فرمول های انتگرال های ساده فرمول های اساسی و روش های ادغام قوانین کلی ادغام

در معادلات درجه دوم وجود دارد کل خطنسبت ها اصلی ترین آنها روابط بین ریشه ها و ضرایب است. همچنین در معادلات درجه دوم تعدادی رابطه وجود دارد که توسط قضیه ویتا به دست می آید.

در این مبحث به ارائه خود قضیه ویتا و اثبات آن می پردازیم معادله درجه دوم، قضیه معکوس قضیه ویتا، تعدادی مثال از حل مسائل را تحلیل خواهیم کرد. توجه ویژهدر مطالب ما بر روی فرمول های Vieta تمرکز خواهیم کرد که رابطه بین ریشه های واقعی را تعریف می کند معادله جبریدرجه nو ضرایب آن

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0از شکل x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a، جایی که D = b 2 − 4 a c، روابط را برقرار می کند x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. این موضوع توسط قضیه ویتا تایید می شود.

قضیه 1

در یک معادله درجه دوم a x 2 + b x + c = 0، جایی که x 1و x 2– ریشه ها، مجموع ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود بو آ، که از آن گرفته شده است علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با نسبت ضرایب خواهد بود جو آ، یعنی x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

شواهد 1

ما طرح زیر را برای انجام اثبات به شما پیشنهاد می کنیم: فرمول ریشه ها را بگیرید، مجموع و حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازید و سپس عبارات حاصل را تبدیل کنید تا مطمئن شوید که برابر هستند. -b aو ج الفبه ترتیب.

بیایید مجموع ریشه های x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a را ایجاد کنیم. بیایید کسرها را به کاهش دهیم مخرج مشترک- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . اجازه دهید پرانتز را در صورت کسر حاصل باز کنیم و بدهیم اصطلاحات مشابه: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . بیایید کسر را کاهش دهیم: 2 - b a = - b a.

اینگونه است که اولین رابطه قضیه ویتا را که به مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم مربوط می شود، اثبات کردیم.

حالا بریم سراغ رابطه دوم.

برای این کار باید حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم را بسازیم: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

بیایید قانون ضرب کسرها را به خاطر بسپاریم و حاصل ضرب آخر را به صورت زیر بنویسیم: - b + D · - b - D 4 · a 2.

بیایید یک براکت را در یک براکت در عدد کسر ضرب کنیم، یا از فرمول اختلاف مربع ها برای تبدیل سریعتر این حاصل ضرب استفاده کنیم: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

بیایید از تعریف استفاده کنیم ریشه دومبه منظور انتقال زیر: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. فرمول D = b 2 − 4 a cمطابق با تمایز یک معادله درجه دوم است، بنابراین، به جای کسری Dمی تواند جایگزین شود b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

بیایید پرانتزها را باز کنیم، عبارات مشابه را اضافه کنیم و بدست آوریم: 4 · a · c 4 · a 2. اگر کوتاهش کنیم به 4 a، سپس چیزی که باقی می ماند c a است. اینگونه است که رابطه دوم قضیه ویتا را برای حاصلضرب ریشه ها اثبات کردیم.

اگر از توضیحات صرف نظر کنیم، اثبات قضیه ویتا را می توان به شکل بسیار لاکونیک نوشت:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

وقتی ممیز یک معادله درجه دوم برابر با صفر باشد، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت. برای اینکه بتوانیم قضیه ویتا را برای چنین معادله ای به کار ببریم، می توانیم فرض کنیم که معادله با ممیز برابر با صفر، دارای دو است. ریشه های یکسان. در واقع، چه زمانی D=0ریشه معادله درجه دوم: - b 2 · a، سپس x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a و x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2، و چون D = 0، یعنی b 2 - 4 · a · c = 0، از آنجا b 2 = 4 · a · c، سپس b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

غالباً در عمل، قضیه ویتا برای معادله درجه دوم کاهش یافته فرم اعمال می شود x 2 + p x + q = 0، که در آن ضریب پیشرو a برابر با 1 است. در این راستا، قضیه ویتا به طور خاص برای معادلات از این نوع فرموله شده است. به دلیل این که هر معادله درجه دوم قابل جایگزینی است، کلیت از بین نمی رود معادله معادل. برای این کار باید هر دو قسمت آن را به عددی متفاوت از صفر تقسیم کنید.

اجازه دهید فرمول دیگری از قضیه ویتا ارائه دهیم.

قضیه 2

مجموع ریشه ها در معادله درجه دوم داده شده x 2 + p x + q = 0برابر ضریب x خواهد بود که با علامت مخالف گرفته می شود، حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد خواهد بود، یعنی. x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q.

قضیه در مقابل قضیه ویتا قرار دارد

اگر به فرمول دوم قضیه ویتا با دقت نگاه کنید، می توانید ببینید که برای ریشه ها x 1و x 2معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + p x + q = 0روابط زیر معتبر خواهند بود: x 1 + x 2 = − p، x 1 · x 2 = q. از این روابط x 1 + x 2 = − p، x 1 x 2 = q نتیجه می شود که x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم هستند x 2 + p x + q = 0. بنابراین به بیانی می رسیم که برعکس قضیه ویتا است.

اکنون پیشنهاد می کنیم که این بیانیه را به عنوان یک قضیه رسمی کنیم و اثبات آن را انجام دهیم.

قضیه 3

اگر اعداد x 1و x 2به گونه ای هستند که x 1 + x 2 = - pو x 1 x 2 = q، آن x 1و x 2ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته است x 2 + p x + q = 0.

شواهد 2

جایگزینی شانس پو qبه بیان آنها از طریق x 1و x 2به شما امکان می دهد معادله را تبدیل کنید x 2 + p x + q = 0به یک معادل .

اگر عدد را جایگزین معادله حاصل کنیم x 1بجای ایکس، سپس برابری را بدست می آوریم x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. این برابری برای هر کسی است x 1و x 2به حقیقت تبدیل می شود برابری عددی 0 = 0 ، زیرا x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. این به آن معنا است x 1- ریشه معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، پس چی x 1همچنین ریشه معادله معادل است x 2 + p x + q = 0.

جایگزینی در معادله x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0شماره x 2به جای x به ما امکان می دهد برابری را بدست آوریم x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. این برابری را می توان درست در نظر گرفت، زیرا x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. معلوم می شود که x 2ریشه معادله است x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0، و از این رو معادلات x 2 + p x + q = 0.

عکس قضیه ویتا ثابت شده است.

نمونه هایی از استفاده از قضیه ویتا

بیایید اکنون بیشتر تحلیل کنیم نمونه های معمولیدر این مورد. بیایید با تجزیه و تحلیل مسائلی که نیاز به اعمال قضیه دارند شروع کنیم، برعکس قضیهویتا می توان از آن برای بررسی اعداد تولید شده توسط محاسبات استفاده کرد تا ببینیم آیا آنها ریشه های یک معادله درجه دوم هستند یا خیر. برای این کار باید مجموع و تفاوت آنها را محاسبه کنید و سپس اعتبار روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c را بررسی کنید.

تحقق هر دو رابطه نشان می دهد که اعداد به دست آمده در طول محاسبات ریشه معادله هستند. اگر دیدیم که حداقل یکی از شروط برآورده نشده است، این اعداد نمی توانند ریشه معادله درجه دومی باشند که در بیان مسئله آمده است.

مثال 1

کدام یک از جفت اعداد 1) x 1 = − 5، x 2 = 3، یا 2) x 1 = 1 - 3، x 2 = 3 + 3، یا 3) x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2 یک جفت ریشه یک معادله درجه دوم است 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?

راه حل

بیایید ضرایب معادله درجه دوم را پیدا کنیم 4 x 2 - 16 x + 9 = 0.این a = 4، b = - 16، c = 9 است. بر اساس قضیه ویتا، مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم باید برابر با -b a، به این معنا که، 16 4 = 4 ، و حاصلضرب ریشه ها باید برابر باشد ج الف، به این معنا که، 9 4 .

بیایید اعداد به دست آمده را با محاسبه مجموع و حاصل ضرب اعداد از سه بررسی کنیم جفت داده شدهو مقایسه آنها با مقادیر بدست آمده.

در مورد اول x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. این مقدار با 4 متفاوت است، بنابراین بررسی نیازی به ادامه ندارد. با توجه به قضیه معکوس با قضیه ویتا، بلافاصله می‌توان نتیجه گرفت که جفت اعداد اول ریشه‌های این معادله درجه دوم نیستند.

در حالت دوم، x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. می بینیم که شرط اول برقرار است. اما شرط دوم این نیست: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. ارزشی که ما گرفتیم با آن تفاوت دارد 9 4 . این بدان معنی است که جفت دوم اعداد ریشه معادله درجه دوم نیستند.

بیایید به بررسی جفت سوم بپردازیم. در اینجا x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 و x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. هر دو شرط رعایت می شود، یعنی این x 1و x 2ریشه های یک معادله درجه دوم هستند.

پاسخ: x 1 = 2 + 7 2، x 2 = 2 - 7 2

همچنین می‌توانیم از عکس قضیه ویتا برای یافتن ریشه‌های یک معادله درجه دوم استفاده کنیم. ساده ترین راه این است که ریشه های اعداد صحیح معادلات درجه دوم را با ضرایب صحیح انتخاب کنید. گزینه های دیگری را می توان در نظر گرفت. اما این می تواند محاسبات را به طور قابل توجهی پیچیده کند.

برای انتخاب ریشه از این واقعیت استفاده می کنیم که اگر مجموع دو عدد برابر با ضریب دوم یک معادله درجه دوم باشد که با علامت منفی گرفته می شود و حاصل ضرب این اعداد برابر با جمله آزاد است، این اعداد عبارتند از: ریشه های این معادله درجه دوم

مثال 2

به عنوان مثال از معادله درجه دوم استفاده می کنیم x 2 − 5 x + 6 = 0. شماره x 1و x 2اگر دو برابری برآورده شود می تواند ریشه های این معادله باشد x 1 + x 2 = 5و x 1 x 2 = 6. بیایید این اعداد را انتخاب کنیم. اینها اعداد 2 و 3 هستند، زیرا 2 + 3 = 5 و 2 3 = 6. معلوم می شود که 2 و 3 ریشه های این معادله درجه دوم هستند.

برعکس قضیه ویتا را می توان برای یافتن ریشه دوم در زمانی که ریشه اول مشخص یا آشکار است استفاده کرد. برای این کار می توانیم از روابط x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a استفاده کنیم.

مثال 3

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. باید ریشه های این معادله را پیدا کرد.

راه حل

ریشه اول معادله 1 است، زیرا مجموع ضرایب این معادله درجه دوم صفر است. معلوم می شود که x 1 = 1.

حالا بیایید ریشه دوم را پیدا کنیم. برای این می توانید از رابطه استفاده کنید x 1 x 2 = c a. معلوم می شود که 1 x 2 = - 3512، جایی که x 2 = - 3512.

پاسخ:ریشه های معادله درجه دوم مشخص شده در بیان مسئله 1 و - 3 512 .

انتخاب ریشه با استفاده از قضیه معکوس به قضیه ویتا فقط در داخل امکان پذیر است موارد ساده. در موارد دیگر، بهتر است با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم از طریق ممیز جستجو کنید.

به لطف برعکس قضیه ویتا، می توانیم با استفاده از ریشه های موجود معادلات درجه دوم بسازیم. x 1و x 2. برای این کار باید مجموع ریشه ها را محاسبه کنیم که ضریب برای را می دهد ایکسبا علامت مخالف معادله درجه دوم داده شده، و حاصل ضرب ریشه ها، که عبارت آزاد را می دهد.

مثال 4

معادله درجه دومی بنویسید که ریشه آن اعداد باشد − 11 و 23 .

راه حل

بیایید این را فرض کنیم x 1 = − 11و x 2 = 23. مجموع و حاصلضرب این اعداد برابر خواهد بود: x 1 + x 2 = 12و x 1 x 2 = − 253. این به این معنی است که ضریب دوم 12، عبارت آزاد است − 253.

بیایید یک معادله بسازیم: x 2 − 12 x − 253 = 0.

پاسخ: x 2 - 12 x - 253 = 0.

می‌توانیم از قضیه ویتا برای حل مسائلی استفاده کنیم که شامل نشانه‌های ریشه‌های معادلات درجه دوم است. ارتباط بین قضیه ویتا مربوط به نشانه های ریشه معادله درجه دوم کاهش یافته است. x 2 + p x + q = 0به روش زیر:

• اگر معادله درجه دوم ریشه واقعی داشته باشد و اگر عبارت قطع باشد qاست عدد مثبت، سپس این ریشه ها خواهند داشت همان علامت"+" یا "-"؛
• اگر معادله درجه دوم ریشه داشته باشد و اگر جمله قطع باشد qیک عدد منفی است، سپس یک ریشه "+" و دومی "-" خواهد بود.

هر دوی این گزاره ها نتیجه فرمول هستند x 1 x 2 = qو قوانین ضرب اعداد مثبت و منفی و همچنین اعداد با علائم مختلف.

مثال 5

آیا ریشه های یک معادله درجه دوم هستند x 2 − 64 x − 21 = 0مثبت؟

راه حل

طبق قضیه ویتا، ریشه های این معادله نمی توانند هر دو مثبت باشند، زیرا باید برابری را برآورده کنند. x 1 x 2 = − 21. این با مثبت غیرممکن است x 1و x 2.

پاسخ:خیر

مثال 6

در چه مقادیر پارامتری rمعادله درجه دوم x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0دو خواهد داشت ریشه های واقعیبا نشانه های مختلف

راه حل

بیایید با یافتن مقادیر آن شروع کنیم r، که معادله آن دو ریشه خواهد داشت. بیایید متمایز کننده را پیدا کنیم و ببینیم در چه چیزی است rاو خواهد پذیرفت ارزش های مثبت. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. مقدار بیان r 2 + 8مثبت برای هر واقعی rبنابراین، ممیز خواهد بود بالای صفربرای هر واقعی r. این به این معنی است که معادله درجه دوم اصلی برای هر یک دو ریشه خواهد داشت ارزش های واقعیپارامتر r.

حال ببینیم ریشه ها چه زمانی ریشه خواهند داشت نشانه های مختلف. این در صورتی امکان پذیر است که محصول آنها منفی باشد. بر اساس قضیه ویتا، حاصل ضرب ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با جمله آزاد است. به معنای، تصمیم درستآن ارزش ها وجود خواهد داشت r، که عبارت آزاد r − 1 برای آن منفی است. بیا تصمیم بگیریم نابرابری خطی r - 1< 0 , получаем r < 1 .

پاسخ:در r< 1 .

فرمول های ویتا

تعدادی فرمول وجود دارد که برای انجام عملیات با ریشه ها و ضرایب نه تنها معادلات درجه دوم، بلکه مکعب و سایر انواع معادلات قابل استفاده هستند. به آنها فرمول های ویتتا می گویند.

برای یک معادله جبری درجه nاز شکل 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 معادله در نظر گرفته می شود nریشه های واقعی x 1، x 2، …، x n، که ممکن است یکی از آنها باشد:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0، x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0، x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

تعریف 1

فرمول های Vieta به ما کمک می کند تا به دست آوریم:

• قضیه تجزیه یک چند جمله ای به عوامل خطی.
• تعریف چند جمله ای های مساویاز طریق برابری تمام ضرایب متناظر آنها.

بنابراین، چند جمله ای a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n و بسط آن به عوامل خطی به شکل a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) برابر هستند.

اگر پرانتز را در داخل گسترش دهیم آخرین کارو ضرایب مربوطه را با هم برابر می کنیم، فرمول Vieta را بدست می آوریم. با گرفتن n = 2، می توانیم فرمول Vieta را برای معادله درجه دوم بدست آوریم: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

تعریف 2

فرمول Vieta برای معادله مکعبی:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0، x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0، x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

سمت چپ فرمول Vieta شامل چند جمله ای های متقارن ابتدایی است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

یکی از روش های حل معادله درجه دوم استفاده از آن است فرمول های VIET، که به نام فرانسوا ویت نامگذاری شده است.

او بود وکیل معروف، و در قرن شانزدهم خدمت کرد پادشاه فرانسه. که در وقت آزادنجوم و ریاضیات خوانده است. او بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم ارتباط برقرار کرد.

مزایای فرمول:

1 . با اعمال فرمول می توانید به سرعت راه حلی پیدا کنید. زیرا نیازی به وارد کردن ضریب دوم در مربع نیست، سپس 4ac را از آن کم کرده، تفکیک کننده را پیدا کرده و مقدار آن را در فرمول جایگزین کنید تا ریشه ها را پیدا کنید.

2 . بدون راه حل، می توانید نشانه های ریشه ها را تعیین کنید و مقادیر ریشه ها را انتخاب کنید.

3 . پس از حل یک سیستم از دو رکورد، پیدا کردن ریشه ها دشوار نیست. در معادله درجه دوم، مجموع ریشه ها برابر با مقدار ضریب دوم با علامت منفی است. حاصل ضرب ریشه ها در معادله درجه دوم با مقدار ضریب سوم برابر است.

4 . با استفاده از این ریشه ها یک معادله درجه دوم بنویسید، یعنی حل کنید مشکل معکوس. به عنوان مثال، از این روش در هنگام حل مسائل در مکانیک نظری استفاده می شود.

5 . این راحت است که از فرمول زمانی که ضریب پیشرو استفاده می شود برابر با یک.

ایرادات:

1 . فرمول جهانی نیست.

قضیه ویتا پایه هشتم

فرمول
اگر x 1 و x 2 ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 + px + q = 0 باشند، آنگاه:

مثال ها
x 1 = -1; x 2 = 3 - ریشه های معادله x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2، q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p،

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

قضیه مکالمه

فرمول
اگر اعداد x 1، x 2، p، q با شرایط مرتبط باشند:

سپس x 1 و x 2 ریشه های معادله x 2 + px + q = 0 هستند.

مثال
بیایید با استفاده از ریشه های آن یک معادله درجه دوم ایجاد کنیم:

X 1 = 2 - ? 3 و x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 ) (2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

معادله مورد نیاز به شکل: x 2 - 4x + 1 = 0 است.

قبل از پرداختن به قضیه ویتا، تعریفی را معرفی می کنیم. معادله درجه دوم فرم ایکس² + px + q= 0 کاهش یافته نامیده می شود. در این معادله ضریب پیشرو برابر با یک است. مثلا معادله ایکس² - 3 ایکس- 4 = 0 کاهش می یابد. هر معادله درجه دوم فرم تبر² + b ایکس + ج= 0 را می توان با تقسیم دو طرف معادله بر کاهش داد آ≠ 0. برای مثال، معادله 4 ایکس² + 4 ایکس 3 = 0 با تقسیم بر 4 به شکل زیر کاهش می یابد: ایکس² + ایکس- 3/4 = 0. اجازه دهید فرمول ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را استخراج کنیم؛ برای این کار از فرمول ریشه های معادله درجه دوم استفاده می کنیم. نمای کلی: تبر² + bx + ج = 0

معادله کاهش یافته ایکس² + px + q= 0 منطبق بر یک معادله کلی است که در آن آ = 1, ب = پ, ج = qبنابراین، برای معادله درجه دوم داده شده، فرمول به شکل زیر است:

آخرین عبارت فرمول ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته نامیده می شود؛ استفاده از این فرمول به ویژه زمانی راحت است که آر — عدد زوج. مثلاً معادله را حل کنیم ایکس² - 14 ایکس — 15 = 0

در پاسخ می نویسیم معادله دو ریشه دارد.

برای معادله درجه دوم کاهش یافته با مثبت، قضیه زیر صادق است.

قضیه ویتا

اگر ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0، سپس فرمول ها معتبر هستند:

ایکس 1 + ایکس 2 = — آر

x 1 * x 2 = q،یعنی مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

بر اساس فرمول ریشه های معادله درجه دوم فوق، داریم:

با اضافه کردن این برابری ها، دریافت می کنیم: ایکس 1 + ایکس 2 = —آر.

با ضرب این تساوی ها، با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها به دست می آوریم:

توجه داشته باشید که قضیه ویتا در ممیز نیز معتبر است برابر با صفر، اگر فرض کنیم که در این حالت معادله درجه دوم دارای دو ریشه یکسان است: ایکس 1 = ایکس 2 = — آر/2.

بدون حل معادلات ایکس² - 13 ایکس+ 30 = 0 مجموع و حاصل ضرب ریشه های آن را بیابید ایکس 1 و ایکس 2. این معادله D= 169 - 120 = 49 > 0، بنابراین قضیه ویتا را می توان اعمال کرد: ایکس 1 + ایکس 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم. یکی از ریشه های معادله ایکس² — px- 12 = 0 برابر است ایکس 1 = 4. ضریب را پیدا کنید آرو ریشه دوم ایکس 2 از این معادله. با قضیه ویتا x 1 * x 2 =— 12, ایکس 1 + ایکس 2 = — آر.زیرا ایکس 1 = 4 و سپس 4 ایکس 2 = - 12، از کجا ایکس 2 = — 3, آر = — (ایکس 1 + ایکس 2) = - (4 - 3) = - 1. در پاسخ ریشه دوم را یادداشت می کنیم ایکس 2 = - 3، ضریب p = - 1.

بدون حل معادلات ایکس² + 2 ایکس- 4 = 0 بیایید مجموع مربع های ریشه های آن را پیدا کنیم. اجازه دهید ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله. با قضیه ویتا ایکس 1 + ایکس 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. زیرا ایکس 1²+ ایکس 2² = ( ایکس 1 + ایکس 2)² - 2 ایکس 1 ایکس 2 سپس ایکس 1²+ ایکس 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

بیایید حاصل جمع و حاصل ضرب ریشه های معادله 3 را پیدا کنیم ایکس² + 4 ایکس— 5 = 0. این معادله دارای دو است ریشه های مختلف، از آنجا که ممیز D= 16 + 4*3*5 > 0. برای حل معادله از قضیه Vieta استفاده می کنیم. این قضیه برای معادله درجه دوم ثابت شده است. بنابراین، بیایید تقسیم کنیم معادله داده شدهتوسط 3.

بنابراین مجموع ریشه ها برابر با 4/3- و حاصلضرب آنها برابر با 3/5- است.

که در مورد کلیریشه های معادله تبر² + b ایکس + ج= 0 با برابری های زیر مرتبط است: ایکس 1 + ایکس 2 = — b/a، x 1 * x 2 = c/a،برای بدست آوردن این فرمول ها کافی است دو طرف این معادله درجه دوم را بر تقسیم کنیم آ ≠ 0 و قضیه ویتا را در معادله درجه دوم کاهش یافته اعمال کنید. بیایید یک مثال را در نظر بگیریم: شما باید یک معادله درجه دوم کاهش یافته ایجاد کنید که ریشه های آن ایکس 1 = 3, ایکس 2 = 4. زیرا ایکس 1 = 3, ایکس 2 = 4 - ریشه های معادله درجه دوم ایکس² + px + q= 0، سپس با قضیه ویتا آر = — (ایکس 1 + ایکس 2) = — 7, q = ایکس 1 ایکس 2 = 12. جواب را به صورت می نویسیم ایکس² - 7 ایکس+ 12 = 0. هنگام حل برخی از مسائل از قضیه زیر استفاده می شود.

قضیه در مقابل قضیه ویتا قرار دارد

اگر اعداد آر, q, ایکس 1 , ایکس 2 به گونه ای هستند که ایکس 1 + ایکس 2 = — p، x 1 * x 2 = q، آن x 1و x 2- ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0. به سمت چپ جایگزین کنید ایکس² + px + qبجای آراصطلاح - ( ایکس 1 + ایکس 2) و در عوض q- کار x 1 * x 2 .ما گرفتیم: ایکس² + px + q = ایکس² — ( ایکس 1 + ایکس 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).بنابراین، اگر اعداد آر, q, ایکس 1 و ایکس 2 توسط این روابط و سپس برای همه به هم متصل می شوند ایکسبرابری برقرار است ایکس² + px + q = (x - x 1) (x - x 2)،که از آن نتیجه می شود که ایکس 1 و ایکس 2 - ریشه های معادله ایکس² + px + q= 0. با استفاده از قضیه معکوس به قضیه ویتا، گاهی اوقات می توانید ریشه های یک معادله درجه دوم را با انتخاب پیدا کنید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم، ایکس² - 5 ایکس+ 6 = 0. اینجا آر = — 5, q= 6. بیایید دو عدد را انتخاب کنیم ایکس 1 و ایکس 2 به طوری که ایکس 1 + ایکس 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. با توجه به اینکه 6 = 2 * 3، و 2 + 3 = 5، با قضیه معکوس قضیه ویتا، به دست می آوریم که ایکس 1 = 2, ایکس 2 = 3 - ریشه های معادله ایکس² - 5 ایکس + 6 = 0.