Ich werde das Studium von Macht und irrationalen Funktionen lösen. Erforschung von Funktionen. Das müssen Sie wissen! Planimetrie. Berechnung von Längen und Flächen
In diesem Artikel werden Lösungsalgorithmen erläutert typische Aufgaben um maximale und minimale Punkte, größte und niedrigster Wert Funktionen. Beispiele für Problemlösungen werden bereitgestellt. Vorgeführt Trainingsmöglichkeiten, entsprechend Aufgabe Nr. 12. Beispiele entnommen aus offene Bank FIPI.
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Vorschau:
VC. Kuznetsova,
Mathematiklehrer an der staatlichen Haushaltsbildungseinrichtung „Schule Nr. 329“, Moskau,
Kandidat der Pädagogischen Wissenschaften
Bereiten Sie sich auf das Einheitliche Staatsexamen vor
Studentenführer
In diesem Artikel werden wir über Probleme sprechen, bei denen Funktionen berücksichtigt werden und deren Bedingungen Fragen zu ihrer Untersuchung enthalten.
Hierbei handelt es sich um eine ganze Gruppe von Problemen, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik enthalten sind. Normalerweise geht es darum, die maximalen (minimalen) Punkte zu finden oder den größten (kleinsten) Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu bestimmen.
Berücksichtigt:
Macht und irrationale Funktionen.
Rationale Funktionen.
Recherche von Werken und Privaten.
Logarithmische Funktionen.
Trigonometrische Funktionen.
Für erfolgreiche Lösung Für diese Probleme müssen Sie die Grenzwerttheorie, das Konzept einer Ableitung, die Eigenschaften der Ableitung zum Studium von Funktionsgraphen und ihre geometrische Bedeutung kennen. Die Eigenschaften der Ableitung sind notwendig, um das Verhalten einer Funktion bei Zunahme und Abnahme zu untersuchen.
Was müssen Sie sonst noch wissen, um Probleme beim Studium von Funktionen zu lösen: die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln. Das Grundwissen, zum Thema Derivate. Derivate Elementarfunktionen man muss es genau wissen.
Eigenschaften des Derivats
1. Die Ableitung nach zunehmenden Intervallen hat positives Vorzeichen(Beim Einsetzen eines Wertes aus einem Intervall in eine Ableitung erhält man eine positive Zahl).
Das heißt, wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt ein bestimmtes Intervall hat positiver Wert, dann wächst der Graph der Funktion über dieses Intervall.
2. Auf abnehmenden Intervallen hat die Ableitung negatives Zeichen(Beim Einsetzen eines Wertes aus dem Intervall in den Ableitungsausdruck wird eine negative Zahl erhalten).
Das heißt, wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt ein bestimmtes Intervall hat negative Bedeutung, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.
Probleme beim Finden der maximalen und minimalen Punkte
Algorithmus zum Finden maximaler (minimaler) Punkte einer Funktion:
1. Finden Sie die Ableitung der Funktion f'(x).
2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung (indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen). f’(x)=0 und lösen Sie die resultierende Gleichung). Wir finden auch Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert (insbesondere gilt dies für gebrochene rationale Funktionen).
3. Wir markieren die erhaltenen Werte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung dieser Intervalle, indem wir die Werte aus den Intervallen in den Ableitungsausdruck einsetzen.
Die Schlussfolgerung wird eine von zwei sein:
1. Der Maximalpunkt ist der Punkt, an dem die Ableitung ihren Wert von positiv nach negativ ändert.
2. Der Minimalpunkt ist der Punkt, an dem die Ableitung ihren Wert von negativ nach positiv ändert.
Probleme, den größten oder kleinsten Wert zu finden
Funktionen auf einem Intervall.
Bei einem anderen Problemtyp müssen Sie den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall ermitteln.
Algorithmus zum Ermitteln des größten (kleinsten) Werts einer Funktion:
1. Bestimmen Sie, ob es maximale (minimale) Punkte gibt. Dazu ermitteln wir die Ableitung f’(x) , dann löse f’(x)=0 .
2. Bestimmen Sie, ob die resultierenden Punkte zu gehören gegebenes Intervall und schreibe diejenigen auf, die innerhalb seiner Grenzen liegen.
3. Ersetzen Sie die Grenzen durch die ursprüngliche Funktion (nicht durch die Ableitung, sondern durch die in der Bedingung angegebene) gegebenes Intervall und Punkte (Maximum-Minimum), die innerhalb des Intervalls liegen.
4. Berechnen Sie die Funktionswerte.
5. Wir wählen aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) Wert aus, je nachdem, welche Frage in der Aufgabe gestellt wurde, und schreiben dann die Antwort auf.
Schauen wir uns Beispiele für die Lösung von Problemen an, bei denen es um das Studium von Funktionen geht.
Beispiel 1.
Finden maximale und minimale Punkte Funktionen
Lösung:
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen sie in der Abbildung dar
Funktionsverhalten:
+ _ +
Y -4 4
Max Min
Der erforderliche Maximalpunkt ist x= -4, der gewünschte Minimalpunkt ist x=4.
Antwort: −4; 4.
Beispiel 2.
Finden kleinster Wert Funktionen auf dem Intervall.
Lösung.
Finden wir die Ableitung gegebene Funktion:
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
_ +
J 0 3 4
Am Punkt x=3 hat die gegebene Funktion ein Minimum, das ihren kleinsten Wert auf dem gegebenen Segment darstellt. Finden wir diesen kleinsten Wert:
Antwort: −54.
Beispiel 3.
Finden Höchster Wert Funktionen auf dem Intervall.
Lösung.
Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung der Funktion und stellen wir das Verhalten der Funktion in der Abbildung dar:
_ +
Y -2 -1 0
Am Punkt x= -1 hat die gegebene Funktion ein Maximum, das ihren größten Wert auf einem gegebenen Segment darstellt. Finden wir diesen größten Wert:
Antwort: 6.
Wir laden Sie ein, Trainingsoptionen zum Finden maximaler und minimaler Punkte, der größten und kleinsten Leistungswerte und zu lösen Irrationale Funktionen. Die Aufgaben entsprechen der Aufgabe Nr. 12 und stammen aus der FIPI-Offenbank.
Schulung zum Thema
„Untersuchung von Macht und irrationalen Funktionen“
Aufgabe Nr. 12
Variante 1.
3. auf dem Segment
auf dem Segment
Option 2.
1. .
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion.
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment.
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment.
Option 3.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion.
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion.
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
auf dem Segment.
4,. Finden Sie den größten Wert der Funktion
auf dem Segment.
Option 4.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
auf dem Segment
Option 5.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion.
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
auf dem Segment
Option 6.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment
Option 7.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
Auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
Auf dem Segment
Option 8.
1. Finden Sie den Maximalpunkt der Funktion
2. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
Auf dem Segment
Option 9.
3. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment
Option 10.
auf dem Segment
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
Auf dem Segment
Option 11.
1. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
2. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
auf dem Segment
3. Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion
4. Finden Sie den größten Wert der Funktion
Auf dem Segment
Option 12.
auf dem Segment
4. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
auf dem Segment
Option 13.
1. Finden Sie den größten Wert der Funktion
Auf dem Segment
2. Finden Sie den größten Wert der Funktion
auf dem Segment
Bereiten Sie sich auf das Einheitliche Staatsexamen vor
„Der Teufel ist nicht so gruselig, wie er dargestellt wird“ – es gibt ein Sprichwort. Die Prüfungen stehen bald an. Einzel Staatsexamen- Dies ist nur eine Prüfung und eine Zusammenfassung der Schulergebnisse. Nicht das einfachste. Ihre Aufgabe besteht darin, in der verbleibenden Zeit bis zu diesem Test das Beste aus Ihren Anstrengungen herauszuholen und sich besser vorzubereiten. Versuchen Sie, so viele Probleme wie möglich zu lösen – so spüren Sie sowohl Ihr Wissen als auch die Zeit, die für die Erledigung der Aufgaben benötigt wird. Da die Prüfung zugeteilt ist bestimmte Zeit- das wird auch für Sie wichtig sein - Ihre Zeit klar zu steuern, um möglichst viel zu erledigen.
Für einen schlechten Schüler fliegt das Krokodil und die Prüfung beißt! Bring das Krokodil nicht zum Lachen und sei an der Spitze!
ELEKTRONISCHES PÄDAGOGISCHES UND METHODISCHES HANDBUCH: „Wir bereiten uns auf das Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen vor. PROBLEME MIT INTERESSE.“ (Gilmieva G.G.)
Präsentation für eine Unterrichtsstunde. Inhalt: theoretischer Teil Lösen von Problemen mit Prozentsätzen, Methoden zur Problemlösung. Es gibt einen Button „Lösung öffnen“, „Lösung schließen“, um die Richtigkeit der Lösung des Problems zu überprüfen. Zusatz: Aufgaben für unabhängige Arbeit. Der Inhalt ist so strukturiert, dass Sie zu jedem Aufgabenblock springen können. Hergestellt in einer für Lehrer und Schüler bequemen Form, um die Betrachtung zu regulieren. Eine großartige Möglichkeit, Material auf einem Smartboard und auf jedem Bildschirm zu präsentieren
Methoden zur Lösung einfacher und komplexer Probleme prozentuales Wachstum . (Autoren: Gilmieva G.G., Amanullina Z.A.)
Zusammenfassung: „Studenten haben oft Schwierigkeiten, Probleme mit Prozentsätzen zu lösen. Ein Grund dafür ist, dass häufig verwendete Mathematiklehrbücher dazu neigen, etwas zu bieten Standardaufgaben auf Zinsen. Wortprobleme, einschließlich Problemen mit Prozentsätzen, finden sich in Prüfungen zum Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik sowohl in der 9. als auch in der 11. Klasse. Der Artikel skizziert eine Methodik zur Lösung von Problemen mit einfachem und komplexem Zinswachstum (den sogenannten „Bankproblemen“). diese Arbeit können von Lehrern zur Weiterentwicklung genutzt werden Wahlfach ist Textaufgaben mit Prozentsätzen gewidmet und wird auch für Schüler nützlich sein Bildungsinstitutionen Für Selbststudium Zu Abschlusstests." (Word-Datei herunterladen)
Mehrere Möglichkeiten, ein geometrisches Problem zu lösen. (Autoren: Gilmieva G.G., Khusnutdinova L.G.)
Zusammenfassung: Der Artikel diskutiert drei Möglichkeiten zur Lösung des stereometrischen Problems C2 Einheitlicher Staatsexamenstest, einschließlich Koordinatenmethode. (Word-Datei herunterladen)
Artikel „Lernen, das Staatsexamen und das Einheitliche Staatsexamen zu bestehen“ . (Autor Gilmieva G.G.) Die Aufgabe eines Mathematiklehrers besteht darin, Schüler psychologisch und methodisch so auf das Einheitliche Staatsexamen vorzubereiten, dass es ihm selbstständig gelingt, die für ihn mögliche Höchstpunktzahl zu erreichen. Der Artikel gibt Empfehlungen. Laden Sie die DOS-Datei herunter.
Artikel. „Wir bereiten uns auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vor. Verwendung des Funktionsbereichs und der Menge der Funktionswerte zur Lösung von Gleichungen.“(Autorin Gilmieva G.G.)
Der Artikel stellt eine Methode zum Lösen von Gleichungen der Form f(x)=g(x) vor, die auf der Verwendung des Definitionsbereichs der Funktion basiert. Eine weitere Eigenschaft einer Funktion – die Beschränktheit – kann dabei helfen, die Wurzeln einer Gleichung (oder Ungleichung) zu finden oder die Aussage über deren Existenz zu widerlegen. Der Artikel zeigt eine Methode zum Lösen von Gleichungen basierend auf dieser Eigenschaft. Sie wird oft als „Mini-Max“-Methode oder „Majorant-Methode“ bezeichnet. Es werden Lösungen von Beispielen gegeben.
Stimmung! Das ist der Hauptassistent! Mann – das klingt! A Schlauer Mann- das klingt noch cooler! Beginnen!
Ich mache Sie auf Materialien (Prototypen von Aufgaben) zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik aufmerksam (Aufgaben werden mit Antworten präsentiert).
1. Einfacher Text fürDachi 1/Abrunden (6 Beispiele), Aufrunden (13 Beispiele), Verschiedene Aufgaben(12 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
2. Einfache Textaufgaben 2/Rundung mit Übermaß (6 Beispiele), Rundung mit Defizit (1 Beispiel), Prozentsatz, Rundung (31 Beispiele), Verschiedene Aufgaben (12 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
3. Grafiken und Diagramme/Bestimmung von Mengen aus einem Diagramm (22 Beispiele), Bestimmung von Mengen aus einem Diagramm (18 Beispiele), Berechnung von Mengen aus einem Diagramm oder Diagramm (5 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
4. Auswahl der besten Option/Auswahl von va-ri-an-ta aus zwei möglichen (5 Beispielen), Auswahl von va-ri-an-ta aus drei möglichen (24 Beispielen), Auswahl von va-ri-an-ta aus vier möglichen (5 Beispiele). )/ Word-Datei herunterladen
5. Berechnung von Längen und Flächen/Dreieck (58 Beispiele), Rechteck (33 Beispiele), Parallelogramm (12 Beispiele), Raute (10 Beispiele), Trapez (26 Beispiele), Beliebiges Viereck (28 Beispiele), Polygon (3 Beispiele), Quadratisches Problemgitter (15 Beispiele). ), Kreis und seine Elemente (24 Beispiele), eingeschriebene und umschriebene Kreise (13 Beispiele), Vektoren (24 Beispiele), Koordinatenebene(59 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
6. Wahrscheinlichkeitstheorie/Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit (39 Beispiele), Theoreme über die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (29 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
7. Die einfachsten Gleichungen/Lineare, quadratische, kubische Gleichungen (9 Beispiele), Rationale Gleichungen(8 Beispiele), Irrationale Gleichungen(9 Beispiele), Exponentielle Gleichungen(10 Beispiele), Logarithmische Gleichungen(14 Beispiele), Trigonometrische Gleichungen(3 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
8. Planimetrieprobleme im Zusammenhang mit Winkeln /Rechtwinkliges Dreieck: Winkelberechnung (55 Beispiele), Rechtwinkliges Dreieck: Winkelberechnung Außenecken(29 Beispiele), Rechtwinkliges Dreieck: Berechnung von Elementen (75 Beispiele), Gleichschenkligen Dreiecks: Berechnung von Winkeln (38 Beispiele), (Gleichschenkliges Dreieck: Berechnung von Elementen (49 Beispiele), Allgemeine Dreiecke (15 Beispiele), Parallelogramm (17 Beispiele), Rechteck (10 Beispiele), Trapez (26 Beispiele), Zentrale und eingeschriebene Winkel (21 Beispiele), Tangente, Sehne, Sekante (9 Beispiele), Kreis, eingeschrieben in ein Dreieck (10 Beispiele), Kreis, eingeschrieben in ein Viereck (9 Beispiele), Kreis, eingeschrieben in ein Polygon (3 Beispiele), Kreis beschrieben um a Dreieck (12 Beispiele), Kreis beschrieben um ein Viereck (15 Beispiele), Kreis beschrieben um ein Polygon (3 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
9. Ableitung und Stammfunktion /Physikalische Bedeutung Ableitung (5 Beispiele), Geometrische Bedeutung Ableitung, Tangens (16 Beispiele), Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen (22 Beispiele), Stammfunktion (4 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
10. Stereometrie 1/Cube (11 Beispiele), Rechteckiges Parallelepiped(8 Beispiele), Prisma (39 Beispiele), Pyramide (34 Beispiele), Elemente zusammengesetzter Polyeder (16 Beispiele), Oberfläche eines zusammengesetzten Polyeders (16 Beispiele), Volumen eines zusammengesetzten Polyeders (13 Beispiele), Kombinationen von Körpern (18 Beispiele), Zylinder (15 Beispiele), Kegel (17 Beispiele), Kugel (6 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
11. Berechnungen und Transformationen/Zahlenkonvertierungen rationale Ausdrücke(6 Beispiele), Transformationen algebraischer Ausdrücke und Brüche (23 Beispiele), Transformationen von Zahlen irrationale Ausdrücke(10 Beispiele), Transformationen alphabetischer irrationaler Ausdrücke (12 Beispiele), Transformationen numerischer Ausdrücke demonstrative Ausdrücke(17 Beispiele), Konvertierungen alphabetischer Exponentialausdrücke (30 Beispiele), Konvertierungen numerischer Ausdrücke logarithmische Ausdrücke(29 Beispiele), Konvertieren alphabetischer logarithmischer Ausdrücke (3 Beispiele), Berechnen von Werten trigonometrische Ausdrücke(20 Beispiele), Konvertierungen numerischer trigonometrischer Ausdrücke (27 Beispiele), Konvertierungen alphabetischer trigonometrischer Ausdrücke (2 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
12. Probleme mit angewendeten Inhalten/Lineare Gleichungen und Ungleichungen (2 Beispiele), Quadratische und Potenzgleichungen und Ungleichungen (17 Beispiele), Rationale Gleichungen und Ungleichungen (14 Beispiele), Irrationale Gleichungen und Ungleichungen (9 Beispiele), Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen (4 Beispiele), Logarithmische Gleichungen und Ungleichungen (4 Beispiele), Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen (16 Beispiele), Verschiedene Probleme (5 Beispiele) ./ Word-Datei herunterladen
13. Stereometrie 2/Stereometrie 2 (1 Beispiel), Rechteckiges Parallelepiped (20 Beispiele), Prisma (20 Beispiele), Pyramide (22 Beispiele), Zylinder (9 Beispiele), Kegel (21 Beispiele), Kugel (9 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
14. Wortprobleme/Aufgaben zu Prozentsätzen, Legierungen und Mischungen (17 Beispiele), Aufgaben zur Bewegung in einer geraden Linie (29 Beispiele), Aufgaben zur Bewegung im Kreis (5 Beispiele), Aufgaben zur Bewegung auf dem Wasser (13 Beispiele), Aufgaben zur gemeinsamen Arbeit (24 Beispiele), Probleme beim Fortschritt (9 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
15. Der größte und kleinste Wert einer Funktion/Studie der Macht und ir-ra-ci-o-nal-Funktionen (51 Beispiele), Studie der ra-tsi-o-nal-Funktionen (10 Beispiele), Studie der pro-iz-ve-de-tionen und privaten ( 28 Beispiele), Studium der Funktionen ka-za-tel-nyh und log-ga-rif-mi-che-sky (18 Beispiele), Studium der Funktionen tri-go-no-met-ri-che-sky (29 Beispiele). ), Studium von Funktionen ohne die Hilfe von Ableitungen (12 Beispiele)/ Word-Datei herunterladen
Quelle: http://reshuege.ru (Wenn Sie möchten, können Sie auf dieser Website Ihr Wissen testen und Tests absolvieren, um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik zu bestehen).
Das sind keine Blumen mehr! Wer arbeitet, hat immer eine reiche Ernte! Um Ihr Gehirn zu aktivieren, essen Sie unbedingt Süßigkeiten in Form von Früchten und Beeren. Und lecker und gesund und „entspannend“!
Nachfolgend finden Sie Prototypen von Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen – OHNE ANTWORTEN (von der Website reshuege.rf). Aufgaben in doc-Format, in jeder Aufgabe gibt es ein Beispiel. Für diejenigen, die die Lösung aufpolieren möchten, besuchen Sie die Website resuege.rf. Es gibt viele Möglichkeiten da draußen. Testformular zum Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, mit dem Sie versuchen können, für das Bestehen der Prüfung zu proben. Mein Rat ist, sich dafür zu entscheiden, Ihre Lücken zu finden und sich Zeit zu nehmen, um zu lernen, wie Sie Probleme lösen können, die für Sie schwierig sind. Und wenn Sie bei Entscheidungen nicht weiterkommen, kontaktieren Sie mich auf dieser Website und wir suchen gemeinsam nach Lösungen. Die Hauptsache in Erfolgreiche Fertigstellung Das Einheitliche Staatsexamen bedeutet, es ernst zu nehmen. Das bedeutet, dass es besser ist, jetzt ein wenig zu arbeiten, um später – nach erfolgreich bestandener Prüfung – am Strand sonnenbaden zu können! Viel Glück!
P Rototypen von Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen (Quelle: reshuege.rf, Website von Dmitry Gushchin)
Ermitteln eines Werts aus einer Grafik oder einem Diagramm
Planimetrie. Berechnung von Längen und Flächen
Auswahl einer Option aus 2 oder 3 möglich
Planimetrie. Probleme mit Winkeln
Erforschung von Funktionen. In diesem Artikel werden wir über Probleme sprechen, bei denen Funktionen berücksichtigt werden und deren Bedingungen Fragen zu ihrer Untersuchung enthalten. Betrachten wir die wichtigsten theoretischen Punkte, die bekannt und verstanden werden müssen, um sie zu lösen.
Hierbei handelt es sich um eine ganze Gruppe von Problemen, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik enthalten sind. Normalerweise geht es darum, die maximalen (minimalen) Punkte zu finden oder den größten (kleinsten) Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu bestimmen.Berücksichtigt:
— Potenz und irrationale Funktionen.
— Rationale Funktionen.
— Studium von Werken und Privatwerken.
— Logarithmische Funktionen.
- Trigonometrische Funktionen.
Wenn Sie die Grenzwerttheorie, das Konzept einer Ableitung, die Eigenschaften der Ableitung zum Studium von Funktionsgraphen und deren Eigenschaften verstehen, werden Ihnen solche Probleme keine Schwierigkeiten bereiten und Sie werden sie mit Leichtigkeit lösen.
Bei den folgenden Informationen handelt es sich um theoretische Punkte, deren Verständnis es Ihnen ermöglicht, die Lösung zu verstehen ähnliche Aufgaben. Ich werde versuchen, sie so darzustellen, dass auch diejenigen, die dieses Thema verpasst oder sich nur unzureichend damit befasst haben, solche Probleme ohne große Schwierigkeiten lösen können.
Bei den Problemen dieser Gruppe ist es, wie bereits erwähnt, erforderlich, entweder den minimalen (maximalen) Punkt der Funktion oder den größten (kleinsten) Wert der Funktion im Intervall zu finden.
Mindest- und Höchstpunktzahl.Eigenschaften eines Derivats.
Betrachten Sie den Graphen der Funktion:
Punkt A ist der Maximalpunkt; im Intervall von O nach A nimmt die Funktion zu und im Intervall von A nach B ab.
Punkt B ist der Minimalpunkt; im Intervall von A nach B nimmt die Funktion ab, im Intervall von B nach C nimmt sie zu.
An diesen Punkten (A und B) wird die Ableitung Null (gleich Null).
Die Tangenten an diesen Punkten verlaufen parallel zur Achse Ochse.
Ich füge hinzu, dass die Punkte, an denen die Funktion ihr Verhalten von steigend zu fallend (und umgekehrt, von fallend zu steigend) ändert, Extrema genannt werden.
Wichtiger Punkt:
1. Die Ableitung in zunehmenden Abständen hat ein positives Vorzeichen (nWenn Sie einen Wert aus einem Intervall in seine Ableitung einsetzen, erhalten Sie eine positive Zahl.
Das heißt, wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.
2. Bei abnehmenden Intervallen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen (wenn man einen Wert aus dem Intervall in den Ableitungsausdruck einsetzt, erhält man eine negative Zahl).
Das heißt, wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.
Das muss klar verstanden werden!!!
Indem Sie also die Ableitung berechnen und sie mit Null gleichsetzen, können Sie die Punkte finden, die sich teilen Zahlenachse in Intervallen.In jedem dieser Intervalle können Sie das Vorzeichen der Ableitung bestimmen und dann auf deren Anstieg oder Abfall schließen.
*Besonders erwähnt werden sollten die Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert. Beispielsweise können wir eine Ableitung erhalten, deren Nenner bei einem bestimmten x verschwindet. Es ist klar, dass für ein solches x die Ableitung nicht existiert. Also, dieser Punkt Bei der Festlegung der Anstiegs- (Abfall-)Intervalle ist ebenfalls zu berücksichtigen.
Die Funktion ändert an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist, nicht immer ihr Vorzeichen. Dazu wird es einen separaten Artikel geben. Beim Einheitlichen Staatsexamen selbst wird es solche Aufgaben nicht geben.
Die oben genannten Eigenschaften sind notwendig, um das Verhalten einer Funktion beim Zunehmen und Abnehmen zu untersuchen.
Was Sie sonst noch wissen müssen, um die angegebenen Probleme zu lösen: die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln. Ohne das geht es nicht. Hierbei handelt es sich um Grundwissen zum Thema Derivate. Sie sollten die Ableitungen elementarer Funktionen genau kennen.
Berechnen der Ableitung einer komplexen FunktionF(G(X)), Stellen Sie sich die Funktion vorG(X) Dies ist eine Variable und dann berechnen Sie die AbleitungF’(G(X)) Von tabellarische Formeln als gewöhnliche Ableitung einer Variablen. Dann multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Ableitung der FunktionG(X) .
Sehen Sie sich das Video-Tutorial von Maxim Semenikhin zu komplexen Funktionen an:
Probleme beim Finden der maximalen und minimalen Punkte
Algorithmus zum Finden maximaler (minimaler) Punkte einer Funktion:
1. Finden Sie die Ableitung der Funktion F’(X).
2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung (indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen). F’(X)=0 und lösen Sie die resultierende Gleichung). Wir finden auch Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert(insbesondere gilt dies für gebrochene rationale Funktionen).
3. Wir markieren die erhaltenen Werte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung dieser Intervalle, indem wir die Werte aus den Intervallen in den Ableitungsausdruck einsetzen.
Die Schlussfolgerung wird eine von zwei sein:
1. Der maximale Punkt ist der Punktbei dem die Ableitung ihren Wert von positiv nach negativ ändert.
2. Der Mindestpunkt ist der Punktbei dem die Ableitung ihren Wert von negativ nach positiv ändert.
Probleme, den größten oder kleinsten Wert zu finden
Funktionen auf einem Intervall.
Bei einem anderen Problemtyp müssen Sie den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall ermitteln.
Algorithmus zum Ermitteln des größten (kleinsten) Werts einer Funktion:
1. Bestimmen Sie, ob es maximale (minimale) Punkte gibt. Dazu ermitteln wir die Ableitung F’(X) , dann lösen wir F’(X)=0 (Punkte 1 und 2 aus dem vorherigen Algorithmus).
2. Wir bestimmen, ob die erhaltenen Punkte zu dem angegebenen Intervall gehören und notieren diejenigen, die innerhalb seiner Grenzen liegen.
3. Wir ersetzen in die ursprüngliche Funktion (nicht in die Ableitung, sondern in die in der Bedingung angegebene) die Grenzen des gegebenen Intervalls und die innerhalb des Intervalls liegenden Punkte (Maximum-Minimum) (Schritt 2).
4. Berechnen Sie die Funktionswerte.
5. Wir wählen aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) Wert aus, je nachdem, welche Frage in der Aufgabe gestellt wurde, und schreiben dann die Antwort auf.
Frage: Warum ist es notwendig, bei Problemen, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu finden, nach maximalen (minimalen) Punkten zu suchen?
Dies lässt sich am besten anhand der schematischen Darstellung der Graphen der angegebenen Funktionen veranschaulichen:
In den Fällen 1 und 2 reicht es aus, die Grenzen des Intervalls zu ersetzen, um den größten oder kleinsten Wert der Funktion zu bestimmen. In den Fällen 3 und 4 ist es notwendig, die Nullstellen der Funktion (Maximum-Minimum-Punkte) zu finden. Wenn wir die Grenzen des Intervalls ersetzen (ohne die Nullstellen der Funktion zu finden), erhalten wir die falsche Antwort, dies ist aus den Grafiken ersichtlich.
Und der springende Punkt ist, dass wir bei einer gegebenen Funktion nicht sehen können, wie der Graph im Intervall aussieht (ob er innerhalb des Intervalls ein Maximum oder ein Minimum aufweist). Deshalb unbedingt die Nullstellen der Funktion finden!!!
Wenn die Gleichung F'(X)=0 wird keine Lösung haben, das bedeutet, dass es keine Maximum-Minimum-Punkte gibt (Abbildung 1,2), und das betreffende Problem in zu finden diese Funktion Wir ersetzen nur die Grenzen des Intervalls.
Noch eins wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass die Antwort eine ganze Zahl oder eine endliche Zahl sein muss Dezimal. Wenn Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion berechnen, erhalten Sie Ausdrücke mit e und pi sowie Ausdrücke mit der Wurzel. Denken Sie daran, dass Sie sie nicht vollständig berechnen müssen, und es ist klar, dass das Ergebnis solcher Ausdrücke nicht die Antwort sein wird. Wenn Sie einen solchen Wert berechnen möchten, dann tun Sie es (Zahlen: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).
Ich habe viel geschrieben, vielleicht war ich verwirrt? Von konkrete Beispiele Sie werden sehen, dass alles einfach ist.
Als nächstes möchte ich es dir sagen kleines Geheimnis. Tatsache ist, dass viele Probleme ohne Kenntnis der Eigenschaften der Ableitung und sogar ohne die Regeln der Differenzierung gelöst werden können. Ich werde Ihnen auf jeden Fall von diesen Nuancen erzählen und Ihnen zeigen, wie es gemacht wird? nicht verpassen!
Aber warum habe ich dann überhaupt die Theorie vorgestellt und auch gesagt, dass es notwendig ist, sie zu kennen? Das ist richtig – Sie müssen es wissen. Wenn Sie es verstehen, wird Sie kein Problem in diesem Thema verwirren.
Die „Tricks“, die Sie lernen, werden Ihnen bei der Lösung spezifischer (einiger) Prototypenprobleme helfen. ZUEs ist natürlich praktisch, diese Techniken als zusätzliches Werkzeug zu verwenden. Das Problem kann 2-3 Mal schneller gelöst werden und spart Zeit bei der Lösung von Teil C.
Alles Gute!
Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.
P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.
