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Es gibt zwei Zahlen, positiv und negativ. Faszinierende negative Zahlen. Grundlegende Bedeutung positiver und negativer Zahlen

Negative Zahlen stehen links von Null. Für sie ist wie für positive Zahlen eine Ordnungsrelation definiert, die es ermöglicht, eine ganze Zahl mit einer anderen zu vergleichen.

Für jede natürliche Zahl N es gibt eine und nur eine negative Zahl, bezeichnet -N, was ergänzt N bis Null: N + (− N) = 0 . Beide Nummern werden angerufen Gegenteil für einander. Eine ganze Zahl subtrahieren A ist gleichbedeutend damit, es mit seinem Gegenteil zu addieren: -A.

Eigenschaften negativer Zahlen

Negative Zahlen folgen fast den gleichen Regeln wie natürliche Zahlen, weisen jedoch einige Besonderheiten auf.

Historische Skizze

Literatur

Vygodsky M. Ya. Handbuch der Elementarmathematik. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. - M.: Bildung, 1964. - 376 S.

Links

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Negative Landformen
Negative und positive Null

Sehen Sie, was „negative Zahlen“ in anderen Wörterbüchern sind:

Negative Zahlen - reale Nummern, kleiner als Null, zum Beispiel 2; 0,5; π usw. Siehe Zahl... Große sowjetische Enzyklopädie

Positive und negative Zahlen- (Werte). Das Ergebnis aufeinanderfolgender Additionen oder Subtraktionen hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der diese Aktionen ausgeführt werden. Z.B. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Hier werden nicht nur die Zahlen 2 und 5 neu angeordnet, sondern auch die Zeichen vor diesen Zahlen. Vereinbart... ... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Zahlen sind negativ- Zahlen in der Buchhaltung, die mit Rotstift oder roter Tinte geschrieben sind. Themen: Buchhaltung... Leitfaden für technische Übersetzer

NEGATIVE ZAHLEN- Zahlen in der Buchhaltung, die mit Rotstift oder roter Tinte geschrieben sind... Tolles Buchhaltungswörterbuch

Ganze Zahlen- Die Menge der ganzen Zahlen wird als Abschluss einer Menge definiert natürliche Zahlen verhältnismäßig Rechenoperationen Addition (+) und Subtraktion (). Somit sind Summe, Differenz und Produkt zweier ganzer Zahlen wieder ganze Zahlen. Es besteht aus... ... Wikipedia

Ganze Zahlen- Zahlen, die beim Zählen auf natürliche Weise entstehen (sowohl im Sinne des Aufzählens als auch im Sinne der Infinitesimalrechnung). Es gibt zwei Ansätze zur Bestimmung natürlicher Zahlen; Zahlen, die verwendet werden in: Auflistung (Nummerierung) von Objekten (erste, zweite, ... ... Wikipedia

EULER-ZAHLEN- Koeffizienten E n in der Erweiterung Die wiederkehrende Formel für E.-Zahlen hat die Form (in symbolischer Notation, (E + 1)n + (E 1)n=0, E0 =1. In diesem Fall ist E 2n+1= 0, E4n sind positiv, E4n+2 negative ganze Zahlen für alle n=0, 1, ...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 ... Mathematische Enzyklopädie

Eine negative Zahl- Eine negative Zahl ist ein Element der Menge der negativen Zahlen, das (zusammen mit der Null) in der Mathematik bei der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen auftaucht. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, die Durchführung der Subtraktionsoperation für eine beliebige Zahl zu ermöglichen. Als Ergebnis... ... Wikipedia

Geschichte der Arithmetik- Arithmetik. Gemälde von Pinturicchio. Wohnung Borgia. 1492 1495. Rom, Vatikanische Paläste ... Wikipedia

Arithmetik- Hans Sebald Beham. Arithmetik. Arithmetik aus dem 16. Jahrhundert (altgriechisch ἀ ... Wikipedia

Bücher

Mathematik. 5. Klasse. Lehrbuch und Workshop. In 2 Teilen. Teil 2. Positive und negative Zahlen. Das Lehrbuch und der Workshop für die 5. Klasse sind Teil der Lehrmaterialien in Mathematik für die Klassen 5-6, die von einem Autorenteam um E. G. Gelfman und M. A. Kholodnaya im Rahmen von... entwickelt wurden.

Wir wissen, dass das Ergebnis eine natürliche Zahl ist, wenn wir zwei oder mehr natürliche Zahlen addieren. Wenn man natürliche Zahlen miteinander multipliziert, erhält man immer natürliche Zahlen. Welche Zahlen ergeben sich, wenn man von einer natürlichen Zahl eine andere natürliche Zahl subtrahiert? Subtrahiert man von einer größeren natürlichen Zahl eine kleinere Zahl, erhält man ebenfalls eine natürliche Zahl. Welche Zahl ergibt sich, wenn man die größere Zahl von der kleineren Zahl subtrahiert? Wenn wir zum Beispiel 7 von 5 subtrahieren. Das Ergebnis einer solchen Aktion wird keine natürliche Zahl mehr sein, sondern eine Zahl kleiner als Null, die wir als natürliche Zahl schreiben, jedoch mit einem Minuszeichen, also so -nannte negative natürliche Zahl. In dieser Lektion lernen wir etwas über negative Zahlen. Daher erweitern wir die Menge der natürlichen Zahlen, indem wir „0“ und ganze Zahlen hinzufügen negative Zahlen. Das neue erweiterte Set wird aus Zahlen bestehen:

…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

Diese Zahlen werden ganze Zahlen genannt. Daher ist das Ergebnis unseres Beispiels 5 -7 = -2 eine ganze Zahl.

Definition. Ganzzahlen sind natürliche Zahlen, negative natürliche Zahlen und die Zahl „0“.

Wir sehen ein Bild dieses Sets auf einem Thermometer zur Messung der Außentemperatur.

Die Temperatur kann „Minus“ sein, d.h. negativ, vielleicht mit einem „Plus“, d.h. positiv. Eine Temperatur von 0 Grad ist weder positiv noch negativ, die Zahl 0 ist die Grenze, die positive von negativen Zahlen trennt.

Stellen wir die ganzen Zahlen dar Zahlenachse.

Achsenzeichnung

Das sehen wir auf der Zahlenachse unendliche Menge Zahlen. Positive und negative Zahlen werden durch Null getrennt. Negative Ganzzahlen wie -1 werden als „minus eins“ oder „negative Eins“ gelesen.

Positive ganze Zahlen, zum Beispiel „+3“, werden als positive 3 oder einfach „drei“ gelesen, d. h. bei positiven (natürlichen) Zahlen wird das „+“-Zeichen nicht geschrieben und das Wort „positiv“ wird nicht ausgesprochen.

Beispiele: Markieren Sie +5, +6, -7, -3, -1, 0 usw. auf dem Zahlenstrahl.

Wenn Sie sich entlang der Zahlenachse nach rechts bewegen, erhöhen sich die Zahlen, und wenn Sie sich nach links bewegen, verringern sie sich. Wenn wir eine Zahl um 2 erhöhen wollen, bewegen wir uns entlang nach rechts Koordinatenachse um 2 Einheiten. Beispiel: 0+2=2; 2+2=4; 4+2=6 usw. Umgekehrt, wenn wir die Zahl um 3 verringern wollen, bewegen wir uns um 3 Einheiten nach links. Zum Beispiel: 6-3=3; 3-3=0; 0-3=-3; usw.

1. Versuchen Sie, die Zahl (-4) in 3 Schritten zu erhöhen und jedes Mal um 2 Einheiten zu erhöhen.

Wenn wir uns wie in der Abbildung entlang der Zahlenachse bewegen, erhalten wir als Ergebnis 2.

2. Verringern Sie die Zahl 6 in sechs Schritten und verringern Sie sie bei jedem Schritt um 2 Einheiten.

3. Erhöhen Sie die Zahl (-1) in drei Schritten und erhöhen Sie sie bei jedem Schritt um 4 Einheiten.

Anhand der Koordinatenlinie lassen sich ganze Zahlen leicht vergleichen: Von zwei Zahlen ist die größere diejenige, die rechts auf der Koordinatenlinie liegt, und die kleinere diejenige, die links steht.

4. Vergleichen Sie Zahlen mit > oder< , для удобства сравнения изобрази их на координатной прямой:

3 und 2; 0 und -5; -34 und -67; -72 und 0 usw.

5. Denken Sie daran, wie wir es notiert haben Koordinatenstrahl Punkte mit natürlichen Koordinaten. Punkte werden normalerweise als Großbuchstaben bezeichnet mit lateinischen Buchstaben. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie und zeichnen Sie anhand eines geeigneten Einheitssegments Punkte mit Koordinaten:

A) A(10),B(20),C(30),M(-10),N(-20)
B) C (100), B (200), K (300), F (-100)
B) U(1000),E(2000),R(-3000)

6. Notieren Sie alle ganzen Zahlen zwischen -8 und 5, zwischen -15 und -7, zwischen -1 und 1.

Wenn wir Zahlen vergleichen, müssen wir antworten können, um wie viele Einheiten eine Zahl größer oder kleiner als eine andere ist.

Zeichnen wir eine Koordinatenlinie. Zeichnen wir darauf Punkte mit Koordinaten von -5 bis 5. Die Zahl 3 ist zwei Einheiten kleiner als 5, eine kleiner als 4, 3 eine Über Null. Die Zahl -1 ist eins kleiner als null und 2 Einheiten größer als -3.

7. Beantworten Sie, wie viele Einheiten:

3 ist kleiner als 4; -2 ist kleiner als 3; -5 ist kleiner als -4; 2 ist größer als -1; 0 mehr als -5; 4 über -1

8. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie. Schreiben Sie 7 Zahlen auf, von denen jede 2 Einheiten kleiner ist als die vorherige, beginnend mit 6. Was ist diese Reihe? letzte Nummer? Wie viele solcher Zahlen kann es geben, wenn die Anzahl der aufgeschriebenen Zahlen nicht begrenzt ist?

9. Notieren Sie 10 Zahlen, von denen jede 3 Einheiten größer ist als die vorherige, beginnend mit (-6). Wie viele solcher Zahlen kann es geben, wenn die Reihe nicht auf zehn beschränkt ist?

Gegensätzliche Zahlen.

Auf der Zahlengeraden gibt es für jede positive Zahl (oder natürliche Zahl) eine negative Zahl, die im gleichen Abstand links von Null liegt. Zum Beispiel: 3 und -3; 7 und -7; 11 und -11.

Sie sagen, dass die Zahl -3 ist gegensätzliche Nummer 3 und umgekehrt ist -3 das Gegenteil von 3.

Definition: Zwei Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen entgegengesetzt.

Wir wissen, dass sich die Zahl nicht ändert, wenn wir eine Zahl mit +1 multiplizieren. Und was passiert, wenn die Zahl mit (-1) multipliziert wird? Diese Nummer ändert das Vorzeichen. Wenn beispielsweise 7 mit (-1) oder negativ eins multipliziert wird, ist das Ergebnis (-7), die Zahl wird negativ. Wenn (-10) mit (-1) multipliziert wird, erhalten wir (+10), d. h. wir erhalten bereits eine positive Zahl. Wir sehen also, dass sich die entgegengesetzten Zahlen ergeben einfache Multiplikation die ursprüngliche Zahl um (-1). Auf der Zahlenachse sehen wir, dass es zu jeder Zahl nur eine Gegenzahl gibt. Für (4) ist das Gegenteil beispielsweise (-4), für die Zahl (-10) ist das Gegenteil (+10). Versuchen wir, die entgegengesetzte Zahl von Null zu finden. Er ist nicht da. Diese. 0 ist das Gegenteil von sich selbst.

Schauen wir uns nun die Zahlenachse an, was passiert, wenn man zwei entgegengesetzte Zahlen addiert. Wir erhalten, dass die Summe der entgegengesetzten Zahlen 0 ist.

1. Spiel: lassen Spielfeld in zwei Hälften geteilt: links und rechts. Es gibt eine Trennlinie zwischen ihnen. Es gibt Zahlen auf dem Feld. Das Durchlaufen der Linie bedeutet eine Multiplikation mit (-1), andernfalls wird die Zahl beim Durchqueren der Teilungslinie umgekehrt.

Das linke Feld soll die Zahl (5) enthalten. Zu welcher Zahl wird (5), wenn die Fünf einmal die Trennlinie überschreitet? 2 mal? dreimal?

2. Füllen Sie die folgende Tabelle aus:

3. Wählen Sie aus einer Vielzahl von Paaren entgegengesetzte Paare aus. Wie viele Paare davon haben Sie erhalten?

9 ; -100; 1009; -63; -7; -9; 3; -33; 25; -1009; -2; 1; 0; 100; 27; 345; -56; -345; 33; 7.

Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen.

Addition (oder das „+“-Zeichen) bedeutet, auf einer Zahlengeraden nach rechts zu gehen.

1+3 = 4

-1 + 4 = 3
-3 + 2 = -1

Subtraktion (oder Vorzeichen „-“) bedeutet, auf einer Zahlengeraden nach links zu gehen

3 – 2 = 1
2 – 4 = -2
3 – 6 = -3
-3 + 5 = 2
-2 – 5 = -7
-1 + 6 = 5
1 – 4 = -3

Entscheiden folgende Beispiele mit der Zahlenachse:

-3+1=
2)-4-1=
-5-1=
-2-7=
-1+3=
-1-4=
-6+7=

IN Antikes China Beim Verfassen von Gleichungen wurden die Koeffizienten von Minuenden und Subtrahenden in Zahlen unterschiedlicher Farbe geschrieben. Gewinne wurden in Rot und Verluste in Blau angezeigt. Beispiel: Wir haben 3 Bullen verkauft und 2 Pferde gekauft. Betrachten wir ein anderes Beispiel: Die Hausfrau brachte Kartoffeln auf den Markt und verkaufte sie für 300 Rubel. Wir fügen dieses Geld dem Vermögen der Hausfrau hinzu und schreiben es als +300 (rot), und dann gab sie 100 Rubel aus (wir werden dieses Geld schreiben). als (-100)( blau). Somit stellte sich heraus, dass die Hausfrau mit einem Gewinn von 200 Rubel (oder +200) vom Markt zurückkehrte. Ansonsten wurden immer mit roter Farbe geschriebene Zahlen hinzugefügt und solche mit blauer Farbe wurden subtrahiert. Analog dazu verwenden wir blaue Farbe, um negative Zahlen zu kennzeichnen.

Daher können wir alle positiven Zahlen als Gewinne und negative Zahlen als Verluste oder Schulden oder Verluste betrachten.

Beispiel: -4 + 9 = +5 Das Ergebnis (+5) kann in jedem Spiel als Sieg gewertet werden; Nachdem man zunächst 4 Punkte verloren und dann 9 Punkte gewonnen hat, erhält man als Ergebnis einen Sieg von 5 Punkten. Lösen Sie die folgenden Probleme:

11. Im Lottospiel gewann Petya zuerst 6 Punkte, verlor dann 3 Punkte, gewann dann erneut 2 Punkte und verlor dann 5 Punkte. Was ist das Ergebnis von Petyas Spiel?

12 (*). Mama stellte Süßigkeiten in eine Vase. Mascha hat 4 Bonbons gegessen, Mischa hat 5 Bonbons gegessen, Olja hat 3 Bonbons gegessen. Mama stellte noch 10 Bonbons in die Vase und es waren 12 Bonbons in der Vase. Wie viele Bonbons waren zuerst in der Schüssel?

13. Im Haus führt eine Treppe vom Keller in den zweiten Stock. Die Treppe besteht aus zwei Treppenläufen mit jeweils 15 Stufen (eine vom Keller zum ersten Stock und die zweite vom ersten Stock zum zweiten). Petja war im ersten Stock. Zuerst stieg er die Treppe 7 Stufen hinauf und ging dann 13 Stufen hinunter. Wo war Petja?

14. Die Heuschrecke springt entlang der Zahlenachse. Ein Heuschreckensprung besteht aus 3 Teilungen auf der Achse. Die Heuschrecke macht zunächst 3 Sprünge nach rechts und dann 5 Sprünge nach links. Wo wird der Grashüpfer nach diesen Sprüngen landen, wenn er ursprünglich in 1) „+1“; 2) „-6“; 3) „0“; 4) „+5“; 5) „-2“; 6 war ) „+ 3“;7) „-1“.

Bisher haben wir uns daran gewöhnt, dass die fraglichen Zahlen die Frage „wie viel“ beantworteten. Aber negative Zahlen können nicht die Antwort auf die Frage „wie viel“ sein. Im alltäglichen Sinne werden negative Zahlen mit Schulden, Verlusten, mit Handlungen wie Untererfüllung, Unterschreitung, Untergewicht usw. in Verbindung gebracht. In all diesen Fällen subtrahieren wir einfach die Schulden, den Verlust, das Untergewicht. Zum Beispiel,

Auf die Frage „Was ist „tausend ohne 100“?“ müssen wir 100 von 1000 subtrahieren und erhalten 900.
Der Ausdruck „3 Stunden zu einem Viertel“ bedeutet, dass wir von 3 Stunden 15 Minuten abziehen müssen. Somit erhalten wir 2 Stunden 45 Minuten.

Lösen Sie nun folgende Probleme:

15. Sasha hat 200g gekauft. Öl, aber der skrupellose Verkäufer hat 5 Gramm untergewichtet. Wie viel Butter hat Sascha gekauft?

16. Bei einer Laufdistanz von 5 km. Volodya verließ das Rennen, bevor er die Ziellinie von 200 m erreichte. Wie weit ist Wolodja gelaufen?

17. Als Mama ein Drei-Liter-Glas mit Saft füllte, fügte sie nicht 100 ml Saft hinzu. Wie viel Saft war im Glas?

18. Der Film sollte um zwanzig vor acht beginnen. Wie viele Minuten? Um wie viel Uhr soll der Film beginnen?

19. Tanya hatte 200 Rubel. und sie schuldet Petja 50 Rubel. Wie viel Geld blieb Tanya übrig, nachdem sie die Schulden beglichen hatte?

20. Petja und Wanja gingen in den Laden. Petja wollte ein Buch für 5 Rubel kaufen. Aber er hatte nur 3 Rubel, also lieh er sich 2 Rubel von Wanja und kaufte ein Buch. Wie viel Geld hatten Sie nach dem Kauf bei Petya?

3 - 5 = -2 (von dem, was er vor dem Kauf hatte, subtrahieren wir den Kaufpreis, wir erhalten -2 Rubel, also zwei Rubel Schulden).

21. Tagsüber betrug die Lufttemperatur 3°C oder +3° und nachts 4°F oder -4°. Um wie viel Grad ist die Temperatur gesunken? Und um wie viel Grad ist die Nachttemperatur niedriger als die Tagestemperatur?

22. Tanya stimmte zu, Wolodja um Viertel vor sieben zu treffen. Um wie viel Uhr und wann haben sie sich verabredet?

23. Tim und ein Freund gingen in den Laden, um ein Buch zu kaufen, das 97 Rubel kostete. Aber als sie in den Laden kamen, stellte sich heraus, dass der Preis des Buches gestiegen war und 105 Rubel kostete. Tim hat sich den fehlenden Betrag von einem Freund geliehen und das Buch trotzdem gekauft. Wie viel Geld schuldete Tim seinem Freund?

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Vollversion Die Arbeit ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

Die Welt der Zahlen ist sehr geheimnisvoll und interessant. Zahlen sind in unserer Welt sehr wichtig. Ich möchte so viel wie möglich über den Ursprung von Zahlen und ihre Bedeutung in unserem Leben erfahren. Wie nutzt man sie und welche Rolle spielen sie in unserem Leben?

Letztes Jahr haben wir im Mathematikunterricht begonnen, uns mit dem Thema „Positive und negative Zahlen“ zu beschäftigen. Ich hatte eine Frage: Wann sind negative Zahlen aufgetaucht, in welchem Land, welche Wissenschaftler haben sich mit diesem Thema befasst? Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass eine negative Zahl ein Element der Menge der negativen Zahlen ist, das (zusammen mit der Null) in der Mathematik bei der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen auftaucht. Der Zweck der Erweiterung besteht darin, die Durchführung der Subtraktionsoperation für eine beliebige Zahl zu ermöglichen. Als Ergebnis der Erweiterung erhält man eine Menge (Ring) von ganzen Zahlen, bestehend aus positiven (natürlichen) Zahlen, negativen Zahlen und Null.

Aus diesem Grund beschloss ich, die Geschichte der negativen Zahlen zu erforschen.

Der Zweck dieser Arbeit besteht darin, die Entstehungsgeschichte negativer und positiver Zahlen zu untersuchen.

Studienobjekt - negative Zahlen und positive Zahlen

Geschichte positiver und negativer Zahlen

Es dauerte lange, bis sich die Menschen an negative Zahlen gewöhnten. Negative Zahlen schienen ihnen unverständlich, sie nutzten sie nicht, sie sahen einfach nicht viel Sinn darin. Diese Zahlen erschienen viel später als natürliche Zahlen und gewöhnliche Brüche.

Die ersten Informationen über negative Zahlen wurden im 2. Jahrhundert von chinesischen Mathematikern gefunden. Chr e. und selbst damals waren nur die Regeln zum Addieren und Subtrahieren positiver und negativer Zahlen bekannt; die Regeln der Multiplikation und Division galten nicht.

In der chinesischen Mathematik wurden positive Größen „chen“ genannt, negative Größen „fu“; sie wurden dargestellt verschiedene Farben: „chen“ – rot, „fu“ – schwarz. Dies ist im Buch „Arithmetik in neun Kapiteln“ (Autor Zhang Can) zu sehen. Diese Darstellungsmethode wurde bereits in China verwendet Mitte des 12. Jahrhunderts Jahrhunderte, bis Li Ye eine bequemere Bezeichnung für negative Zahlen vorschlug – die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einem Strich diagonal von rechts nach links durchgestrichen.

Erst im 7. Jahrhundert. Indische Mathematiker begannen, häufig negative Zahlen zu verwenden, behandelten sie jedoch mit einem gewissen Misstrauen. Bhaskhara schrieb direkt: „Die Menschen sind mit abstrakten negativen Zahlen nicht einverstanden …“. So hat der indische Mathematiker Brahmagupta die Regeln der Addition und Subtraktion dargelegt: „Eigentum und Eigentum ist Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schulden; die Summe aus Eigentum und Null ist Eigentum; die Summe zweier Nullen ist Null... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum abzuziehen, dann nehmen sie ihre Summe.“ „Die Summe zweier Eigenschaften ist Eigentum.“

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Die Inder nannten positive Zahlen „dhana“ oder „sva“ (Eigentum) und negative Zahlen „rina“ oder „kshaya“ (Schulden). Indische Wissenschaftler, die versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, interpretierten sie aus der Sicht der Handelsberechnungen. Wenn ein Händler 5000 Rubel hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat noch 5000 - 3000 = 2000 Rubel übrig. Wenn er 3.000 Rubel hat, aber für 5.000 Rubel kauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 durchgeführt wurde, was die Zahl 2000 mit einem Punkt oben ergab, was „zweitausend Schulden“ bedeutete. Diese Interpretation war künstlich; der Kaufmann ermittelte die Höhe der Schulden nie durch Subtraktion von 3000 – 5000, sondern subtrahierte immer 5000 – 3000.

Etwas später Altes Indien und China vermuteten sie, dass sie statt der Worte „Schulden von 10 Yuan“ einfach „10 Yuan“ schreiben sollten, diese Hieroglyphen aber mit schwarzer Tinte zeichnen sollten. Und in der Antike gab es weder für Zahlen noch für Handlungen die Zeichen „+“ und „-“.

Auch die Griechen verwendeten zunächst keine Zeichen. Der antike griechische Wissenschaftler Diophantus erkannte negative Zahlen überhaupt nicht, und wenn er eine Gleichung löste, bekam er es negative Wurzel, dann wurde es als „nicht verfügbar“ verworfen. Und Diophantus versuchte, Probleme so zu formulieren und Gleichungen aufzustellen, dass sie vermieden wurden negative Wurzeln, aber bald begann Diophantus von Alexandria, die Subtraktion mit einem Zeichen zu kennzeichnen.

Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen wurden bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals mit Diophantus. Er verwendete sogar ein Sonderzeichen für sie. Gleichzeitig verwendet Diophantus Redewendungen wie „Fügen wir auf beiden Seiten ein Negativ hinzu“ und formuliert sogar die Vorzeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positives, während ein Negativ multipliziert mit einem Positiven ergibt.“ Ein Negativ."

In Europa wurden ab dem 12. und 13. Jahrhundert negative Zahlen verwendet, jedoch erst im 16. Jahrhundert. Die meisten Wissenschaftler hielten sie für „falsch“, „eingebildet“ oder „absurd“, im Gegensatz zu positiven Zahlen für „wahr“. Positive Zahlen wurden auch als „Eigentum“ interpretiert und negative Zahlen als „Schulden“, „Mangel“. Sogar der berühmte Mathematiker Blaise Pascal argumentierte, dass 0 − 4 = 0, da nichts weniger sein kann als nichts. In Europa kam die Vorstellung einer negativen Größe recht nahe frühes XIII Jahrhundert Leonardo Fibonacci von Pisa. Bei einem Problemlösungswettbewerb mit den Hofmathematikern Friedrichs II. wurde Leonardo von Pisa gebeten, ein Problem zu lösen: Es galt, das Kapital mehrerer Personen zu ermitteln. Fibonacci erhielt negative Bedeutung. „Dieser Fall“, sagte Fibonacci, „ist unmöglich, es sei denn, wir akzeptieren, dass man kein Kapital, sondern Schulden hatte.“ Allerdings wurden negative Zahlen erstmals Ende des 15. Jahrhunderts vom französischen Mathematiker Chuquet explizit verwendet. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra „Die Wissenschaft der Zahlen in drei Teile" Die Symbolik von Shuque kommt der Moderne nahe.

Die Erkennung negativer Zahlen wurde durch die Arbeit des französischen Mathematikers, Physikers und Philosophen René Descartes erleichtert. Er schlug eine geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen vor – er führte die Koordinatenlinie ein. (1637).

Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Anfang 0 liegen, negative Zahlen - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen trug zu ihrer Anerkennung bei.

Im Jahr 1544 betrachtete der deutsche Mathematiker Michael Stiefel erstmals negative Zahlen als Zahlen kleiner als Null (d. h. „weniger als nichts“). Ab diesem Zeitpunkt werden negative Zahlen nicht mehr als Schulden betrachtet, sondern auf eine völlig neue Art und Weise. Stiefel selbst schrieb: „Null liegt zwischen wahren und absurden Zahlen ...“

Fast zeitgleich mit Stiefel verteidigte Bombelli Raffaele (ca. 1530–1572) die Idee negativer Zahlen. Italienischer Mathematiker und der Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte.

Ebenso hielt Girard negative Zahlen für völlig akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen.

Jeder Physiker beschäftigt sich ständig mit Zahlen: Er misst, berechnet, berechnet immer etwas. Überall in seinen Papieren stehen Zahlen, Zahlen und Zahlen. Schaut man sich die Notizen des Physikers genau an, stellt man fest, dass er beim Schreiben von Zahlen häufig die Zeichen „+“ und „-“ verwendet. (Zum Beispiel: Thermometer, Tiefen- und Höhenskala)

Nur im Anfang des 19. Jahrhunderts V. Die Theorie der negativen Zahlen vollendete ihre Entwicklung und „absurde Zahlen“ erlangten allgemeine Anerkennung.

Definition des Zahlenbegriffs

IN moderne Welt Menschen verwenden ständig Zahlen, ohne über deren Herkunft nachzudenken. Ohne Kenntnis der Vergangenheit ist es unmöglich, die Gegenwart zu verstehen. Zahl ist eines der Grundkonzepte der Mathematik. Der Zahlenbegriff entwickelte sich in engem Zusammenhang mit der Quantitätslehre; Diese Verbindung besteht bis heute fort. In allen Abschnitten moderne Mathematik Sie müssen unterschiedliche Mengen berücksichtigen und Zahlen verwenden. Zahl ist eine gebräuchliche Abstraktion quantitative Merkmale Objekte. Wieder aufgetaucht Urgesellschaft Aus den Bedürfnissen des Zählens heraus veränderte und bereicherte sich das Konzept der Zahl und wurde zum wichtigsten mathematischen Konzept.

Existiert große Menge Definitionen des Begriffs „Zahl“.

Erste wissenschaftliche Definition Zahlen wurden von Euklid in seinen Elementen angegeben, die er offenbar von seinem Landsmann Eudoxos von Knidos (ca. 408 – ca. 355 v. Chr.) geerbt hat: „Eine Einheit ist das, wonach jedes der existierenden Dinge eins genannt wird.“ Eine Zahl ist eine Menge bestehend aus Einheiten.“ So definierte der russische Mathematiker Magnitsky in seiner „Arithmetik“ (1703) den Begriff der Zahl. Noch früher als Euklid gab Aristoteles die folgende Definition: „Eine Zahl ist eine Menge, die in Einheiten gemessen wird.“ In seiner „Allgemeinen Arithmetik“ (1707) hat der Große Englischer Physiker Der Mechaniker, Astronom und Mathematiker Isaac Newton schreibt: „Mit Zahl meinen wir nicht so sehr eine Menge von Einheiten, sondern vielmehr die abstrakte Beziehung einer Größe zu einer anderen Größe derselben Art, die als Einheit betrachtet wird.“ Es gibt drei Arten von Zahlen: ganze Zahlen, gebrochene Zahlen und irrationale Zahlen. Eine ganze Zahl ist etwas, das mit eins gemessen wird; Bruch ist ein Vielfaches von eins, irrational ist eine Zahl, die nicht mit eins im Verhältnis steht.“

Auch der Mariupoler Mathematiker S.F. Klyuykov trug zur Definition des Zahlenbegriffs bei: „Zahlen sind Mathematische Modelle echte Welt vom Menschen wegen seines Wissens erfunden.“ Er führte auch die sogenannten „funktionalen Zahlen“ in die traditionelle Zahlenklassifikation ein, also das, was weltweit üblicherweise als Funktionen bezeichnet wird.

Natürliche Zahlen entstanden beim Zählen von Gegenständen. Ich habe davon in der 5. Klasse erfahren. Dann habe ich gelernt, dass das menschliche Bedürfnis, Mengen zu messen, nicht immer in ganzen Zahlen ausgedrückt wird. Nach der Erweiterung der Menge der natürlichen Zahlen zu Brüchen wurde es möglich, jede ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl zu dividieren (mit Ausnahme der Division durch Null). Es erschienen Bruchzahlen. Subtrahieren Sie eine ganze Zahl von einer anderen ganzen Zahl, wenn die subtrahierte Zahl größer als der Minuend ist. lange Zeit schien unmöglich. Interessant für mich war die Tatsache, dass viele Mathematiker lange Zeit negative Zahlen nicht erkannten, weil sie glaubten, sie entsprächen keinem realen Phänomen.

Herkunft der Wörter „Plus“ und „Minus“

Die Begriffe setzen sich aus den Wörtern plus – „mehr“, minus – „weniger“ zusammen. Zunächst wurden Aktionen mit den Anfangsbuchstaben p bezeichnet; M. Viele Mathematiker bevorzugten oder Der Ursprung der modernen Zeichen „+“ und „-“ ist nicht ganz klar. Das „+“-Zeichen stammt wahrscheinlich von der Abkürzung et, d. h. "Und". Es könnte jedoch an der Handelspraxis liegen: Die verkauften Maßeinheiten Wein waren auf dem Fass mit „-“ gekennzeichnet, und als der Vorrat wiederhergestellt war, wurden sie durchgestrichen, was zu einem „+“-Zeichen führte.

In Italien setzen Geldverleiher beim Verleihen von Geld die Höhe der Schulden und einen Bindestrich vor den Namen des Schuldners, wie unser Minus, und als der Schuldner das Geld zurückgab, strichen sie es durch, es stellte sich heraus, dass es so etwas wie unser Plus war.

Moderne „+“-Zeichen tauchten in Deutschland auf letztes Jahrzehnt XV Jahrhundert im Buch Widmann, das eine Anleitung zum Zählen für Kaufleute war (1489). Der Tscheche Jan Widman schrieb bereits „+“ und „-“ für Addition und Subtraktion.

Wenig später verfasste der deutsche Wissenschaftler Michel Stiefel das Werk „Vollständige Arithmetik“, das 1544 veröffentlicht wurde. Es enthält folgende Einträge für Zahlen: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Zahlen der ersten Art nannte er „weniger als nichts“ oder „weniger als nichts“. Zahlen der zweiten Art nannte er „mehr als nichts“ oder „höher als nichts“. Natürlich verstehen Sie diese Namen, denn „nichts“ ist 0.

Negative Zahlen in Ägypten

Trotz dieser Zweifel wurden jedoch bereits im 3. Jahrhundert in Ägypten Regeln für den Umgang mit positiven und negativen Zahlen vorgeschlagen. Die Einführung negativer Größen erfolgte erstmals mit Diophantus. Er verwendete dafür sogar ein spezielles Symbol (heutzutage verwenden wir zu diesem Zweck das Minuszeichen). Zwar streiten Wissenschaftler darüber, ob das Symbol von Diophantus eine negative Zahl oder einfach eine Subtraktionsoperation bezeichnete, denn bei Diophantus kommen negative Zahlen nicht isoliert vor, sondern nur in Form positiver Differenzen; und er betrachtet nur rationale positive Zahlen als Antworten auf Probleme. Aber gleichzeitig verwendet Diophantus solche Redewendungen wie „Lasst uns auf beiden Seiten ein Negativ hinzufügen“ und formuliert sogar die Vorzeichenregel: „Ein Negativ multipliziert mit einem Negativ ergibt ein Positives, während ein Negativ multipliziert mit einem Positiven.“ ergibt ein Negativ“ (das heißt, was heute üblicherweise so formuliert wird: „Minus für Minus ergibt ein Plus, Minus für Plus ergibt ein Minus“).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Negative Zahlen im alten Asien

In der chinesischen Mathematik wurden positive Größen „chen“ genannt, negative Größen „fu“; Sie wurden in verschiedenen Farben dargestellt: „chen“ – rot, „fu“ – schwarz. Diese Darstellungsmethode wurde in China bis zur Mitte des 12. Jahrhunderts verwendet, bis Li Ye eine bequemere Bezeichnung für negative Zahlen vorschlug – die Zahlen, die negative Zahlen darstellten, wurden mit einer Linie diagonal von rechts nach links durchgestrichen. Indische Wissenschaftler, die versuchten, Beispiele für eine solche Subtraktion im Leben zu finden, interpretierten sie aus der Sicht der Handelsberechnungen.

Wenn ein Händler 5000 Rubel hat. und kauft Waren für 3000 Rubel, er hat noch 5000 - 3000 = 2000 Rubel übrig. Wenn er 3.000 Rubel hat, aber für 5.000 Rubel kauft, bleibt er für 2.000 Rubel verschuldet. Dementsprechend wurde angenommen, dass hier eine Subtraktion von 3000 - 5000 durchgeführt wurde, was die Zahl 2000 mit einem Punkt oben ergab, was „zweitausend Schulden“ bedeutete.

Diese Interpretation war künstlich; der Kaufmann ermittelte nie die Höhe der Schulden durch Subtraktion von 3000 – 5000, sondern subtrahierte immer 5000 – 3000. Außerdem war es auf dieser Grundlage nur ansatzweise möglich, die Regeln für das Addieren und Subtrahieren von „Zahlen“ zu erklären mit Punkten“, aber es war unmöglich, die Regeln der Multiplikation oder Division zu erklären.

Im 5.-6. Jahrhundert tauchten negative Zahlen auf und verbreiteten sich in der indischen Mathematik sehr. In Indien wurden negative Zahlen systematisch verwendet, so wie wir es heute tun. Indische Mathematiker verwenden seit dem 7. Jahrhundert negative Zahlen. N. AD: Brahmagupta hat die Regeln formuliert Rechenoperationen mit ihnen. In seinem Werk lesen wir: „Eigentum und Eigentum sind Eigentum, die Summe zweier Schulden ist Schuld; die Summe aus Eigentum und Null ist Eigentum; die Summe zweier Nullen ist Null... Schulden, die von Null abgezogen werden, werden zu Eigentum, und Eigentum wird zu Schulden. Wenn es notwendig ist, Eigentum von Schulden und Schulden von Eigentum abzuziehen, dann nehmen sie ihre Summe.“

Die Inder nannten positive Zahlen „dhana“ oder „sva“ (Eigentum) und negative Zahlen „rina“ oder „kshaya“ (Schulden). Allerdings gab es in Indien Probleme, negative Zahlen zu verstehen und zu akzeptieren.

Negative Zahlen in Europa

Europäische Mathematiker billigten sie lange Zeit nicht, weil die Interpretation von „Eigentumsschulden“ Verwirrung und Zweifel hervorrief. Wie kann man Eigentum und Schulden „addieren“ oder „subtrahieren“, welche wahre Bedeutung kann das „Multiplizieren“ oder „Dividieren“ von Eigentum mit Schulden haben? (G.I. Glazer, Geschichte der Mathematik in den Schulklassen IV-VI. Moskau, Prosveshchenie, 1981)

Deshalb mit mit großer Mühe Negative Zahlen haben ihren Platz in der Mathematik erobert. In Europa kam Leonardo Fibonacci von Pisa zu Beginn des 13. Jahrhunderts der Idee einer negativen Größe recht nahe, negative Zahlen wurden jedoch erstmals Ende des 15. Jahrhunderts vom französischen Mathematiker Chuquet explizit verwendet. Autor einer handschriftlichen Abhandlung über Arithmetik und Algebra, „Die Wissenschaft der Zahlen in drei Teilen“. Die Symbolik von Shuquet nähert sich der modernen (mathematischen). Enzyklopädisches Wörterbuch. M., Sov. Enzyklopädie, 1988)

Moderne Interpretation negativer Zahlen

Danach widmete Stiefel seine Arbeit ausschließlich der Mathematik, in der er ein autodidaktisches Genie war. Einer der ersten in Europa, nachdem Nicola Chuquet begann, mit negativen Zahlen zu operieren.

Der berühmte französische Mathematiker René Descartes beschreibt in „Geometrie“ (1637) die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen; Positive Zahlen werden auf der Zahlenachse durch Punkte dargestellt, die rechts vom Anfang 0 liegen, negative Zahlen - links. Die geometrische Interpretation positiver und negativer Zahlen führte zu einem klareren Verständnis der Natur negativer Zahlen und trug zu ihrer Anerkennung bei.

Fast zeitgleich mit Stiefel wurde die Idee der negativen Zahlen von R. Bombelli Raffaele (ca. 1530–1572) verteidigt, einem italienischen Mathematiker und Ingenieur, der die Arbeit von Diophantus wiederentdeckte.

Bombelli und Girard hingegen hielten negative Zahlen für durchaus akzeptabel und nützlich, insbesondere um das Fehlen von etwas anzuzeigen. Die moderne Bezeichnung für positive und negative Zahlen mit den Zeichen „+“ und „-“ wurde vom deutschen Mathematiker Widmann verwendet. Der Ausdruck „niedriger als nichts“ zeigt, dass Stiefel und einige andere sich positive und negative Zahlen mental als Punkte auf einer vertikalen Skala (wie einer Thermometerskala) vorstellten. Die damals vom Mathematiker A. Girard entwickelte Idee negativer Zahlen als Punkte auf einer bestimmten Geraden, die sich auf der anderen Seite der Null als positive Zahlen befinden, erwies sich als entscheidend für die Verleihung dieser Zahlen mit Staatsbürgerschaftsrechten, insbesondere als Ergebnis der Entwicklung der Koordinatenmethode durch P. Fermat und R. Descartes.

Abschluss

In meiner Arbeit habe ich die Entstehungsgeschichte negativer Zahlen untersucht. Während der Recherche kam ich zu dem Schluss:

Die moderne Wissenschaft begegnet Größen wie z komplexer Natur dass wir, um sie zu studieren, immer mehr neue Arten von Zahlen erfinden müssen.

Bei der Einführung neuer Nummern sehr wichtig haben zwei Umstände:

a) die Handlungsregeln darüber müssen vollständig definiert sein und dürfen nicht zu Widersprüchen führen;

b) Neue Zahlensysteme sollen entweder dabei helfen, neue Probleme zu lösen oder bereits bekannte Lösungen zu verbessern.

Derzeit gibt es in der Zeit sieben allgemein anerkannte Ebenen der Verallgemeinerung von Zahlen: natürliche, rationale, reelle, komplexe, Vektor-, Matrix- und transfinite Zahlen. Einige Wissenschaftler schlagen vor, Funktionen als funktionale Zahlen zu betrachten und den Grad der Verallgemeinerung von Zahlen auf zwölf Ebenen zu erweitern.

Ich werde versuchen, alle diese Zahlenreihen zu studieren.

Anwendung

GEDICHT

„Addieren negativer Zahlen und Zahlen mit verschiedene Zeichen»

Wenn du wirklich falten willst

Die Zahlen sind negativ, es besteht kein Grund zur Sorge:

Wir müssen schnell die Summe der Module herausfinden,

Nehmen Sie dann ein Minuszeichen und fügen Sie es hinzu.

Werden Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen angegeben,

Um ihre Summe zu finden, sind wir alle da.

Wir können schnell ein größeres Modul auswählen.

Davon subtrahieren wir den kleineren.

Das Wichtigste ist, das Schild nicht zu vergessen!

Welches wirst du setzen? - wir wollen fragen

Wir verraten Ihnen ein Geheimnis, es könnte nicht einfacher sein,

Notieren Sie in Ihrer Antwort das Vorzeichen, bei dem das Modul größer ist.

Regeln zum Addieren positiver und negativer Zahlen

Addiere Minus zu Minus,

Sie können ein Minus bekommen.

Wenn man Minus und Plus addiert,

Wird es eine Peinlichkeit sein?!

Sie wählen das Vorzeichen der Zahl

Was stärker ist, gähn nicht!

Entfernen Sie sie von den Modulen

Machen Sie Frieden mit allen Zahlen!

Die Multiplikationsregeln können folgendermaßen interpretiert werden:

„Der Freund meines Freundes ist mein Freund“: + ∙ + = + .

„Der Feind meines Feindes ist mein Freund“: ─ ∙ ─ = +.

„Der Freund meines Feindes ist mein Feind“: + ∙ ─ = ─.

„Der Feind meines Freundes ist mein Feind“: ─ ∙ + = ─.

Das Multiplikationszeichen ist ein Punkt, es hat drei Zeichen:

Decken Sie zwei davon ab, der dritte gibt die Antwort.

Zum Beispiel.

Wie bestimmt man das Vorzeichen des Produkts 2∙(-3)?

Lassen Sie uns die Plus- und Minuszeichen mit unseren Händen bedecken. Es bleibt ein Minuszeichen

Referenzliste

"Geschichte antike Welt", 5. Klasse. Kolpakow, Selunskaja.

„Geschichte der Mathematik in der Antike“, E. Kolman.

„Studentenhandbuch.“ Verlag „VES“, St. Petersburg. 2003

Groß mathematische Enzyklopädie. Yakusheva G.M. usw.

Vigasin A.A., Goder G.I., „Geschichte der Antike“, Lehrbuch für die 5. Klasse, 2001.

Wikipedia. Kostenlose Enzyklopädie.

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Gelfman E.G. „Positive und negative Zahlen“, Mathematiklehrbuch für die 6. Klasse, 2001.

Kopf. Hrsg. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta+, 1998.

Glazer G. I. „Geschichte der Mathematik in der Schule“, Moskau, „Prosveshchenie“, 1981

Kinderlexikon „Ich kenne die Welt“, Moskau, „Aufklärung“, 1995.

Geschichte der Mathematik in der Schule, Klassen IV-VI. G.I. Glazer, Moskau, Bildung, 1981.

M.: Philol. LLC „WORT“: OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Mathematisches enzyklopädisches Wörterbuch. M., Sov. Enzyklopädie, 1988.

Nurk E.R., Telgmaa A.E. „Mathematik 6. Klasse“, Moskau, „Aufklärung“, 1989

Lehrbuch 5. Klasse. Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd.

Friedman L.M.. „Mathematik studieren“, Bildungspublikation, 1994

Z.B. Gelfman et al., Positive und negative Zahlen im Buratino-Theater. Lernprogramm in Mathematik für die 6. Klasse. 3. Auflage, überarbeitet, - Tomsk: Verlag Universität Tomsk, 1998

Enzyklopädie für Kinder. T.11. Mathematik

2. Welche Zahlen heißen negativ?

A) mit einem „+“-Zeichen; b) mit einem „-“-Zeichen.

X+ 2,6 wenn: X

A) Subtrahieren Sie den kleineren vom größeren Modul der Terme. Setzen Sie vor die resultierende Zahl das Vorzeichen des Termes, dessen Modul größer ist.

B) ihre Module zusammenzählen; Setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl.

11. Ermitteln Sie den Wert der Summe:

12. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks X+ 2,6 wenn: X= -1,47 ___________________________

9. Um zwei negative Zahlen zu addieren, müssen Sie:

A) Subtrahieren Sie den kleineren vom größeren Modul der Terme. Setzen Sie vor die resultierende Zahl das Vorzeichen des Termes, dessen Modul größer ist.

B) ihre Module zusammenzählen; Setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl.

10. Um zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie:

A) Subtrahieren Sie den kleineren vom größeren Modul der Terme. Setzen Sie vor die resultierende Zahl das Vorzeichen des Termes, dessen Modul größer ist.

B) ihre Module zusammenzählen; Setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl.

11. Ermitteln Sie den Wert der Summe:

A) – 36 + (-54)= ; b) -23 + 23= ; c) -145 + 0 = ; d) -127,3 + (-13,9)= ;

12. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks X+ 2,6 wenn: X= -1,47 ___________________________

A) Multiplizieren Sie die Module dieser Zahlen und setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl;

B) Multiplizieren Sie die Moduli dieser Zahlen.

4. Um eine negative Zahl durch eine negative Zahl zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

A) Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie ein „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl.

B) Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors.

Test zum Thema „Multiplikation und Division positiver und negativer Zahlen“

Um zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie Folgendes tun:

a) Multiplizieren Sie die Module dieser Zahlen und setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl;

B) Multiplizieren Sie die Moduli dieser Zahlen.

2. Um zwei negative Zahlen zu multiplizieren, benötigen Sie

A) Multiplizieren Sie die Module dieser Zahlen und setzen Sie das „-“-Zeichen vor die resultierende Zahl;

B) Multiplizieren Sie die Moduli dieser Zahlen.

3. Stellen Sie ein Schild auf.

Positive und negative Zahlen
Koordinatenlinie
Lass uns geradeaus gehen. Markieren wir darauf den Punkt 0 (Null) und nehmen diesen Punkt als Ausgangspunkt.

Wir geben mit einem Pfeil die Bewegungsrichtung in einer geraden Linie nach rechts vom Koordinatenursprung an. In dieser Richtung werden wir ab Punkt 0 positive Zahlen zeichnen.

Das heißt, Zahlen, die uns außer Null bereits bekannt sind, werden als positiv bezeichnet.

Manchmal werden positive Zahlen mit einem „+“-Zeichen geschrieben. Beispiel: „+8“.

Der Kürze halber wird das „+“-Zeichen vor einer positiven Zahl normalerweise weggelassen und statt „+8“ einfach 8 geschrieben.

Daher sind „+3“ und „3“ die gleiche Zahl, nur unterschiedlich bezeichnet.

Wählen wir ein Segment aus, dessen Länge wir als eins nehmen, und verschieben wir es vom Punkt 0 aus mehrmals nach rechts. Am Ende des ersten Segments steht die Zahl 1, am Ende des zweiten die Zahl 2 usw.

Wenn wir das Einheitssegment vom Ursprung nach links verschieben, erhalten wir negative Zahlen: -1; -2; usw.

Negative Zahlen verwendet, um zu bezeichnen verschiedene Größen, wie zum Beispiel: Temperatur (unter Null), Durchfluss – also negatives Einkommen, Tiefe – negative Höhe und andere.

Wie aus der Abbildung hervorgeht, sind negative Zahlen uns bereits bekannte Zahlen, nur mit einem Minuszeichen: -8; -5,25 usw.

Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.

Die Zahlenachse ist üblicherweise horizontal oder vertikal positioniert.

Wenn die Koordinatenlinie vertikal verläuft, wird die Richtung vom Ursprung nach oben normalerweise als positiv und die Richtung vom Ursprung nach unten als negativ angesehen.

Der Pfeil zeigt die positive Richtung an.

Die gerade Linie markiert:
. Ursprung (Punkt 0);
. Einheitssegment;
. der Pfeil zeigt die positive Richtung an;
angerufen Koordinatenlinie oder Zahlenachse.

Gegenüberliegende Zahlen auf einer Koordinatenlinie
Markieren wir auf der Koordinatenlinie zwei Punkte A und B, die rechts bzw. links im gleichen Abstand vom Punkt 0 liegen.

In diesem Fall sind die Längen der Segmente OA und OB gleich.

Das bedeutet, dass sich die Koordinaten der Punkte A und B nur im Vorzeichen unterscheiden.

Man sagt auch, dass die Punkte A und B symmetrisch zum Ursprung sind.
Die Koordinate von Punkt A ist positiv „+2“, die Koordinate von Punkt B hat ein Minuszeichen „-2“.
A (+2), B (-2).

Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. Die entsprechenden Punkte der numerischen (Koordinaten-)Achse sind symmetrisch zum Ursprung.

Jede Zahl hat nur eine Gegenzahl. Nur die Zahl 0 hat kein Gegenteil, aber wir können sagen, dass sie das Gegenteil von sich selbst ist.

Die Notation „-a“ bedeutet die entgegengesetzte Zahl von „a“. Denken Sie daran, dass ein Buchstabe entweder eine positive oder eine negative Zahl verbergen kann.

Beispiel:
-3 ist das Gegenteil von 3.

Wir schreiben es als Ausdruck:
-3 = -(+3)

Beispiel:
-(-6) ist die entgegengesetzte Zahl zur negativen Zahl -6. Also ist -(-6) eine positive Zahl 6.

Wir schreiben es als Ausdruck:
-(-6) = 6

Negative Zahlen hinzufügen
Die Addition positiver und negativer Zahlen kann anhand des Zahlenstrahls analysiert werden.

Es ist praktisch, die Addition kleiner Modulo-Zahlen auf einer Koordinatenlinie durchzuführen und sich dabei im Geiste vorzustellen, wie sich der Punkt, der die Zahl bezeichnet, entlang der Zahlenachse bewegt.

Nehmen wir eine Zahl, zum Beispiel 3. Bezeichnen wir sie auf der Zahlenachse mit Punkt A.

Fügen wir der Zahl die positive Zahl 2 hinzu. Dies bedeutet, dass Punkt A um zwei Einheitssegmente in die positive Richtung, also nach rechts, verschoben werden muss. Als Ergebnis erhalten wir Punkt B mit der Koordinate 5.
3 + (+ 2) = 5

Um eine negative Zahl (- 5) zu einer positiven Zahl, zum Beispiel 3, zu addieren, muss Punkt A um 5 Längeneinheiten in die negative Richtung, also nach links, verschoben werden.

In diesem Fall ist die Koordinate von Punkt B - 2.

Also die Reihenfolge der Addition Rationale Zahlen Die Verwendung einer Zahlenachse wäre:
. Markieren Sie auf der Koordinatenlinie den Punkt A mit der Koordinate gleich dem ersten Begriff;
. Bewegen Sie es ein Stück gleich dem Modul der zweite Term in der Richtung, die dem Vorzeichen vor der zweiten Zahl entspricht (Plus – nach rechts bewegen, Minus – nach links);
. Der auf der Achse erhaltene Punkt B hat eine Koordinate, die der Summe dieser Zahlen entspricht.

Beispiel.
- 2 + (- 6) =

Wenn wir uns von Punkt - 2 nach links bewegen (da vor 6 ein Minuszeichen steht), erhalten wir - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Zahlen addieren mit identische Zeichen
Das Addieren rationaler Zahlen kann einfacher sein, wenn Sie das Konzept des Moduls verwenden.

Wir müssen Zahlen addieren, die die gleichen Vorzeichen haben.
Dazu verwerfen wir die Vorzeichen der Zahlen und nehmen die Module dieser Zahlen. Addieren wir die Module und setzen wir das Vorzeichen vor die Summe, die diesen Zahlen gemeinsam war.

Beispiel.

Ein Beispiel für das Addieren negativer Zahlen.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

Um Zahlen mit demselben Vorzeichen zu addieren, müssen Sie deren Module addieren und vor die Summe das Vorzeichen setzen, das vor den Termen stand.

Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren
Wenn die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben, verhalten wir uns etwas anders als beim Addieren von Zahlen mit gleichen Vorzeichen.
. Wir verwerfen die Zeichen vor den Zahlen, das heißt, wir nehmen ihre Module.
. Vom größeren Modul subtrahieren wir das kleinere.
. Vor der Differenz setzen wir das Vorzeichen, das in der Zahl mit einem größeren Modul stand.

Ein Beispiel für die Addition einer negativen und einer positiven Zahl.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Ein Beispiel für das Addieren gemischter Zahlen.

Um Zahlen verschiedener Zeichen hinzuzufügen, benötigen Sie:
. subtrahiere das kleinere Modul vom größeren Modul;
. Tragen Sie vor der resultierenden Differenz das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Modul ein.

Negative Zahlen subtrahieren
Wie Sie wissen, ist die Subtraktion das Gegenteil der Addition.
Wenn a und b positive Zahlen sind, bedeutet das Subtrahieren der Zahl b von der Zahl a, eine Zahl c zu finden, die zusammen mit der Zahl b die Zahl a ergibt.
a - b = c oder c + b = a

Die Definition der Subtraktion gilt für alle rationalen Zahlen. Also Subtrahieren positiver und negativer Zahlen kann durch Addition ersetzt werden.

Um eine andere von einer Zahl zu subtrahieren, müssen Sie die entgegengesetzte Zahl zu der zu subtrahierenden Zahl addieren.

Oder anders ausgedrückt: Das Subtrahieren der Zahl b ist dasselbe wie die Addition, allerdings mit der entgegengesetzten Zahl zu b.
a - b = a + (- b)

Beispiel.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Beispiel.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

Es lohnt sich, sich die folgenden Ausdrücke zu merken.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Regeln zum Subtrahieren negativer Zahlen
Wie aus den obigen Beispielen ersichtlich ist, ist das Subtrahieren einer Zahl b eine Addition mit einer zu b entgegengesetzten Zahl.
Diese Regel gilt nicht nur für die Subtraktion einer kleineren Zahl von einer größeren Zahl, sondern ermöglicht auch die Subtraktion von einer kleineren Zahl größere Zahl, das heißt, Sie können immer die Differenz zwischen zwei Zahlen finden.

Die Differenz kann eine positive Zahl, eine negative Zahl oder eine Nullzahl sein.

Beispiele für die Subtraktion negativer und positiver Zahlen.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Es ist praktisch, sich die Vorzeichenregel zu merken, mit der Sie die Anzahl der Klammern reduzieren können.
Das Pluszeichen ändert das Vorzeichen der Zahl nicht. Wenn also vor der Klammer ein Pluszeichen steht, ändert sich das Vorzeichen in der Klammer nicht.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt das Vorzeichen der Zahl in der Klammer um.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Aus den Gleichungen geht klar hervor, dass wir bei identischen Vorzeichen vor und innerhalb der Klammern ein „+“ erhalten und bei unterschiedlichen Vorzeichen ein „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Die Vorzeichenregel bleibt auch dann erhalten, wenn nicht eine Zahl in Klammern steht, sondern algebraische Summe Zahlen.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Bitte beachten Sie, dass bei mehreren Zahlen in Klammern und einem Minuszeichen vor den Klammern die Vorzeichen aller Zahlen in diesen Klammern geändert werden müssen.

Um sich an die Vorzeichenregel zu erinnern, können Sie eine Tabelle zur Bestimmung der Vorzeichen einer Zahl erstellen.
Vorzeichenregel für Zahlen

Oder lernen Sie eine einfache Regel.

Zwei Negative ergeben ein Bejahendes,
Plus mal Minus ergibt Minus.

Negative Zahlen multiplizieren
Mit dem Konzept des Moduls einer Zahl formulieren wir die Regeln für die Multiplikation positiver und negativer Zahlen.

Zahlen mit gleichen Vorzeichen multiplizieren
Der erste Fall, auf den Sie stoßen können, ist die Multiplikation von Zahlen mit gleichen Vorzeichen.
Um zwei Zahlen mit den gleichen Vorzeichen zu multiplizieren:
. Multiplizieren Sie die Zahlenmodule;
. Setzen Sie ein „+“-Zeichen vor das resultierende Produkt (beim Schreiben der Antwort kann das „Plus“-Zeichen vor der ersten Zahl links weggelassen werden).

Beispiele für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen multiplizieren
Der zweite mögliche Fall ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.
So multiplizieren Sie zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen:
. Multiplizieren Sie die Zahlenmodule;
. Platzieren Sie ein „-“-Zeichen vor dem resultierenden Werk.
Beispiele für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Regeln für Multiplikationszeichen
Es ist sehr einfach, sich die Vorzeichenregel für die Multiplikation zu merken. Diese Regel stimmt mit der Regel zum Öffnen von Klammern überein.

Zwei Negative ergeben ein Bejahendes,
Plus mal Minus ergibt Minus.

In „langen“ Beispielen, in denen es nur eine Multiplikationsaktion gibt, kann das Vorzeichen des Produkts durch die Anzahl der negativen Faktoren bestimmt werden.

Bei sogar Anzahl der negativen Faktoren, das Ergebnis wird positiv sein, und mit seltsam Menge - negativ.
Beispiel.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

Im Beispiel gibt es fünf negative Faktoren. Das bedeutet, dass das Vorzeichen des Ergebnisses „Minus“ ist.
Berechnen wir nun das Produkt der Moduli, ohne auf die Vorzeichen zu achten.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Endergebnis der Multiplikation Originalnummern Wille:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Multiplikation mit Null und Eins
Wenn es unter den Faktoren eine Zahl Null oder eine positive Eins gibt, wird die Multiplikation entsprechend durchgeführt bekannte Regeln.
. 0 . a = 0
. A. 0 = 0
. A. 1 = a
Beispiele:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Bei der Multiplikation rationaler Zahlen spielt die negative Eins (- 1) eine besondere Rolle.

Bei Multiplikation mit (-1) wird die Zahl umgekehrt.

IN wörtlicher Ausdruck Diese Eigenschaft kann geschrieben werden:
A. (- 1) = (- 1) . a = - a

Beim Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren rationaler Zahlen wird die für positive Zahlen und Null festgelegte Reihenfolge der Operationen beibehalten.

Ein Beispiel für die Multiplikation negativer und positiver Zahlen.

Negative Zahlen dividieren
Es ist leicht zu verstehen, wie man negative Zahlen dividiert, wenn man bedenkt, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist.

Wenn a und b positive Zahlen sind, bedeutet die Division der Zahl a durch die Zahl b, eine Zahl c zu finden, die multipliziert mit b die Zahl a ergibt.

Diese Divisionsdefinition gilt für alle rationalen Zahlen, solange die Teiler ungleich Null sind.

Wenn man also beispielsweise die Zahl (- 15) durch die Zahl 5 dividiert, findet man eine Zahl, die multipliziert mit der Zahl 5 die Zahl (- 15) ergibt. Diese Zahl wird seitdem (- 3) sein
(- 3) . 5 = - 15

Bedeutet

(- 15) : 5 = - 3

Beispiele für die Division rationaler Zahlen.
1. 10: 5 = 2, da 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, da 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, da (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, da (- 3) . (- 4) = 12

Aus den Beispielen geht hervor, dass der Quotient zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen eine positive Zahl ist (Beispiele 1, 2) und der Quotient zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen eine negative Zahl ist (Beispiele 3,4).

Regeln zum Teilen negativer Zahlen
Um den Modul eines Quotienten zu ermitteln, müssen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors dividieren.
Um also zwei Zahlen mit den gleichen Vorzeichen zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:

. Setzen Sie ein „+“-Zeichen vor das Ergebnis.
Beispiele für die Division von Zahlen mit gleichen Vorzeichen:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Um zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu dividieren, müssen Sie Folgendes tun:
. Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors.
. Setzen Sie ein „-“-Zeichen vor das Ergebnis.
Beispiele für die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Sie können das Quotientenzeichen auch anhand der folgenden Tabelle ermitteln.
Zeichenregel für die Teilung

Bei der Berechnung „langer“ Ausdrücke, in denen nur Multiplikation und Division vorkommen, ist es sehr praktisch, die Vorzeichenregel zu verwenden. Zum Beispiel um einen Bruch zu berechnen

Bitte beachten Sie, dass der Zähler zwei Minuszeichen hat, die bei Multiplikation ein Plus ergeben. Es gibt auch drei Minuszeichen im Nenner, die multipliziert ein Minuszeichen ergeben. Daher wird das Ergebnis am Ende mit einem Minuszeichen ausfallen.

Einen Bruch reduzieren ( Weitere Maßnahmen mit Moduli von Zahlen) wird auf die gleiche Weise wie zuvor durchgeführt:

Der Quotient aus Null dividiert durch eine Zahl ungleich Null ist Null.
0: a = 0, a ≠ 0
Sie können NICHT durch Null dividieren!

Alle bisher bekannten Regeln der Division durch eins gelten auch für die Menge der rationalen Zahlen.
. ein: 1 = ein
. a: (- 1) = - a
. a: a = 1
, wobei a eine beliebige rationale Zahl ist.

Die für positive Zahlen bekannten Beziehungen zwischen den Ergebnissen der Multiplikation und Division bleiben für alle rationalen Zahlen (außer Null) gleich:
. wenn ein . b = c; a = c: b; b = c: a;
. wenn a: b = c; a = c. B; b = a: c
Diese Abhängigkeiten werden zum Suchen verwendet unbekannter Multiplikator, Dividend und Divisor (beim Lösen von Gleichungen) sowie zur Überprüfung der Ergebnisse von Multiplikationen und Divisionen.

Ein Beispiel für die Suche nach dem Unbekannten.
X. (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Minuszeichen bei Brüchen
Teilen Sie die Zahl (- 5) durch 6 und die Zahl 5 durch (- 6).

Wir erinnern Sie daran, dass sich die Zeile in der Aufnahme befindet gemeinsamer Bruch- Dies ist das gleiche Divisionszeichen, und wir schreiben den Quotienten jeder dieser Aktionen in Form eines negativen Bruchs.

Somit kann das Minuszeichen in einem Bruch sein:
. vor einem Bruchteil;
. im Zähler;
. im Nenner.

Bei der Aufnahme negative Brüche Das Minuszeichen kann vor einen Bruch gestellt, vom Zähler auf den Nenner oder vom Nenner auf den Zähler übertragen werden.

Dies wird häufig bei der Arbeit mit Brüchen verwendet, um Berechnungen zu erleichtern.

Beispiel. Bitte beachten Sie, dass wir nach dem Platzieren des Minuszeichens vor der Klammer das kleinere vom größeren Modul gemäß den Regeln für die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahieren.

Mit der beschriebenen Eigenschaft der Vorzeichenübertragung in Brüchen können Sie handeln, ohne den Modulus der Daten herauszufinden Bruchzahlen mehr.