معنی عبارت عملیات مختلف با کسری را بیابید. انواع عبارات عقلی. تعاریف عبارات کسری

عبارت عدد صحیح یک عبارت ریاضی است که از اعداد و متغیرهای تحت اللفظی با استفاده از عملیات جمع، تفریق و ضرب تشکیل شده است. اعداد صحیح همچنین شامل عباراتی هستند که شامل تقسیم بر هر عددی غیر از صفر است.

نمونه های بیان کامل

در زیر چند نمونه از عبارات عدد صحیح آورده شده است:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

عبارات کسری

اگر عبارتی شامل تقسیم بر یک متغیر یا عبارت دیگر حاوی یک متغیر باشد، چنین عبارتی یک عدد صحیح نیست. به این عبارت عبارت کسری می گویند. بدهیم تعریف کاملبیان کسری

عبارت کسری یک عبارت ریاضی است که علاوه بر عملیات جمع، تفریق و ضرب که با اعداد و متغیرهای حروف انجام می شود و همچنین تقسیم بر عددی که برابر با صفر نیست، شامل تقسیم به عبارات دارای متغیرهای حرفی نیز می باشد.

مثال ها عبارات کسری:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

عبارات کسری و عدد صحیح دو مجموعه بزرگ از عبارت های ریاضی را تشکیل می دهند. اگر این مجموعه ها را با هم ترکیب کنیم، مجموعه جدیدی به نام عبارات منطقی به دست می آید. یعنی عبارات گویا همه عبارت های اعداد صحیح و کسری هستند.

ما می دانیم که کل عبارات برای هر مقدار از متغیرهایی که در آن گنجانده شده اند، معنی دارند. این از این واقعیت ناشی می شود که برای یافتن ارزش یک عبارت کامل، باید اقداماتی را انجام داد که همیشه ممکن است: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم بر عددی غیر از صفر.

عبارات کسری، بر خلاف کل، ممکن است معنی نداشته باشند. از آنجایی که عملیات تقسیم بر یک متغیر یا عبارتی حاوی متغیرها وجود دارد و این عبارت می تواند صفر شود، اما تقسیم بر صفر غیرممکن است. مقادیر متغیرهایی که در آنها عبارت کسری معنا پیدا می کند نامیده می شود ارزش های قابل قبولمتغیرها

کسر گویا

یکی از موارد خاص عبارات منطقیکسری خواهد بود که صورت و مخرج آن چند جمله ای هستند. برای چنین کسری در ریاضیات نیز یک نام وجود دارد - کسری گویا.

کسری گویا در صورتی معنا پیدا می کند که مخرج آن نباشد برابر با صفر. یعنی تمام مقادیر متغیرهایی که مخرج کسری آنها با صفر متفاوت است قابل قبول خواهد بود.

سطح اول

تبدیل عبارات نظریه تفصیلی (2019)

تبدیل عبارات

ما اغلب این را می شنویم عبارت ناخوشایند: "بیان را ساده کنید." معمولاً نوعی هیولا را می بینیم مانند این:

ما می‌گوییم: «خیلی ساده‌تر است»، اما چنین پاسخی معمولاً جواب نمی‌دهد.

حالا به شما یاد می دهم که از چنین کارهایی نترسید. علاوه بر این، در پایان درس، خودتان این مثال را به (فقط!) یک عدد معمولی (بله، به جهنم با این حروف) ساده می کنید.

اما قبل از شروع این درس، باید بتوانید کسرها و چندجمله ای های عاملی را مدیریت کنید. بنابراین، اگر قبلاً این کار را انجام نداده اید، ابتدا حتماً به مباحث "" و "" تسلط داشته باشید.

آیا آن را خوانده اید؟ اگر بله، پس اکنون آماده هستید.

عملیات ساده سازی اساسی

حال بیایید به تکنیک های اساسی که برای ساده سازی عبارات استفاده می شود نگاه کنیم.

ساده ترین آن است

1. آوردن مشابه

چه چیزهایی شبیه هستند؟ شما این را در کلاس هفتم گرفتید، زمانی که برای اولین بار حروف به جای اعداد در ریاضیات ظاهر شدند. اصطلاحات (تک نامی ها) با قسمت حرفی مشابه هستند. مثلا در کل اصطلاحات مشابه- این من هستم

یادت میاد؟

آوردن مشابه به معنای افزودن چند عبارت مشابه به یکدیگر و به دست آوردن یک عبارت است.

چگونه حروف را کنار هم بگذاریم؟ - تو پرسیدی.

درک این موضوع بسیار آسان است اگر تصور کنید حروف نوعی اشیاء هستند. مثلاً نامه یک صندلی است. سپس عبارت برابر چیست؟ دو صندلی به اضافه سه صندلی، چند خواهد شد؟ درست است، صندلی: .

حالا این عبارت را امتحان کنید: .

برای جلوگیری از سردرگمی، اجازه دهید حروف مختلفاشیاء مختلف را نشان می دهد. به عنوان مثال، - (طبق معمول) یک صندلی است، و - یک میز است. سپس:

صندلی میز میز صندلی میز صندلی میز صندلی

به اعدادی که حروف در این عبارات ضرب می شوند گفته می شود ضرایب. به عنوان مثال، در یک تک جمله ضریب برابر است. و در آن برابر است.

بنابراین، قاعده آوردن موارد مشابه این است:

مثال ها:

موارد مشابه را ارائه دهید:

پاسخ ها:

2. (و مشابه، زیرا، بنابراین، این اصطلاحات دارای قسمت حرف یکسان هستند).

2. فاکتورسازی

این معمولاً مهمترین بخش در ساده سازی عبارات است. بعد از اینکه موارد مشابه را ارائه کردید، اغلب عبارت حاصل باید فاکتورسازی شود، یعنی به عنوان یک محصول ارائه شود. این امر به ویژه در کسرها مهم است: برای اینکه بتوان یک کسری را کاهش داد، صورت و مخرج باید به صورت حاصلضرب نمایش داده شوند.

شما روش های فاکتورسازی عبارات را با جزئیات در مبحث "" مرور کردید، بنابراین در اینجا فقط باید آنچه را که یاد گرفتید به خاطر بسپارید. برای انجام این کار، چند تصمیم بگیرید مثال ها(باید فاکتورسازی شود):

راه حل ها:

3. کاهش کسری.

خوب، چه چیزی می تواند خوشایندتر از خط زدن بخشی از صورت و مخرج و بیرون انداختن آنها از زندگی شما باشد؟

این زیبایی کوچک کردن است.

ساده است:

اگر صورت و مخرج دارای عوامل یکسانی باشند، می توان آنها را کاهش داد، یعنی از کسر حذف کرد.

این قانون از ویژگی اصلی یک کسری ناشی می شود:

یعنی ماهیت عملیات کاهش این است صورت و مخرج کسری را بر یک عدد (یا با همان عبارت) تقسیم می کنیم.

برای کاهش کسری نیاز دارید:

1) صورت و مخرج فاکتوریزه کردن

2) اگر صورت و مخرج شامل عوامل مشترک، می توان آنها را خط زد.

من فکر می کنم اصل روشن است؟

توجه شما را به یک نکته جلب می کنم اشتباه معمولیهنگام انقباض اگرچه این موضوع ساده است، اما بسیاری از مردم همه چیز را اشتباه انجام می دهند، بدون اینکه آن را درک کنند كاهش دادن- این یعنی تقسیم کنیدصورت و مخرج یک عدد هستند.

اگر صورت یا مخرج جمع باشد، علامت اختصاری وجود ندارد.

به عنوان مثال: ما باید ساده کنیم.

برخی از مردم این کار را می کنند: که کاملاً اشتباه است.

مثال دیگر: کم کردن.

"باهوش ترین" این کار را انجام می دهد: .

به من بگو اینجا چه اشکالی دارد؟ به نظر می رسد: - این یک ضریب است، به این معنی که می توان آن را کاهش داد.

اما نه: - این ضریب فقط یک جمله در صورتگر است، اما خود شمارگر به عنوان یک کل فاکتورگیری نشده است.

این هم یک مثال دیگر: .

این عبارت فاکتوریزه می شود، یعنی می توانید آن را کاهش دهید، یعنی صورت و مخرج را بر و سپس بر:

بلافاصله می توانید آن را به موارد زیر تقسیم کنید:

برای جلوگیری از چنین اشتباهاتی، یک راه آسان برای تعیین اینکه آیا یک عبارت فاکتور گرفته شده است را به خاطر بسپارید:

آخرین عملیات حسابی که هنگام محاسبه مقدار یک عبارت انجام می شود، عملیات "master" است. یعنی اگر تعدادی (هر) عددی را به جای حروف جایگزین کنید و سعی کنید مقدار عبارت را محاسبه کنید، آنگاه اگر آخرین اقدامیک ضرب وجود خواهد داشت - به این معنی که ما یک محصول داریم (عبارت فاکتوریزه شده است). اگر آخرین عمل جمع یا تفریق باشد، به این معنی است که عبارت فاکتوربندی نشده است (و بنابراین نمی توان آن را کاهش داد).

برای تثبیت، چند مورد را خودتان حل کنید مثال ها:

پاسخ ها:

1. امیدوارم بلافاصله برای برش عجله نکرده باشید و؟ هنوز "کاهش" واحدهایی مانند این کافی نبود:

اولین قدم باید فاکتورسازی باشد:

4. جمع و تفریق کسرها. تقلیل کسرها به مخرج مشترک.

جمع و تفریق کسرهای معمولی- عملیات به خوبی شناخته شده است: ما به دنبال یک مخرج مشترک می گردیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع یا تفریق می کنیم. به یاد داشته باشیم:

پاسخ ها:

1. مخرج و نسبتاً اول هستند، یعنی فاکتورهای مشترک ندارند. بنابراین LCM این اعداد برابر است با حاصلضرب آنها. این مخرج مشترک خواهد بود:

2. در اینجا مخرج مشترک این است:

3. اولین چیز در اینجا کسرهای مختلطما آنها را به موارد نادرست تبدیل می کنیم و سپس از الگوی معمول پیروی می کنیم:

اگر کسرها دارای حروف باشند، برای مثال:

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم:

الف) مخرج ها حروف ندارند

در اینجا همه چیز مانند کسرهای عددی معمولی است: مخرج مشترک را پیدا می کنیم، هر کسری را در ضریب گم شده ضرب می کنیم و اعداد را جمع یا تفریق می کنیم:

حالا در صورت حساب می توانید موارد مشابه را در صورت وجود بیاورید و آنها را فاکتور بگیرید:

خودت آن را امتحان کن:

ب) مخرج شامل حروف است

بیایید اصل پیدا کردن مخرج مشترک بدون حروف را به خاطر بسپاریم:

· اول از همه، ما عوامل مشترک را تعیین می کنیم.

· سپس همه عوامل مشترک را یکی یکی می نویسیم.

· و آنها را در تمام عوامل غیر مشترک دیگر ضرب کنید.

برای تعیین فاکتورهای مشترک مخرج ها، ابتدا آنها را به عوامل اول تبدیل می کنیم:

بیایید بر عوامل مشترک تأکید کنیم:

حال بیایید عوامل مشترک را یکی یکی بنویسیم و همه عوامل غیرمعمول (بدون زیرخط) را به آنها اضافه کنیم:

این وجه مشترک است.

برگردیم به نامه ها. مخرج ها دقیقاً به همین صورت آورده می شوند:

· مخرج ها را فاکتور بگیرید.

· تعیین عوامل مشترک (یکسان).

· یکبار همه عوامل مشترک را بنویسید.

· آنها را در تمام عوامل غیر مشترک دیگر ضرب کنید.

بنابراین، به ترتیب:

1) مخرج ها را فاکتور بگیرید:

2) عوامل مشترک (یکسان) را تعیین کنید:

3) همه عوامل مشترک را یک بار بنویسید و آنها را در همه عوامل دیگر (بدون تاکید) ضرب کنید:

بنابراین یک مخرج مشترک در اینجا وجود دارد. کسر اول باید ضرب شود، کسر دوم در:

به هر حال، یک ترفند وجود دارد:

مثلا: .

ما عوامل یکسانی را در مخرج ها می بینیم، فقط همه با شاخص های مختلف. مخرج مشترک خواهد بود:

تا یک درجه

تا یک درجه

تا یک درجه

تا یک درجه

بیایید کار را پیچیده کنیم:

چگونه می توان کسرها را مخرج یکسانی ساخت؟

بیایید ویژگی اصلی کسری را به خاطر بسپاریم:

هیچ جا نمی گوید که همان عدد را می توان از صورت و مخرج کسری کم کرد (یا اضافه کرد). چون درست نیست!

خودتان ببینید: مثلاً هر کسری را بردارید و به صورت و مخرج عددی اضافه کنید، برای مثال، . چه یاد می گیرید؟

بنابراین، یک قانون تزلزل ناپذیر دیگر:

وقتی کسرها را به مخرج مشترک، فقط از عملیات ضرب استفاده کنید!

اما برای بدست آوردن چه چیزی باید ضرب کنید؟

پس ضرب کنید و ضرب در:

عباراتی را که نمی‌توان آنها را فاکتورسازی کرد، «عوامل ابتدایی» می‌نامیم. به عنوان مثال، - این یک عامل ابتدایی است. - یکسان. اما نه: می توان آن را فاکتورسازی کرد.

در مورد بیان چطور؟ ابتدایی است؟

خیر، زیرا می توان آن را فاکتور گرفت:

(شما قبلاً در مورد فاکتورسازی در مبحث "" خوانده اید).

بنابراین، عوامل اولیه ای که بیان را با حروف گسترش می دهید، یک آنالوگ هستند عوامل اصلی، که اعداد را در آن تجزیه می کنید. و به همین ترتیب با آنها برخورد خواهیم کرد.

می بینیم که هر دو مخرج یک ضریب دارند. تا درجه به مخرج مشترک خواهد رفت (یادت هست چرا؟).

عامل ابتدایی است و آنها یک عامل مشترک ندارند، به این معنی که کسر اول به سادگی باید در آن ضرب شود:

مثالی دیگر:

راه حل:

قبل از اینکه این مخرج ها را در وحشت ضرب کنید، باید به این فکر کنید که چگونه آنها را فاکتور بگیرید؟ هر دو نشان دهنده:

عالی! سپس:

مثالی دیگر:

راه حل:

طبق معمول، مخرج ها را فاکتورسازی کنیم. در مخرج اول به سادگی آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم. در دوم - تفاوت مربع ها:

به نظر می رسد که هیچ عامل مشترکی وجود ندارد. اما اگر دقت کنید، شبیه هم هستند... و درست است:

پس بیایید بنویسیم:

یعنی اینطور شد: در داخل براکت ما اصطلاحات را عوض کردیم و در همان زمان علامت جلوی کسری به عکس تغییر کرد. توجه داشته باشید، باید این کار را اغلب انجام دهید.

حال بیایید آن را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

فهمیدم؟ اکنون آن را بررسی کنیم.

وظایف برای راه حل مستقل:

پاسخ ها:

در اینجا باید یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم - تفاوت مکعب ها:

لطفا توجه داشته باشید که مخرج کسر دوم شامل فرمول "مربع مجموع" نیست! مجذور مجموع به شکل زیر خواهد بود: .

A به اصطلاح مجذور ناقص مجموع است: جمله دوم در آن حاصل ضرب اول و آخر است و نه حاصل ضرب دوگانه آنها. مربع ناقصمجموع یکی از عوامل گسترش اختلاف مکعب ها است:

اگر قبلاً سه کسر وجود دارد چه باید کرد؟

بله همینطوره! اول از همه، بیایید مطمئن شویم که بیشترین مقدارعوامل در مخرج یکسان بودند:

لطفا توجه داشته باشید: اگر علائم داخل یک براکت را تغییر دهید، علامت جلوی کسری به عکس تغییر می کند. وقتی علامت های براکت دوم را تغییر می دهیم، علامت جلوی کسر دوباره به سمت مخالف تغییر می کند. در نتیجه آن (علامت جلوی کسر) تغییر نکرده است.

کل مخرج اول را در مخرج مشترک می نویسیم و سپس تمام عواملی که هنوز نوشته نشده اند را از دومی و سپس از سومی (و به همین ترتیب اگر کسرهای بیشتری وجود دارد) به آن اضافه می کنیم. یعنی اینطور معلوم میشه:

هوم... واضح است که با کسرها چه باید کرد. اما در مورد این دو چطور؟

ساده است: شما می دانید چگونه کسرها را اضافه کنید، درست است؟ بنابراین، ما باید دو را تبدیل به کسری کنیم! بیایید به یاد داشته باشیم: کسری یک عملیات تقسیم است (اگر فراموش کرده اید، صورت بر مخرج تقسیم می شود). و هیچ چیز ساده تر از تقسیم یک عدد بر آن نیست. در این مورد، خود عدد تغییر نمی کند، بلکه به کسری تبدیل می شود:

دقیقا همان چیزی که لازم است!

5. ضرب و تقسیم کسرها.

خب، سخت ترین بخش اکنون تمام شده است. و پیش روی ما ساده ترین، اما در عین حال مهم ترین است:

روش

روش محاسبه یک عبارت عددی چگونه است؟ با محاسبه معنی این عبارت به خاطر بسپارید:

حساب کردی؟

باید کار کند.

بنابراین، اجازه دهید به شما یادآوری کنم.

اولین قدم محاسبه مدرک است.

دوم ضرب و تقسیم است. اگر چندین ضرب و تقسیم همزمان وجود داشته باشد، می توان آنها را به هر ترتیبی انجام داد.

و در نهایت جمع و تفریق را انجام می دهیم. باز هم به هر ترتیبی.

اما: عبارت داخل پرانتز خارج از نوبت ارزیابی می شود!

اگر چند براکت در یکدیگر ضرب یا تقسیم شوند، ابتدا عبارت هر یک از پرانتزها را محاسبه کرده و سپس آنها را ضرب یا تقسیم می کنیم.

اگر براکت های بیشتری در داخل براکت ها وجود داشته باشد چه؟ خوب، بیایید فکر کنیم: مقداری عبارت در داخل پرانتز نوشته شده است. هنگام محاسبه یک عبارت، ابتدا چه کاری باید انجام دهید؟ درست است، براکت ها را محاسبه کنید. خوب، ما متوجه شدیم: ابتدا براکت های داخلی را محاسبه می کنیم، سپس همه چیز را.

بنابراین، روال عبارت بالا به شرح زیر است (عمل فعلی با رنگ قرمز مشخص شده است، یعنی عملی که من در حال حاضر انجام می دهم):

خوب، همه چیز ساده است.

اما این همان عبارت با حروف نیست؟

نه همینطوره! فقط به جای عملیات حسابیشما باید جبری انجام دهید، یعنی اقداماتی که در آن توضیح داده شده است بخش قبلی: آوردن مشابه، جمع کسرها، کسر کسرها و غیره. تنها تفاوت در عمل فاکتورگیری چندجمله ای ها خواهد بود (ما اغلب از این در هنگام کار با کسرها استفاده می کنیم). اغلب، برای فاکتورسازی، باید از I استفاده کنید یا به سادگی فاکتور مشترک را خارج از پرانتز قرار دهید.

معمولاً هدف ما نمایش یک عبارت به عنوان یک محصول یا ضریب است.

مثلا:

بیایید بیان را ساده کنیم.

1) ابتدا عبارت داخل پرانتز را ساده می کنیم. در آنجا ما اختلاف کسری داریم و هدف ما این است که آن را به عنوان یک محصول یا ضریب ارائه کنیم. بنابراین، کسرها را به یک مخرج مشترک می آوریم و اضافه می کنیم:

غیرممکن است که این عبارت را بیش از این ساده کنیم.

2) دریافت می کنیم:

ضرب کسرها: چه چیزی می تواند ساده تر باشد.

3) اکنون می توانید کوتاه کنید:

باشه الان تموم شد هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟

مثالی دیگر:

بیان را ساده کنید.

ابتدا سعی کنید خودتان آن را حل کنید و تنها پس از آن به راه حل نگاه کنید.

اول از همه، بیایید ترتیب اقدامات را مشخص کنیم. ابتدا کسرهای داخل پرانتز را جمع می کنیم، بنابراین به جای دو کسر، یکی را می گیریم. سپس تقسیم کسرها را انجام خواهیم داد. خوب، بیایید نتیجه را با کسر آخر جمع کنیم. من مراحل را به صورت شماتیک شماره گذاری می کنم:

حالا من روند را به شما نشان می دهم و عمل فعلی را قرمز می کنید:

در پایان، من دو نکته مفید را به شما ارائه می کنم:

1. در صورت وجود موارد مشابه باید فوراً آورده شوند. در هر نقطه ای که موارد مشابه در کشور ما ایجاد می شود، توصیه می شود بلافاصله آنها را مطرح کنید.

2. در مورد کسر کسر نیز همینطور است: به محض اینکه فرصت تقلیل پیدا شد باید از آن بهره برد. استثنا برای کسرهایی است که اضافه یا تفریق می کنید: اگر اکنون دارند مخرج های مشابه، سپس کاهش را باید برای بعد گذاشت.

در اینجا چند کار وجود دارد که می توانید آن را به تنهایی حل کنید:

و آنچه در همان ابتدا وعده داده شد:

راه حل ها (مختصر):

اگر حداقل با سه مثال اول کنار آمدید، پس به موضوع تسلط دارید.

حالا به سراغ یادگیری بروید!

تبدیل عبارات. خلاصه و فرمول های اساسی

عملیات ساده سازی اساسی:

• آوردن مشابه: برای افزودن (کاهش) عبارات مشابه، باید ضرایب آنها را اضافه کنید و قسمت حرف را اختصاص دهید.
• فاکتورسازی:تفسیر ضریب مشترکفراتر از براکت ها، کاربرد و غیره
• کاهش کسری: صورت و مخرج کسری را می توان در همان عدد غیر صفر ضرب یا تقسیم کرد که مقدار کسر را تغییر نمی دهد.
  1) صورت و مخرج فاکتوریزه کردن
  2) اگر صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی داشته باشند، می توان آنها را خط زد.

  مهم: فقط ضریب ها را می توان کاهش داد!

• جمع و تفریق کسرها:
  ;
• ضرب و تقسیم کسرها:
  ;

فرمول مسأله:معنی عبارت (عملیات با کسر) را بیابید.

وظیفه گنجانده شده است ترکیب آزمون دولتی واحدریاضیات سطح پایهبرای درجه 11 زیر شماره 1 (اعمال با کسر).

بیایید ببینیم چگونه حل کنیم وظایف مشابهبا مثال

کار مثال 1:

مقدار عبارت 5/4 + 7/6: 2/3 را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. و بیایید آن را انجام دهیم اقدامات لازمبه ترتیب درست:

پاسخ: 3

کار مثال 2:

مقدار عبارت (3.9 – 2.4) ∙ 8.2 را بیابید

جواب: 12.3

کار مثال 3:

مقدار عبارت 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27) را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام دهید:

پاسخ: -8

کار مثال 4:

مقدار عبارت 2.7 / (1.4 + 0.1) را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام دهید:

پاسخ: 1.8

مثال مشکل 5:

مقدار عبارت 1 / (1/9 – 1/12) را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام دهید:

جواب: 36

مثال 6:

مقدار عبارت (0.24 ∙ 10^6) / (0.6 ∙ 10^4) را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام دهید:

جواب: 40

مثال 7:

مقدار عبارت (1.23 ∙ 45.7) / (12.3 ∙ 0.457) را بیابید.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام دهید:

جواب: 10

مثال 8:

مقدار عبارت (728^2 – 26^2) را پیدا کنید: 754.

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم. برای این کار ترتیب اعمال را مشخص می کنیم: ابتدا ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق. در این حالت، اقدامات در براکت ها زودتر از اقدامات خارج از براکت انجام می شود. و اقدامات لازم را به ترتیب صحیح انجام خواهیم داد. همچنین در در این موردشما باید فرمول تفاوت مربع ها را اعمال کنید.

این مقاله نحوه یافتن مقادیر عبارات ریاضی را مورد بحث قرار می دهد. بیایید با عبارات عددی ساده شروع کنیم و سپس با افزایش پیچیدگی موارد موارد را در نظر بگیریم. در پایان عبارتی حاوی حروف، براکت ها، ریشه ها، خاص می دهیم نشانه های ریاضی، درجات، توابع و غیره طبق سنت، کل نظریه را با مثال‌های فراوان و مفصل ارائه خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

چگونه مقدار یک عبارت عددی را پیدا کنیم؟

عبارات عددی، در میان چیزهای دیگر، به توصیف شرایط مشکل کمک می کنند زبان ریاضی. اصلا عبارات ریاضیمی تواند بسیار ساده، متشکل از یک جفت اعداد و نمادهای حسابی، یا بسیار پیچیده، حاوی توابع، توان ها، ریشه ها، پرانتزها و غیره باشد. به عنوان بخشی از یک کار، اغلب لازم است که معنای یک عبارت خاص را پیدا کنید. نحوه انجام آن و صحبت خواهیم کردزیر

ساده ترین موارد

اینها مواردی هستند که عبارت حاوی چیزی جز اعداد و عملیات حسابی نیست. برای یافتن موفقیت آمیز مقادیر چنین عباراتی، به دانش ترتیب انجام عملیات حسابی بدون پرانتز و همچنین توانایی انجام عملیات با اعداد مختلف نیاز دارید.

اگر عبارت فقط شامل اعداد و علائم حسابی " + "، " · "، " - "، " ÷ " باشد، اعمال از چپ به راست به ترتیب زیر انجام می شود: ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق. بیایید مثال بزنیم.

مثال 1: مقدار یک عبارت عددی

اجازه دهید باید مقادیر عبارت 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 را پیدا کنید.

بیایید ابتدا ضرب و تقسیم را انجام دهیم. ما گرفتیم:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

حالا تفریق را انجام می دهیم و نتیجه نهایی را می گیریم:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

مثال 2: مقدار یک عبارت عددی

بیایید محاسبه کنیم: 0، 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

ابتدا تبدیل، تقسیم و ضرب کسر را انجام می دهیم:

0، 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

حالا بیایید جمع و تفریق را انجام دهیم. بیایید کسرها را گروه بندی کنیم و آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

مقدار مورد نیاز پیدا شده است.

عبارات با پرانتز

اگر عبارتی حاوی پرانتز باشد، ترتیب عملیات در آن عبارت را مشخص می کند. اقدامات داخل براکت ها ابتدا انجام می شود و سپس تمام اقدامات دیگر انجام می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

مثال 3: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت 0.5 · (0.76 - 0.06) را پیدا کنیم.

عبارت حاوی پرانتز است، بنابراین ما ابتدا عمل تفریق را در پرانتز انجام می دهیم و تنها پس از آن ضرب را انجام می دهیم.

0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.

معنای عبارات حاوی پرانتز در داخل پرانتز نیز بر اساس همین اصل یافت می شود.

مثال 4: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 را محاسبه کنیم.

ما اقداماتی را انجام خواهیم داد که از درونی ترین براکت ها شروع می شود و به سمت بیرونی حرکت می کنیم.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2، 5 = 1 + 2 6 = 13.

هنگام یافتن معانی عبارات با پرانتز، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات را دنبال کنید.

عبارات با ریشه

عبارات ریاضی که باید مقادیر آنها را پیدا کنیم ممکن است حاوی علائم ریشه باشند. علاوه بر این، خود عبارت ممکن است زیر علامت ریشه باشد. در این مورد چه باید کرد؟ ابتدا باید مقدار عبارت زیر ریشه را پیدا کنید و سپس ریشه را از عددی که در نتیجه به دست می آید استخراج کنید. در صورت امکان، بهتر است از ریشه در عبارات عددی خلاص شوید و از با جایگزین کنید مقادیر عددی.

مثال 5: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت را با ریشه محاسبه کنیم - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

ابتدا عبارات رادیکال را محاسبه می کنیم.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2، 2 + 0، 05 = 2، 25 = 1، 5.

اکنون می توانید مقدار کل عبارت را محاسبه کنید.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2، 2 + 0، 1 0، 5 = 2 + 3 1، 5 = 6، 5

اغلب، یافتن معنای یک عبارت با ریشه اغلب نیاز به تبدیل عبارت اصلی دارد. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال دیگر توضیح دهیم.

مثال 6: مقدار یک عبارت عددی

3 + 1 3 - 1 - 1 چیست

همانطور که می بینید، ما فرصتی برای جایگزینی ریشه با یک مقدار دقیق نداریم، که روند شمارش را پیچیده می کند. با این حال، در این مورد، می توانید فرمول ضرب اختصاری را اعمال کنید.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

بدین ترتیب:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

عبارات با قدرت

اگر عبارتی دارای قدرت باشد، مقادیر آنها باید قبل از ادامه سایر اقدامات محاسبه شود. این اتفاق می افتد که توان یا پایه درجه خود عبارت هستند. در این حالت ابتدا مقدار این عبارات و سپس مقدار درجه محاسبه می شود.

مثال 7: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 را پیدا کنیم.

بیایید به ترتیب شروع به محاسبه کنیم.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3، 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0، 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

تنها کاری که باقی می ماند این است که عملیات جمع را انجام دهیم و معنای عبارت را پیدا کنیم:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3، 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

همچنین اغلب توصیه می شود که یک عبارت را با استفاده از ویژگی های یک درجه ساده کنید.

مثال 8: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار را محاسبه کنیم عبارت زیر: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

نماها دوباره به گونه ای هستند که نمی توان مقادیر عددی دقیق آنها را به دست آورد. بیایید ساده کنیم بیان اصلیبرای یافتن ارزش آن

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

عبارات با کسری

اگر یک عبارت شامل کسری باشد، پس هنگام محاسبه چنین عبارتی، تمام کسرهای موجود در آن باید به شکل نمایش داده شوند. کسرهای معمولیو مقادیر آنها را محاسبه کنید.

اگر صورت و مخرج کسری شامل عباراتی باشد، ابتدا مقادیر این عبارات محاسبه شده و مقدار نهایی خود کسر نوشته می شود. عملیات حسابی در انجام می شود رویه استاندارد. بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.

مثال 9: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت حاوی کسرها را پیدا کنیم: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

همانطور که می بینید، سه کسر در عبارت اصلی وجود دارد. بیایید ابتدا مقادیر آنها را محاسبه کنیم.

3، 2 2 = 3، 2 ÷ 2 = 1، 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

بیایید عبارت خود را بازنویسی کنیم و مقدار آن را محاسبه کنیم:

1، 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1، 6 - 0، 5 ÷ 1 = 1، 1

اغلب هنگام یافتن معنای عبارات، کاهش کسری راحت است. وجود دارد قانون ناگفته: قبل از یافتن مقدار آن، بهتر است هر عبارتی را تا حداکثر ساده کنید و همه محاسبات را به ساده ترین موارد تقلیل دهید.

مثال 10: مقدار یک عبارت عددی

بیایید عبارت 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 را محاسبه کنیم.

ما نمی‌توانیم ریشه پنج را به طور کامل استخراج کنیم، اما می‌توانیم عبارت اصلی را از طریق تبدیل‌ها ساده کنیم.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

عبارت اصلی به شکل زیر است:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

بیایید مقدار این عبارت را محاسبه کنیم:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

عبارات با لگاریتم

هنگامی که لگاریتم در یک عبارت وجود دارد، در صورت امکان مقدار آنها از ابتدا محاسبه می شود. برای مثال در عبارت log 2 4 + 2 · 4 می توانید بلافاصله به جای log 2 4 مقدار این لگاریتم را یادداشت کرده و سپس تمام اعمال را انجام دهید. دریافت می کنیم: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

تحت علامت لگاریتم خود و در پایه آن نیز می تواند وجود داشته باشد عبارات عددی. در این مورد، اولین کاری که باید انجام دهید یافتن معانی آنهاست. بیایید عبارت log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 را در نظر بگیریم. ما داریم:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

اگر محاسبه مقدار دقیق لگاریتم غیرممکن باشد، ساده کردن عبارت به یافتن مقدار آن کمک می کند.

مثال 11: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 را پیدا کنیم.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

با خاصیت لگاریتم:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

با استفاده مجدد از ویژگی های لگاریتم، برای آخرین کسر در عبارت، به دست می آوریم:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

اکنون می توانید به محاسبه مقدار عبارت اصلی ادامه دهید.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

عباراتی با توابع مثلثاتی

اتفاق می افتد که عبارت شامل توابع مثلثاتی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت و همچنین توابع معکوس آنها می شود. مقدار از قبل از انجام سایر عملیات حسابی محاسبه می شود. که در در غیر این صورت، عبارت ساده شده است.

مثال 12: مقدار یک عبارت عددی

مقدار عبارت را پیدا کنید: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

ابتدا مقادیر توابع مثلثاتی موجود در عبارت را محاسبه می کنیم.

گناه - 5 π 2 = - 1

مقادیر را به عبارت جایگزین می کنیم و مقدار آن را محاسبه می کنیم:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

مقدار عبارت پیدا شده است.

اغلب به منظور یافتن معنای یک عبارت با توابع مثلثاتی، ابتدا باید تبدیل شود. با یک مثال توضیح می دهیم.

مثال 13: مقدار یک عبارت عددی

نیاز به یافتن ارزش عبارات cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 .

برای تبدیل استفاده خواهیم کرد فرمول های مثلثاتیکسینوس زاویه دوتاییو کسینوس جمع

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0.

حالت کلی یک عبارت عددی

که در مورد کلی بیان مثلثاتیممکن است شامل تمام عناصر شرح داده شده در بالا باشد: براکت ها، توان ها، ریشه ها، لگاریتم ها، توابع. فرمول بندی کنیم قانون کلییافتن معانی چنین عباراتی

چگونه مقدار یک عبارت را پیدا کنیم

1. ریشه ها، توان ها، لگاریتم ها و غیره با ارزش های خود جایگزین می شوند.
2. اقدامات داخل پرانتز انجام می شود.
3. اقدامات باقی مانده به ترتیب از چپ به راست انجام می شود. اول - ضرب و تقسیم، سپس - جمع و تفریق.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 14: مقدار یک عبارت عددی

بیایید مقدار عبارت را محاسبه کنیم - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

بیان کاملا پیچیده و دست و پا گیر است. تصادفی نبود که ما فقط چنین مثالی را انتخاب کردیم و سعی کردیم تمام موارد ذکر شده در بالا را در آن جا دهیم. چگونه می توان معنای چنین عبارتی را پیدا کرد؟

مشخص است که هنگام محاسبه ارزش یک مجتمع فرم کسریابتدا مقادیر صورت و مخرج کسر به ترتیب به صورت جداگانه یافت می شود. ما به طور متوالی این عبارت را تبدیل و ساده می کنیم.

اول از همه، بیایید مقدار را محاسبه کنیم بیان رادیکال 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . برای این کار باید مقدار سینوس و عبارتی که آرگومان تابع مثلثاتی است را پیدا کنید.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π 5 = π 6 + 2 π

اکنون می توانید ارزش سینوس را دریابید:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

ما مقدار عبارت رادیکال را محاسبه می کنیم:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

با مخرج کسری همه چیز ساده تر است:

اکنون می توانیم مقدار کل کسر را بنویسیم:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

با در نظر گرفتن این، کل عبارت را می نویسیم:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

نتیجه نهایی:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

در این مورد ما توانستیم محاسبه کنیم مقادیر دقیقریشه، لگاریتم، سینوس و غیره اگر این امکان پذیر نیست، می توانید سعی کنید از طریق تبدیل های ریاضی از شر آنها خلاص شوید.

محاسبه مقادیر بیان با استفاده از روش های منطقی

مقادیر عددی باید به طور مداوم و دقیق محاسبه شوند. این فرآیندبا استفاده از آن می توان ساده و تسریع کرد خواص مختلفاقدامات با اعداد به عنوان مثال، مشخص است که یک محصول برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. با در نظر گرفتن این خاصیت، بلافاصله می توان گفت که عبارت 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 برابر با صفر است. در عین حال، انجام اقدامات به ترتیب توضیح داده شده در مقاله بالا به هیچ وجه ضروری نیست.

استفاده از ویژگی تفریق نیز راحت است اعداد مساوی. بدون انجام هیچ عملی می توانید دستور دهید که مقدار عبارت 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 نیز صفر باشد.

یکی دیگر از تکنیک‌های تسریع فرآیند، استفاده از دگرگونی‌های هویتی مانند گروه‌بندی اصطلاحات و عوامل و قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز است. رویکرد عقلانیبرای محاسبه عبارات با کسری - میانبر عبارات یکساندر صورت و مخرج

به عنوان مثال، عبارت 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 را در نظر بگیرید. بدون انجام عملیات داخل پرانتز، اما با کاهش کسر، می توان گفت که مقدار عبارت 1 3 است.

یافتن مقادیر عبارات با متغیرها

معنی بیان تحت اللفظیو عبارات با متغیرها برای مقادیر مشخصی از حروف و متغیرها یافت می شود.

یافتن مقادیر عبارات با متغیرها

برای یافتن مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیرها، باید آن را جایگزین کنید مقادیر را تنظیم کنیدحروف و متغیرها، و سپس مقدار عبارت عددی حاصل را محاسبه کنید.

مثال 15: مقدار یک عبارت با متغیرها

مقدار عبارت 0, 5 x - y را با x = 2, 4 و y = 5 محاسبه کنید.

مقادیر متغیرها را در عبارت جایگزین می کنیم و محاسبه می کنیم:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

گاهی اوقات می توانید یک عبارت را طوری تبدیل کنید که بدون توجه به مقادیر حروف و متغیرهای موجود در آن، مقدار آن را به دست آورید. برای این کار باید در صورت امکان با استفاده از حروف و متغیرهای عبارت خلاص شوید تحولات هویتی، ویژگی های عملیات حسابی و همه روش های ممکن دیگر.

به عنوان مثال، عبارت x + 3 - x به وضوح دارای مقدار 3 است و برای محاسبه این مقدار نیازی به دانستن مقدار متغیر x نیست. معنی بیان داده شدهبرای تمام مقادیر متغیر x از محدوده مقادیر مجاز آن، برابر با سه است.

یک مثال دیگر مقدار عبارت x x برای همه x های مثبت برابر با یک است.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اکنون که یاد گرفتیم چگونه کسرهای فردی را جمع و ضرب کنیم، می توانیم موارد بیشتری را بررسی کنیم طرح های پیچیده. به عنوان مثال، اگر همان مسئله شامل جمع، تفریق و ضرب کسر باشد، چه؟

اول از همه، شما باید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید. سپس اقدامات مورد نیاز را به ترتیب انجام می دهیم - به همان ترتیبی که برای اعداد معمولی. برای مثال:

1. قدرت اول انجام می شود - از شر تمام عبارات حاوی توان خلاص شوید.
2. سپس - تقسیم و ضرب;
3. مرحله آخر جمع و تفریق است.

البته، اگر پرانتز در عبارت وجود داشته باشد، ترتیب عملیات تغییر می کند - هر چیزی که داخل پرانتز است ابتدا باید شمارش شود. و در مورد کسرهای نامناسب به یاد داشته باشید: فقط زمانی باید کل قسمت را برجسته کنید که سایر اقدامات قبلاً تکمیل شده باشند.

بیایید تمام کسرهای عبارت اول را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس مراحل زیر را انجام دهیم:

حالا بیایید مقدار عبارت دوم را پیدا کنیم. در اینجا کسری با کل بخشنه، اما پرانتز وجود دارد، بنابراین ما ابتدا جمع را انجام می دهیم و فقط بعد تقسیم را انجام می دهیم. توجه داشته باشید که 14 = 7 · 2. سپس:

در نهایت مثال سوم را در نظر بگیرید. در اینجا براکت و مدرک وجود دارد - بهتر است آنها را جداگانه بشمارید. با توجه به اینکه 9 = 3 3، داریم:

به مثال آخر دقت کنید. برای بالا بردن کسری به توان، باید به طور جداگانه صورت را به این توان و به طور جداگانه، مخرج را افزایش دهید.

شما می توانید متفاوت تصمیم بگیرید. اگر تعریف مدرک را به خاطر بیاوریم، مشکل به کاهش می یابد ضرب معمولیکسری:

کسرهای چند طبقه

تا اینجا ما فقط کسرهای «خالص» را در نظر گرفته‌ایم، وقتی که صورت و مخرج هستند اعداد معمولی. این کاملاً با تعریف کسری عددی که در همان درس اول ارائه شد مطابقت دارد.

اما اگر شیء پیچیده تری را در صورت یا مخرج قرار دهید چه؟ مثلا یکی دیگه کسر عددی? چنین سازه هایی اغلب به وجود می آیند، به خصوص هنگام کار با عبارات طولانی. در اینجا چند نمونه وجود دارد:

تنها یک قانون برای کار با کسرهای چند سطحی وجود دارد: باید فوراً از شر آنها خلاص شوید. اگر به یاد داشته باشید که بریده بریده به معنای عملیات تقسیم استاندارد است، حذف طبقات "اضافی" بسیار ساده است. بنابراین، هر کسری را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با استفاده از این واقعیت و پیروی از روش، می توانیم به راحتی هر کسری چند طبقه را به یک کسر معمولی کاهش دهیم. به نمونه ها دقت کنید:

وظیفه. کسرهای چند طبقه را به کسرهای معمولی تبدیل کنید:

در هر مورد، کسر اصلی را بازنویسی می کنیم و خط تقسیم را با علامت تقسیم جایگزین می کنیم. همچنین به یاد داشته باشید که هر عدد صحیح را می توان به صورت کسری با مخرج 1 نشان داد. 12 = 12/1; 3 = 3/1. ما گرفتیم:

که در آخرین نمونهکسرها قبل از ضرب نهایی لغو شدند.

مشخصات کار با کسرهای چند سطحی

یک نکته ظریف در کسرهای چند طبقه وجود دارد که همیشه باید به خاطر بسپارید، در غیر این صورت می توانید پاسخ اشتباه را دریافت کنید، حتی اگر همه محاسبات درست باشد. نگاهی بیاندازید:

1. صورت شامل عدد منفرد 7 و مخرج شامل کسری 12/5 است.
2. صورت شامل کسری 7/12 و مخرج شامل عدد جداگانه 5 است.

بنابراین، برای یک ورودی، ما دو تا را به طور کامل دریافت کردیم تفاسیر مختلف. اگر بشمارید، پاسخ ها نیز متفاوت خواهند بود:

برای اطمینان از اینکه رکورد همیشه بدون ابهام خوانده می شود، از یک قانون ساده استفاده کنید: خط تقسیم کسر اصلی باید طولانی تر از خط کسر تو در تو باشد. ترجیحا چندین بار.

اگر از این قانون پیروی کنید، کسرهای بالا باید به صورت زیر نوشته شوند:

بله، ممکن است نامناسب باشد و فضای زیادی را اشغال کند. اما شما درست حساب خواهید کرد. در نهایت، چند مثال که در آن کسرهای چند طبقه در واقع بوجود می آیند:

وظیفه. معانی عبارات را بیابید:

بنابراین، بیایید با مثال اول کار کنیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و سپس عملیات جمع و تقسیم را انجام دهیم:

بیایید همین کار را با مثال دوم انجام دهیم. بیایید همه کسرها را به کسرهای نامناسب تبدیل کنیم و عملیات مورد نیاز را انجام دهیم. برای اینکه خواننده را خسته نکنم، برخی از محاسبات آشکار را حذف می کنم. ما داریم:

با توجه به اینکه صورت و مخرج کسرهای پایه دارای جمع هستند، قانون نوشتن کسرهای چند طبقه به صورت خودکار رعایت می شود. همچنین در مثال آخر عمداً 46/1 را به صورت کسری برای انجام تقسیم گذاشتیم.

همچنین متذکر می شوم که در هر دو مثال، نوار کسری در واقع جایگزین پرانتز می شود: اول از همه، ما مجموع را پیدا کردیم و فقط پس از آن ضریب را پیدا کردیم.

برخی می گویند که انتقال به کسرهای نامناسبدر مثال دوم به وضوح زائد بود. شاید این درست باشد. اما با انجام این کار ما خود را در برابر اشتباهات بیمه می کنیم، زیرا دفعه بعد ممکن است مثال بسیار پیچیده تر شود. آنچه مهمتر است را خودتان انتخاب کنید: سرعت یا قابلیت اطمینان.