So berechnen Sie die Raumfläche. So berechnen Sie die Fläche eines Raumes: nützliche Techniken und Formeln. Berechnen Sie die Fläche eines Segments und Sektors

- Das flache Figur, das ist eine Menge von Punkten mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt. Sie haben alle den gleichen Abstand und bilden einen Kreis.

Ein Segment, das den Mittelpunkt eines Kreises mit Punkten auf seinem Umfang verbindet, heißt Radius. In jedem Kreis sind alle Radien gleich. Eine gerade Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft, heißt Durchmesser. Die Formel für die Fläche eines Kreises wird mithilfe einer mathematischen Konstante berechnet – der Zahl π..

Das ist interessant : Zahl π. stellt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zur Länge seines Durchmessers dar und ist ein konstanter Wert. Der Wert π = 3,1415926 wurde nach der Arbeit von L. Euler im Jahr 1737 verwendet.

Die Fläche eines Kreises kann mit der Konstante π berechnet werden. und der Radius des Kreises. Die Formel für die Fläche eines Kreises in Bezug auf den Radius sieht so aus:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand des Radius an. Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius R = 4 cm. Finden wir die Fläche der Figur.

Die Fläche unseres Kreises wird 50,24 Quadratmeter betragen. cm.

Es gibt eine Formel Fläche eines Kreises durch Durchmesser. Es wird auch häufig zur Berechnung der notwendigen Parameter verwendet. Diese Formeln können zum Finden verwendet werden.

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand seines Durchmessers und kennen seinen Radius. Gegeben sei uns ein Kreis mit dem Radius R = 4 cm. Zunächst ermitteln wir den Durchmesser, der, wie wir wissen, das Doppelte des Radius beträgt.


Nun verwenden wir die Daten für ein Beispiel zur Berechnung der Fläche eines Kreises mit der obigen Formel:

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis die gleiche Antwort wie in den ersten Berechnungen.

Die Kenntnis der Standardformeln zur Berechnung der Kreisfläche wird Ihnen in Zukunft dabei helfen, diese leicht zu bestimmen Sektorbereich und fehlende Mengen leicht finden.

Wir wissen bereits, dass die Formel für die Fläche eines Kreises berechnet wird, indem der konstante Wert π mit dem Quadrat des Kreisradius multipliziert wird. Der Radius kann durch den Umfang ausgedrückt werden und der Ausdruck in der Formel für die Fläche eines Kreises durch den Umfang ersetzt werden:
Setzen wir nun diese Gleichheit in die Formel zur Berechnung der Kreisfläche ein und erhalten wir eine Formel zum Ermitteln der Kreisfläche anhand des Umfangs

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand des Umfangs. Gegeben sei ein Kreis mit der Länge l = 8 cm. Setzen Sie den Wert in die abgeleitete Formel ein:

Die Gesamtfläche des Kreises beträgt 5 Quadratmeter. cm.

Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises

Es ist sehr einfach, die Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises zu ermitteln.

Dazu benötigen Sie lediglich die Seite des Quadrats und Kenntnisse einfache Formeln. Die Diagonale des Quadrats ist gleich der Diagonale des umschriebenen Kreises. Wenn man die Seite a kennt, kann man sie mit dem Satz des Pythagoras finden: von hier aus.
Nachdem wir die Diagonale gefunden haben, können wir den Radius berechnen: .
Und dann setzen wir alles in die Grundformel für die Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises ein:

Wir sind von vielen Objekten umgeben. Und viele von ihnen haben eine runde Form. Es wird ihnen zur bequemen Verwendung gegeben. Nehmen Sie zum Beispiel ein Rad. Wenn es die Form eines Quadrats hätte, wie würde es über die Straße rollen?

Einen Gegenstand herstellen runde Form, müssen Sie wissen, wie die Formel für Umfang durch Durchmesser aussieht. Dazu definieren wir zunächst, was dieses Konzept ist.

Kreis und Umfang

Ein Kreis ist eine Menge von Punkten, auf denen platziert wird gleicher Abstand vom Hauptpunkt - der Mitte. Dieser Abstand wird Radius genannt.

Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer bestimmten Linie wird Sehne genannt. Wenn eine Sehne außerdem durch den Hauptpunkt (Mitte) verläuft, wird sie als Durchmesser bezeichnet.

Schauen wir uns nun an, was ein Kreis ist. Die Menge aller Punkte, die innerhalb des Umrisses liegen, wird Kreis genannt.

Was ist Umfang?

Nachdem wir alle Definitionen abgedeckt haben, können wir den Durchmesser eines Kreises berechnen. Die Formel wird etwas später besprochen.

Zuerst versuchen wir, die Länge des Glasumrisses zu messen. Dazu wickeln wir es mit Faden um, messen es dann mit einem Lineal und ermitteln die ungefähre Länge der imaginären Linie um das Glas. Denn die Größe hängt davon ab richtige Messung Thema, und diese Methode ist nicht zuverlässig. Dennoch ist es durchaus möglich, genaue Messungen durchzuführen.

Erinnern wir uns dazu noch einmal an das Rad. Wir haben immer wieder festgestellt, dass mit der Vergrößerung der Speiche im Rad (Radius) auch die Länge der Radfelge (Umfang) zunimmt. Und wenn der Radius des Kreises abnimmt, nimmt auch die Länge der Felge ab.

Wenn wir diese Veränderungen genau verfolgen, werden wir erkennen, dass die Länge einer imaginären Kreislinie proportional zu ihrem Radius ist. UND angegebene Nummer ist dauerhaft. Schauen wir uns als nächstes an, wie der Durchmesser eines Kreises bestimmt wird: Die Formel dafür wird im folgenden Beispiel verwendet. Und schauen wir es uns Schritt für Schritt an.

Kreisformel durch Durchmesser

Da die Länge des Umrisses proportional zum Radius ist, ist sie entsprechend proportional zum Durchmesser. Daher bezeichnen wir seine Länge herkömmlicherweise mit dem Buchstaben C und seinen Durchmesser mit d. Da das Verhältnis von Umrisslänge und Durchmesser gleich ist konstante Zahl, dann kann es bestimmt werden.

Nachdem wir alle Berechnungen durchgeführt haben, ermitteln wir eine Zahl, die ungefähr 3,1415 entspricht... Da bei den Berechnungen eine bestimmte Zahl nicht geklappt hat, bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben π . Dieses Symbol wird uns nützlich sein, um die Formel für den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser abzuleiten.

Zeichnen wir eine imaginäre Linie durch den Mittelpunkt und messen den Abstand zwischen den beiden Extrempunkten. Dies wird der Durchmesser sein. Wenn wir den Durchmesser eines Kreises kennen, sieht die Formel zur Bestimmung seiner Länge wie folgt aus: C = d * π.

Wenn wir die Länge verschiedener Umrisse bestimmen und deren Durchmesser bekannt ist, wird dieselbe Formel angewendet. Weil das Zeichen π - Dies ist eine ungefähre Berechnung. Es wurde beschlossen, den Durchmesser mit 3,14 (eine auf Hundertstel gerundete Zahl) zu multiplizieren.

So berechnen Sie den Durchmesser: Formel

Versuchen wir dieses Mal, diese Formel zu verwenden, um neben der Länge des Umrisses auch andere Größen zu berechnen. Um den Durchmesser aus dem Umfang zu berechnen, wird dieselbe Formel verwendet. Nur zu diesem Zweck teilen wir seine Länge durch π . Es wird so aussehen d = C / π.

Schauen wir uns an, wie diese Formel in der Praxis funktioniert. Wenn wir zum Beispiel die Länge des Umrisses eines Brunnens kennen, müssen wir seinen Durchmesser berechnen. Es ist unmöglich, es zu messen, weil aufgrund Wetterverhältnisse kein Zugriff darauf. Unsere Aufgabe ist es, einen Deckel herzustellen. Was sollen wir in diesem Fall tun?

Sie müssen die Formel verwenden. Nehmen wir die Länge des Brunnenumrisses – zum Beispiel 600 cm. Wir geben eine bestimmte Zahl in die Formel ein, nämlich C = 600 / 3,14. Als Ergebnis erhalten wir ca. 191 cm. Runden Sie das Ergebnis auf 200 cm ab. Zeichnen Sie dann mit einem Zirkel eine runde Linie mit einem Radius von 100 cm.

Da ein Umriss mit großem Durchmesser mit einem entsprechenden Zirkel gezeichnet werden muss, können Sie ein solches Werkzeug selbst herstellen. Nehmen wir dazu eine Schiene erforderliche Länge und schlagen Sie an jedem Ende einen Nagel ein. Wir setzen einen Nagel in das Werkstück ein und schlagen ihn leicht ein, damit er sich nicht von der vorgesehenen Stelle bewegt. Und mit Hilfe der zweiten ziehen wir eine Linie. Das Gerät ist sehr einfach und praktisch.

Moderne Technologien ermöglichen es Ihnen, die Länge des Umrisses mit einem Online-Rechner zu berechnen. Dazu müssen Sie lediglich den Durchmesser des Kreises eingeben. Die Formel wird automatisch angewendet. Sie können den Umfang eines Kreises auch anhand des Radius berechnen. Wenn Sie außerdem den Umfang eines Kreises kennen, berechnet der Online-Rechner den Radius und den Durchmesser anhand dieser Formel.

Ein Kreis ist eine gekrümmte Linie, die einen Kreis umschließt. In der Geometrie sind Formen flach, daher bezieht sich die Definition auf ein zweidimensionales Bild. Es wird davon ausgegangen, dass alle Punkte dieser Kurve den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt haben.

Der Kreis weist mehrere Eigenschaften auf, auf deren Grundlage Berechnungen zu dieser geometrischen Figur durchgeführt werden. Dazu gehören: Durchmesser, Radius, Fläche und Umfang. Diese Merkmale stehen in einem Zusammenhang zueinander, d. h. zu ihrer Berechnung reichen Informationen über mindestens eine der Komponenten aus. Wenn Sie beispielsweise nur den Radius einer geometrischen Figur kennen, können Sie die Formel verwenden, um Umfang, Durchmesser und Fläche zu ermitteln.

• Der Radius eines Kreises ist das Segment innerhalb des Kreises, das mit seinem Mittelpunkt verbunden ist.
• Ein Durchmesser ist ein Segment innerhalb eines Kreises, der seine Punkte verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Im Wesentlichen beträgt der Durchmesser zwei Radien. Genau so sieht die Formel zur Berechnung aus: D=2r.
• Es gibt noch eine weitere Komponente eines Kreises – einen Akkord. Dabei handelt es sich um eine gerade Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, jedoch nicht immer durch den Mittelpunkt verläuft. Daher wird die Sehne, die durch sie verläuft, auch Durchmesser genannt.

Wie finde ich den Umfang heraus? Finden wir es jetzt heraus.

Umfang: Formel

Um dieses Merkmal anzuzeigen, haben wir uns entschieden lateinischer Buchstabe P. Archimedes hat auch bewiesen, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser für alle Kreise die gleiche Zahl ist: Dies ist die Zahl π, die ungefähr 3,14159 entspricht. Die Formel zur Berechnung von π lautet: π = p/d. Nach dieser Formel ist der Wert von p gleich πd, also dem Umfang: p= πd. Da d (Durchmesser) gleich zwei Radien ist, kann die gleiche Formel für den Umfang als p=2πr geschrieben werden. Betrachten wir die Anwendung der Formel am Beispiel einfacher Probleme:

Problem 1

Am Fuß der Zarenglocke beträgt der Durchmesser 6,6 Meter. Wie groß ist der Umfang der Basis der Glocke?

1. Die Formel zur Berechnung des Kreises lautet also p= πd
2. Setzen Sie den vorhandenen Wert in die Formel ein: p=3,14*6,6= 20,724

Antwort: Der Umfang des Glockenfußes beträgt 20,7 Meter.

Problem 2

Der künstliche Satellit der Erde rotiert in einer Entfernung von 320 km vom Planeten. Der Radius der Erde beträgt 6370 km. Wie lang ist die kreisförmige Umlaufbahn des Satelliten?

1. 1. Berechnen Sie den Radius der kreisförmigen Umlaufbahn des Erdtrabanten: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Berechnen Sie die Länge der kreisförmigen Umlaufbahn des Satelliten mit der Formel: P=2πr
3. 3.P=2*3,14*6690=42013,2

Antwort: Die Länge der kreisförmigen Umlaufbahn des Erdtrabanten beträgt 42013,2 km.

Methoden zur Umfangsmessung

Die Berechnung des Kreisumfangs wird in der Praxis nicht oft verwendet. Der Grund hierfür ungefährer Wert Zahlen π. Im Alltag verwenden sie, um die Länge eines Kreises zu ermitteln spezielles Gerät– Krümmungsmesser. Markieren Sie den Kreis beliebiger Punkt Zählen und führen Sie das Gerät von dort aus streng entlang der Linie, bis sie diesen Punkt wieder erreichen.

Wie finde ich den Umfang eines Kreises? Sie müssen lediglich einfache Berechnungsformeln im Kopf behalten.

Anweisungen

Denken Sie daran, dass Archimedes der erste war, der diese Beziehung mathematisch berechnete. Es ist ein regelmäßiges 96-seitiges Dreieck in und um einen Kreis. Der Umfang des eingeschriebenen Polygons wurde als minimal möglicher Umfang und der Umfang der umschriebenen Figur als maximale Größe angenommen. Nach Archimedes beträgt das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser 3,1419. Viel später wurde diese Zahl vom chinesischen Mathematiker Zu Chongzhi auf acht Zeichen „erweitert“. Seine Berechnungen blieben 900 Jahre lang die genauesten. Erst im 18. Jahrhundert wurden hundert Dezimalstellen gezählt. Und seit 1706 hat dieser endlose Dezimalbruch dank William Jones einen Namen bekommen. Er bezeichnete es mit dem Anfangsbuchstaben Griechische Wörter Umfang (Peripherie). Heute berechnet der Computer problemlos die Ziffern von Pi: 3,141592653589793238462643…

Für Berechnungen reduzieren Sie Pi auf 3,14. Es stellt sich heraus, dass für jeden Kreis die Länge dividiert durch den Durchmesser dieser Zahl entspricht: L: d = 3,14.

Formulieren Sie aus dieser Aussage eine Formel zur Bestimmung des Durchmessers. Es stellt sich heraus, dass man den Umfang durch die Zahl Pi dividieren muss, um den Durchmesser eines Kreises zu ermitteln. Es sieht so aus: d = L: 3,14. Das universelle Methode Ermitteln Sie den Durchmesser, wenn der Umfang eines Kreises bekannt ist.

Der Umfang ist also bekannt, sagen wir 15,7 cm, dividieren Sie diese Zahl durch 3,14. Der Durchmesser beträgt 5 cm. Schreiben Sie es so: d = 15,7: 3,14 = 5 cm.

Ermitteln Sie den Durchmesser anhand des Umfangs mithilfe spezieller Tabellen zur Berechnung des Umfangs. Diese Tabellen sind in verschiedenen Nachschlagewerken enthalten. Sie finden sich zum Beispiel in „Vierstellige mathematische Tabellen“ von V.M. Bradis.

Hilfreicher Rat

Erinnern Sie sich mithilfe eines Gedichts an die ersten acht Ziffern von Pi:
Man muss es einfach versuchen
Und erinnere dich an alles, wie es ist:
Drei, vierzehn, fünfzehn,
Zweiundneunzig und sechs.

Quellen:

• Die Zahl „Pi“ wird rekordgenau berechnet
• Durchmesser und Umfang
• Wie finde ich den Umfang eines Kreises?

Ein Kreis ist flach geometrische Figur, deren alle Punkte den gleichen und ungleich Null Abstand vom ausgewählten Punkt haben, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird. Eine gerade Linie, die zwei beliebige Punkte eines Kreises verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft, heißt Durchmesser. Die Gesamtlänge aller Grenzen einer zweidimensionalen Figur, die üblicherweise als Umfang bezeichnet wird, wird häufiger als „Umfang“ eines Kreises bezeichnet. Wenn Sie den Umfang eines Kreises kennen, können Sie dessen Durchmesser berechnen.

Anweisungen

Um den Durchmesser zu ermitteln, nutzen Sie eine der Haupteigenschaften eines Kreises, nämlich dass das Verhältnis der Länge seines Umfangs zum Durchmesser für absolut alle Kreise gleich ist. Natürlich blieb die Konstanz den Mathematikern nicht verborgen, und dieser Anteil hat längst seinen eigenen bekommen – das ist die Zahl Pi (π ist das erste griechische Wort „ Kreis" und "Umfang"). Der Zahlenwert hierfür wird durch die Länge des Kreises bestimmt, dessen Durchmesser gleich eins.

Aktie bekannte Länge Kreis durch Pi, um seinen Durchmesser zu berechnen. Da diese Nummer „“ ist, ist sie nicht vorhanden Endwert- das ist ein Bruchteil. Runden Sie Pi entsprechend der Genauigkeit des Ergebnisses ab, das Sie erhalten möchten.

Video zum Thema

Tipp 4: So ermitteln Sie das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser

Erstaunliches Anwesen Kreis uns vom antiken griechischen Wissenschaftler Archimedes entdeckt. Es liegt darin, dass Attitüde ihr Länge Die Durchmesserlänge ist für alle gleich Kreis. In seinem Werk „Über die Messung eines Kreises“ berechnete er sie und bezeichnete sie als Zahl „Pi“. Es ist irrational, das heißt, seine Bedeutung kann nicht genau ausgedrückt werden. Zu diesem Zweck beträgt sein Wert 3,14. Sie können die Aussage von Archimedes selbst überprüfen, indem Sie dies tun einfache Berechnungen.

Du wirst brauchen

• - Kompass;
• - Herrscher;
• - Bleistift;
• - Faden.

Anweisungen

Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit beliebigem Durchmesser auf Papier. Zeichnen Sie mit Lineal und Bleistift ein Segment durch die Mitte, das zwei Linien auf der Linie verbindet Kreis. Verwenden Sie ein Lineal, um die Länge des resultierenden Segments zu messen. Sagen wir Kreis V in diesem Fall 7 Zentimeter.

Nehmen Sie den Faden und ordnen Sie ihn der Länge nach an Kreis. Messen Sie die resultierende Fadenlänge. Lassen Sie es 22 Zentimeter betragen. Finden Attitüde Länge Kreis zur Länge seines Durchmessers - 22 cm: 7 cm = 3,1428.... Runden Sie die resultierende Zahl (3,14). Das Ergebnis ist die bekannte Zahl „Pi“.

Beweisen Sie diese Eigenschaft Kreis Sie können eine Tasse oder ein Glas verwenden. Messen Sie ihren Durchmesser mit einem Lineal. Wickeln Sie einen Faden um die Oberseite der Schüssel und messen Sie die resultierende Länge. Teilen der Länge Kreis Wenn man den Becher durch die Länge seines Durchmessers vergleicht, erhält man auch die Zahl „Pi“, um diese Eigenschaft sicherzustellen Kreis, von Archimedes entdeckt.

Mit dieser Eigenschaft können Sie die Länge von beliebigen berechnen Kreis entlang seines Durchmessers oder nach den Formeln: C = 2*p*R oder C = D*p, wobei C - Kreis, D ist die Länge seines Durchmessers, R ist die Länge seines Radius. Zu finden (die Ebene, durch Linien begrenzt Kreis) Verwenden Sie die Formel S = π*R², wenn der Radius bekannt ist, oder die Formel S = π*D²/4, wenn der Durchmesser bekannt ist.

beachten Sie

Wussten Sie, dass der Pi-Tag seit mehr als zwanzig Jahren am 14. März gefeiert wird? Dies ist ein inoffizieller Feiertag der Mathematiker, der diesem Thema gewidmet ist interessante Nummer, das derzeit mit vielen Formeln, mathematischen und physikalischen Axiomen verbunden ist. Dieser Feiertag wurde vom Amerikaner Larry Shaw erfunden, der bemerkte, dass an diesem Tag (3.14 im US-Datumsaufzeichnungssystem) der berühmte Wissenschaftler Einstein.

Quellen:

• Archimedes

Manchmal kann man ein konvexes Polygon so zeichnen, dass die Eckpunkte aller Ecken darauf liegen. Ein solcher Kreis im Verhältnis zum Polygon sollte als umschrieben bezeichnet werden. Ihr Center muss nicht innerhalb des Umfangs der beschrifteten Figur liegen, sondern die Eigenschaften des beschriebenen nutzen Kreis, diesen Punkt zu finden ist normalerweise nicht sehr schwierig.

Du wirst brauchen

• Lineal, Bleistift, Winkelmesser oder Winkel, Zirkel.

Anweisungen

Wenn das Polygon, um das Sie einen Kreis beschreiben müssen, auf Papier gezeichnet wird, finden Sie es Center und es reicht ein Kreis mit Lineal, Bleistift und Winkelmesser oder ein Quadrat. Messen Sie die Länge einer beliebigen Seite der Figur, bestimmen Sie deren Mitte und platzieren Sie an dieser Stelle in der Zeichnung einen Hilfspunkt. Zeichnen Sie mit einem Quadrat oder Winkelmesser ein Segment innerhalb des Polygons senkrecht zu dieser Seite, bis es sich schneidet gegenüberliegende Seite.

Führen Sie den gleichen Vorgang mit jeder anderen Seite des Polygons durch. Der Schnittpunkt zweier konstruierter Segmente wird sein den gewünschten Punkt. Dies ergibt sich aus der Haupteigenschaft des Beschriebenen Kreis- ihr Center V konvexes Polygon auf jeder Seite liegt immer im Schnittpunkt Mittelsenkrechte zu diesen durchgeführt.

Für regelmäßige Polygone Center und beschriftet Kreis könnte viel einfacher sein. Wenn es sich beispielsweise um ein Quadrat handelt, zeichnen Sie zwei Diagonalen – ihr Schnittpunkt ist Center Ohm beschriftet Kreis. In einem Polygon mit einer beliebigen geraden Seitenzahl reicht es aus, zwei Paare entgegengesetzter Winkel mit Hilfswinkeln zu verbinden - Center beschrieben Kreis müssen mit ihrem Schnittpunkt zusammenfallen. IN rechtwinkliges Dreieck Um das Problem zu lösen, bestimmen Sie einfach die Mitte der längsten Seite der Figur – die Hypotenuse.

Wenn aus den Bedingungen nicht bekannt ist, ob es sich grundsätzlich um einen umschriebenen Kreis handeln kann gegebenes Polygon, nachdem der erwartete Punkt bestimmt wurde Center und mit einer der beschriebenen Methoden können Sie es herausfinden. Berücksichtigen Sie den Abstand zwischen dem gefundenen Punkt und einem der Punkte auf dem Kompass und stellen Sie ihn auf den erwarteten Wert ein Center Kreis und zeichne einen Kreis – jeder Scheitelpunkt sollte darauf liegen Kreis. Ist dies nicht der Fall, dann enthält und beschreibt eine der Eigenschaften keinen Kreis um ein gegebenes Polygon.

Die Bestimmung des Durchmessers kann nicht nur zur Lösung nützlich sein geometrische Probleme, sondern helfen auch in der Praxis. Wenn Sie beispielsweise den Durchmesser des Halses eines Glases kennen, können Sie bei der Wahl des Deckels sicher nichts falsch machen. Die gleiche Aussage gilt auch für größere Kreise.

Anweisungen

Geben Sie also die Notation für Mengen ein. Sei d der Durchmesser des Brunnens, L der Umfang, n die Pi-Zahl, deren Wert etwa 3,14 beträgt, R der Radius des Kreises. Der Umfang (L) ist bekannt. Nehmen wir an, dass es 628 Zentimeter sind.

Um den Durchmesser (d) zu ermitteln, verwenden Sie als Nächstes die Formel für den Umfang: L = 2ïR, wobei R eine unbekannte Größe ist, L = 628 cm und n = 3,14. Nutzen Sie nun die Findungsregel unbekannter Multiplikator: „Um einen Faktor zu finden, müssen Sie das Produkt durch einen bekannten Faktor dividieren.“ Es stellt sich heraus: R=L/2p. Setzen Sie die Werte in die Formel ein: R=628/2x3,14. Es stellt sich heraus: R=628/6,28, R=100 cm.

Sobald der Radius des Kreises ermittelt wurde (R=100 cm), verwenden Sie die folgende Formel: Der Durchmesser des Kreises (d) ist gleich zwei Radien des Kreises (2R). Es stellt sich heraus: d=2R.

Um nun den Durchmesser zu ermitteln, setzen Sie die Werte d=2R in die Formel ein und berechnen Sie das Ergebnis. Da der Radius (R) bekannt ist, ergibt sich: d=2x100, d=200 cm.

Quellen:

• So ermitteln Sie den Durchmesser anhand des Umfangs eines Kreises

Umfang und Durchmesser sind zusammenhängende geometrische Größen. Dies bedeutet, dass der erste von ihnen ohne zusätzliche Daten in den zweiten übersetzt werden kann. Mathematische Konstante, durch die sie miteinander verbunden sind, ist die Zahl π.

Anweisungen

Wenn der Kreis als Bild auf Papier dargestellt wird und sein Durchmesser ungefähr bestimmt werden muss, messen Sie ihn direkt. Wenn sein Mittelpunkt in der Zeichnung dargestellt ist, ziehen Sie eine Linie durch ihn. Wenn der Mittelpunkt nicht angezeigt wird, finden Sie ihn mit einem Kompass. Verwenden Sie dazu ein Quadrat mit den Winkeln 90° und . Befestigen Sie es im 90-Grad-Winkel am Kreis, sodass beide Beine ihn berühren, und zeichnen Sie ihn nach. Dann auf das Ergebnis anwenden rechter Winkel Zeichnen Sie einen rechtwinkligen 45-Grad-Winkel. Es wird durch die Mitte des Kreises verlaufen. Zeichnen Sie dann auf die gleiche Weise einen zweiten rechten Winkel und seine Winkelhalbierende an einer anderen Stelle des Kreises. Sie werden sich in der Mitte kreuzen. Dadurch können Sie den Durchmesser messen.

Zum Messen des Durchmessers verwenden Sie vorzugsweise ein Lineal aus möglichst dünnem Blattmaterial oder einen Schneidermaßstab. Wenn Sie nur ein dickes Lineal haben, messen Sie den Durchmesser des Kreises mit einem Zirkel und übertragen Sie ihn dann, ohne die Lösung zu ändern, auf Millimeterpapier.

Wenn in den Bedingungen des Problems keine numerischen Daten vorliegen und nur eine Zeichnung vorhanden ist, können Sie den Umfang auch mit einem Krümmungsmesser messen und dann den Durchmesser berechnen. Um ein Krümmungsmessgerät zu verwenden, drehen Sie zunächst das Rad, um den Pfeil genau auf die Nullteilung einzustellen. Markieren Sie dann einen Punkt auf dem Kreis und drücken Sie das Krümmungsmessgerät so auf das Blatt, dass der Strich über dem Rad auf diesen Punkt zeigt. Bewegen Sie das Rad entlang der Kreislinie, bis der Strich wieder über diesem Punkt liegt. Lesen Sie die Aussage. Sie werden durch eine gestrichelte Linie begrenzt sein. Wenn man es in einen Kreis einfügt regelmäßiges n-Eck mit Seite b, dann der Umfang einer solchen Figur P gleich dem Produkt Seiten b durch die Anzahl der Seiten n: P=b*n. Seite b kann durch die Formel b=2R*Sin (π/n) bestimmt werden, wobei R der Radius des Kreises ist, in den das n-Eck eingeschrieben ist.

Mit zunehmender Seitenzahl nähert sich der Umfang des eingeschriebenen Polygons zunehmend L an. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Das Verhältnis zwischen dem Umfang L und seinem Durchmesser D ist konstant. Das Verhältnis L/D=n*Sin (π/n), da die Anzahl der Seiten eines eingeschriebenen Polygons gegen Unendlich geht, tendiert zur Zahl π, einem konstanten Wert namens „pi“, der als unendlich ausgedrückt wird Dezimal. Für Berechnungen ohne Anwendung Computertechnologie angenommen wird der Wert π=3,14. Der Umfang eines Kreises und sein Durchmesser hängen durch die Formel zusammen: L= πD. Um den Durchmesser zu berechnen

Umfangsmessung

Wissenschaftler, die sich mit der geologischen Forschung befassen, wissen seit langem, dass unser Planet kugelförmig ist. Deshalb die ersten Messungen des Umfangs Erdoberfläche Ich habe mir selbst Sorgen gemacht lange Parallele Erde - Äquator. Dieser Wert kann nach Ansicht der Wissenschaftler auch für jede andere Messmethode als korrekt angesehen werden. Es wurde beispielsweise angenommen, dass man den Umfang des Planeten mit der längsten messen kann Meridian, die resultierende Zahl wird genau gleich sein.

Diese Meinung bestand bis ins 18. Jahrhundert. Wissenschaftler der damals führenden wissenschaftlichen Einrichtung – der Französischen Akademie – waren jedoch der Meinung, dass diese Hypothese falsch sei und die Form des Planeten nicht ganz korrekt sei. Daher werden ihrer Meinung nach der Umfang des längsten Meridians und der längste Parallele unterschiedlich sein.

Als Beweis wurden in den Jahren 1735 und 1736 zwei wissenschaftliche Expeditionen unternommen, die die Richtigkeit dieser Annahme bewiesen. Anschließend wurde die Größe des Unterschieds zwischen diesen beiden ermittelt – er betrug 21,4 Kilometer.

Umfang

Derzeit wird der Umfang des Planeten Erde immer wieder gemessen, und zwar nicht wie früher durch Extrapolation der Länge eines bestimmten Abschnitts der Erdoberfläche auf seine volle Größe, sondern mithilfe moderner Hochpräzisionstechnologien. Dadurch war es möglich, den genauen Umfang des längsten Meridians und der längsten Parallele zu ermitteln und das Ausmaß der Differenz zwischen diesen Parametern zu klären.

Daher ist es heute in der wissenschaftlichen Gemeinschaft üblich, als offiziellen Wert für den Umfang des Planeten Erde entlang des Äquators, also des längsten Breitenkreises, einen Wert von 40075,70 Kilometern anzugeben. Darüber hinaus beträgt ein ähnlicher Parameter, gemessen entlang des längsten Meridians, also des Umfangs durch die Erdpole, 40.008,55 Kilometer.

Somit beträgt der Unterschied zwischen den Umfängen 67,15 Kilometer und der Äquator ist der längste Umfang unseres Planeten. Darüber hinaus bedeutet der Unterschied, dass ein Grad des geografischen Meridians etwas kürzer ist als ein Grad der geografischen Parallele.

Somit ist der Umfang ( C) kann durch Multiplikation der Konstante berechnet werden π pro Durchmesser ( D) oder Multiplikation π um den doppelten Radius, da der Durchmesser zwei Radien entspricht. Somit, Umfangsformel wird so aussehen:

C = πD = 2πR

Wo C- Umfang, π - konstant, D- Kreisdurchmesser, R- Radius des Kreises.

Da ein Kreis die Grenze eines Kreises ist, kann der Umfang eines Kreises auch als Länge eines Kreises oder Umfang eines Kreises bezeichnet werden.

Umfangsprobleme

Aufgabe 1. Ermitteln Sie den Umfang eines Kreises, wenn sein Durchmesser 5 cm beträgt.

Da der Umfang gleich ist π multipliziert mit dem Durchmesser, dann ist die Länge eines Kreises mit einem Durchmesser von 5 cm gleich:

C≈ 3,14 · 5 = 15,7 (cm)

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Länge eines Kreises mit einem Radius von 3,5 m.

Ermitteln Sie zunächst den Durchmesser des Kreises, indem Sie die Länge des Radius mit 2 multiplizieren:

D= 3,5 2 = 7 (m)

Lassen Sie uns nun den Umfang durch Multiplikation ermitteln π pro Durchmesser:

C≈ 3,14 · 7 = 21,98 (m)

Aufgabe 3. Finden Sie den Radius eines Kreises mit einer Länge von 7,85 m.

Um den Radius eines Kreises anhand seiner Länge zu ermitteln, müssen Sie den Umfang durch 2 teilen π

Fläche eines Kreises

Die Fläche eines Kreises ist gleich dem Produkt der Zahl π pro Quadratradius. Formel zum Ermitteln der Fläche eines Kreises:

S = πr 2

Wo S ist die Fläche des Kreises und R- Radius des Kreises.

Da der Durchmesser eines Kreises gleich dem Doppelten des Radius ist, dann ist der Radius gleich dem Durchmesser, geteilt durch 2:

Probleme mit der Fläche eines Kreises

Aufgabe 1. Finden Sie die Fläche eines Kreises, wenn sein Radius 2 cm beträgt.

Da die Fläche eines Kreises ist π multipliziert mit dem Quadrat des Radius, dann ist die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 2 cm gleich:

S≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Aufgabe 2. Finden Sie die Fläche eines Kreises, wenn sein Durchmesser 7 cm beträgt.

Ermitteln Sie zunächst den Radius des Kreises, indem Sie seinen Durchmesser durch 2 teilen:

7:2=3,5(cm)

Berechnen wir nun die Fläche des Kreises mit der Formel:

S = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)

Diese Aufgabe lässt sich auch anders lösen. Anstatt zuerst den Radius zu ermitteln, können Sie die Formel verwenden, um die Fläche eines Kreises mithilfe des Durchmessers zu ermitteln:

S = π	D 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	= 38,465 (cm2)
	4		4		4		4

Aufgabe 3. Finden Sie den Radius des Kreises, wenn seine Fläche 12,56 m2 beträgt.

Um den Radius eines Kreises aus seiner Fläche zu ermitteln, müssen Sie die Fläche des Kreises teilen π , und dann aus dem erhaltenen Ergebnis extrahieren Quadratwurzel:

R = √S : π

daher ist der Radius gleich:

R≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Nummer π

Der Umfang uns umgebender Objekte kann mit einem Maßband oder Seil (Faden) gemessen werden, dessen Länge dann separat gemessen werden kann. In manchen Fällen ist die Messung des Umfangs jedoch schwierig oder praktisch unmöglich, beispielsweise beim Innenumfang einer Flasche oder einfach beim Umfang eines auf Papier gezeichneten Kreises. In solchen Fällen können Sie den Umfang eines Kreises berechnen, wenn Sie die Länge seines Durchmessers oder Radius kennen.

Um zu verstehen, wie dies bewerkstelligt werden kann, betrachten wir einige davon runde Gegenstände, bei dem sowohl Umfang als auch Durchmesser gemessen werden können. Berechnen wir das Verhältnis von Länge zu Durchmesser und erhalten als Ergebnis die folgende Zahlenreihe:

Daraus können wir schließen, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist Konstante für jeden einzelnen Kreis und für alle Kreise als Ganzes. Diese Beziehung wird mit dem Buchstaben bezeichnet π .

Mit diesem Wissen können Sie den Radius oder Durchmesser eines Kreises verwenden, um seine Länge zu ermitteln. Um beispielsweise die Länge eines Kreises mit einem Radius von 3 cm zu berechnen, müssen Sie den Radius mit 2 multiplizieren (so erhalten wir den Durchmesser) und den resultierenden Durchmesser damit multiplizieren π . Als Ergebnis wird die Nummer verwendet π Wir haben gelernt, dass die Länge eines Kreises mit einem Radius von 3 cm 18,84 cm beträgt.