Wie hoch ist der Wahrscheinlichkeitsprozentsatz? Grundlagen der Spielbalance: Zufälligkeit und die Wahrscheinlichkeit des Eintretens verschiedener Ereignisse. Beispiellösung. Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse
Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
1.3.1. Reihenfolge unabhängiger Tests (Bernoulli-Schaltung)
Nehmen wir an, dass ein Experiment wiederholt unter denselben Bedingungen durchgeführt werden kann. Lassen Sie diese Erfahrung machen N Zeiten, d. h. eine Folge von N Tests.
Definition. Folge N Tests werden aufgerufen voneinander unabhängig , wenn ein Ereignis im Zusammenhang mit einem bestimmten Test unabhängig von Ereignissen im Zusammenhang mit anderen Tests ist.
Nehmen wir an, dass irgendein Ereignis A wird wahrscheinlich passieren P als Ergebnis eines Tests oder wahrscheinlich nicht passieren wird Q= 1- P.
Definition . Eine Reihe von N Tests bilden ein Bernoulli-Schema, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
Folge N Tests sind voneinander unabhängig,
2) Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Aändert sich nicht von Versuch zu Versuch und hängt nicht vom Ergebnis anderer Versuche ab.
Ereignis A wird als „Erfolg“ des Tests bezeichnet, das gegenteilige Ereignis als „Misserfolg“. Betrachten Sie das Ereignis
=( in N Tests sind genau passiert M"Erfolg").
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses gilt die Bernoulli-Formel
P(
)
=
, M
= 1, 2, …, N
, (1.6)
Wo 
- Anzahl der Kombinationen von N Elemente von M
:
=
=
.
Beispiel 1.16. Der Würfel wird dreimal geworfen. Finden:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass 6 Punkte zweimal vorkommen;
b) die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Sechser nicht mehr als doppelt so hoch ist.
Lösung . Als „Erfolg“ des Tests betrachten wir das Erscheinen der Seite mit dem Bild von 6 Punkten auf dem Würfel.
a) Gesamtzahl der Tests – N=3, Anzahl der „Erfolge“ – M
= 2. Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ - P=
,
und die Wahrscheinlichkeit eines „Misserfolgs“ beträgt Q= 1 - =. Dann ist nach der Bernoulli-Formel die Wahrscheinlichkeit, dass infolge eines dreimaligen Würfelns das Doppelte der Seite mit sechs Punkten gleich ist
.
b) Bezeichnen wir mit A ein Ereignis, das bedeutet, dass eine Seite mit einer Punktzahl von 6 nicht mehr als zweimal auftritt. Dann kann das Ereignis dargestellt werden als die Summe von drei Unverträglichkeiten Veranstaltungen A=
,
Wo IN 3 0 – ein Ereignis, bei dem der interessierende Rand nie erscheint,
IN 3 1 - Ereignis, bei dem die interessierende Kante einmal erscheint,
IN 3 2 - Ereignis, bei dem die interessierende Kante zweimal erscheint.
Mit der Bernoulli-Formel (1.6) finden wir
P(A)
= p (
)
=
P(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Die bedingte Wahrscheinlichkeit spiegelt den Einfluss eines Ereignisses auf die Wahrscheinlichkeit eines anderen wider. Auch die Änderung der Bedingungen, unter denen das Experiment durchgeführt wird, wirkt sich aus
über die Eintrittswahrscheinlichkeit des interessierenden Ereignisses.
Definition. Lassen A Und B– einige Ereignisse und Wahrscheinlichkeit P(B)> 0.
Bedingte Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen A vorausgesetzt, dass das „Ereignis Bbereits„ist passiert“ ist das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieser Ereignisse zur Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das früher eingetreten ist als das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit ermittelt werden soll. Bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnet als P(A B). Dann per Definition
P
(A
B)
=
.
(1.7)
Beispiel 1.17. Es werden zwei Würfel geworfen. Der Raum elementarer Ereignisse besteht aus geordneten Zahlenpaaren
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
Im Beispiel 1.16 wurde festgestellt, dass das Ereignis A=(Anzahl der Punkte des ersten Würfels > 4) und Ereignis C=(Summe der Punkte ist 8) abhängig. Stellen wir eine Beziehung her
.
Dieser Zusammenhang kann wie folgt interpretiert werden. Nehmen wir an, dass das Ergebnis des ersten Wurfs bekanntermaßen darin besteht, dass die Augenzahl des ersten Würfels > 4 ist. Daraus folgt, dass das Werfen des zweiten Würfels zu einem der 12 Ergebnisse führen kann, aus denen sich das Ereignis zusammensetzt A:
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
Bei dieser Veranstaltung C nur zwei davon können mit (5,3) (6,2) übereinstimmen. In diesem Fall die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C
wird gleich sein 
. Also Informationen über den Eintritt eines Ereignisses A beeinflusste die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses C.
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse eintreten
Multiplikationssatz
Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse eintretenA 1 A 2 A N wird durch die Formel bestimmt
P(A 1 A 2 A N)= S(A 1)P(A 2 A 1)) P(A N A 1 A 2 A N- 1). (1.8)
Für das Produkt zweier Ereignisse folgt daraus
P(AB)= S(A B)p{B)= S(B A)P{A). (1.9)
Beispiel 1.18. Bei einer Charge von 25 Produkten sind 5 Produkte defekt. Es werden nacheinander 3 Gegenstände zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle ausgewählten Produkte fehlerhaft sind.
Lösung. Bezeichnen wir die Ereignisse:
A 1 = (erstes Produkt ist defekt),
A 2 = (zweites Produkt ist defekt),
A 3 = (drittes Produkt ist defekt),
A = (alle Produkte sind defekt).
Ereignis A ist das Produkt von drei Ereignissen A = A 1 A 2 A 3 .
Aus dem Multiplikationssatz (1.6) wir bekommen
P(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1) P(A 2 A 1))P(A 3 A 1 A 2).
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit ermöglicht es uns, etwas zu finden P(A 1) ist das Verhältnis der Anzahl fehlerhafter Produkte zur Gesamtzahl der Produkte:
P(A 1)=
;
P(A 2) – Das das Verhältnis der Anzahl der nach der Entfernung eines Produkts verbleibenden fehlerhaften Produkte zur Gesamtzahl der verbleibenden Produkte:
P(A 2
A 1))=
;
P(A 3) – das ist das Verhältnis der Anzahl der nach der Entfernung von zwei fehlerhaften Produkten verbleibenden fehlerhaften Produkte zur Gesamtzahl der verbleibenden Produkte:
P(A 3
A 1 A 2)=
.
Dann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird gleich sein
P(A)
=
=
.
Es ist klar, dass jedes Ereignis einen unterschiedlichen Grad an Wahrscheinlichkeit seines Auftretens (seiner Umsetzung) hat. Um Ereignisse entsprechend dem Grad ihrer Möglichkeit quantitativ miteinander vergleichen zu können, ist es offensichtlich notwendig, jedes Ereignis zu assoziieren bestimmte Nummer, die umso größer ist, je wahrscheinlicher das Ereignis ist. Diese Zahl wird als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses– ist ein numerisches Maß für den Grad der objektiven Möglichkeit des Eintretens dieses Ereignisses.
Betrachten Sie ein stochastisches Experiment und ein in diesem Experiment beobachtetes Zufallsereignis A. Wiederholen wir dieses Experiment n-mal und sei m(A) die Anzahl der Experimente, in denen Ereignis A auftrat.
Beziehung (1.1)
angerufen relative Frequenz Ereignisse A in der Reihe der durchgeführten Experimente.
Die Gültigkeit der Eigenschaften lässt sich leicht überprüfen:
wenn A und B inkonsistent sind (AB= ), dann ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Relative Frequenz wird erst nach einer Reihe von Experimenten ermittelt und kann im Allgemeinen von Serie zu Serie variieren. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass sich die relative Häufigkeit in vielen Fällen mit zunehmender Anzahl der Experimente einem bestimmten Wert annähert. Diese Tatsache der relativen Frequenzstabilität wurde wiederholt bestätigt und kann als experimentell nachgewiesen gelten.
Beispiel 1.19.. Wenn Sie eine Münze werfen, kann niemand vorhersagen, auf welcher Seite sie oben landen wird. Aber wenn man zwei Tonnen Münzen wirft, dann wird jeder sagen, dass etwa eine Tonne mit dem Wappen herunterfällt, das heißt, die relative Häufigkeit des Herausfallens des Wappens beträgt etwa 0,5.
Wenn mit zunehmender Anzahl von Experimenten die relative Häufigkeit des Ereignisses ν(A) zu einer bestimmten festen Zahl tendiert, dann spricht man davon Ereignis A ist statistisch stabil, und diese Zahl wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt.
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A Es wird eine feste Zahl P(A) aufgerufen, zu der die relative Häufigkeit ν(A) dieses Ereignisses mit zunehmender Anzahl von Experimenten tendiert, d. h. 
Diese Definition heißt statistische Definition Wahrscheinlichkeiten .
Betrachten wir ein bestimmtes stochastisches Experiment und lassen Sie den Raum seiner Elementarereignisse aus einer endlichen oder unendlichen (aber abzählbaren) Menge von Elementarereignissen ω 1, ω 2, …, ω i, … bestehen. Nehmen wir an, dass jedem Elementarereignis ω i eine bestimmte Zahl – р i – zugewiesen wird, die den Grad der Möglichkeit des Auftretens eines bestimmten Elementarereignisses charakterisiert und die folgenden Eigenschaften erfüllt:
Diese Zahl p i heißt Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignissesωi.
Sei nun A ein in diesem Experiment beobachtetes Zufallsereignis und entspreche einer bestimmten Menge
In dieser Einstellung Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Nennen Sie die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen zugunsten von A(im entsprechenden Set A enthalten):
(1.4)
Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit hat die gleichen Eigenschaften wie die relative Häufigkeit, nämlich:
Und wenn AB = (A und B sind inkompatibel),
dann P(A+B) = P(A) + P(B)
Tatsächlich gilt nach (1.4)
Bei der letzten Beziehung machten wir uns die Tatsache zunutze, dass kein einzelnes Elementarereignis gleichzeitig zwei inkompatible Ereignisse begünstigen kann.
Wir weisen insbesondere darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie keine Methoden zur Bestimmung von p i vorgibt; sie müssen aus praktischen Gründen gesucht oder aus einem entsprechenden statistischen Experiment gewonnen werden.
Betrachten Sie als Beispiel klassisches Schema Wahrscheinlichkeitstheorie. Betrachten Sie dazu ein stochastisches Experiment, dessen Raum elementarer Ereignisse aus einer endlichen (n) Anzahl von Elementen besteht. Nehmen wir zusätzlich an, dass alle diese Elementarereignisse gleichermaßen möglich sind, das heißt, die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse sind gleich p(ω i)=p i =p. Es folgt dem
Beispiel 1.20. Beim Werfen einer symmetrischen Münze ist es gleichermaßen möglich, Kopf und Zahl zu bekommen, ihre Wahrscheinlichkeiten betragen 0,5.
Beispiel 1.21. Beim Werfen eines symmetrischen Würfels sind alle Gesichter gleichermaßen möglich, ihre Wahrscheinlichkeiten betragen 1/6.
Nun sei Ereignis A durch m Elementarereignisse begünstigt, wie sie üblicherweise genannt werden Ergebnisse, die für Ereignis A günstig sind. Dann
Bekommen klassische Definition der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit P(A) von Ereignis A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse
Beispiel 1.22. Die Urne enthält m weiße Kugeln und n schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
Lösung. Die Gesamtzahl der Elementarereignisse beträgt m+n. Sie sind alle gleich wahrscheinlich. Günstiges Ereignis A, davon m. Somit, 
.
Aus der Wahrscheinlichkeitsdefinition ergeben sich folgende Eigenschaften:
Eigentum 1. Wahrscheinlichkeit zuverlässige Veranstaltung gleich eins.
Wenn das Ereignis tatsächlich zuverlässig ist, dann spricht jedes elementare Ergebnis des Tests für das Ereignis. In diesem Fall t=p, somit,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Eigentum 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.
Wenn ein Ereignis tatsächlich unmöglich ist, spricht keines der elementaren Ergebnisse des Tests für das Ereignis. In diesem Fall T= 0, also P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Eigentum 3.Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis Es gibt positive Zahl, eingeschlossen zwischen Null und Eins.
Tatsächlich wird ein zufälliges Ereignis nur von einigen befürwortet Gesamtzahl elementare Testergebnisse. Das heißt, 0 ≤ m ≤ n, was bedeutet, dass 0 ≤ m / n ≤ 1 ist, sodass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt ist doppelte Ungleichheit 0≤P(A) ≤1. (1.8)
Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit (1.5) und relativer Häufigkeit (1.1) kommen wir zu dem Schluss: Definition von Wahrscheinlichkeit erfordert keine Prüfung in der Wirklichkeit; Die Definition der relativen Häufigkeit setzt dies voraus Tests wurden tatsächlich durchgeführt. Mit anderen Worten, Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment und die relative Häufigkeit nach dem Experiment berechnet.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit erfordert jedoch vorherige Informationen über die Anzahl oder Wahrscheinlichkeiten günstiger Ereignisse diese Veranstaltung elementare Ergebnisse. Fehlen solche vorläufigen Informationen, werden zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit empirische Daten herangezogen, das heißt, die relative Häufigkeit des Ereignisses wird anhand der Ergebnisse eines stochastischen Experiments ermittelt.
Beispiel 1.23. Technische Kontrollabteilung entdeckt 3 nicht standardmäßige Teile in einer Charge von 80 zufällig ausgewählten Teilen. Relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile r(A)= 3/80.
Beispiel 1.24. Je nach Zweck.produziert 24 Schuss, und es wurden 19 Treffer verzeichnet. Relative Zieltrefferquote. r(A)=19/24.
Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft ist dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass dies der Fall war konstante Zahl kann als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert angenommen werden.
Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden detaillierter und präziser beschrieben. Lassen Sie uns nun die Eigenschaft der Stabilität anhand von Beispielen veranschaulichen.
Beispiel 1.25. Laut schwedischer Statistik wird die relative Häufigkeit der Geburten von Mädchen im Jahr 1935 pro Monat durch die folgenden Zahlen charakterisiert (die Zahlen sind in der Reihenfolge der Monate geordnet, beginnend mit Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Die relative Häufigkeit schwankt um die Zahl 0,481, was als angenommen werden kann ungefährer Wert Wahrscheinlichkeit, Mädchen zu bekommen.
Beachten Sie, dass statistische Daten verschiedene Länder ergeben ungefähr den gleichen relativen Frequenzwert.
Beispiel 1.26. Es wurden mehrfach Münzwurfexperimente durchgeführt, bei denen die Anzahl der Auftritte des „Wappens“ gezählt wurde. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt.
- Wahrscheinlichkeit - Grad (relatives Maß, Quantifizierung) die Möglichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Wenn die Gründe für das tatsächliche Eintreten eines möglichen Ereignisses überwiegen entgegengesetzte Gründe, dann heißt dieses Ereignis wahrscheinlich, in ansonsten- unwahrscheinlich oder unglaublich. Das Überwiegen positiver Gründe gegenüber negativen und umgekehrt kann darin liegen unterschiedliche Grade, wodurch die Wahrscheinlichkeit (und Unwahrscheinlichkeit) größer oder kleiner ist. Daher wird die Wahrscheinlichkeit häufig auf qualitativer Ebene bewertet, insbesondere in Fällen, in denen eine mehr oder weniger genaue quantitative Bewertung unmöglich oder äußerst schwierig ist. Es sind verschiedene Abstufungen der „Stufen“ der Wahrscheinlichkeit möglich.
Wahrscheinlichkeitsstudie mit mathematischer Punkt Vision stellt eine besondere Disziplin dar – die Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird formalisiert als numerisches Merkmal Ereignisse – ein Wahrscheinlichkeitsmaß (oder sein Wert) – ein Maß für eine Menge von Ereignissen (Teilmengen einer Menge von Elementarereignissen), das Werte annimmt
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Bedeutung
(\displaystyle 1)
Entspricht einem zuverlässigen Ereignis. Ein unmögliches Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 0 (das Gegenteil ist im Allgemeinen nicht immer der Fall). Wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses beträgt
(\displaystyle p)
Dann ist die Wahrscheinlichkeit seines Nichtauftretens gleich
(\displaystyle 1-p)
Insbesondere die Wahrscheinlichkeit
(\displaystyle 1/2)
Bedeutet die gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens und Nichteintretens eines Ereignisses.
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit basiert auf dem Konzept der gleichen Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl der für ein bestimmtes Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der gleichermaßen möglichen Ergebnisse. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, bei einem zufälligen Münzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen, 1/2, wenn davon ausgegangen wird, dass nur diese beiden Möglichkeiten auftreten und dass sie gleichermaßen möglich sind. Diese klassische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit kann auf den Fall unendlich vieler verallgemeinert werden mögliche Werte- Wenn beispielsweise ein Ereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit an jedem Punkt (die Anzahl der Punkte ist unendlich) eines begrenzten Raumbereichs (Ebene) eintreten kann, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Teil davon eintreten wird gültiger Bereich gleich dem Verhältnis des Volumens (Fläche) dieses Teils zum Volumen (Fläche) der Region aller möglichen Punkte.
Die empirische „Definition“ der Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses, basierend auf der Tatsache, dass mit ausreichend große Zahl Die Testhäufigkeit sollte sich am objektiven Grad der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses orientieren. IN moderne Präsentation Wahrscheinlichkeitstheorie, Wahrscheinlichkeit ist axiomatisch definiert als besonderer Fall abstrakte Theorie des Mengenmaßes. Dennoch, Verknüpfung Zwischen dem abstrakten Maß und der Wahrscheinlichkeit, die den Grad der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt, liegt genau die Häufigkeit seiner Beobachtung.
Die probabilistische Beschreibung bestimmter Phänomene ist erhalten breite Verwendung V moderne Wissenschaft, insbesondere in der Ökonometrie, statistische Physik makroskopische (thermodynamische) Systeme, bei denen selbst im Fall einer klassischen deterministischen Beschreibung der Bewegung von Teilchen eine deterministische Beschreibung des gesamten Teilchensystems praktisch nicht möglich oder angemessen erscheint. IN Quantenphysik Die beschriebenen Prozesse selbst sind probabilistischer Natur.
Erste Ebene
Wahrscheinlichkeitstheorie. Problemlösung (2019)
Was ist Wahrscheinlichkeit?
Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.
Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.
Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und hier stehst du Treppe, und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.
Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.
Aber was ist diese Chance?
Türen, die richtige Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch das erste Klingeln: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.
Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:
- Du hast angerufen 1 Tür
- Du hast angerufen 2 Tür
- Du hast angerufen 3 Tür
Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:
A. Hinter 1 Tür
B. Hinter 2 Tür
V. Hinter 3 Tür
Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn dies nicht der Fall ist.
Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.
A günstige Ergebnisse Gesamt . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .
Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Zahl mögliche Ereignisse.
Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, daher:
Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, also nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – gesamt Ergebnisse.
Die Wahrscheinlichkeit kann als Prozentsatz angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:
Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Weil Mathematiker anrufen verschiedene Aktionen(in unserem Land ist eine solche Aktion eine Türklingel) Experimente, dann wird das Ergebnis solcher Experimente normalerweise als Ergebnis bezeichnet.
Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.
Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber sie wurde für uns geöffnet Fremder. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?
Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.
Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:
1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür
Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):
a) Freund für 1 Tür
b) Freund für 2 Tür
Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:
Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.
Warum nicht?
Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.
Und sie werden abhängig genannt, weil sie Einfluss haben die folgenden Aktionen. Denn wenn nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür antwortete, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .
Aber wenn ja abhängige Ereignisse, dann muss es so sein unabhängig? Das stimmt, es kommt tatsächlich vor.
Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.
- Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Möglichkeiten (entweder Kopf oder Zahl, vernachlässigen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
- Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.
Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.
Es ist leicht, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:
- Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
- Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.
Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.
Beispiel 1.
Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?
Lösung:
Betrachten wir alles Möglichkeiten:
- Adler-Adler
- Kopf-Zahl
- Zahl-Köpfe
- Schwanz-Schwanz
Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:
Wenn die Bedingung lediglich darum bittet, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, sollte die Antwort im Formular angegeben werden Dezimal. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.
Antwort:
Beispiel 2.
In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Hülle verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.
Lösung:
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .
Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.
Wie viele positive Ergebnisse?
Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.
Antwort:
Beispiel 3.
In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
- Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
Lösung:
a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.
Die Wahrscheinlichkeit ist:
b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .
Antwort:
Gesamtwahrscheinlichkeit
| Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich (). |
Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?
Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen
Grüner Ball:
Roter oder grüner Ball:
Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.
Beispiel 4.
In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?
Lösung:
Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.
KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.
Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir als ungünstig erachten (wenn wir eine rote Markierung entfernen), beträgt .
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen NICHT roten Filzstift herauszuziehen, .
Antwort:
| Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt. |
Die Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse
Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.
Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?
Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir, wenn wir einmal eine Münze werfen, zweimal „Kopf“ sehen?
Wir haben bereits darüber nachgedacht - .
Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?
Insgesamt mögliche Optionen:
- Adler-Adler-Adler
- Kopf-Kopf-Zahl
- Kopf-Zahl-Kopf
- Kopf-Zahl-Zahl
- Zahl-Köpfe-Köpfe
- Zahl-Kopf-Zahl
- Zahl-Zahl-Köpfe
- Schwänze-Schwänze-Schwänze
Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (erste) passt zu uns.
Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.
Daher bemerkten sie zunächst die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge und bewiesen sie dann unabhängige Veranstaltungen jedes Mal verringert sie sich um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
Mit anderen Worten,
Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.
Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?
Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.
Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.
Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .
Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:
Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.
Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.
Also hör auf! Neue Definition.
Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:
- Adler-Adler-Adler
- Kopf-Kopf-Zahl
- Kopf-Zahl-Kopf
- Kopf-Zahl-Zahl
- Zahl-Köpfe-Köpfe
- Zahl-Kopf-Zahl
- Zahl-Zahl-Köpfe
- Schwänze-Schwänze-Schwänze
Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, vorgegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) bestimmen wollen inkompatible Ereignisse dann addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.
Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?
Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.
Die Gesamtoptionen passen zu uns.
Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:
Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.
Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, Verwirrung beim Multiplizieren und Addieren zu vermeiden:
Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?
Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:
Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel 5.
In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?
Lösung:
Was wird passieren? Wir müssen ziehen (rot ODER grün).
Nun ist es klar, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:
Antwort:
Beispiel 6.
Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 8 ergibt?
Lösung.
Wie können wir Punkte bekommen?
(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).
Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:
Antwort:
Ausbildung.
Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.
Aufgaben:
Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass zu erhalten, wenn man zwei Karten nimmt? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.
Antworten:
- In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
- Ereignisse sind abhängig, da nach dem Herausziehen der ersten Karte die Anzahl der Karten im Stapel abnahm (ebenso wie die Anzahl der „Bilder“). Zu Beginn sind insgesamt Buben, Damen, Könige und Asse im Deck, was die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ersten Karte ein „Bild“ zu ziehen:
Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits Karten im Stapel übrig sind, einschließlich Bildern. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:
Da uns die Situation interessiert, wenn wir ein „Bild“ UND ein „Bild“ vom Stapel nehmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
Antwort:
- Nachdem die erste Karte gezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel. Wir haben also zwei Möglichkeiten:
1) Die erste Karte ist ein Ass, die zweite ist ein Bube, eine Dame oder ein König
2) Wir ziehen mit der ersten Karte einen Buben, eine Dame oder einen König und mit der zweiten ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Stapel zu reduzieren!
Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU
Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.
Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).
Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.
Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).
Definition:
Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.
Gibt die Wahrscheinlichkeit an Lateinischer Buchstabe(anscheinend von englisches Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit).
Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Thema). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Beispiel mit Würfel Wahrscheinlichkeit.
Und in Prozent: .
Beispiele (entscheide selbst):
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu bekommen? gerade Zahl? Welches ist seltsam?
- In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?
Lösungen:
- Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit
Dasselbe gilt auch für tails: .
- Gesamtoptionen: (Wie viele Seiten hat der Würfel, so viele Verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen. - Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .
Gesamtwahrscheinlichkeit
Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).
Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.
Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.
Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.
Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.
Beispiel:
In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?
Lösung:
Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.
Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.
Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel
Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male „Kopf“ zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?
Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:
Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?
Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.
Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).
Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Allgemeine Regel angerufen Multiplikationsregel:
Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.
Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.
Mehr Beispiele:
- Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
- Die Münze wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
- Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?
Antworten:
- Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
- Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
- 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .
Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel
Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.
Beispiel.
In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?
Lösung .
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .
Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.
Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .
Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.
Probleme gemischter Art
Beispiel.
Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?
Lösung .
Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.
Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:
Sollte erscheinen (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf).
Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:
Versuch es selber:
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
- Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?
Lösungen:
- (Köpfe fielen und Schwänze fielen) oder (Schwänze fielen und Schwänze fielen): .
- Was sind die Möglichkeiten? Und. Dann:
Weggelassen (und) oder (und) oder (und): .
Ein anderes Beispiel:
Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?
Lösung:
Oh, wie ich die Optionen nicht durchgehen möchte ... Kopf-Zahl-Zahl, Adler-Kopf-Zahl, ... Aber das ist nicht nötig! Erinnern wir uns an die Gesamtwahrscheinlichkeit. Erinnerst du dich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird nie herausfallen? Es ist ganz einfach: Köpfe fliegen ständig, deshalb.
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.
Unabhängige Veranstaltungen
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.
Gesamtwahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.
Die Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse
Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses
Inkompatible Ereignisse
Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Es entsteht eine Reihe inkompatibler Ereignisse volle Gruppe Veranstaltungen.
Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.
Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, setzen wir mithilfe der Konjunktionen „AND“ oder „OR“ anstelle von „AND“ ein Multiplikationszeichen und anstelle von „OR“ ein Additionszeichen.
Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.
Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
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Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...
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Aber das ist nicht die Hauptsache.
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Kurze Theorie
Um Ereignisse quantitativ nach dem Grad der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu vergleichen, wird ein numerisches Maß eingeführt, das als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezeichnet wird. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine Zahl, die das Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ausdrückt.
Die Größen, die bestimmen, wie bedeutsam die objektiven Gründe für die Erwartung des Eintretens eines Ereignisses sind, werden durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses charakterisiert. Es muss betont werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine objektive Größe ist, die unabhängig vom Wissenden existiert und durch die Gesamtheit der Bedingungen bedingt ist, die zum Eintreten eines Ereignisses beitragen.
Die Erklärungen, die wir für das Konzept der Wahrscheinlichkeit gegeben haben, sind es nicht mathematische Definition, da sie diesen Begriff nicht quantitativ definieren. Es gibt mehrere Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses, die häufig zur Lösung spezifischer Probleme verwendet werden (klassisch, axiomatisch, statistisch usw.).
Klassische Definition der Ereigniswahrscheinlichkeit reduziert diesen Begriff auf den elementareren Begriff gleich möglicher Ereignisse, der keiner Definition mehr unterliegt und als intuitiv klar vorausgesetzt wird. Wenn es sich bei einem Würfel beispielsweise um einen homogenen Würfel handelt, ist der Verlust einer beliebigen Seite dieses Würfels ein ebenso mögliches Ereignis.
Ein zuverlässiges Ereignis sei in gleich mögliche Fälle unterteilt, deren Summe das Ereignis ergibt. Das heißt, die Fälle, in die es zerfällt, werden als günstig für das Ereignis bezeichnet, da das Erscheinen eines von ihnen das Eintreten sicherstellt.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch das Symbol angegeben.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der dafür günstigen Fälle aus der Gesamtzahl der eindeutig möglichen, gleichermaßen möglichen und inkompatiblen Fälle zur Anzahl, d.h.
Dies ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln, ist es daher erforderlich, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests eine Menge eindeutig möglicher, gleichermaßen möglicher und inkompatibler Fälle zu finden und deren Gesamtzahl n, die Anzahl der Fälle, für die m günstig ist, zu berechnen ein bestimmtes Ereignis und führen Sie dann die Berechnung mit der obigen Formel durch.
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Verhältnis Man nennt die Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse des Erlebnisses im Vergleich zur Gesamtzahl der Ergebnisse des Erlebnisses klassische Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis.
Es ergibt sich aus der Definition folgende Eigenschaften Wahrscheinlichkeiten:
Eigenschaft 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.
Eigenschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.
Eigenschaft 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen Null und Eins.
Eigenschaft 4. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins.
Eigenschaft 5. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des gegenteiligen Ereignisses wird auf die gleiche Weise bestimmt wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A.
Die Anzahl der Fälle, die das Eintreten eines gegenteiligen Ereignisses begünstigen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des entgegengesetzten Ereignisses gleich der Differenz zwischen Eins und der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A:
Wichtige Würde klassische Definition Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses besteht darin, dass mit ihrer Hilfe die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ohne Rückgriff auf Erfahrung, sondern auf der Grundlage logischer Überlegungen bestimmt werden kann.
Wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind, wird ein verlässliches Ereignis definitiv eintreten, aber ein unmögliches Ereignis wird definitiv nicht eintreten. Unter den Ereignissen, die eintreten können oder auch nicht, wenn eine Reihe von Bedingungen geschaffen wird, kann man mit dem Eintreten einiger mit gutem Grund rechnen, mit dem Eintreten anderer mit weniger Grund. Befinden sich beispielsweise mehr weiße als schwarze Kugeln in der Urne, dann hoffen Sie auf das Erscheinen von weiße Kugel wenn es zufällig aus einer Urne entnommen wird weitere Gründe als das Erscheinen einer schwarzen Kugel.
Beispiel einer Problemlösung
Beispiel 1
Eine Schachtel enthält 8 weiße, 4 schwarze und 7 rote Kugeln. Es werden zufällig 3 Bälle gezogen. Finden Sie Wahrscheinlichkeiten nächste Veranstaltungen: – es wird mindestens 1 roter Ball gezogen, – es sind mindestens 2 gleichfarbige Bälle vorhanden, – es sind mindestens 1 roter und 1 weißer Ball vorhanden.
Die Lösung des Problems
Wir ermitteln die Gesamtzahl der Testergebnisse als Anzahl der Kombinationen von 19 (8+4+7) Elementen von 3:
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ermitteln– mindestens 1 rote Kugel wird gezogen (1,2 oder 3 rote Kugeln)
Erforderliche Wahrscheinlichkeit:
Lassen Sie die Veranstaltung– es gibt mindestens 2 gleichfarbige Bälle (2 oder 3 weiße Bälle, 2 oder 3 schwarze Bälle und 2 oder 3 rote Bälle)
Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:
Erforderliche Wahrscheinlichkeit:
Lassen Sie die Veranstaltung– Es gibt mindestens eine rote und eine weiße Kugel
(1 rot, 1 weiß, 1 schwarz oder 1 rot, 2 weiß oder 2 rot, 1 weiß)
Anzahl der für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse:
Erforderliche Wahrscheinlichkeit:
Antwort: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068
Beispiel 2
Zwei geworfen Würfel. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte mindestens 5 beträgt.
Lösung
Lassen Sie die Veranstaltung eine Punktzahl von mindestens 5 haben
Verwenden wir die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:
Gesamtzahl der möglichen Testergebnisse
Anzahl der Versuche, die das interessierende Ereignis begünstigen
Am gefallenen Rand des ersten Würfel ein Punkt, zwei Punkte..., sechs Punkte können erscheinen. Ebenso sind beim zweiten Würfeln sechs Ergebnisse möglich. Jedes Ergebnis des ersten Würfels kann mit jedem Ergebnis des zweiten Würfels kombiniert werden. Somit ist die Gesamtzahl der möglichen Elementarprüfungsergebnisse gleich der Anzahl der Einstufungen mit Wiederholungen (Wahl mit Einstufungen von 2 Elementen aus einem Satz von Band 6):
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses ermitteln – die Summe der Punkte beträgt weniger als 5
Die folgenden Kombinationen verlorener Punkte begünstigen die Veranstaltung:
| № | 1. Knochen | 2. Knochen | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 4 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 |
Erklärt geometrische Definition Die Wahrscheinlichkeit und die Lösung sind weithin angegeben bekanntes Problemüber ein Treffen.
