Tabelle der natürlichen Logarithmen ab 1 100. Logarithmus. Natürlicher Logarithmus. Die logarithmische Multiplikation ist einfach urkomisch

Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Logarithmen von diese Grundlage werden genannt natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, und nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.

Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e, um zu bekommen X.

Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e, und der natürliche Logarithmus der Einheit ist seitdem Null e 0 = 1.

Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monoton begrenzten Folge

das wird berechnet e = 2,7182818284... .

Sehr oft, um eine Zahl oder Zahl im Gedächtnis zu fixieren erforderliche Anzahl mit einem herausragenden Datum verbunden. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!

Heute sind es genug Volle Tische natürliche Logarithmen.

Natürliches Logarithmusdiagramm(Funktionen y =ln x) ist eine Folge des Exponentialgraphen Spiegelbild relativ gerade y = x und hat die Form:

Für jedes Positive lässt sich der natürliche Logarithmus finden reelle Zahl A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Vor A.

Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Bildung des Namens „natürlich“.

Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:

e ln(a) =a (a>0)

log(ea) =a

Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:

ln(xy) = ln(X) + ln(j)

ln(x/y)= lnx - lny

Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich nur vom natürlichen Logarithmus konstanter Multiplikator, und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.

Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, wir finden, dass es existiert positive Werte Variable X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Natürlicher Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema.

Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Passieren höhere Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht eine erhebliche Vereinfachung große Menge mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind beim Lösen einer signifikanten Zahl vorhanden Physische Probleme und natürlich eintreten mathematische Beschreibung einzelne chemische, biologische und andere Prozesse. Zur Berechnung werden also Logarithmen verwendet Zerfallskonstante Für bekannter Zeitraum Halbwertszeit oder zur Berechnung der Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen. Sie treten auf Hauptrolle in vielen Bereichen der Mathematik und praktische Wissenschaften Sie werden im Finanzbereich zur Lösung herangezogen große Zahl Aufgaben, einschließlich der Berechnung des Zinseszinses.

Die grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, Graph, Definitionsbereich, Wertemenge, Grundformeln, Ableitung, Integral, Entwicklung in Potenzreihe und Darstellung der Funktion ln x unter Verwendung komplexer Zahlen.

Definition

Natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = ln x, die Umkehrung des Exponentials, x = e y, und ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) erhält man aus dem Exponentialgraphen durch Spiegelung an der Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus wird für positive Werte der Variablen x definiert. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei x → 0 Der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Beliebig Power-Funktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt „Logarithmus“ vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihe

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Logarithmus angegebene Nummer heißt der Exponent, auf den eine andere Zahl erhöht werden muss, genannt Basis Logarithmieren Sie, um diese Zahl zu erhalten. Beispielsweise ist der Logarithmus zur Basis 10 von 100 2. Mit anderen Worten: 10 muss quadriert werden, um 100 zu erhalten (10 2 = 100). Wenn N– eine bestimmte Zahl, B– Basis und l– also Logarithmus b l = n. Nummer N auch Basisantilogarithmus genannt B Zahlen l. Beispielsweise ist der Antilogarithmus von 2 zur Basis 10 gleich 100. Dies kann in Form des Beziehungsprotokolls geschrieben werden b n = l und Antilog b l = N.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen:

Beliebig positive Zahl, mit Ausnahme der Einheit, kann als Grundlage für Logarithmen dienen, aber leider stellt sich heraus, dass wenn B Und N sind rationale Zahlen, dann in in seltenen Fällen Es gibt so eine rationale Zahl l, Was b l = n. Es lässt sich jedoch feststellen irrationale Zahl l, zum Beispiel so, dass 10 l= 2; das ist eine irrationale Zahl l kann mit jeder erforderlichen Genauigkeit angenähert werden Rationale Zahlen. Es stellt sich heraus, dass im gegebenen Beispiel l ist ungefähr gleich 0,3010, und diese Näherung des Logarithmus zur Basis 10 von 2 kann in vierstelligen Tabellen gefunden werden dezimale Logarithmen. Logarithmen zur Basis 10 (oder Logarithmen zur Basis 10) werden in Berechnungen so häufig verwendet, dass sie als „Logarithmen zur Basis 10“ bezeichnet werden normal Logarithmen und geschrieben als log2 = 0,3010 oder log2 = 0,3010, wobei die explizite Angabe der Basis des Logarithmus weggelassen wird. Logarithmen zur Basis e, eine transzendente Zahl, die ungefähr 2,71828 entspricht, werden aufgerufen natürlich Logarithmen. Sie finden sich hauptsächlich in Werken über mathematische Analyse und seine Anwendungen auf verschiedene Wissenschaften. Natürliche Logarithmen werden auch ohne explizite Angabe der Basis geschrieben, sondern mit der speziellen Notation ln: zum Beispiel ln2 = 0,6931, weil e 0,6931 = 2.

Verwendung von Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen.

Der reguläre Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, auf den 10 erhöht werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Da 10 0 = 1, 10 1 = 10 und 10 2 = 100, erhalten wir sofort log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 usw. für steigende ganzzahlige Potenzen 10. Ebenso ist 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 und daher log0,1 = –1, log0,01 = –2 usw. für alle negativen ganzzahligen Potenzen 10. Die üblichen Logarithmen der übrigen Zahlen werden zwischen den Logarithmen der nächsten ganzzahligen Potenzen von 10 eingeschlossen; log2 muss zwischen 0 und 1 liegen, log20 muss zwischen 1 und 2 liegen und log0,2 muss zwischen -1 und 0 liegen. Somit besteht der Logarithmus aus zwei Teilen, einer Ganzzahl und Dezimal, eingeschlossen zwischen 0 und 1. Der ganzzahlige Teil wird aufgerufen charakteristisch Logarithmus und wird durch die Zahl selbst bestimmt, Fraktion angerufen Mantisse und können den Tabellen entnommen werden. Außerdem ist log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Der Logarithmus von 2 ist 0,3010, also ist log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Ebenso gilt log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Nach der Subtraktion erhalten wir log0,2 = – 0,6990. Es ist jedoch praktischer, log0,2 als 0,3010 – 1 oder als 9,3010 – 10 darzustellen; kann formuliert werden und allgemeine Regel: Alle Zahlen, die man aus einer gegebenen Zahl durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz erhält, haben die gleiche Mantisse, gleich der Mantisse angegebene Nummer. Die meisten Tabellen zeigen die Mantissen von Zahlen im Bereich von 1 bis 10, da die Mantissen aller anderen Zahlen aus den in der Tabelle angegebenen erhalten werden können.

In den meisten Tabellen werden Logarithmen mit vier oder fünf angegeben Dezimalstellen, obwohl es siebenstellige Tabellen und Tabellen mit noch mehr Zeichen gibt. Der Umgang mit solchen Tabellen lässt sich am einfachsten anhand von Beispielen erlernen. Um log3,59 zu finden, stellen wir zunächst fest, dass die Zahl 3,59 zwischen 10 0 und 10 1 liegt, ihre Charakteristik also 0 ist. Wir suchen die Zahl 35 (links) in der Tabelle und gehen entlang der Zeile zu Spalte, die oben die Nummer 9 hat; Der Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile 35 beträgt 5551, also log3,59 = 0,5551. So finden Sie die Mantisse einer Zahl mit vier bedeutende Zahlen, ist es notwendig, auf Interpolation zurückzugreifen. In einigen Tabellen wird die Interpolation durch die Proportionen erleichtert, die in den letzten neun Spalten auf der rechten Seite jeder Tabellenseite angegeben sind. Lassen Sie uns nun log736.4 finden; Die Zahl 736,4 liegt zwischen 10 2 und 10 3, daher ist die Charakteristik ihres Logarithmus 2. In der Tabelle finden wir eine Zeile, links davon steht 73 und eine Spalte 6. Am Schnittpunkt dieser Zeile und dieser Spalte befindet sich die Zahl 8669. Unter den linearen Teilen finden wir Spalte 4. Am Schnittpunkt von Zeile 73 und Spalte 4 befindet sich die Zahl 2. Durch Addition von 2 zu 8669 erhalten wir die Mantisse – sie ist gleich 8671. Also log736,4 = 2,8671.

Natürliche Logarithmen.

Die Tabellen und Eigenschaften natürlicher Logarithmen ähneln den Tabellen und Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Der Hauptunterschied zwischen beiden besteht darin, dass der ganzzahlige Teil des natürlichen Logarithmus für die Bestimmung der Position keine Rolle spielt Komma, und daher spielt der Unterschied zwischen Mantisse und Charakteristik keine besondere Rolle. Natürliche Logarithmen der Zahlen 5,432; 54,32 und 543,2 entsprechen jeweils 1,6923; 3.9949 und 6.2975. Die Beziehung zwischen diesen Logarithmen wird deutlich, wenn wir die Unterschiede zwischen ihnen betrachten: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; letzte Nummer ist nichts anderes als der natürliche Logarithmus der Zahl 10 (geschrieben wie folgt: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; die letzte Zahl ist 2ln10. Aber 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Also durch den natürlichen Logarithmus einer gegebenen Zahl A Sie können natürliche Logarithmen von Zahlen finden, gleich Produkten Zahlen A für jeden Abschluss N Zahlen 10 wenn zu ln A addiere ln10 multipliziert mit N, d.h. ln( Aґ10N) = log A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Zum Beispiel: ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Daher enthalten Tabellen natürlicher Logarithmen wie Tabellen gewöhnlicher Logarithmen normalerweise nur Logarithmen von Zahlen von 1 bis 10. Im System natürlicher Logarithmen kann man von Antilogarithmen sprechen, häufiger spricht man jedoch von einer Exponentialfunktion oder einem Exponenten. Wenn X= Protokoll j, Das j = ex, Und j heißt der Exponent von X(Aus Gründen der typografischen Vereinfachung schreiben sie oft j= exp X). Der Exponent spielt die Rolle des Antilogarithmus der Zahl X.

Mithilfe von Tabellen mit dezimalen und natürlichen Logarithmen können Sie Tabellen mit Logarithmen in jeder Basis außer 10 und erstellen e. Wenn log b a = X, Das b x = A, und daher log c b x=log c a oder X Protokoll c b=log c a, oder X=log c a/Protokoll c b=log b a. Verwenden Sie daher diese Inversionsformel aus der Basislogarithmentabelle C Sie können Logarithmentabellen in jeder anderen Basis erstellen B. Multiplikator 1/log c b angerufen Übergangsmodul von der Basis C zur Basis B. Nichts hindert beispielsweise daran, die Umkehrungsformel zu verwenden oder von einem Logarithmensystem zu einem anderen zu wechseln, natürliche Logarithmen aus der Tabelle der gewöhnlichen Logarithmen zu finden oder den umgekehrten Übergang durchzuführen. Beispiel: log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 - 0,4343 = 0,7350. Die Zahl 0,4343, mit der der natürliche Logarithmus einer gegebenen Zahl multipliziert werden muss, um einen gewöhnlichen Logarithmus zu erhalten, ist der Modul des Übergangs zum System der gewöhnlichen Logarithmen.

Spezielle Tische.

Logarithmen wurden ursprünglich erfunden, um ihre Eigenschaften logarithmisch zu nutzen ab=log A+log B und protokollieren A/B=log A-Protokoll B, verwandeln Sie Produkte in Summen und Quotienten in Differenzen. Mit anderen Worten, wenn log A und protokollieren B bekannt sind, können wir durch Addition und Subtraktion leicht den Logarithmus des Produkts und des Quotienten ermitteln. In der Astronomie ist es jedoch häufig der Fall gegebene Werte Protokoll A und protokollieren B Wir müssen log( finden) A + B) oder log( A – B). Natürlich konnte man es zunächst anhand von Logarithmentabellen herausfinden A Und B, führen Sie dann die angegebene Addition oder Subtraktion durch und finden Sie unter erneuter Bezugnahme auf die Tabellen die erforderlichen Logarithmen. Für ein solches Verfahren müssten Sie jedoch dreimal auf die Tabellen zurückgreifen. Z. Leonelli veröffentlichte 1802 Tabellen der sogenannten. Gaußsche Logarithmen– Logarithmen zum Addieren von Summen und Differenzen – was es ermöglichte, sich auf einen Zugriff auf Tabellen zu beschränken.

Im Jahr 1624 schlug I. Kepler Tabellen proportionaler Logarithmen vor, d.h. Logarithmen von Zahlen A/X, Wo A– einiges Positives Konstante. Diese Tabellen werden hauptsächlich von Astronomen und Navigatoren verwendet.

Proportionale Logarithmen bei A= 1 aufgerufen werden durch Logarithmen und werden in Berechnungen verwendet, wenn es um Produkte und Quotienten geht. Koloarithmus einer Zahl N gleich dem Logarithmus reziproke Zahl; diese. colog N= log1/ N= – Protokoll N. Wenn log2 = 0,3010, dann colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Der Vorteil der Verwendung von Kologarithmen besteht darin, dass bei der Berechnung des Werts des Logarithmus von Ausdrücken wie pq/R Dreifache Summe positiver Dezimalstellen log P+log Q+kolog R einfacher zu finden als gemischtes Summen- und Differenzprotokoll P+log Q-Protokoll R.

Geschichte.

Das jedem Logarithmensystem zugrunde liegende Prinzip ist seit sehr langer Zeit bekannt und lässt sich auf die antike babylonische Mathematik (ca. 2000 v. Chr.) zurückführen. Damals Interpolation zwischen Tabellenwerte ganz positive Grade Zur Berechnung des Zinseszinses wurden ganze Zahlen verwendet. Viel später nutzte Archimedes (287–212 v. Chr.) die Potenzen von 10 8, um zu finden Höchstgrenze die Anzahl der Sandkörner, die erforderlich ist, um das damals bekannte Universum vollständig zu füllen. Archimedes machte auf die Eigenschaft von Exponenten aufmerksam, die der Wirksamkeit von Logarithmen zugrunde liegt: Das Produkt der Potenzen entspricht der Summe der Exponenten. Am Ende des Mittelalters und zu Beginn der Neuzeit begannen sich Mathematiker zunehmend mit dem Zusammenhang zwischen geometrischen und arithmetischen Folgen zu befassen. M. Stiefel in seinem Aufsatz Ganzzahlarithmetik(1544) gab eine Tabelle der positiven und negativen Potenzen der Zahl 2:

Stiefel bemerkte, dass die Summe der beiden Zahlen in der ersten Reihe (der Exponentenreihe) gleich dem Exponenten von zwei ist, der dem Produkt der beiden entsprechenden Zahlen in der unteren Reihe (der Exponentenreihe) entspricht. Im Zusammenhang mit dieser Tabelle formulierte Stiefel vier Regeln gleich vier moderne Regeln Operationen mit Exponenten oder vier Regeln für Operationen mit Logarithmen: Die Summe in der oberen Zeile entspricht dem Produkt in der unteren Zeile; Die Subtraktion in der oberen Zeile entspricht der Division in der unteren Zeile. Die Multiplikation in der oberen Zeile entspricht der Potenzierung in der unteren Zeile. Die Teilung in der oberen Zeile entspricht dem Rooten in der unteren Zeile.

Anscheinend führten Regeln, die denen von Stiefel ähneln, dazu, dass J. Naper das erste Logarithmensystem offiziell in sein Werk einführte Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle, veröffentlicht im Jahr 1614. Aber Napiers Gedanken waren mit dem Problem der Umrechnung von Produkten in Summen beschäftigt, denn mehr als zehn Jahre vor der Veröffentlichung seines Werkes erhielt Napier die Nachricht aus Dänemark, dass seine Assistenten am Tycho-Brahe-Observatorium über eine Methode verfügten, die es ermöglichte Es ist möglich, Produkte in Summen umzuwandeln. Die in der Nachricht, die Napier erhielt, erwähnte Methode basierte auf der Verwendung trigonometrische Formeln Typ

Daher bestanden Napers Tabellen hauptsächlich aus Logarithmen trigonometrische Funktionen. Obwohl das Konzept der Basis nicht explizit in der von Napier vorgeschlagenen Definition enthalten war, spielte die Zahl (1 – 10 –7)ґ10 7 die Rolle, die der Basis des Logarithmensystems in seinem System entspricht, ungefähr gleich 1/ e.

Unabhängig von Naper und fast zeitgleich mit ihm wurde 1620 von J. Bürgi in Prag ein dem Typ nach recht ähnliches Logarithmensystem erfunden und veröffentlicht Arithmetische und geometrische Fortschrittstabellen. Dabei handelte es sich um Tabellen mit Antilogarithmen zur Basis (1 + 10 –4) ґ10 4, eine ziemlich gute Annäherung an die Zahl e.

Im Naper-System wurde der Logarithmus der Zahl 10 7 als Null angenommen, und wenn die Zahlen abnahmen, nahmen die Logarithmen zu. Als G. Briggs (1561–1631) Napier besuchte, waren sich beide einig, dass es bequemer wäre, die Zahl 10 als Basis zu verwenden und den Logarithmus von Eins zu nehmen gleich Null. Wenn dann die Zahlen zunahmen, würden ihre Logarithmen zunehmen. Also haben wir modernes System dezimale Logarithmen, eine Tabelle, die Briggs in seinem Werk veröffentlichte Logarithmische Arithmetik(1620). Logarithmen zur Basis e, obwohl sie nicht genau die von Naper eingeführten sind, werden oft als Napers bezeichnet. Die Begriffe „charakteristisch“ und „Mantisse“ wurden von Briggs vorgeschlagen.

Erste Logarithmen in Kraft historische Gründe verwendete Annäherungen an die Zahlen 1/ e Und e. Etwas später wurde die Idee natürlicher Logarithmen mit der Untersuchung von Flächen unter einer Hyperbel in Verbindung gebracht xy= 1 (Abb. 1). Im 17. Jahrhundert Es wurde gezeigt, dass die von dieser Kurve begrenzte Fläche die Achse ist X und Ordinaten X= 1 und X = A(in Abb. 1 ist dieser Bereich mit dickeren und spärlicheren Punkten bedeckt) nimmt zu arithmetische Folge, Wann A nimmt zu geometrischer Verlauf. Genau diese Abhängigkeit ergibt sich in den Regeln für Operationen mit Exponenten und Logarithmen. Dies führte dazu, dass man Naperianische Logarithmen als „hyperbolische Logarithmen“ bezeichnete.

Logarithmische Funktion.

Es gab eine Zeit, in der Logarithmen ausschließlich als Berechnungsmittel galten, doch im 18. Jahrhundert wurde das Konzept vor allem dank der Arbeiten von Euler entwickelt logarithmische Funktion. Graph einer solchen Funktion j= Protokoll X, dessen Ordinaten in einer arithmetischen Folge zunehmen, während die Abszissen in einer geometrischen Folge zunehmen, ist in Abb. dargestellt. 2, A. Diagramm der Umkehr- oder Exponentialfunktion (Exponentialfunktion). y = e x, dessen Ordinaten im geometrischen Verlauf zunehmen und deren Abszissen im arithmetischen Verlauf zunehmen, ist jeweils in Abb. dargestellt. 2, B. (Kurven j=log X Und j = 10Xähnliche Form wie Kurven j= Protokoll X Und j = ex.) Wurden auch vorgeschlagen alternative Definitionen logarithmische Funktion, zum Beispiel

kpi; und ebenso sind die natürlichen Logarithmen der Zahl -1 komplexe Zahlen Typen (2 k + 1)Pi, Wo k- ganze Zahl. Ähnliche Aussagen treffen zu gemeinsame Logarithmen oder andere Logarithmensysteme. Darüber hinaus kann die Definition von Logarithmen mithilfe der Euler-Identitäten verallgemeinert werden, um komplexe Logarithmen komplexer Zahlen einzuschließen.

Eine alternative Definition der logarithmischen Funktion gibt Funktionsanalyse. Wenn F(X) – kontinuierliche Funktion reelle Zahl X, mit den folgenden drei Eigenschaften: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (u) + F (v), Das F(X) ist als Logarithmus der Zahl definiert X bezogen auf B. Diese Definition hat gegenüber der am Anfang dieses Artikels gegebenen Definition eine Reihe von Vorteilen.

Anwendungen.

Ursprünglich wurden Logarithmen ausschließlich zur Vereinfachung von Berechnungen verwendet, und diese Anwendung ist immer noch eine ihrer wichtigsten. Die Berechnung von Produkten, Quotienten, Potenzen und Wurzeln wird nicht nur durch die breite Verfügbarkeit veröffentlichter Logarithmentabellen erleichtert, sondern auch durch die Verwendung sogenannter. Rechenschieber – ein Rechenwerkzeug, dessen Funktionsprinzip auf den Eigenschaften von Logarithmen basiert. Das Lineal ist mit logarithmischen Skalen ausgestattet, d.h. Abstand von Nummer 1 zu einer beliebigen Nummer X ausgewählt gleich log X; Durch die Verschiebung einer Skala relativ zur anderen ist es möglich, die Summen oder Differenzen von Logarithmen darzustellen, was es ermöglicht, die Produkte oder Quotienten der entsprechenden Zahlen direkt von der Skala abzulesen. Sie können auch die Vorteile der Darstellung von Zahlen in logarithmischer Form nutzen. logarithmisches Papier zum Zeichnen von Diagrammen (Papier mit aufgedruckten logarithmischen Skalen auf beiden Koordinatenachsen). Wenn eine Funktion ein Potenzgesetz der Form erfüllt y = kxn, dann sieht sein logarithmischer Graph wie eine gerade Linie aus, weil Protokoll j=log k + N Protokoll X– Gleichung linear bezüglich des Logarithmus j und protokollieren X. Im Gegenteil, wenn der logarithmische Graph vorhanden ist funktionale Abhängigkeit wie eine gerade Linie aussieht, dann ist diese Abhängigkeit ein Potenzgesetz. Halblogarithmisches Papier (in dem die Ordinatenachse hat Logarithmische Darstellung, und die Abszissenachse ist ein einheitlicher Maßstab) ist praktisch in Fällen, in denen eine Identifizierung erforderlich ist Exponentialfunktionen. Gleichungen der Form y = kb rx treten immer dann auf, wenn eine Menge, beispielsweise eine Bevölkerung, eine Menge radioaktiven Materials oder ein Bankguthaben, proportional zur verfügbaren Menge abnimmt oder zunimmt dieser Moment Einwohnerzahl, radioaktive Substanz oder Geld. Wenn eine solche Abhängigkeit auf halblogarithmischem Papier aufgetragen wird, sieht die Grafik wie eine gerade Linie aus.

Die logarithmische Funktion entsteht im Zusammenhang mit den unterschiedlichsten Naturformen. Blüten in Sonnenblumenblütenständen sind in logarithmischen Spiralen angeordnet, Molluskenschalen sind verdreht Nautilus, Bergschafhörner und Papageienschnäbel. All diese natürliche Formen können als Beispiele für eine Kurve dienen, die als logarithmische Spirale bekannt ist, weil in Polarsystem Koordinaten, seine Gleichung hat die Form r = ae bq, oder ln R= Protokoll A + bq. Eine solche Kurve wird durch einen sich bewegenden Punkt beschrieben, dessen Abstand vom Pol im geometrischen Verlauf zunimmt und dessen Winkel, der durch seinen Radiusvektor beschrieben wird, im arithmetischen Verlauf zunimmt. Die Allgegenwärtigkeit einer solchen Kurve und damit der logarithmischen Funktion wird gut durch die Tatsache veranschaulicht, dass sie so weit entfernt und vollständig erscheint Diverse Orte, wie die Kontur einer Exzenternocke und die Flugbahn einiger Insekten, die auf das Licht zufliegen.

Gar nicht schlecht, oder? Während Mathematiker nach Wörtern suchen, um Ihnen eine lange, verwirrende Definition zu geben, schauen wir uns diese einfache und klare Definition genauer an.

Die Zahl e bedeutet Wachstum

Die Zahl e bedeutet kontinuierliches Wachstum. Wie wir im vorherigen Beispiel gesehen haben, ermöglicht uns e x, Zinsen und Zeit zu verknüpfen: 3 Jahre bei 100 % Wachstum sind dasselbe wie 1 Jahr bei 300 %, unter der Annahme eines „Zinseszinses“.

Sie können beliebige Prozent- und Zeitwerte ersetzen (50 % für 4 Jahre), aber der Einfachheit halber ist es besser, den Prozentsatz auf 100 % festzulegen (es ergibt 100 % für 2 Jahre). Durch den Übergang zu 100 % können wir uns ausschließlich auf die Zeitkomponente konzentrieren:

e x = e Prozent * Zeit = e 1,0 * Zeit = e Zeit

Offensichtlich bedeutet e x:

• Wie stark wird mein Beitrag nach x Zeiteinheiten wachsen (unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %)?
• zum Beispiel erhalte ich nach 3 Zeitintervallen e 3 = 20,08 mal mehr „Dinge“.

e x ist ein Skalierungsfaktor, der angibt, auf welches Niveau wir in x Zeitspanne wachsen werden.

Natürlicher Logarithmus bedeutet Zeit

Der natürliche Logarithmus ist der Kehrwert von e, ein schicker Begriff für Gegenteil. Apropos Macken; im Lateinischen heißt es logarithmus naturali, daher die Abkürzung ln.

Und was bedeutet diese Umkehrung oder das Gegenteil?

• e x ermöglicht es uns, Zeit zu ersetzen und Wachstum zu erzielen.
• ln(x) ermöglicht es uns, Wachstum oder Einkommen zu ermitteln und herauszufinden, wie lange es dauert, es zu generieren.

Zum Beispiel:

• e 3 entspricht 20,08. Nach drei Zeiträumen werden wir 20,08 Zeiten haben Außerdem wo wir angefangen haben.
• ln(08/20) wäre ungefähr 3. Wenn Sie an einem Wachstum um das 20,08-fache interessiert sind, benötigen Sie 3 Zeiträume (wiederum unter der Annahme eines kontinuierlichen Wachstums von 100 %).

Liest noch? Der natürliche Logarithmus zeigt die Zeit an, die benötigt wird, um das gewünschte Niveau zu erreichen.

Diese nicht standardmäßige logarithmische Zählung

Haben Sie Logarithmen durchlaufen? merkwürdige Kreaturen. Wie haben sie es geschafft, die Multiplikation in eine Addition umzuwandeln? Wie wäre es mit der Division durch Subtraktion? Werfen wir einen Blick darauf.

Was ist ln(1) gleich? Intuitiv stellt sich die Frage: Wie lange sollte ich warten, bis ich 1x mehr bekomme, als ich habe?

Null. Null. Gar nicht. Du hast es schon einmal. Es dauert nicht lange, von Level 1 auf Level 1 zu gelangen.

• log(1) = 0

Okay, was ist mit Bruchwert? Wie lange wird es dauern, bis wir noch die Hälfte der verfügbaren Menge haben? Wir wissen, dass ln(2) bei 100 % kontinuierlichem Wachstum die Zeit bedeutet, die zur Verdoppelung benötigt wird. Wenn wir Lasst uns die Zeit zurückdrehen(d. h. eine negative Zeitspanne warten), dann erhalten wir die Hälfte von dem, was wir haben.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logisch, oder? Wenn wir auf 0,693 Sekunden zurückgehen (Zeit zurück), finden wir die Hälfte der verfügbaren Menge. Im Allgemeinen können Sie den Bruch umdrehen und nehmen negative Bedeutung: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Das heißt, wenn wir in der Zeit zurück zum 1,09-fachen gehen, werden wir nur ein Drittel der aktuellen Zahl finden.

Okay, was ist mit dem Logarithmus einer negativen Zahl? Wie lange dauert es, eine Bakterienkolonie von 1 auf -3 zu „züchten“?

Es ist unmöglich! Eine negative Bakterienzahl kann man doch nicht bekommen, oder? Sie können ein Maximum (ähm...Minimum) von Null erreichen, aber es gibt keine Möglichkeit, von diesen kleinen Kreaturen eine negative Zahl zu erhalten. Eine negative Bakterienzahl macht einfach keinen Sinn.

• ln(negative Zahl) = undefiniert

„Undefiniert“ bedeutet, dass nicht lange gewartet werden muss, bis ein negativer Wert angezeigt wird.

Die logarithmische Multiplikation ist einfach urkomisch

Wie lange wird es dauern, bis wir uns vervierfachen? Natürlich können Sie auch einfach ln(4) nehmen. Aber das ist zu einfach, wir gehen den anderen Weg.

Sie können sich das vierfache Wachstum als eine Verdoppelung (die ln(2) Zeiteinheiten erfordert) und eine anschließende erneute Verdoppelung (die weitere ln(2) Zeiteinheiten erfordert) vorstellen:

• Zeit zum 4-fachen Wachstum = ln(4) = Zeit zum Verdoppeln und dann wieder Verdoppeln = ln(2) + ln(2)

Interessant. Jede Wachstumsrate, sagen wir 20, kann direkt nach einer 10-fachen Steigerung als Verdoppelung betrachtet werden. Oder Wachstum um das Vierfache und dann um das Fünffache. Oder verdreifachen und dann um das 6,666-fache erhöhen. Sehen Sie das Muster?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Der Logarithmus von A mal B ist log(A) + log(B). Diese Beziehung macht sofort Sinn, wenn man sie im Hinblick auf das Wachstum betrachtet.

Wenn Sie an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, können Sie ln(30) in einer Sitzung warten oder ln(3) auf die Verdreifachung warten und dann noch einmal ln(10) auf das 10-fache. Endergebnis das Gleiche, daher muss die Zeit natürlich konstant bleiben (und bleibt).

Was ist mit der Teilung? Konkret bedeutet ln(5/3): Wie lange dauert es, um das Fünffache zu wachsen und dann 1/3 davon zu erhalten?

Großartig, Wachstum um das Fünffache ist ln(5). Eine Erhöhung um das 1/3-fache dauert -ln(3) Zeiteinheiten. Also,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Das bedeutet: Lassen Sie es um das Fünffache wachsen und gehen Sie dann „in der Zeit zurück“, bis nur noch ein Drittel dieser Menge übrig ist, sodass Sie ein 5/3-Wachstum erhalten. Im Allgemeinen stellt sich heraus

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Ich hoffe, dass die seltsame Arithmetik der Logarithmen für Sie allmählich einen Sinn ergibt: Das Multiplizieren von Wachstumsraten wird zum Addieren von Wachstumszeiteinheiten, und das Dividieren wird zum Subtrahieren von Zeiteinheiten. Sie müssen sich die Regeln nicht merken, sondern versuchen, sie zu verstehen.

Verwendung des natürlichen Logarithmus für willkürliches Wachstum

Nun, natürlich“, sagen Sie, „das ist alles gut, wenn das Wachstum 100 % beträgt, aber was ist mit den 5 %, die ich bekomme?“

Kein Problem. Die „Zeit“, die wir mit ln() berechnen, ist eigentlich eine Kombination aus Zinssatz und Zeit, das gleiche X aus der e x-Gleichung. Der Einfachheit halber haben wir uns entschieden, den Prozentsatz auf 100 % zu setzen, es steht uns jedoch frei, beliebige Zahlen zu verwenden.

Nehmen wir an, wir wollen ein 30-faches Wachstum erreichen: Nehmen Sie ln(30) und erhalten Sie 3,4. Das bedeutet:

• e x = Höhe
• e 3,4 = 30

Offensichtlich bedeutet diese Gleichung: „100 % Rendite über 3,4 Jahre ergeben ein 30-faches Wachstum.“ Wir können diese Gleichung wie folgt schreiben:

• e x = e Rate*Zeit
• e 100 % * 3,4 Jahre = 30

Wir können die Werte von „Einsatz“ und „Zeit“ ändern, solange der Einsatz * Zeit 3,4 bleibt. Wenn wir beispielsweise an einem 30-fachen Wachstum interessiert sind, wie lange müssen wir dann bei einem Zinssatz von 5 % warten?

• ln(30) = 3,4
• Rate * Zeit = 3,4
• 0,05 * Zeit = 3,4
• Zeit = 3,4 / 0,05 = 68 Jahre

Ich argumentiere so: „ln(30) = 3,4, also dauert es bei 100 % Wachstum 3,4 Jahre. Wenn ich die Wachstumsrate verdoppele, erforderliche Zeit wird halbiert.“

• 100 % für 3,4 Jahre = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200 % in 1,7 Jahren = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50 % für 6,8 Jahre = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5 % über 68 Jahre = 0,05 * 68 = 3,4.

Großartig, oder? Der natürliche Logarithmus kann bei jedem Zinssatz und jeder Zeit verwendet werden, da ihr Produkt konstant bleibt. Sie können Variablenwerte beliebig verschieben.

Cooles Beispiel: Regel von zweiundsiebzig

Die Zweiundsiebzig-Regel ist eine mathematische Technik, mit der Sie abschätzen können, wie lange es dauern wird, bis sich Ihr Geld verdoppelt. Jetzt werden wir es ableiten (ja!) und darüber hinaus versuchen, sein Wesen zu verstehen.

Wie lange wird es dauern, Ihr Geld bei 100 % jährlicher Aufzinsung zu verdoppeln?

Hoppla. Wir haben den natürlichen Logarithmus für den Fall des kontinuierlichen Wachstums verwendet, und jetzt sprechen Sie von der jährlichen Aufzinsung? Wäre diese Formel für einen solchen Fall nicht ungeeignet? Ja, das wird es, aber bei Realzinsen von 5 %, 6 % oder sogar 15 % wird der Unterschied zwischen jährlicher Aufzinsung und kontinuierlichem Wachstum gering sein. Die grobe Schätzung funktioniert also, ähm, ungefähr, wir gehen also davon aus, dass wir eine völlig kontinuierliche Rückstellung haben.

Die Frage ist nun einfach: Wie schnell können Sie Ihr Wachstum bei 100 % verdoppeln? ln(2) = 0,693. Es dauert 0,693 Zeiteinheiten (in unserem Fall Jahre), um unsere Menge bei einer kontinuierlichen Steigerung von 100 % zu verdoppeln.

Was also, wenn der Zinssatz nicht 100 %, sondern sagen wir 5 % oder 10 % beträgt?

Leicht! Da Einsatz * Zeit = 0,693, verdoppeln wir den Betrag:

• Rate * Zeit = 0,693
• Zeit = 0,693 / Einsatz

Es stellt sich heraus, dass es bei einem Wachstum von 10 % 0,693 / 0,10 = 6,93 Jahre dauern wird, bis es sich verdoppelt.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, multiplizieren wir beide Seiten mit 100, dann können wir „10“ statt „0,10“ sagen:

• Zeit zum Verdoppeln = 69,3 / Einsatz, wobei der Einsatz als Prozentsatz ausgedrückt wird.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit einer Rate von 5 % zu verdoppeln, 69,3 / 5 = 13,86 Jahre. Allerdings ist 69,3 nicht die günstigste Dividende. Lass uns aussuchen nahe Nummer, 72, was sich bequem durch 2, 3, 4, 6, 8 und andere Zahlen dividieren lässt.

• Zeit zum Verdoppeln = 72 / Einsatz

Das ist die Regel von zweiundsiebzig. Alles ist abgedeckt.

Wenn Sie die Zeit zum Verdreifachen finden müssen, können Sie ln(3) ~ 109,8 verwenden und erhalten

• Zeit zum Verdreifachen = 110 / Einsatz

Was ist ein anderes nützliche Regel. Für die Körpergröße gilt die „Regel von 72“. Zinsen, Bevölkerungswachstum, Bakterienkulturen und alles, was exponentiell wächst.

Was weiter?

Ich hoffe, der natürliche Logarithmus macht für Sie jetzt Sinn – er zeigt die Zeit an, die eine beliebige Zahl benötigt, um zu wachsen exponentielles Wachstum. Ich denke, man nennt es natürlich, weil e ein universelles Maß für das Wachstum ist, sodass ln berücksichtigt werden kann auf universelle Weise Bestimmen, wie lange es dauert, zu wachsen.

Denken Sie jedes Mal, wenn Sie ln(x) sehen, an „die Zeit, die benötigt wird, um um das X-fache zu wachsen“. In einem kommenden Artikel werde ich e und ln in Verbindung beschreiben, damit der frische Duft der Mathematik die Luft erfüllt.

Nachtrag: Natürlicher Logarithmus von e

Kurzes Quiz: Was ist ln(e)?

• Ein Mathe-Roboter wird sagen: Da sie als Umkehrung zueinander definiert sind, ist es offensichtlich, dass ln(e) = 1.
• Verständnisvolle Person: ln(e) ist die Anzahl der Male, die nötig sind, um „e“-mal zu wachsen (ungefähr 2,718). Allerdings ist die Zahl e selbst ein Maß für das Wachstum um den Faktor 1, also ist ln(e) = 1.

Klar denken.