جمله پیچیده با پیوندهای فرعی و غیر ربط. جملات پیچیده: اتصالات هماهنگ کننده غیر اتحادیه و اتحادیه. ارتباط هماهنگ در یک جمله پیچیده

در این درس به تبدیل کسرها به مخرج مشترکو مشکلات مربوط به این موضوع را حل کنید. بیایید مفهوم مخرج مشترک و عامل اضافی را تعریف کنیم و اعداد نسبتا اول را به خاطر بسپاریم. بیایید مفهوم کمترین مخرج مشترک (LCD) را تعریف کنیم و تعدادی از مسائل را برای یافتن آن حل کنیم.

موضوع: جمع و تفریق کسرها با مخرج های مختلف

درس: تقلیل کسرها به مخرج مشترک

تکرار. خاصیت اصلی کسری.

اگر صورت و مخرج کسری در یک ضرب یا تقسیم شوند عدد طبیعی، سپس کسری برابر با آن بدست می آورید.

به عنوان مثال، صورت و مخرج یک کسر را می توان بر 2 تقسیم کرد. ما کسر را بدست می آوریم. این عمل کاهش کسر نامیده می شود. شما همچنین می توانید تبدیل معکوس را با ضرب صورت و مخرج کسر در 2 انجام دهید. در این حالت می گوییم کسر را به مخرج جدید کاهش داده ایم. عدد 2 یک عامل اضافی نامیده می شود.

نتیجه.کسری را می توان به هر مخرجی که مضربی از مخرج کسر معین باشد تقلیل داد. برای آوردن کسری به مخرج جدید، صورت و مخرج آن در یک عامل اضافی ضرب می شوند.

1. کسر را به مخرج 35 کاهش دهید.

عدد 35 مضرب 7 است، یعنی عدد 35 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است. این بدان معناست که این تحول ممکن است. بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار 35 را بر 7 تقسیم می کنیم. عدد 5 بدست می آید. صورت و مخرج کسر اصلی را در 5 ضرب می کنیم.

2. کسر را به مخرج 18 کاهش دهید.

بیایید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای این کار، مخرج جدید را بر مخرج اصلی تقسیم کنید. عدد 3 را بدست می آوریم. صورت و مخرج این کسر را در 3 ضرب می کنیم.

3. کسر را به مخرج 60 کاهش دهید.

تقسیم 60 بر 15 یک فاکتور اضافی به دست می دهد. برابر است با 4. صورت و مخرج را در 4 ضرب کنید.

4. کسر را به مخرج 24 کاهش دهید

در موارد ساده، کاهش به مخرج جدید به صورت ذهنی انجام می شود. فقط مرسوم است که فاکتور اضافی را در پشت یک براکت کمی به سمت راست و بالاتر از کسر اصلی نشان دهیم.

کسر را می توان به مخرج 15 و کسری را به مخرج 15 تقلیل داد. کسرها نیز مخرج مشترک 15 دارند.

مخرج مشترک کسرها می تواند هر مضرب مشترک مخرج آنها باشد. برای سادگی، کسرها به کمترین مخرج مشترک کاهش می‌یابند. برابر است با کمترین مضرب مشترک مخرج کسرهای داده شده.

مثال. کسرها را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید.

ابتدا بیایید حداقل مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنیم. این عدد 12 است. بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول و دوم پیدا کنیم. برای این کار 12 را بر 4 و 6 تقسیم کنید. سه برای کسر اول یک ضریب اضافی و دو برای کسر دوم است. بیایید کسرها را به مخرج 12 بیاوریم.

کسرها را به یک مخرج مشترک رساندیم، یعنی کسرهای مساوی پیدا کردیم که مخرج یکسانی دارند.

قانون.برای کاهش کسرها به کمترین مخرج مشترک، باید

ابتدا، حداقل مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنید، این کوچکترین مخرج مشترک آنها خواهد بود.

ثانیاً، کمترین مخرج مشترک را بر مخرج این کسرها تقسیم کنید، یعنی برای هر کسری یک عامل اضافی پیدا کنید.

سوم، صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

الف) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 12 است. ضریب اضافی برای کسر اول 4 است، برای دوم - 3. ما کسرها را به مخرج 24 کاهش می دهیم.

ب) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

کمترین مخرج مشترک 45 است. با تقسیم 45 بر 9 به ترتیب 5 و 3 به مخرج 45 می رسیم.

ج) کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

مخرج مشترک 24 است. عوامل اضافی به ترتیب 2 و 3 هستند.

گاهی اوقات یافتن کمترین مضرب مشترک مخرج کسرهای داده شده به صورت کلامی دشوار است. سپس مخرج مشترک و ضرب کننده های اضافیبا استفاده از فاکتورسازی اول پیدا شد.

کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید.

بیایید اعداد 60 و 168 را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم. بیایید بسط عدد 60 را بنویسیم و فاکتورهای گمشده 2 و 7 را از بسط دوم جمع کنیم. 60 را در 14 ضرب می کنیم و مخرج مشترک 840 می گیریم. ضریب اضافی برای کسر اول 14 است. ضریب اضافی برای کسر دوم 5 است. بیایید کسرها را به مخرج مشترک 840 برسانیم.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. Vilenkin N.Ya.، Zhokhov V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران ریاضیات 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.V.، Yakir M.S. ریاضی ششم دبستان. - ورزشگاه، 1385.

3. Depman I.Ya.، Vilenkin N.Ya. پشت صفحات کتاب ریاضی. - روشنگری، 1989.

4. روروکین A.N., Tchaikovsky I.V. تکالیف درس ریاضی پایه پنجم تا ششم. - ZSh MEPhI، 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. ریاضی 5-6. کتابچه راهنمای دانش آموزان پایه ششم مدرسه مکاتبه MEPhI. - ZSh MEPhI، 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. و دیگران: کتاب درسی - همکار برای کلاس های 5-6 دبیرستان. کتابخانه معلم ریاضی. - روشنگری، 1989.

می توانید کتاب های مشخص شده در بند 1.2 را دانلود کنید. از این درس

مشق شب

Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S. و دیگران ریاضیات 6. - M.: Mnemosyne، 2012. (پیوند به 1.2 مراجعه کنید).

تکلیف: شماره 297، شماره 298، شماره 300.

سایر وظایف: شماره 270، شماره 290

اکثر عملیات با کسرهای جبری، مانند جمع و تفریق، ابتدا نیاز به تبدیل این کسرها به مخرج های مشابه. این مخرج ها اغلب به عنوان مخرج مشترک نیز شناخته می شوند. در این مبحث به تعریف مفاهیم "مخرج مشترک کسرهای جبری" و "کمترین مخرج مشترک کسرهای جبری (LCD) می پردازیم، الگوریتم یافتن مخرج مشترک را نقطه به نقطه در نظر می گیریم و چندین مسئله را در مورد کسرهای جبری حل می کنیم. موضوع.

Yandex.RTB R-A-339285-1

مخرج مشترک کسرهای جبری

اگر در مورد کسرهای معمولی صحبت کنیم، مخرج مشترک عددی است که بر هر یک از مخرج های کسرهای اصلی بخش پذیر است. برای کسرهای معمولی 1 2 و 5 9 عدد 36 می تواند مخرج مشترک باشد، زیرا بدون باقی مانده بر 2 و 9 بخش پذیر است.

مخرج مشترک کسرهای جبری به روشی مشابه تعیین می شود، فقط از چند جمله ای به جای اعداد استفاده می شود، زیرا آنها کسر و مخرج کسری جبری هستند.

تعریف 1

مخرج مشترک کسری جبریچند جمله ای است که بر مخرج هر کسری بخش پذیر است.

با توجه به ویژگی‌های کسرهای جبری، که در زیر مورد بحث قرار خواهد گرفت، اغلب با مخرج‌های مشترکی که به‌عنوان یک محصول نشان داده می‌شوند و نه به‌عنوان چندجمله‌ای استاندارد سروکار داریم.

مثال 1

چند جمله ای به عنوان یک محصول نوشته می شود 3 × 2 (x + 1)، مربوط به چند جمله ای است نمای استاندارد 3×3 + 3×2. این چند جمله ای می تواند مخرج مشترک کسرهای جبری 2 x, - 3 x y x 2 و y + 3 x + 1 باشد، به دلیل اینکه بر آن قابل بخش است. ایکس، بر x 2و در x+1. اطلاعات مربوط به تقسیم پذیری چندجمله ای ها در موضوع مربوطه منبع ما موجود است.

حداقل مخرج مشترک (LCD)

برای کسرهای جبری داده شده، تعداد مخرج های مشترک می تواند بی نهایت باشد.

مثال 2

اجازه دهید کسرهای 1 2 x و x + 1 x 2 + 3 را به عنوان مثال در نظر بگیریم. وجه اشتراک آنها این است 2 x (x 2 + 3)، همچنین − 2 x (x 2 + 3)، همچنین x (x 2 + 3)، همچنین 6، 4 x (x 2 + 3) (y + y 4)، همچنین − 31 x 5 (x 2 + 3) 3، و غیره.

هنگام حل مسائل، می توانید با استفاده از یک مخرج مشترک که ساده ترین شکل را در بین کل مجموعه مخرج ها دارد، کار خود را آسان کنید. این مخرج اغلب به عنوان کمترین مخرج مشترک شناخته می شود.

تعریف 2

کمترین مخرج مشترک کسرهای جبریمخرج مشترک کسرهای جبری است که ساده ترین شکل را دارد.

به هر حال، اصطلاح "کمترین مخرج مشترک" به طور کلی پذیرفته نشده است، بنابراین بهتر است خود را به اصطلاح "مخرج مشترک" محدود کنیم. و به همین دلیل.

قبلاً توجه شما را به عبارت «مخرج ترین ها» معطوف کردیم نوع ساده" معنی اصلی این عبارت چنین است: مخرج ساده ترین شکل باید بر هر مخرج مشترک دیگر داده ها در شرط مسئله کسرهای جبری قابل تقسیم باشد. در این صورت در محصولی که مخرج مشترک کسری است می توانید از انواع مختلف استفاده کنید شانس عددی.

مثال 3

بیایید کسرهای 1 2 · x و x + 1 x 2 + 3 را در نظر بگیریم. ما قبلاً متوجه شده ایم که کار با مخرج مشترک شکل 2 · x · (x 2 + 3) برای ما ساده تر خواهد بود. همچنین مخرج مشترک این دو کسر می تواند باشد x (x 2 + 3)، که حاوی ضریب عددی نیست. سؤال این است که کدام یک از این دو مخرج مشترک کمترین مخرج مشترک کسرها محسوب می شود. هیچ پاسخ قطعی وجود ندارد، بنابراین صحیح تر است که به سادگی در مورد مخرج مشترک صحبت کنید و با گزینه ای که کار با آن راحت تر است کار کنید. بنابراین، می توانیم از مخرج های مشترکی مانند x 2 (x 2 + 3) (y + y 4)یا − 15 x 5 (x 2 + 3) 3که بیشتر دارند ظاهر پیچیده، اما انجام اقدام با آنها می تواند دشوارتر باشد.

یافتن مخرج مشترک کسرهای جبری: الگوریتم اعمال

فرض کنید چند کسر جبری داریم که باید یک مخرج مشترک برای آنها پیدا کنیم. برای حل این مشکل می توانیم از الگوریتم اقدامات زیر استفاده کنیم. ابتدا باید مخرج کسرهای اصلی را فاکتور کنیم. سپس اثری را می سازیم که در آن به ترتیب شامل موارد زیر می شویم:

• همه عوامل از مخرج کسر اول به همراه توانها.
• همه عواملی که در مخرج کسر دوم وجود دارند، اما در حاصلضرب نوشته شده نیستند یا درجه آنها کافی نیست.
• همه عوامل گمشده از مخرج کسر سوم و غیره.

حاصلضرب، مخرج مشترک کسرهای جبری خواهد بود.

به عنوان فاکتورهای حاصلضرب، می‌توانیم همه مخرج‌های کسرهای داده‌شده در بیان مسئله را در نظر بگیریم. با این حال، ضریبی که در پایان به دست می آوریم، از نظر معنی با NCD فاصله دارد و استفاده از آن غیرمنطقی خواهد بود.

مثال 4

مخرج مشترک کسرهای 1 x 2 y، 5 x + 1 و y - 3 x 5 y را تعیین کنید.

راه حل

که در در این موردما نیازی به فاکتور گرفتن مخرج کسرهای اصلی نداریم. بنابراین، با ترکیب کار، اعمال الگوریتم را آغاز خواهیم کرد.

از مخرج کسر اول ضریب را می گیریم x 2 سال، از مخرج کسر دوم ضریب x+1. ما محصول را دریافت می کنیم x 2 y (x + 1).

مخرج کسر سوم می تواند یک ضریب به ما بدهد x 5 سالبا این حال، محصولی که قبلاً گردآوری کردیم از قبل دارای فاکتورهایی است x 2و y. بنابراین، ما بیشتر اضافه می کنیم x 5 − 2 = x 3. ما محصول را دریافت می کنیم x 2 y (x + 1) x 3، که می تواند به فرم کاهش یابد x 5 y (x + 1). این NOZ کسرهای جبری ما خواهد بود.

پاسخ: x 5 · y · (x + 1) .

حال بیایید به مثال هایی از مسائلی که مخرج کسرهای جبری حاوی ضرایب عددی صحیح هستند نگاه کنیم. در چنین مواردی، ما نیز از الگوریتم پیروی می کنیم، زیرا قبلاً فاکتورهای عددی صحیح را به عوامل ساده تجزیه کرده ایم.

مثال 5

مخرج مشترک کسرهای 1 12 x و 1 90 x 2 را پیدا کنید.

راه حل

با تقسیم اعداد موجود در مخرج کسرها به ضرایب اول، به 1 2 2 3 x و 1 2 3 2 5 x 2 می رسیم. حالا می‌توانیم به سراغ جمع‌آوری یک مخرج مشترک برویم. برای این کار از مخرج کسر اول حاصلضرب را می گیریم 2 2 3 xو فاکتورهای 3، 5 و را به آن اضافه کنید ایکساز مخرج کسر دوم. ما گرفتیم 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. این وجه مشترک ماست.

پاسخ: 180 x 2.

اگر به نتایج دو مثال مورد تجزیه و تحلیل دقت کنید، متوجه می شوید که مخرج مشترک کسرها شامل تمام عوامل موجود در بسط مخرج ها است و اگر عامل خاصی در چند مخرج وجود داشته باشد، از آن استفاده می شود. با بزرگترین توان موجود و اگر مخرج ها دارای ضرایب صحیح باشند، مخرج مشترک شامل می شود عامل عددی، برابر با کمترین مضرب مشترک این ضرایب عددی است.

مثال 6

مخرج هر دو کسر جبری 1 12 x و 1 90 x 2 یک عامل دارند. ایکس. در حالت دوم ضریب x مجذور می شود. برای ایجاد یک مخرج مشترک، باید این عامل را به بیشترین میزان در نظر بگیریم، یعنی. x 2. هیچ ضریب دیگری با متغیر وجود ندارد. ضرایب عددی صحیح کسرهای اصلی 12 و 90 ، و کمترین مضرب مشترک آنها است 180 . معلوم می شود که مخرج مشترک مورد نظر دارای شکل است 180 x 2.

اکنون می توانیم الگوریتم دیگری را برای یافتن عامل مشترک کسرهای جبری بنویسیم. برای این ما:

• مخرج همه کسرها را فاکتور بگیرید.
• ما محصول همه را می سازیم عوامل حرف(اگر در چندین بسط ضریب وجود داشته باشد، گزینه با را انتخاب می کنیم بالاترین شاخصدرجه)؛
• ما LCM ضرایب عددی بسط را به محصول حاصل اضافه می کنیم.

الگوریتم های داده شده معادل هستند، بنابراین می توان از هر یک از آنها برای حل مسائل استفاده کرد. توجه به جزئیات مهم است.

مواردی وجود دارد که عوامل مشترک در مخرج کسرها ممکن است در پشت ضرایب عددی نامرئی باشند. در اینجا توصیه می شود ابتدا ضرایب عددی را در توان های بالاتر متغیرها خارج از پرانتز در هر یک از عوامل موجود در مخرج قرار دهید.

مثال 7

کسرهای 3 5 - x و 5 - x · y 2 2 · x - 10 چه مخرج مشترکی دارند؟

راه حل

در حالت اول، منهای یک باید از براکت ها خارج شود. ما 3 - x - 5 می گیریم. صورت و مخرج را در - 1 ضرب می کنیم تا از منهای مخرج خلاص شویم: - 3 x - 5.

در حالت دوم، این دو را خارج از براکت قرار می دهیم. این به ما امکان می دهد کسر 5 - x · y 2 2 · x - 5 را بدست آوریم.

بدیهی است که مخرج مشترک این کسرهای جبری - 3 x - 5 و 5 - x · y 2 2 · x - 5 است. 2 (x − 5).

پاسخ:2 (x − 5).

داده ها در شرایط مسئله کسری ممکن است دارای ضرایب کسری باشند. در این موارد ابتدا باید از شر آن خلاص شوید شانس کسریبا ضرب صورت و مخرج در عدد معینی.

مثال 8

ساده کنید کسرهای جبری 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 و - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3، سپس مخرج مشترک آنها را مشخص کنید.

راه حل

بیایید با ضرب کردن صورت و مخرج در حالت اول در 14 و در مورد دوم در 3 از شر ضرایب کسری خلاص شویم. ما گرفتیم:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 و - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

پس از دگرگونی ها مشخص می شود که مخرج مشترک است 2 (x 2 + 2).

پاسخ: 2 (x 2 + 2).

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

من در ابتدا می خواستم تکنیک های مخرج مشترک را در بخش جمع و تفریق کسرها قرار دهم. اما اطلاعات بسیار زیادی وجود داشت و اهمیت آن بسیار زیاد بود (بالاخره، نه تنها کسرهای عددی) که بهتر است این موضوع را جداگانه بررسی کنیم.

بنابراین، فرض کنید دو کسر با مخرج های مختلف داریم. و ما می خواهیم مطمئن شویم که مخرج ها یکسان می شوند. ویژگی اصلی یک کسری به کمک می آید، که، اجازه دهید یادآوری کنم، به نظر می رسد این است:

کسری تغییر نمی کند اگر صورت و مخرج آن در عددی غیر از صفر ضرب شود.

بنابراین، اگر عوامل را به درستی انتخاب کنید، مخرج کسری برابر می شود - این فرآیند کاهش به مخرج مشترک نامیده می شود. و اعداد مورد نیاز، که مخرج‌ها را «غروب کردن» می‌کنند، عوامل اضافی نامیده می‌شوند.

چرا باید کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم؟ در اینجا فقط چند دلیل وجود دارد:

1. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف. هیچ راه دیگری برای انجام این عملیات وجود ندارد.
2. مقایسه کسرها گاهی اوقات تقلیل به یک مخرج مشترک این کار را بسیار ساده می کند.
3. حل مسائل مربوط به کسرها و درصدها. درصدهادر واقع عبارات معمولی هستند که شامل کسری هستند.

راه های زیادی برای یافتن اعداد وجود دارد که با ضرب در آنها، مخرج کسرها برابر می شود. ما فقط سه مورد از آنها را در نظر خواهیم گرفت - به منظور افزایش پیچیدگی و به یک معنا، اثربخشی.

ضرب متقاطع

ساده ترین و راه قابل اعتماد، که تضمین شده است که مخرج ها را برابر می کند. ما "به شیوه ای سرگردان" عمل خواهیم کرد: کسر اول را در مخرج کسر دوم و کسر دوم را در مخرج کسر اول ضرب می کنیم. در نتیجه مخرج هر دو کسر تبدیل می شود برابر با محصولمخرج اصلی نگاهی بیاندازید:

به عنوان عوامل اضافی، مخرج کسرهای همسایه را در نظر بگیرید. ما گرفتیم:

بله، به همین سادگی است. اگر تازه شروع به مطالعه کسری کرده اید، بهتر است با استفاده از این روش کار کنید - به این ترتیب خود را در برابر بسیاری از اشتباهات بیمه خواهید کرد و نتیجه را تضمین خواهید کرد.

تنها عیب این روش- باید خیلی بشمارید، زیرا مخرج ها "در سراسر" ضرب می شوند و نتیجه می تواند بسیار باشد اعداد بزرگ. این بهایی است که باید برای قابلیت اطمینان پرداخت کرد.

روش تقسیم کننده مشترک

این تکنیک به کاهش قابل توجه محاسبات کمک می کند، اما، متأسفانه، بسیار به ندرت استفاده می شود. روش به شرح زیر است:

1. قبل از اینکه مستقیم به جلو بروید (یعنی با استفاده از روش متقاطع)، به مخرج ها نگاهی بیندازید. شاید یکی از آنها (یکی که بزرگتر است) به دیگری تقسیم شود.
2. عدد حاصل از این تقسیم یک عامل اضافی برای کسری با مخرج کوچکتر خواهد بود.
3. در این مورد، کسری با مخرج بزرگ اصلاً نیازی به ضرب در چیزی ندارد - این جایی است که پس انداز نهفته است. در عین حال، احتمال خطا به شدت کاهش می یابد.

وظیفه. معانی عبارات را بیابید:

توجه داشته باشید که 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. از آنجایی که در هر دو صورت یک مخرج بدون باقی مانده بر دیگری تقسیم می شود، از روش استفاده می کنیم عوامل مشترک. ما داریم:

توجه داشته باشید که کسر دوم اصلاً در هیچ چیز ضرب نشده است. در واقع مقدار محاسبات را نصف کردیم!

به هر حال، من کسرها را در این مثال تصادفی نگرفتم. اگر علاقه دارید، سعی کنید آنها را با استفاده از روش متقاطع بشمارید. پس از کاهش، پاسخ ها یکسان خواهد بود، اما کار بسیار بیشتر خواهد بود.

این قدرت روش مقسوم‌گیرنده‌های مشترک است، اما باز هم می‌توان از آن استفاده کرد که یکی از مخرج‌ها بر دیگری بدون باقیمانده بخش‌پذیر باشد. که بسیار به ندرت اتفاق می افتد.

متداول ترین روش چندگانه

وقتی کسرها را به یک مخرج مشترک تقلیل می‌دهیم، اساساً سعی می‌کنیم عددی را پیدا کنیم که بر هر یک از مخرج‌ها بخش پذیر باشد. سپس مخرج هر دو کسر را به این عدد می آوریم.

تعداد زیادی از این اعداد وجود دارد و کوچکترین آنها لزوما برابر نخواهد بود محصول مستقیممخرج کسرهای اصلی، همانطور که در روش متقاطع فرض شده است.

به عنوان مثال، برای مخرج 8 و 12، عدد 24 کاملاً مناسب است، زیرا 24: 8 = 3. 24: 12 = 2. این عدد بسیار است محصول کمتر 8 12 = 96.

کوچکترین عددی که بر هر یک از مخرج ها بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک آنها (LCM) نامیده می شود.

نماد: کمترین مضرب مشترک a و b را LCM(a ; b) نشان می دهند. برای مثال LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.

اگر بتوانید چنین عددی را بیابید، مقدار کل محاسبات حداقل خواهد بود. به نمونه ها نگاه کنید:

وظیفه. معانی عبارات را بیابید:

توجه داشته باشید که 234 = 117 2; 351 = 117 3. فاکتورهای 2 و 3 coprime هستند (هیچ عامل مشترکی غیر از 1 ندارند) و عامل 117 مشترک است. بنابراین LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

به همین ترتیب، 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. فاکتورهای 3 و 4 coprime هستند و عامل 5 رایج است. بنابراین LCM(15، 20) = 5 3 4 = 60.

حالا بیایید کسرها را به مخرج مشترک بیاوریم:

توجه کنید که فاکتورسازی مخرج اصلی چقدر مفید بود:

1. با کشف عوامل یکسان، بلافاصله به کمترین مضرب مشترک رسیدیم، که به طور کلی، مشکلی غیر پیش پا افتاده است.
2. از بسط حاصل می توانید دریابید که کدام عوامل در هر کسری "مفقود" هستند. به عنوان مثال، 234 · 3 = 702، بنابراین، برای کسر اول ضریب اضافی 3 است.

برای درک اینکه روش چندگانه کم‌معمول چقدر تفاوت ایجاد می‌کند، سعی کنید همین مثال‌ها را با استفاده از روش متقاطع محاسبه کنید. البته بدون ماشین حساب. من فکر می کنم بعد از این نظرات غیر ضروری خواهد بود.

فکر نکنید که چنین چیزی وجود دارد کسرهای پیچیدهدر نمونه های واقعی چنین نخواهد بود. آنها همیشه ملاقات می کنند، و وظایف فوق محدودیت نیستند!

تنها مشکل این است که چگونه این NOC را پیدا کنیم. گاهی اوقات همه چیز را می توان در چند ثانیه، به معنای واقعی کلمه "با چشم" پیدا کرد، اما به طور کلی این یک کار محاسباتی پیچیده است که نیاز به بررسی جداگانه. ما در اینجا به آن دست نخواهیم داد.

برای حل مثال با کسری، باید بتوانید کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید. در زیر دستورالعمل های دقیق ارائه شده است.

چگونه می توان کمترین مخرج مشترک - مفهوم را پیدا کرد

حداقل مخرج مشترک (LCD) به زبان سادهحداقل عددی است که بر مخرج همه کسرها بخش پذیر است این مثال. به عبارت دیگر به آن حداقل چندگانه مشترک (LCM) می گویند. NOS فقط در صورتی استفاده می شود که مخرج کسرها متفاوت باشد.

چگونه می توان کمترین مخرج مشترک را پیدا کرد - مثال

بیایید به نمونه هایی از یافتن NOC ها نگاه کنیم.

محاسبه کنید: 3/5 + 2/15.

راه حل (توالی اقدامات):

• ما به مخرج کسرها نگاه می کنیم، مطمئن می شویم که آنها متفاوت هستند و عبارات تا حد امکان مخفف هستند.
• ما پیدا می کنیم کوچکترین عددکه بر 5 و 15 بخش پذیر است. این عدد 15 خواهد بود. بنابراین 3/5 + 2/15 = ?/15.
• ما مخرج را فهمیدیم. در صورت شمار چه خواهد شد؟ یک ضریب اضافی به ما کمک می کند تا این را بفهمیم. یک عامل اضافی عددی است که از تقسیم NZ بر مخرج یک کسر خاص بدست می آید. برای 3/5، ضریب اضافی 3 است، زیرا 15/5 = 3. برای کسر دوم، ضریب اضافی 1 است، زیرا 15/15 = 1 است.
• پس از فهمیدن عامل اضافی، آن را در اعداد کسرها ضرب می کنیم و مقادیر حاصل را اضافه می کنیم. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

پاسخ: 3/5 + 2/15 = 11/15.

اگر در مثال نه 2، بلکه 3 یا را اضافه یا کم کنیم کسری بیشتر، سپس NCD باید برای تعداد کسرهای داده شده جستجو شود.

محاسبه کنید: 1/2 – 5/12 + 3/6

راه حل (توالی اقدامات):

• پیدا کردن کمترین مخرج مشترک حداقل عددی که بر 2، 12 و 6 بخش پذیر است 12 است.
• دریافت می کنیم: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
• ما به دنبال ضریب های اضافی هستیم. برای 1/2 - 6; برای 5/12 – 1؛ برای 3/6 - 2.
• ما در اعداد ضرب می کنیم و علائم مربوطه را اختصاص می دهیم: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

پاسخ: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

محتوا:

برای جمع یا تفریق کسری با مخرج های متفاوت (اعداد زیر خط کسری)، ابتدا باید کمترین مخرج مشترک آنها (LCD) را پیدا کنید. این عدد کوچکترین مضربی خواهد بود که در فهرست مضربهای هر مخرج ظاهر می شود، یعنی عددی که به طور مساوی بر هر مخرج بخش پذیر است. همچنین می توانید حداقل مضرب مشترک (LCM) دو یا چند مخرج را محاسبه کنید. به هر حال ما در مورددر مورد اعداد صحیح، روش هایی برای یافتن که بسیار مشابه هستند. هنگامی که NOS را تعیین کردید، می توانید کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهید، که به نوبه خود به شما امکان می دهد آنها را اضافه و تفریق کنید.

مراحل

1 فهرست مضرب

1. 1 مضرب هر مخرج را فهرست کنید.فهرستی از مضرب هر مخرج در معادله تهیه کنید. هر فهرست باید از حاصل ضرب مخرج 1، 2، 3، 4 و غیره تشکیل شده باشد.
   • مثال: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • مضرب 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; و غیره
   • مضرب 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; و غیره
   • مضرب 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; و غیره
2. 2 کمترین مضرب مشترک را تعیین کنید.هر فهرست را مرور کنید و مضربی را که در همه مخرج‌ها مشترک است، یادداشت کنید. پس از شناسایی مضرب های مشترک، کمترین مخرج را مشخص کنید.
   • توجه داشته باشید که اگر مخرج مشترکی پیدا نشد، ممکن است لازم باشد به نوشتن مضرب ادامه دهید تا زمانی که یک مضرب مشترک ظاهر شود.
   • زمانی که مخرج ها دارای اعداد کوچک هستند بهتر است (و راحت تر) از این روش استفاده کنید.
   • در مثال ما، مضرب مشترک همه مخرج ها عدد 30 است: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
   • NOZ = 30
3. 3 برای اینکه کسرها را به مخرج مشترک بیاورید بدون اینکه معنی آنها تغییر کند، هر عدد (عدد بالای خط کسری) را در عددی برابر با ضریب NZ تقسیم بر مخرج مربوطه ضرب کنید.
   • مثال: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
   • معادله جدید: 15/30 + 10/30 + 6/30
4. 4 معادله حاصل را حل کنید.پس از یافتن NOS و تغییر کسرهای مربوطه، به سادگی معادله حاصل را حل کنید. فراموش نکنید که پاسخ خود را ساده کنید (در صورت امکان).
   • مثال: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

2 با استفاده از بزرگترین مقسوم علیه مشترک

1. 1 مقسوم علیه هر مخرج را فهرست کنید.مقسوم علیه یک عدد صحیح است که بر یک کل تقسیم می شود شماره داده شده. به عنوان مثال، مقسوم علیه های عدد 6 اعداد 6، 3، 2، 1 هستند. مقسوم علیه هر عددی 1 است، زیرا هر عددی بر یک بخش پذیر است.
   • مثال: 3/8 + 5/12
   • مقسم 8: 1, 2, 4 , 8
   • مقسم 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
2. 2 بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) هر دو مخرج را پیدا کنید.پس از فهرست کردن عوامل هر مخرج، همه عوامل مشترک را یادداشت کنید. بزرگترین عامل مشترک بزرگترین عامل مشترکی است که برای حل مشکل به آن نیاز دارید.
   • در مثال ما تقسیم کننده های مشترکبرای مخرج 8 و 12 اعداد 1، 2، 4 هستند.
   • GCD = 4.
3. 3 مخرج ها را با هم ضرب کنید.اگر می خواهید از GCD برای حل مسئله استفاده کنید، ابتدا مخرج ها را در هم ضرب کنید.
   • مثال: 8 * 12 = 96
4. 4 مقدار حاصل را بر GCD تقسیم کنید.با دریافت نتیجه حاصل از ضرب مخرج ها، آن را بر gcd که محاسبه کرده اید تقسیم کنید. عدد حاصل کمترین مخرج مشترک (LCD) خواهد بود.
   • مثال: 96 / 4 = 24
5. 5
   • مثال: 24 / 8 = 3; 24/12 = 2
   • (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24
6. 6 معادله حاصل را حل کنید.
   • مثال: 9/24 + 10/24 = 19/24

3. هر مخرج را به عوامل اول تقسیم کنید

1. 1 هر مخرج را به عوامل اول تبدیل کنید.هر مخرج را به عوامل اول تبدیل کنید، یعنی اعداد اول، که وقتی ضرب می شوند مخرج اصلی را می دهند. به یاد بیاورید که عوامل اول اعدادی هستند که فقط بر 1 یا خودشان بخش پذیرند.
   • مثال: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • عوامل اصلی 4: 2 * 2
   • فاکتورهای اصلی 5: 5
   • عوامل اصلی 12: 2 * 2 * 3
2. 2 تعداد دفعاتی که هر عامل اول در هر مخرج وجود دارد را بشمارید.یعنی تعیین کنید که هر عامل اول چند بار در فهرست عوامل هر مخرج ظاهر شود.
   • مثال: دو تا هستند 2 برای مخرج 4; صفر 2 برای 5; دو 2 برای 12
   • یک عدد صفر وجود دارد 3 برای 4 و 5; یکی 3 برای 12
   • یک عدد صفر وجود دارد 5 برای 4 و 12; یکی 5 برای 5
3. 3 فقط بیشترین تعداد دفعات را برای هر کدام در نظر بگیرید عامل اصلی. بیشترین تعداد دفعاتی که هر عامل اول در هر مخرج ظاهر می شود را تعیین کنید.
   • به عنوان مثال: بیشترین تعداد دفعات برای یک ضریب 2 - 2 بار؛ برای 3 - 1 بار؛ برای 5 - 1 بار
4. 4 فاکتورهای اول موجود در مرحله قبل را به ترتیب بنویسید.تعداد دفعاتی که هر عامل اول در همه مخرج های اصلی وجود دارد را یادداشت نکنید - این کار را با در نظر گرفتن انجام دهید. بزرگترین عددبار (همانطور که در مرحله قبل توضیح داده شد).
   • مثال: 2، 2، 3، 5
5. 5 این اعداد را ضرب کنید.حاصل حاصل ضرب این اعداد برابر با NOZ است.
   • مثال: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • NOZ = 60
6. 6 NOZ را بر مخرج اصلی تقسیم کنید.برای محاسبه ضریب مورد نیاز برای کاهش کسرها به مخرج مشترک، NCD را که پیدا کردید بر مخرج اصلی تقسیم کنید. صورت و مخرج هر کسر را در این ضریب ضرب کنید. شما کسری با مخرج مشترک دریافت خواهید کرد.
   • مثال: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60
7. 7 معادله حاصل را حل کنید. NOZ پیدا شد. اکنون می توانید کسری را اضافه یا تفریق کنید. فراموش نکنید که پاسخ خود را ساده کنید (در صورت امکان).
   • مثال: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

4 کار با اعداد مختلط

1. 1 هر عدد مخلوط را به کسری نامناسب تبدیل کنید.برای این کار کل قسمت را ضرب کنید شماره های درهمبه مخرج و آن را به صورتگر اضافه کنید - این شماره کننده خواهد بود کسر نامناسب. کل عدد را نیز به کسری تبدیل کنید (فقط 1 را در مخرج قرار دهید).
   • مثال: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • معادله بازنویسی شده: 8/1 + 9/4 + 2/3
2. 2 کمترین مخرج مشترک را پیدا کنید. NVA را با استفاده از هر روشی که در آن توضیح داده شده است محاسبه کنید بخش های قبلی. برای این مثال از روش «ضریب فهرستی» استفاده می کنیم که در آن مضربی از هر مخرج یادداشت می شود و NOC بر اساس آنها محاسبه می شود.
   • توجه داشته باشید که نیازی به لیست چندگانه برای آن ندارید 1 ، از آنجایی که هر عددی ضرب شود 1 ، برابر با خودش; به عبارت دیگر، هر عدد مضرب است 1 .
   • مثال: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4 * 4 = 16; و غیره.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; و غیره.
   • NOZ = 12
3. 3 معادله اصلی را دوباره بنویسید.صورت و مخرج کسرهای اصلی را در عددی برابر با ضریب تقسیم NZ بر مخرج مربوطه ضرب کنید.
   • به عنوان مثال: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12
4. 4 معادله را حل کنید. NOZ پیدا شد. اکنون می توانید کسری را اضافه یا تفریق کنید. فراموش نکنید که پاسخ خود را ساده کنید (در صورت امکان).
   • مثال: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

آنچه شما نیاز خواهید داشت

• مداد
• کاغذ
• ماشین حساب (اختیاری)