Finden Sie die Schnittpunkte dieser Linien. Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene. Die relative Position der Linien. Winkel zwischen Geraden. So finden Sie den Schnittpunkt zweier Geraden

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Aufgabe

Finden Sie den Schnittpunkt zweier gerader Linien, die aus zwei Punkten mit gezeichnet wurden bekannte Koordinaten und Azimute von diesen Punkten.

Anwendung

Um das Verhalten von Tieren zu untersuchen, wird häufig die Methode der Radiotelemetrie verwendet: Das Untersuchungsobjekt wird mit einem Funksender markiert, der ein Funksignal einer bestimmten Frequenz aussendet, und dann überwacht der Forscher mit einem Empfänger und einer Empfangsantenne die Bewegungen dieses Objekts. Einer von mögliche Wege Definitionen genaue Position Objekt ist die Biangulationsmethode. Dazu muss der Forscher von Punkten mit bekannten Koordinaten zwei Azimute zum Untersuchungsobjekt aufnehmen. Der Standort des Objekts entspricht dem Schnittpunkt dieser beiden Azimute. Die Koordinaten der Punkte, von denen aus Azimute gemessen werden, können mit einem Satellitennavigator (GPS) ermittelt werden, oder es werden Azimute von dort ermittelt Bezugspunkte, deren Koordinaten im Voraus bekannt sind. Azimut ist in diesem Fall die Richtung zur Quelle des stärksten Signals, das von einem vom Sender markierten Objekt ausgeht, normalerweise gemessen in Grad.

Vor den Berechnungen ist es notwendig, die mit GPS ermittelten Punkte in ein projiziertes Koordinatensystem umzuwandeln, beispielsweise die entsprechende UTM-Zone; dies kann mit DNRGarmin erfolgen;

Damit der berechnete Standort des Untersuchungsobjekts möglichst genau der tatsächlichen Position entspricht, muss Folgendes berücksichtigt werden:

1) Sie müssen versuchen zu warten, bis der Fehler bei der Koordinatenbestimmung im Navigator so gering wie möglich ist.

2) so dass der Winkel zwischen den Azimuten 90 Grad beträgt (zumindest mehr als 30 und weniger als 150 Grad).

Die Entfernung, aus der der Azimut gemessen werden sollte, hängt von der Reichweite des Senders ab. Als Faustregel gilt, dass der Fehler bei der Bestimmung des Azimuts alle 10 m mit der Entfernung vom untersuchten Objekt um 1 Meter zunimmt. Bei einer Azimutmessung mit einer Entfernung zu einem Objekt von 100 m beträgt der Fehler 10 m. Diese Regel gilt jedoch in flachen, offenen Bereichen. Es ist zu berücksichtigen, dass unebenes Gelände sowie Baum- und Strauchbewuchs das Signal abschirmen und reflektieren. Sie sollten es vermeiden, sich in unmittelbarer Nähe des zu untersuchenden Objekts aufzuhalten, denn Erstens erschwert ein zu starkes Signal die Bestimmung exakter Azimut, und zweitens wird es in einigen Fällen unmöglich sein, den Schnittpunkt zu berechnen, da der zweite Azimut hinter dem Punkt verläuft, an dem der erste Azimut gemessen wird. Der Zeitabstand zwischen der Aufnahme eines Azimutpaares sollte minimiert werden, hängt aber natürlich von der Mobilität des untersuchten Tieres ab.

Lösung

Das Problem wird mit gelöst einfachste Geometrie und Lösen eines Gleichungssystems.
Zunächst erhalten wir aus Punkt und Azimut die Geradengleichung, dazu:

Aus einer allgemeinen Gleichung:

ax + by + c = 0

vorausgesetzt, dass b<>0 bekommen wir

y = kx + d , Wo k=-(a/b) , d=-(c/b)

so erhalten wir

k=tan(a)
d=y-tan(a)*x
b=1

k1x + d1 = y
k2x + d2 = y

Wir erhalten die X- und Y-Koordinaten des gemeinsamen Punktes zweier Geraden (des Schnittpunkts).

Die Gleichung muss zwei enthalten besondere Anlässe, wenn die Geraden parallel sind (k1=k2).

Da es sich nicht um Vektoren oder Strahlen handelt, also Linien keinen Anfang und kein Ende haben, muss auch der Fall des Schnittpunkts von Linien außerhalb des interessierenden Bereichs, der sogenannte. falscher Schnittpunkt. Die Lösung dieses Problems wird erreicht, indem der Azimut vom falschen Punkt a3 zum Punkt 2 gemessen wird. Wenn der Azimut a3 = a2 ist, dann ist der Schnittpunkt falsch, und der Rückkehrazimut vom resultierenden Punkt zurück zum ursprünglichen Punkt 2 sollte nicht gleich sein einer der ursprünglichen Azimute.

Das erforderliche Verfahren in der Avenue-Sprache sieht folgendermaßen aus:

a1rad = (90-a1)*pi/180
a2rad = (90-a2)*pi/180"wenn die Linie parallel zur x-Achse ist
wenn ((a1 = 0) oder (a1 = 180)) dann
l1a = 1
l1b = 0
l1c = x1
anders
l1a = -(a1rad.tan)
l1b = 1
l1c = y1 - (a1rad.tan*x1)
Ende
wenn ((a2 = 0) oder (a2 = 180)) dann
l2a = 1
l2b = 0
l2c = x2
anders
l2a = -(a2rad.tan)
l2b = 1
l2c = y2 - (a2rad.tan*x2)
Ende
D1 = l1a*l2b
D2 = l2a*l1b
D3 = D1 - D2
„Wenn die Linien parallel sind, werden nicht vorhandene Werte in das Ergebnisfeld geschrieben
wenn (D3 = 0), dann
resX = 9999
resY = 9999
sonst resX = ((l1c*l2b) - (l2c*l1b))/D3
resY = ((l1a*l2c) - (l2a*l1c))/D3 end

Wenn zwei Geraden nicht parallel sind, schneiden sie sich zwangsläufig in einem Punkt. Entdecken Koordinaten Punkte Der Schnittpunkt zweier Geraden ist sowohl grafisch als auch rechnerisch zulässig, je nachdem, welche Daten die Aufgabe liefert.

Du wirst brauchen

• – zwei gerade Linien in der Zeichnung;
• – Gleichungen aus 2 Geraden.

Anweisungen

1. Finden Sie die Lösung, wenn die geraden Linien im Diagramm eng beieinander liegen grafische Methode. Führen Sie dazu beide oder eine der Linien so fort, dass sie sich schneiden. Markieren Sie danach den Schnittpunkt und senken Sie eine Senkrechte von diesem auf die x-Achse ab (wie üblich, oh).

2. Ermitteln Sie mithilfe der auf der Achse markierten Skalenmarkierungen den x-Wert für diesen Punkt. Liegt er in positiver Richtung der Achse (rechts von der Nullmarke), ist sein Wert korrekt, andernfalls ist er negativ.

3. Finden Sie auch die Ordinate des Schnittpunkts richtig. Liegt die Projektion eines Punktes über der Nullmarke, ist sie korrekt, liegt sie darunter, ist sie negativ. Schreiben Sie die Koordinaten des Punktes in der Form (x, y) auf – das ist die Lösung des Problems.

4. Wenn die Linien in Form der Formeln y=khx+b angegeben sind, können Sie das Problem auch grafisch lösen: Zeichnen Sie die Linien auf ein Koordinatengitter und finden Sie die Lösung mit der oben beschriebenen Methode.

5. Versuchen Sie, mithilfe dieser Formeln die Lösung des Problems zu finden. Erstellen Sie dazu ein System aus diesen Gleichungen und lösen Sie es. Wenn die Gleichungen in der Form y=khx+b angegeben sind, setzen Sie einfach beide Seiten mit x gleich und ermitteln Sie x. Setzen Sie dann den Wert von x in eine der Gleichungen ein und ermitteln Sie y.

6. Mit der Cramer-Methode können Sie eine Lösung finden. Reduzieren Sie in diesem Fall die Gleichungen auf die Form A1x+B1y+C1=0 und A2x+B2y+C2=0. Nach Cramers Formel ist x=-(C1B2-C2B1)/(A1B2-A2B1) und y=-(A1C2-A2C1)/(A1B2-A2B1). Bitte beachten Sie, dass der Nenner gleich Null, dann sind die Geraden parallel oder fallen zusammen und schneiden sich dementsprechend nicht.

7. Wenn Sie Linien im Raum in kanonischer Form erhalten, prüfen Sie vor der Suche nach einer Lösung, ob die Linien parallel sind. Bewerten Sie dazu die Exponenten vor t, wenn sie proportional sind, beispielsweise x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t und x=-1+6t, y=-1+4t, z =-5 +2t, dann sind die Linien parallel. Darüber hinaus können sich Linien schneiden, sodass das System in diesem Fall keine Lösung hat.

8. Wenn Sie feststellen, dass sich Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt. Setzen Sie zunächst Variablen aus verschiedenen Zeilen gleich und ersetzen Sie t bedingt durch u für die erste Zeile und durch v für die zweite Zeile. Angenommen, wenn Ihnen die Zeilen x=t-1, y=2t+1, z=t+2 und x=t+1, y=t+1, z=2t+8 gegeben werden, erhalten Sie Ausdrücke wie u-1 =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Drücken Sie u aus einer Gleichung aus, setzen Sie es in eine andere ein und finden Sie v (in dieser Aufgabe u=-2, v=-4). Um nun den Schnittpunkt zu finden, ersetzen Sie t durch die erhaltenen Werte (es spielt in der ersten oder zweiten Gleichung keine Rolle) und erhalten Sie die Koordinaten des Punktes x=-3, y=-3, z =0.

Betrachten wir 2 Schnittpunkte Direkte Es reicht aus, sie in einer Ebene zu betrachten, da zwei Schnittlinien in derselben Ebene liegen. Die Gleichungen davon kennen Direkte, ist es möglich, die Koordinate ihres Punktes zu erkennen Kreuzungen .

Du wirst brauchen

• Gleichungen von Linien

Anweisungen

1. IN Kartesischen Koordinaten Alle allgemeine Gleichung Die Gerade sieht so aus: Ax+By+C = 0. Lassen Sie zwei Geraden sich schneiden. Die Gleichung der ersten Zeile lautet Ax+By+C = 0, die zweite Zeile lautet Dx+Ey+F = 0. Zur Erkennung müssen alle Indikatoren (A, B, C, D, E, F) angegeben werden ein Punkt Kreuzungen diese Direkte Es ist notwendig, das System dieser 2 zu lösen lineare Gleichungen.

2. Zur Lösung ist es praktisch, die erste Gleichung mit E und die zweite mit B zu multiplizieren. Als Ergebnis sehen die Gleichungen wie folgt aus: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Nach Subtraktion der zweiten Gleichung aus der ersten Gleichung ergibt sich: (AE-DB)x = FB-CE. Daher gilt x = (FB-CE)/(AE-DB). Analog dazu gilt die erste Gleichung Ausgangssystem Sie können mit D multiplizieren, die zweite mit A und dann wieder die zweite von der ersten subtrahieren. Als Ergebnis ist y = (CD-FA)/(AE-DB). Die resultierenden x- und y-Werte sind die Koordinaten des Punktes Kreuzungen Direkte .

3. Gleichungen Direkte kann auch durch den Winkelexponenten k geschrieben werden, gleich Tangente Neigungswinkel einer Geraden. In diesem Fall hat die Geradengleichung die Form y = kx+b. Die Gleichung der ersten Zeile sei nun y = k1*x+b1 und die Gleichung der zweiten Zeile sei y = k2*x+b2.

4. Wenn wir die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen gleichsetzen, erhalten wir: k1*x+b1 = k2*x+b2. Daraus ergibt sich leicht x = (b1-b2)/(k2-k1). Nachdem Sie diesen x-Wert in eine der Gleichungen eingesetzt haben, erhalten Sie: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Die x- und y-Werte geben die Koordinaten des Punktes an Kreuzungen Direkte.Wenn zwei Geraden parallel sind oder zusammenfallen, dann haben sie nicht alles Gemeinsame Punkte bzw. unendlich viele universelle Punkte haben. In diesen Fällen ist k1 = k2, Nenner für die Koordinaten der Punkte Kreuzungen wird verschwinden, daher wird das System keine klassische Lösung haben. Das System kann nur eine haben klassische Lösung, was bedingungslos ist, weil die beiden divergent sind und nicht paralleler Freund zueinander können Geraden nur einen Punkt haben Kreuzungen .

Video zum Thema

Um zu entscheiden geometrisches Problem Bei der Koordinatenmethode ist ein Schnittpunkt erforderlich, dessen Koordinaten in der Lösung verwendet werden. Es entsteht eine Situation, in der Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in einer Ebene suchen oder die Koordinaten derselben Geraden im Raum bestimmen müssen. Dieser Artikel Betrachtet Fälle der Ermittlung der Koordinaten von Punkten, an denen sich bestimmte Linien schneiden.

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Es ist notwendig, die Schnittpunkte zweier Geraden zu definieren.

Der Abschnitt über die relative Lage von Geraden in einer Ebene zeigt, dass sie zusammenfallen, parallel sein, sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden oder sich schneiden können. Zwei Geraden im Raum heißen sich schneidend, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Die Definition des Schnittpunktes von Geraden klingt so:

Definition 1

Der Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden, wird ihr Schnittpunkt genannt. Mit anderen Worten: Der Schnittpunkt der Geraden ist der Schnittpunkt.

Schauen wir uns die Abbildung unten an.

Bevor Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien ermitteln, müssen Sie das folgende Beispiel betrachten.

Wenn die Ebene ein Koordinatensystem O x y hat, werden zwei Geraden a und b angegeben. Linie a entspricht einer allgemeinen Gleichung der Form A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, für Linie b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Dann ist M 0 (x 0 , y 0) ein bestimmter Punkt der Ebene. Es muss bestimmt werden, ob der Punkt M 0 der Schnittpunkt dieser Linien ist.

Um das Problem zu lösen, ist es notwendig, sich an die Definition zu halten. Dann müssen sich die Geraden in einem Punkt schneiden, dessen Koordinaten die Lösung der gegebenen Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 sind. Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Schnittpunkts in allen ersetzt werden gegebene Gleichungen. Wenn sie bei der Substitution die richtige Identität ergeben, gilt M 0 (x 0 , y 0) als ihr Schnittpunkt.

Beispiel 1

Gegeben seien zwei Schnittlinien 5 x - 2 y - 16 = 0 und 2 x - 5 y - 19 = 0. Wird der Punkt M 0 mit den Koordinaten (2, - 3) ein Schnittpunkt sein?

Lösung

Damit der Schnittpunkt der Geraden gültig ist, ist es notwendig, dass die Koordinaten des Punktes M 0 die Gleichungen der Geraden erfüllen. Dies kann durch Ersetzen überprüft werden. Wir verstehen das

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Beide Gleichungen sind wahr, was bedeutet, dass M 0 (2, - 3) der Schnittpunkt der gegebenen Geraden ist.

Lassen Sie uns darstellen diese Entscheidung auf der Koordinatenlinie der Abbildung unten.

Antwort:Sollwert mit den Koordinaten (2, - 3) wird der Schnittpunkt der angegebenen Linien sein.

Beispiel 2

Werden sich die Linien 5 x + 3 y - 1 = 0 und 7 x - 2 y + 11 = 0 im Punkt M 0 (2, - 3) schneiden?

Lösung

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die Koordinaten des Punktes in alle Gleichungen einsetzen. Wir verstehen das

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Die zweite Gleichheit ist nicht wahr, sie bedeutet, dass der gegebene Punkt nicht zur Linie 7 x - 2 y + 11 = 0 gehört. Daraus folgt, dass der Punkt M 0 nicht der Schnittpunkt der Geraden ist.

Die Zeichnung zeigt deutlich, dass M 0 nicht der Schnittpunkt der Linien ist. Sie haben einen gemeinsamen Punkt mit den Koordinaten (- 1, 2).

Antwort: Der Punkt mit den Koordinaten (2, - 3) ist nicht der Schnittpunkt der angegebenen Geraden.

Wir fahren damit fort, die Koordinaten der Schnittpunkte zweier Linien mithilfe der angegebenen Gleichungen in der Ebene zu ermitteln.

Zwei sich schneidende Linien a und b werden durch Gleichungen der Form A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 spezifiziert, die sich bei O ​​x y befinden. Bei der Bestimmung des Schnittpunkts M 0 stellen wir fest, dass wir weiterhin nach Koordinaten suchen sollten, indem wir die Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 verwenden.

Aus der Definition geht hervor, dass M 0 der gemeinsame Schnittpunkt der Geraden ist. In diesem Fall müssen seine Koordinaten die Gleichungen A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 und A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 erfüllen. Mit anderen Worten, dies ist die Lösung des resultierenden Systems A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Das bedeutet, dass zum Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts alle Gleichungen zum System hinzugefügt und gelöst werden müssen.

Beispiel 3

Gegeben sind zwei Geraden x - 9 y + 14 = 0 und 5 x - 2 y - 16 = 0 in der Ebene. Es ist notwendig, ihren Schnittpunkt zu finden.

Lösung

Daten zu den Bedingungen der Gleichung müssen im System gesammelt werden, woraufhin wir x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 erhalten. Um es zu lösen, lösen Sie die erste Gleichung nach x und setzen Sie den Ausdruck in die zweite ein:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Die resultierenden Zahlen sind die Koordinaten, die gefunden werden mussten.

Antwort: M 0 (4, 2) ist der Schnittpunkt der Geraden x - 9 y + 14 = 0 und 5 x - 2 y - 16 = 0.

Beim Finden von Koordinaten geht es darum, ein System linearer Gleichungen zu lösen. Wenn durch die Bedingung eine andere Art von Gleichung gegeben ist, sollte diese auf die Normalform reduziert werden.

Beispiel 4

Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden x - 5 = y - 4 - 3 und x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Lösung

Zuerst müssen Sie die Gleichungen aufstellen Gesamterscheinung. Dann erhalten wir, dass x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R wie folgt transformiert wird:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Dann nehmen wir uns der Gleichung an kanonische Form x - 5 = y - 4 - 3 und transformieren. Wir verstehen das

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Von hier aus haben wir, dass die Koordinaten der Schnittpunkt sind

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Verwenden wir die Cramer-Methode, um Koordinaten zu finden:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Antwort: M 0 (- 5 , 1) .

Es gibt auch eine Möglichkeit, die Koordinaten des Schnittpunkts von Linien auf einer Ebene zu ermitteln. Es ist anwendbar, wenn eine der Geraden durch parametrische Gleichungen der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R gegeben ist. Dann ersetzen wir anstelle des Wertes x x = x 1 + a x · λ und y = y 1 + a y · λ, wobei wir λ = λ 0 erhalten, entsprechend dem Schnittpunkt mit den Koordinaten x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Beispiel 5

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R und x - 5 = y - 4 - 3.

Lösung

Es ist notwendig, eine Substitution in x - 5 = y - 4 - 3 mit dem Ausdruck x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ durchzuführen, dann erhalten wir:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Bei der Lösung stellen wir fest, dass λ = - 1. Daraus folgt, dass es einen Schnittpunkt zwischen den Geraden x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R und x - 5 = y - 4 - 3 gibt. Um die Koordinaten zu berechnen, müssen Sie den Ausdruck λ = - 1 in die Parametergleichung einsetzen. Dann erhalten wir x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Antwort: M 0 (- 5 , 1) .

Für volles Verständnis Themen müssen Sie einige Nuancen kennen.

Zuerst müssen Sie die Position der Linien verstehen. Wenn sie sich schneiden, finden wir die Koordinaten; in anderen Fällen gibt es keine Lösung. Um diese Prüfung zu vermeiden, können Sie ein System der Form A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 erstellen. Wenn es eine Lösung gibt, schließen wir, dass sich die Geraden schneiden. Gibt es keine Lösung, dann sind sie parallel. Wenn das System hat unendliche Menge Lösungen, dann sollen sie übereinstimmen.

Beispiel 6

Gegeben sind die Linien x 3 + y - 4 = 1 und y = 4 3 x - 4. Stellen Sie fest, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Lösung

Wenn wir die gegebenen Gleichungen vereinfachen, erhalten wir 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 und 4 3 x - y - 4 = 0.

Die Gleichungen sollten zur späteren Lösung in einem System zusammengefasst werden:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Daraus können wir erkennen, dass die Gleichungen durch einander ausgedrückt werden, dann erhalten wir unendlich viele Lösungen. Dann definieren die Gleichungen x 3 + y - 4 = 1 und y = 4 3 x - 4 dieselbe Linie. Daher gibt es keine Schnittpunkte.

Antwort: Die angegebenen Gleichungen definieren dieselbe Gerade.

Beispiel 7

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 und 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Lösung

Je nach Bedingung ist dies möglich, die Linien werden sich nicht schneiden. Es ist notwendig, ein Gleichungssystem zu erstellen und zu lösen. Zur Lösung muss die Gaußsche Methode verwendet werden, da mit ihrer Hilfe die Gleichung auf Kompatibilität überprüft werden kann. Wir erhalten ein System der Form:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Wir haben eine falsche Gleichheit erhalten, was bedeutet, dass das System keine Lösungen hat. Wir schließen daraus, dass die Linien parallel sind. Es gibt keine Schnittpunkte.

Zweite Lösung.

Zuerst müssen Sie das Vorhandensein von Schnittpunkten der Linien feststellen.

n 1 → = (2 , 2 - 3) ist der Normalenvektor der Geraden 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , dann ist der Vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - Normalenvektor für die Linie 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Es ist notwendig, die Kollinearität der Vektoren n 1 → = (2, 2 - 3) und n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) zu überprüfen. Wir erhalten eine Gleichheit der Form 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Es ist richtig, weil 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Daraus folgt, dass die Vektoren kollinear sind. Das bedeutet, dass die Geraden parallel sind und keine Schnittpunkte haben.

Antwort: Es gibt keine Schnittpunkte, die Linien sind parallel.

Beispiel 8

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der gegebenen Linien 2 x - 1 = 0 und y = 5 4 x - 2 .

Lösung

Zur Lösung stellen wir ein Gleichungssystem auf. Wir bekommen

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Finden wir die Determinante der Hauptmatrix. Dafür gilt 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Da es ungleich Null ist, hat das System 1 Lösung. Daraus folgt, dass sich die Linien schneiden. Lassen Sie uns ein System zum Ermitteln der Koordinaten von Schnittpunkten lösen:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Wir haben festgestellt, dass der Schnittpunkt der angegebenen Linien die Koordinaten M 0 (1 2, - 11 8) hat.

Antwort: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien im Raum

Auf die gleiche Weise werden die Schnittpunkte von Geraden im Raum ermittelt.

Wenn die Geraden a und b angegeben sind Koordinatenebene O x y z Gleichungen sich schneidender Ebenen, dann gibt es eine Gerade a, die mit bestimmt werden kann gegebenes System A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 und Gerade b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Wenn der Punkt M 0 der Schnittpunkt der Geraden ist, müssen seine Koordinaten Lösungen beider Gleichungen sein. Wir erhalten lineare Gleichungen im System:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Lassen Sie uns überlegen ähnliche Aufgaben mit Beispielen.

Beispiel 9

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der gegebenen Geraden x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 und 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Lösung

Wir bilden das System x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 und lösen es. Um die Koordinaten zu finden, müssen Sie die Matrix durchlösen. Dann erhalten wir die Hauptmatrix der Form A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 und die erweiterte Matrix T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Wir bestimmen den Gaußschen Rang der Matrix.

Wir verstehen das

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Daraus folgt, dass der Rang der erweiterten Matrix den Wert 3 hat. Dann ergibt das Gleichungssystem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 nur eine Lösung.

Hat die Basis Minor die Determinante 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , dann gilt die letzte Gleichung nicht. Wir erhalten, dass x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Lösung des Systems x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Das bedeutet, dass der Schnittpunkt x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 und 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 die Koordinaten (1, - 3, 0) hat.

Antwort: (1 , - 3 , 0) .

System der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 hat nur eine Lösung. Das bedeutet, dass sich die Linien a und b schneiden.

In anderen Fällen hat die Gleichung keine Lösung, also auch keine gemeinsamen Punkte. Das heißt, es ist unmöglich, einen Punkt mit Koordinaten zu finden, da er nicht existiert.

Daher ist ein System der Form A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 wird nach der Gaußschen Methode gelöst. Wenn es nicht kompatibel ist, schneiden sich die Linien nicht. Gibt es unendlich viele Lösungen, dann fallen sie zusammen.

Sie können das Problem lösen, indem Sie den Basis- und erweiterten Rang der Matrix berechnen und dann den Kronecker-Capelli-Satz anwenden. Wir bekommen eins, viele oder völlige Abwesenheit Entscheidungen.

Beispiel 10

Gegeben sind die Gleichungen der Geraden x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 und x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Finden Sie den Schnittpunkt.

Lösung

Erstellen wir zunächst ein Gleichungssystem. Wir erhalten, dass x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Wir lösen es mit der Gaußschen Methode:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Offensichtlich hat das System keine Lösungen, was bedeutet, dass sich die Geraden nicht schneiden. Es gibt keinen Schnittpunkt.

Antwort: es gibt keinen Schnittpunkt.

Wenn Linien mit konischem oder definiert werden parametrische Gleichungen, müssen Sie es auf die Form von Gleichungen sich schneidender Ebenen reduzieren und dann die Koordinaten ermitteln.

Beispiel 11

Gegeben sind zwei Geraden x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R und x 2 = y - 3 0 = z 5 in O x y z. Finden Sie den Schnittpunkt.

Lösung

Wir definieren Geraden durch Gleichungen zweier sich schneidender Ebenen. Wir verstehen das

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Wir finden die Koordinaten 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, dazu berechnen wir die Ränge der Matrix. Der Rang der Matrix ist 3, und grundlegendes Nebenfach 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, was bedeutet, dass die letzte Gleichung aus dem System ausgeschlossen werden muss. Wir verstehen das

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Lösen wir das System mit der Cramer-Methode. Wir erhalten, dass x = - 2 y = 3 z = - 5. Daraus ergibt sich, dass der Schnittpunkt der gegebenen Geraden einen Punkt mit den Koordinaten (- 2, 3, - 5) ergibt.

Antwort: (- 2 , 3 , - 5) .

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Wenn sich die Geraden in einem Punkt schneiden, dann sind dessen Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

Bitte schön geometrische Bedeutung Systeme aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten- Dies sind (meistens) zwei sich schneidende Linien in einer Ebene.

Es ist zweckmäßig, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass Folgendes erforderlich ist:
1) Schreiben Sie eine Gleichung einer geraden Linie.
2) Schreiben Sie eine Gleichung für die zweite Zeile.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Linien.
4) Wenn sich die Linien schneiden, ermitteln Sie den Schnittpunkt.

Beispiel 13.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es empfiehlt sich, den Schnittpunkt zu suchen analytische Methode. Lassen Sie uns das System lösen:

Antwort:

S.6.4. Abstand vom Punkt zur Linie

Wir haben einen geraden Flussstreifen vor uns und unsere Aufgabe ist es, auf dem kürzesten Weg dorthin zu gelangen. Es gibt keine Hindernisse und die optimale Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden ist die Länge des senkrechten Abschnitts.

Der Abstand wird in der Geometrie traditionell als Abstand bezeichnet griechischer Brief„ro“, zum Beispiel: – der Abstand vom Punkt „em“ zur Geraden „de“.

Entfernung vom Punkt zu einer geraden Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 14.

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antwort:

S.6.5. Winkel zwischen Geraden.

Beispiel 15.

Finden Sie den Winkel zwischen den Linien.

1. Prüfen Sie, ob die Linien senkrecht stehen:

Rechnen wir Skalarprodukt richtende Vektoren von Geraden:
, was bedeutet, dass die Linien nicht senkrecht sind.
2. Ermitteln Sie den Winkel zwischen Geraden mit der Formel:

Auf diese Weise:

Antwort:

Kurven zweiter Ordnung. Kreis

Lassen Sie sich im Flugzeug verabreichen rechteckiges System Koordinaten 0xy.

Kurve zweiter Ordnung ist eine Linie auf einer Ebene, die durch eine Gleichung zweiten Grades relativ zu den aktuellen Koordinaten des Punktes M(x, y, z) definiert wird. IN Allgemeiner Fall Diese Gleichung sieht so aus:

wobei die Koeffizienten A, B, C, D, E, L beliebig sind reale Nummern, und mindestens eine der Zahlen A, B, C ist von Null verschieden.

1.Kreis ist die Menge der Punkte auf der Ebene, deren Abstand zu einem festen Punkt M 0 (x 0, y 0) konstant und gleich R ist. Der Punkt M 0 wird als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet, und die Zahl R ist seine Radius

– Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt M 0 (x 0, y 0) und Radius R.

Wenn der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt, dann gilt:

– kanonische Gleichung Kreise.

Ellipse.

Ellipse ist eine Menge von Punkten auf einer Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten jeweils ein konstanter Wert ist (und dieser Wert größer ist als die Abstände zwischen diesen Punkten). Diese Punkte werden aufgerufen Ellipsenschwerpunkte.

ist die kanonische Gleichung der Ellipse.

Die Beziehung heißt Exzentrizität Ellipse und wird bezeichnet mit: , . Seit damals< 1.

Wenn das Verhältnis abnimmt, tendiert es folglich zu 1, d. h. b unterscheidet sich kaum von a und die Form der Ellipse nähert sich der Form eines Kreises an. Im Grenzfall wenn , wir erhalten einen Kreis, dessen Gleichung lautet

x 2 + y 2 = a 2.

Hyperbel

Hyperbel ist eine Menge von Punkten auf der Ebene, für jeden davon Absolutwert Abstandsunterschied zu zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks ist eine konstante Größe (vorausgesetzt, diese Größe ist kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten und ungleich 0).

Seien F 1, F 2 die Brennpunkte, der Abstand zwischen ihnen wird mit 2с, dem Parameter der Parabel, bezeichnet.

– kanonische Gleichung einer Parabel.

Beachten Sie, dass die Gleichung für negatives p auch eine Parabel angibt, die sich links von der 0y-Achse befindet. Die Gleichung beschreibt eine Parabel, die symmetrisch zur 0y-Achse ist und für p > 0 oberhalb der 0x-Achse und für p unterhalb der 0x-Achse liegt< 0.

1. Um die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionsgraphen zu finden, müssen Sie beide Funktionen miteinander gleichsetzen, alle Terme, die $ x $ enthalten, auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite verschieben und die Wurzeln von finden resultierende Gleichung.
2. Die zweite Methode besteht darin, ein Gleichungssystem zu erstellen und es durch Einsetzen einer Funktion in eine andere zu lösen
3. Die dritte Methode beinhaltet die grafische Konstruktion von Funktionen und visuelle Definition Schnittpunkte.

Der Fall zweier linearer Funktionen

Betrachten wir zwei lineare Funktionen$ f(x) = k_1 x+m_1 $ und $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Diese Funktionen heißen direkt. Es ist ziemlich einfach, sie zu konstruieren; Sie müssen zwei beliebige Werte $ x_1 $ und $ x_2 $ nehmen und $ f(x_1) $ und $ (x_2) $ finden. Dann wiederholen Sie dasselbe mit der Funktion $ g(x) $. Als nächstes ermitteln Sie visuell die Koordinate des Schnittpunkts der Funktionsgraphen.

Sie sollten wissen, dass lineare Funktionen nur einen Schnittpunkt haben und nur dann, wenn $ k_1 \neq k_2 $. Ansonsten sind im Fall von $ k_1=k_2 $ die Funktionen parallel zueinander, da $ k $ der Steigungskoeffizient ist. Wenn $ k_1 \neq k_2 $, aber $ m_1=m_2 $, dann ist der Schnittpunkt $ M(0;m) $. Es ist ratsam, sich diese Regel zu merken, um Probleme schnell lösen zu können.

Beispiel 1

Gegeben seien $ f(x) = 2x-5 $ und $ g(x)=x+3 $. Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionsgraphen.

Lösung

Wie kann man das machen? Da zwei lineare Funktionen dargestellt werden, betrachten wir zunächst den Steigungskoeffizienten beider Funktionen $ k_1 = 2 $ und $ k_2 = 1 $. Wir stellen fest, dass $ k_1 \neq k_2 $, also gibt es einen Schnittpunkt. Finden wir es mithilfe der Gleichung $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Wir verschieben die Terme mit $ x $ nach links und den Rest nach rechts: $$ 2x - x = 3+5 $$ Wir haben $ x=8 $ die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen erhalten und suchen nun die Ordinate. Dazu setzen wir $ x = 8 $ in eine der Gleichungen ein, entweder in $ f(x) $ oder in $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ $ M (8;11) $ ist also der Schnittpunkt der Graphen zweier linearer Funktionen. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir werden zur Verfügung stellen detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten!

Antwort

$$ M (8;11) $$

Der Fall zweier nichtlinearer Funktionen

Beispiel 3

Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionsgraphen: $ f(x)=x^2-2x+1 $ und $ g(x)=x^2+1 $

Lösung

Was ist mit zwei nichtlinearen Funktionen? Der Algorithmus ist einfach: Wir setzen die Gleichungen miteinander gleich und finden die Wurzeln: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Wir verbreiten es an verschiedene Parteien Gleichungsterme mit und ohne $x$: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abszisse gefunden den gewünschten Punkt, Aber es ist nicht genug. Die Ordinate $y$ fehlt noch. Wir setzen $ x = 0 $ in eine der beiden Gleichungen der Problembedingung ein. Zum Beispiel: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - Schnittpunkt der Funktionsgraphen

Antwort

$$ M (0;1) $$