So lösen Sie Beispiele mit Verifizierung. Vorgehensweise zur Durchführung von Aktionen, Regeln, Beispiele. Spiel „Schnelle Zugabe“

Brüche sind gewöhnliche Zahlen Sie können auch addiert und subtrahiert werden. Aber aufgrund der Tatsache, dass sie einen Nenner enthalten, mehr komplexe Regeln als für ganze Zahlen.

Betrachten wir den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner wiederum unverändert lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition des Addierens und Subtrahierens von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, ist es nichts Kompliziertes: Wir addieren oder subtrahieren einfach die Zähler und das war’s.

Aber auch in solchen einfache Aktionen Menschen schaffen es, Fehler zu machen. Am häufigsten wird vergessen, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn man sie zum Beispiel addiert, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundsätzlich falsch.

Beseitigen, abschütteln schlechte Angewohnheit Das Addieren der Nenner ist ganz einfach. Versuchen Sie dasselbe beim Subtrahieren. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere hinzufügen negative Brüche. Es gibt Verwirrung bei den Zeichen: Wo soll ein Minus und wo ein Plus stehen?

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass das Minus vor dem Vorzeichen eines Bruchs immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und vergessen Sie natürlich nicht zwei einfache Regeln:

1. Plus durch Minus ergibt Minus;
2. Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.

Lassen Sie uns alles aufschlüsseln konkrete Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, aber im zweiten Fall addieren wir Minuspunkte zu den Zählern der Brüche:

Was tun, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Brüche direkt addieren mit verschiedene Nenner es ist verboten. Zumindest ist mir diese Methode unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch jederzeit umgeschrieben werden, sodass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion „Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren“ besprochen, daher werden wir hier nicht näher darauf eingehen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Im ersten Fall reduzieren wir die Brüche auf gemeinsamer Nenner mit der „Criss-Cross“-Methode. Im zweiten werden wir nach dem NOC suchen. Beachten Sie, dass 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Faktoren in diesen Erweiterungen sind gleich und die ersten sind relativ teilerfremd. Daher ist LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Was tun, wenn ein Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Ihnen gefallen: Unterschiedliche Nenner bei Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler treten auf, wenn der ganze Teil in den Summandenbrüchen hervorgehoben wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber diese sind recht komplex und erfordern langes Studium. Bessere Nutzung einfaches Diagramm, unten angegeben:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche um. Wir erhalten Normalterme (auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben besprochenen Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies alles ist, was in der Aufgabe erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d. h. Wir entfernen einen unechten Bruch, indem wir den ganzen Teil hervorheben.

Die Regeln für den Übergang zu unechten Brüchen und die Hervorhebung des ganzen Teils werden ausführlich in der Lektion „Was ist ein numerischer Bruch“ beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, es bleibt also nur noch, alle Brüche in unechte Brüche umzuwandeln und zu zählen. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu zwei Neueste Beispiele, wobei Brüche vom hervorgehobenen subtrahiert werden ganzer Teil. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der gesamte Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, schauen Sie sich die Beispiele an – und denken Sie darüber nach. Hier geben Anfänger zu große Menge Fehler. Sie lieben es, solche Aufgaben zu übertragen Tests. Sie werden Ihnen auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht werden, mehrmals begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Berechnungsschema

Abschließend werde ich geben allgemeiner Algorithmus, das Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu finden:

1. Wenn ein oder mehrere Brüche einen ganzzahligen Teil haben, wandeln Sie diese Brüche in unechte Brüche um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (es sei denn natürlich, die Autoren der Aufgaben haben dies getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern;
4. Wenn möglich, kürzen Sie das Ergebnis. Wenn der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den gesamten Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, unmittelbar bevor Sie die Antwort aufschreiben.

In Mathematik Verschiedene Arten Zahlen wurden seit ihrer Einführung untersucht. Existiert große Menge Mengen und Teilmengen von Zahlen. Darunter sind ganze Zahlen, rationale, irrationale, natürliche, gerade, ungerade, komplexe und gebrochene Zahlen. Heute analysieren wir Informationen über den letzten Satz – Bruchzahlen.

Definition von Brüchen

Brüche sind Zahlen, die aus einem ganzzahligen Teil und Bruchteilen einer Einheit bestehen. Genau wie ganze Zahlen gibt es unendliche Menge Bruchzahl, zwischen zwei ganzen Zahlen. In der Mathematik werden Operationen mit Brüchen genauso durchgeführt wie mit ganzen Zahlen und natürlichen Zahlen. Es ist ganz einfach und kann in ein paar Lektionen erlernt werden.

Der Artikel stellt zwei Typen vor

Gemeinsame Brüche

Gewöhnliche Brüche sind der ganzzahlige Teil a und zwei Zahlen, die durch die Bruchlinie b/c geschrieben werden. Gewöhnliche Brüche können äußerst praktisch sein, wenn der Bruchteil nicht rational dargestellt werden kann. Dezimal. Außerdem, Rechenoperationen Es ist bequemer, dies über die Bruchlinie zu tun. Oberer Teil heißt Zähler, der untere ist Nenner.

Operationen mit gewöhnlichen Brüchen: Beispiele

Die Haupteigenschaft eines Bruchs. Bei Wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, die nicht Null ist, erhält man eine Zahl, die der angegebenen Eins entspricht. Diese Eigenschaft eines Bruchs ist eine hervorragende Möglichkeit, einen Nenner für die Addition bereitzustellen (dies wird weiter unten besprochen) oder einen Bruch zu kürzen und das Zählen einfacher zu machen. a/b = a*c/b*c. Zum Beispiel 36/24 = 6/4 oder 9/13 = 18/26

Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Um den Nenner eines Bruchs zu erhalten, müssen Sie den Nenner in Form von Faktoren darstellen und dann mit den fehlenden Zahlen multiplizieren. Zum Beispiel 15.07. und 30.12.; 7/5*3 und 12/5*3*2. Wir sehen, dass sich die Nenner um zwei unterscheiden, also multiplizieren wir Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 2. Wir erhalten: 14/30 und 12/30.

Zusammengesetzte Brüche- Gewöhnliche Brüche, wobei der ganze Teil hervorgehoben ist. (A b/c) Um einen zusammengesetzten Bruch als gewöhnlichen Bruch darzustellen, müssen Sie die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner multiplizieren und sie dann mit dem Zähler addieren: (A*c + b)/c.

Arithmetische Operationen mit Brüchen

Es wäre nicht verkehrt, das Bekannte zu berücksichtigen Rechenoperationen nur bei der Arbeit mit Bruchzahlen.

Addition und Subtraktion. Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist genauso einfach wie das Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen, mit einer Ausnahme: dem Vorhandensein einer Bruchlinie. Brüche addieren mit gleichen Nenner, müssen nur die Zähler beider Brüche addiert werden, die Nenner bleiben unverändert. Zum Beispiel: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Wenn die Nenner zweier Brüche sind verschiedene Zahlen Zuerst müssen Sie sie auf einen gemeinsamen Punkt bringen (wie das geht, wurde oben besprochen). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Die Subtraktion folgt genau dem gleichen Prinzip: 8/9 – 2/3 = 8/9 – 6/9 = 2/9.

Multiplikation und Division. Aktionen bei Brüchen erfolgt die Multiplikation entsprechend nach folgendem Prinzip: Zähler und Nenner werden getrennt multipliziert. IN Gesamtansicht Die Multiplikationsformel sieht so aus: a/b *c/d = a*c/b*d. Darüber hinaus können Sie beim Multiplizieren den Bruch reduzieren, indem Sie gleiche Faktoren aus Zähler und Nenner eliminieren. Mit anderen Worten: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Um einen gewöhnlichen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie Zähler und Nenner des Divisors ändern und zwei Brüche nach dem zuvor besprochenen Prinzip multiplizieren: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

Dezimalstellen

Dezimalzahlen sind die beliebtere und am häufigsten verwendete Variante von Brüchen. Es ist einfacher, sie in einer Zeile aufzuschreiben oder auf einem Computer zu präsentieren. Der Aufbau eines Dezimalbruchs ist wie folgt: Zuerst wird die ganze Zahl geschrieben und dann wird sie nach dem Dezimalpunkt geschrieben Fraktion. Im Kern Dezimalstellen- Dies sind zusammengesetzte gewöhnliche Brüche, deren Bruchteil jedoch durch eine Zahl geteilt durch ein Vielfaches von 10 dargestellt wird. Daher kommt auch ihr Name. Operationen mit Dezimalbrüchen ähneln Operationen mit ganzen Zahlen, da diese ebenfalls eingeschrieben werden Dezimalsystem Abrechnung. Außerdem können Dezimalzahlen im Gegensatz zu gewöhnlichen Brüchen irrational sein. Das bedeutet, dass sie endlos sein können. Sie sind wie folgt geschrieben: 7, (3). Der folgende Eintrag lautet: sieben Komma drei, drei Zehntel in einer Periode.

Grundlegende Operationen mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen addieren und subtrahieren. Das Arbeiten mit Brüchen ist nicht schwieriger als das Arbeiten mit ganzen natürlichen Zahlen. Die Regeln sind denen beim Addieren oder Subtrahieren völlig ähnlich natürliche Zahlen. Sie können auf die gleiche Weise als Spalte gezählt werden, ersetzen Sie jedoch ggf. die fehlenden Stellen durch Nullen. Beispiel: 5,5697 - 1,12. Um eine Spaltensubtraktion durchzuführen, müssen Sie die Anzahl der Zahlen nach dem Dezimalpunkt ausgleichen: (5,5697 - 1,1200). Also, Zahlenwertändert sich nicht und kann in einer Spalte gezählt werden.

Operationen mit Dezimalbrüchen können nicht ausgeführt werden, wenn einer von ihnen dies getan hat irrationale Sichtweise. Dazu müssen Sie beide Zahlen in gewöhnliche Brüche umwandeln und dann die zuvor beschriebenen Techniken anwenden.

Multiplikation und Division. Das Multiplizieren von Dezimalzahlen ähnelt dem Multiplizieren natürlicher Brüche. Sie können auch einfach in einer Spalte multipliziert werden, ohne auf das Komma zu achten, und dann durch ein Komma im Endwert die gleiche Anzahl von Stellen getrennt werden, wie die Summe nach dem Komma in zwei Dezimalbrüche aufgeteilt wurde. Beispiel: 1,5 * 2,23 = 3,345. Alles ist sehr einfach und sollte keine Schwierigkeiten bereiten, wenn Sie die Multiplikation natürlicher Zahlen bereits beherrschen.

Auch die Division ist dasselbe wie die Division natürlicher Zahlen, allerdings mit einer leichten Abweichung. Durch dividieren Dezimalzahl In einer Spalte müssen Sie das Komma im Divisor weglassen und den Dividenden mit der Anzahl der Nachkommastellen im Divisor multiplizieren. Führen Sie dann die Division wie bei natürlichen Zahlen durch. Wenn Sie unvollständig dividieren, können Sie dem Dividenden auf der rechten Seite Nullen hinzufügen und dem Ergebnis auch eine Null nach dem Dezimalpunkt hinzufügen.

Beispiele für Operationen mit Dezimalzahlen. Dezimalzahlen sind ein sehr praktisches Werkzeug für arithmetische Berechnungen. Sie kombinieren den Komfort natürlicher Zahlen, ganzer Zahlen und die Präzision von Brüchen. Darüber hinaus ist es recht einfach, einige Brüche in andere umzuwandeln. Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit natürlichen Zahlen.

1. Addition: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Subtraktion: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Multiplikation: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Teilung: 3,6: 0,6 = 6

Auch Dezimalzahlen eignen sich zur Darstellung von Prozentsätzen. Also 100 % = 1; 60 % = 0,6; und umgekehrt: 0,659 = 65,9 %.

Das ist alles, was Sie über Brüche wissen müssen. Der Artikel untersuchte zwei Arten von Brüchen – gewöhnliche und dezimale Brüche. Beide sind recht einfach zu berechnen, und wenn Sie die natürlichen Zahlen und Operationen damit vollständig beherrschen, können Sie getrost mit dem Erlernen von Brüchen beginnen.

Im Artikel werden wir zeigen wie man Brüche löst auf einfach klare Beispiele. Lassen Sie uns herausfinden, was ein Bruch ist, und überlegen Brüche lösen!

Konzept Brüche wird ab der 6. Klasse der Sekundarstufe in den Mathematikunterricht eingeführt.

Brüche haben die Form: ±X/Y, wobei Y der Nenner ist, der angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und X der Zähler ist, der angibt, wie viele solcher Teile genommen wurden. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem Kuchen:

Im ersten Fall wurde der Kuchen gleichmäßig geschnitten und eine Hälfte genommen, d.h. 1/2. Im zweiten Fall wurde der Kuchen in 7 Teile geschnitten, von denen 4 Teile genommen wurden, d.h. 4/7.

Wenn der Teil der Division einer Zahl durch eine andere keine ganze Zahl ist, wird er als Bruch geschrieben.

Beispielsweise ergibt der Ausdruck 4:2 = 2 eine ganze Zahl, aber 4:7 ist nicht durch eine ganze Zahl teilbar, sodass dieser Ausdruck als Bruch 4/7 geschrieben wird.

Mit anderen Worten Fraktion ist ein Ausdruck, der die Division zweier Zahlen oder Ausdrücke bezeichnet und mit einem gebrochenen Schrägstrich geschrieben wird.

Wenn der Zähler kleiner als der Nenner- Ein Bruch ist regelmäßig, umgekehrt ist er unechten. Ein Bruch kann eine ganze Zahl enthalten.

Zum Beispiel 5 ganze 3/4.

Dieser Eintrag bedeutet, dass um die ganze 6 zu erhalten, ein Teil von vier fehlt.

Wenn Sie sich erinnern möchten, wie man Brüche für die 6. Klasse löst, das musst du verstehen Brüche lösen Im Grunde kommt es darauf an, ein paar einfache Dinge zu verstehen.

• Ein Bruch ist im Wesentlichen ein Ausdruck eines Bruchs. Also numerischer Ausdruck welcher Teil ist gegebener Wert aus einem Ganzen. Der Bruch 3/5 drückt beispielsweise aus, dass wir ein Ganzes in fünf Teile teilen und die Anzahl der Anteile oder Teile dieses Ganzen drei beträgt.
• Der Bruch kann kleiner als 1 sein, zum Beispiel 1/2 (oder im Wesentlichen die Hälfte), dann ist er richtig. Wenn der Bruch größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2 (drei Hälften oder eineinhalb), dann ist er falsch und um die Lösung zu vereinfachen, ist es für uns besser, den ganzen Teil 3/2 = 1 ganze 1 zu wählen /2.
• Brüche sind die gleichen Zahlen wie 1, 3, 10 und sogar 100, nur dass die Zahlen keine ganzen Zahlen, sondern Brüche sind. Sie können mit ihnen dieselben Operationen durchführen wie mit Zahlen. Das Zählen von Brüchen ist nicht schwieriger, und wir werden dies anhand konkreter Beispiele weiter zeigen.

So lösen Sie Brüche. Beispiele.

Auf Brüche sind zahlreiche arithmetische Operationen anwendbar.

Einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Beispielsweise müssen Sie die Brüche 3/4 und 4/5 vergleichen.

Um das Problem zu lösen, ermitteln wir zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner, d.h. kleinste Zahl, der durch jeden Nenner der Brüche ohne Rest teilbar ist

Kleinster gemeinsamer Nenner (4,5) = 20

Dann wird der Nenner beider Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert

Antwort: 15/20

Brüche addieren und subtrahieren

Wenn es notwendig ist, die Summe zweier Brüche zu berechnen, werden diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt. Die Differenz zwischen Brüchen wird auf die gleiche Weise berechnet, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zähler subtrahiert werden.

Beispielsweise müssen Sie die Summe der Brüche 1/2 und 1/3 ermitteln

Jetzt Lasst uns den Unterschied finden Brüche 1/2 und 1/4

Brüche multiplizieren und dividieren

Hier ist das Lösen von Brüchen nicht schwer, hier ist alles ganz einfach:

• Multiplikation – Zähler und Nenner von Brüchen werden miteinander multipliziert;
• Division – zuerst erhalten wir den Kehrwert des zweiten Bruchs, d. h. Wir vertauschen Zähler und Nenner und multiplizieren anschließend die resultierenden Brüche.

Zum Beispiel:

Das ist alles wie man Brüche löst, Alle. Wenn Sie noch Fragen dazu haben Brüche lösen Wenn etwas unklar ist, schreiben Sie es in die Kommentare und wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

Wenn Sie Lehrer sind, können Sie die Präsentation herunterladen Grundschule(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) wird für Sie nützlich sein.

Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier führen wir das Konzept eines Bruchs eines Ganzen ein, was uns zur Definition eines gemeinsamen Bruchs führt. Als nächstes konzentrieren wir uns auf akzeptierte Notationen Für gewöhnliche Brüche und nennen Sie Beispiele für Brüche. Lassen Sie uns über den Zähler und den Nenner des Bruchs sprechen. Danach geben wir Definitionen von echten und unechten, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Stellung von Bruchzahlen Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die wichtigsten Operationen mit Brüchen auf.

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Anteile am Ganzen

Zuerst stellen wir vor Konzept der Aktie.

Nehmen wir an, dass wir ein Objekt haben, das aus mehreren absolut identischen (also gleichen) Teilen besteht. Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zum Beispiel einen in mehrere Teile geschnittenen Apfel vorstellen gleiche Teile oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Segmenten besteht. Jeder dieser gleichen Teile, aus denen das gesamte Objekt besteht, wird aufgerufen Teile des Ganzen oder einfach Anteile.

Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Lass uns zwei Äpfel haben. Schneiden Sie den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass der Anteil des ersten Apfels ein anderer sein wird als der Anteil des zweiten Apfels.

Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen sich das Gesamtobjekt zusammensetzt, haben diese Anteile eigene Namen. Lass es uns klären Namen von Beats. Wenn ein Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als zweiter Teil des gesamten Objekts bezeichnet. Wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, wird jeder von ihnen als dritter Teil bezeichnet und so weiter.

Eine zweite Aktie hat einen besonderen Namen - Hälfte. Ein Drittel wird aufgerufen dritte, und ein Viertelteil - ein Viertel.

Der Kürze halber wurden folgende Einträge eingeführt: Schlagbezeichnungen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil wird als oder 1/3 bezeichnet; ein Viertel der Aktie - Like oder 1/4 und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um den Stoff zu vertiefen, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet den einhundertsiebenundsechzigsten Teil des Ganzen.

Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Gegenständen auf Mengen. Eines der Längenmaße ist beispielsweise der Meter. Um Längen von weniger als einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie beispielsweise einen halben Meter oder einen Zehntel oder Tausendstel Meter verwenden. Die Anteile anderer Größen werden analog angesetzt.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche

Um die Anzahl der von uns verwendeten Aktien zu beschreiben gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.

Lassen Sie die Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie repräsentiert in diesem Fall ein Zwölftel einer ganzen Orange, also . Wir bezeichnen zwei Schläge als, drei Schläge als usw., 12 Schläge bezeichnen wir als. Jeder der angegebenen Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.

Lassen Sie uns nun einen allgemeinen Überblick geben Definition gemeinsamer Brüche.

Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, etwas anzugeben Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10, , 21/1, 9/4, . Und hier sind die Aufzeichnungen entsprechen nicht der angegebenen Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Der Einfachheit halber werden gewöhnliche Brüche unterschieden Zähler und Nenner.

Definition.

Zähler Der gewöhnliche Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl m.

Definition.

Nenner Der gemeinsame Bruch (m/n) ist eine natürliche Zahl n.

Der Zähler befindet sich also oberhalb des Bruchstrichs (links vom Schrägstrich) und der Nenner unterhalb des Bruchstrichs (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel den gemeinsamen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.

Es bleibt noch die Bedeutung zu diskutieren, die im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs enthalten ist. Der Nenner eines Bruchs gibt an, aus wie vielen Teilen ein Gegenstand besteht, und der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Beispielsweise bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Objekt aus fünf Anteilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Anteile genommen werden.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gemeinsamen Bruchs kann sein gleich eins. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, mit anderen Worten, es repräsentiert etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Objekte genommen werden. Auf diese Weise, gemeinsamer Bruch der Form m/1 hat die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. Damit haben wir die Gültigkeit der Gleichung m/1=m begründet.

Schreiben wir die letzte Gleichung wie folgt um: m=m/1. Diese Gleichheit ermöglicht es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103.498 entspricht dem Bruch 103.498/1.

Also, Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Aufteilung in n gleiche Teile. Nachdem ein Artikel in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen und jeder Person von jedem der m Objekte einen Anteil geben. In diesem Fall hat jede Person m Anteile von 1/n, und m Anteile von 1/n ergeben den gemeinsamen Bruchteil m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Elementen auf n Personen zu bezeichnen.

Auf diese Weise haben wir einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und der Division erhalten (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Dieser Zusammenhang drückt sich wie folgt aus: Die Bruchlinie kann als Divisionszeichen verstanden werden, d. h. m/n=m:n.

Mit einem gewöhnlichen Bruch können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die eine ganze Division nicht durchgeführt werden kann. Das Ergebnis der Division von 5 Äpfeln durch 8 Personen kann beispielsweise als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8 = 5/8.

Gleiche und ungleiche Brüche, Vergleich von Brüchen

Genug natürliche Aktion Ist Brüche vergleichen, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange sich von 5/12 unterscheidet und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie ein weiteres 1/6 dieses Apfels.

Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten – ungleiche gewöhnliche Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.

Definition.

gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c wahr ist.

Definition.

Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, wenn die Gleichung a·d=b·c nicht erfüllt ist.

Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gemeinsame Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1·4=2·2 (siehe ggf. die Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Der Übersichtlichkeit halber können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, den ersten halbieren und den zweiten in 4 Teile schneiden. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels einem halben Anteil entsprechen. Weitere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Brüchepaar 81/50 und 1.620/1.000.

Aber die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4·14=56 und 13·5=65, also 4·14≠13·5. Weitere Beispiele für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.

Wenn sich beim Vergleich zweier gemeinsamer Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gemeinsamen Brüche es ist weniger anders, und welches - mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist eine Notation Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, seines Aussehen, und alles semantische Belastung ist genau in der Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Bequemlichkeit halber werden die Konzepte von Bruch und Bruchzahl jedoch kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Es ist angebracht, es hier umzuformulieren berühmtes Sprichwort: wir sagen einen Bruch - wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.

Brüche auf einem Koordinatenstrahl

Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz, das heißt, es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Brüchen und den Punkten des Koordinatenstrahls.

Um zu dem Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu gelangen, der dem Bruchteil m/n entspricht, müssen Sie m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung beiseite legen, deren Länge 1/n Bruchteil eines Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein Einheitssegment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Zeigen wir zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl an, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge eines Segments, das am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt endet und mit einem kleinen Strich markiert ist, beträgt 1/10 eines Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird im Abstand von 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.

Gleiche Brüche entsprechen derselben Bruchzahl, d. h. gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 einem Punkt auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er liegt im Abstand von einem halben Einheitssegment). vom Ursprung in positiver Richtung).

Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl ein Punkt, dessen Koordinate ist großer Bruchteil, befindet sich rechts vom Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruchteil ist. Ebenso liegt ein Punkt mit einer kleineren Koordinate links von einem Punkt mit einer größeren Koordinate.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es richtig und unechte Brüche . Diese Division basiert auf einem Vergleich von Zähler und Nenner.

Definieren wir echte und unechte gewöhnliche Brüche.

Definition.

Richtiger Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, d. h. wenn m

Definition.

Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, d. h. wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht.

Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4, , 32.765/909.003. Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikel zum Vergleich natürlicher Zahlen), sodass sie per Definition korrekt sind.

Hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4, . Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den übrigen Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner.

Es gibt auch Definitionen für echte und unechte Brüche, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren.

Definition.

richtig, wenn es kleiner als eins ist.

Definition.

Ein gewöhnlicher Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist.

Der gemeinsame Bruch 7/11 ist also korrekt, da 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1.

Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, einen solchen Namen verdienen – „uneigentlich“.

Nehmen wir zum Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass von einem Objekt, das aus neun Teilen besteht, neun Teile genommen werden. Das heißt, aus den verfügbaren neun Teilen können wir ein ganzes Objekt bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen das gesamte Objekt, also 9/9 = 1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch die natürliche Zahl 1 ersetzt werden.

Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ganz offensichtlich, dass wir aus diesen sieben dritten Teilen zwei ganze Objekte zusammensetzen können (ein ganzes Objekt besteht aus 3 Teilen, um dann zwei ganze Objekte zusammenzusetzen, brauchen wir 3 + 3 = 6 Teile) und immer noch ein dritter Teil übrig bleibt . Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Objekte und auch 1/3 eines solchen Objekts. Und aus zwölf Viertelteilen können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit jeweils vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte.

Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler gleichmäßig durch den Nenner geteilt wird (z. B. 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs, wenn der Zähler nicht gleichmäßig durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3). Vielleicht ist es genau das, was unechten Brüchen den Namen „unregelmäßig“ eingebracht hat.

Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Trennen des ganzen Teils von einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine gesonderte und sorgfältigere Betrachtung.

Es ist auch erwähnenswert, dass zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen ein sehr enger Zusammenhang besteht.

Positive und negative Brüche

Jeder gemeinsame Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel über positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Beispielsweise sind gewöhnliche Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn Sie die Positivität eines Bruchs hervorheben müssen, wird davor ein Pluszeichen platziert, zum Beispiel +3/4, +72/34.

Wenn Sie einem gemeinsamen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall können wir darüber reden negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10, −65/13, −1/18.

Positive und negative Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und −5/7 entgegengesetzte Brüche.

Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Addition, ein Einkommen, eine Aufwärtsänderung eines beliebigen Wertes usw. Negative Brüche entsprechen Ausgaben, Schulden oder einer Verringerung einer beliebigen Menge. Beispielsweise kann der negative Bruch −3/4 als eine Schuld interpretiert werden, deren Wert gleich 3/4 ist.

In horizontaler Richtung nach rechts befinden sich negative Brüche links vom Ursprung. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruchteil m/n und der negative Bruchteil −m/n sind, liegen im gleichen Abstand vom Ursprung, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O.

Hier sind Brüche der Form 0/n zu erwähnen. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0.

Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen.

Operationen mit Brüchen

Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir oben bereits besprochen. Es werden vier weitere arithmetische Funktionen definiert Operationen mit Brüchen– Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Schauen wir uns jeden von ihnen an.

Das allgemeine Wesen von Operationen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen. Machen wir eine Analogie.

Brüche multiplizieren kann als die Aktion betrachtet werden, einen Bruch aus einem Bruch zu finden. Zur Verdeutlichung geben wir ein Beispiel. Wir haben 1/6 eines Apfels und müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem Sonderfall einer natürlichen Zahl entspricht). Als nächstes empfehlen wir Ihnen, die Informationen im Artikel Brüche multiplizieren – Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren.

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
• Vilenkin N.Ya. und andere. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel schauen wir uns Beispiele an, alles im Detail mit Erklärungen. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. Wir werden uns später die Dezimalzahlen ansehen. Ich empfehle, sich das Ganze anzusehen und es der Reihe nach zu studieren.

1. Summe der Brüche, Differenz der Brüche.

Regel: Wenn Brüche mit gleichen Nennern addiert werden, ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist.

Regel: Wenn wir die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch – der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert.

Formale Notation für Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiele (1):

Es ist klar, dass bei der Angabe gewöhnlicher Brüche alles einfach ist, aber was ist, wenn sie gemischt sind? Nichts Kompliziertes...

Variante 1– Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen.

Option 2– Sie können getrennt mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen „arbeiten“.

Beispiele (2):

Noch:

Was ist, wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Sie können auch auf zwei Arten vorgehen.

Beispiele (3):

*In gewöhnliche Brüche umgewandelt, die Differenz berechnet und den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten Bruch umgewandelt.

*Wir haben es in ganzzahlige und gebrochene Teile zerlegt, eine Drei erhalten, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, wobei eins als 11/11 dargestellt wurde, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 ermittelt und das Ergebnis berechnet . Der Sinn der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie in Form eines Bruchs mit dem Nenner darzustellen, den wir brauchen, dann können wir von diesem Bruch eine andere subtrahieren.

Ein anderes Beispiel:

Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz: Um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichem Nenner zu berechnen, können diese immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn das Ergebnis danach ein unechter Bruch ist, wandeln wir ihn in einen gemischten Bruch um.

Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die den gleichen Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (umzuwandeln), wird die Grundeigenschaft des Bruchs genutzt.

Schauen wir uns einfache Beispiele an:

In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten.

Wenn wir Wege benennen, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren, nennen wir diesen einen Methode eins.

Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ eines Bruchs herausfinden, ob dieser Ansatz funktioniert – wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es teilbar ist, führen wir die Transformation durch – wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden.

Schauen Sie sich nun diese Beispiele an:

Für sie ist dieser Ansatz nicht anwendbar. Es gibt auch Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Methode ZWEI.

Wir multiplizieren Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten:

*Tatsächlich reduzieren wir Brüche, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes verwenden wir die Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner.

Beispiel:

*Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Der einzige Nachteil besteht darin, dass Sie nach den Berechnungen möglicherweise einen Bruchteil erhalten, der weiter reduziert werden muss.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Man erkennt, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind:

Methode DRITTER.

Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner ermitteln. Dies wird der gemeinsame Nenner sein. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist.

Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind – das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste davon ist 12. Oder 6 und 15, sie sind durch 30 teilbar, 60, 90 .... Der kleinste Wert ist 30. Die Frage ist: Wie ermittelt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache?

Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft ist dies ohne Berechnungen sofort möglich. Gemäß den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) ist beispielsweise kein Algorithmus erforderlich. Wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, sie verdoppelt und festgestellt, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, Zahlenpaare jedoch Seien Sie andere, zum Beispiel 51 und 119.

Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu ermitteln, müssen Sie:

- Zerlegen Sie jede Zahl in EINFACHE Faktoren

– Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf

- Multiplizieren Sie es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen

Schauen wir uns Beispiele an:

50 und 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

im Zerfall mehr eine Fünf fehlt

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 und 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei Primzahlen gleich ihrem Produkt

Frage! Warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, wenn man doch die zweite Methode verwenden und einfach den resultierenden Bruch reduzieren kann? Ja, es ist möglich, aber es ist nicht immer bequem. Schauen Sie sich den Nenner der Zahlen 48 und 72 an, wenn Sie sie einfach mit 48∙72 = 3456 multiplizieren. Sie werden mir zustimmen, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

Schauen wir uns Beispiele an:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

Bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Lassen Sie uns nun die erste Methode verwenden:

*Schauen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, aber im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Finden des LOC vereinfacht die Arbeit erheblich.

Mehr Beispiele:

*Im zweiten Beispiel wird deutlich, dass die kleinste Zahl, die durch 40 und 60 teilbar ist, 120 ist.

ERGEBNIS! ALLGEMEINER COMPUTING-ALGORITHMUS!

— Wir reduzieren Brüche auf gewöhnliche Brüche, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt.

- Wir bringen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst prüfen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist; wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir den Zähler und den Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, gehen wir mit den anderen Methoden vor Oben angegeben).

- Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Operationen (Addition, Subtraktion) durch.

- Bei Bedarf reduzieren wir das Ergebnis.

- Wählen Sie ggf. das gesamte Teil aus.

2. Produkt von Brüchen.

Die Regel ist einfach. Bei der Multiplikation von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert:

Beispiele:

Aufgabe. 13 Tonnen Gemüse wurden zur Basis gebracht. Kartoffeln machen drei Viertel aller importierten Gemüsesorten aus. Wie viele Kilogramm Kartoffeln wurden zur Basis gebracht?

Lassen Sie uns mit dem Stück abschließen.

*Ich habe zuvor versprochen, Ihnen eine formelle Erklärung der Haupteigenschaft eines Bruchs durch ein Produkt zu geben. Bitte:

3. Division von Brüchen.

Bei der Division von Brüchen geht es darum, sie zu multiplizieren. Dabei ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Bruch, der den Divisor darstellt (durch den dividiert wird), umgedreht wird und die Aktion zur Multiplikation wechselt:

Diese Aktion kann in Form eines sogenannten vierstöckigen Bruchs geschrieben werden, da die Division „:“ selbst auch als Bruch geschrieben werden kann:

Beispiele:

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.