Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft: Beispiele, Lösungen. Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie

Dieser Artikel offenbart die Ableitung der Gleichung einer Geraden, die durch zwei geht vergebene Punkte in einem rechteckigen Koordinatensystem, das sich auf einer Ebene befindet. Lassen Sie uns die Gleichung einer Geraden herleiten, die durch zwei gegebene Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem verläuft. Wir werden mehrere Beispiele im Zusammenhang mit dem behandelten Material anschaulich zeigen und lösen.

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Bevor man die Gleichung einer Geraden erhält, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, müssen einige Fakten beachtet werden. Es gibt ein Axiom, das besagt, dass es möglich ist, durch zwei divergierende Punkte auf einer Ebene eine gerade Linie zu zeichnen, und zwar nur einen. Mit anderen Worten: Zwei gegebene Punkte auf einer Ebene werden durch eine gerade Linie definiert, die durch diese Punkte verläuft.

Wenn die Ebene durch das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy definiert ist, entspricht jede darin dargestellte Gerade der Gleichung einer Geraden auf der Ebene. Es besteht auch ein Zusammenhang mit dem Richtungsvektor der Geraden. Diese Daten reichen aus, um die Gleichung einer Geraden zu erstellen, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Schauen wir uns das Beispiel einer Lösung an ähnliche Aufgabe. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Gerade a zu erstellen, die durch zwei divergente Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) im kartesischen Koordinatensystem verläuft.

In der kanonischen Gleichung einer Linie auf einer Ebene mit der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y wird ein rechteckiges Koordinatensystem O x y mit einer Linie angegeben, die es in einem Punkt mit den Koordinaten M 1 (x schneidet 1, y 1) mit einem Leitvektor a → = (a x , a y) .

Es ist notwendig, eine kanonische Gleichung einer Geraden a zu erstellen, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft.

Die Gerade a hat einen Richtungsvektor M 1 M 2 → mit Koordinaten (x 2 - x 1, y 2 - y 1), da sie die Punkte M 1 und M 2 schneidet. Wir haben die notwendigen Daten erhalten, um die kanonische Gleichung mit den Koordinaten des Richtungsvektors M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) und den Koordinaten der darauf liegenden Punkte M 1 zu transformieren (x 1, y 1) und M 2 (x 2 , y 2) . Wir erhalten eine Gleichung der Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Betrachten Sie die Abbildung unten.

Nach den Berechnungen schreiben wir parametrische Gleichungen Gerade auf der Ebene, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Schauen wir uns die Lösung einiger Beispiele genauer an.

Beispiel 1

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, die durch 2 gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 verläuft.

Lösung

Die kanonische Gleichung für eine Linie, die sich in zwei Punkten mit den Koordinaten x 1, y 1 und x 2, y 2 schneidet, hat die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Gemäß den Bedingungen des Problems gilt x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Es ist notwendig zu ersetzen numerische Werte in die Gleichung x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Daraus ergibt sich, dass die kanonische Gleichung die Form x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 annimmt.

Antwort: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Wenn Sie ein Problem mit einer anderen Gleichungsart lösen müssen, können Sie zunächst zur kanonischen Gleichung übergehen, da es einfacher ist, von dieser zu jeder anderen Gleichung zu gelangen.

Beispiel 2

Stellen Sie die allgemeine Gleichung einer Geraden auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 1 (1, 1) und M 2 (4, 2) im O x y-Koordinatensystem verläuft.

Lösung

Zuerst müssen Sie die kanonische Gleichung einer gegebenen Geraden aufschreiben, die durch zwei gegebene Punkte verläuft. Wir erhalten eine Gleichung der Form x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Bringen wir die kanonische Gleichung in die gewünschte Form, dann erhalten wir:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Antwort: x - 3 y + 2 = 0 .

Beispiele für solche Aufgaben wurden in besprochen Schulbücher im Algebraunterricht. Schulaufgaben unterschieden sich darin, dass die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten bekannt war und die Form y = k x + b hatte. Wenn Sie den Wert der Steigung k und die Zahl b finden müssen, für die die Gleichung y = k x + b eine Linie im O x y-System definiert, die durch die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 verläuft ( x 2, y 2) , wobei x 1 ≠ x 2. Wenn x 1 = x 2 , Dann Neigung nimmt den Wert Unendlich an und die Gerade M 1 M 2 wird durch das Allgemeine definiert unvollständige Gleichung der Form x - x 1 = 0 .

Denn die Punkte M 1 Und M 2 liegen auf einer Geraden, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung y 1 = k x 1 + b und y 2 = k x 2 + b. Es ist notwendig, das Gleichungssystem y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b nach k und b zu lösen.

Dazu finden wir k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 oder k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Mit diesen Werten von k und b lautet die Gleichung einer Geraden, die durch die gegebenen zwei Punkte verläuft, y = y 2 – y 1 x 2 – x 1 x + y 2 – y 2 – y 1 x 2 – x 1 x 1 oder y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Denken Sie sofort daran große Menge Formeln funktionieren nicht. Dazu ist es notwendig, die Anzahl der Wiederholungen bei der Lösung von Problemen zu erhöhen.

Beispiel 3

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten auf, die durch Punkte mit den Koordinaten M 2 (2, 1) und y = k x + b verläuft.

Lösung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir eine Formel mit einem Winkelkoeffizienten der Form y = k x + b. Die Koeffizienten k und b müssen einen solchen Wert annehmen gegebene Gleichung entsprach einer Geraden, die durch zwei Punkte mit den Koordinaten M 1 (- 7, - 5) und M 2 (2, 1) verläuft.

Punkte M 1 Und M 2 liegen auf einer Geraden, dann müssen ihre Koordinaten die Gleichung y = k x + b umkehren wahre Gleichheit. Daraus erhalten wir - 5 = k · (- 7) + b und 1 = k · 2 + b. Lassen Sie uns die Gleichung zu dem System - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b kombinieren und lösen.

Bei der Auswechslung bekommen wir das

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nun werden die Werte k = 2 3 und b = - 1 3 in die Gleichung y = k x + b eingesetzt. Wir stellen fest, dass die erforderliche Gleichung, die durch die gegebenen Punkte geht, eine Gleichung der Form y = 2 3 x - 1 3 sein wird.

Diese Lösungsmethode bestimmt die Ausgaben große Menge Zeit. Es gibt eine Möglichkeit, die Aufgabe buchstäblich in zwei Schritten zu lösen.

Schreiben wir die kanonische Gleichung der Geraden, die durch M 2 (2, 1) und M 1 (- 7, - 5) verläuft, mit der Form x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Kommen wir nun zur Steigungsgleichung. Wir erhalten: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Antwort: y = 2 3 x - 1 3 .

Wenn es im dreidimensionalen Raum ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z mit zwei gegebenen nicht zusammenfallenden Punkten mit den Koordinaten M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) gibt, die gerade Linie M durch sie gehen 1 M 2 , es ist notwendig, die Gleichung dieser Linie zu erhalten.

Wir haben kanonische Gleichungen der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z und parametrischer Typ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ können eine Linie im Koordinatensystem O x y z definieren, die durch Punkte mit den Koordinaten (x 1 , y 1 , z 1) verläuft ) mit einem Richtungsvektor a → = (a x , a y , a z) .

Gerade M 1 M 2 hat einen Richtungsvektor der Form M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), wobei die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2 , y 2 , z 2), daher kann die kanonische Gleichung die Form haben x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 oder x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, wiederum parametrisch x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ oder x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Betrachten Sie eine Zeichnung, die zwei gegebene Punkte im Raum und die Gleichung einer geraden Linie zeigt.

Beispiel 4

Schreiben Sie die Gleichung einer Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y z des dreidimensionalen Raums definiert ist und durch zwei gegebene Punkte mit den Koordinaten M 1 (2, - 3, 0) und M 2 (1, - 3, - 5) verläuft.

Lösung

Es ist notwendig, die kanonische Gleichung zu finden. Als wir reden überüber den dreidimensionalen Raum, was bedeutet, dass, wenn eine gerade Linie durch bestimmte Punkte verläuft, die gewünschte kanonische Gleichung die Form x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 annimmt z 2 - z 1 .

Als Bedingung gilt: x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Daraus folgt, dass die notwendigen Gleichungen wie folgt geschrieben werden:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Antwort: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene, nicht zusammenfallende Punkte verläuft und

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68. Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien. Abstand vom Punkt zur Linie

Zwei durch Gleichungen gegebene Linien

Diese Geraden sind parallel, wenn A 1 B 2 − A 2 B 1 = 0 oder k 1 = k 2 und

senkrecht wenn A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 oder

Punktabstand A(X 1 , j 1) zur Geraden Axt + Von + C= 0 ist die Länge der Senkrechten, die von diesem Punkt auf die Gerade fällt. Es wird durch die Formel bestimmt

69. Kartesisches Koordinatensystem. Methoden zur Definition von Oberflächen. Allgemeine Gleichung einer Fläche im Raum.

KARTESISCHES Koordinatensystem, ein geradliniges Koordinatensystem in einer Ebene oder im Raum (normalerweise mit zueinander senkrechten Achsen und gleichen Maßstäben entlang der Achsen). Benannt nach R. Descartes ( cm. DESCARTES René).
Descartes war der erste, der ein Koordinatensystem einführte, das sich deutlich von dem heute allgemein akzeptierten unterschied. Um ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem zu definieren, werden zueinander senkrechte Geraden, sogenannte Achsen, ausgewählt. Axialer Schnittpunkt Ö Ursprung genannt. Auf jeder Achse wird eine positive Richtung angegeben und eine Skalierungseinheit ausgewählt. Punktkoordinaten P werden als positiv oder negativ betrachtet, je nachdem, auf welche Halbachse die Projektion des Punktes fällt P.

Die Methode zum Definieren einer Oberfläche mit einem Linienrahmen wird Drahtmodell genannt.

Die analytische Methode zur Spezifizierung eines Oberflächenfundes Breite Anwendung in der Praxis, insbesondere wenn Sie recherchieren müssen interne Eigenschaften Oberflächen. Bei der Gestaltung von Oberflächen technische Formen und deren Reproduktion auf Maschinen mit programmgesteuert Grafik und analytische Methoden Oberflächen definieren.

Flächen werden als eine Menge von Punkten und Linien betrachtet. Die Koordinaten der Punkte dieser Menge erfüllen eine bestimmte gegebene Gleichung der Form F(x, y, z) = 0.

Eine algebraische Fläche der Ordnung n ist eine Fläche, deren Gleichung lautet algebraische Gleichung Grad n.

Grafische Methode Oberflächen definieren.

Methoden analytische Aufgabe

1. - vektorparametrische Gleichung.

2. - parametrische Gleichungen.

3. - explizite Gleichung.

4. - implizite Gleichung.

Jede Gleichung, die die x-, y- und z-Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Oberfläche in Beziehung setzt, ist eine Gleichung dieser Oberfläche. Damit eine einzelne Ebene durch drei beliebige Punkte im Raum gezeichnet werden kann, ist es notwendig, dass diese Punkte nicht auf derselben Geraden liegen.

Betrachten Sie die Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) im allgemeinen kartesischen Koordinatensystem. Damit beliebiger Punkt M(x, y, z) liegt in derselben Ebene mit den Punkten M 1, M 2, M 3, es ist notwendig, dass die Vektoren waren koplanar. ( ) = 0 Somit gilt Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

70. Allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum. Gleichung einer Ebene in Segmenten

Wohnung ist eine Oberfläche, deren Punktgewichte die allgemeine Gleichung erfüllen:

Ax + By + Cz + D = 0,

wobei A, B, C Vektorkoordinaten sind -Vektor Normalen zum Flugzeug.

Folgende Sonderfälle sind möglich:

A = 0 – die Ebene ist parallel zur Ox-Achse

B = 0 – Ebene parallel zur Oy-Achse

C = 0 – Ebene parallel zur Oz-Achse

D = 0 – die Ebene geht durch den Ursprung

A = B = 0 – die Ebene ist parallel xOy-Flugzeug

A = C = 0 – die Ebene ist parallel zur xOz-Ebene

B = C = 0 – die Ebene ist parallel zur yOz-Ebene

A = D = 0 – die Ebene geht durch die Ox-Achse

B = D = 0 – die Ebene geht durch die Oy-Achse

Teilen eines Segments in einem bestimmten Verhältnis.

Betrachten wir zwei im Raum verschiedene Punkte M 1 und M 2 und die durch diese Punkte definierte Linie. Wählen wir auf dieser Geraden eine bestimmte Richtung. Auf der resultierenden Achse definieren die Punkte M 1 und M 2 das gerichtete Segment M 1 M 2. Sei M ein beliebiger Punkt, der von M 2 verschieden ist angegebene Achse. Nummer

l=M 1 M/MM 2 (*)

angerufen Beziehung, in der Punkt M das gerichtete Segment M 1 M 2 teilt. Somit teilt jeder von M 2 verschiedene Punkt M das Segment M 1 M 2 in einem bestimmten Verhältnis l, wobei l durch Gleichheit (*) bestimmt wird.

Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten.

Gegeben seien zwei Zeilen und , (). Wenn dann, dann kann der Winkel zwischen diesen Linien aus der Formel ermittelt werden

Wenn , dann stehen die Geraden senkrecht.

Nachweisen. Wie aus bekannt ist Schulkurs Mathematik, Steigung in der Gleichung einer Geraden gleich Tangente der Neigungswinkel der Geraden zur Achse. Aus Abb. 11.10 es ist klar, dass .

Seitdem, dann, wenn die Gleichheit gilt

was die Formel ergibt

Wenn, dann , Wo

Daher und .

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Beweisen wir zunächst, dass, wenn auf der Ebene Π eine beliebige Gerade L und ein festes beliebiges kartesisches Rechtecksystem Oxy gegeben sind, die Gerade L in diesem System durch eine Gleichung ersten Grades definiert ist.

Es genügt zu beweisen, dass die Gerade L für jede spezielle Wahl eines kartesischen Rechtecksystems auf der Ebene P durch eine Gleichung ersten Grades bestimmt wird, denn dann wird sie für jede beliebige Wahl durch eine Gleichung ersten Grades bestimmt eines kartesischen Rechtecksystems auf der Ebene P. Richten wir die Ox-Achse entlang der Geraden L, und die Oy-Achse steht senkrecht dazu. Dann ist die Geradengleichung eine Gleichung ersten Grades y=0. Tatsächlich wird diese Gleichung durch die Koordinaten jedes Punktes erfüllt, der auf der Linie L liegt, und nicht durch die Koordinaten eines Punktes, der nicht auf der Linie L liegt.

Beweisen wir nun, dass, wenn ein beliebiges kartesisches System Oxy auf der Ebene Π fixiert ist, jede Gleichung ersten Grades mit zwei Variablen x und y eine Gerade in Bezug auf dieses System definiert.

Lassen Sie in der Tat einen willkürlichen Kartesianer rechteckiges System Oxy und gegeben eine Gleichung ersten Grades Ax+By+c=0, in der A B C beliebige Konstanten sind und von den Konstanten A und B mindestens eine von 0 verschieden ist. Die Gleichung hat offensichtlich mindestens eine Lösung x0 und y0 , d.h. e. Es gibt mindestens einen Punkt M(x 0, y 0), dessen Koordinaten die Gleichung Ax 0 +By 0 +C=0 erfüllen. Subtrahieren wir von der Gleichung ersten Grades die Gleichung, in der der Punkt M(x 0, y 0) eingesetzt wird, erhalten wir die Gleichung: A(x- x 0) + B(y- y 0) = 0 (1), äquivalent zur Gleichung ersten Grades. Es genügt zu beweisen, dass die Gleichung relativ zum System eine bestimmte Gerade definiert. Wir werden beweisen, dass Gleichung (1) eine gerade Linie L definiert, die durch den Punkt M(x 0, y 0) und geht senkrecht zum Vektor n=(A,B). Wenn der Punkt M(x,y) tatsächlich auf der angegebenen Geraden L liegt, dann erfüllen seine Koordinaten die Gleichung (1), denn in diesem Fall sind die Vektoren n=(A,B) und M 0 M=(x-x 0, y- y 0) orthogonal und ihre Skalarprodukt A(x- x 0)+B(y- y 0) ist gleich Null. Wenn der Punkt M(x,y) nicht auf der angegebenen Geraden liegt, erfüllen seine Koordinaten Gleichung (1) nicht, da in diesem Fall die Vektoren n=(A,B) und M 0 M=(x-x 0, y-y 0 ) sind nicht orthogonal und daher ist ihr Skalarprodukt ungleich Null. Die Aussage ist bewiesen

Man nennt die Gleichung Ax+By+C=0 mit beliebigen Koeffizienten AB und C, sodass A und B nicht gleichzeitig gleich Null sind allgemeine Gleichung gerade. Wir haben bewiesen, dass die durch die allgemeine Gleichung Ax+By+C=0 definierte Linie orthogonal zum Vektor n=(A,B) ist. Wir nennen diesen letzten Vektor Normalenvektor gerade.

Kanonische Gleichung gerade. Jeder Vektor ungleich Null, der parallel zu einer bestimmten Linie verläuft, wird als Richtungsvektor dieser Linie bezeichnet. Stellen wir uns die Aufgabe: Finden Sie die Gleichung der durchgehenden Geraden dieser Punkt M 1 (x 1,y 1) und mit einem gegebenen Richtungsvektor q=(l,m). Offensichtlich liegt der Punkt M(x,y) genau dann auf der angegebenen Geraden, wenn die Vektoren M 1 M=(x-x 1, y-y 1) und q=(m,l) kollinear sind, genau dann, wenn die Koordinaten von diese Vektoren sind proportional, d.h.

Lassen Sie uns nun überlegen vollständige Gleichung Ebene und zeigen Sie, dass es reduziert werden kann nächste Ansicht. , die Gleichung der Ebene „in Segmenten“ genannt. Da die Koeffizienten A B C ungleich Null sind, können wir die Gleichung in Form von umschreiben und setzen Sie dann A=-C/A b=-C/B. In der Gleichung der Ebene haben die Zahlen a, b in den Segmenten eine Primzahl geometrische Bedeutung: Sie entsprechen den Werten der Segmente, die die Ebene auf der Ox- bzw. Oy-Achse abschneidet (die Segmente werden vom Koordinatenursprung aus gemessen). Um dies zu überprüfen, reicht es aus, die Schnittpunkte der durch die Geradengleichung definierten Geraden in Segmenten mit Koordinatenachsen zu finden. Beispielsweise wird der Schnittpunkt mit der Ox-Achse aus einer gemeinsamen Betrachtung der Geradengleichung in Segmenten mit der Gleichung y = 0 der Ox-Achse ermittelt. Wir erhalten die Koordinaten des Schnittpunkts x=a y=0. Ebenso wird festgestellt, dass die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse die Form x=0 und y=b haben.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2)