heim » Wohndesign » Abgeleitete Lösung. Ableitung von e hoch x und einer Exponentialfunktion. Interne und externe Funktionen

Abgeleitete Lösung. Ableitung von e hoch x und einer Exponentialfunktion. Interne und externe Funktionen

Erste Ebene

Funktionsableitung. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie einer Art Diagramm kontinuierliche Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Ebene mit der Höhe Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (bewegt sich entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (bewegt sich entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszissenachse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Menge Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse).

Wir bezeichnen den Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Größenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Genau, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal weiter vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, wenn wir vorwärts gehen, steigen wir höher.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und nach der Bewegung in einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zu „Steilheit“: Hierbei handelt es sich um einen Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe bei Vorwärtsbewegung pro Distanzeinheit ansteigt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Abschnitt des Weges bei einem Vorankommen von Kilometern um Kilometer ansteigt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, wenn sie um m vorrückt, um km sinkt? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer bis zum Gipfel und das Ende einen halben Kilometer später nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und angemessenere Nutzung in Betracht gezogen werden genaue Beurteilung Steilheit. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn mitten auf der Straße ein Pfosten steht, können wir einfach durchschlüpfen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Es ist mehr als ausreichend, den Abstand auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulowert ist kleiner als jede Zahl, die wir benennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber sehr nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann in.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist im Modul größer als jede andere Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie diese einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Aber immer noch unendlich Außerdem was wird funktionieren. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für einen unendlich kleinen Streckenabschnitt berechnete Steigung, also:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht bedeutet null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, kommt man auf ein recht hohes Ergebnis gemeinsame Zahl, Zum Beispiel, . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir machen keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs In der Mathematik nennt man Veränderung Veränderung. Es wird aufgerufen, wie stark sich das Argument () bei der Bewegung entlang der Achse geändert hat Argumentinkrement und bezeichnet mit Wie stark sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zu when. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: der Ableitung dauerhafte Funktion(Konstante) ist Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf diese Weise anzuordnen verschiedene Seiten von oben, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Am Ende, wenn wir uns unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments unendlich klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (strebt nicht, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu und rechts ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte muss sein. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wohin das Argument geht, geht die Funktion dorthin: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
Das Gleiche gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

IN verschiedene Punkte Bei gleicher Erhöhung des Arguments ist die Erhöhung der Funktion unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Und – in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern Sie sich an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Inkrement ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund eines anderen Termes unbedeutend ist:

Wir haben also eine andere Regel:

c) Weiter logische Reihe: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Kubikzahlen in Faktoren. Versuchen Sie es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel verallgemeinert werden kann Power-Funktion Mit willkürlicher Indikator, nicht einmal eine Ganzzahl:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und verringert sich dann um“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

(auf zwei Arten: durch die Formel und durch die Definition der Ableitung – durch Zählen des Inkrements der Funktion);

. Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merken Sie sich das Thema „“!
Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
.
Wir suchen die Ableitung mit der kürzlich erlernten Formel:
Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!! (ungefähr ein Grad mit negativem Indikator)
. Nun der Exponent:
Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
;
.
Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
.
. Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Wenn Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm punktiert wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion. Dies ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Rechner in den Bogenmaßmodus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner die nähere Bedeutung Beziehung zu.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“):.

Nun die Ableitung:

Machen wir eine Substitution: . Dann ist es für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe (also bei) vernachlässigt werden könnte?

Also bekommen wir nächste Regel:die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um Basisderivate („Tabellenderivate“). Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

Zuerst finden wir die Ableitung in Gesamtansicht und ersetzen Sie es dann durch seinen Wert:
;
.
Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
normales Aussehen:
.
Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
.
.
. Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine solche Funktion, deren Ableitung für jeden gleich dem Wert der Funktion selbst für denselben ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht weit gehen, lasst uns sofort darüber nachdenken Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Ableitung von natürlicher Logarithmus auch ganz einfach:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponent und der natürliche Logarithmus sind Funktionen, die hinsichtlich der Ableitung einzigartig einfach sind. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, auf die wir später noch eingehen werden Gehen wir die Regeln durch Differenzierung.

Differenzierungsregeln

Welche Regeln? Nochmal neuer Ausdruck, nochmal?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Prozess? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik wird als Inkrement der Funktion at bezeichnet. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

am Punkt;
am Punkt;
am Punkt;
am Punkt.

Lösungen:

(Die Ableitung ist in allen Punkten gleich, da sie es ist lineare Funktion, erinnern?);

Derivat eines Produkts

Hier ist alles beim Alten: Wir stellen vor neue Funktion und finde sein Inkrement:

Derivat:

Beispiele:

Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion finden und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl?

Wir kennen die Ableitung der Funktion bereits, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür verwenden wir einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, das heißt, es gibt keine Möglichkeit, sie in mehr aufzuschreiben einfache Form. Daher bleibt es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige Zahl aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir statt:

Es stellte sich heraus, dass der Nenner nur eine Konstante war (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen von Exponential- und logarithmische Funktionen kommen in der Prüfung fast nie vor, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arcustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Ihnen der Logarithmus jedoch schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird klappen), aber in Bezug auf die Mathematik bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um Schokolade zu essen, müssen Sie es tun umgekehrte Aktion V umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich ermittle ihren Kosinus (Umschlag), und dann quadrieren Sie, was ich habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du und dann suchst du nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Wichtiges Merkmal komplexe Funktionen: Wenn Sie die Reihenfolge der Aktionen ändern, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion bzw. die zuerst ausgeführte Aktion „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ähnelt stark der Veränderung von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

Welche Maßnahmen werden wir zuerst ergreifen? Zuerst berechnen wir den Sinus und erhöhen ihn erst dann auf einen Würfel. Bedeutet, innere Funktion, und extern.
Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun extrahieren wir unsere Schokolade – suchen Sie nach dem Derivat. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Angewendet Originalbeispiel es sieht aus wie das:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nur noch nicht zu reduzieren! Unter dem Kosinus wird nichts herausgenommen, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies an sich bereits eine komplexe Funktion, und wir extrahieren daraus noch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle legen). und mit einer Schleife in einer Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wie auch immer, wir werden diese Funktion in der gleichen Reihenfolge wie gewohnt „entpacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf - wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Funktionsableitung- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Anwendung

Die Lösung der Ableitung zur Site zur Konsolidierung des von Studenten und Schülern abgedeckten Materials. Die Berechnung der Ableitung einer Funktion in wenigen Sekunden ist nicht schwierig, wenn Sie unseren Online-Problemlösungsservice nutzen. Führen Detaillierte Analyse gründliches Studium von praktische Lektion Jeder dritte Student kann. Oftmals werden wir von der Abteilung des jeweiligen Fachbereichs zur Förderung der Mathematik angesprochen Bildungsinstitutionen Länder. In diesem Fall ist die Lösung der Ableitung online für einen geschlossenen Raum nicht zu erwähnen Zahlenfolgen. Viele wohlhabende Privatpersonen dürfen ihre Verwunderung äußern. Aber in der Zwischenzeit sitzen Mathematiker nicht still und arbeiten hart. Die Änderung der Eingabeparameter gemäß linearen Eigenschaften wird vom Ableitungsrechner hauptsächlich aufgrund der Obergrenze der absteigenden Positionen der Würfel akzeptiert. Das Ergebnis ist als Oberfläche unvermeidlich. Als Ausgangsdaten macht die Online-Ableitung unnötige Schritte überflüssig. Bis auf fiktive Hausaufgaben. Zusätzlich zu der Tatsache, dass die Lösung von Derivaten online notwendig ist und wichtiger Aspekt Im Mathematikstudium können sich Studierende oft nicht an Aufgaben aus der Vergangenheit erinnern. Der Student versteht das wie ein faules Wesen. Aber die Studenten lustige Leute! Entweder gemäß den Regeln oder der Ableitung der Funktion in schiefe Ebene kann einem materiellen Punkt Beschleunigung verleihen. Richten wir den Vektor des absteigenden räumlichen Strahls irgendwohin. In der gewünschten Antwort erscheint die Suche nach der Ableitung abstrakt theoretische Richtung aufgrund von Instabilität mathematisches System. Stellen Sie sich ein Zahlenverhältnis als eine Folge ungenutzter Optionen vor. Der Kommunikationskanal wurde mit der fünften Linie entlang des absteigenden Vektors vom Punkt der geschlossenen Gabelung des Würfels ergänzt. Auf der Ebene gekrümmter Räume führt uns die Online-Lösung der Ableitung zu einer Schlussfolgerung, die uns im letzten Jahrhundert zum Nachdenken gebracht hat die größten Köpfe Planeten. Im Rahmen von Veranstaltungen aus dem Bereich der Mathematik grundsätzlich fünf wichtige Faktoren, was zur Verbesserung der Position der Variablenauswahl beiträgt. Das Punktegesetz besagt also, dass die Online-Ableitung nicht in jedem Fall detailliert berechnet wird, nur ein loyal fortschreitender Moment kann eine Ausnahme sein. Die Prognose führte uns dazu neue Runde Entwicklung. Wir brauchen ein Ergebnis. In der unter der Oberfläche verlaufenden Linie der mathematischen Steigung befindet sich der Rechner der Modenableitungen im Bereich des Schnittpunkts der Produkte auf dem Biegesatz. Es bleibt die Differenzierung der Funktion an ihrem unabhängigen Punkt in der Nähe der Epsilon-Nachbarschaft zu analysieren. Das kann jeder in der Praxis sehen. Worüber am Ende entschieden wird nächster Schritt Programmierung. Der Student benötigt das Online-Derivat wie immer, unabhängig von den imaginären Studien, die er praktiziert. Es stellt sich heraus, dass die mit einer Konstanten multiplizierte Funktion die Lösung der Online-Ableitung nicht ändert allgemeine Richtung Bewegungen materieller Punkt, charakterisiert aber den Geschwindigkeitsanstieg in einer geraden Linie. In diesem Sinne wird es nützlich sein, unseren Ableitungsrechner anzuwenden und alle Werte einer Funktion für den gesamten Satz ihrer Definition zu berechnen. Studieren Sie Kraftwellen Schwerkraftfeld einfach nicht nötig. Unter keinen Umständen wird die Online-Lösung von Derivaten eine Steigung aufweisen ausgehender Strahl, aber nur in seltene Fälle Wenn es wirklich nötig ist, können es sich Universitätsstudenten vorstellen. Wir untersuchen den Schulleiter. Der Wert des kleinsten Rotors ist vorhersehbar. Wenden Sie auf das Ergebnis die nach rechts gerichteten Linien an, die den Ball beschreiben, aber Online-Rechner Derivate, dies ist die Grundlage für Figuren von besonderer Stärke und nichtlineare Abhängigkeit. Der Mathematik-Projektbericht ist fertig. Unterschied in den persönlichen Merkmalen kleinste Zahlen und die Ableitung der Funktion entlang der y-Achse bringt die Konkavität derselben Funktion auf die Höhe. Es gibt eine Richtung – es gibt eine Schlussfolgerung. Es ist einfacher, die Theorie in die Praxis umzusetzen. Es liegt ein Vorschlag der Studierenden zum Zeitpunkt des Studienbeginns vor. Brauche die Antwort eines Lehrers. Auch hier wird, wie in der vorherigen Position, das mathematische System nicht auf der Grundlage einer Aktion reguliert, die dabei hilft, die Ableitung zu finden. Wie die untere halblineare Version zeigt die Online-Ableitung im Detail die Identifizierung der Lösung gemäß an entartetes bedingtes Gesetz. Bringen Sie einfach die Idee vor, Formeln zu berechnen. Die lineare Differentiation einer Funktion verwirft die Wahrheit der Lösung, indem sie einfach irrelevante positive Variationen darlegt. Die Bedeutung der Vergleichszeichen wird als kontinuierlicher Bruch der Funktion entlang der Achse angesehen. Dies sei die Bedeutung der bewusstesten Schlussfolgerung, so der Student, bei der die Online-Ableitung etwas anderes sei als ein treues Beispiel der mathematischen Analyse. Der Radius eines gekrümmten Kreises im euklidischen Raum hingegen ergab einen Ableitungsrechner natürliche Präsentation Austausch entscheidender Aufgaben für Nachhaltigkeit. beste Methode gefunden. Es war einfacher, die Aufgabe zu verbessern. Lassen Sie die Anwendbarkeit des unabhängigen Differenzanteils online zur Lösung der Ableitungen führen. Die Lösung dreht sich um die x-Achse und beschreibt die Figur eines Kreises. Es gibt einen Ausweg, und er basiert auf theoretisch fundierter Forschung von Universitätsstudenten, aus der jeder lernt, und selbst zu diesen Zeitpunkten gibt es eine Ableitung der Funktion. Wir haben einen Weg gefunden, Fortschritte zu erzielen, und die Studenten haben ihn bestätigt. Wir können es uns leisten, die Ableitung zu finden, ohne über einen unnatürlichen Ansatz zur Transformation des mathematischen Systems hinauszugehen. Das linke Zeichen der Verhältnismäßigkeit wächst mit geometrische Folge Wie mathematische Darstellung Online-Rechner für Ableitungen aufgrund des unbekannten Umstands linearer Faktoren auf der unendlichen y-Achse. Mathematiker auf der ganzen Welt haben sich als außergewöhnlich erwiesen Fertigungsprozess. Essen letzter Versuch innerhalb des Kreises entsprechend der Beschreibung der Theorie. Auch hier wird das Online-Derivat unsere Vermutung näher erläutern, was die theoretisch verfeinerte Meinung überhaupt beeinflusst haben könnte. Es gab Meinungen anderer Art als der von uns analysierte Bericht. Besondere Aufmerksamkeit darf den Studierenden unserer Fakultäten nicht zuteil werden, wohl aber nicht den klugen und fortgeschrittenen Mathematikern, bei denen die Differentiation einer Funktion nur ein Vorwand ist. mechanischer Sinn Die Ableitung ist sehr einfach. Die Auftriebskraft wird als Online-Ableitung für abfallende stationäre Zeiträume berechnet. Der Ableitungsrechner ist bekanntlich ein strenger Prozess zur Beschreibung des Entartungsproblems einer künstlichen Transformation als amorpher Körper. Die erste Ableitung spricht von einer Änderung der Bewegung eines materiellen Punktes. Der dreidimensionale Raum wird offensichtlich im Zusammenhang mit speziell trainierten Technologien zur Online-Lösung von Ableitungen beobachtet, tatsächlich ist er in jedem Kolloquium zum Thema der mathematischen Disziplin vorhanden. Die zweite Ableitung charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung eines materiellen Punktes und bestimmt die Beschleunigung. Der Meridianansatz, der auf der Verwendung der affinen Transformation basiert, führt zu Neues level die Ableitung einer Funktion an einem Punkt aus dem Definitionsbereich dieser Funktion. Ein Online-Rechner für Ableitungen kann in einigen Fällen nicht ohne Zahlen und symbolische Notation auskommen, mit Ausnahme der umwandelbaren Anordnung der Dinge der Aufgabe. Überraschenderweise kommt es zu einer zweiten Beschleunigung eines materiellen Punktes, dies charakterisiert die Beschleunigungsänderung. In Kürze werden wir beginnen, die Lösung der Ableitung online zu studieren, aber sobald ein bestimmter Wissensmeilenstein erreicht ist, wird unser Student diesen Prozess stoppen. Das beste Mittel Networking ist lebendige Kommunikation Mathe-Thema. Es gibt Grundsätze, die auf keinen Fall verletzt werden dürfen, egal wie schwierig die Aufgabe ist. Es ist sinnvoll, das Derivat rechtzeitig und fehlerfrei online zu finden. Bringen Sie es an eine neue Position mathematischer Ausdruck. Das System ist stabil. physikalische Bedeutung Derivat ist nicht so beliebt wie mechanische. Es ist unwahrscheinlich, dass sich jemand daran erinnert, wie die Online-Ableitung im Detail den Umriss der Linien der Funktion zur Normalen aus dem Dreieck neben der x-Achse in der Ebene herausgearbeitet hat. Der Mensch verdient eine große Rolle in der Forschung des letzten Jahrhunderts. Führen wir in drei Grundstufen die Differenzierung der Funktion an Punkten durch, sowohl aus dem Definitionsbereich als auch im Unendlichen. Wird dabei sein Schreiben gerade im Studienbereich, kann aber den Platz des Hauptvektors in Mathematik und Zahlentheorie einnehmen, sobald das, was passiert, den Online-Ableitungsrechner mit dem Problem verbindet. Es gäbe einen Grund, aber es wird einen Grund geben, eine Gleichung aufzustellen. Es ist sehr wichtig, alle Eingabeparameter im Auge zu behalten. Das Beste wird nicht immer auf die Stirn genommen, dahinter steckt ein enormer Arbeitsaufwand die besten Köpfe Wer wusste, wie die Online-Ableitung im Weltraum berechnet wird? Seitdem wird Konvexität als Eigenschaft einer stetigen Funktion betrachtet. Dennoch ist es besser, das Problem der Lösung von Derivaten zunächst online zu stellen so schnell wie möglich. Damit ist die Lösung vollständig. Zusätzlich zu den nicht erfüllten Normen wird dies als nicht ausreichend angesehen. Zunächst schlägt fast jeder Student vor, eine einfache Methode vorzuschlagen, wie die Ableitung einer Funktion einen umstrittenen Wachstumsalgorithmus verursacht. In Richtung des aufsteigenden Strahls. Es macht Sinn als allgemeine Stellung. Zuvor markierte den Beginn der Fertigstellung eines bestimmten mathematisches Handeln aber heute wird es umgekehrt sein. Vielleicht wirft die Online-Lösung des Derivats das Problem erneut auf und wir werden bei der Diskussion des Lehrertreffens eine gemeinsame Meinung zu seiner Erhaltung vertreten. Wir hoffen auf Verständnis von allen Seiten der Tagungsteilnehmer. Die logische Bedeutung liegt in der Beschreibung des Rechners von Ableitungen in der Resonanz von Zahlen über die Reihenfolge der Darstellung des Gedankens des Problems, das im letzten Jahrhundert von den großen Wissenschaftlern der Welt beantwortet wurde. Es hilft, eine komplexe Variable aus dem konvertierten Ausdruck zu extrahieren und die Ableitung online zu finden, um eine umfangreiche Aktion desselben Typs auszuführen. Die Wahrheit ist viel besser als Vermutungen. Niedrigster Wert im Trend. Das Ergebnis wird nicht lange auf sich warten lassen, wenn Sie einen einzigartigen Service nutzen der genaueste Befund, zu dem es im Detail ein Online-Derivat gibt. Indirekt, aber auf den Punkt gebracht, wie ein weiser Mann sagte, wurde auf Wunsch vieler Studenten aus verschiedenen Städten der Union ein Online-Derivaterechner erstellt. Wenn es einen Unterschied gibt, warum dann zweimal entscheiden? Angegebener Vektor liegt auf der gleichen Seite wie das Normale. In der Mitte des letzten Jahrhunderts wurde die Differenzierung einer Funktion noch lange nicht so wahrgenommen wie heute. Dank der laufenden Entwicklung ist Online-Mathematik entstanden. Mit der Zeit vergessen Studierende, mathematische Disziplinen anzuerkennen. Die Online-Lösung des Derivats wird unsere These in Frage stellen, die zu Recht auf der Anwendung der Theorie basiert und durch praktisches Wissen gestützt wird. Werde darüber hinausgehen vorhandener Wert Darstellungsfaktor und schreiben Sie die Formel explizit für die Funktion. Es kommt vor, dass Sie das Derivat sofort online finden müssen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Sie können jedoch jederzeit auf den Trick des Studenten zurückgreifen und trotzdem einen solchen Dienst wie eine Website nutzen. Dadurch spart der Student viel Zeit beim Kopieren von Beispielen aus einem Notizbuchentwurf in eine endgültige Form. Wenn es keine Widersprüche gibt, dann nutzen Sie den Service Schritt-für-Schritt Lösung so komplexe Beispiele.

In dieser Lektion lernen wir, wie man Formeln und Differenzierungsregeln anwendet.

Beispiele. Finden Sie Ableitungen von Funktionen.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Anwenden der Regel ICH, Formeln 4, 2 und 1. Wir bekommen:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Wir lösen auf ähnliche Weise, indem wir dieselben Formeln und die gleiche Formel verwenden 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Anwenden der Regel ICH, Formeln 3, 5 Und 6 Und 1.

Anwenden der Regel IV, Formeln 5 Und 1 .

Im fünften Beispiel gemäß der Regel ICH Die Ableitung der Summe ist gleich der Summe der Ableitungen, und wir haben gerade die Ableitung des ersten Termes gefunden (Beispiel 4 ), daher werden wir Derivate finden 2 Und 3 Bedingungen und für den 1 Term können wir das Ergebnis sofort schreiben.

Differenzieren 2 Und 3 Begriffe gemäß der Formel 4 . Dazu transformieren wir die Wurzeln des dritten und vierten Grades in Nenner zu Potenzen mit negative Indikatoren, und dann, von 4 Formel finden wir die Ableitungen der Potenzen.

Ansehen gegebenes Beispiel und das Ergebnis. Haben Sie das Muster erkannt? Bußgeld. Das bedeutet, dass wir erhalten haben neue Formel und wir können es zu unserer Ableitungstabelle hinzufügen.

Lösen wir das sechste Beispiel und leiten wir eine weitere Formel ab.

Wir nutzen die Regel IV und Formel 4 . Wir reduzieren die resultierenden Brüche.

Wir schauen auf diese Funktion und auf seiner Ableitung. Sie haben das Muster natürlich verstanden und sind bereit, die Formel zu benennen:

Neue Formeln lernen!

Beispiele.

1. Finden Sie das Argumentinkrement und das Funktionsinkrement y= x2 wenn der Anfangswert des Arguments war 4 , und das Neue 4,01 .

Lösung.

Neuer Argumentwert x \u003d x 0 + Δx. Ersetzen Sie die Daten: 4,01=4+Δx, daher die Erhöhung des Arguments Δх=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Da wir eine Funktion haben y=x2, Das Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antworten: Argumentinkrement Δх=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.

Es war möglich, das Funktionsinkrement auf andere Weise zu finden: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.

2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, Wenn f "(x 0) \u003d 1.

Lösung.

Der Wert der Ableitung am Kontaktpunkt x 0 und ist der Wert der Tangente der Steigung der Tangente ( geometrischer Sinn Derivat). Wir haben: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, als tg45°=1.

Antworten: Die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse, gleich 45°.

3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung einer Funktion her y=xn.

Differenzierung ist der Vorgang, die Ableitung einer Funktion zu finden.

Bei der Suche nach Ableitungen werden Formeln verwendet, die auf der Grundlage der Definition der Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad abgeleitet haben: (x n)" = nx n-1.

Hier sind die Formeln.

Ableitungstabelle Das Auswendiglernen wird durch das Aussprechen von verbalen Formulierungen erleichtert:

1. Derivat konstanter Wert gleich Null.

2. Der X-Hub ist gleich eins.

3. Konstanter Multiplikator kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden.

4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit dem Grad mit der gleichen Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.

5. Die Ableitung der Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.

6. Die Ableitung der Einheit dividiert durch x ist minus eins dividiert durch x im Quadrat.

7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.

8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.

9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.

10. Die Ableitung des Kotangens ist minus eins dividiert durch das Quadrat des Sinus.

Wir lehren Differenzierungsregeln.

1. Die Ableitung der algebraischen Summe ist algebraische Summe abgeleitete Begriffe.

2. Die Ableitung des Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors mit dem zweiten plus dem Produkt des ersten Faktors mit der Ableitung des zweiten.

3. Die Ableitung von „y“ dividiert durch „ve“ ist gleich einem Bruch, in dessen Zähler „y ein Strich multipliziert mit „ve“ minus „y, multipliziert mit einem Strich“ und im Nenner „ve quadriert“ ist “.

4. besonderer Fall Formeln 3.

Lasst uns gemeinsam lernen!

Seite 1 von 1 1

Funktionen komplexer Typ passen nicht immer zur Definition einer komplexen Funktion. Wenn es eine Funktion der Form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 gibt, dann kann sie im Gegensatz zu y \u003d sin 2 x nicht als komplex betrachtet werden.

Dieser Artikel zeigt das Konzept einer komplexen Funktion und ihre Identifizierung. Lassen Sie uns mit Formeln zum Finden der Ableitung mit Lösungsbeispielen im Fazit arbeiten. Die Verwendung der Ableitungstabelle und der Differenzierungsregeln verkürzt die Zeit zum Finden der Ableitung erheblich.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Grundlegende Definitionen

Definition 1

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument auch eine Funktion ist.

Es wird folgendermaßen bezeichnet: f (g (x)) . Wir haben, dass die Funktion g (x) als Argument f (g (x)) betrachtet wird.

Definition 2

Wenn es eine Funktion f gibt und eine Kotangensfunktion ist, dann ist g(x) = ln x die natürliche Logarithmusfunktion. Wir erhalten, dass die komplexe Funktion f (g (x)) als arctg (lnx) geschrieben wird. Oder eine Funktion f, die eine auf die 4. Potenz erhobene Funktion ist, wobei g (x) = x 2 + 2 x – 3 als ganze Zahl betrachtet wird rationale Funktion, erhalten wir das f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Offensichtlich kann g(x) schwierig sein. Aus dem Beispiel y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 ist ersichtlich, dass der Wert von g hat Kubikwurzel mit Bruch. Dieser Ausdruck es darf als y = f (f 1 (f 2 (x))) bezeichnet werden. Daraus folgt, dass f eine Sinusfunktion und f 1 eine darunter liegende Funktion ist Quadratwurzel, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - gebrochene rationale Funktion.

Definition 3

Der Verschachtelungsgrad wird beliebig definiert natürliche Zahl und wird geschrieben als y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definition 4

Das Konzept der Funktionskomposition bezieht sich auf die Anzahl der verschachtelten Funktionen gemäß der Problemstellung. Zur Lösung dient die Formel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion der Form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer komplexen Funktion der Form y = (2 x + 1) 2 .

Lösung

Konventionell ist f eine Quadrierungsfunktion und g(x) = 2 x + 1 wird als lineare Funktion betrachtet.

Wir wenden die Ableitungsformel für eine komplexe Funktion an und schreiben:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Es ist notwendig, eine Ableitung mit einer vereinfachten Anfangsform der Funktion zu finden. Wir bekommen:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Daher haben wir das

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Die Ergebnisse stimmten überein.

Bei der Lösung solcher Probleme ist es wichtig zu verstehen, wo sich die Funktion der Form f und g (x) befindet.

Beispiel 2

Sie sollten die Ableitungen komplexer Funktionen der Form y = sin 2 x und y = sin x 2 finden.

Lösung

Der erste Eintrag der Funktion besagt, dass f die Quadrierungsfunktion und g(x) die Sinusfunktion ist. Dann verstehen wir das

y „= (sin 2 x)“ = 2 sin 2 – 1 x (sin x)“ = 2 sin x cos x

Der zweite Eintrag zeigt, dass f eine Sinusfunktion ist und g (x) = x 2 die Potenzfunktion bezeichnet. Daraus folgt, dass das Produkt einer komplexen Funktion geschrieben werden kann als

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Die Formel für die Ableitung y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) wird als y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) geschrieben (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )) . . . f n "(x)

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung der Funktion y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Lösung

Dieses Beispiel zeigt die Komplexität des Schreibens und Bestimmens der Position von Funktionen. Dann y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bezeichnen, wobei f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) ist die Sinusfunktion, die Funktion der Erhöhung auf 3 Grad, eine Funktion mit Logarithmus und Basis e, eine Funktion des Arcustangens und eine lineare.

Aus der Formel zur Definition einer komplexen Funktion haben wir das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Bekommen, was zu finden ist

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) als Ableitung des Sinus in der Ableitungstabelle, dann f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) als Ableitung einer Potenzfunktion, dann f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) als logarithmische Ableitung, dann f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) als Ableitung des Arcustangens, dann f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Wenn Sie die Ableitung f 4 (x) \u003d 2 x finden, nehmen Sie 2 aus dem Vorzeichen der Ableitung, indem Sie die Formel für die Ableitung der Potenzfunktion mit einem Exponenten verwenden, der gleich 1 ist, dann f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" = 2 x "= 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Wir gründen eine Gewerkschaft Zwischenergebnisse und das verstehen wir

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Die Analyse solcher Funktionen ähnelt Nistpuppen. Differenzierungsregeln können nicht immer explizit mithilfe einer Ableitungstabelle angewendet werden. Oft müssen Sie die Formel anwenden, um Ableitungen komplexer Funktionen zu finden.

Es gibt einige Unterschiede zwischen einer komplexen Ansicht und einer komplexen Funktion. Mit einer klaren Unterscheidungsfähigkeit wird es besonders einfach sein, Derivate zu finden.

Beispiel 4

Muss bei der Besetzung berücksichtigt werden so ein Beispiel. Wenn es eine Funktion der Form y = t g 2 x + 3 t g x + 1 gibt, dann kann sie als komplexe Funktion der Form g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 betrachtet werden . Offensichtlich ist es notwendig, die Formel für die komplexe Ableitung anzuwenden:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Eine Funktion der Form y = t g x 2 + 3 t g x + 1 gilt nicht als komplex, da sie die Summe t g x 2 , 3 t g x und 1 hat. Betrachtet man jedoch t g x 2 als komplexe Funktion, dann erhalten wir eine Potenzfunktion der Form g (x) = x 2 und f, die eine Funktion des Tangens ist. Dazu müssen Sie nach dem Betrag differenzieren. Wir verstehen das

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 weil 2 x

Kommen wir zur Ermittlung der Ableitung einer komplexen Funktion (t g x 2)“:

f „(g (x)) = (t g (g (x)))“ = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g „(x) = (x 2)“ = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Wir erhalten, dass y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexe Funktionen können in komplexen Funktionen enthalten sein, und die komplexen Funktionen selbst können zusammengesetzte Funktionen der komplexen Form sein.

Beispiel 5

Betrachten Sie zum Beispiel eine komplexe Funktion der Form y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Diese Funktion kann als y = f (g (x)) dargestellt werden, wobei der Wert von f eine Funktion des Logarithmus zur Basis 3 ist und g (x) als Summe zweier Funktionen der Form h (x) = betrachtet wird x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 und k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Offensichtlich ist y = f (h (x) + k (x)).

Betrachten Sie die Funktion h(x) . Dies ist das Verhältnis von l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 zu m (x) = e x 2 + 3 3

Wir haben, dass l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) die Summe zweier Funktionen n (x) = x 2 + 7 und p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , wobei p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) eine komplexe Funktion mit ist numerischer Koeffizient 3 , und p 1 ist eine Würfelfunktion, p 2 ist eine Kosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 ist eine lineare Funktion.

Wir haben herausgefunden, dass m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) die Summe zweier Funktionen q (x) = e x 2 und r (x) = 3 3 ist, wobei q (x) = q 1 (q 2 (x)) ist eine komplexe Funktion, q 1 ist eine Funktion mit einem Exponenten, q 2 (x) = x 2 ist eine Potenzfunktion.

Dies zeigt, dass h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3). (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Beim Übergang zu einem Ausdruck der Form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ist klar, dass die Funktion als komplexes s (x) \ dargestellt wird u003d ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) mit ganzzahligem rationalem t (x) = x 2 + 1, wobei s 1 die Quadrierungsfunktion ist und s 2 (x) = ln x logarithmisch zur Basis e ist .

Daraus folgt, dass der Ausdruck die Form annimmt k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Dann verstehen wir das

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Anhand der Strukturen der Funktion wurde deutlich, wie und welche Formeln angewendet werden müssen, um den Ausdruck bei der Differenzierung zu vereinfachen. Zur Information ähnliche Aufgaben und für das Konzept ihrer Lösung ist es notwendig, sich auf den Punkt der Differenzierung einer Funktion zu beziehen, das heißt auf das Finden ihrer Ableitung.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Da Sie hierher gekommen sind, haben Sie diese Formel wahrscheinlich bereits im Lehrbuch gesehen

und mache ein Gesicht wie dieses:

Freund, mach dir keine Sorgen! Tatsächlich ist alles einfach zu beschämen. Du wirst bestimmt alles verstehen. Nur eine Bitte: Lesen Sie den Artikel langsam Versuchen Sie, jeden Schritt zu verstehen. Ich habe so einfach und klar wie möglich geschrieben, aber Sie müssen sich noch mit der Idee befassen. Und lösen Sie unbedingt die Aufgaben aus dem Artikel.

Was ist eine komplexe Funktion?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine andere Wohnung und packen deshalb Dinge in große Kisten. Lassen Sie es notwendig sein, einige kleine Gegenstände, zum Beispiel Schulmaterial, einzusammeln. Wenn man sie einfach in eine riesige Kiste wirft, gehen sie unter anderem verloren. Um dies zu vermeiden, packt man sie beispielsweise zunächst in eine Tüte, die man dann in einen großen Karton steckt und diesen anschließend verschließt. Dieser „schwierigste“ Prozess ist im folgenden Diagramm dargestellt:

Es scheint, woher kommt die Mathematik? Und außerdem entsteht eine komplexe Funktion auf GENAU DIE GLEICHE Weise! Nur „packen“ wir nicht Notizbücher und Stifte, sondern \ (x \), während verschiedene „Pakete“ und „Boxen“ dienen.

Nehmen wir zum Beispiel x und „packen“ es in eine Funktion:

Als Ergebnis erhalten wir natürlich \(\cos⁡x\). Das ist unsere „Tasche voller Sachen“. Und jetzt packen wir es in eine „Box“ – wir packen es zum Beispiel in eine kubische Funktion.

Was wird am Ende passieren? Ja, das stimmt, es wird ein „Paket mit Dingen in einer Kiste“ geben, also „Kosinus von x kubisch“.

Die resultierende Konstruktion ist eine komplexe Funktion. Darin unterscheidet es sich vom einfachen MEHRERE „Auswirkungen“ (Pakete) werden nacheinander auf ein X angewendet und es stellt sich sozusagen „eine Funktion aus einer Funktion“ heraus – „ein Paket in einem Paket“.

IN Schulkurs Es gibt nur sehr wenige Arten dieser „Pakete“, nur vier:

„Packen“ wir nun x zunächst in eine Exponentialfunktion zur Basis 7 und dann in eine trigonometrische Funktion. Wir bekommen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Und jetzt „packen“ wir x zweimal rein trigonometrische Funktionen, zuerst in , und dann in :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Ganz einfach, oder?

Schreiben Sie nun die Funktionen selbst, wobei x:
- Zuerst wird es in einen Kosinus und dann in eine Exponentialfunktion mit der Basis \(3\) „gepackt“;
- zuerst zur fünften Potenz und dann zur Tangente;
- zuerst zum Basislogarithmus \(4\) , dann hoch \(-2\).

Die Antworten auf diese Frage finden Sie am Ende des Artikels.

Aber können wir x nicht zwei-, sondern dreimal „packen“? Kein Problem! Und viermal und fünfmal und fünfundzwanzigmal. Hier ist zum Beispiel eine Funktion, in der x \(4\) mal „gepackt“ wird:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Aber solche Formeln werden in der Schulpraxis nicht zu finden sein (Schüler haben mehr Glück – sie können schwieriger sein☺).

„Auspacken“ einer komplexen Funktion

Schauen Sie sich die vorherige Funktion noch einmal an. Können Sie die Reihenfolge des „Packens“ herausfinden? In was X zuerst gestopft wurde, was dann und so weiter bis zum Schluss. Das heißt, welche Funktion ist in welcher verschachtelt? Nehmen Sie ein Blatt Papier und schreiben Sie auf, was Sie denken. Sie können dies mit einer Pfeilkette tun, wie wir oben geschrieben haben, oder auf andere Weise.

Nun lautet die richtige Antwort: Zuerst wurde x in die \(4\)-te Potenz „gepackt“, dann wurde das Ergebnis in den Sinus gepackt, dieser wiederum wurde in den Logarithmus zur Basis \(2\) gestellt und in Am Ende wurde die gesamte Konstruktion in die Power Fives geschoben.

Das heißt, es ist notwendig, die Sequenz IN UMGEKEHRTER REIHENFOLGE abzuwickeln. Und hier ist ein Hinweis, wie es einfacher geht: Schauen Sie sich einfach das X an – Sie müssen davon tanzen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Hier ist zum Beispiel eine Funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Wir schauen uns X an – was passiert zuerst mit ihm? Von ihm übernommen. Und dann? Der Tangens des Ergebnisses wird genommen. Und die Reihenfolge wird dieselbe sein:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ein weiteres Beispiel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Wir analysieren – zuerst wurde x gewürfelt und dann wurde der Kosinus aus dem Ergebnis abgeleitet. Die Folge lautet also: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Achtung, die Funktion scheint der allerersten zu ähneln (wo mit Bildern). Aber das ist eine ganz andere Funktion: hier im Würfel x (also \(\cos⁡((x x x)))\, und dort im Würfel der Kosinus \(x\) (also \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dieser Unterschied ergibt sich aus unterschiedlichen „Packungs“-Sequenzen.

Das letzte Beispiel (mit wichtige Informationen darin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Offensichtlich wurde hier zuerst das gemacht, was getan wurde. Rechenoperationen mit x, dann wurde aus dem Ergebnis ein Sinus genommen: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Und das wichtiger Punkt: Obwohl arithmetische Operationen an sich keine Funktionen sind, fungieren sie hier auch als eine Möglichkeit zum „Packen“. Lassen Sie uns etwas tiefer in diese Feinheit eintauchen.

Wie ich oben sagte, wird x in einfachen Funktionen einmal und in komplexen Funktionen zwei oder mehr „gepackt“. Darüber hinaus gilt auch jede Kombination einfacher Funktionen (d. h. deren Summe, Differenz, Multiplikation oder Division). einfache Funktion. Beispielsweise ist \(x^7\) eine einfache Funktion, ebenso wie \(ctg x\). Daher sind alle ihre Kombinationen einfache Funktionen:

\(x^7+ ctg x\) - einfach,
\(x^7 ctg x\) ist einfach,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) ist einfach und so weiter.

Wenn jedoch eine weitere Funktion auf eine solche Kombination angewendet wird, handelt es sich bereits um eine komplexe Funktion, da es zwei „Pakete“ gibt. Siehe Zeichnung:

Okay, lasst uns jetzt weitermachen. Schreiben Sie die Reihenfolge der „Wrapping“-Funktionen:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Die Antworten finden Sie noch einmal am Ende des Artikels.

Interne und externe Funktionen

Warum müssen wir die Funktionsverschachtelung verstehen? Was bringt uns das? Der Punkt ist, dass wir ohne eine solche Analyse die Ableitungen der oben diskutierten Funktionen nicht zuverlässig finden können.

Und um weiterzumachen, brauchen wir zwei weitere Konzepte: intern und externe Funktion. Das ist sehr einfache Sache Darüber hinaus haben wir sie oben bereits analysiert: Wenn wir uns an unsere Analogie ganz am Anfang erinnern, dann ist die innere Funktion das „Paket“ und die äußere die „Box“. Diese. Was X zuerst „einschließt“, ist eine interne Funktion, und was das Innere „einschließt“, ist bereits extern. Nun, es ist verständlich, warum – es ist draußen, es bedeutet äußerlich.

Hier in diesem Beispiel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), die Funktion \(\log_2⁡x\) ist intern und
- extern.

Und in diesem Fall: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ist intern und
- extern.

Führen Sie die letzte Übung zur Analyse komplexer Funktionen durch und kommen wir schließlich zu dem Punkt, an dem alles begonnen hat – wir werden Ableitungen komplexer Funktionen finden:

Füllen Sie die Lücken in der Tabelle aus:

Ableitung einer zusammengesetzten Funktion

Bravo für uns, wir sind immer noch beim „Chef“ dieses Themas angelangt – nämlich der Ableitung einer komplexen Funktion und insbesondere bei dieser sehr schrecklichen Formel vom Anfang des Artikels.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Diese Formel liest sich so:

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach der konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

Und schauen Sie sich sofort das Parsing-Schema anhand der Wörter an, um zu verstehen, worauf Sie sich beziehen sollen:

Ich hoffe, dass die Begriffe „Derivat“ und „Produkt“ keine Schwierigkeiten bereiten. " komplexe Funktion„Wir haben es bereits herausgefunden. Der Haken liegt in der „Ableitung einer externen Funktion nach einer konstanten internen Funktion“. Was ist das?

Antwort: Dies ist die übliche Ableitung der äußeren Funktion, bei der sich nur die äußere Funktion ändert, während die innere gleich bleibt. Noch unklar? Okay, nehmen wir ein Beispiel.

Nehmen wir an, wir haben eine Funktion \(y=\sin⁡(x^3)\). Es ist klar, dass die innere Funktion hier \(x^3\) ist und die äußere
. Lassen Sie uns nun die Ableitung des Äußeren nach dem konstanten Inneren finden.