مساحت یک چندضلعی بر اساس طول اضلاع آن. چگونه مساحت چند ضلعی را پیدا کنیم فرمول های مختلف برای مساحت چند ضلعی ها

در این مقاله در مورد نحوه بیان مساحت یک چندضلعی که می توان یک دایره را در آن حک کرد، از طریق شعاع این دایره صحبت خواهیم کرد. شایان ذکر است فوراً هر چند ضلعی نمی تواند یک دایره را جای دهد. با این حال، اگر این امکان پذیر باشد، فرمولی که با آن مساحت چنین چند ضلعی محاسبه می شود بسیار ساده می شود. این مقاله را تا انتها بخوانید یا فیلم آموزشی پیوست شده را مشاهده کنید و یاد خواهید گرفت که چگونه مساحت یک چندضلعی را بر حسب شعاع دایره درج شده در آن بیان کنید.

فرمول مساحت یک چندضلعی بر حسب شعاع دایره محاطی شده

بیایید یک چند ضلعی رسم کنیم آ 1 آ 2 آ 3 آ 4 آ 5، لزوماً صحیح نیست، اما یک دایره می تواند در آن حک شود. به شما یادآوری می کنم که دایره محاطی دایره ای است که تمام ضلع های چند ضلعی را لمس می کند. در تصویر یک دایره سبز رنگ با یک مرکز در نقطه است O:

ما در اینجا 5-gon را به عنوان مثال در نظر گرفتیم. اما در واقع، این اهمیت قابل توجهی ندارد، زیرا اثبات بیشتر برای هر دو 6 و 8 گون و به طور کلی برای هر "گون" دلخواه معتبر است.

اگر مرکز دایره را با تمام رئوس چند ضلعی وصل کنید، آنگاه به تعداد رئوس آن به مثلث تقسیم می شود. چند ضلعی داده شده. در مورد ما: برای 5 مثلث. اگر نقطه را وصل کنیم Oبا تمام نقاط مماس دایره محاط شده با اضلاع چند ضلعی، سپس 5 پاره به دست می آید (در شکل زیر این پاره ها هستند اوه 1 , اوه 2 , اوه 3 , اوه 4 و اوه 5) که برابر با شعاع دایره و عمود بر اضلاع چند ضلعی که به آن کشیده شده اند. مورد دوم درست است، زیرا شعاع رسم شده به نقطه تماس عمود بر مماس است:

چگونه مساحت چند ضلعی محدود شده خود را پیدا کنیم؟ پاسخ ساده است. شما باید مساحت تمام مثلث های حاصل را جمع کنید:

بیایید در نظر بگیریم که مساحت یک مثلث چقدر است. در تصویر زیر با رنگ زرد مشخص شده است:

برابر است با نصف حاصلضرب پایه آ 1 آ 2 به ارتفاع اوه 1 به این پایه کشیده شده است. اما همانطور که قبلاً متوجه شدیم این ارتفاع برابر با شعاع دایره محاط است. یعنی فرمول مساحت مثلث به شکل زیر است: ، جایی که r- شعاع دایره محاطی. مساحت تمام مثلث های باقی مانده به طور مشابه یافت می شود. در نتیجه، مساحت مورد نیاز چند ضلعی برابر است با:

مشاهده می شود که در تمام شرایط این مبلغ وجود دارد ضریب مشترک، که می تواند از پرانتز خارج شود. نتیجه عبارت زیر خواهد بود:

یعنی آنچه در پرانتز باقی می‌ماند صرفاً مجموع تمام ضلع‌های چندضلعی است، یعنی محیط آن. پ. اغلب در این فرمول عبارت به سادگی با پو این حرف را «نیمه محیطی» می نامند. در نتیجه، فرمول نهایی به شکل زیر در می آید:

یعنی مساحت چندضلعی که دایره در آن حک شده است شعاع شناخته شده، برابر حاصلضرب این شعاع و نیم محیط چندضلعی است. این همان نتیجه ای است که ما دنبالش بودیم.

در نهایت، او متذکر می شود که یک دایره همیشه می تواند در یک مثلث حک شود، که یک حالت خاص از یک چند ضلعی است. بنابراین، برای یک مثلث این فرمول همیشه می تواند اعمال شود. برای چند ضلعی های دیگر با بیش از 3 ضلع، ابتدا باید مطمئن شوید که یک دایره می تواند در آنها حک شود. اگر چنین است، می توانید با خیال راحت از این استفاده کنید فرمول سادهو از آن برای یافتن مساحت این چند ضلعی استفاده کنید.

مواد تهیه شده توسط سرگئی والریویچ

مساحت یک چند ضلعی. دوستان! در اینجا چند مشکل در مورد یک چند ضلعی و یک دایره در آن وجود دارد. فرمولی وجود دارد که شعاع را مرتبط می کند دایره مشخص شدهو محیط با مساحت چنین چندضلعی. او اینجاست:

این فرمول چگونه به دست می آید؟ فقط!

ما یک چند ضلعی و یک دایره محاطی داریم. *بیایید با استفاده از پنج ضلعی به عنوان مثال به نتیجه گیری نگاه کنیم. بیایید آن را به مثلث ها تقسیم کنیم (مرکز دایره و رئوس را با قطعات به هم وصل کنید). معلوم می شود که برای هر مثلث، پایه ضلع چندضلعی و ارتفاعات است مثلث هایی تشکیل دادندبرابر با شعاع دایره محاطی:

با استفاده از فرمول مساحت مثلث می توانیم بنویسیم:

بیایید عوامل رایج را در نظر بگیریم:

من مطمئن هستم که خود اصل برای شما روشن است.

* هنگام استخراج فرمول، تعداد اضلاع چند ضلعی گرفته شده اهمیتی ندارد. که در نمای کلیخروجی فرمول به صورت زیر خواهد بود:

*اطلاعات تکمیلی

فرمول شعاع دایره محاط شده در یک مثلث شناخته شده است:

دشوار نیست که متوجه شوید که از فرمولی که ما دریافت کردیم، نگاه کنید (a, b, c اضلاع مثلث هستند):

27640. چند ضلعی که محیط آن 20 است در اطراف دایره ای که شعاع آن 3 است توصیف می شود. مساحت آن را پیدا کنید.

محاسبه می کنیم:

چند مشکل دیگر با چند ضلعی.

27930. زاویه بین ضلع سمت راست n-gon در یک دایره محاط شده و شعاع این دایره که به یکی از رئوس ضلع کشیده شده است برابر با 54 0 است. پیدا کردن n.

اگر زاویه بین شعاع دایره و ضلع چند ضلعی 54 0 باشد، زاویه بین اضلاع چند ضلعی 108 0 خواهد بود. در اینجا باید فرمول زاویه یک چند ضلعی منظم را به خاطر بسپارید:

تنها چیزی که باقی می ماند این است که مقدار زاویه را به فرمول جایگزین کنید و n را محاسبه کنید:

27595. محیط دو چند ضلعی مشابه به نسبت 2:7 است. مساحت چند ضلعی کوچکتر 28 است. مساحت چند ضلعی بزرگتر را پیدا کنید.

در اینجا باید به یاد داشته باشیم که اگر ابعاد خطیاگر رقم k برابر افزایش یابد، مساحت شکل k 2 برابر افزایش می یابد. *خواص تشابه ارقام.

محیط چند ضلعی بزرگتر 7/2 برابر بزرگتر از محیط چند ضلعی کوچکتر است، به این معنی که مساحت (7/2) 2 برابر افزایش یافته است. بنابراین، مساحت چند ضلعی بزرگتر برابر است.

مبدل واحدهای مسافت و طول مبدل واحدهای مساحت به ما بپیوندید © 2011-2017 Dovzhik Mikhail کپی برداری از مطالب ممنوع است. در ماشین حساب آنلاین می توانید از مقادیر در همان واحدهای اندازه گیری استفاده کنید! اگر در تبدیل واحدهای اندازه گیری مشکل دارید، از مبدل واحد فاصله و طول و مبدل واحد مساحت استفاده کنید. ویژگی های اضافیماشین حساب مساحت چهار ضلعی

• با فشار دادن کلیدهای "راست" و "چپ" روی صفحه کلید می توانید بین فیلدهای ورودی حرکت کنید.

تئوری. مساحت یک چهار ضلعی چهار ضلعی - شکل هندسی، شامل چهار نقطه(رئوس) که هیچ سه تای آنها روی یک خط مستقیم قرار ندارند و چهار بخش (ضلع) این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کنند. یک چهار ضلعی محدب نامیده می شود که قطعه ای که هر دو نقطه از این چهار ضلعی را به هم متصل می کند در داخل آن قرار گیرد.

چگونه مساحت چند ضلعی را بفهمیم؟

فرمول تعیین مساحت با گرفتن هر یال چند ضلعی AB و محاسبه مساحت مثلث ABO با رأس آن در مبدأ O از طریق مختصات رئوس تعیین می شود. هنگام راه رفتن در اطراف یک چند ضلعی، مثلث هایی تشکیل می شود، از جمله قسمت داخلیچند ضلعی و در خارج از آن قرار دارد. تفاوت بین مجموع این مناطق مساحت خود چندضلعی است.

بنابراین، فرمول، فرمول نقشه بردار نامیده می شود، زیرا "کارتوگراف" در مبدأ قرار دارد. اگر در خلاف جهت عقربه های ساعت دور منطقه راه برود، اگر در سمت چپ باشد مساحت اضافه می شود و اگر در سمت راست باشد از نقطه نظر مبدأ از آن کم می شود. فرمول مساحت برای هر چند ضلعی خود گسسته (ساده) که می تواند محدب یا مقعر باشد معتبر است. محتوا

• 1 تعریف
• 2 مثال
• 3 مثال پیچیده تر
• 4 توضیح نام
• 5 ببینید

مساحت یک چند ضلعی

توجه

میتوانست باشد:

• مثلث؛
• چهار ضلعی؛
• پنج ضلعی یا شش ضلعی و غیره.

چنین رقمی قطعاً با دو موقعیت مشخص می شود:

1. اضلاع مجاور به یک خط مستقیم تعلق ندارند.
2. غیر مجاور هیچ نقاط مشترکیعنی تلاقی نمی کنند.

برای اینکه بفهمید کدام رئوس همسایه هستند، باید ببینید که آیا آنها متعلق به یک طرف هستند یا خیر. اگر بله، پس همسایه ها. که در در غیر این صورتآنها را می توان توسط یک قطعه متصل کرد که باید مورب نامیده شود. آنها را فقط در چند ضلعی می توان اجرا کرد که بیش از سه رأس دارند.

چه انواعی از آنها وجود دارد؟ چند ضلعی با بیش از چهار گوشه می تواند محدب یا مقعر باشد. تفاوت بین دومی این است که برخی از رئوس آن ممکن است در امتداد قرار داشته باشند طرف های مختلفاز یک خط مستقیم که از طریق یک ضلع دلخواه از چند ضلعی کشیده شده است.

چگونه مساحت یک شش ضلعی منظم و نامنظم را پیدا کنیم؟

• با دانستن طول ضلع، آن را در 6 ضرب کنید و محیط شش ضلعی را بدست آورید: 10 سانتی متر x 6 = 60 سانتی متر
• بیایید نتایج به دست آمده را با فرمول خود جایگزین کنیم:
مساحت = 1/2 * محیط * آپوتم مساحت = ½ * 60 سانتی متر * 5√3 حل: اکنون باقی مانده است که برای خلاص شدن از ریشه های مربع پاسخ را ساده کرده و نتیجه به دست آمده را در سانتی متر مربع: ½ * 60 سانتی متر * 5 √ 3 سانتی متر = 30 * 5 √ 3 سانتی متر = 150 √ 3 سانتی متر = 259.8 سانتی متر مربع ویدئو در مورد نحوه پیدا کردن منطقه شش ضلعی منظمچندین گزینه برای تعیین مساحت یک شش ضلعی نامنظم وجود دارد:

• روش ذوزنقه ای.
• روشی برای محاسبه مساحت چندضلعی های نامنظم با استفاده از محور مختصات.
• روشی برای شکستن شش ضلعی به اشکال دیگر.

بسته به داده های اولیه ای که می دانید، یک روش مناسب انتخاب می شود.

مهم

برخی از شش ضلعی های نامنظم از دو متوازی الاضلاع تشکیل شده اند. برای تعیین مساحت متوازی الاضلاع، طول آن را در عرض آن ضرب کرده و سپس آن دو را با هم جمع کنید مربع های معروف. ویدئویی در مورد نحوه پیدا کردن مساحت چند ضلعی یک شش ضلعی متساوی الاضلاع دارای شش ضلع مساوی است و یک شش ضلعی منظم است.

مساحت یک شش ضلعی متساوی الاضلاع برابر است با 6 ناحیه از مثلث هایی که یک شکل شش ضلعی منتظم به آنها تقسیم می شود. همه مثلث ها در یک شش ضلعی فرم صحیحبرابر هستند، بنابراین، برای یافتن مساحت چنین شش ضلعی، دانستن مساحت حداقل یک مثلث کافی است. برای یافتن مساحت یک شش ضلعی متساوی الاضلاع، البته از فرمول مساحت یک شش ضلعی منظم که در بالا توضیح داده شد استفاده می کنیم.

404 پیدا نشد

تزیین خانه، لباس و کشیدن نقاشی به فرآیند شکل گیری و جمع آوری اطلاعات در زمینه هندسه کمک می کرد که مردم آن روزگار به صورت تجربی و ذره ذره به دست می آوردند و نسل به نسل منتقل می کردند. امروزه دانش هندسه برای برش، سازنده، معمار و همه ضروری است. به انسان عادیدر خانه. بنابراین، باید یاد بگیرید که مساحت ارقام مختلف را محاسبه کنید و به یاد داشته باشید که هر یک از فرمول ها بعداً می توانند در عمل مفید باشند، از جمله فرمول یک شش ضلعی منظم.
شش ضلعی یک شکل چند ضلعی است که جمعکه شش زاویه دارد. شش ضلعی منظم یک شکل شش ضلعی است که دارد اضلاع مساوی. زوایای یک شش ضلعی منتظم نیز با یکدیگر برابرند.
که در زندگی روزمرهما اغلب می توانیم اشیایی را پیدا کنیم که شکل یک شش ضلعی منظم دارند.

ماشین حساب مساحت یک چند ضلعی نامنظم در کنار هم

شما نیاز خواهید داشت

• - رولت؛
• - مسافت یاب الکترونیکی؛
• - یک ورق کاغذ و یک مداد؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل 1 در صورت نیاز مساحت کلآپارتمان یا اتاق مجزا، فقط گذرنامه فنی آپارتمان یا خانه را بخوانید، فیلم هر اتاق و کل فیلم آپارتمان را نشان می دهد. 2 برای اندازه گیری مساحت یک مستطیل یا اتاق مربعیک متر نوار یا مسافت یاب الکترونیکی بردارید و طول دیوارها را اندازه بگیرید. هنگام اندازه گیری فاصله با فاصله یاب، مطمئن شوید که جهت پرتو عمود است، در غیر این صورت ممکن است نتایج اندازه گیری مخدوش شود. 3 سپس طول به دست آمده (به متر) اتاق را در عرض (به متر) ضرب کنید. مقدار حاصل مساحت کف خواهد بود، در متر مربع اندازه گیری می شود.

فرمول ناحیه گاوسی

اگر نیاز به محاسبه مساحت کف بیش از طراحی پیچیدهبه عنوان مثال، یک اتاق پنج ضلعی یا اتاقی با طاق گرد، طرحی را روی یک تکه کاغذ بکشید. سپس تقسیم کنید شکل پیچیدهبه چندین مورد ساده، به عنوان مثال، به یک مربع و یک مثلث یا یک مستطیل و یک نیم دایره. با استفاده از نوار اندازه گیری یا فاصله یاب، اندازه تمام اضلاع شکل های به دست آمده را اندازه بگیرید (برای دایره باید قطر آن را بدانید) و نتایج را روی نقاشی خود ثبت کنید.

5 حالا مساحت هر شکل را جداگانه محاسبه کنید. مساحت مستطیل ها و مربع ها را با ضرب اضلاع محاسبه کنید. برای محاسبه مساحت یک دایره، قطر را به نصف تقسیم کرده و آن را مربع کنید (آن را در خودش ضرب کنید)، سپس مقدار حاصل را در 3.14 ضرب کنید.
اگر فقط به نصف دایره نیاز دارید، ناحیه حاصل را به نصف تقسیم کنید. برای محاسبه مساحت یک مثلث، P را با تقسیم مجموع همه ضلع ها بر 2 پیدا کنید.

فرمول محاسبه مساحت چندضلعی نامنظم

اگر نقاط به صورت متوالی در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت شماره گذاری شوند، عوامل تعیین کننده در فرمول بالا مثبت هستند و مدول موجود در آن را می توان حذف کرد. اگر در جهت عقربه های ساعت شماره گذاری شوند، تعیین کننده ها منفی خواهند بود. این به این دلیل است که فرمول را می توان به عنوان تصور کرد مورد خاصقضیه گرین برای اعمال فرمول، باید مختصات رئوس چندضلعی در صفحه دکارتی را بدانید.

برای مثال، یک مثلث با مختصات ((2، 1)، (4، 5)، (7، 8)) را در نظر بگیرید. بیایید مختصات x راس اول را گرفته و در مختصات y راس دوم ضرب کنیم و سپس مختصات x راس دوم را در مختصات y راس سوم ضرب کنیم. بیایید این روش را برای همه رئوس تکرار کنیم. نتیجه را می توان با فرمول زیر تعیین کرد: A tri.

فرمول محاسبه مساحت یک چهارضلعی نامنظم

A) _(\text(سه‌گانه))=(1 \ بیش از 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) که در آن xi و yi مختصات مربوطه را نشان می دهند. این فرمول را می توان با باز کردن پرانتز در داخل آن به دست آورد فرمول کلیبرای حالت n = 3. با استفاده از این فرمول می توانید دریابید که مساحت مثلث برابر با نصف مجموع 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16 است که 3 را به دست می دهد. تعداد متغیرهای موجود در فرمول به تعداد اضلاع چند ضلعی بستگی دارد. به عنوان مثال، فرمول مساحت یک پنج ضلعی از متغیرهای تا x5 و y5 استفاده می کند: یک پنت. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \ بیش از 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A برای چهار ضلعی - متغیرهای تا x4 و y4: یک چهار ضلعی.

1.1 محاسبه مساحت در دوران باستان

1.2 رویکردهای مختلفبرای مطالعه مفاهیم "مساحت"، "چند ضلعی"، "مساحت چندضلعی"

1.2.1 مفهوم منطقه. خواص منطقه

1.2.2 مفهوم چند ضلعی

1.2.3 مفهوم مساحت چند ضلعی. تعریف توصیفی

1.3 فرمول های مختلف برای مساحت چندضلعی ها

1.4 استخراج فرمول برای مساحت چندضلعی ها

1.4.1 مساحت مثلث. فرمول هرون

1.4.2 مساحت مستطیل

1.4.3 مساحت ذوزنقه

1.4.4 مساحت یک چهارضلعی

1.4.5 فرمول جهانی

1.4.6 مساحت n-gon

1.4.7 محاسبه مساحت یک چندضلعی از مختصات رئوس آن

1.4.8 فرمول پیک

1.5 قضیه فیثاغورث در مورد مجموع مساحت مربع های ساخته شده بر روی پایه های یک مثلث قائم الزاویه

1.6 چیدمان مساوی مثلث ها. قضیه بولای-گروین

1.7 نسبت مساحت مثلث های مشابه

1.8 ارقام با بیشترین مساحت

1.8.1 ذوزنقه یا مستطیل

1.8.2 ویژگی قابل توجه میدان

1.8.3 بخش هایی از اشکال دیگر

1.8.4 مثلث با بیشترین مساحت

فصل 2. ویژگی های روش شناختی مطالعه مساحت های چندضلعی ها در کلاس های ریاضی

2.1 برنامه ریزی موضوعیو ویژگی های تدریس در کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات

2.2 روش شناسی برای برگزاری دروس

2.3 نتایج کار تجربی

نتیجه

ادبیات

معرفی

مبحث "منطقه های چند ضلعی" بخشی جدایی ناپذیر از آن است دوره مدرسهریاضیات که کاملا طبیعی است. از این گذشته، از نظر تاریخی، ظهور هندسه با نیاز به مقایسه همراه است قطعات زمیناین یا آن شکل با این حال، باید توجه داشت که فرصت های آموزشیپوشش این موضوع در دبیرستانبه دور از استفاده کامل هستند.

وظیفه اصلی آموزش ریاضیات در مدرسه تضمین تسلط قوی و آگاهانه دانش آموزان بر سیستم دانش و مهارت های ریاضی ضروری در زندگی روزمره و فعالیت کارگریهر عضو جامعه مدرنبرای تحصیل رشته های مرتبط و ادامه تحصیل کافی است.

همراه با حل مسئله اصلی، مطالعه عمیق ریاضیات شامل شکل گیری علاقه پایدار در دانش آموزان به موضوع، شناسایی و توسعه آنها می شود. توانایی های ریاضی، گرایش به حرفه هایی که به طور قابل توجهی با ریاضیات مرتبط است، آمادگی برای تحصیل در دانشگاه.

کار واجد شرایط شامل محتوای یک دوره ریاضی است مدرسه راهنماییو یک ردیف سوالات اضافی، مستقیماً در مجاورت این دوره و تعمیق آن در امتداد خطوط اصلی ایدئولوژیک است.

گنجاندن سؤالات اضافی دو هدف مرتبط با یکدیگر دارد. این امر از یک سو ایجاد پایگاهی برای ارضای علایق و رشد توانایی‌های دانش‌آموزان با گرایش به ریاضیات است و از سوی دیگر تحقق بخشیدن به آن است شکاف های محتوایی دوره اصلی، ارائه محتوا مطالعه عمیقصداقت لازم

کار واجد شرایط شامل یک مقدمه، دو فصل، یک نتیجه گیری و ادبیات استناد شده است. فصل اول به مبانی نظری مطالعه مساحت چندضلعی ها می پردازد و فصل دوم به طور مستقیم به این موضوع می پردازد. ویژگی های روش شناختیمناطق مطالعه

فصل 1. مبانی نظریمطالعه مساحت چندضلعی ها

1.1 محاسبه مساحت ها در دوران باستان

مقدمات دانش هندسی، مرتبط با اندازه گیری مناطق، در اعماق هزاره ها گم شده اند.

حتی 4 تا 5 هزار سال پیش، بابلی ها توانستند مساحت یک مستطیل و ذوزنقه را در واحدهای مربع. این مربع به دلیل بسیاری از ویژگی های قابل توجه آن: اضلاع مساوی، زاویه های مساوی و راست، تقارن و کمال کلی فرم، از دیرباز به عنوان استانداردی برای اندازه گیری مساحت ها بوده است. ساختن مربع ها آسان است، یا می توانید یک هواپیما را بدون شکاف پر کنید.

که در چین باستاناندازه مساحت یک مستطیل بود. هنگامی که سنگ تراشی ها مساحت دیوار مستطیلی خانه را تعیین می کردند، ارتفاع و عرض دیوار را چند برابر می کردند. این تعریفی است که در هندسه پذیرفته شده است: مساحت یک مستطیل برابر با حاصلضرب آن است. طرف های مجاور. هر دوی این ضلع ها باید در واحدهای خطی یکسان بیان شوند. محصول آنها مساحت مستطیل خواهد بود که در واحدهای مربع مربوطه بیان می شود. مثلاً اگر ارتفاع و عرض یک دیوار بر حسب دسی متر اندازه گیری شود، حاصل ضرب هر دو اندازه گیری در دسی متر مربع بیان می شود. و اگر مساحت هر قایق روبه‌رو باشد دسی متر مربع، سپس محصول حاصل تعداد کاشی های مورد نیاز برای روکش را نشان می دهد. این از بیانیه زیربنای اندازه گیری مساحت ها به دست می آید: مساحت یک شکل متشکل از ارقام غیر متقاطع برابر است با مجموع مساحت آنها.

مصریان باستان 4000 سال پیش تقریباً از همان روش‌هایی استفاده می‌کردند که ما برای اندازه‌گیری مساحت مستطیل، مثلث و ذوزنقه استفاده می‌کردیم: قاعده مثلث به نصف تقسیم شد و در ارتفاع ضرب شد. برای ذوزنقه به همان مقدار اضلاع موازیتقسیم به نصف و ضرب در ارتفاع و غیره برای محاسبه مساحت

چهار ضلعی با اضلاع (شکل 1.1)، از فرمول استفاده شد (1.1)

آن ها نصف مجموع اضلاع مقابل ضرب شد.

این فرمول به وضوح برای هر چهارضلعی نادرست است. در این میان، بدیهی است که مساحت این گونه لوزی ها به اندازه زوایای رئوس بستگی دارد. این فرمولفقط برای یک مستطیل صادق است. با کمک آن می توانید تقریباً مساحت چهار ضلعی هایی را که زوایای آنها نزدیک به زوایای قائمه است محاسبه کنید.

برای تعیین منطقه

مثلث متساوی الساقین(شکل 1.2)، که در آن مصریان از یک فرمول تقریبی استفاده کردند:
(1.2) برنج. 1.2 خطای مرتکب در این حالت کوچکتر است، هر چه اختلاف ضلع و ارتفاع مثلث کمتر باشد، به عبارت دیگر، راس (و) به قاعده ارتفاع از . به همین دلیل است که فرمول تقریبی (1.2) فقط برای مثلث هایی با زاویه نسبتاً کوچک در راس قابل استفاده است.

اما قبلاً یونانیان باستان می دانستند که چگونه مناطق چندضلعی را به درستی پیدا کنند. اقلیدس در "عناصر" خود از کلمه "منطقه" استفاده نمی کند، زیرا او با کلمه "شکل" خود بخشی از صفحه را می فهمد که توسط یک یا آن محدود شده است. خط بسته. اقلیدس نتیجه اندازه گیری مساحت را با عدد بیان نمی کند، بلکه مساحت ارقام مختلف را با یکدیگر مقایسه می کند.

اقلیدس مانند دیگر دانشمندان باستانی به تبدیل برخی از چهره ها به شکل های دیگر با اندازه های برابر می پردازد. مربع شکل مرکباگر قطعات آن به طور متفاوت، اما بدون تقاطع چیده شوند، تغییر نمی کند. بنابراین، برای مثال، می توان بر اساس فرمول های مساحت یک مستطیل، فرمول هایی را برای مساحت شکل های دیگر پیدا کرد. بنابراین، یک مثلث به قسمت هایی تقسیم می شود که می توان از آنها یک مستطیل با اندازه مساوی تشکیل داد. از این ساختار نتیجه می شود که مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب قاعده و ارتفاع آن است. با توسل به چنین برشی متوجه می شوند که مساحت متوازی الاضلاع برابر حاصلضرب قاعده و ارتفاع است و مساحت ذوزنقه حاصلضرب نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع است. .

وقتی سنگ تراشی ها مجبورند دیوار را کاشی کنند پیکربندی پیچیدهآنها می توانند مساحت دیوار را با شمارش تعداد کاشی های مورد استفاده برای روکش کاری تعیین کنند. البته برخی از کاشی ها باید بریده شوند تا لبه های روکش با لبه دیوار منطبق شود. تعداد تمام کاشی های استفاده شده در کار، مساحت دیوار را با مقدار زیاد تخمین می زند، تعداد کاشی های شکسته نشده - با کمبود. با کاهش اندازه سلول ها، میزان زباله کاهش می یابد و مساحت دیوار که از طریق تعداد کاشی ها تعیین می شود، با دقت بیشتری محاسبه می شود.

یکی از ریاضی دانان و دایره المعارف نویسان یونانی بعدی که آثارش عمدتاً جنبه کاربردی داشتند، هرون اسکندریه بود که در قرن اول می زیست. n ه. به عنوان یک مهندس برجسته، او را "هرون مکانیک" نیز می نامیدند. هرون در کار خود "Dioptrics" ماشین های مختلف و ابزارهای اندازه گیری عملی را توصیف می کند.

یکی از کتاب های هرون «هندسه» نام داشت و نوعی مجموعه فرمول ها و مسائل مربوطه است. این شامل مثال هایی در مورد محاسبه مساحت مربع ها، مستطیل ها و مثلث ها است. هرون در مورد یافتن مساحت یک مثلث بر اساس اضلاع آن می نویسد: «به عنوان مثال، اجازه دهید یک ضلع مثلث دارای طول 13 طناب اندازه گیری باشد، دومی 14 و سومی 15. برای یافتن مساحت، ادامه دهید. به شرح زیر است. 13، 14 و 15 را اضافه کنید. می شود 42. نصف آن 21 می شود. اول 13 را تفریق کنید - 8 باقی می ماند، سپس 14 - شما با 7 و در نهایت 15 - شما با 6 باقی می مانند. حالا آنها را ضرب کنید: 21 ضربدر 8 می شود 168، این را 7 برابر بگیرید - 1176 می گیرید و می گیرید. این 6 بار دیگر - 7056 دریافت می کنید. از اینجا ریشه دوم 84 خواهد بود. این تعداد تارهای اندازه گیری در ناحیه مثلث وجود خواهد داشت.

درسی از سریال " الگوریتم های هندسی»

سلام خواننده عزیز.

راه حل بسیاری از مسائل در هندسه محاسباتی بر اساس یافتن است ناحیه چند ضلعی. در این درس فرمولی برای محاسبه مساحت یک چند ضلعی از طریق مختصات رئوس آن استخراج می کنیم و تابعی برای محاسبه این مساحت می نویسیم.

وظیفه. محاسبه مساحت چند ضلعی, توسط مختصات داده شده استرئوس آنها، به ترتیب راه رفتن در اطراف آنها در جهت عقربه های ساعت.

بینش از هندسه محاسباتی

برای استخراج فرمول مساحت یک چند ضلعی، به اطلاعاتی از هندسه محاسباتی، یعنی مفهوم مساحت جهت‌دار مثلث نیاز داریم.

ناحیه جهت‌یافته یک مثلث یک ناحیه معمولی است که با علامت ارائه می‌شود. علامت ناحیه جهت یک مثلث ABCهمان زاویه جهت بین بردارها و . یعنی علامت آن به ترتیبی که رئوس فهرست شده اند بستگی دارد.

بر برنج. 1 مثلث ABC- مستطیل شکل. مساحت جهت آن برابر است با (آن بالای صفر، از آنجایی که جفت جهت گیری مثبت دارد). همین مقدار را می توان به روش دیگری محاسبه کرد.

اجازه دهید در باره – نقطه دلخواهسطح. در شکل ما، منطقه مثلث ABCبا کم کردن مساحت OAB و OCA از مساحت مثلث OBC به دست می آید. بنابراین شما فقط نیاز دارید مناطق جهت دار را اضافه کنیدمثلث های OAB، OBC و OCA. این قانون برای هر انتخاب نقطه ای کار می کند در باره.

به طور مشابه، برای محاسبه مساحت هر چند ضلعی، باید مساحت های جهت مثلث ها را جمع کنید.

مجموع مساحت چند ضلعی خواهد بود، اگر هنگام عبور از چند ضلعی، چند ضلعی در سمت چپ باشد (پیمایش خلاف جهت عقربه های ساعت از مرز) و با علامت منفی اگر در سمت راست باشد، با علامت مثبت گرفته می شود. پیمایش در جهت عقربه های ساعت).

بنابراین، محاسبه مساحت یک چند ضلعی به یافتن مساحت یک مثلث کاهش می یابد. بیایید ببینیم چگونه آن را در مختصات بیان کنیم.

حاصل ضرب متقاطع دو بردار در یک صفحه مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها است.

ضربدری که بر حسب مختصات برداری بیان می شود:

مساحت مثلث برابر با نصف این مساحت خواهد بود:

راحت است که مبدأ مختصات را به عنوان نقطه O در نظر بگیریم، سپس مختصات بردارهایی که بر اساس آنها مناطق جهت گیری محاسبه می شود با مختصات نقاط منطبق می شود.

اجازه دهید (x 1، y 1)، (x 2، y 2)، ...، (x N، y N) - مختصات رأس چند ضلعی داده شدهبه ترتیب در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت. سپس ناحیه جهت آن S برابر خواهد بود با:

این فرمول کار ما است، در برنامه ما استفاده می شود.

اگر مختصات رئوس به ترتیب خلاف جهت عقربه های ساعت مشخص شده باشد، آنگاه عدد اس،محاسبه با استفاده از این فرمول مثبت خواهد بود. در غیر این صورت، منفی خواهد بود، و برای به دست آوردن معمول است منطقه هندسیباید قدر مطلق آن را بگیریم.

بنابراین، بیایید برنامه ای برای یافتن مساحت یک چندضلعی که با مختصات رئوس ارائه می شود، در نظر بگیریم.

برنامه geom6; Const n_max=200; ( بیشترین مقدارنقاط + 1) نوع b= رکورد x,y:real; پایان؛ myArray= آرایه b; var input:text; A:myArray; s:real; i,n:integer; رویه ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (پر کردن آرایه) start assign(input,"input.pas"); تنظیم مجدد (ورودی)؛ readln(ورودی، n); برای i:=1 تا n انجام دهید read(input, a[i].x,a[i].y); بستن (ورودی)؛ پایان؛ تابع مربع (A:myarray): واقعی; (محاسبه مساحت چند ضلعی) var i:integer; S: واقعی شروع a.x:=a.x; a.y:=a.y; s:=0; برای i:=1 تا n انجام دهید s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x); s:=abs(s/2); مربع:= انتهای S; (مربع) شروع (اصلی) Zapmas(n, a); PrintMas(a); S:= مربع (a); writeln("S= ",s:6:2); پایان.

مختصات رئوس از فایل input.pas خوانده می شود که در یک آرایه ذخیره می شود آبه عنوان رکورد با دو فیلد. برای سهولت پیمایش چند ضلعی، n+1 عنصر به آرایه وارد می شود که مقدار آن برابر با مقدار عنصر اول آرایه است.