احتمال هر رویدادی برابر است. استقلال رویدادها قضیه ضرب احتمال. نحوه ترکیب آزمایشات مستقل

در اقتصاد و همچنین در سایر زمینه ها فعالیت انسانییا در طبیعت، ما دائماً باید با رویدادهایی سر و کار داشته باشیم که نمی توان آنها را به درستی پیش بینی کرد. بنابراین، حجم فروش یک محصول به تقاضا بستگی دارد که می تواند به طور قابل توجهی متفاوت باشد، و به تعدادی از عوامل دیگر که در نظر گرفتن آنها تقریبا غیرممکن است. بنابراین، هنگام سازماندهی تولید و انجام فروش، باید نتیجه چنین فعالیت هایی را بر اساس تجربه قبلی خود یا تجربه مشابه سایر افراد یا شهود پیش بینی کنید که تا حد زیادی نیز بر داده های تجربی متکی است.

برای ارزیابی به نحوی رویداد مورد نظر، باید شرایطی را که این رویداد در آن ثبت می شود در نظر گرفت یا به طور ویژه سازماندهی کرد.

پیاده سازی شرایط خاصیا اقداماتی برای شناسایی رویداد مورد نظر نامیده می شود تجربهیا آزمایش.

رویداد نامیده می شود تصادفی، اگر در نتیجه تجربه ممکن است رخ دهد یا نباشد.

رویداد نامیده می شود قابل اعتماد، اگر لزوماً در نتیجه ظاهر شود این تجربه، و غیر ممکن، اگر نتواند در این تجربه ظاهر شود.

به عنوان مثال، بارش برف در مسکو در 30 نوامبر یک رویداد تصادفی است. طلوع روزانه خورشید را می توان یک رویداد قابل اعتماد در نظر گرفت. بارش برف در خط استوا را می توان در نظر گرفت رویداد احتمالی.

یکی از وظایف اصلی در نظریه احتمال، تعیین معیار کمی از امکان وقوع یک رویداد است.

جبر حوادث

رویدادها در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که نتوان آنها را با هم در یک تجربه مشاهده کرد. بنابراین حضور دو و سه خودرو در یک فروشگاه برای فروش همزمان دو اتفاق ناسازگار است.

میزانرویدادها رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از این رویدادها

نمونه ای از مجموع رویدادها وجود حداقل یکی از دو محصول در فروشگاه است.

کاررویدادها رویدادی است که از وقوع همزمان همه این رویدادها تشکیل شده است

رویدادی متشکل از ظاهر شدن دو کالا در یک فروشگاه به طور همزمان محصول رویدادها است: - ظاهر یک کالا، - ظاهر یک محصول دیگر.

رویدادها گروه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند اگر حداقل یکی از آنها در تجربه رخ دهد.

مثال.این بندر دارای دو اسکله برای پذیرش کشتی ها می باشد. سه رویداد را می توان در نظر گرفت: - عدم حضور کشتی در اسکله، - حضور یک کشتی در یکی از اسکله ها، - حضور دو کشتی در دو اسکله. این سه رویداد یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

در مقابلدو رویداد ممکن منحصر به فرد که یک گروه کامل را تشکیل می دهند نامیده می شوند.

اگر یکی از رویدادهایی که مخالف است با نشان داده شود، معمولاً رویداد مخالف را با نشان می دهند.

تعاریف کلاسیک و آماری احتمال رویداد

هر یک از نتایج به همان اندازه ممکن آزمایش ها (آزمایش ها) نتیجه ابتدایی نامیده می شود. آنها معمولاً با حروف مشخص می شوند. مثلا یک قالب پرتاب می شود. بر اساس تعداد امتیازات طرفین، در مجموع می توان شش نتیجه ابتدایی داشت.

از نتایج ابتدایی می توانید رویداد پیچیده تری ایجاد کنید. بنابراین، رویداد تعداد نقاط زوج توسط سه نتیجه تعیین می شود: 2، 4، 6.

یک معیار کمی برای احتمال وقوع رویداد مورد نظر، احتمال است.

اکثر استفاده گستردهدو تعریف از احتمال یک رویداد دریافت کرد: کلاسیکو آماری.

تعریف کلاسیک احتمال با مفهوم نتیجه مطلوب همراه است.

نتیجه نامیده می شود مطلوب این رخداددر صورتی که ظهور آن مستلزم وقوع این واقعه باشد.

در مثال ارائه شده، رویداد مورد نظر است عدد زوجامتیاز در سمت حذف شده دارای سه نتیجه مطلوب است. که در در این موردشناخته شده و عام
تعداد نتایج ممکن بنابراین در اینجا می توانید استفاده کنید تعریف کلاسیکاحتمال یک رویداد

تعریف کلاسیکبرابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب به تعداد کلنتایج احتمالی

جایی که احتمال رویداد است، تعداد نتایج مطلوب برای رویداد، تعداد کل نتایج ممکن است.

در مثال مورد نظر

تعریف آماری احتمال با مفهوم فراوانی نسبی وقوع یک رویداد در آزمایشات مرتبط است.

فراوانی نسبیوقوع یک رویداد با فرمول محاسبه می شود

تعداد وقوع یک رویداد در یک سری آزمایش (آزمون) کجاست.

تعریف آماری. احتمال یک رویداد عددی است که فرکانس نسبی حول آن تثبیت می شود (مجموعه) با افزایش نامحدود در تعداد آزمایش ها.

که در مشکلات عملیاحتمال یک رویداد به عنوان فرکانس نسبی با کافی در نظر گرفته می شود تعداد زیادیتست ها

از این تعاریف از احتمال یک رویداد روشن است که نابرابری همیشه برآورده می شود.

برای تعیین احتمال یک رویداد بر اساس فرمول (1.1)، اغلب از فرمول های ترکیبی استفاده می شود که برای یافتن تعداد نتایج مطلوب و تعداد کل نتایج ممکن استفاده می شود.

احتمال- عددی بین 0 و 1 که نشان دهنده شانس وقوع یک رویداد تصادفی است، جایی که 0 غیبت کاملاحتمال وقوع یک رویداد، و 1 به این معنی است که رویداد مورد نظر قطعا رخ خواهد داد.

احتمال رویداد E عددی از تا 1 است.
مجموع احتمالات رویدادهای متقابلاً منتفی برابر با 1 است.

احتمال تجربی- احتمال که به عنوان فراوانی نسبی یک رویداد در گذشته محاسبه می شود که از تجزیه و تحلیل داده های تاریخی استخراج می شود.

احتمالش خیلیه رویدادهای نادرنمی توان به صورت تجربی محاسبه کرد.

احتمال ذهنی- احتمال بر اساس شخصی ارزیابی ذهنیرویدادها بدون توجه به داده های تاریخی سرمایه گذارانی که برای خرید و فروش سهام تصمیم می گیرند، اغلب بر اساس ملاحظات احتمال ذهنی عمل می کنند.

احتمال قبلی -

شانس 1 در ... (شانس) است که یک رویداد از طریق مفهوم احتمال رخ دهد. احتمال وقوع یک رویداد از طریق احتمال به صورت زیر بیان می شود: P/(1-P).

به عنوان مثال، اگر احتمال یک رویداد 0.5 باشد، آنگاه شانس رویداد 1 از 2 است زیرا 0.5 / (1-0.5).

شانس رخ ندادن یک رویداد با استفاده از فرمول (1-P)/P محاسبه می شود

احتمال متناقض- به عنوان مثال، قیمت سهام شرکت A 85٪ رویداد احتمالی E را در نظر می گیرد و قیمت سهام شرکت B فقط 50٪ را در نظر می گیرد. این احتمال ناسازگار نامیده می شود. طبق قضیه شرط بندی هلندی، احتمال ناسازگار فرصت های سود ایجاد می کند.

احتمال بی قید و شرطپاسخ به سوال "احتمال وقوع رویداد چقدر است؟"

احتمال مشروط- این پاسخ به این سؤال است: "در صورت وقوع رویداد B، احتمال رویداد A چقدر است." احتمال شرطی با P(A|B) نشان داده می شود.

احتمال مشترک- احتمال وقوع رویدادهای A و B به طور همزمان. با P(AB) مشخص می شود.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

قانون جمع کردن احتمالات:

احتمال اینکه رویداد A یا رویداد B رخ دهد این است

P (A یا B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

اگر رویدادهای A و B متقابلاً منحصر به فرد باشند، پس

P (A یا B) = P (A) + P (B)

رویدادهای مستقل- رویدادهای A و B مستقل هستند اگر

P(A|B) = P(A)، P(B|A) = P(B)

یعنی دنباله ای از نتایج است که در آن مقدار احتمال از یک رویداد به رویداد بعدی ثابت است.
پرتاب سکه نمونه ای از چنین رویدادی است - نتیجه هر پرتاب بعدی به نتیجه قبلی بستگی ندارد.

رویدادهای وابسته- اینها رویدادهایی هستند که احتمال وقوع یکی به احتمال وقوع دیگری بستگی دارد.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل:
اگر رویدادهای A و B مستقل باشند، پس

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

قانون احتمال کامل:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S و S" رویدادهای متقابل انحصاری هستند

ارزش مورد انتظارمتغیر تصادفی میانگین نتایج ممکن است متغیر تصادفی. برای رویداد X، انتظار به عنوان E(X) نشان داده می شود.

فرض کنید 5 مقدار از رویدادهای متقابلا انحصاری با یک احتمال مشخص داریم (مثلاً درآمد یک شرکت فلان مقدار با چنین احتمالی بود). مقدار مورد انتظار مجموع تمام نتایج ضرب در احتمال آنها است:

پراکندگی یک متغیر تصادفی انتظار انحرافات مربعی یک متغیر تصادفی از انتظار آن است:

s 2 = E( 2 ) (6)

مقدار مورد انتظار مشروط - مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی X، مشروط بر اینکه رویداد S قبلاً رخ داده باشد.

واضح است که هر رویداد دارای درجه متفاوتی از امکان وقوع (اجرای آن) است. برای مقایسه کمی رویدادها با یکدیگر با توجه به میزان امکان آنها، بدیهی است که باید با هر رویداد مرتبط شود. تعداد معین، که هر چه امکان وقوع رویداد بیشتر باشد. این عدد را احتمال وقوع یک رویداد می نامند.

احتمال وقوع– معیار عددی درجه امکان عینی وقوع این رویداد است.

یک آزمایش تصادفی و یک رویداد تصادفی A مشاهده شده در این آزمایش را در نظر بگیرید. اجازه دهید این آزمایش n بار تکرار شود و m(A) تعداد آزمایش هایی باشد که در آن رویداد A رخ داده است.

رابطه (1.1)

تماس گرفت فراوانی نسبیرویدادهای A در سری آزمایش های انجام شده.

به راحتی می توان اعتبار ویژگی ها را تأیید کرد:

اگر A و B ناسازگار باشند (AB= )، سپس ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

فرکانس نسبی فقط پس از یک سری آزمایش تعیین می شود و به طور کلی می تواند از سری به سری دیگر متفاوت باشد. با این حال، تجربه نشان می دهد که در بسیاری از موارد، با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس نسبی به عدد مشخصی نزدیک می شود. این واقعیت پایداری فرکانس نسبی بارها تأیید شده است و می توان آن را به طور تجربی ثابت کرد.

مثال 1.19.. اگر یک سکه پرتاب کنید، هیچ کس نمی تواند پیش بینی کند که روی کدام سمت قرار می گیرد. اما اگر دو تن سکه پرتاب کنید، همه می گویند که حدود یک تن با نشان می ریزد، یعنی فرکانس نسبی افتادن نشان تقریباً 0.5 است.

اگر با افزایش تعداد آزمایش‌ها، فرکانس نسبی رویداد ν(A) به یک عدد ثابت متمایل شود، می‌گویند که رویداد A از نظر آماری پایدار استو این عدد را احتمال رویداد A می نامند.

احتمال وقوع رویداد آمقدار ثابتی P(A) نامیده می شود که با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس نسبی ν(A) این رویداد به آن گرایش پیدا می کند.

این تعریف نامیده می شود تعریف آماریاحتمالات .

بیایید آزمایش تصادفی خاصی را در نظر بگیریم و اجازه دهیم فضای رویدادهای ابتدایی آن شامل مجموعه ای متناهی یا نامتناهی (اما قابل شمارش) از رویدادهای ابتدایی ω 1, ω 2, …, ω i, … باشد. فرض کنید به هر رویداد ابتدایی ω i یک عدد معین اختصاص داده شده است - р i . خواص زیر:

این عدد p i نامیده می شود احتمال یک رویداد ابتداییωi.

بگذارید اکنون A یک رویداد تصادفی باشد که در این آزمایش مشاهده شده است، و اجازه دهید با مجموعه خاصی مطابقت داشته باشد

در این تنظیمات احتمال یک رویداد آ مجموع احتمالات وقایع ابتدایی به نفع A را نام ببرید(شامل در مجموعه A مربوطه):

(1.4)

احتمال معرفی شده به این ترتیب دارای ویژگی های مشابه فرکانس نسبی است، یعنی:

و اگر AB = (A و B ناسازگار هستند)،

سپس P(A+B) = P(A) + P(B)

در واقع، طبق (1.4)

در آخرین رابطه از این واقعیت استفاده کردیم که یک رویداد ابتدایی نمی تواند همزمان دو رویداد ناسازگار را به نفع خود فراهم کند.

ما به خصوص متذکر می شویم که تئوری احتمالات روش هایی را برای تعیین p i نشان نمی دهد.

به عنوان مثال در نظر بگیرید طرح کلاسیکنظریه احتمال برای انجام این کار، یک آزمایش تصادفی را در نظر بگیرید که فضای رویدادهای ابتدایی آن از تعداد محدود (n) عنصر تشکیل شده است. اجازه دهید علاوه بر این فرض کنیم که همه این رویدادهای ابتدایی به یک اندازه ممکن هستند، یعنی احتمالات رویدادهای ابتدایی برابر است با p(ω i)=p i =p. نتیجه می شود که

مثال 1.20. هنگام پرتاب یک سکه متقارن، گرفتن سر و دم به یک اندازه امکان پذیر است، احتمال آنها برابر با 0.5 است.

مثال 1.21. هنگام پرتاب یک قالب متقارن، همه چهره ها به یک اندازه ممکن هستند، احتمالات آنها برابر با 1/6 است.

حال اجازه دهید رویداد A مورد علاقه m رویدادهای ابتدایی باشد، آنها معمولاً نامیده می شوند نتایج مطلوب برای رویداد A. سپس

بدست آورد تعریف کلاسیک احتمال: احتمال P(A) رویداد A برابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب به رویداد A به تعداد کل پیامدها

مثال 1.22. کوزه حاوی m توپ سفید و n توپ سیاه است. احتمال خروجش چقدره؟ توپ سفید?

راه حل. تعداد کل رویدادهای ابتدایی m+n است. همه آنها به یک اندازه محتمل هستند. رویداد مطلوب A که م. از این رو، .

ویژگی های زیر از تعریف احتمال به دست می آید:

ملک 1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.

در واقع، اگر رویداد قابل اعتماد باشد، هر نتیجه اولیه آزمون به نفع رویداد است. در این مورد t=p،از این رو،

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

ملک 2. احتمال یک رویداد غیرممکن صفر است.

در واقع، اگر رویدادی غیرممکن باشد، هیچ یک از نتایج اولیه آزمون به نفع رویداد نیست. در این مورد تی= 0، بنابراین، P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

ملک 3.احتمال رویداد تصادفیوجود دارد عدد مثبت، بین صفر و یک محصور شده است.

در واقع، تنها بخشی از تعداد کل نتایج ابتدایی آزمون مورد علاقه یک رویداد تصادفی است. یعنی 0≤m≤n، که به معنای 0≤m/n≤1 است، بنابراین، احتمال هر رویدادی برآورده می شود نابرابری مضاعف 0≤P(A) ≤1. (1.8)

با مقایسه تعاریف احتمال (5/1) و بسامد نسبی (1/1) نتیجه می گیریم: تعریف احتمال برای انجام آزمایش نیازی ندارددر حقیقت؛ تعریف فرکانس نسبی این را فرض می کند آزمایشات در واقع انجام شد. به عبارت دیگر، احتمال قبل از آزمایش محاسبه می شود و فرکانس نسبی - بعد از آزمایش.

با این حال، محاسبه احتمال نیاز به اطلاعات اولیه در مورد تعداد یا احتمالات نتایج اولیه مطلوب برای یک رویداد معین دارد. در غیاب چنین اطلاعات اولیه، از داده های تجربی برای تعیین احتمال استفاده می شود، یعنی فراوانی نسبی رویداد بر اساس نتایج یک آزمایش تصادفی تعیین می شود.

مثال 1.23. بخش کنترل فنی کشف شد 3قطعات غیر استاندارد در دسته ای از 80 قطعه که به طور تصادفی انتخاب شده اند. فراوانی نسبی وقوع قطعات غیر استاندارد r(A)= 3/80.

مثال 1.24. با توجه به هدف.تولید شده است 24 شلیک شد و 19 ضربه ثبت شد. نرخ نسبی ضربه به هدف r(A)=19/24.

مشاهدات طولانی مدت نشان داده است که اگر آزمایش‌ها در شرایط یکسانی انجام شوند که در هر یک از آنها تعداد آزمایش‌ها به اندازه کافی زیاد باشد، فرکانس نسبی خاصیت پایداری را نشان می‌دهد. این ملک است که در آزمایش‌های مختلف فرکانس نسبی کمی تغییر می‌کند (هرچه کمتر، آزمایش‌های بیشتری انجام شود)، که حول یک عدد ثابت مشخص در نوسان است.معلوم شد که این عدد ثابترا می توان به عنوان یک مقدار احتمال تقریبی در نظر گرفت.

رابطه بین فرکانس نسبی و احتمال در زیر با جزئیات بیشتر و دقیق تر توضیح داده خواهد شد. حال اجازه دهید ویژگی پایداری را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 1.25. بر اساس آمار سوئد، فراوانی نسبی تولد دختران در سال 1935 به تفکیک ماه با اعداد زیر مشخص می شود (اعداد به ترتیب ماه مرتب شده اند، با شروع ژانویه): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

فرکانس نسبی در اطراف عدد 0.481 در نوسان است که می توان آن را به عنوان در نظر گرفت ارزش تقریبیاحتمال دختر داشتن

توجه داشته باشید که داده های آماری کشورهای مختلفتقریباً همان مقدار فرکانس نسبی را ارائه دهید.

مثال 1.26.آزمایش های پرتاب سکه بارها انجام شد که در آن تعداد ظاهر "نشان" شمارش شد. نتایج چندین آزمایش در جدول نشان داده شده است.

در ابتدا، که تنها مجموعه ای از اطلاعات و مشاهدات تجربی در مورد بازی تاس بود، نظریه احتمال به یک علم کامل تبدیل شد. اولین کسانی که به آن چارچوب ریاضی دادند فرما و پاسکال بودند.

از تفکر در مورد ازلی تا نظریه احتمال

بلز پاسکال و توماس بیز، دو فردی که نظریه احتمال بسیاری از فرمول های اساسی خود را مدیون آنهاست، به عنوان افرادی عمیقاً مذهبی شناخته می شوند که دومی وزیر پروتستان است. ظاهراً تمایل این دو دانشمند برای اثبات اشتباه بودن این عقیده در مورد خوش شانسی یک فورچون به افراد مورد علاقه خود، انگیزه ای برای تحقیقات در این زمینه ایجاد کرد. پس از همه، در واقع، هر قماربا برد و باختش فقط سمفونی اصول ریاضی است.

با تشکر از شور و شوق جنتلمن دی مر، که به همان اندازهپاسکال که یک قمارباز بود و نسبت به علم بی تفاوت نبود، مجبور شد راهی برای محاسبه احتمال بیابد. دی مر به سوال زیر علاقه مند بود: "چند بار باید دو تاس را به صورت جفت پرتاب کنید تا احتمال کسب 12 امتیاز از 50٪ بیشتر شود؟" سوال دوم که برای آقا بسیار جالب بود: "چگونه شرط را بین شرکت کنندگان در بازی ناتمام تقسیم کنیم؟" البته، پاسکال با موفقیت به هر دو سؤال دو مر، که آغازگر ناخواسته توسعه نظریه احتمال شد، پاسخ داد. جالب است که شخص دو مره در این حوزه شناخته شده باقی ماند و نه در ادبیات.

پیش از این، هیچ ریاضی دانی تا به حال سعی نکرده بود احتمالات رویدادها را محاسبه کند، زیرا اعتقاد بر این بود که این تنها یک راه حل حدس است. بلز پاسکال اولین تعریف از احتمال یک رویداد را ارائه کرد و نشان داد که این رقم خاصی است که می توان آن را از نظر ریاضی توجیه کرد. تئوری احتمال مبنایی برای آمار شده است و به طور گسترده در آن استفاده می شود علم مدرن.

تصادفی چیست

در نظر گرفتن آزمونی که قابل تکرار است عدد بی نهایتبار، سپس می توانیم یک رویداد تصادفی تعریف کنیم. این یکی از نتایج محتمل آزمایش است.

تجربه اجرای آن است اقدامات ملموستحت شرایط ثابت

برای اینکه بتوانیم با نتایج آزمایش کار کنیم، رویدادها معمولاً با حروف A، B، C، D، E ... مشخص می شوند.

احتمال وقوع یک رویداد تصادفی

برای شروع بخش ریاضی احتمال، لازم است تمام اجزای آن تعریف شود.

احتمال یک رویداد اندازه گیری عددی امکان وقوع یک رویداد (A یا B) در نتیجه یک تجربه است. احتمال به صورت P(A) یا P(B) نشان داده می شود.

در نظریه احتمال آنها متمایز می شوند:

• قابل اعتمادتضمین شده است که رویداد در نتیجه تجربه رخ دهد P(Ω) = 1.
• غیر ممکنرویداد هرگز نمی تواند رخ دهد P(Ø) = 0;
• تصادفییک رویداد بین قابل اعتماد و غیرممکن قرار دارد، یعنی احتمال وقوع آن ممکن است، اما تضمین نشده است (احتمال یک رویداد تصادفی همیشه در محدوده 0≤Р(А)≤ 1 است).

روابط بین رویدادها

هر دو یک و مجموع رویدادهای A+B در نظر گرفته می شوند، زمانی که رویداد زمانی شمارش می شود که حداقل یکی از اجزای A یا B، یا هر دو، A و B برآورده شده باشد.

در رابطه با یکدیگر، رویدادها می توانند به شرح زیر باشند:

• به همان اندازه ممکن است.
• سازگار.
• ناسازگار.
• مخالف (متقابل انحصاری).
• وابسته.

اگر دو رویداد می توانند با احتمال مساوی اتفاق بیفتند، پس آنها به همان اندازه ممکن است.

اگر وقوع رویداد A احتمال وقوع رویداد B را به صفر نرساند، آنها سازگار.

اگر رویدادهای A و B هرگز به طور همزمان در یک تجربه اتفاق نیفتند، آن‌ها نامیده می‌شوند ناسازگار. بازی شیر یا خط سکه - مثال خوب: ظاهر سرها خود به خود عدم ظهور سرها است.

احتمال مجموع چنین رویدادهای ناسازگاراز مجموع احتمالات هر رویداد تشکیل شده است:

P(A+B)=P(A)+P(B)

اگر وقوع یک واقعه، وقوع حادثه دیگر را غیرممکن کند، آنها را متضاد می گویند. سپس یکی از آنها به عنوان A تعیین می شود و دیگری - Ā (به عنوان "نه A" خوانده می شود). وقوع رویداد A به این معنی است که Ā اتفاق نیفتاده است. این دو رویداد یک گروه کامل با مجموع احتمالات برابر با 1 را تشکیل می دهند.

رویدادهای وابسته دارند نفوذ متقابل، کاهش یا افزایش احتمال یکدیگر.

روابط بین رویدادها مثال ها

با استفاده از مثال ها، درک اصول نظریه احتمال و ترکیب رویدادها بسیار آسان تر است.

آزمایشی که انجام خواهد شد شامل بیرون آوردن توپ از جعبه است و نتیجه هر آزمایش یک نتیجه ابتدایی است.

یک رویداد یکی از نتایج احتمالی یک آزمایش است - یک توپ قرمز، یک توپ آبی، یک توپ با شماره شش و غیره.

تست شماره 1. 6 توپ درگیر است که سه تای آنها آبی با اعداد فرد و سه توپ دیگر قرمز با اعداد زوج هستند.

تست شماره 2. 6 توپ درگیر از رنگ آبیبا اعداد از یک تا شش

بر اساس این مثال می‌توان ترکیب‌ها را نام برد:

• رویداد قابل اعتمادبه اسپانیایی شماره 2 رویداد "به دست آوردن توپ آبی" قابل اعتماد است، زیرا احتمال وقوع آن برابر با 1 است، زیرا همه توپ ها آبی هستند و امکان از دست دادن وجود ندارد. در حالی که رویداد "به دست آوردن توپ با عدد 1" تصادفی است.
• اتفاق غیر ممکنبه اسپانیایی شماره 1 با توپ های آبی و قرمز، رویداد "به دست آوردن توپ بنفش" غیرممکن است، زیرا احتمال وقوع آن 0 است.
• رویدادهای به همان اندازه ممکن است.به اسپانیایی شماره 1، رویدادهای «با عدد 2 توپ بگیر» و «با شماره 3 توپ بگیر» به یک اندازه امکان پذیر است و رویدادهای «توپ را با عدد زوج بگیر» و «توپ را با شماره 2 بگیر» ” احتمالات مختلفی دارند.
• رویدادهای سازگارگرفتن شش دو بار متوالی در حین پرتاب قالب یک رویداد سازگار است.
• رویدادهای ناسازگاردر همان اسپانیایی شماره 1، رویدادهای "به دست آوردن یک توپ قرمز" و "به دست آوردن یک توپ با عدد فرد" در یک تجربه قابل ترکیب نیستند.
• اتفاقات متضاداکثر نمونه درخشاناین پرتاب سکه است که در آن سرهای رسم معادل نکشیدن دم است و مجموع احتمالات آنها همیشه 1 است (گروه کامل).
• رویدادهای وابسته. بنابراین، در اسپانیایی شماره 1، شما می توانید هدف را برای کشیدن توپ قرمز دو بار متوالی تعیین کنید. اینکه بار اول بازیابی شود یا نه بر احتمال بازیابی بار دوم تأثیر می گذارد.

مشاهده می شود که رویداد اول به طور قابل توجهی بر احتمال دوم (40٪ و 60٪) تأثیر می گذارد.

فرمول احتمال رویداد

انتقال از فال به داده های دقیق از طریق ترجمه موضوع به یک صفحه ریاضی رخ می دهد. یعنی قضاوت در مورد یک رویداد تصادفی مانند "احتمال زیاد" یا "احتمال حداقل" را می توان به داده های عددی خاصی ترجمه کرد. در حال حاضر ارزیابی، مقایسه و وارد کردن چنین مطالبی در محاسبات پیچیده تر مجاز است.

از نقطه نظر محاسباتی، تعیین احتمال یک رویداد، نسبت تعداد پیامدهای مثبت اولیه به تعداد تمام نتایج ممکن تجربه در مورد یک رویداد خاص است. احتمال با P(A) نشان داده می شود، جایی که P مخفف کلمه "احتمال" است که از فرانسوی به "احتمال" ترجمه شده است.

بنابراین، فرمول احتمال یک رویداد:

جایی که m مقدار است نتایج مطلوببرای رویداد A، n مجموع تمام نتایج ممکن برای این تجربه است. در این حالت، احتمال یک رویداد همیشه بین 0 و 1 قرار دارد:

0 ≤ P(A)≤ 1.

محاسبه احتمال وقوع یک رویداد. مثال

بیایید اسپانیایی بگیریم. شماره 1 با توپ که قبلا توضیح داده شد: 3 توپ آبی با اعداد 1/3/5 و 3 توپ قرمز با اعداد 2/4/6.

بر اساس این آزمون، چندین مشکل مختلف را می توان در نظر گرفت:

• الف - افتادن توپ قرمز 3 توپ قرمز وجود دارد و در کل 6 گزینه وجود دارد ساده ترین مثال، که در آن احتمال رخداد برابر است با P(A)=3/6=0.5.
• ب - چرخاندن عدد زوج. 3 عدد زوج وجود دارد (2،4،6) و تعداد کل گزینه های عددی ممکن 6 است. احتمال این رویداد P(B)=3/6=0.5 است.
• ج - چرخاندن عددی بزرگتر از 2. 4 گزینه از این قبیل (3،4،5،6) از تعداد کلنتایج ممکن 6. احتمال رویداد C برابر است با P(C)=4/6=0.67.

همانطور که از محاسبات مشاهده می شود، رویداد C دارد احتمال زیاداز آنجایی که تعداد پیامدهای مثبت احتمالی بیشتر از A و B است.

رویدادهای ناسازگار

چنین رویدادهایی نمی توانند به طور همزمان در یک تجربه ظاهر شوند. همانطور که در اسپانیایی شماره 1 دریافت همزمان توپ آبی و قرمز غیرممکن است. یعنی می توانید یا یک توپ آبی یا قرمز بگیرید. به همین ترتیب، یک عدد زوج و یک عدد فرد نمی توانند همزمان در یک تاس ظاهر شوند.

احتمال دو رویداد به عنوان احتمال مجموع یا حاصل ضرب آنها در نظر گرفته می شود. مجموع چنین رویدادهایی A+B رویدادی در نظر گرفته می شود که از وقوع رویداد A یا B تشکیل شده است و حاصلضرب آنها AB وقوع هر دو است. به عنوان مثال، ظاهر شدن دو شش در یک بار روی صورت دو تاس در یک پرتاب.

مجموع چند رویداد رویدادی است که وقوع حداقل یکی از آنها را فرض می کند. تولید چندین رویداد، اتفاق مشترک همه آنهاست.

در نظریه احتمال، به عنوان یک قاعده، استفاده از ربط "و" نشان دهنده یک جمع است، و حرف ربط "یا" - ضرب. فرمول های همراه با مثال به شما در درک منطق جمع و ضرب در نظریه احتمال کمک می کنند.

احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار

اگر احتمال در نظر گرفته شود رویدادهای مشترک، پس احتمال مجموع رویدادها برابر است با جمع احتمالات آنها:

P(A+B)=P(A)+P(B)

به عنوان مثال: بیایید احتمال آن را در اسپانیایی محاسبه کنیم. شماره 1 با توپ های آبی و قرمز، عددی بین 1 تا 4 ظاهر می شود. بنابراین، در چنین آزمایشی تنها 6 توپ یا 6 توپ از همه نتایج ممکن وجود دارد. اعدادی که شرط را برآورده می کنند 2 و 3 هستند. احتمال به دست آوردن 2 1/6 است، احتمال به دست آوردن 3 نیز 1/6 است. احتمال بدست آوردن عددی بین 1 و 4 برابر است با:

احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل 1 است.

بنابراین، اگر در آزمایشی با یک مکعب، احتمال ظاهر شدن همه اعداد را جمع کنیم، نتیجه یک خواهد شد.

این همچنین برای رویدادهای متضاد صادق است، به عنوان مثال در آزمایش با یک سکه، که در آن یک روی آن رویداد A است و طرف دیگر رویداد مخالف Ā است، همانطور که مشخص است.

P(A) + P(Ā) = 1

احتمال وقوع رویدادهای ناسازگار

ضرب احتمال هنگام در نظر گرفتن وقوع دو یا چند مورد استفاده می شود رویدادهای ناسازگاردر یک مشاهده احتمال اینکه رویدادهای A و B به طور همزمان در آن ظاهر شوند برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها یا:

P(A*B)=P(A)*P(B)

به عنوان مثال، این احتمال که در اسپانیایی شماره 1، در نتیجه دو تلاش، یک توپ آبی دو بار، برابر با

یعنی احتمال وقوع یک رویداد زمانی که در نتیجه دو تلاش برای استخراج توپ، فقط توپ های آبی استخراج می شوند 25 درصد است. انجام بسیار آسان است آزمایش های عملیاین کار را انجام دهید و ببینید آیا این واقعاً درست است یا خیر.

رویدادهای مشترک

وقایع زمانی مشترک تلقی می شوند که وقوع یکی از آنها با وقوع دیگری همزمان باشد. با وجود مشترک بودن آنها، احتمال وقوع رویدادهای مستقل در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، پرتاب دو تاس زمانی می تواند نتیجه دهد که عدد 6 روی هر دوی آنها ظاهر شود، اگرچه رویدادها همزمان بوده و ظاهر شده اند، اما آنها مستقل از یکدیگر هستند - فقط یک شش می تواند بیفتد، تاس دوم ندارد. بر آن تأثیر بگذارد.

احتمال اتفاقات مشترک به عنوان احتمال مجموع آنها در نظر گرفته می شود.

احتمال مجموع رویدادهای مشترک. مثال

احتمال مجموع رویدادهای A و B که نسبت به یکدیگر مشترک هستند برابر است با مجموع احتمالات رویداد منهای احتمال وقوع آنها (یعنی وقوع مشترک آنها):

مفصل R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

فرض کنید احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.4 باشد. سپس رویداد A در اولین تلاش، B - در تلاش دوم به هدف می زند. این رویدادها مشترک هستند، زیرا ممکن است با شلیک اول و دوم به هدف ضربه بزنید. اما رویدادها وابسته نیستند. احتمال اصابت به هدف با دو شلیک (حداقل با یک شلیک) چقدر است؟ طبق فرمول:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

پاسخ به این سوال این است: "احتمال اصابت به هدف با دو شلیک 64٪ است."

این فرمول برای احتمال یک رویداد را می توان برای رویدادهای ناسازگار نیز اعمال کرد، جایی که احتمال وقوع مشترک یک رویداد P(AB) = 0. این بدان معنی است که احتمال مجموع رویدادهای ناسازگار را می توان یک مورد خاص در نظر گرفت. از فرمول پیشنهادی

هندسه احتمال برای وضوح

جالب است که احتمال مجموع رویدادهای مشترک را می توان به صورت دو ناحیه A و B نشان داد که با یکدیگر تلاقی می کنند. همانطور که از تصویر مشخص است، مساحت اتحاد آنها برابر است مساحت کلمنهای مساحت تقاطع آنها. این توضیح هندسی فرمول به ظاهر غیرمنطقی را قابل درک تر می کند. توجه داشته باشید که راه حل های هندسی- در نظریه احتمال غیر معمول نیست.

تعیین احتمال مجموع بسیاری از (بیش از دو) رویدادهای مشترک کاملاً دست و پا گیر است. برای محاسبه آن باید از فرمول هایی که برای این موارد ارائه شده است استفاده کنید.

رویدادهای وابسته

رویدادها در صورتی وابسته نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها (الف) بر احتمال وقوع دیگری (B) تأثیر بگذارد. علاوه بر این، تأثیر هر دو وقوع رویداد A و عدم وقوع آن در نظر گرفته شده است. اگرچه رویدادها بنا به تعریف وابسته نامیده می شوند، اما تنها یکی از آنها وابسته (B) است. احتمال معمولی به صورت P(B) یا احتمال رویدادهای مستقل نشان داده می شد. در مورد رویدادهای وابسته، مفهوم جدیدی معرفی می شود - احتمال شرطی P A (B) که احتمال یک رویداد وابسته B است که مشروط به وقوع رویداد A (فرضیه) است که به آن بستگی دارد.

اما رویداد A نیز تصادفی است، بنابراین احتمالی نیز دارد که نیاز دارد و می تواند در محاسبات انجام شده لحاظ شود. مثال زیر نحوه کار با رویدادهای وابسته و یک فرضیه را نشان می دهد.

نمونه ای از محاسبه احتمال رویدادهای وابسته

یک مثال خوب برای محاسبه رویدادهای وابسته یک دسته استاندارد از کارت است.

با استفاده از یک دسته 36 کارتی به عنوان مثال، اجازه دهید به رویدادهای وابسته نگاه کنیم. ما باید احتمال اینکه کارت دومی که از روی عرشه کشیده می شود از الماس باشد را تعیین کنیم اگر اولین کارت کشیده شده به صورت زیر باشد:

1. بوبنووایا.
2. کت و شلوار دیگه

بدیهی است که احتمال رویداد دوم B به A اول بستگی دارد. بنابراین، اگر گزینه اول درست باشد، یعنی 1 کارت (35) و 1 الماس (8) کمتر در عرشه وجود داشته باشد، احتمال رویداد B وجود دارد:

R A (B) =8/35=0.23

اگر گزینه دوم درست باشد، عرشه اکنون دارای 35 کارت است شماره کاملتنبور (9)، سپس احتمال رویداد بعدیکه در:

R A (B) =9/35=0.26.

مشاهده می شود که اگر رویداد A مشروط به الماس بودن کارت اول باشد، احتمال رویداد B کاهش می یابد و بالعکس.

ضرب رویدادهای وابسته

با هدایت فصل قبل، رویداد اول (الف) را به عنوان یک واقعیت می پذیریم، اما در اصل، ماهیت تصادفی دارد. احتمال این اتفاق یعنی کشیدن الماس از روی دسته کارت برابر است با:

P(A) = 9/36 = 1/4

از آنجایی که تئوری به خودی خود وجود ندارد، بلکه هدف آن خدمت رسانی است اهداف عملی، پس منصفانه است که توجه داشته باشیم که آنچه اغلب مورد نیاز است احتمال تولید رویدادهای وابسته است.

با توجه به قضیه حاصل ضرب احتمالات رویدادهای وابسته، احتمال وقوع رویدادهای A و B به طور مشترک وابسته برابر با احتمال یک رویداد A است که در احتمال شرطی رویداد B (وابسته به A) ضرب می شود:

P(AB) = P(A) *P A(B)

سپس، در مثال عرشه، احتمال کشیدن دو کارت با لباس الماس برابر است:

9/36*8/35=0.0571 یا 5.7%

و احتمال استخراج نه الماس و سپس الماس برابر است با:

27/36*9/35=0.19 یا 19%

مشاهده می شود که احتمال وقوع رویداد B بیشتر است به شرطی که اولین کارتی که کشیده می شود از کت و شلواری غیر از الماس باشد. این نتیجه کاملا منطقی و قابل درک است.

احتمال کل یک رویداد

هنگامی که یک مسئله با احتمالات شرطی چند وجهی می شود، نمی توان آن را با استفاده از روش های مرسوم محاسبه کرد. هنگامی که بیش از دو فرضیه وجود دارد، یعنی A1، A2،…، A n، .. یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهد:

• P(A i)>0، i=1،2،…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

بنابراین، فرمول احتمال کل برای رویداد B در گروه کاملرویدادهای تصادفی A1,A2,…,و n برابر است با:

نگاهی به آینده

احتمال وقوع یک رویداد تصادفی در بسیاری از حوزه‌های علم بسیار ضروری است: اقتصاد سنجی، آمار، فیزیک و غیره. از آنجایی که برخی از فرآیندها را نمی‌توان به‌طور قطعی توصیف کرد، زیرا خود آنها ماهیت احتمالی دارند، ضروری است. روش های خاصکار تئوری احتمال رویداد را می توان در هر زمینه فناوری به عنوان راهی برای تعیین احتمال خطا یا نقص استفاده کرد.

می توان گفت که با شناخت احتمال، به نوعی گامی نظری به سوی آینده برمی داریم و از منشور فرمول ها به آن نگاه می کنیم.

• احتمال - درجه (اندازه گیری نسبی، کمی سازی) احتمال وقوع یک رویداد. زمانی که دلایل وقوع برخی رویدادهای احتمالی بیشتر از آن باشد دلایل مخالف، سپس این رویداد محتمل، در نامیده می شود در غیر این صورت- بعید یا باورنکردنی غلبه زمینه های مثبت بر موارد منفی و بالعکس ممکن است وجود داشته باشد درجات مختلف، که در نتیجه احتمال (و عدم احتمال) کمتر یا بیشتر می شود. بنابراین، احتمال اغلب در سطح کیفی ارزیابی می شود، به ویژه در مواردی که ارزیابی کمی کم و بیش دقیق غیرممکن یا بسیار دشوار است. درجه بندی های مختلفی از "سطوح" احتمال ممکن است.

  مطالعه احتمال با نکته ریاضیبینش یک رشته خاص را تشکیل می دهد - نظریه احتمال. در نظریه احتمالات و آمار ریاضیمفهوم احتمال به عنوان رسمیت یافته است مشخصه عددیرویدادها - یک اندازه گیری احتمال (یا مقدار آن) - یک اندازه گیری در مجموعه ای از رویدادها (زیر مجموعه های مجموعه ای از رویدادهای ابتدایی)، با گرفتن مقادیر از

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  معنی

  (\displaystyle 1)

  سازگار رویداد قابل اعتماد. یک رویداد غیرممکن دارای احتمال 0 است (عموماً برعکس همیشه صادق نیست). اگر احتمال وقوع یک رویداد باشد

  (\displaystyle p)

  سپس احتمال عدم وقوع آن برابر است با

  (\displaystyle 1-p)

  به طور خاص، احتمال

  (\displaystyle 1/2)

  یعنی احتمال مساوی وقوع و عدم وقوع یک رویداد.

  تعریف کلاسیک احتمال مبتنی بر مفهوم احتمال برابر نتایج است. احتمال، نسبت تعداد پیامدهای مطلوب برای یک رویداد معین به تعداد کل نتایج ممکن است. به عنوان مثال، اگر فرض شود که فقط این دو احتمال رخ می دهند و آنها به یک اندازه ممکن هستند، احتمال به دست آوردن سر یا دم در یک پرتاب تصادفی سکه 1/2 است. این "تعریف" کلاسیک احتمال را می توان به تعداد نامتناهی از احتمال تعمیم داد مقادیر ممکن- به عنوان مثال، اگر رویدادی با احتمال مساوی در هر نقطه (تعداد نقاط نامتناهی است) از یک منطقه محدود از فضا (صفحه) رخ دهد، احتمال وقوع آن در بخشی از این فضا وجود دارد. منطقه معتبربرابر با نسبت حجم (مساحت) این قسمت به حجم (مساحت) منطقه همه نقاط ممکن است.

  "تعریف" تجربی احتمال با فراوانی یک رویداد مرتبط است، بر اساس این واقعیت که با تعداد کافی آزمایش‌ها، فرکانس باید به درجه عینی امکان این رویداد تمایل داشته باشد. که در ارائه مدرننظریه احتمال، احتمال به صورت بدیهی تعریف می شود مورد خاصنظریه انتزاعی اندازه گیری مجموعه با این اوصاف، ارتباط دادنبین معیار انتزاعی و احتمال بیانگر درجه امکان وقوع یک رویداد دقیقاً فراوانی مشاهده آن است.

  توصیف احتمالی برخی پدیده ها در علم مدرن، به ویژه در اقتصاد سنجی، گسترده شده است. فیزیک آماریسیستم های ماکروسکوپی (ترمودینامیکی)، که در آن حتی در مورد توصیف قطعی کلاسیک حرکت ذرات، توصیف قطعی کل سیستم ذرات عملاً ممکن یا مناسب به نظر نمی رسد. که در فیزیک کوانتومفرآیندهای توصیف شده خود ماهیت احتمالی دارند.