Einfache Brüche mit unterschiedlichen Nennern dividieren. Aktionen mit Brüchen. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln
IN letztes Mal Wir haben gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Brüche addieren und subtrahieren“). Der schwierigste Teil dieser Aktionen bestand darin, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.
Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Gute Nachrichten ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Schauen wir uns zunächst an einfachste Fall wenn es zwei sind positive Brüche ohne einen ausgewählten ganzen Teil.
Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner getrennt multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler neuer Bruch, und der zweite ist der Nenner.
Um zwei Brüche zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch mit dem „invertierten“ zweiten Bruch multiplizieren.
Bezeichnung:
Aus der Definition folgt, dass die Division von Brüchen auf eine Multiplikation reduziert wird. Um einen Bruch umzudrehen, tauschen Sie einfach Zähler und Nenner aus. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.
Durch die Multiplikation kann ein reduzierbarer Bruch entstehen (und entsteht oft auch) – dieser muss natürlich gekürzt werden. Sollte sich nach all den Kürzungen herausstellen, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil hervorgehoben werden. Aber was bei der Multiplikation definitiv nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzmethoden, größte Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.
Per Definition haben wir:
Brüche mit ganzen Teilen und negativen Brüchen multiplizieren
Falls in Bruchteilen vorhanden ganzer Teil, müssen sie in falsche umgewandelt werden – und erst dann nach den oben beschriebenen Schemata multipliziert werden.
Steht im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus, kann es nach folgenden Regeln aus der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:
- Plus durch Minus ergibt Minus;
- Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.
Bisher sind diese Regeln nur bei der Addition und Subtraktion anzutreffen. negative Brüche wenn es notwendig war, ein ganzes Teil loszuwerden. Für eine Arbeit können sie verallgemeinert werden, um mehrere Nachteile gleichzeitig zu „verbrennen“:
- Wir streichen die Negative paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. IN als letztes, ein Minus kann überleben – dasjenige, für das es keinen Partner gab;
- Wenn keine Minuspunkte mehr übrig sind, ist die Operation abgeschlossen – Sie können mit der Multiplikation beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, weil es dafür kein Paar gab, nehmen wir es außerhalb der Multiplikationsgrenzen. Das Ergebnis ist ein negativer Bruch.
Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
Wir wandeln alle Brüche in unechte Brüche um und entfernen dann die Minuspunkte aus der Multiplikation. Wir multiplizieren, was übrig bleibt normale Regeln. Wir bekommen:
Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus, das vor einem Bruch mit hervorgehobenem ganzen Teil erscheint, speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).
Beachten Sie auch negative Zahlen: Beim Multiplizieren werden sie in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.
Brüche im laufenden Betrieb reduzieren
Die Multiplikation ist ein sehr arbeitsintensiver Vorgang. Die Zahlen fallen hier recht groß aus, und um das Problem zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch weiter zu reduzieren vor der Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs reduziert werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:
Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
Per Definition haben wir:
In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.
Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren vollständig reduziert. An ihre Stelle treten Einheiten, die im Allgemeinen nicht geschrieben werden müssen. Im zweiten Beispiel konnte zwar keine vollständige Reduzierung erreicht werden, der Gesamtaufwand an Berechnungen verringerte sich aber dennoch.
Wenden Sie diese Technik jedoch niemals beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen an! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die man einfach reduzieren möchte. Hier, schau:
Das kannst du nicht machen!
Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren der Zähler eines Bruchs eine Summe und kein Produkt von Zahlen ergibt. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da in dieser Eigenschaft wir reden über speziell über das Multiplizieren von Zahlen.
Es gibt einfach keine anderen Gründe, Brüche zu reduzieren richtige Lösung Die vorherige Aufgabe sieht so aus:
Richtige Lösung:
Wie Sie sehen, war die richtige Antwort nicht so schön. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.
) und Nenner für Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).
Formel zur Multiplikation von Brüchen:
Zum Beispiel:
Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch reduziert werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, können Sie weitere Berechnungen einfacher durchführen.
Einen gemeinsamen Bruch durch einen Bruch dividieren.
Division von Brüchen mit natürlichen Zahlen.
Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:
Gemischte Brüche multiplizieren.
Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):
- gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
- Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen;
- Reduziere den Bruch;
- Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.
Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie ihn zunächst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Multiplikationsregel multiplizieren gewöhnliche Brüche.
Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.
Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, bei der ein gemeinsamer Bruch mit einer Zahl multipliziert wird.
Beachten Sie! Einen Bruch mit multiplizieren natürliche Zahl Es ist notwendig, den Nenner des Bruchs durch diese Zahl zu dividieren und den Zähler unverändert zu lassen.
Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.
Mehrstöckige Brüche.
In der Oberstufe trifft man häufig auf dreistöckige (oder mehrstöckige) Brüche. Beispiel:
Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, verwenden Sie die Division durch 2 Punkte:
Beachten Sie! Bei der Division von Brüchen ist die Reihenfolge der Division sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.
Beachten Sie, Zum Beispiel:
Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:
Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:
1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Schreiben Sie lieber ein paar auf zusätzliche Zeilen in einem Entwurf, anstatt sich in mentalen Berechnungen zu verwirren.
2. Bei Aufgaben mit verschiedene Typen Brüche – gehen Sie zur Form gewöhnlicher Brüche über.
3. Wir reduzieren alle Brüche, bis eine Reduzierung nicht mehr möglich ist.
4. Mehrstöckig Bruchausdrücke Wir bringen sie in die gewöhnliche Form, indem wir sie durch zwei Punkte dividieren.
5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.
Für Lösungen mehrere Aufgaben Aus einem Mathematik- und Physikkurs muss man Brüche dividieren. Es ist ganz einfach, wenn man es weiß bestimmte Regeln Führen Sie diese mathematische Operation aus.
Bevor wir mit der Formulierung der Regel zum Teilen von Brüchen fortfahren, erinnern wir uns an einige mathematische Begriffe:
- Der obere Teil des Bruchs wird Zähler genannt, der untere Teil Nenner.
- Beim Dividieren nennt man Zahlen wie folgt: Dividend: Divisor = Quotient
So dividieren Sie Brüche: einfache Brüche
Eine Zweierteilung durchführen einfache Brüche Multiplizieren Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors. Dieser Bruch wird auch invertiert genannt, da er durch Vertauschen von Zähler und Nenner entsteht. Zum Beispiel:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
So dividieren Sie Brüche: gemischte Brüche
Wenn wir gemischte Brüche dividieren müssen, dann ist auch hier alles ganz einfach und klar. Zuerst wandeln wir den gemischten Bruch in einen regelmäßigen unechten Bruch um. Multiplizieren Sie dazu den Nenner eines solchen Bruchs mit einer ganzen Zahl und addieren Sie den Zähler zum resultierenden Produkt. Als Ergebnis haben wir einen neuen Zähler erhalten gemischte Fraktion, und sein Nenner bleibt unverändert. Darüber hinaus erfolgt die Division von Brüchen genauso wie die Division einfacher Brüche. Zum Beispiel:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
So teilen Sie einen Bruch durch eine Zahl
Um einen einfachen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, muss diese als Bruch (unregelmäßig) geschrieben werden. Das geht ganz einfach: Anstelle des Zählers wird diese Zahl geschrieben und der Nenner eines solchen Bruchs gleich eins. Eine weitere Aufteilung wird durchgeführt in gewohnter Weise. Schauen wir uns das anhand eines Beispiels an:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
So dividieren Sie Dezimalzahlen
Oftmals hat ein Erwachsener Schwierigkeiten, eine ganze Zahl oder einen Dezimalbruch ohne die Hilfe eines Taschenrechners durch einen Dezimalbruch zu dividieren.
Also die Aufteilung vornehmen Dezimalzahlen, Sie müssen nur das Komma im Divisor streichen und nicht mehr darauf achten. Im Dividenden muss das Komma genau so viele Stellen nach rechts verschoben werden wie im Bruchteil des Divisors, ggf. mit Nullen. Und sie produzieren weiterhin reguläre Teilung durch eine ganze Zahl. Um dies deutlicher zu machen, betrachten Sie das folgende Beispiel.
T Unterrichtsart: ONZ (Entdeckung neuen Wissens – Nutzung der Technologie der aktivitätsbasierten Lehrmethode).
Grundlegende Ziele:
- Leiten Sie Methoden zur Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl ab;
- Entwickeln Sie die Fähigkeit, einen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren;
- Wiederholen und verstärken Sie die Division von Brüchen;
- Trainieren Sie die Fähigkeit, Brüche zu reduzieren, Probleme zu analysieren und zu lösen.
Material zur Demonstration der Ausrüstung:
1. Aufgaben zur Wissensaktualisierung:
Ausdrücke vergleichen:
Referenz:
2. Probeaufgabe (Einzelaufgabe).
1. Division durchführen:
2. Führen Sie eine Division durch, ohne die gesamte Berechnungskette durchzuführen: .
Standards:
- Wenn Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren, können Sie den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren, den Zähler jedoch gleich lassen.
- Wenn der Zähler durch eine natürliche Zahl teilbar ist, können Sie beim Teilen eines Bruchs durch diese Zahl den Zähler durch die Zahl dividieren und den Nenner gleich lassen.
Während des Unterrichts
I. Motivation (Selbstbestimmung) zu Bildungsaktivitäten.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Sie die Aktualisierung der Anforderungen an den Schüler in Bezug auf Bildungsaktivitäten („Muss“);
- Organisieren Sie studentische Aktivitäten, um thematische Rahmen zu schaffen („Ich kann“);
- Schaffen Sie Bedingungen für die Entwicklung des Schülers innere Bedürfnisse Einbindung in Bildungsaktivitäten („Ich will“).
Organisation Bildungsprozess auf Stufe I.
Guten Tag! Ich freue mich, Sie alle beim Matheunterricht zu sehen. Ich hoffe, es beruht auf Gegenseitigkeit.
Leute, welches neue Wissen habt ihr in der letzten Lektion erworben? (Brüche dividieren).
Rechts. Was hilft Ihnen bei der Division von Brüchen? (Regel, Eigenschaften).
Wo brauchen wir dieses Wissen? (In Beispielen, Gleichungen, Problemen).
Gut gemacht! Du hast die Aufgaben in der letzten Lektion gut gelöst. Möchten Sie heute selbst neues Wissen entdecken? (Ja).
Dann – los geht’s! Und das Motto der Lektion lautet: „Man kann Mathematik nicht lernen, indem man seinem Nachbarn dabei zuschaut!“
II. Wissensaktualisierung und Behebung individueller Schwierigkeiten im Rahmen einer Probehandlung.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Sie die Aktualisierung erlernter Handlungsmethoden, um neues Wissen aufzubauen. Erfassen Sie diese Methoden verbal (in Sprache) und symbolisch (Standard) und verallgemeinern Sie sie;
- Organisieren Sie die Aktualisierung geistiger Operationen und kognitive Prozesse, ausreichend für den Aufbau neuen Wissens;
- Motivieren Sie für eine gerichtliche Maßnahme und deren eigenständige Umsetzung und Begründung;
- Gegenwärtig individuelle Aufgabe für eine Probeaktion und analysieren Sie diese, um neue Bildungsinhalte zu identifizieren;
- Commit organisieren Bildungszweck und Unterrichtsthemen;
- Ausführung organisieren Gerichtsverfahren und die Schwierigkeit beheben;
- Organisieren Sie eine Analyse der eingegangenen Antworten und erfassen Sie individuelle Schwierigkeiten bei der Durchführung oder Begründung einer Probemaßnahme.
Organisation des Bildungsprozesses in Stufe II.
Frontal mit Tablets (einzelne Tafeln).
1. Ausdrücke vergleichen:
(Diese Ausdrücke sind gleich)
Welche interessanten Dinge sind Ihnen aufgefallen? (Zähler und Nenner des Dividenden, Zähler und Nenner des Divisors in jedem Ausdruck werden um die gleiche Anzahl erhöht. Somit werden die Dividenden und Divisoren in den Ausdrücken durch einander gleiche Brüche dargestellt.)
Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks und schreiben Sie ihn auf Ihr Tablet. (2)
Wie kann ich diese Zahl als Bruch schreiben?
Wie haben Sie die Teilungsaktion durchgeführt? (Kinder sprechen die Regel aus, der Lehrer hängt Buchstabensymbole an die Tafel)
2. Berechnen und notieren Sie nur die Ergebnisse:
3. Addieren Sie die Ergebnisse und schreiben Sie die Antwort auf. (2)
Wie heißt die in Aufgabe 3 ermittelte Zahl? (Natürlich)
Glauben Sie, dass Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren können? (Ja, wir werden es versuchen)
Versuche dies.
4. Individuelle (Probe-)Aufgabe.
Division durchführen: (nur Beispiel a)
Nach welcher Regel hast du geteilt? (Nach der Regel der Division von Brüchen durch Brüche)
Teilen Sie nun den Bruch durch eine natürliche Zahl größer als auf einfache Weise, ohne die gesamte Berechnungskette durchzuführen: (Beispiel b). Dafür gebe ich dir 3 Sekunden.
Wer konnte die Aufgabe nicht in 3 Sekunden erledigen?
Wer war es? (Es gibt keine solchen)
Warum? (Wir kennen den Weg nicht)
Was hast du bekommen? (Schwierigkeit)
Was glauben Sie, was wir im Unterricht machen werden? (Dividieren Sie Brüche durch natürliche Zahlen)
Richtig, öffnen Sie Ihre Notizbücher und schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren.“
Warum klingt dieses Thema neu, wenn Sie bereits wissen, wie man Brüche dividiert? (Brauchen Sie einen neuen Weg)
Rechts. Heute werden wir eine Technik etablieren, die die Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl vereinfacht.
III. Identifizieren des Ortes und der Ursache des Problems.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Sie die Wiederherstellung abgeschlossener Vorgänge und dokumentieren Sie (verbal und symbolisch) den Ort – Schritt, Vorgang –, an dem die Schwierigkeit aufgetreten ist;
- Organisieren Sie die Korrelation der Schüleraktionen mit der verwendeten Methode (Algorithmus) und der Aufzeichnung in äußere Rede Ursachen der Schwierigkeit – jene spezifischen Kenntnisse, Fähigkeiten oder Fertigkeiten, die zur Lösung fehlen ursprüngliches Problem einer solchen Art.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe III.
Welche Aufgabe mussten Sie erledigen? (Dividieren Sie einen Bruch durch eine natürliche Zahl, ohne die gesamte Berechnungskette zu durchlaufen)
Was hat Ihnen Schwierigkeiten bereitet? (Konnte mich nicht entscheiden eine kurze Zeit der schnelle Weg)
Welches Ziel setzen wir uns im Unterricht? (Finden Sie eine schnelle Möglichkeit, einen Bruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren)
Was wird Ihnen helfen? (Bereits bekannte Regel Brüche dividieren)
IV. Ein Projekt erstellen, um aus einem Problem herauszukommen.
Zweck der Bühne:
- Klärung des Projektziels;
- Wahl der Methode (Klärung);
- Bestimmung von Mittelwerten (Algorithmus);
- Einen Plan erstellen, um das Ziel zu erreichen.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe IV.
Kehren wir zur Testaufgabe zurück. Sie sagten, Sie hätten nach der Regel zum Teilen von Brüchen dividiert? (Ja)
Ersetzen Sie dazu die natürliche Zahl durch einen Bruch? (Ja)
Welcher Schritt (oder welche Schritte) können Ihrer Meinung nach übersprungen werden?
(Die Lösungskette ist auf der Tafel offen: 
Analysieren Sie und ziehen Sie eine Schlussfolgerung. (Schritt 1)
Wenn es keine Antwort gibt, führen wir Sie durch die Fragen:
Wo bist du gelandet? natürlicher Teiler? (In den Nenner)
Hat sich der Zähler geändert? (Nein)
Welchen Schritt können Sie also „weglassen“? (Schritt 1)
Aktionsplan:
- Multiplizieren Sie den Nenner eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl.
- Wir ändern den Zähler nicht.
- Wir bekommen eine neue Fraktion.
V. Umsetzung des errichteten Projekts.
Zweck der Bühne:
- Organisieren kommunikative Interaktion um das konstruierte Projekt umzusetzen, das auf den Erwerb des fehlenden Wissens abzielt;
- Organisieren Sie die Aufzeichnung der konstruierten Handlungsweise in Sprache und Zeichen (unter Verwendung eines Standards);
- Organisieren Sie die Lösung des ursprünglichen Problems und notieren Sie, wie Sie die Schwierigkeit überwinden können.
- Klärung organisieren allgemein neues Wissen.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe V.
Führen Sie den Testfall nun schnell auf eine neue Art und Weise aus.
Nun konnten Sie die Aufgabe schnell erledigen? (Ja)
Erklären Sie, wie Sie das gemacht haben? (Kinder reden)
Damit haben wir neue Erkenntnisse gewonnen: die Regel zur Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl.
Gut gemacht! Sagen Sie es zu zweit.
Dann spricht ein Schüler zur Klasse. Den Regelalgorithmus legen wir verbal und in Form eines Standards an der Tafel fest.
Geben Sie nun die Buchstabenbezeichnungen ein und schreiben Sie die Formel für unsere Regel auf.
Der Schüler schreibt an die Tafel und nennt die Regel: Wenn man einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert, kann man den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren, den Zähler aber gleich lassen.
(Jeder schreibt die Formel in sein Notizbuch).
Analysieren Sie nun die Entscheidungskette erneut Probeaufgabe, wobei der Antwort besondere Aufmerksamkeit geschenkt wird. Was hast du gemacht? (Der Zähler des Bruchs 15 wurde durch die Zahl 3 dividiert (reduziert))
Was ist das für eine Nummer? (Natürlich, Teiler)
Wie sonst kann man einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren? (Überprüfen Sie: Wenn der Zähler eines Bruchs durch diese natürliche Zahl teilbar ist, können Sie den Zähler durch diese Zahl dividieren, das Ergebnis in den Zähler des neuen Bruchs schreiben und den Nenner gleich lassen.)
Schreiben Sie diese Methode als Formel auf. (Der Schüler schreibt die Regel an die Tafel, während er sie ausspricht. Alle schreiben die Formel in ihr Heft.)
Kehren wir zur ersten Methode zurück. Sie können es verwenden, wenn a:n? (Ja diese allgemeine Methode)
Und wann ist es sinnvoll, die zweite Methode anzuwenden? (Wenn der Zähler eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl geteilt wird)
VI. Primäre Konsolidierung mit Aussprache in der externen Sprache.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Sie die Aneignung einer neuen Vorgehensweise durch Kinder bei der Lösung von Standardproblemen mit ihrer Aussprache in der Außensprache (frontal, paarweise oder in Gruppen).
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe VI.
Berechnen Sie auf eine neue Art:
- Nr. 363 (a; d) – an der Tafel vorgetragen und die Regel verkündet.
- Nr. 363 (e; f) - paarweise mit Prüfung nach Muster.
VII. Selbstständiges Arbeiten mit Selbsttest nach Norm.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Selbstausführung den Studierenden werden Aufgaben für eine neue Art des Handelns gestellt;
- Organisieren Sie einen Selbsttest basierend auf einem Vergleich mit der Norm.
- Basierend auf den Ergebnissen der Ausführung unabhängige Arbeit organisieren Sie die Reflexion über die Aneignung einer neuen Handlungsweise.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe VII.
Berechnen Sie auf eine neue Art:
- Nr. 363 (b; c)
Die Studierenden prüfen anhand der Norm und markieren die Richtigkeit der Ausführung. Fehlerursachen werden analysiert und Fehler behoben.
Der Lehrer fragt die Schüler, die Fehler gemacht haben: Was ist der Grund?
In dieser Phase ist es wichtig, dass jeder Schüler seine Arbeit selbstständig überprüft.
VIII. Einbindung in das Wissenssystem und Wiederholung.
Zweck der Bühne:
- Organisieren Sie die Identifizierung der Anwendungsgrenzen neuen Wissens;
- Organisieren Sie die Wiederholung von Bildungsinhalten, die notwendig sind, um eine sinnvolle Kontinuität sicherzustellen.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe VIII.
Organisation des Bildungsprozesses auf Stufe IX.
1. Dialog:
Leute, welche neuen Erkenntnisse habt ihr heute entdeckt? (Ich habe gelernt, wie man auf einfache Weise einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividiert.)
Formulieren Sie eine allgemeine Methode. (Man sagt)
Auf welche Weise und in welchen Fällen können Sie es verwenden? (Man sagt)
Was ist der Vorteil der neuen Methode?
Haben wir unser Unterrichtsziel erreicht? (Ja)
Mit welchem Wissen haben Sie Ihr Ziel erreicht? (Man sagt)
Hat bei dir alles geklappt?
Was waren die Schwierigkeiten?
2. Hausaufgaben: Abschnitt 3.2.4.; Nr. 365(l, n, o, p); Nr. 370.
3. Lehrer: Ich bin froh, dass heute alle aktiv waren und es geschafft haben, einen Ausweg aus der Schwierigkeit zu finden. Und was am wichtigsten ist: Sie waren keine Nachbarn, als sie ein neues Gebäude eröffneten und errichteten. Danke für die Lektion, Kinder!
UnterrichtsinhalteBrüche mit gleichem Nenner addieren
Es gibt zwei Arten der Addition von Brüchen:
- Brüche mit gleichem Nenner addieren
- Brüche addieren mit verschiedene Nenner
Lassen Sie uns zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern lernen. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:
Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:
Beispiel 2. Addiere Brüche und .
Die Antwort war nein richtiger Bruch. Am Ende der Aufgabe ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil davon auswählen. In unserem Fall lässt sich der ganze Teil leicht isolieren – zwei geteilt durch zwei ergibt eins:
Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an eine Pizza erinnern, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza:
Beispiel 3. Addiere Brüche und .
Auch hier addieren wir die Zähler und lassen den Nenner unverändert:
Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:
Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks 
Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:
Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.
Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht kompliziert. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:
- Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;
Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren
Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.
Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie es haben gleiche Nenner.
Aber Brüche können nicht sofort addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute werden wir uns nur eine davon ansehen, da die anderen Methoden für einen Anfänger möglicherweise kompliziert erscheinen.
Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst die LCM der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten Bruch zusätzlicher Multiplikator. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor.
Anschließend werden Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.
Beispiel 1. Addieren wir die Brüche und
Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6
LCM (2 und 3) = 6
Kommen wir nun zurück zu Brüchen und . Teilen Sie zunächst den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten Sie den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.
Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Machen Sie dazu einen kleinen schrägen Strich über den Bruch und notieren Sie den darüber liegenden Zusatzfaktor:
Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.
Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum zweiten Bruch auf. Wieder machen wir einen kleinen schrägen Strich über den zweiten Bruch und notieren den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:
Jetzt haben wir alles zum Hinzufügen bereit. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:
Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:
Damit ist das Beispiel abgeschlossen. Es stellt sich heraus, hinzuzufügen.
Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man einer Pizza Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:
Auch das Zusammenführen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann mit einem Bild dargestellt werden. Indem wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.
Die erste Zeichnung stellt einen Bruch dar (vier von sechs Teilen), und die zweite Zeichnung stellt einen Bruch dar (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile addieren, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist unechten, daher haben wir den gesamten Teil hervorgehoben. Als Ergebnis bekamen wir (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).
Bitte beachten Sie, was wir beschrieben haben dieses Beispiel zu detailliert. IN Bildungsinstitutionen Es ist nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die gefundenen zusätzlichen Faktoren schnell mit Ihren Zählern und Nennern zu multiplizieren. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:
Aber es gibt auch Rückseite Medaillen. Wenn man sich in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen macht, tauchen solche Fragen auf. „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden Brüche plötzlich zu ganz anderen Brüchen?“ «.
Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:
- Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
- Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
- Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
- Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
- Wenn sich herausstellt, dass die Antwort lautet unechter Bruch, und wählen Sie dann den gesamten Teil aus;
Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks 
.
Nutzen wir die oben gegebenen Anweisungen.
Schritt 1. Ermitteln Sie den LCM der Nenner der Brüche
Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner von Brüchen sind die Zahlen 2, 3 und 4
Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch
Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:
Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:
Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:
Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren
Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit ihren zusätzlichen Faktoren:
Schritt 4. Addiere Brüche mit demselben Nenner
Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Jetzt müssen nur noch diese Brüche addiert werden. Addiere es zusammen:
Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile verschoben, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang der neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) eingefügt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.
Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil davon aus
Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort ein unechter Bruch war. Wir müssen einen ganzen Teil davon hervorheben. Wir heben hervor:
Wir haben eine Antwort erhalten
Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
Es gibt zwei Arten der Subtraktion von Brüchen:
- Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
- Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren
Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren, den Nenner jedoch gleich lassen.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen. Lass uns das machen:
Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:
Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:
Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks 
Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:
Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:
- Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
- Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil davon hervorheben.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren
Sie können beispielsweise einen Bruch von einem Bruch subtrahieren, weil die Brüche den gleichen Nenner haben. Sie können jedoch keinen Bruch von einem Bruch subtrahieren, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.
Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über dem ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über dem zweiten Bruch geschrieben wird.
Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit gleichen Nennern umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.
Beispiel 1. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.
Zuerst ermitteln wir den LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12
LCM (3 und 4) = 12
Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und
Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Schreiben Sie eine Vier über den ersten Bruch:
Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie eine Drei über den zweiten Bruch:
Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:
Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:
Wir haben eine Antwort erhalten
Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizza schneidet, erhält man Pizza
Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:
Auch das Zusammenführen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes veranschaulichen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert):
Das erste Bild zeigt einen Bruch (acht von zwölf Stücken), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Stücken). Indem wir aus acht Stücken drei Stücke schneiden, erhalten wir fünf aus zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks 
Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.
Lassen Sie uns den LCM der Nenner dieser Brüche ermitteln.
Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.
Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:
Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:
Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:
Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:
Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.
Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:
Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruch kürzen.
Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (GCD) der Zahlen 20 und 30 dividieren.
Also finden wir den gcd der Zahlen 20 und 30:
Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd, also durch 10
Wir haben eine Antwort erhalten
Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren
Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.
Beispiel 1. Multiplizieren Sie einen Bruch mit der Zahl 1.
Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1
Die Aufnahme kann als Halbzeitaufnahme verstanden werden. Wer zum Beispiel einmal Pizza isst, bekommt Pizza
Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Faktor vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:
Diese Notation kann so verstanden werden, dass sie die Hälfte von eins nimmt. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4
Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:
Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Wenn Sie beispielsweise 4 Pizzen nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen
Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:
Brüche multiplizieren
Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil davon hervorheben.
Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Wir haben eine Antwort erhalten. Eine Reduzierung ist ratsam gegebener Bruch. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann endgültige Entscheidung wird folgende Form annehmen:
Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:
Wie nimmt man aus dieser Hälfte zwei Drittel? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:
Und nimm zwei von diesen drei Teilen:
Wir machen Pizza. Denken Sie daran, wie Pizza aussieht, wenn sie in drei Teile geteilt wird:
Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:
Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Pizza gleicher Größe. Daher ist der Wert des Ausdrucks
Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:
Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:
Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:
Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, aber es wäre gut, wenn er gekürzt würde. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten Teil dividieren gemeinsamer Teiler(GCD) Nummern 105 und 450.
Lassen Sie uns also den gcd der Zahlen 105 und 450 ermitteln:
Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort durch den ggT, den wir nun gefunden haben, also durch 15
Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch
Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Dies ändert nichts an der Bedeutung von fünf, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie wir wissen, gleich fünf ist:
Reziproke Zahlen
Jetzt werden wir uns sehr kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.
Definition. Umgekehrt zur NummerA ist eine Zahl, die multipliziert mitA gibt einen.
Ersetzen wir in dieser Definition die Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:
Umgekehrt zur Nummer 5 ist eine Zahl, die multipliziert mit 5 gibt einen.
Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Stellen wir uns fünf als Bruch vor:
Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur verkehrt herum:
Was wird dadurch passieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:
Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit multipliziert, erhält man eins.
Der Kehrwert einer Zahl kann auch für jede andere ganze Zahl ermittelt werden.
Sie können auch den Kehrwert jedes anderen Bruchs ermitteln. Drehen Sie es dazu einfach um.
Einen Bruch durch eine Zahl dividieren
Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:
Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viel Pizza bekommt jede Person?
Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Pizza in zwei Hälften zwei gleiche Stücke entstanden, von denen jedes eine Pizza darstellt. So bekommt jeder eine Pizza.
Die Division von Brüchen erfolgt durch Kehrwerte. Reziproke Zahlen ermöglichen es Ihnen, Division durch Multiplikation zu ersetzen.
Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, müssen Sie den Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.
Mit dieser Regel schreiben wir die Aufteilung unserer Pizzahälfte in zwei Teile auf.
Sie müssen also den Bruch durch die Zahl 2 dividieren. Hier ist der Dividend der Bruch und der Divisor die Zahl 2.
Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, müssen Sie diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist der Bruch. Sie müssen also mit multiplizieren
