خطای گرد کردن مطلق و نسبی. خطا و دقت تقریب. معلم ریاضیات در مؤسسه آموزشی شهرداری "دبیرستان Upshinskaya"

خطای محاسباتی مطلق با فرمول پیدا می شود:

علامت مدول نشان می دهد که برای ما مهم نیست که کدام مقدار بیشتر و کدام کمتر است. مهم، تا کجانتیجه تقریبی از مقدار دقیق در یک جهت یا جهت دیگر منحرف شده است.

خطای مربوطهمحاسبات با فرمول بدست می آید:
، یا همین مورد:

خطای نسبی نشان می دهد با چند درصدنتیجه تقریبی از مقدار دقیق منحرف شده است. نسخه ای از فرمول بدون ضرب در 100٪ وجود دارد، اما در عمل تقریباً همیشه نسخه بالا را با درصد می بینم.

پس از یک اشاره کوتاه، اجازه دهید به مشکل خود بازگردیم که در آن مقدار تقریبی تابع را محاسبه کردیم با استفاده از دیفرانسیل

بیایید مقدار دقیق تابع را با استفاده از یک ریز حساب محاسبه کنیم:
، به طور دقیق، مقدار هنوز تقریبی است، اما ما آن را دقیق در نظر خواهیم گرفت. چنین مشکلاتی اتفاق می افتد.

بیایید خطای مطلق را محاسبه کنیم:

بیایید خطای نسبی را محاسبه کنیم:
، هزارم درصد به دست آمد، بنابراین دیفرانسیل فقط یک تقریب عالی ارائه داد.

پاسخ: ، خطای محاسباتی مطلق، خطای نسبی محاسباتی

مثال زیر برای تصمیم مستقل:

مثال 4

در نقطه . مقدار دقیق تر تابع را در یک نقطه مشخص محاسبه کنید، خطای مطلق و نسبی محاسبات را تخمین بزنید.

نمونه تقریبیاتمام و پاسخ در پایان درس.

بسیاری از مردم متوجه شده اند که ریشه ها در تمام نمونه های در نظر گرفته شده ظاهر می شوند. این اتفاقی نیست در بیشتر موارد، مشکل در نظر گرفته شده در واقع کارکردهایی با ریشه ارائه می دهد.

اما برای خوانندگان دردمند، من یک مثال کوچک با آرکسین پیدا کردم:

مثال 5

تقریباً مقدار یک تابع را با استفاده از دیفرانسیل محاسبه کنید در نقطه

این مثال کوتاه اما آموزنده نیز برای شما قابل حل است. و کمی استراحت کردم تا با نیرویی تازه بتوانم کار ویژه را در نظر بگیرم:

مثال 6

تقریباً با استفاده از دیفرانسیل محاسبه کنید، نتیجه را تا دو رقم اعشار گرد کنید.

راه حل:چه چیز جدیدی در کار وجود دارد؟ این شرط مستلزم گرد کردن نتیجه به دو رقم اعشار است. اما این نیست، وظیفه مدرسهمن فکر می کنم گرد کردن هیچ مشکلی برای شما ایجاد نمی کند. واقعیت این است که یک مماس با استدلال به ما داده می شود که در درجه بیان می شود. وقتی از شما خواسته می شود یک تابع مثلثاتی را با درجه حل کنید چه باید بکنید؟ مثلا , و غیره.

الگوریتم حل اساساً یکسان است، یعنی لازم است، مانند مثال های قبلی، از فرمول استفاده شود.

بیایید یک تابع واضح بنویسیم

مقدار باید در فرم ارائه شود. کمک جدی خواهد کرد جدول مقادیر توابع مثلثاتی . به هر حال، برای کسانی که آن را چاپ نکرده اند، توصیه می کنم این کار را انجام دهند، زیرا باید در تمام دوره تحصیل در ریاضیات عالی به آنجا نگاه کنید.

با تجزیه و تحلیل جدول، متوجه یک مقدار مماس "خوب" می شویم که نزدیک به 47 درجه است:

بدین ترتیب:

پس از تجزیه و تحلیل اولیه درجه باید به رادیان تبدیل شود. بله و فقط از این طریق!

که در در این مثالمستقیم از جدول مثلثاتیمی توانید بفهمید که چه . با استفاده از فرمول تبدیل درجه به رادیان: (فرمول ها را می توان در همان جدول یافت).

آنچه در زیر می آید فرمولی است:

بدین ترتیب: (ما از مقدار برای محاسبات استفاده می کنیم). نتیجه، مطابق با شرط، به دو رقم اعشار گرد می شود.

پاسخ:

مثال 7

تقریباً با استفاده از یک دیفرانسیل محاسبه کنید، نتیجه را تا سه رقم اعشار گرد کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد، ما درجه ها را به رادیان تبدیل می کنیم و به الگوریتم حل معمولی پایبند هستیم.

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل کاملتوابع دو متغیر

همه چیز بسیار بسیار شبیه خواهد بود، بنابراین اگر به طور خاص برای این کار به این صفحه آمدید، ابتدا توصیه می کنم حداقل چند نمونه از پاراگراف قبلی را مشاهده کنید.

برای مطالعه یک پاراگراف باید بتوانید پیدا کنید مشتقات جزئی مرتبه دوم ، ما بدون آنها کجا بودیم؟ در درس بالا، تابعی از دو متغیر را با استفاده از حرف مشخص کردم. در رابطه با کار مورد نظر، استفاده از نماد معادل راحت تر است.

همانطور که در مورد تابع یک متغیر، شرط مسئله را می توان به روش های مختلفی فرمول بندی کرد، و من سعی خواهم کرد تمام فرمول های مواجه شده را در نظر بگیرم.

مثال 8

راه حل:مهم نیست که شرط چگونه نوشته شده است، در خود راه حل برای نشان دادن تابع، تکرار می کنم، بهتر است از حرف "zet" استفاده نکنید، بلکه .

و فرمول کار اینجاست:

آنچه پیش روی ماست در واقع خواهر بزرگتر فرمول پاراگراف قبل است. متغیر فقط افزایش یافته است. من خودم چی بگم الگوریتم حل اساساً یکسان خواهد بود!

با توجه به شرایط، لازم است که مقدار تقریبی تابع را در نقطه پیدا کنید.

بیایید عدد 3.04 را به صورت . خود نان می خواهد خورده شود:
,

بیایید عدد 3.95 را به صورت . نوبت به نیمه دوم کلوبوک رسیده است:
,

و به تمام ترفندهای روباه نگاه نکنید ، یک کلوبوک وجود دارد - باید آن را بخورید.

بیایید مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنیم:

دیفرانسیل یک تابع را در یک نقطه با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

از فرمول نتیجه می شود که ما باید پیدا کنیم مشتقات جزئی ابتدا سفارش دهید و مقادیر آنها را در نقطه محاسبه کنید.

بیایید مشتقات جزئی مرتبه اول را در نقطه محاسبه کنیم:

دیفرانسیل کل در نقطه:

بنابراین، طبق فرمول، مقدار تقریبی تابع در نقطه:

بیایید مقدار دقیق تابع را در نقطه محاسبه کنیم:

این مقدار کاملاً دقیق است.

خطاها با استفاده از فرمول های استاندارد محاسبه می شوند که قبلاً در این مقاله مورد بحث قرار گرفته است.

خطای مطلق:

خطای مربوطه:

پاسخ: , خطای مطلق: , خطای نسبی:

مثال 9

مقدار تقریبی یک تابع را محاسبه کنید در یک نقطه با استفاده از دیفرانسیل کل، خطای مطلق و نسبی را تخمین بزنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. هر کسی که نگاه دقیق‌تری به این مثال بیندازد متوجه می‌شود که خطاهای محاسباتی بسیار بسیار قابل توجه بوده است. این اتفاق توسط دلیل بعدی: در مسئله پیشنهادی افزایش آرگومان ها بسیار زیاد است: .

الگوی عمومیهمینطوریهالف - هر چه این افزایش ها در قدر مطلق بزرگتر باشد، دقت محاسبات کمتر می شود. بنابراین، به عنوان مثال، برای یک نقطه مشابه، افزایش کوچک خواهد بود:، و دقت محاسبات تقریبی بسیار بالا خواهد بود.

این ویژگی در مورد تابع یک متغیر (قسمت اول درس) نیز صادق است.

مثال 10

راه حل:بیایید این عبارت را تقریباً با استفاده از دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر محاسبه کنیم:

تفاوت با مثال های 8-9 این است که ابتدا باید تابعی از دو متغیر بسازیم: . من فکر می کنم همه به طور مستقیم درک می کنند که تابع چگونه تشکیل شده است.

مقدار 4.9973 نزدیک به "پنج" است، بنابراین: , .
مقدار 0.9919 نزدیک به "یک" است، بنابراین، ما فرض می کنیم: , .

بیایید مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنیم:

ما دیفرانسیل را در یک نقطه با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

برای انجام این کار، مشتقات جزئی مرتبه اول را در نقطه محاسبه می کنیم.

مشتقات در اینجا ساده ترین نیستند، و باید مراقب باشید:

;

.

دیفرانسیل کل در نقطه:

بنابراین، مقدار تقریبی بیان داده شده:

بیایید مقدار دقیق تری را با استفاده از یک ریز حساب محاسبه کنیم: 2.998899527

بیایید خطای نسبی محاسبه را پیدا کنیم:

پاسخ: ،

فقط یک مثال از موارد بالا، در مسئله در نظر گرفته شده، افزایش آرگومان ها بسیار اندک است و خطا به طرز خارق العاده ای ناچیز است.

مثال 11

با استفاده از دیفرانسیل کامل یک تابع از دو متغیر، تقریباً مقدار این عبارت را محاسبه کنید. همان عبارت را با استفاده از یک ریز حساب محاسبه کنید. خطای نسبی محاسبه را به صورت درصد تخمین بزنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نمونه تقریبی طرح نهایی در پایان درس.

همانطور که قبلا ذکر شد، خصوصی ترین مهمان در این نوعوظایف - اینها برخی از ریشه ها هستند. اما هر از گاهی عملکردهای دیگری نیز وجود دارد. و یک مثال ساده آخر برای آرامش:

مثال 12

با استفاده از دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر، تقریباً مقدار تابع if را محاسبه کنید

راه حل به انتهای صفحه نزدیک تر است. یک بار دیگر به جمله بندی وظایف درس در مثال های مختلف در عمل توجه کنید، ممکن است جمله بندی متفاوت باشد، اما این اساساً ماهیت و الگوریتم راه حل را تغییر نمی دهد.

راستش من کمی خسته بودم چون مطالب کمی خسته کننده بود. گفتن این موضوع در ابتدای مقاله آموزشی نبود، اما اکنون این امکان وجود دارد =) در واقع، مسائل در ریاضیات محاسباتی معمولاً خیلی پیچیده نیستند، خیلی جالب نیستند، شاید مهمترین چیز این است که اشتباه نکنید. در محاسبات معمولی

باشد که کلیدهای ماشین حساب شما پاک نشود!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2:

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:
که در در این مورد: , ,

بدین ترتیب:

پاسخ:

مثال 4:

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:
در این مورد: , ,

بدین ترتیب:

بیایید مقدار دقیق تری از تابع را با استفاده از یک ریز محاسبه گر محاسبه کنیم:

خطای مطلق:

خطای مربوطه:

پاسخ: ، خطای محاسباتی مطلق، خطای نسبی محاسباتی

مثال 5:

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:

در این مورد: , ,

بدین ترتیب:

پاسخ:

مثال 7:

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:
در این مورد: ، ،

خطای مطلق و نسبی اعداد.

به عنوان ویژگی های دقت کمیت های تقریبی از هر مبدا، مفاهیم خطاهای مطلق و نسبی این کمیت ها معرفی می شوند.

بیایید تقریب عدد A را با a نشان دهیم.

تعريف كردن. مقدار را خطای عدد تقریبی می نامند.

تعریف. خطای مطلق عدد تقریبی a را کمیت می گویند
.

عدد عملاً دقیق A معمولاً ناشناخته است، اما همیشه می‌توانیم محدوده‌هایی را که خطای مطلق در آن تغییر می‌کند، نشان دهیم.

تعریف. حداکثر خطای مطلق عدد تقریبی a را کوچکترین عدد می نامند حدود بالابرای ارزش ، که با استفاده از این روش بدست آوردن اعداد بدست می آید.

در عمل، به عنوان یکی از کران های بالایی را برای آن انتخاب کنید ، کاملا نزدیک به کوچکترین.

زیرا
، آن
. گاهی می نویسند:
.

خطای مطلقتفاوت بین نتیجه اندازه گیری است

و ارزش واقعی (واقعی). کمیت اندازه گیری شده

خطای مطلق و حداکثر خطای مطلق برای مشخص کردن دقت اندازه گیری یا محاسبه کافی نیستند. از نظر کیفی، بزرگی خطای نسبی معنادارتر است.

تعریف. خطای مربوطه ما عدد تقریبی را a مقدار می نامیم:

تعریف. حداکثر خطای نسبی عدد تقریبی a بیایید مقدار را صدا کنیم

زیرا
.

بنابراین، خطای نسبی در واقع بزرگی خطای مطلق را در واحد عدد تقریبی اندازه گیری یا محاسبه شده a تعیین می کند.

مثال.اعداد دقیق A را به سه گرد کنید ارقام قابل توجه، تعريف كردن

D مطلق و خطاهای δ نسبی به دست آمده تقریبی است

داده شده:

پیدا کردن:

Δ-خطای مطلق

δ – خطای نسبی

راه حل:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

،آ 0

*100%=0.203%

پاسخ:=0.027; δ=0.203%

2. نماد اعشاری یک عدد تقریبی. رقم قابل توجه. ارقام صحیح اعداد (تعریف ارقام صحیح و معنی دار، مثال ها؛ نظریه رابطه خطای نسبی و تعداد ارقام صحیح).

علائم اعداد صحیح

تعریف. رقم قابل توجه یک عدد تقریبی a هر رقمی غیر از صفر است و اگر بین ارقام مهم قرار گرفته باشد یا نماینده یک رقم اعشار ذخیره شده باشد، صفر است.

به عنوان مثال در عدد 0.00507 =
3 رقم قابل توجه داریم و در عدد 0.005070=
ارقام قابل توجه، یعنی صفر سمت راست، با حفظ رقم اعشار، قابل توجه است.

از این به بعد، اجازه دهید ما موافقت کنیم که صفرها را فقط در صورتی که قابل توجه باشند، در سمت راست بنویسیم. سپس، به عبارت دیگر،

همه ارقام a مهم هستند، به جز صفرهای سمت چپ.

در سیستم اعداد اعشاری، هر عدد a را می توان به صورت مجموع متناهی یا نامتناهی (کسری اعشاری) نشان داد:

جایی که
,
- اولین رقم معنی دار، m - یک عدد صحیح به نام مهم ترین رقم اعشار عدد a.

به عنوان مثال، 518.3 =، m = 2.

با استفاده از نماد، مفهوم اعشار صحیح (در ارقام قابل توجه) را تقریباً معرفی می کنیم -

در روز 1

تعریف. آنها می گویند که در یک عدد تقریبی a شکل n است - اولین رقم مهم ,

در صورتی که خطای مطلق این عدد از نصف واحد رقمی که با nام رقم معنی دار بیان می شود تجاوز نکند، i= m، m-1،...، m-n+1 صحیح هستند:

در غیر این صورت رقم آخر
مشکوک نامیده می شود.

هنگام نوشتن یک عدد تقریبی بدون نشان دادن خطای آن، لازم است که تمام اعداد نوشته شوند

وفادار بودند این شرط در تمام جداول ریاضی رعایت شده است.

عبارت "n رقم صحیح" فقط درجه دقت عدد تقریبی را مشخص می کند و نباید به این معنی درک شود که n رقم مهم اول عدد تقریبی a با ارقام مربوط به عدد دقیق A منطبق است. به عنوان مثال، برای اعداد A = 10، a = 9.997، همه ارقام مهم متفاوت هستند، اما عدد a دارای 3 رقم معتبر معتبر است. در واقع، در اینجا m=0 و n=3 (ما آن را با انتخاب پیدا می کنیم).

دستورالعمل ها

اول از همه، چندین اندازه گیری را با ابزاری با همان مقدار انجام دهید تا بتوانید مقدار واقعی را بدست آورید. هرچه اندازه گیری های بیشتری انجام شود، نتیجه دقیق تر خواهد بود. برای مثال روی ترازو الکترونیکی وزن کنید. فرض کنید نتایج 0.106، 0.111، 0.098 کیلوگرم را به دست آورده اید.

اکنون مقدار واقعی کمیت را محاسبه کنید (واقعی، زیرا مقدار واقعی را نمی توان یافت). برای این کار، نتایج به دست آمده را جمع کرده و بر تعداد اندازه گیری ها تقسیم کنید، یعنی میانگین حسابی را پیدا کنید. در مثال، مقدار واقعی (0.106+0.111+0.098)/3=0.105 خواهد بود.

منابع:

• چگونه خطای اندازه گیری را پیدا کنیم

بخشی جدایی ناپذیر از هر اندازه گیری است خطا. او نمایندگی می کند ویژگی های کیفیدقت تحقیق با توجه به شکل ارائه می تواند مطلق و نسبی باشد.

شما نیاز خواهید داشت

• - ماشین حساب.

دستورالعمل ها

دومی از تأثیر علل ناشی می شود و طبیعتاً تصادفی هستند. این موارد شامل گرد کردن نادرست هنگام محاسبه قرائت و تأثیر است. اگر چنین خطاهایی به طور قابل توجهی کمتر از تقسیمات مقیاس این دستگاه اندازه گیری باشد، توصیه می شود نیمی از تقسیم را به عنوان خطای مطلق در نظر بگیرید.

خانم یا خشن خطایک نتیجه مشاهده ای را نشان می دهد که به شدت با سایر نتایج متفاوت است.

مطلق خطاتقریبی مقدار عددی- این تفاوت بین نتیجه در حین اندازه گیری و مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده است. مقدار واقعی یا واقعی کمیت فیزیکی مورد مطالعه را منعکس می کند. این خطاساده ترین اندازه گیری کمی خطا است. می توان آن را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد: ∆Х = Hisl - Hist. او می تواند مثبت را بپذیرد و معنی منفی. برای درک بهتر، بیایید نگاه کنیم. این مدرسه 1205 دانش آموز دارد که به 1200 مطلق می رسد خطابرابر است: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

محاسبات خاصی از مقادیر خطا وجود دارد. اول از همه مطلق خطامجموع دو مقادیر مستقلبرابر است با مجموع خطاهای مطلق آنها: ∆(X+Y) = ∆X+∆Y. یک رویکرد مشابه برای تفاوت بین دو خطا قابل استفاده است. می توانید از فرمول: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y استفاده کنید.

منابع:

• نحوه تعیین خطای مطلق

اندازه گیری ها مقادیر فیزیکیهمیشه با یکی یا دیگری همراه است خطا. نشان دهنده انحراف نتایج اندازه گیری است معنی واقعیکمیت اندازه گیری شده

شما نیاز خواهید داشت

• -دستگاه اندازه گیری:
• -ماشین حساب.

دستورالعمل ها

خطاها ممکن است ناشی از نفوذ باشد عوامل مختلف. در میان آنها، می توان ناقص بودن ابزارها یا روش های اندازه گیری، عدم دقت در ساخت آنها، عدم انطباق را برجسته کرد. شرایط خاصهنگام انجام تحقیقات

چندین طبقه بندی وجود دارد. با توجه به شکل ارائه می توانند مطلق، نسبی و کاهش یافته باشند. اولی تفاوت بین مقدار محاسبه شده و واقعی یک کمیت را نشان می دهد. آنها در واحدهای پدیده اندازه گیری شده بیان می شوند و با فرمول یافت می شوند: ∆x = hisl-hist. موارد دوم با نسبت خطاهای مطلق به مقدار واقعی شاخص تعیین می شوند. در درصد یا سهم اندازه گیری می شود.

خطا کاهش یافته است ابزار اندازه گیریبه عنوان نسبت ∆x به مقدار نرمال کننده xn یافت می شود. بسته به نوع دستگاه هم پذیرفته می شود برابر با حداندازه گیری ها یا به آنها نسبت داده می شود محدوده معین.

با توجه به شرایط وقوع، بین پایه و اضافی تمایز قائل می شوند. اگر اندازه گیری ها در شرایط عادی، سپس نوع اول ظاهر می شود. انحرافات ناشی از مقادیر فراتر از حد طبیعی اضافی هستند. برای ارزیابی آن، اسناد معمولاً استانداردهایی را ایجاد می کنند که در صورت نقض شرایط اندازه گیری، مقدار می تواند تغییر کند.

همچنین خطاها اندازه گیری های فیزیکیبه سیستماتیک، تصادفی و خشن تقسیم می شوند. اولین ها در اثر عواملی ایجاد می شوند که وقتی عمل می کنند بارها تکرار شداندازه گیری ها دومی ناشی از تأثیر دلایل و شخصیت است. از دست دادن مشاهده ای است که به شدت با بقیه تفاوت دارد.

بسته به ماهیت مقدار اندازه گیری شده، می توان از آنها استفاده کرد راه های مختلفخطای اندازه گیری. اولین آنها روش کورنفلد است. بر مبنای حساب دیفرانسیل و انتگرال است فاصله اطمیناناز حداقل تا حداکثر نتایج. خطا در این حالت نصف اختلاف بین این نتایج خواهد بود: ∆x = (xmax-xmin)/2. روش دیگر محاسبه میانگین مربعات خطا است.

اندازه گیری ها را می توان با به درجه ای متفاوتدقت. در عین حال، حتی ابزار دقیق نیز کاملا دقیق نیستند. خطاهای مطلق و نسبی ممکن است کوچک باشند، اما در واقعیت تقریباً همیشه وجود دارند. تفاوت بین تقریبی و مقادیر دقیقمقدار معینی مطلق نامیده می شود خطا. در این مورد، انحراف می تواند بزرگتر و کوچکتر باشد.

شما نیاز خواهید داشت

• - داده های اندازه گیری؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل ها

قبل از محاسبه خطای مطلق، چند فرض را به عنوان داده اولیه در نظر بگیرید. خطاهای فاحش را حذف کنید. فرض کنید که اصلاحات لازم قبلا محاسبه شده و روی نتیجه اعمال شده است. چنین اصلاحیه ای ممکن است انتقال نقطه اندازه گیری اصلی باشد.

قبول به عنوان محل شروعکه خطاهای تصادفی در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که آنها کمتر از سیستماتیک، یعنی مطلق و نسبی، مشخصه این دستگاه خاص هستند.

خطاهای تصادفی حتی بر نتایج اندازه گیری های بسیار دقیق تأثیر می گذارد. بنابراین، هر نتیجه ای کم و بیش نزدیک به مطلق خواهد بود، اما همیشه اختلاف وجود خواهد داشت. این فاصله را تعیین کنید. می توان آن را با فرمول (Xizm- ΔХ)≤Xism ≤ (Xism+ΔХ) بیان کرد.

نزدیک ترین مقدار به مقدار را تعیین کنید. در اندازه گیری ها، محاسبات گرفته می شود که از فرمول در شکل بدست می آید. نتیجه را به عنوان مقدار واقعی بپذیرید. در بسیاری از موارد، خواندن ابزار مرجع به عنوان دقیق پذیرفته می شود.

با دانستن مقدار واقعی، می توانید خطای مطلق را پیدا کنید، که باید در تمام اندازه گیری های بعدی در نظر گرفته شود. مقدار X1 را پیدا کنید - داده های یک اندازه گیری خاص. تفاوت ΔΧ را با کم کردن کوچکتر از بزرگتر تعیین کنید. هنگام تعیین خطا، تنها مدول این تفاوت در نظر گرفته می شود.

توجه داشته باشید

به عنوان یک قاعده، در عمل نمی توان اندازه گیری های کاملا دقیق را انجام داد. بنابراین، حداکثر خطا به عنوان مقدار مرجع در نظر گرفته می شود. او نمایندگی می کند حداکثر مقدارماژول خطای مطلق

مشاوره مفید

که در اندازه گیری های عملیمقدار خطای مطلق معمولاً نصف کوچکترین مقدار تقسیم در نظر گرفته می شود. هنگام کار با اعداد، خطای مطلق نصف مقدار رقمی است که در عدد بعدی قرار دارد اعداد دقیقتخلیه

برای تعیین کلاس دقت یک ابزار، نسبت خطای مطلق به نتیجه اندازه گیری یا به طول مقیاس اهمیت بیشتری دارد.

خطاهای اندازه گیری با نقص ابزار، ابزار و تکنیک ها مرتبط است. دقت به دقت و وضعیت آزمایشگر نیز بستگی دارد. خطاها به مطلق، نسبی و کاهش یافته تقسیم می شوند.

دستورالعمل ها

اجازه دهید یک اندازه گیری منفرد از یک کمیت، نتیجه x را به دست دهد. مقدار واقعی با x0 نشان داده می شود. سپس مطلق خطاΔx=|x-x0|. او مطلق ارزیابی می کند. مطلق خطااز سه جزء تشکیل شده است: خطاهای تصادفی، خطاها و اشتباهات سیستماتیک. معمولاً هنگام اندازه گیری با ابزار، نصف مقدار تقسیم به عنوان خطا در نظر گرفته می شود. برای یک خط کش میلی متری این 0.5 میلی متر است.

مقدار واقعی کمیت اندازه گیری شده در بازه (x-Δx ؛ x+Δx). به طور خلاصه، این به صورت x0=x±Δx نوشته می شود. مهم است که x و Δx را در واحدهای مشابه اندازه گیری کنیم و در قالب یکسان بنویسیم، به عنوان مثال. کل بخشو سه کاما بنابراین، مطلق خطامرزهای بازه‌ای را که مقدار واقعی در آن قرار دارد با احتمال کمی نشان می‌دهد.

نسبت فامیلی خطانسبت خطای مطلق به ارزش واقعیمقادیر: ε(x)=Δx/x0. این یک کمیت بدون بعد است و می تواند به صورت درصد نیز نوشته شود.

اندازه گیری مستقیم و غیر مستقیم در اندازه گیری های مستقیم، مقدار مورد نظر بلافاصله با دستگاه مناسب اندازه گیری می شود. به عنوان مثال، بدنه با خط کش، ولتاژ با یک ولت متر. در اندازه گیری های غیرمستقیم، یک مقدار با استفاده از فرمول رابطه بین آن و مقادیر اندازه گیری شده پیدا می شود.

اگر نتیجه وابستگی به سه کمیت مستقیم اندازه گیری شده با خطاهای Δx1، Δx2، Δx3 باشد، پس خطا اندازه گیری غیر مستقیمΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. در اینجا ∂F/∂x(i) مشتقات جزئی تابع برای هر یک از کمیت های مستقیم اندازه گیری شده هستند.

مشاوره مفید

خطاها عدم دقت فاحش در اندازه‌گیری‌ها هستند که به دلیل عملکرد نادرست ابزار، بی‌توجهی آزمایش‌گر یا نقض روش‌شناسی آزمایشی رخ می‌دهند. برای کاهش احتمال چنین خطاهایی، هنگام اندازه گیری دقت کنید و نتایج به دست آمده را با جزئیات شرح دهید.

منابع:

• رهنمودهابه کار آزمایشگاهیدر فیزیک
• چطوری پیدا کنم خطای مربوطه

نتیجه هر اندازه گیری ناگزیر با انحراف از مقدار واقعی همراه است. خطای اندازه گیری بسته به نوع آن می تواند به روش های مختلفی محاسبه شود، برای مثال، روش های آماریتعیین فاصله اطمینان، انحراف معیار و غیره

هنگام انجام محاسبات، اغلب نیاز به گرد کردن اعداد وجود دارد، یعنی. در جایگزینی آنها با اعداد با ارقام مهم کمتر.

سه راه برای گرد کردن اعداد وجود دارد:

گرد کردن به کرقم قابل توجه از حذف تمام ارقام شروع شده از (k+1)هفتم

گرد کردن به بالا با گرد کردن به پایین متفاوت است زیرا آخرین رقم ذخیره شده یک عدد افزایش می یابد.

گرد کردن نزدیکتر با گرد کردن تفاوت دارد زیرا آخرین رقمی که باید حفظ شود تنها در صورتی یک عدد افزایش می یابد که اولین رقمی که باید کنار گذاشته شود بزرگتر از 4 باشد.

استثنا: اگر گرد کردن با کوچکترین خطا به حذف تنها یک رقم 5 کاهش یابد، در این صورت آخرین رقم حفظ شده اگر زوج باشد تغییر نمی کند و اگر فرد باشد 1 افزایش می یابد.

از قوانین فوق برای گرد کردن اعداد تقریبی چنین نتیجه می شود که خطای ناشی از گرد کردن با کوچکترین خطا از نصف واحد آخرین رقم باقی مانده تجاوز نمی کند و هنگام گرد کردن با کسری یا مازاد، خطا ممکن است بیش از نیم واحد باشد. از آخرین رقم حفظ شده، اما نه بیشتر کل واحداین دسته

بیایید با استفاده از مثال های زیر به این موضوع نگاه کنیم.

1. خطای جمع.اجازه دهید ایکس آ, در-- مقداری تقریبی از مقدار ب. اجازه دهید ایکسو در- خطاهای مطلق تقریب های مربوطه ایکسو در. بیایید حد مطلق خطا را پیدا کنیم ساعت a+bمقادیر x+y، که تقریبی از جمع است a+b.

a = x + x،

b = y + y.

بیایید این دو برابر را اضافه کنیم و بدست آوریم

a + b = x + y + x + y.

بدیهی است که خطا در مجموع تقریب ها ایکسو دربرابر با مجموع خطاهای عبارت ها، یعنی.

(x + y) = x + y

معلوم است که مدول جمع کمتر از یا است برابر با مجموعماژول های اصطلاحات از همین رو

(x + y) = x + y ایکس + y

نتیجه می شود که خطای مطلق مجموع تقریب ها از مجموع اشتباهات مطلق اصطلاحات تجاوز نمی کند. در نتیجه، مجموع حدود اشتباهات مطلق عبارات را می توان حد خطای مطلق جمع در نظر گرفت.

با تعیین حد خطای مطلق مقدار آاز طریق ساعت آ، و مقادیر b through ساعت بخواهد داشت

ساعت a+b = ساعت آ + ساعت ب

2. خطای تفاوت. فرض کنید x و y خطاهای تقریب x و y به ترتیب مقادیر a و b باشد.

a = x + x،

b = y + y.

دومی را از تساوی اول کم کنیم، به دست می آوریم

a - b = (x - y) + (x - y)

بدیهی است که خطای تفاوت بین تقریب ها برابر است با اختلاف بین خطاهای مینیوند و فرعی، یعنی.

(x - y) = x - y),

(x - y) = x + (-y)

و سپس استدلال به همان صورت در مورد جمع خواهیم داشت

(x - y) = x + (-y) ایکس + y

نتیجه این است که خطای مطلق تفاوت از مجموع خطاهای مطلق ریزه کاری و فرعی تجاوز نمی کند.

حد خطای مطلق تفاوت را می توان به عنوان مجموع حدود خطاهای مطلق کم و فرع در نظر گرفت. بدین ترتیب.

ساعت الف-ب = ساعت آ +h ب (9)

از فرمول (9) چنین بر می آید که حد خطای مطلق اختلاف نمی تواند کمتر از حد خطای مطلق هر تقریب باشد. این منجر به قانون تفریق تقریب ها می شود که گاهی اوقات در محاسبات استفاده می شود.

هنگام تفریق اعدادی که تقریبی مقادیر معینی هستند، نتیجه باید به همان تعداد رقم پس از اعشار باقی بماند که تقریب با کوچکترین عدداعداد بعد از نقطه اعشار

3. خطای محصول.حاصل ضرب اعداد را در نظر بگیرید ایکسو در، که تقریبی از مقادیر هستند آو ب. اجازه دهید با نشان دادن ایکسخطای تقریب ایکس، و از طریق در-- خطای تقریب در,

a = x + x،

b = y + y.

با ضرب این دو برابری به دست می آید

خطای مطلق محصول xyمساوی با

و بنابراین

تقسیم دو طرف نابرابری حاصل بر xy، ما گرفتیم

با توجه به اینکه مدول محصول برابر با محصولمدول عوامل، خواهیم داشت

در اینجا سمت چپ نابرابری نشان دهنده خطای نسبی محصول است xy, -- خطای تقریب نسبی ایکس، و خطای نسبی تقریب است در. در نتیجه، با کنار گذاشتن مقدار کوچک در اینجا، نابرابری را بدست می آوریم

بنابراین، خطای نسبی حاصل ضرب تقریب ها از مجموع خطاهای نسبی عوامل تجاوز نمی کند. نتیجه می شود که مجموع حدود خطاهای نسبی عوامل، حد خطای نسبی محصول است، یعنی.

E ab = E آ +E ب (10)

از فرمول (10) چنین برمی‌آید که حد خطای نسبی محصول نمی‌تواند کمتر از حد خطای نسبی کمترین دقت باشد. بنابراین، در اینجا، مانند مراحل قبلی، ذخیره تعداد بیش از حد ارقام قابل توجه در فاکتورها بی معنی است.

گاهی اوقات هنگام انجام محاسبات برای کاهش میزان کار مفید است که توسط آن راهنمایی شوید قانون زیر: هنگام ضرب تقریب ها با عدد متفاوتارقام معنی دار، نتیجه باید حفظ همان تعداد ارقام مهم باشد که تقریبی با کمترین تعداد ارقام معنی دار دارد.

4. خطای ضریب. اگر x تقریبی از کمیت a باشد که خطای آن x است و y تقریبی از کمیت b با خطای y باشد، آنگاه

اجازه دهید ابتدا خطای مطلق ضریب را محاسبه کنیم:

و سپس خطای نسبی:

با در نظر گرفتن اینکه yکمی در مقایسه با y, قدر مطلقکسرها قابل شمارش هستند برابر با یک. سپس

از آخرین فرمول نتیجه می شود که خطای نسبی ضریب از مجموع خطاهای نسبی سود تقسیمی و مقسوم علیه تجاوز نمی کند. در نتیجه، می توانیم فرض کنیم که حد خطای نسبی ضریب برابر است با مجموع حدود خطاهای نسبی سود تقسیمی و مقسوم علیه، یعنی.

5. خطای درجه و ریشه. 1) اجازه دهید u = a n، جایی که n -- عدد طبیعیو یک x بگذارید. سپس اگر E آ- حد خطای تقریب نسبی ایکسمقادیر آ، آن

و بنابراین

بنابراین، حد خطای نسبی درجه برابر است با حاصلضرب حد خطای نسبی مبنا و توان، یعنی.

E تو = n E آ (11)

2) اجازه دهید کجا n-- یک عدد طبیعی و اجازه دهید اوه.

طبق فرمول (11)

و بنابراین

خطا کسر محاسبه

بنابراین، مرز خطای نسبی ریشه nدرجه ام در nبرابر کمتر از حد خطای نسبی عدد رادیکال.

6. مسئله معکوس محاسبات تقریبی. در مسئله مستقیم، باید مقدار تقریبی تابع u=f(x,y,...,n) را با استفاده از مقادیر تقریبی داده شده آرگومان ها پیدا کرد.

و محدودیت خطا ساعت آ، که از طریق خطاهای آرگومان های یک تابع خاص بیان می شود

ساعت تو = (h ایکس ، h y ، …، h z ) (12)

در عمل، اغلب باید مشکل معکوس را حل کنید، که در آن باید دریابید که مقادیر آرگومان ها باید با چه دقتی مشخص شوند. x، y، …، zبرای محاسبه مقادیر تابع مربوطه u = f(x، y، …، z)با دقت از پیش تعیین شده h u .

بنابراین، هنگام حل مشکل معکوسمحدودیت های جستجو محدودیت های خطای آرگومان های مرتبط با حد خطای تابع داده شده هستند ساعت تومعادله (12) و حل مسئله معکوس به ترکیب و حل معادله خلاصه می شود. ساعت تو = (h ایکس ، h y ، …، h z ) به طور نسبی ساعت ایکس ، h y ، …، h z. چنین معادله ای یا دارد مجموعه بی نهایتراه حل دارد یا اصلاً راه حلی ندارد. اگر حداقل یک راه حل برای چنین معادله ای پیدا شود، مسئله حل شده در نظر گرفته می شود.

برای حل مسئله معکوس، که اغلب نامشخص است، لازم است شرایط اضافی در مورد نسبت خطاهای جستجو شده، برای مثال، برابر در نظر گرفتن آنها و در نتیجه کاهش مسئله به معادله ای با یک مجهول، ارائه شود.