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Welche Zahlen sind rational? Definition und Beispiele rationaler Zahlen. Gegensätzliche rationale Zahlen

Definition rationaler Zahlen:

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann. Der Zähler eines solchen Bruchs gehört zur Menge der ganzen Zahlen und der Nenner gehört zur Menge der natürlichen Zahlen.

Warum heißen Zahlen rational?

Ratio bedeutet im Lateinischen Verhältnis. Rationale Zahlen kann als Relation dargestellt werden, d.h. mit anderen Worten, als Bruch.

Beispiel für eine rationale Zahl

Die Zahl 2/3 ist eine rationale Zahl. Warum? Diese Zahl wird als Bruch dargestellt, dessen Zähler zur Menge der ganzen Zahlen und dessen Nenner zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Weitere Beispiele für rationale Zahlen finden Sie im Artikel.

Gleiche rationale Zahlen

Verschiedene Brüche kann eine rationale Zahl darstellen.

Betrachten Sie die rationale Zahl 3/5. Diese rationale Zahl ist gleich

Reduzieren wir Zähler und Nenner um gemeinsamer Multiplikator 2:

6	=	2 * 3	=	3
10	=	2 * 5	=	5

Wir haben den Bruch 3/5, was das bedeutet

Rationale Zahlen

Viertel

Ordentlichkeit. A Und B Es gibt eine Regel, die es Ihnen ermöglicht, eine und nur eine von drei Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „< », « >„ oder „ = „. Diese Regel heißt Bestellregel und ist wie folgt formuliert: zwei nicht negative Zahlen und stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen A Und B durch die gleiche Beziehung wie die beiden verbunden nichtnegative Zahlen Und ; wenn plötzlich A nicht negativ, aber B- also negativ A > B. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Brüche hinzufügen
Additionsvorgang. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Summationsregel C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen Menge Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat nächste Ansicht: .
Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B es gibt ein sogenanntes Multiplikationsregel, was ihnen eine rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C angerufen arbeiten Zahlen A Und B und wird mit bezeichnet, und der Vorgang, eine solche Zahl zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel sieht so aus: .
Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen A , B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C. 6435">Kommutativität der Addition. Das Ändern der Stellen rationaler Terme ändert nicht die Summe.
Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die beim Hinzufügen jede andere rationale Zahl beibehält.
Verfügbarkeit entgegengesetzte Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, deren Addition 0 ergibt.
Kommutativität der Multiplikation. Von wechselnden Orten rationale Faktoren Die Arbeit ändert sich nicht.
Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Verfügbarkeit der Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei der Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
Vorhandensein reziproker Zahlen. Jede rationale Zahl hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation mit 1 ergibt.
Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation wird durch das Verteilungsgesetz mit der Additionsoperation koordiniert:
Zusammenhang der Ordnungsrelation mit der Additionsoperation. Nach links und rechte Seite rationale Ungleichheit Sie können dieselbe rationale Zahl hinzufügen. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A, Sie können so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe größer ist A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften rationaler Zahlen werden nicht als grundlegende Eigenschaften unterschieden, da sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen Grundeigenschaften oder direkt durch die Definition eines mathematischen Objekts nachgewiesen werden können . Solch zusätzliche Eigenschaften sehr viel. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon aufzulisten.

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Abzählbarkeit einer Menge

Nummerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl rationaler Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge ermitteln. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu reicht es aus, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen sieht so aus. Auf jedem wird eine endlose Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem J die Spalte, in der sich der Bruch befindet. Aus Gründen der Bestimmtheit wird davon ausgegangen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle beginnend mit eins nummeriert sind. Tabellenzellen werden mit , bezeichnet ich- die Nummer der Tabellenzeile, in der sich die Zelle befindet, und J- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird mit einer „Schlange“ gemäß dem folgenden formalen Algorithmus durchlaufen.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird basierend auf der ersten Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Durchlauf wird jede neue rationale Zahl einer anderen natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, der Bruch 1/1 wird der Zahl 1 zugeordnet, der Bruch 2/1 der Zahl 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Formales Zeichen Irreduzibilität ist die Gleichheit des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner des Bruchs mit eins.

Mit diesem Algorithmus können wir alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuordnet. Das. Auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen abzählbar. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch als Vereinigung abzählbar zählbare Menge mit endlich.

Die Aussage über die Abzählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag einige Verwirrung stiften, da sie auf den ersten Blick viel umfangreicher zu sein scheint als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks kann nicht durch eine rationale Zahl ausgedrückt werden

Rationale Zahlen der Form 1 / N im Großen und Ganzen N Es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache schafft irreführender Eindruck dass mit rationalen Zahlen beliebige geometrische Abstände gemessen werden können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Anmerkungen

Literatur

I. Kushnir. Handbuch der Mathematik für Schüler. - Kiew: ASTARTA, 1998. - 520 S.
P. S. Alexandrow. Einführung in die Mengenlehre und allgemeine Topologie. - M.: Kapitel. Hrsg. Physik und Mathematik zündete. Hrsg. „Wissenschaft“, 1977
I. L. Chmelnizki. Einführung in die Theorie algebraischer Systeme

Links

Wikimedia-Stiftung. 2010.

In diesem Abschnitt geben wir mehrere Definitionen rationaler Zahlen. Trotz der unterschiedlichen Formulierungen haben alle diese Definitionen die gleiche Bedeutung: Rationale Zahlen kombinieren ganze Zahlen und Bruchzahlen, so wie ganze Zahlen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze und die Zahl Null kombinieren. Mit anderen Worten: Rationale Zahlen verallgemeinern ganze und gebrochene Zahlen.

Lass uns beginnen mit Definitionen rationaler Zahlen, was am natürlichsten wahrgenommen wird.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die positiv geschrieben werden können gemeinsamer Bruch, ein negativer gemeinsamer Bruch oder die Zahl Null.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass eine rationale Zahl ist:

Jede natürliche Zahl N. Tatsächlich können Sie jede natürliche Zahl als gewöhnlichen Bruch darstellen, zum Beispiel 3=3/1 .

· Jede ganze Zahl, insbesondere die Zahl Null. Tatsächlich kann jede ganze Zahl entweder als positiver Bruch, als negativer Bruch oder als Null geschrieben werden. Zum Beispiel, 26=26/1 , .

· Jeder gemeinsame Bruch (positiv oder negativ). Dies wird direkt durch die gegebene Definition rationaler Zahlen bestätigt.

· Beliebig gemischte Zahl. Tatsächlich kann man eine gemischte Zahl immer als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel, und.

· Irgendein Finale Dezimal oder unendlich periodischer Bruch. Dies liegt daran, dass die angegebenen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Zum Beispiel ein 0,(3)=1/3 .

Es ist auch klar, dass jeder unendliche nichtperiodische Dezimalbruch KEINE rationale Zahl ist, da er nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.

Jetzt können wir ganz einfach geben Beispiele für rationale Zahlen. Zahlen 4 ,903 , 100 321 sind rationale Zahlen, weil sie natürliche Zahlen sind. Ganze Zahlen 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sind auch Beispiele für rationale Zahlen. Gemeinsame Brüche 4/9 , 99/3 sind ebenfalls Beispiele für rationale Zahlen. Auch rationale Zahlen sind Zahlen.

Aus den obigen Beispielen wird deutlich, dass es sowohl positive als auch negative rationale Zahlen gibt und die rationale Zahl Null weder positiv noch negativ ist.

Die obige Definition rationaler Zahlen kann prägnanter formuliert werden.

Definition.

Rationale Zahlen Nennen Sie Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können z/n, Wo z ist eine ganze Zahl und N- natürliche Zahl.

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Definition rationaler Zahlen der vorherigen Definition entspricht. Wir wissen, dass wir die Gerade eines Bruchs als Divisionszeichen betrachten können. Aus den Eigenschaften der Division ganzer Zahlen und den Regeln zur Division ganzer Zahlen folgt dann die Gültigkeit der folgenden Gleichheiten. Das ist also der Beweis.

Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben, die auf basieren diese Definition. Zahlen −5 , 0 , 3 , und sind rationale Zahlen, da sie als Brüche mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner der Form bzw. geschrieben werden können.

Die Definition rationaler Zahlen kann in der folgenden Formulierung gegeben werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden können.

Diese Definition entspricht auch der ersten Definition, da jeder gewöhnliche Bruch einem endlichen oder periodischen Dezimalbruch entspricht und umgekehrt und jede ganze Zahl einem Dezimalbruch mit Nullen nach dem Dezimalpunkt zugeordnet werden kann.

Zum Beispiel Zahlen 5 , 0 , −13 sind Beispiele für rationale Zahlen, da sie als die folgenden Dezimalbrüche geschrieben werden können 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 Und −7,(18) .

Lassen Sie uns die Theorie zu diesem Punkt beenden die folgenden Aussagen:

· Ganze Zahlen und Brüche (positiv und negativ) bilden die Menge der rationalen Zahlen;

· jede rationale Zahl kann als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine bestimmte rationale Zahl dar;

· Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden, und jeder dieser Brüche repräsentiert eine bestimmte rationale Zahl.

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Die Addition positiver rationaler Zahlen ist kommutativ und assoziativ,

("a, b О Q +) a + b= b + a;

("a, b, c О Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Bevor Sie die Definition der Multiplikation positiver rationaler Zahlen formulieren, berücksichtigen Sie Folgendes nächste Aufgabe: Es ist bekannt, dass die Länge eines Segments X als Bruch mit der Längeneinheit E ausgedrückt wird und die Länge eines Einheitssegments mit der Einheit E 1 gemessen und als Bruch ausgedrückt wird. Wie finde ich die Zahl, die die Länge des Segments X darstellt, wenn es in der Längeneinheit E 1 gemessen wird?

Da X = E, dann ist nX = mE, und aus der Tatsache, dass E = E 1, folgt qE = pE 1. Multiplizieren wir die erste erhaltene Gleichung mit q und die zweite mit m. Dann ist (nq)X = (mq)E und (mq)E= (mp)E 1, woraus (nq)X= (mp)E 1. Diese Gleichung zeigt, dass die Länge des Segments x mit einer Einheitslänge ausgedrückt wird als Bruch, was bedeutet , =, d.h. Bei der Multiplikation von Brüchen geht es darum, bei der Messung der Länge desselben Segments von einer Längeneinheit zur anderen zu wechseln.

Definition: Wenn eine positive Zahl a durch einen Bruch dargestellt wird und eine positive rationale Zahl b ein Bruch ist, dann ist ihr Produkt die Zahl a b, die durch einen Bruch dargestellt wird.

Positive rationale Zahlen multiplizieren kommutativ, assoziativ und distributiv in Bezug auf Addition und Subtraktion. Der Beweis dieser Eigenschaften basiert auf der Definition der Multiplikation und Addition positiver rationaler Zahlen sowie auf den entsprechenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen.

46. Wie bekannt Subtraktion- Dies ist die entgegengesetzte Wirkung der Addition.

Wenn A Und B - positive Zahlen, dann bedeutet das Subtrahieren der Zahl b von der Zahl a, eine Zahl c zu finden, die, wenn sie zur Zahl b addiert wird, die Zahl a ergibt.
a - b = c oder c + b = a
Die Definition der Subtraktion gilt für alle rationalen Zahlen. Das heißt, die Subtraktion positiver und negativer Zahlen kann durch Addition ersetzt werden.
Um eine andere von einer Zahl zu subtrahieren, müssen Sie die entgegengesetzte Zahl zu der zu subtrahierenden Zahl addieren.
Oder anders ausgedrückt: Das Subtrahieren der Zahl b ist dasselbe wie die Addition, allerdings mit der entgegengesetzten Zahl zu b.
a - b = a + (- b)
Beispiel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Beispiel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Es lohnt sich, sich die folgenden Ausdrücke zu merken.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Regeln zum Subtrahieren negativer Zahlen
Das Subtrahieren einer Zahl b bedeutet, sie mit der entgegengesetzten Zahl von b zu addieren.
Diese Regel gilt nicht nur für die Subtraktion einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl, sondern ermöglicht auch die Subtraktion von einer kleineren Zahl größere Zahl, das heißt, Sie können immer die Differenz zwischen zwei Zahlen finden.
Die Differenz kann eine positive Zahl, eine negative Zahl oder eine Nullzahl sein.
Beispiele für die Subtraktion negativer und positiver Zahlen.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Es ist praktisch, sich die Vorzeichenregel zu merken, mit der Sie die Anzahl der Klammern reduzieren können.
Das Pluszeichen ändert das Vorzeichen der Zahl nicht. Wenn also vor der Klammer ein Pluszeichen steht, ändert sich das Vorzeichen in der Klammer nicht.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen der Zahl in der Klammer um.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Aus den Gleichheiten geht hervor, dass wir bei identischen Vorzeichen vor und innerhalb der Klammern ein „+“ erhalten und bei unterschiedlichen Vorzeichen ein „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Die Vorzeichenregel bleibt auch dann erhalten, wenn nicht eine Zahl in Klammern steht, sondern algebraische Summe Zahlen.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Bitte beachten Sie, dass bei mehreren Zahlen in Klammern und einem Minuszeichen vor den Klammern die Vorzeichen vor allen Zahlen in diesen Klammern geändert werden müssen.
Um sich an die Vorzeichenregel zu erinnern, können Sie eine Tabelle zur Bestimmung der Vorzeichen einer Zahl erstellen.
Vorzeichenregel für Zahlen+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Oder lernen Sie eine einfache Regel.
Zwei Negative ergeben ein Bejahendes,
Plus mal Minus ergibt Minus.

Regeln zum Teilen negativer Zahlen.
Um den Modul eines Quotienten zu ermitteln, müssen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors dividieren.
Also zwei Zahlen dividieren durch identische Zeichen, notwendig:

· der Modul des Dividenden wird durch den Modul des Divisors dividiert;

· Setzen Sie vor dem Ergebnis ein „+“-Zeichen.

Beispiele für die Division von Zahlen mit verschiedene Zeichen:

Sie können das Quotientenzeichen auch anhand der folgenden Tabelle ermitteln.
Zeichenregel für die Teilung
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Bei der Berechnung „langer“ Ausdrücke, in denen nur Multiplikation und Division vorkommen, ist es sehr praktisch, die Vorzeichenregel zu verwenden. Zum Beispiel um einen Bruch zu berechnen
Bitte beachten Sie, dass der Zähler zwei Minuszeichen hat, die bei Multiplikation ein Plus ergeben. Es gibt auch drei Minuszeichen im Nenner, die multipliziert ein Minuszeichen ergeben. Daher wird das Ergebnis am Ende mit einem Minuszeichen ausfallen.
Einen Bruch reduzieren ( Weitere Maßnahmen mit Moduli von Zahlen) wird auf die gleiche Weise wie zuvor durchgeführt:
Der Quotient aus Null dividiert durch eine Zahl ungleich Null ist Null.
0: a = 0, a ≠ 0
Sie können NICHT durch Null dividieren!
Alle bisher bekannten Regeln der Division durch eins gelten auch für die Menge der rationalen Zahlen.
ein: 1 = ein
a: (- 1) = - a
a: a = 1, wobei a eine beliebige rationale Zahl ist.
Die für positive Zahlen bekannten Beziehungen zwischen den Ergebnissen der Multiplikation und Division bleiben für alle rationalen Zahlen (außer Null) gleich:
wenn a × b = c; a = c: b; b = c: a;
wenn a: b = c; a = c × b; b = a: c
Diese Abhängigkeiten werden zum Suchen verwendet unbekannter Multiplikator, Dividend und Divisor (beim Lösen von Gleichungen) sowie zur Überprüfung der Ergebnisse von Multiplikation und Division.
Ein Beispiel für das Finden des Unbekannten.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Verwandte Informationen.

) sind Zahlen mit positivem oder negatives Zeichen(Ganzzahlen und Brüche) und Null. Mehr genaues Konzept Rationale Zahlen klingen so:

Rationale Zahl- die dargestellte Zahl gewöhnlicher Bruch m/n, wobei der Zähler M sind ganze Zahlen und der Nenner N- ganze Zahlen, zum Beispiel 2/3.

Unendliche nichtperiodische Brüche sind NICHT in der Menge der rationalen Zahlen enthalten.

a/b, Wo A∈ Z (A gehört zu ganzen Zahlen), B∈ N (B gehört zu den natürlichen Zahlen).

Verwendung rationaler Zahlen im wirklichen Leben.

IN wahres Leben die Menge der rationalen Zahlen wird verwendet, um die Teile einiger ganzzahliger teilbarer Objekte zu zählen, Zum Beispiel, Kuchen oder andere Lebensmittel, die vor dem Verzehr in Stücke geschnitten werden, oder zur groben Schätzung räumliche Beziehungen erweiterte Objekte.

Eigenschaften rationaler Zahlen.

Grundlegende Eigenschaften rationaler Zahlen.

1. Ordentlichkeit A Und B Es gibt eine Regel, die es Ihnen ermöglicht, 1 und nur eine von 3 Beziehungen zwischen ihnen eindeutig zu identifizieren: „<», «>" oder "=". Diese Regel ist - Bestellregel und formuliere es so:

2 positive Zahlen a=m a /n a Und b=m b /n b stehen in derselben Beziehung wie zwei ganze Zahlen m a⋅ nb Und m b⋅ n / A;
2 negative Zahlen A Und B hängen im gleichen Verhältnis zusammen wie zwei positive Zahlen |b| Und |a|;
Wann A positiv und B- also negativ a>b.

∀ a,b∈ F(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Additionsvorgang. Für alle rationalen Zahlen A Und B Es gibt Summationsregel, was ihnen eine bestimmte rationale Zahl zuweist C. Darüber hinaus die Nummer selbst C- Das Summe Zahlen A Und B und es wird bezeichnet als (a+b) Summe.

Summationsregel sieht so aus:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ n / A)/(n / A⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Multiplikationsoperation. Für alle rationalen Zahlen A Und B Es gibt Multiplikationsregel, es ordnet sie einer bestimmten rationalen Zahl zu C. Die Zahl c heißt arbeiten Zahlen A Und B und bezeichnen (a⋅b), und der Prozess zum Finden dieser Nummer wird aufgerufen Multiplikation.

Multiplikationsregel sieht so aus: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Transitivität der Ordnungsrelation. Für drei beliebige rationale Zahlen A, B Und C Wenn A weniger B Und B weniger C, Das A weniger C, und wenn A gleicht B Und B gleicht C, Das A gleicht C.

∀ ABC∈ F(a ∧ B ⇒ A ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Kommutativität der Addition. Durch eine Änderung der Stellen der rationalen Terme ändert sich die Summe nicht.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Additionsassoziativität. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

∀ ABC∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Anwesenheit von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, sie behält jede andere rationale Zahl bei, wenn sie hinzugefügt wird.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Q a+0=a

8. Vorhandensein entgegengesetzter Zahlen. Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine entgegengesetzte rationale Zahl, und wenn diese addiert werden, ist das Ergebnis 0.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Kommutativität der Multiplikation. Das Ändern der Orte rationaler Faktoren verändert das Produkt nicht.

∀ a,b∈ F. a⋅ b=b⋅ A

10. Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

∀ ABC∈ F(a⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Verfügbarkeit der Einheiten. Es gibt eine rationale Zahl 1, sie behält jede andere rationale Zahl im Prozess der Multiplikation bei.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ F. a⋅ 1=a

12. Verfügbarkeit reziproke Zahlen . Jede rationale Zahl außer Null hat eine inverse rationale Zahl, deren Multiplikation 1 ergibt .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ F. a⋅ a−1=1

13. Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition. Die Multiplikationsoperation hängt mit der Addition unter Verwendung des Distributivgesetzes zusammen:

∀ ABC∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Zusammenhang zwischen der Ordnungsrelation und der Additionsoperation. Auf der linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung wird die gleiche rationale Zahl addiert.

∀ ABC∈ F. a ⇒ a+c

15. Zusammenhang zwischen der Ordnungsrelation und der Multiplikationsoperation. Die linke und rechte Seite einer rationalen Ungleichung können mit derselben nichtnegativen rationalen Zahl multipliziert werden.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Axiom des Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist A Es ist leicht, so viele Einheiten zu nehmen, dass ihre Summe größer wird A.

In diesem Artikel beginnen wir mit der Erkundung Rationale Zahlen. Hier geben wir Definitionen rationaler Zahlen, geben die notwendigen Erklärungen und geben Beispiele rationaler Zahlen. Danach konzentrieren wir uns darauf, wie wir feststellen können, ob angegebene Nummer rational oder nicht.

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Definition und Beispiele rationaler Zahlen

In diesem Abschnitt geben wir mehrere Definitionen rationaler Zahlen. Trotz unterschiedlicher Formulierungen haben alle diese Definitionen die gleiche Bedeutung: Rationale Zahlen vereinen ganze Zahlen und Brüche, genauso wie ganze Zahlen natürliche Zahlen, ihre Gegensätze und die Zahl Null vereinen. Mit anderen Worten: Rationale Zahlen verallgemeinern ganze und gebrochene Zahlen.

Lass uns beginnen mit Definitionen rationaler Zahlen, was am natürlichsten wahrgenommen wird.

Aus der angegebenen Definition folgt, dass eine rationale Zahl ist:

Jede natürliche Zahl n. Tatsächlich können Sie jede natürliche Zahl als gewöhnlichen Bruch darstellen, zum Beispiel 3=3/1.
Jede ganze Zahl, insbesondere die Zahl Null. Tatsächlich kann jede ganze Zahl entweder als positiver Bruch, als negativer Bruch oder als Null geschrieben werden. Beispiel: 26=26/1, .
Jeder gemeinsame Bruch (positiv oder negativ). Dies wird direkt durch die gegebene Definition rationaler Zahlen bestätigt.
Jede gemischte Zahl. Tatsächlich kann man eine gemischte Zahl immer als unechten Bruch darstellen. Zum Beispiel, und.
Jeder endliche Dezimalbruch oder unendliche periodische Bruch. Dies liegt daran, dass die angegebenen Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Zum Beispiel, und 0,(3)=1/3.

Es ist auch klar, dass jeder unendliche nichtperiodische Dezimalbruch KEINE rationale Zahl ist, da er nicht als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden kann.

Jetzt können wir ganz einfach geben Beispiele für rationale Zahlen. Die Zahlen 4, 903, 100.321 sind rationale Zahlen, weil sie natürliche Zahlen sind. Die ganzen Zahlen 58, −72, 0, −833,333,333 sind ebenfalls Beispiele für rationale Zahlen. Auch die gewöhnlichen Brüche 4/9 und 99/3 sind Beispiele für rationale Zahlen. Auch rationale Zahlen sind Zahlen.

Aus den obigen Beispielen wird deutlich, dass es sowohl positive als auch negative rationale Zahlen gibt und die rationale Zahl Null weder positiv noch negativ ist.

Die obige Definition rationaler Zahlen kann prägnanter formuliert werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als Bruch z/n geschrieben werden können, wobei z eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist.

Lassen Sie uns beweisen, dass diese Definition rationaler Zahlen der vorherigen Definition entspricht. Wir wissen, dass wir die Gerade eines Bruchs als Teilungszeichen betrachten können. Aus den Eigenschaften der Division ganzer Zahlen und den Regeln zur Division ganzer Zahlen folgt dann die Gültigkeit der folgenden Gleichheiten und. Das ist also der Beweis.

Lassen Sie uns Beispiele für rationale Zahlen geben, die auf dieser Definition basieren. Die Zahlen −5, 0, 3 und sind rationale Zahlen, da sie als Brüche mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner der Form bzw. geschrieben werden können.

Die Definition rationaler Zahlen kann in der folgenden Formulierung gegeben werden.

Definition.

Rationale Zahlen sind Zahlen, die als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch geschrieben werden können.

Beispielsweise sind die Zahlen 5, 0, −13 Beispiele für rationale Zahlen, da sie als die folgenden Dezimalbrüche geschrieben werden können: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 und −7, (18).

Lassen Sie uns die Theorie zu diesem Punkt mit den folgenden Aussagen abschließen:

ganze Zahlen und Brüche (positiv und negativ) bilden die Menge der rationalen Zahlen;
jede rationale Zahl kann als Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und einem natürlichen Nenner dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine bestimmte rationale Zahl dar;
Jede rationale Zahl kann als endlicher oder unendlicher periodischer Dezimalbruch dargestellt werden, und jeder dieser Brüche stellt eine rationale Zahl dar.

Ist diese Zahl rational?

Im vorherigen Absatz haben wir herausgefunden, dass jede natürliche Zahl, jede ganze Zahl, jeder gewöhnliche Bruch, jede gemischte Zahl, jeder endliche Dezimalbruch sowie jeder periodische Dezimalbruch eine rationale Zahl ist. Dieses Wissen ermöglicht es uns, rationale Zahlen aus einer Menge geschriebener Zahlen zu „erkennen“.

Was aber, wenn die Zahl in der Form some oder as usw. angegeben wird, wie lässt sich dann die Frage beantworten, ob diese Zahl rational ist? In vielen Fällen ist die Antwort sehr schwierig. Lassen Sie uns einige Denkrichtungen aufzeigen.

Wenn die Nummer im Formular angegeben ist numerischer Ausdruck, das nur rationale Zahlen und Zeichen enthält Rechenoperationen(+, −, · und:), dann ist der Wert dieses Ausdrucks eine rationale Zahl. Dies folgt aus der Definition von Operationen mit rationalen Zahlen. Nachdem wir beispielsweise alle Operationen im Ausdruck ausgeführt haben, erhalten wir die rationale Zahl 18.

Manchmal nach der Vereinfachung von Ausdrücken und mehr komplexer Typ wird es möglich zu bestimmen, ob eine gegebene Zahl rational ist.

Gehen wir weiter. Die Zahl 2 ist eine rationale Zahl, da jede natürliche Zahl rational ist. Was ist mit der Nummer? Ist es rational? Es stellt sich heraus, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, sondern um eine irrationale Zahl (der Beweis dieser Tatsache durch Widerspruch wird im Algebra-Lehrbuch für die 8. Klasse gegeben, das unten in der Literaturliste aufgeführt ist). Das ist auch bewiesen Quadratwurzel aus natürliche Zahl ist nur dann eine rationale Zahl, wenn die Wurzel eine Zahl enthält, die das perfekte Quadrat einer natürlichen Zahl ist. Zum Beispiel sind und rationale Zahlen, da 81 = 9 2 und 1 024 = 32 2, und die Zahlen und sind nicht rational, da die Zahlen 7 und 199 es nicht sind perfekte Quadrate natürliche Zahlen.

Ist die Zahl rational oder nicht? IN in diesem Fall Es ist leicht zu erkennen, dass diese Zahl daher rational ist. Ist die Zahl rational? Es wurde bewiesen, dass die k-te Wurzel einer ganzen Zahl nur dann eine rationale Zahl ist, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen die k-te Potenz einer ganzen Zahl ist. Daher handelt es sich nicht um eine rationale Zahl, da es keine ganze Zahl gibt, deren fünfte Potenz 121 ist.

Mit der Widerspruchsmethode können Sie beweisen, dass die Logarithmen einiger Zahlen aus irgendeinem Grund keine rationalen Zahlen sind. Lassen Sie uns zum Beispiel beweisen, dass - keine rationale Zahl ist.

Nehmen wir das Gegenteil an, das heißt, es handelt sich um eine rationale Zahl, die als gewöhnlicher Bruch m/n geschrieben werden kann. Dann geben wir die folgenden Gleichheiten an: . Die letzte Gleichheit ist unmöglich, da sie auf der linken Seite vorhanden ist Nicht gerade Zahl 5 n, und auf der rechten Seite ist die gerade Zahl 2 m. Daher ist unsere Annahme falsch und somit keine rationale Zahl.

Abschließend ist es besonders erwähnenswert, dass man bei der Bestimmung der Rationalität oder Irrationalität von Zahlen keine plötzlichen Schlussfolgerungen ziehen sollte.

Sie sollten beispielsweise nicht sofort behaupten, dass das Produkt der irrationalen Zahlen π und e eine irrationale Zahl sei; dies ist „scheinbar offensichtlich“, aber nicht bewiesen. Dies wirft die Frage auf: „Warum sollte ein Produkt eine rationale Zahl sein?“ Und warum nicht, denn Sie können ein Beispiel für irrationale Zahlen nennen, deren Produkt eine rationale Zahl ergibt: .

Es ist auch unbekannt, ob Zahlen und viele andere Zahlen rational sind oder nicht. Es gibt zum Beispiel irrationale Zahlen, irrationaler Grad Das ist eine rationale Zahl. Zur Veranschaulichung stellen wir einen Grad der Form dar, die Basis dieses Grades und der Exponent sind keine rationalen Zahlen, sondern , und 3 ist eine rationale Zahl.

Referenzliste.

Mathematik. 6. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [N. Ya. Vilenkin und andere]. - 22. Aufl., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S.: Abb. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Typ