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Der materielle Punkt bewegt sich nach dem Gesetz. Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Aufgaben! I. Überprüfung der Hausaufgaben

Jobtyp: 7

Bedingung

Die Linie y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts kleiner als Null ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangens, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte kleiner Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-3x+4 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

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Lösung

Die Steigung der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 in beliebiger Punkt x_0 ist gleich y "(x_0). Aber y"=-2x+5, also y"(x_0)=-2x_0+5. Die Steigung der in der Bedingung angegebenen Linie y=-3x+4 ist -3. Parallele Linien haben das gleiche Neigungsfaktoren. Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass =-2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

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Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichne mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha Winkel ABC(Sie können auf dem Bild sehen, dass es scharf ist). Dann bildet die Gerade AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen stumpfen Winkel \pi -\alpha.

Wie Sie wissen, ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha=\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir durch die Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b , vorausgesetzt, dass die Abszisse des Berührungspunkts ist Über Null.

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Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

tangiert diesen Graphen.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, also y "(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte größer Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

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Lösung

Die Linie y=6 ist parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. Auf der dieses Diagramm solche Punkte sind Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 4 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=4x-6 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

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Lösung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y "(x_0). Aber y" \u003d 2x-4, was y "(x_0) \ bedeutet u003d 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y \u003d 4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Steigungen. Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass 2x_0-4 \u003d 4. Wir bekommen : x_0 \u003d 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

Lösung anzeigen

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichne mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Linie AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen Winkel \alpha.

− Lehrer Dumbadze V.A.
von der Schule 162 des Kirovsky-Bezirks von St. Petersburg.

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(wo x t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit (in m/s) zum Zeitpunkt t= 9 Sek.

Bei t= 9 c haben wir:

Warum berücksichtigen wir nicht die Zahl 17 aus der ursprünglichen Gleichung?

Finden Sie die Ableitung der ursprünglichen Funktion.

es gibt keine Zahl 17 in der Ableitung

Warum die Ableitung finden?

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung einer Koordinate nach der Zeit.

Das Problem fordert Sie auf, die Geschwindigkeit zu finden

x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit in (m/s) zur Zeit t= 6 s.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16 nicht 20

erinnere dich an die Prozedur

Seit wann ist Addition besser als Subtraktion?

Multiplikation hat Vorrang vor Addition und Subtraktion. Denken Sie daran, kindisch Beispiel Schule: 2 + 2 2. Ich möchte Sie daran erinnern, dass hier nicht 8 herauskommt, wie manche Leute denken, sondern 6.

Sie haben die Antwort des Gastes nicht verstanden.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Also das ist richtig, zähle selbst.

2) Multiplikation / Division (hängt von der Reihenfolge in der Gleichung ab, die die erste ist - dann wird sie zuerst gelöst);

3) Addition / Subtraktion (hängt ähnlich von der Reihenfolge im Beispiel ab).

Multiplikation = Division, Addition = Subtraktion =>

Nicht 54 - (36+2), sondern 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Zuerst für Sie - Sergey Batkovich. Zweitens: Haben Sie selbst verstanden, was Sie wem sagen wollten? Ich habe Sie nicht verstanden.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig (wobei x der Abstand vom Bezugspunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit in (m/s) zum Zeitpunkt c.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: m/s. Wenn wir haben:

Unterricht zum Thema: "Differenzierungsregeln", 11. Klasse

Abschnitte: Mathe

Unterrichtsart: Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Unterrichtsziele:

lehrreich:
- verallgemeinern, systematisieren Sie das Material des Themas, indem Sie die Ableitung finden;
- die Unterscheidungsregeln festlegen;
- offene Fachhochschule für Studierende, angewandter Wert Themen;
Entwicklung:
- Kontrolle der Assimilation von Wissen und Fähigkeiten;
- Entwicklung und Verbesserung der Fähigkeit, Wissen in einer veränderten Situation anzuwenden;
- Entwicklung einer Sprachkultur und der Fähigkeit, Schlussfolgerungen zu ziehen und zu verallgemeinern;
lehrreich:
- den kognitiven Prozess entwickeln;
- vermitteln Sie den Schülern Genauigkeit im Design, Zielstrebigkeit.

Ausrüstung:

Overheadprojektor, Leinwand;
Karten;
Computers;
Tisch;
differenzierte Aufgaben in Form von Multimedia-Präsentationen.

I. Überprüfung Hausaufgaben.

1. Hören Sie sich die Berichte der Schüler zu Beispielen für den Einsatz von Derivaten an.

2. Betrachten Sie von Schülern vorgeschlagene Beispiele für die Verwendung des Derivats in Physik, Chemie, Technologie und anderen Branchen.

II. Wissensaktualisierung.

Lehrer:

Definieren Sie die Ableitung einer Funktion.
Welche Operation wird Differenzierung genannt?
Nach welchen Ableitungsregeln wird die Ableitung berechnet? (Studenten werden zum Vorstand eingeladen).
- Ableitung der Summe;
- Derivat der Arbeit;
- Derivat mit konstantem Faktor;
- die Ableitung des Quotienten;
- Ableitung einer komplexen Funktion;
Nenne Beispiele angewandte Aufgaben, was zum Konzept eines Derivats führt.

Eine Reihe besonderer Probleme aus verschiedenen Wissenschaftsbereichen.

Aufgabe Nummer 1. Der Körper bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t). Schreiben Sie die Formel auf, um die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zum Zeitpunkt t zu ermitteln.

Aufgabe Nummer 2. Der Kreisradius R ändert sich nach dem Gesetz R = 4 + 2t 2 . Bestimmen Sie die Rate, mit der sich seine Fläche ändert. in Moment t = 2 s. Der Radius eines Kreises wird in Zentimetern gemessen. Antwort: 603 cm2/s.

Aufgabe Nummer 3. Ein materieller Punkt mit einer Masse von 5 kg bewegt sich laut Gesetz geradlinig

S(t) = 2t+ , wo S- Entfernung in Metern t- Zeit in Sekunden. Finden Sie die Kraft, die im Moment auf den Punkt wirkt t = 4 s.

Antworten: N.

Aufgabe Nummer 4. Das von der Bremse gehaltene Schwungrad dreht sich nach hinten t s in einem Winkel von 3 t - 0,1 t 2 (rad). Finden:

a) die Winkelgeschwindigkeit des Schwungrades zum Zeitpunkt t = 7 Mit;
b) zu welchem Zeitpunkt das Schwungrad stoppt.

Antworten: a) 2,86; b) 150 s.

Beispiele für die Verwendung des Derivats können auch als Aufgaben zum Finden dienen: spezifische Wärme Substanzen Körper gegeben, lineare Dichte und kinetische Energie des Körpers usw.

III. Erfüllung differenzierter Aufgaben.

Wer Aufgaben der Stufe „A“ erledigen möchte, setzt sich an den Computer und führt einen Test mit einer programmierten Antwort durch. ( Anwendung. )

1. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion am Punkt x 0 = 3.

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y \u003d xe x am Punkt x 0 \u003d 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Lösen Sie die Gleichung f / (x) \u003d 0, wenn f (x) \u003d (3x 2 + 1) (3x 2 - 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Berechnen Sie f / (1), wenn f (x) = (x 2 + 1) (x 3 - x).

5. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(t) = (t4 - 3)(t2 + 2) am Punkt t0 = 1.

6. Der Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz: S(t) = t 3 - 3t 2 . Wählen Sie eine Formel, die die Bewegungsgeschwindigkeit dieses Punktes zum Zeitpunkt t angibt.

1) t2 - 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t3 + 6t.

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Die Verwendung des Derivats in Physik, Technik, Biologie, Leben

Präsentation für den Unterricht

Aufmerksamkeit! Die Folienvorschau wird ausschließlich in verwendet Informationszwecke und stellen möglicherweise nicht alle Präsentationsmöglichkeiten dar. Wenn Sie interessiert sind diese Arbeit Bitte laden Sie die Vollversion herunter.

Unterrichtsart: integriert.

Das Ziel des Unterrichts: studieren Sie einige Aspekte der Anwendung des Derivats in verschiedene Gebiete Physik, Chemie, Biologie.

Aufgaben: Horizonte erweitern u kognitive Aktivität Studenten, Entwicklung logisches Denken und die Fähigkeit, ihr Wissen anzuwenden.

Technischer Support: interaktive Tafel; Computer und Festplatte.

I. Organisatorischer Moment

II. Festlegung des Unterrichtsziels

- Ich möchte eine Lektion unter dem Motto von Alexei Nikolaevich Krylov führen Sowjetischer Mathematiker und der Schiffsbauer: "Theorie ohne Praxis ist tot oder nutzlos; Praxis ohne Theorie ist unmöglich oder schädlich."

Sehen wir uns die grundlegenden Konzepte an und beantworten die Fragen:

Was ist die grundlegende Definition eines Derivats?
– Was weißt du über die Ableitung (Eigenschaften, Sätze)?
– Kennen Sie Beispiele für Ableitungsprobleme in Physik, Mathematik und Biologie?

Betrachtung der grundsätzlichen Definition des Derivats und seiner Begründung (Antwort auf die erste Frage):

Derivat ist eines der Grundkonzepte der Mathematik. Die Fähigkeit, Probleme mithilfe von Derivaten zu lösen, erfordert gute Kenntnisse theoretischer Stoff Fähigkeit, in verschiedenen Situationen zu forschen.

Daher werden wir heute in der Lektion das gewonnene Wissen konsolidieren und systematisieren, die Arbeit jeder Gruppe betrachten und bewerten und am Beispiel einiger Aufgaben zeigen, wie die Ableitung zur Lösung anderer Probleme verwendet werden kann und nicht standardmäßige Aufgaben Verwendung eines Derivats.

III. Erklärung des neuen Materials

1. Momentanleistung ist die zeitliche Ableitung der Arbeit:

W = lim ∆A/∆t ∆A – Jobwechsel.

2. Dreht sich der Körper um eine Achse, so ist der Drehwinkel eine Funktion der Zeit t
Dann Winkelgeschwindigkeit ist gleich:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Stromstärke ist eine Ableitung Ι = lim Δg/Δt = g′, wo g- positive elektrische Ladung, die zeitlich durch den Querschnitt des Leiters übertragen wird Δt.

4. Lass ∆Q ist die Wärmemenge, die benötigt wird, um die Temperatur zu ändern Δt Zeit, dann lim ΔQ/Δt = Q′ = C – spezifische Wärme.

5. Das Problem der Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion

m(t) – m(t0) – die Menge einer Substanz, die im Laufe der Zeit reagiert t0 Vor t

V= lim ∆m/∆t = m ∆t → 0

6. Sei m die Masse der radioaktiven Substanz. Geschwindigkeit radioaktiver Zerfall: V = lim ∆m/∆t = m׳(t) ∆t→0

In differenzierter Form hat das Gesetz des radioaktiven Zerfalls die Form: dN/dt = – λN, wo N ist die Anzahl der Kerne, die im Laufe der Zeit nicht zerfallen sind t.

Integrieren wir diesen Ausdruck, erhalten wir: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const bei t = 0 Anzahl radioaktiver Kerne N = N0, also haben wir: log N0 = const, Folglich

nN = – λt + lnN0.

Durch Potenzieren dieses Ausdrucks erhalten wir:

ist das Gesetz des radioaktiven Zerfalls, wo N0 ist die Anzahl der Kerne gleichzeitig t0 = 0, N ist die Anzahl der Kerne, die im Laufe der Zeit nicht zerfallen sind t.

7. Nach Newtons Wärmeübertragungsgleichung der Wärmestrom dQ/dt ist direkt proportional zur Fensterfläche S und der Temperaturdifferenz ΔT zwischen Innen- und Außenglas und umgekehrt proportional zu seiner Dicke d:

dQ/dt = AS/d ∆T

8. Das Phänomen der Diffusion ist der Prozess der Herstellung einer Gleichgewichtsverteilung

Innerhalb der Phasen der Konzentration. Die Diffusion geht zur Seite und gleicht Konzentrationen aus.

m = D∆c/∆xc – Konzentration
m = D cγx x - Koordinate, D- Diffusionskoeffizient

9. Es war bekannt, dass das elektrische Feld beide anregt elektrische Aufladungen, oder ein Magnetfeld, das eine einzige Quelle hat - einen elektrischen Strom. James Clark Maxwell führte eine Änderung der vor ihm entdeckten Gesetze des Elektromagnetismus ein: Ein Magnetfeld entsteht auch, wenn elektrisches Feld. Auf den ersten Blick klein, hatte die Änderung grandiose Folgen: Ein völlig neues physisches Objekt erschien, wenn auch an der Spitze des Stifts, Elektromagnetische Welle. Maxwell besaß im Gegensatz zu Faraday, der seine Existenz möglich schien, meisterhaft die Gleichung für das elektrische Feld:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Eine Änderung des elektrischen Feldes verursacht das Erscheinen Magnetfeld an jedem Punkt im Raum, mit anderen Worten, die Änderungsrate des elektrischen Feldes bestimmt die Größe des magnetischen Feldes. Unter dem Großen elektrischer Schock- ein größeres Magnetfeld.

IV. Festigung des Gelernten

– Wir haben das Derivat und seine Eigenschaften untersucht. Ich möchte lesen philosophische Aussage Gilbert: „Jeder Mensch hat eine bestimmte Einstellung. Wenn sich dieser Horizont zum unendlich Kleinen verengt, wird er zu einem Punkt. Dann sagt die Person, dass dies ihre Sichtweise ist.
Versuchen wir, den Standpunkt zur Anwendung der Ableitung zu messen!

Handlung "Blatt"(Anwendung der Ableitung in Biologie, Physik, Leben)

Betrachten Sie den Sturz als ungleichmäßige Bewegung zeitabhängig.

So: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Theoretischer Überblick: mechanischen Sinn Derivat).

1. Probleme lösen

Probleme selbstständig lösen.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Schreiben wir das Gesetz von Porton II und unter Berücksichtigung der mechanischen Bedeutung der Ableitung schreiben wir es in der Form um: F = mV′ F = mS″

Die Handlung von "Wölfe, Gophers"

Kehren wir zu den Gleichungen zurück: Betrachten Sie die Differentialgleichungen von exponentiellem Wachstum und Abnahme: F = ma F = mV' F = mS"
Lösen vieler Probleme der Physik, Technischen Biologie u Sozialwissenschaften werden auf das Problem der Funktionsfindung reduziert f"(x) = kf(x), Erfüllung der Differentialgleichung, wobei k = konst .

Menschliche Formel

Mann so oft mehr als ein Atom, wie oft ist er kleiner als der Stern:

Daraus folgt das
Dies ist die Formel, die den Platz des Menschen im Universum bestimmt. Demnach repräsentieren die Dimensionen einer Person das durchschnittliche Verhältnis von Stern und Atom.

Ich möchte die Lektion mit den Worten von Lobachevsky beenden: „Es gibt kein einziges Gebiet der Mathematik, egal wie abstrakt es sein mag, das nicht eines Tages auf die Phänomene der realen Welt anwendbar sein wird.“

v. Lösung von Zahlen aus der Sammlung:

Eigenständige Problemlösung am Board, gemeinsame Analyse von Problemlösungen:

№ 1 Finden Sie die Geschwindigkeit der Bewegung materieller Punkt am Ende der 3. Sekunde, wenn die Bewegung des Punktes durch die Gleichung s = t^2 –11t + 30 gegeben ist.

№ 2 Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 6t – t^2. An welchem Punkt wird seine Geschwindigkeit sein Null?

№ 3 Zwei Körper bewegen sich in einer geraden Linie: einer nach dem Gesetz s \u003d t ^ 3 - t ^ 2 - 27 t, der andere - nach dem Gesetz s \u003d t ^ 2 + 1. Bestimmen Sie den Moment, in dem die Geschwindigkeiten dieser sind Körper sind gleich.

№ 4 Für ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s bewegt, wird der Anhalteweg durch die Formel s(t) = 30t-16t^2 bestimmt, wobei s(t) die Entfernung in Metern und t die Bremszeit in Sekunden ist . Wie lange braucht man um abzubremsen Punkt Autos? Welche Strecke legt das Auto vom Bremsbeginn bis zum Stillstand zurück?

№5 Ein Körper der Masse 8 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 2t^2+ 3t - 1. Find kinetische Energie Körper (mv^2/2) 3 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

Lösung: Finden Sie jederzeit die Geschwindigkeit des Körpers:
V=ds/dt=4t+3
Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
V t \u003d 3 \u003d 4 * 3 + 3 \u003d 15 (m / s).
Bestimmen wir die kinetische Energie des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
mv2/2 = 8 - 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Ermitteln Sie die kinetische Energie des Körpers 4 s nach dem Beginn der Bewegung, wenn seine Masse 25 kg beträgt und das Bewegungsgesetz s = 3t^2-1 lautet.

№7 Ein Körper mit einer Masse von 30 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 4t^2 + t. Beweisen Sie, dass die Bewegung des Körpers unter Einwirkung einer konstanten Kraft erfolgt.
Lösung: Wir haben s' = 8t + 1, s" = 8. Also a(t) = 8 (m/s^2), d.h. nach dem gegebenen Bewegungsgesetz bewegt sich der Körper mit konstante Beschleunigung 8 m/s^2. Da die Masse des Körpers konstant ist (30 kg), ist die auf ihn wirkende Kraft F = ma = 30 * 8 = 240 (H) gemäß dem zweiten Newtonschen Gesetz ebenfalls ein konstanter Wert.

№8 Ein Körper mit einer Masse von 3 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s(t) = t^3 - 3t^2 + 2. Finden Sie die Kraft, die zum Zeitpunkt t = 4s auf den Körper wirkt.

№9 Der materielle Punkt bewegt sich nach dem Gesetz s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Finden Sie seine Beschleunigung am Ende der 3. Sekunde.

VI. Anwendung der Ableitung in der Mathematik:

Die Ableitung in Mathematik zeigt numerischer Ausdruck der Grad der Änderung einer am selben Punkt befindlichen Größe unter dem Einfluss verschiedener Bedingungen.

Die Ableitungsformel stammt aus dem 15. Jahrhundert. Groß Italienischer Mathematiker Tartagli, der die Frage in Betracht zieht und entwickelt, wie stark die Reichweite des Projektils von der Neigung der Waffe abhängt, verwendet sie in seinen Schriften.

Die Ableitungsformel findet sich oft in den Werken berühmter Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Es wird von Newton und Leibniz verwendet.

Der bekannte Wissenschaftler Galileo Galilei widmet der Rolle der Ableitung in der Mathematik eine ganze Abhandlung. Dann begannen die Ableitung und verschiedene Präsentationen mit ihrer Anwendung in den Werken von Descartes, dem französischen Mathematiker Roberval und dem Engländer Gregory zu finden. Riesiger Beitragüber das Studium des Derivats führten solche Köpfe wie Lopital, Bernoulli, Langrange und andere ein.

1. Zeichnen und untersuchen Sie die Funktion:

Lösung für dieses Problem:

Ein Moment der Entspannung

VII. Anwendung der Ableitung in der Physik:

Bei der Untersuchung bestimmter Prozesse und Phänomene stellt sich oft das Problem, die Geschwindigkeit dieser Prozesse zu bestimmen. Ihre Lösung führt zum Konzept eines Derivats, das das Grundkonzept ist Differentialrechnung.

Die Methode der Differentialrechnung entstand im 17. und 18. Jahrhundert. Die Namen zweier großer Mathematiker, I. Newton und G.V. Leibniz.

Newton kam zur Entdeckung der Differentialrechnung, als er Probleme über die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes löste dieser Moment Zeit (Momentangeschwindigkeit).

In der Physik wird die Ableitung hauptsächlich zur Berechnung des größten oder verwendet die kleinsten Werte beliebige Mengen.

№1 Potenzielle Energie U das Feld eines Teilchens, in dem sich ein anderes, genau dasselbe Teilchen befindet, hat die Form: U = a/r 2 – b/r, wo a und b sind positive Konstanten, r- Abstand zwischen Partikeln. Suche: a) Wert r0 entsprechend der Gleichgewichtslage des Partikels; b) herauszufinden, ob diese Situation stabil ist; in) Fmax der Wert der Anziehungskraft; d) ungefähre Abhängigkeitsgraphen darstellen U(r) und F(r).

Lösung dieses Problems: Feststellen r0 entsprechend der Gleichgewichtslage des Teilchens untersuchen wir f = U(r) bis zum Äußersten.

Verwenden Sie den Link zwischen potenzielle Energie Felder

U und F, dann F = -dU/dr, wir bekommen F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; dabei r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Stabiles oder instabiles Gleichgewicht wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Stellen Sie sich den Fall vor, wenn Sand aus einer gefüllten Plattform austritt.
Impulsänderung über einen kurzen Zeitraum:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Term Δ tu ist der Impuls der Sandmenge, die während der Zeit Δ aus der Plattform geschüttet wurde t. Dann:
Δ p = MΔ u-µtΔ u- Δ µtΔ u=FΔ t
Teile durch Δ t und zum Grenzwert Δ übergehen t → 0
(M – µt)du/dt = F
Oder a1= du/dt= F/(M – µt)

Antworten: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Selbstständige Arbeit:

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Die Linie y \u003d 2x tangiert die Funktion: y \u003d x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Finden Sie die Abszisse des Kontaktpunkts.

IX. Zusammenfassung der Lektion:

- Was waren die Themen des Unterrichts?
- Was hast du im Unterricht gelernt?
- Welche Art theoretische Fakten im Unterricht zusammengefasst?
– Was waren die schwierigsten Aufgaben? Wieso den?

Referenzliste:

Amelkin V. V., Sadovsky A. P. Mathematische Modelle und Differentialgleichungen. – Minsk: Handelshochschule, 1982. - 272p.
Amelkin V.V. Differentialgleichungen in Anwendungen. M.: Wissenschaft. Hauptausgabe Physikalische und mathematische Literatur, 1987. - 160p.
Erugin N.P. Buch zum Vorlesen allgemeiner Wechselkurs Differentialgleichung. - Minsk: Wissenschaft und Technologie, 1979. - 744 p.
.Magazin "Potenzial" November 2007 №11
"Algebra und die Anfänge der Analysis" Klasse 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov und andere.
"Algebra und mathematische Analyse" N.Ya. Wilenkin und andere.
"Mathematik" V. T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

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Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Aufgaben!

physikalische Bedeutung Derivat. BEI Zusammensetzung VERWENDEN in der Mathematik umfasst eine Gruppe von Problemen, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objektes) gegeben ist, durch die Gleichung ausgedrückt und es ist erforderlich, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder die Zeit zu finden, nach der das Objekt eine bestimmte gegebene Geschwindigkeit erreicht. Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Lassen Sie das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes ist, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Somit ist die physikalische Bedeutung der Ableitung Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit sein, die Geschwindigkeit einer Änderung in einem Prozess (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (und so weiter, es gibt viele angewandte Aufgaben).

Außerdem müssen Sie die Ableitungstabelle kennen (Sie müssen sie ebenso kennen wie das Einmaleins) und die Ableitungsregeln. Konkret ist es zur Lösung der angegebenen Probleme erforderlich, die ersten sechs Ableitungen zu kennen (siehe Tabelle):

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

Dabei ist x die Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 - 48t + 17, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

Dabei ist x die Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem Zeitpunkt t Die Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Ein materieller Punkt bewegt sich in einer geraden Linie nach dem Gesetz x (t) \u003d t 2 - 13t + 23, wobei x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 3 m/s?

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Ich stelle fest, dass es sich nicht lohnt, sich nur auf diese Art von Aufgaben in der Prüfung zu konzentrieren. Sie können völlig unerwartet Aufgaben einführen, die umgekehrt zu den präsentierten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist, stellt sich die Frage nach der Bestimmung des Bewegungsgesetzes.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (dies sind auch Aufgaben in einer Aktion). Wenn Sie die für einen bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Entfernung ermitteln müssen, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Entfernung berechnen. Wir werden aber auch solche Aufgaben analysieren, verpassen Sie es nicht! Ich wünsche Ihnen Erfolg!

matematikalegko.ru

Algebra und Anfänge mathematische Analyse, Klasse 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Seitenzahl 094.

Lehrbuch:

OCR-Version der Seite aus dem Tutorial (Text der Seite oben):

Wie aus dem oben Gesagten folgt diesen Absatz Probleme, sind die folgenden Aussagen wahr:

1. Wenn bei geradlinige Bewegung der vom Punkt zurückgelegte Weg s eine Funktion der Zeit t ist, also s = f(t), dann ist die Geschwindigkeit des Punktes die Ableitung des Weges nach der Zeit, also v(t) =

Diese Tatsache drückt die mechanische Bedeutung der Ableitung aus.

2. Wenn am Punkt x 0 eine Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d f (jc) gezogen wird, dann ist die Zahl f "(xo) die Tangente des Winkels a zwischen dieser Tangente und der positiven Richtung der Ochsenachse, d.h. /" (x 0) \u003d

Tga. Dieser Winkel wird als Neigungswinkel der Tangente bezeichnet.

Diese Tatsache drückt sich aus geometrischen Sinn Derivat.

BEISPIEL 3. Finden wir die Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d 0,5jc 2 - 2x + 4 am Punkt mit der Abszisse x \u003d 0.

Finden Sie die Ableitung der Funktion f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 an jedem Punkt x unter Verwendung von Gleichung (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Berechnen wir den Wert dieser Ableitung am Punkt x = 0:

Daher ist tga = -2. Der Graph x der Funktion y \u003d / (jc) und die Tangente an ihren Graphen am Punkt mit der Abszisse jc \u003d 0 sind in Abbildung 95 dargestellt.

4.1 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz s = t 2 . Finden:

a) das Zeitinkrement Д£ im Zeitintervall von t x \u003d 1 bis £ 2 - 2;

b) Inkrement des Weges As auf dem Zeitintervall von t x = 1 bis t 2 = 2;

in) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von t x \u003d 1 bis t 2 \u003d 2.

4.2 Finden Sie in Aufgabe 4.1:

b) Durchschnittsgeschwindigkeit über das Zeitintervall von t bis t + At;

c) momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t;

d) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1.

4.3 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz:

1) s = 3t + 5; 2) s \u003d t 2 - bt.

a) Inkrement des Weges As auf dem Zeitintervall von t bis t + At;

Lehrbuch: Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Klasse 11: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 464 S.: Abb.

Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie S \u003d t 4 +2t (S - in Metern t- in Sekunden). Finden Sie seine durchschnittliche Beschleunigung zwischen den Momenten t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, sowie seine wahre Beschleunigung im Moment t 3 = 6 s.

Lösung.

1. Finden Sie die Geschwindigkeit des Punktes als Ableitung des Weges S nach der Zeit t, diese.

2. Wenn wir anstelle von t seine Werte t 1 \u003d 5 s und t 2 \u003d 7 s ersetzen, finden wir die Geschwindigkeiten:

V 1 \u003d 4 5 3 + 2 \u003d 502 m / s; V 2 \u003d 4 7 3 + 2 \u003d 1374 m / s.

3. Geschwindigkeitsinkrement ΔV über die Zeit Δt = 7 - 5 = 2 s ermitteln:

ΔV \u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Somit wird die durchschnittliche Beschleunigung des Punktes gleich sein

5. Um festzustellen wahrer Wert Beschleunigung des Punktes, leiten wir die Geschwindigkeit nach der Zeit ab:

6. Stattdessen ersetzen t Wert t 3 \u003d 6 s, wir erhalten die Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt

a cf \u003d 12-6 3 \u003d 432 m / s 2.

krummlinige Bewegung. Bei krummlinige Bewegung die Geschwindigkeit des Punktes ändert sich in Betrag und Richtung.

Stellen Sie sich einen Punkt vor M, die sich während der Zeit Δt etwas mitbewegt krummlinige Bahn, ist auf die Stelle gewechselt M 1(Abb. 6).

Erhöhen (ändern) Sie den Vektor der Geschwindigkeit ΔV wird sein

Zum Wenn wir den Vektor ΔV finden, bewegen wir den Vektor V 1 zum Punkt M und konstruiere ein Geschwindigkeitsdreieck. Lassen Sie uns den durchschnittlichen Beschleunigungsvektor definieren:

Vektor eine Hochzeit ist parallel zum Vektor ΔV, da der Vektor durch dividiert wird skalare Größe die Richtung des Vektors ändert sich nicht. Der wahre Beschleunigungsvektor ist die Grenze, bis zu der das Verhältnis des Geschwindigkeitsvektors zum entsprechenden Zeitintervall Δt gegen Null geht, d.h.

Eine solche Grenze heißt Vektorableitung.

Auf diese Weise, Die wahre Beschleunigung eines Punktes während einer krummlinigen Bewegung ist gleich der Vektorableitung in Bezug auf die Geschwindigkeit.

Von Abb. 6 zeigt das Der Beschleunigungsvektor während der krummlinigen Bewegung ist immer auf die Konkavität der Trajektorie gerichtet.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Beschleunigung in zwei Komponenten zur Bewegungsbahn zerlegt: tangential, genannt tangentiale (tangentiale) Beschleunigung a, und entlang der Normalen, genannt Normalbeschleunigung a n (Abb. 7).

In diesem Fall wird die Gesamtbeschleunigung sein

Die Tangentialbeschleunigung fällt in Richtung mit der Geschwindigkeit des Punktes oder entgegengesetzt dazu zusammen. Sie charakterisiert die Änderung des Geschwindigkeitswerts und wird dementsprechend durch die Formel bestimmt

Die normale Beschleunigung ist senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit des Punktes und numerischer Wert sie wird durch die Formel bestimmt

wo r - Krümmungsradius der Bahn am betrachteten Punkt.

Da Tangential- und Normalbeschleunigung senkrecht aufeinander stehen, also der Wert volle Beschleunigung wird durch die Formel bestimmt

und seine Richtung

Wenn ein , dann sind die tangentialen Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren in die gleiche Richtung gerichtet und die Bewegung wird beschleunigt.

Wenn ein , dann ist der tangentiale Beschleunigungsvektor zur Seite gerichtet, Vektor gegenüber Geschwindigkeit, und die Bewegung wird langsam sein.

Vektor normale Beschleunigung immer zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet, daher heißt sie zentripetal.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung. Die USE in Mathematik umfasst eine Gruppe von Aufgaben, für deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erforderlich sind. Insbesondere gibt es Aufgaben, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) gegeben ist, ausgedrückt durch eine Gleichung, und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder der Zeit, nach der das Objekt annimmt, zu finden eine bestimmte vorgegebene Geschwindigkeit.Die Aufgaben sind sehr einfach, sie werden in einem Schritt gelöst. So:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes, t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die zeitliche Ableitung der Koordinate. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit:

Betrachten Sie die Aufgaben:

x (t) \u003d t 2 - 7t - 20

wobei x t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Prozessänderungsgeschwindigkeit, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Für t = 5 gilt:

Antwort: 3

Entscheiden Sie selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wo xt- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern,t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

Dabei ist x die Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ZeitpunkttDie Geschwindigkeit war gleich 3 m / s, es ist notwendig, die Gleichung zu lösen:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz in einer geraden Linie

x (t) \u003d (1/3) t 3 - 3 t 2 - 5 t + 3

wo x- Entfernung vom Bezugspunkt in Metern, t- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) war ihre Geschwindigkeit gleich 2 m/s?

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

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