtraktion oder Multiplikation/Division. Ohne die Fähigkeit (+ etwas Erfahrung), Derivate zu finden, können Sie leider nicht weiterkommen.

In diesem Zusammenhang benötigen wir Folgendes Lehrmaterial: Derivatetabelle Und Tabelle der Integrale. Referenzhandbücher können auf der Seite geöffnet, heruntergeladen oder ausgedruckt werden Mathematische Formeln und Tabellen.

Was ist die Schwierigkeit beim Lernen unbestimmter Integrale? Wenn es bei Ableitungen streng 5 Differenzierungsregeln, eine Ableitungstabelle und einen ziemlich klaren Aktionsalgorithmus gibt, dann ist bei Integralen alles anders. Es gibt Dutzende von Integrationsmethoden und -techniken. Und wenn die Integrationsmethode ursprünglich falsch gewählt wurde (d. h. Sie wissen nicht, wie man sie löst), kann das Integral buchstäblich tagelang „gestochen“ werden, wie bei einem echten Rätsel, und versucht, es herauszufinden verschiedene Techniken und Tricks. Manche Leute mögen es sogar. Das ist übrigens kein Scherz, ich habe von Studenten oft eine Meinung gehört wie „Ich hatte nie Interesse daran, den Grenzwert oder die Ableitung zu lösen, aber Integrale sind eine ganz andere Sache, es ist faszinierend, der Wunsch besteht immer.“ Hacken" komplexes Integral" Stoppen. Genug des schwarzen Humors, kommen wir zu diesen sehr unbestimmten Integralen.

Da es so viele Möglichkeiten gibt, das Problem zu lösen, wo fängt man dann an, unbestimmte Integrale für eine Teekanne zu studieren? IN Integralrechnung Meiner Meinung nach gibt es drei Säulen bzw. eine Art „Achse“, um die sich alles andere dreht. Zunächst sollten Sie die einfachsten Integrale (dieser Artikel) gut verstehen. Anschließend müssen Sie die Lektion im Detail durcharbeiten. DAS IST DIE WICHTIGSTE TECHNIK! Vielleicht sogar der wichtigste Artikel aller meiner Artikel über Integrale. Und drittens sollten Sie sich unbedingt mit der Methode der partiellen Integration vertraut machen, da sich damit eine breite Klasse von Funktionen integrieren lässt. Wenn Sie mindestens diese drei Lektionen beherrschen, werden Ihnen zwei nicht mehr zur Verfügung stehen. Man kann es Ihnen verzeihen, wenn Sie Integrale aus trigonometrischen Funktionen, Integrale aus Brüchen, Integrale aus fraktional-rationalen Funktionen, Integrale aus irrationalen Funktionen (Wurzeln) nicht kennen, aber wenn Sie bei der Ersetzungsmethode oder der Methode der partiellen Integration nicht weiterkommen, dann ist es das wird sehr, sehr schlimm sein.

Demotivatoren sind im RuNet mittlerweile weit verbreitet. Im Zusammenhang mit der Untersuchung von Integralen hingegen ist es einfach notwendig MOTIVATOR. Wie in diesem Witz über Wassili Iwanowitsch, der sowohl Petka als auch Anka motivierte. Liebe Faulenzer, Trittbrettfahrer und andere normale Studierende, lest unbedingt Folgendes. Kenntnisse und Fertigkeiten zum unbestimmten Integral werden im weiteren Studium erforderlich sein, insbesondere beim Studium des bestimmten Integrals, uneigentlicher Integrale und Differentialgleichungen im 2. Jahr. Die Notwendigkeit, das Integral zu bilden, besteht sogar in der Wahrscheinlichkeitstheorie! Auf diese Weise, Ohne Integrale wird der Weg zur Sommersession und zum 2. Jahr WIRKLICH GESCHLOSSEN sein. Ich bin ernst. Die Schlussfolgerung ist diese. Je mehr Integrale verschiedene Arten Sie entscheiden, desto einfacher wird es zukünftiges Leben . Ja, es wird ziemlich viel Zeit in Anspruch nehmen, ja, manchmal willst du es nicht, ja, manchmal „zum Teufel damit, mit diesem Integral, vielleicht wirst du ja nicht erwischt.“ Aber der nächste Gedanke sollte Ihre Seele inspirieren und wärmen; Ihre Bemühungen werden sich voll auszahlen! Sie werden in der Lage sein, Differentialgleichungen wie Nüsse zu knacken und problemlos mit Integralen umzugehen, die Ihnen in anderen Abschnitten der höheren Mathematik begegnen. Nachdem Sie das unbestimmte Integral gründlich verstanden haben, werden Sie tatsächlich noch mehrere Abschnitte des Turms meistern.

Und so konnte ich einfach nicht anders, als etwas zu erschaffen Intensivkursüber die Technik der Integration, die überraschend kurz ausgefallen ist – wer möchte, kann das PDF-Buch nutzen und sich SEHR schnell vorbereiten. Aber die Materialien auf der Seite sind keineswegs schlechter!

Fangen wir also einfach an. Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an. Wie bei Ableitungen bemerken wir mehrere Integrationsregeln und von einigen eine Tabelle mit Integralen elementare Funktionen. Es ist leicht zu erkennen, dass jedes Tabellenintegral (und tatsächlich jedes unbestimmte Integral) die Form hat:

Lassen Sie uns die Notationen und Begriffe sofort verstehen:

– Integrales Symbol.

– Integrandenfunktion (geschrieben mit dem Buchstaben „s“).

– Differentialsymbol. Beim Schreiben des Integrals und während der Lösung ist es wichtig, dieses Symbol nicht zu verlieren. Es wird einen auffälligen Fehler geben.

– Integrandenausdruck oder „Füllung“ des Integrals.

– Stammfunktion.

– viele Originalfunktionen. Es besteht keine Notwendigkeit, sich mit Begriffen zu befassen; das Wichtigste ist, dass in jedem unbestimmten Integral eine Konstante zur Antwort hinzugefügt wird.

Das Lösen des Integrals bedeutet Finden spezifische Funktion, unter Verwendung einiger Regeln, Techniken und einer Tabelle.

Schauen wir uns den Eintrag noch einmal an:

Schauen wir uns die Tabelle der Integrale an.

Was ist los? Wir haben die linken Teile einbiegen in zu anderen Funktionen: .

Vereinfachen wir unsere Definition.

Ein unbestimmtes Integral zu lösen bedeutet, es mithilfe einiger Regeln, Techniken und einer Tabelle in eine bestimmte Funktion umzuwandeln.

Nehmen wir zum Beispiel das Tabellenintegral . Was ist passiert? in eine Funktion umgewandelt.

Wie bei Ableitungen müssen Sie sich dessen nicht bewusst sein, um zu lernen, wie man Integrale findet Was ist ein Integral?, Stammfunktion mit theoretischer Punkt Vision. Nach Ansicht einiger reicht es aus, einfach Transformationen durchzuführen formale Regeln. Also für den Fall Es ist überhaupt nicht notwendig zu verstehen, warum das Integral zu wird. Im Moment können wir diese und andere Formeln als selbstverständlich betrachten. Jeder nutzt Elektrizität, aber nur wenige Menschen denken darüber nach, wie sich Elektronen durch Drähte bewegen.

Da Differentiation und Integration gegensätzliche Operationen sind, gilt dies für jede gefundene Stammfunktion Rechts, Folgendes ist wahr:

Mit anderen Worten: Wenn Sie die richtige Antwort differenzieren, müssen Sie die ursprüngliche Integrandenfunktion erhalten.

Kehren wir zum gleichen Tabellenintegral zurück .

Lassen Sie uns die Gültigkeit dieser Formel überprüfen. Wir bilden die Ableitung der rechten Seite:

ist die ursprüngliche Integrandenfunktion.

Es ist übrigens klarer geworden, warum einer Funktion immer eine Konstante zugewiesen wird. Bei der Differenzierung geht die Konstante immer gegen Null.

Lösen Sie unbestimmte Integrale- es bedeutet finden ein Haufen alle Stammfunktionen und nicht nur eine Funktion. Im betrachteten Tabellenbeispiel sind , , , usw. alle diese Funktionen Lösungen des Integrals. Da es unendlich viele Lösungen gibt, schreiben wir es kurz auf:

Daher ist jedes unbestimmte Integral recht einfach zu überprüfen (im Gegensatz zu Ableitungen, bei denen eine gute Überprüfung nur mit durchgeführt werden kann mathematische Programme). Dies ist eine gewisse Entschädigung dafür große Menge Integrale verschiedener Art.

Lassen Sie uns mit der Überlegung fortfahren konkrete Beispiele. Beginnen wir mit dem Studium der Ableitung:
mit zwei Integrationsregeln, auch genannt Linearitätseigenschaften unbestimmtes Integral:

– konstanter Faktor kann (und sollte) aus dem Integralzeichen herausgenommen werden.

– Das Integral der algebraischen Summe zweier Funktionen ist gleich der algebraischen Summe zweier Integrale jeder Funktion einzeln. Diese Liegenschaft gültig für beliebig viele Laufzeiten.

Wie Sie sehen, gelten grundsätzlich dieselben Regeln wie für Derivate.

Beispiel 1

Lösung: Es ist bequemer, es auf Papier umzuschreiben.

(1) Wenden Sie die Regel an . Vergessen Sie nicht, unter jedem Integral das Differentialsymbol zu notieren. Warum unter jedem? - Dies ist ein voller Multiplikator Wenn wir die Lösung im Detail beschreiben, sollte der erste Schritt wie folgt geschrieben werden:

(2) Gemäß der Regel , wir nehmen alle Konstanten außerhalb der Integralzeichen. Bitte beachten Sie, dass der letzte Term eine Konstante ist, wir nehmen ihn auch heraus.
Darüber hinaus bereiten wir in diesem Schritt Wurzeln und Kräfte für die Integration vor. Ebenso wie bei der Differenzierung müssen die Wurzeln in der Form dargestellt werden. Verschieben Sie die Wurzeln und Potenzen, die im Nenner stehen, nach oben.

! Hinweis: Im Gegensatz zu Ableitungen sollten Wurzeln in Integralen nicht immer auf die Form reduziert werden, sondern Grade sollten nach oben übertragen werden. Dies ist zum Beispiel ein vorgefertigtes Tabellenintegral und alle möglichen chinesischen Tricks wie völlig unnötig. Ebenso: – auch ein tabellarisches Integral, es macht keinen Sinn, den Bruch in der Form darzustellen. Studieren Sie die Tabelle sorgfältig!

(3) Alle unsere Integrale sind tabellarisch. Wir führen die Transformation anhand einer Tabelle mit den Formeln durch: , Und .
Besondere Aufmerksamkeit Ich wende mich der Formel zur Integration einer Potenzfunktion zu , es kommt sehr oft vor, es ist besser, sich daran zu erinnern. Es ist zu beachten, dass das Tabellenintegral ist besonderer Fall die gleiche Formel: .
Es reicht aus, die Konstante einmal am Ende des Ausdrucks hinzuzufügen (und nicht nach jedem Integral)..
(4) Wir schreiben das erhaltene Ergebnis in eine kompaktere Form, alle Potenzen der Form werden wieder als Wurzeln dargestellt, Potenzen mit negativem Exponenten werden auf den Nenner zurückgesetzt.

Untersuchung. Um die Prüfung durchzuführen, müssen Sie die erhaltene Antwort differenzieren:

Habe das Original erhalten Integrand, was bedeutet, dass das Integral korrekt gefunden wurde. Wovon sie tanzten, ist das, wozu sie zurückgekehrt sind. Wissen Sie, es ist sehr gut, wenn eine Geschichte mit einem Integral so endet.

Von Zeit zu Zeit gibt es einen etwas anderen Ansatz zur Überprüfung des unbestimmten Integrals; nicht die Ableitung, sondern das Differential wird aus der Antwort genommen:

Diejenigen, die es vom ersten Semester an verstanden haben, haben es verstanden, aber jetzt sind es für uns nicht die theoretischen Feinheiten, sondern wichtig ist, was als nächstes mit dieser Differenz zu tun ist. Es muss offengelegt werden, und aus formaltechnischer Sicht ist dies fast dasselbe wie die Suche nach einer Ableitung. Das Differential wird wie folgt aufgedeckt: Wir entfernen das Symbol, setzen rechts über der Klammer einen Strich und fügen am Ende des Ausdrucks einen Faktor hinzu:

Original erhalten Integrand, was bedeutet, dass das Integral korrekt gefunden wurde.

Die zweite Methode der Prüfung gefällt mir weniger, da ich zusätzlich große Klammern zeichnen und das Differentialsymbol bis zum Ende der Prüfung ziehen muss. Obwohl es korrekter oder „respektabler“ oder so ist.

Über die zweite Verifizierungsmethode hätte ich eigentlich ganz schweigen können. Der Punkt liegt nicht in der Methode, sondern in der Tatsache, dass wir gelernt haben, das Differential zu öffnen. Noch einmal.

Der Unterschied ergibt sich wie folgt:

1) das Symbol entfernen;
2) rechts über der Klammer setzen wir einen Strich (Bezeichnung der Ableitung);
3) Am Ende des Ausdrucks weisen wir einen Faktor zu.

Zum Beispiel:

Merk dir das. Wir werden diese Technik sehr bald brauchen.

Beispiel 2

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Wenn wir ein unbestimmtes Integral finden, versuchen wir IMMER, es zu überprüfen Darüber hinaus besteht hierfür eine große Chance. Nicht alle Arten von Aufgaben in höhere Mathematik ist aus dieser Sicht ein Geschenk. So oft spielt das keine Rolle Testaufgaben Es ist keine Überprüfung erforderlich, niemand prüft es und nichts hindert die Umsetzung auf einem Entwurf. Eine Ausnahme kann nur gemacht werden, wenn die Zeit nicht ausreicht (z. B. während einer Prüfung oder Prüfung). Persönlich überprüfe ich Integrale immer und betrachte das Fehlen einer Überprüfung als Hackerjob und als schlecht erledigte Aufgabe.

Beispiel 3

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Lösung: Bei der Analyse des Integrals sehen wir, dass wir das Produkt zweier Funktionen und sogar die Potenzierung eines gesamten Ausdrucks haben. Leider gibt es im Bereich des ganzheitlichen Kampfes keine guten und praktischen Formeln für die Integration des Produkts und des Besonderen , .

Und deshalb ist es bei gegebenem Produkt oder Quotienten immer sinnvoll zu prüfen, ob es möglich ist, den Integranden in eine Summe umzuwandeln?

Das betrachtete Beispiel ist der Fall, wenn dies möglich ist. Zuerst bringe ich komplette Lösung, Kommentare folgen unten.

(1) Wir verwenden die gute alte Formel des Quadrats der Summe und verzichten auf den Grad.

(2) Wir setzen es in Klammern und entfernen das Produkt.

Beispiel 4

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort und die vollständige Lösung finden Sie am Ende der Lektion.

Beispiel 5

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

IN in diesem Beispiel der Integrand ist ein Bruch. Wenn wir einen Bruch im Integranden sehen, sollte der erste Gedanke die Frage sein: Ist es möglich, diesen Bruch irgendwie loszuwerden oder ihn zumindest zu vereinfachen?

Wir stellen fest, dass der Nenner eine einzelne Wurzel von „X“ enthält. Einer auf dem Feld ist kein Krieger, was bedeutet, dass wir den Zähler durch den Nenner Term für Term dividieren können:

Aktionen mit Teilkräfte Ich gebe keinen Kommentar dazu ab, da sie schon oft in Artikeln über die Ableitung einer Funktion besprochen wurden. Wenn Sie bei einem Beispiel wie immer noch verwirrt sind und immer noch nicht die richtige Antwort finden, empfehle ich Ihnen, sich an Schulbüchern zu orientieren. In der höheren Mathematik begegnet man bei jedem Schritt Brüchen und Operationen mit ihnen.

Beachten Sie auch, dass der Lösung ein Schritt fehlt, nämlich die Anwendung der Regeln , . Normalerweise schon bei erste Erfahrungen Beim Lösen von Integralen werden diese Eigenschaften als selbstverständlich vorausgesetzt und nicht im Detail beschrieben.

Beispiel 6

Finden Sie das unbestimmte Integral. Prüfung durchführen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort und die vollständige Lösung finden Sie am Ende der Lektion.

IN Allgemeiner Fall mit Brüchen in Integralen ist es nicht so einfach, zusätzliches Material Zur Integration von Brüchen einiger Typen finden Sie im Artikel Einige Brüche integrieren.

! Bevor Sie jedoch mit dem obigen Artikel fortfahren, müssen Sie sich mit der Lektion vertraut machen Substitutionsmethode im unbestimmten Integral. Der Punkt ist, dass die Subsumierung einer Funktion unter einer Differential- oder Variablenersetzungsmethode sinnvoll ist Kernpunkt im Studium des Themas, da es nicht nur „in reinen Aufgaben zur Ersetzungsmethode“, sondern auch in vielen anderen Arten von Integralen vorkommt.

Ich wollte unbedingt noch ein paar Beispiele einbauen diese Lektion, aber ich sitze jetzt hier, tippe diesen Text in Verde und stelle fest, dass der Artikel bereits eine anständige Größe erreicht hat.
Und deshalb Einführungskurs Integrale für Dummies sind zu Ende.

Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung:

Beispiel 4: Lösung:

In diesem Beispiel haben wir die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet

Beispiel 6: Lösung:

Ich habe den Scheck abgeschlossen, und Sie? ;)