Was bedeutet der Bindestrich eines Bruchs? Brüche, gewöhnliche Brüche: Definitionen, Notationen, Beispiele, Aktionen mit Brüchen. Konvertieren Sie zwischen verschiedenen Aufnahmeformaten

Jagdschrot ist eine Komponente zum Laden von Patronen, die längst aus dem Leben eines jeden Jägers nicht mehr wegzudenken ist. Mit seiner Hilfe wird häufig Wild (Rehe, Enten, Auerhühner, Birkhühner, Fasane) getötet. Im Gegensatz zu anderen Kartuschenkomponenten sind Produktions- und Aussehen Diese Munition hat sich in den 150 Jahren seit ihrer Erfindung eigentlich nicht verändert.

Arten von Brüchen

Was ist also ein Bruch? Diese sind klein Bleikugeln(bis zu 5 mm groß), wird zur Jagd auf verschiedene Tiere verwendet (z. B. Birkhuhn, Auerhahn, Hase, Fasan). Es gibt jedoch viele Arten davon:

Material

Je nach Material, aus dem es besteht:

• Führen. Die Verwendung von Blei ist sehr verbreitet, da dieses Material alle Eigenschaften besitzt notwendige Eigenschaften- schwer, billig, schmelzbar. Es ist ganz einfach, es selbst zu Hause zu machen. Allerdings sind solche Pellets zu weich, außerdem ist Blei giftig und belastet die Umwelt. Im Westen werden ähnliche Schrotarten für die Jagd unter dem Druck der „Grünen“ heute eigentlich nicht mehr eingesetzt.
• Stahl. Solche Munition verformt sich nicht, verliert aber schneller an Geschwindigkeit und beschädigt den Lauf.
• Rotglühend. Das gleiche Schrot ist Blei, ihm werden jedoch Zinn, Arsen, Antimon oder andere Chemikalien zugesetzt.
• Gekleidet. Mit Nickel oder Kupfernickel beschichtetes Bleischrot. An dieser Moment das Beste in Bezug auf die Eigenschaften und die teuerste Option auf dem Markt.

Durchmesser

Bedenken Sie, dass die Durchmesserklassifizierung je nach Herkunftsland unterschiedlich ist (siehe unten). Russischer Tisch, und zum Kennenlernen ausländische Klassifikation Es wird empfohlen, sich auf die vom Herkunftsland bereitgestellten Materialien zu beziehen.

Nummerierung von Brüchen in der russischen Klassifikation:

Größe
Fraktion 0000 (4/0) Größe	5mm Durchmesser
000 (3/0) Größe	4,75 mm Durchmesser
00 (2/0) Größe	4,5 mm Durchmesser
0 Größe	4,25 mm Durchmesser
1 Größe	4mm Durchmesser
Größe 2	3,75 mm Durchmesser
Größe 3	3,5 mm Durchmesser
Größe 4	3,25 mm Durchmesser
Größe 5	3mm Durchmesser
Größe 6	2,75 mm Durchmesser
Größe 7	2,5 mm Durchmesser
Größe 8	2,25 mm Durchmesser
Größe 9	2mm Durchmesser
Größe 10	1,75 mm Durchmesser
Größe 11	1,50 mm Durchmesser
Größe 12	1,25 mm Durchmesser – der kleinste Schuss

Wie Sie feststellen werden, nimmt der Millimeter dieser Munition mit abnehmender Größe um einen Viertel (0,25) Millimeter ab.

Diese Klassifizierung ist zu umständlich, daher können Sie den Bruch anders sortieren:

• Klein (10-6 Nummer);
• Durchschnitt (5-1 Zahl);
• Groß (0, 00.000, 000);

Schuss, Schrot oder Kugel?

Viele neue Jäger verwechseln diese Konzepte oft, daher wäre es schön, den Unterschied deutlicher zu machen:

Kleine, zentrierte Kugeln, deren Form einer Kugel ähnelt. Hervorragend geeignet für Kleinwild.

Munition größer als 5 mm (wird für die Jagd auf Großwild, zum Beispiel Rehwild, verwendet).

Vollmetallprojektil. Es gibt viele Arten davon, aber sie werden wie Schrot für die Jagd auf Rehe, Wildschweine und anderes Großwild verwendet.

Welchen Schuss soll ich für welches Spiel verwenden?

Viele Jäger fragen sich, wer (Gans, Birkhuhn, Fasan, Hase, Auerhahn) getötet werden muss und mit welchen Panzern? Informationen darüber, wer womit getroffen werden muss, finden Sie unten:

Bedenken Sie bei der Bestimmung der erforderlichen Schusszahl, dass ca. 4-5 Schrotkugeln das Wild treffen sollten, daher beim Schießen auf kleine Ziele (Gans, Ente, Hase, Fasan, Auerhuhn) mit Schrot auf Best-Case-Szenario 1-2 Kugeln treffen ein, was bedeutet, dass Sie verwundet bleiben. Ist der Schussfall hingegen immer noch zufriedenstellend, wird das Wild (Ente, Auerhahn, Birkhuhn, Fasan, Hase) einfach in Stücke gerissen und verliert seinen gesamten Wert.

Wenn Sie hingegen zu kleine Projektile verschießen, durchdringen Sie das Gefieder eines Auerhahns oder einer Gans sowie die Haut eines Rehs nicht und schießen somit umsonst.

Wie kann man die Kampfgenauigkeit mit Jagdschüssen verbessern?

Viele Leute fragen: Welchen Sinn hat es, Munition mit eigenen Händen herzustellen, wenn es gute Magazinladungen gibt? Wenn Sie die Aufnahme zu Hause machen, ist sie viel günstiger, auch wenn sie qualitativ schlechter ist als die Fabrikaufnahme. Darüber hinaus ziehen es viele alte Jäger vor, ihre eigene Munition herzustellen (je nachdem, wen sie jagen: Birkhuhn, Ente, Auerhahn, Hase oder Gans), um die Qualität des Kampfes sicherzustellen. Beim Gießen werden in der Regel Schrotpatronen oder mittlere/große Mengen produziert. Blei wird entweder aus Kabelleitungen oder Batterieleitungen (Anschlüssen) entnommen und im Verhältnis 1/3 gemischt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, zu Hause Aufnahmen zu machen, aber alle Optionen hängen bis zu dem einen oder anderen Grad mit dem Casting zusammen. Hier ist eine dieser Methoden:

1. Alles beginnt mit einem Schrotflintenstempel, der einmal gemacht und dann ein Leben lang verwendet werden muss. Es sieht aus wie zwei Metallstücke mit Rillen, die durch ein Scharnier mit Griffen verbunden sind. In beiden Hälften machen wir Aussparungen für verschiedene Größen Pellets (von Schrot bis Nummer 2). Die dabei entstehenden halbkugelförmigen Aussparungen werden durch Nuten miteinander verbunden. Alle gesammelten Rillen gelangen in die Rinne. Je besser die Rillen sind, desto höher ist die Qualität des Schrots.
2. Wir gießen geschmolzenes Bleischrot (nach obigem Rezept) in die Rinne und nach dem Gießen werden die Kugeln einfach mit einer Metallschere voneinander abgeschnitten.

Bereit! Bevor man damit jemanden erschießt, empfiehlt es sich, es auf einer Schrotrolle zu rollen, da sonst die Treffsicherheit und die Reichweite des Feuers darunter leiden (die Jagd auf Rehe, Auerhühner, Enten, Gänse oder Birkhühner kommt nicht in Frage).

Beispiele mit Brüchen - eines davon Hauptelemente Mathematik. Da sind viele verschiedene Typen Gleichungen mit Brüchen. Drunter ist detaillierte Anleitung zur Lösung solcher Beispiele.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – allgemeine Regeln

Um Beispiele mit Brüchen jeglicher Art zu lösen, sei es Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division, müssen Sie die Grundregeln kennen:

• Um Bruchausdrücke mit demselben Nenner hinzuzufügen (der Nenner ist die Zahl unten im Bruch, der Zähler oben), müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.
• Um einen zweiten Bruchausdruck (mit demselben Nenner) von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie dessen Zähler subtrahieren und den Nenner gleich lassen.
• Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner finden.
• Um ein gebrochenes Produkt zu finden, müssen Sie Zähler und Nenner multiplizieren und, wenn möglich, reduzieren.
• Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten Bruch umgekehrt mit dem zweiten Bruch.

Wie man Beispiele mit Brüchen löst – üben

Regel 1, Beispiel 1:

Berechnen Sie 3/4 + 1/4.

Wenn zwei (oder mehr) Brüche denselben Nenner haben, addieren Sie gemäß Regel 1 einfach ihre Zähler. Wir erhalten: 3/4 + 1/4 = 4/4. Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, ist der Bruch gleich 1.

Antwort: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Regel 2, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4 – 1/4

Um diese Gleichung mithilfe von Regel Nummer 2 zu lösen, müssen Sie 1 von 3 subtrahieren und den Nenner gleich lassen. Wir bekommen 2/4. Da zwei 2 und 4 reduziert werden können, reduzieren wir und erhalten 1/2.

Antwort: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Regel 3, Beispiel 1

Berechnen Sie: 3/4 + 1/6

Lösung: Mithilfe der 3. Regel ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner ist eine Zahl, die durch alle Nenner teilbar ist Bruchausdrücke Beispiel. Daher müssen wir die Mindestzahl finden, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist. Diese Zahl ist 12. Wir schreiben 12 als Nenner. Teilen Sie 12 durch den Nenner des ersten Bruchs, wir erhalten 3, multiplizieren Sie mit 3, schreiben Sie 3 im Zähler *3 und +-Zeichen. Teilen Sie 12 durch den Nenner des zweiten Bruchs, wir erhalten 2, multiplizieren Sie 2 mit 1, schreiben Sie 2*1 in den Zähler. Es stellte sich also heraus neuer Bruch mit einem Nenner gleich 12 und einem Zähler gleich 3*3+2*1=11. 11/12.

Antwort: 11/12

Regel 3, Beispiel 2:

Berechnen Sie 3/4 – 1/6. Dieses Beispiel ist dem vorherigen sehr ähnlich. Wir machen alle die gleichen Schritte, aber in den Zähler schreiben wir anstelle des +-Zeichens ein Minuszeichen. Wir erhalten: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Antwort: 7/12

Regel 4, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4 * 1/4

Mit der vierten Regel multiplizieren wir den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten. 3*1/4*4 = 3/16.

Antwort: 3/16

Regel 4, Beispiel 2:

Berechnen Sie 2/5 * 10/4.

Dieser Anteil kann reduziert werden. Bei einem Produkt entfallen der Zähler des ersten Bruchs und der Nenner des zweiten sowie der Zähler des zweiten Bruchs und der Nenner des ersten.

2 streicht von 4. 10 streicht von 5. Wir erhalten 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Antwort: 2/5 * 10/4 = 1

Regel 5, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4: 5/6

Mit der 5. Regel erhalten wir: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Wir reduzieren den Bruch nach dem Prinzip des vorherigen Beispiels und erhalten 9/10.

Antwort: 9/10.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – Bruchgleichungen

Bruchgleichungen sind Beispiele, bei denen der Nenner eine Unbekannte enthält. Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie bestimmte Regeln anwenden.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lösen Sie die Gleichung 15/3x+5 = 3

Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null dividieren können, d. h. Der Nennerwert darf nicht Null sein. Bei der Lösung solcher Beispiele muss darauf hingewiesen werden. Hierzu gibt es einen OA (zulässiger Wertebereich).

Also 3x+5 ≠ 0.
Daher: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Bei x = 5/3 hat die Gleichung einfach keine Lösung.

Nach Angabe der ODZ, auf die bestmögliche Art und Weise entscheiden gegebene Gleichung wird Brüche loswerden. Stellen wir uns dazu zunächst alles vor Bruchwerte in Form eines Bruchs, in in diesem Fall Nummer 3. Wir erhalten: 15/(3x+5) = 3/1. Um Brüche loszuwerden, müssen Sie jeden Bruch mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multiplizieren. In diesem Fall ist es (3x+5)*1. Reihenfolge:

1. Multiplizieren Sie 15/(3x+5) mit (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Öffnen Sie die Klammern: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Das Gleiche machen wir auch mit rechte Seite Gleichungen: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Setzen Sie die linke und rechte Seite gleich: 45x + 75 = 9x +15
5. Verschieben Sie die X nach links, die Zahlen nach rechts: 36x = – 50
6. Finden Sie x: x = -50/36.
7. Wir reduzieren: -50/36 = -25/18

Antwort: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – gebrochene Ungleichungen

Bruchungleichungen vom Typ (3x-5)/(2-x)≥0 werden mithilfe der Zahlenachse gelöst. Schauen wir uns dieses Beispiel an.

Reihenfolge:

• Wir setzen Zähler und Nenner mit Null gleich: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Wir zeichnen Zahlenachse und schreibt die resultierenden Werte darauf.
• Zeichnen Sie einen Kreis unter den Wert. Es gibt zwei Arten von Kreisen – gefüllte und leere. Ein ausgefüllter Kreis bedeutet das gegebener Wert gehört zum Lösungsangebot. Ein leerer Kreis zeigt an, dass dieser Wert nicht im Lösungsbereich enthalten ist.
• Da der Nenner nicht sein kann gleich Null, unter dem 2. wird es einen leeren Kreis geben.

• Um die Vorzeichen zu bestimmen, setzen wir eine beliebige Zahl größer als zwei in die Gleichung ein, zum Beispiel 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. Der Wert ist negativ, das heißt, wir schreiben über den Bereich nach den beiden ein Minus. Ersetzen Sie dann für X einen beliebigen Wert des Intervalls von 5/3 bis 2, beispielsweise 1. Der Wert ist wiederum negativ. Wir schreiben ein Minus. Wir wiederholen dasselbe mit dem Bereich bis 5/3. Wir ersetzen jede Zahl kleiner als 5/3, zum Beispiel 1. Wieder minus.

• Da wir an den Werten von x interessiert sind, bei denen der Ausdruck größer oder gleich 0 ist, und es solche Werte nicht gibt (es gibt überall Minuspunkte), hat diese Ungleichung keine Lösung, d. h. x = Ø (eine leere Menge).

Antwort: x = Ø

Zähler und Nenner eines Bruchs. Arten von Brüchen. Schauen wir uns weiterhin Brüche an. Zunächst ein kleiner Haftungsausschluss – wenn wir Brüche berücksichtigen und relevante Beispiele mit ihnen werden wir vorerst nur mit ihrer numerischen Darstellung arbeiten. Es gibt auch Bruchzahlen wörtliche Ausdrücke(mit und ohne Zahlen).Allerdings gelten auch für sie alle „Grundsätze“ und Regeln, über solche Ausdrücke werden wir in Zukunft aber gesondert sprechen. Ich empfehle, das Thema Brüche Schritt für Schritt zu besuchen und zu studieren (sich daran zu erinnern).

Das Wichtigste ist, zu verstehen, sich daran zu erinnern und zu erkennen, dass ein Bruchteil eine Zahl ist!!!

Gemeinsamer Bruch ist eine Zahl der Form:

Die „oben“ liegende Zahl (in diesem Fall m) nennt man Zähler, die darunter liegende Zahl (Zahl n) nennt man Nenner. Diejenigen, die das Thema gerade angesprochen haben, sind oft verwirrt darüber, wie sie es nennen.

Hier ist ein Trick, wie Sie sich für immer merken können, wo der Zähler und wo der Nenner ist. Diese Technik verbunden mit Wort-Bild-Assoziation. Stellen Sie sich ein Glas mit trübem Wasser vor. Es ist bekannt, dass beim Absetzen von Wasser sauberes Wasser oben bleibt und sich Trübungen (Schmutz) absetzen. Denken Sie daran:

CHISS-Schmelzwasser OBEN (CHISS-Schmelzwasser oben)

Grya Z33NN Wasser ist UNTEN (ZNNNN Amenator ist unten)

Sobald also das Bedürfnis besteht, sich daran zu erinnern, wo der Zähler und wo der Nenner ist, haben wir uns sofort visuell ein Glas mit abgesetztem Wasser vorgestellt Reines Wasser, und darunter schmutziges Wasser. Es gibt noch andere Gedächtnistricks. Wenn sie Ihnen helfen, dann gut.

Beispiele für gemeinsame Brüche:

Was bedeutet die horizontale Linie zwischen den Zahlen? Dies ist nichts weiter als ein Teilungszeichen. Es stellt sich heraus, dass ein Bruch als Beispiel für die Wirkung der Division betrachtet werden kann. Diese Aktion wird einfach in diesem Formular aufgezeichnet. Das heißt, die obere Zahl (Zähler) wird durch die untere Zahl (Nenner) dividiert:

Darüber hinaus gibt es eine andere Form der Notation – ein Bruch kann wie folgt geschrieben werden (durch einen Schrägstrich):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 und so weiter ...

Wir können die obigen Brüche wie folgt schreiben:

Das Ergebnis der Division ist, wie diese Zahl bekannt ist.

Wir haben es herausgefunden – DAS IST EINE BRUCHZAHL!!!

Wie Sie bereits bemerkt haben, gemeinsamer Bruch Der Zähler kann kleiner als der Nenner, größer als der Nenner oder gleich diesem sein. Da sind viele wichtige Punkte, die ohne theoretische Verfeinerungen intuitiv verständlich sind. Zum Beispiel:

1. Die Brüche 1 und 3 können als 0,5 und 0,01 geschrieben werden. Lassen Sie uns einen kleinen Sprung nach vorne machen – das sind Dezimalbrüche, wir werden etwas weiter unten darüber sprechen.

2. Die Brüche 4 und 6 ergeben die ganze Zahl 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Der Bruch 5 ergibt eins 155:155 = 1.

Welche Schlussfolgerungen liegen vor? Nächste:

1. Der Zähler kann durch Division durch den Nenner ergeben letzte Zahl. Es funktioniert möglicherweise nicht, dividieren Sie mit einer Spalte 7 durch 13 oder 17 durch 11 – auf keinen Fall! Sie können endlos teilen, aber auch darüber sprechen wir weiter unten.

2. Ein Bruch kann eine ganze Zahl ergeben. Daher können wir jede ganze Zahl als Bruch oder vielmehr als unendliche Reihe von Brüchen darstellen. Sehen Sie, alle diese Brüche sind gleich 2:

Noch! Wir können jede ganze Zahl immer als Bruch schreiben – die Zahl selbst steht im Zähler, die Einheit im Nenner:

3. Wir können eine Einheit immer als Bruch mit einem beliebigen Nenner darstellen:

*Diese Punkte sind äußerst wichtig für die Arbeit mit Brüchen bei Berechnungen und Transformationen.

Arten von Brüchen.

Und nun zur theoretischen Division gewöhnlicher Brüche. Sie sind unterteilt in richtig und falsch.

Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist, wird echter Bruch genannt. Beispiele:

Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, wird als unechter Bruch bezeichnet. Beispiele:

Gemischte Fraktion(gemischte Zahl).

Ein gemischter Bruch ist ein Bruch, der als ganze Zahl und echter Bruch geschrieben wird und als Summe dieser Zahl und ihres Bruchteils verstanden wird. Beispiele:

Ein gemischter Bruch kann immer als unechter Bruch dargestellt werden und umgekehrt. Lass uns weitermachen!

Dezimalbrüche.

Wir haben sie oben bereits angesprochen, das sind die Beispiele (1) und (3), nun ausführlicher. Hier sind Beispiele für Dezimalbrüche: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist, z. B. 10, 100, 1000 usw., wird Dezimalzahl genannt. Schreiben Sie die ersten drei auf angegebene Brüche in Form gewöhnlicher Brüche ist einfach:

Der vierte ist ein gemischter Bruch (gemischte Zahl):

Der Dezimalbruch hat das folgende Formular Aufzeichnungen - vongestartet ganzer Teil, dann das Dezimaltrennzeichen Punkt oder Komma und dann Fraktion, die Anzahl der Ziffern des Bruchteils wird streng durch die Dimension des Bruchteils bestimmt: Wenn es sich um Zehntel handelt, wird der Bruchteil als eine Ziffer geschrieben; wenn Tausendstel - drei; Zehntausendstel - vier usw.

Diese Brüche können endlich oder unendlich sein.

Beispiele für endende Dezimalbrüche: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Die Beispiele sind endlos. Beispielsweise ist die Zahl Pi unendlich Dezimal, mehr – 0,333333333333…... 0,16666666666…. und andere. Auch das Ergebnis der Wurzelbildung aus den Zahlen 3, 5, 7 usw. wird ein unendlicher Bruchteil sein.

Der Bruchteil kann zyklisch sein (er enthält einen Zyklus), die beiden obigen Beispiele sind genau so und weitere Beispiele:

0,123123123123…... Zyklus 123

0,781781781718...... Zyklus 781

0,0250102501…. Zyklus 02501

Sie können als 0,(123) 0,(781) 0,(02501) geschrieben werden.

Die Zahl Pi ist kein zyklischer Bruch, wie beispielsweise die Wurzel aus drei.

In den folgenden Beispielen erklingen Wörter wie „einen Bruch umdrehen“ – das bedeutet, dass Zähler und Nenner vertauscht sind. Tatsächlich hat ein solcher Bruch einen Namen – einen Kehrbruch. Beispiele für reziproke Brüche:

Eine kleine Zusammenfassung! Brüche sind:

Gewöhnlich (richtig und falsch).

Dezimalzahlen (endlich und unendlich).

Gemischt (gemischte Zahlen).

Das ist alles!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

1 Was sind gewöhnliche Brüche? Arten von Brüchen.
Ein Bruch bedeutet immer einen Teil eines Ganzen. Tatsache ist, dass Mengen nicht immer in natürlichen Zahlen ausgedrückt, also umgerechnet werden können: 1,2,3 usw. Wie bezeichnet man beispielsweise eine halbe Wassermelone oder eine Viertelstunde? Deshalb sind sie erschienen Bruchzahlen oder Brüche.

Zunächst muss gesagt werden, dass es im Allgemeinen zwei Arten von Brüchen gibt: gewöhnliche Brüche und Dezimalbrüche. Gewöhnliche Brüche werden wie folgt geschrieben:
Dezimalbrüche werden anders geschrieben:

Gewöhnliche Brüche bestehen aus zwei Teilen: Oben ist der Zähler, unten ist der Nenner. Zähler und Nenner werden durch einen Bruchstrich getrennt. Also denk daran:

Jeder Bruch ist Teil eines Ganzen. Normalerweise als Ganzes betrachtet 1 (Einheit). Der Nenner eines Bruchs gibt an, in wie viele Teile das Ganze zerlegt ist ( 1 ), und der Zähler gibt an, wie viele Teile entnommen wurden. Wenn wir den Kuchen in 6 Teile schneiden identische Teile(In der Mathematik heißt es Anteile ), dann entspricht jeder Teil des Kuchens 1/6. Wenn Vasya 4 Stück gegessen hat, bedeutet das, dass er 4/6 gegessen hat.

Ein Schrägstrich hingegen ist nichts anderes als ein Divisionszeichen. Daher ist ein Bruch der Quotient zweier Zahlen – des Zählers und des Nenners. Im Text von Aufgaben oder in Rezepten werden Brüche normalerweise so geschrieben: 2/3, 1/2 usw. Einige Bruchteile erhalten Eigenname, zum Beispiel, 1/2 ist „halb“, 1/3 ist „drittel“, 1/4 ist „viertel“
Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Arten von gewöhnlichen Brüchen es gibt.

2 Arten gewöhnlicher Brüche

Es gibt drei Arten von gewöhnlichen Brüchen: echte, unechte und gemischte Brüche:

Richtiger Bruch

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, heißt ein solcher Bruch richtig, Zum Beispiel: Ein echter Bruch ist immer kleiner als 1.

Unechter Bruch

Wenn der Zähler größer als der Nenner ist oder gleich dem Nenner, ein solcher Bruch heißt falsch, Zum Beispiel:

Nicht richtiger Bruch größer als eins (wenn der Zähler größer als der Nenner ist) oder gleich eins (wenn der Zähler gleich dem Nenner ist)

Gemischte Fraktion

Besteht ein Bruch aus einer ganzen Zahl (ganzzahliger Teil) und einem echten Bruch (Bruchteil), dann heißt ein solcher Bruch gemischt, Zum Beispiel:

Ein gemischter Bruch ist immer größer als eins.

3 Bruchumrechnungen

In der Mathematik müssen gewöhnliche Brüche oft umgerechnet werden, das heißt, ein gemischter Bruch muss in einen unechten Bruch umgewandelt werden und umgekehrt. Dies ist notwendig, um bestimmte Operationen wie Multiplikation und Division durchzuführen.

Also, Jeder gemischte Bruch kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Dazu wird der ganze Teil mit dem Nenner multipliziert und der Zähler des Bruchteils addiert. Der resultierende Betrag wird als Zähler genommen und der Nenner bleibt gleich, zum Beispiel:

ich liebe es unechter Bruch kann gemischt werden. Teilen Sie dazu den Zähler durch den Nenner (mit einem Rest). Die resultierende Zahl ist der ganzzahlige Teil und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, zum Beispiel:

Gleichzeitig sagen sie: „Wir haben den ganzen Teil vom unechten Bruch isoliert.“

Noch eine Regel, die Sie sich merken sollten: Jede ganze Zahl kann als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden, Zum Beispiel:

Lassen Sie uns darüber sprechen, wie man Brüche vergleicht.

4 Vergleich von Brüchen

Beim Vergleich von Brüchen kann es mehrere Möglichkeiten geben: Es ist einfach, Brüche mit gleichen Nennern zu vergleichen, deutlich schwieriger ist es jedoch, wenn die Nenner unterschiedlich sind. Und es gibt auch einen Vergleich gemischte Brüche. Aber keine Sorge, jetzt schauen wir uns jede Option im Detail an und lernen, wie man Brüche vergleicht.

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Von zwei Brüchen mit demselben Nenner, aber unterschiedlichen Zählern ist der Bruch mit dem größeren Zähler größer, zum Beispiel:

Brüche mit gleichen Zählern vergleichen

Von zwei Brüchen mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer, zum Beispiel:

Vergleich gemischter und unechter Brüche mit echten Brüchen

Ein unechter oder gemischter Bruch ist immer größer als ein echter Bruch, zum Beispiel:

Vergleich zweier gemischter Brüche

Beim Vergleich zweier gemischter Brüche ist der Bruch größer, dessen ganzer Teil größer ist, zum Beispiel:

Wenn die ganzen Teile gemischter Brüche gleich sind, ist der Bruch, dessen Bruchteil größer ist, größer, zum Beispiel:

Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Zählern und Nennern

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Zählern und Nennern nicht vergleichen, ohne sie umzuwandeln. Zuerst müssen die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert werden und dann müssen ihre Zähler verglichen werden. Der größere ist der Bruch, dessen Zähler größer ist. In den nächsten beiden Abschnitten des Artikels werden wir uns jedoch ansehen, wie man Brüche auf denselben Nenner reduziert. Zuerst betrachten wir die Grundeigenschaft von Brüchen und die Reduktion von Brüchen und dann die direkte Reduktion von Brüchen auf denselben Nenner.

5 Die Haupteigenschaft eines Bruchs. Brüche reduzieren. Das Konzept der GCD.

Erinnern: Sie können nur Brüche addieren, subtrahieren und vergleichen, die den gleichen Nenner haben. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, müssen Sie zunächst die Brüche auf den gleichen Nenner bringen, d. h. einen der Brüche so umwandeln, dass sein Nenner mit dem des zweiten Bruchs übereinstimmt.

Brüche haben eine Sache wichtige Eigenschaft, auch genannt die Haupteigenschaft eines Bruchs:

Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:

Dank dieser Eigenschaft können wir Brüche reduzieren:

Einen Bruch zu reduzieren bedeutet, sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl zu dividieren.(siehe Beispiel oben). Wenn wir einen Bruch kürzen, können wir unsere Aktionen so schreiben:

In Notizbüchern wird der Bruch häufiger wie folgt abgekürzt:

Aber denken Sie daran: Sie können Faktoren nur reduzieren. Wenn der Zähler oder Nenner eine Summe oder eine Differenz enthält, können Sie die Terme nicht reduzieren. Beispiel:

Sie müssen die Summe zunächst in einen Multiplikator umrechnen:

Manchmal, wenn man mit arbeitet große Zahlen, um einen Bruch zu reduzieren, ist es bequem zu finden größte gemeinsamer Teiler Zähler und Nenner (GCD)

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) mehrere Zahlen - das ist die größte natürliche Zahl, durch die diese Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Um den ggT zweier Zahlen (z. B. Zähler und Nenner eines Bruchs) zu ermitteln, müssen Sie beide Zahlen faktorisieren Primfaktoren, markieren Sie in beiden Erweiterungen die gleichen Faktoren und multiplizieren Sie diese Faktoren. Das resultierende Produkt ist der GCD. Zum Beispiel müssen wir einen Bruch kürzen:

Lassen Sie uns den gcd der Nummern 96 und 36 ermitteln:

GCD zeigt uns, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner einen Faktor von 12 haben und wir den Bruch leicht reduzieren können.

Um Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen, reicht es manchmal aus, einen der Brüche zu reduzieren. Aber häufiger ist es notwendig, auszuwählen zusätzliche Multiplikatoren für beide Brüche. Nun schauen wir uns an, wie das geht. Also:

6 So reduzieren Sie Brüche auf denselben Nenner. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM).

Wenn wir Brüche auf denselben Nenner reduzieren, wählen wir eine Zahl für den Nenner, die sowohl durch den ersten als auch durch den zweiten Nenner teilbar ist (d. h. sie wäre ein Vielfaches beider Nenner). mathematische Sprache). Und es ist wünschenswert, dass diese Zahl so klein wie möglich ist, damit sie bequemer gezählt werden kann. Daher müssen wir die LCM beider Nenner finden.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen (LCM) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist. Manchmal kann die LCM mündlich gefunden werden, aber häufiger, insbesondere wenn Sie mit großen Zahlen arbeiten, müssen Sie die LCM schriftlich finden, indem Sie den folgenden Algorithmus verwenden:

Um den LCM mehrerer Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:

1. Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren
2. Nehmen Sie die größte Erweiterung und schreiben Sie diese Zahlen als Produkt
3. Wählen Sie in anderen Zerlegungen die Zahlen aus, die in der größten Zerlegung nicht vorkommen (oder seltener vorkommen) und addieren Sie sie zum Produkt.
4. Multiplizieren Sie alle Zahlen im Produkt, das ergibt den LCM.

Lassen Sie uns zum Beispiel den LCM der Zahlen 28 und 21 ermitteln:

Kehren wir jedoch zu unseren Brüchen zurück. Nachdem wir die LCM beider Nenner gefunden oder schriftlich berechnet haben, müssen wir die Zähler dieser Brüche mit multiplizieren zusätzliche Multiplikatoren. Sie finden sie, indem Sie den LCM durch den Nenner des entsprechenden Bruchs dividieren, zum Beispiel:

Daher haben wir unsere Brüche auf den gleichen Nenner reduziert – 15.

7 Brüche addieren und subtrahieren

Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren, den Nenner jedoch gleich lassen, zum Beispiel:

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen, zum Beispiel:

Gemischte Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren

Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie ihre ganzen Teile separat addieren und dann ihre Bruchteile addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch schreiben:

Wenn Sie beim Addieren von Bruchteilen einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie daraus den ganzen Teil aus und addieren ihn zum ganzen Teil, zum Beispiel:

Die Subtraktion erfolgt auf ähnliche Weise: Der ganzzahlige Teil wird vom ganzen Teil subtrahiert, und der gebrochene Teil wird vom gebrochenen Teil subtrahiert:

Wenn der Nachkommateil des Subtrahends größer ist als der Nachkommateil des Minuends, „leihen“ wir eins vom ganzen Teil aus, wandeln den Minuend in einen unechten Bruch um und gehen dann wie gewohnt vor:

Ebenfalls einen Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren:

So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch

Um eine ganze Zahl und einen Bruch zu addieren, fügen Sie einfach diese Zahl vor dem Bruch hinzu, um einen gemischten Bruch zu erstellen, zum Beispiel:

Wenn wir Addieren einer ganzen Zahl und eines gemischten Bruchs, addieren wir diese Zahl zum ganzen Teil des Bruchs, zum Beispiel:

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie diese zunächst auf den gleichen Nenner bringen und dann wie bei der Addition von Brüchen mit gleichen Nennern vorgehen (Zähler addieren):

Beim Subtrahieren gehen wir genauso vor:

Wenn wir mit gemischten Brüchen arbeiten, reduzieren wir deren Bruchteile auf den gleichen Nenner und subtrahieren dann wie gewohnt: den ganzen Teil vom ganzen Teil und den Bruchteil vom Bruchteil:

8 Brüche multiplizieren und dividieren.

Das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen ist viel einfacher als das Addieren und Subtrahieren, da Sie sie nicht auf den gleichen Nenner reduzieren müssen. Erinnern einfache Regeln Brüche multiplizieren und dividieren:

Vor der Multiplikation der Zahlen im Zähler und Nenner empfiehlt es sich, den Bruch zu reduzieren, also auf die gleichen Faktoren im Zähler und Nenner zu verzichten, wie in unserem Beispiel.

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren, müssen Sie den Nenner mit dieser Zahl multiplizieren und den Zähler unverändert lassen:

Zum Beispiel:

Einen Bruch durch einen Bruch dividieren

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren ( reziproker Bruch).Was für ein reziproker Bruch ist das?

Wenn wir den Bruch umdrehen, also Zähler und Nenner vertauschen, erhalten wir einen Kehrbruch. Das Produkt eines Bruchs und seiner Umkehrung ergibt eins. In der Mathematik nennt man solche Zahlen Kehrwerte:

Zum Beispiel Zahlen - gegenseitig umgekehrt, da

Kehren wir also zur Division eines Bruchs durch einen Bruch zurück:

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren:

Zum Beispiel:

Beim Dividieren gemischter Brüche müssen Sie diese, genau wie beim Multiplizieren, zunächst in unechte Brüche umwandeln:

Beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen mit ganzen natürlichen Zahlen Sie können diese Zahlen auch als Brüche mit Nenner darstellen 1 .

Und wann eine ganze Zahl durch einen Bruch dividieren Stellen Sie diese Zahl als Bruch mit Nenner dar 1 :

Bruchteile einer Einheit und wird dargestellt als \frac(a)(b).

Zähler des Bruchs (a)- die Zahl über der Bruchlinie, die die Anzahl der Anteile angibt, in die die Einheit aufgeteilt wurde.

Bruchnenner (b)- die Zahl, die sich unter der Bruchlinie befindet und angibt, in wie viele Teile die Einheit unterteilt ist.

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Die Haupteigenschaft eines Bruchs

Wenn ad=bc, dann zwei Brüche \frac(a)(b) Und \frac(c)(d) gelten als gleichwertig. Beispielsweise sind die Brüche gleich \frac35 Und \frac(9)(15), da 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) Und \frac(24)(14), da 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Aus der Definition der Gleichheit von Brüchen folgt, dass die Brüche gleich sind \frac(a)(b) Und \frac(am)(bm), da a(bm)=b(am) - klares Beispiel Anwendung der assoziativen und kommutativen Eigenschaften der Multiplikation natürlicher Zahlen in Aktion.

Bedeutet \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- so sieht es aus Haupteigenschaft eines Bruchs.

Mit anderen Worten: Wir erhalten einen Bruch, der dem gegebenen Bruch gleich ist, indem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren oder dividieren.

Einen Bruch reduzieren ist der Vorgang des Ersetzens eines Bruchs, bei dem der neue Bruch gleich dem ursprünglichen ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist.

Es ist üblich, Brüche basierend auf der Grundeigenschaft des Bruchs zu reduzieren.

Zum Beispiel, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(Zähler und Nenner werden durch die Zahl 3 geteilt); der resultierende Bruch kann durch Division durch 5 wieder reduziert werden, d.h \frac(15)(20)=\frac 34.

Irreduzibler Bruch ist ein Bruchteil der Form \frac 34, wobei Zähler und Nenner gegenseitig sind Primzahlen. Der Hauptzweck der Reduktion eines Bruchs besteht darin, den Bruch irreduzibel zu machen.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Nehmen wir als Beispiel zwei Brüche: \frac(2)(3) Und \frac(5)(8) mit unterschiedlichen Nennern 3 und 8. Um diese Brüche auf zu reduzieren gemeinsamer Nenner und multiplizieren Sie zunächst den Zähler und den Nenner des Bruchs \frac(2)(3) um 8. Wir bekommen nächstes Ergebnis: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Dann multiplizieren wir Zähler und Nenner des Bruchs \frac(5)(8) um 3. Als Ergebnis erhalten wir: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Die ursprünglichen Brüche werden also auf einen gemeinsamen Nenner 24 reduziert.

Arithmetische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen

Addition gewöhnlicher Brüche

a) Wann gleiche Nenner Der Zähler des ersten Bruchs wird zum Zähler des zweiten Bruchs addiert, sodass der Nenner derselbe bleibt. Wie Sie im Beispiel sehen können:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Wann verschiedene Nenner Brüche werden zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und dann die Zähler gemäß Regel a) addiert:

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Brüche subtrahieren

a) Wenn die Nenner gleich sind, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lassen Sie den Nenner gleich:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Sind die Nenner der Brüche unterschiedlich, werden zunächst die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht und dann die Aktionen wie in Punkt a) wiederholt.

Gemeinsame Brüche multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen gilt folgende Regel:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

das heißt, sie multiplizieren Zähler und Nenner getrennt.

Zum Beispiel:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Brüche dividieren

Brüche werden wie folgt geteilt:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

das heißt, ein Bruchteil \frac(a)(b) mit einem Bruch multipliziert \frac(d)(c).

Beispiel: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Reziproke Zahlen

Wenn ab=1 , dann ist die Zahl b reziproke Zahl für die Zahl a.

Beispiel: Für die Zahl 9 ist der Kehrwert \frac(1)(9), als 9\cdot\frac(1)(9)=1, für die Zahl 5 - \frac(1)(5), als 5\cdot\frac(1)(5)=1.

Dezimalstellen

Dezimal wird als echter Bruch bezeichnet, dessen Nenner 10, 1000, 10\.000, ..., 10^n ist.

Zum Beispiel: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Unregelmäßige Zahlen mit dem Nenner 10^n oder gemischte Zahlen werden auf die gleiche Weise geschrieben.

Zum Beispiel: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Jeder gewöhnliche Bruch, dessen Nenner ein Teiler einer bestimmten Zehnerpotenz ist, wird als Dezimalbruch dargestellt.

Beispiel: 5 ist ein Teiler von 100, also ein Bruch \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Arithmetische Operationen mit Dezimalzahlen

Dezimalzahlen hinzufügen

Um zwei Dezimalbrüche zu addieren, müssen Sie sie so anordnen, dass identische Ziffern untereinander und ein Komma unter dem Komma stehen, und dann die Brüche wie gewöhnliche Zahlen addieren.

Dezimalzahlen subtrahieren

Die Durchführung erfolgt auf die gleiche Weise wie die Addition.

Dezimalzahlen multiplizieren

Beim Multiplizieren Dezimal Zahlen einfach multiplizieren gegebene Zahlen, ohne auf Kommas (als natürliche Zahlen) zu achten, und in der resultierenden Antwort trennt ein Komma auf der rechten Seite so viele Ziffern, wie in beiden Faktoren insgesamt Nachkommastellen vorhanden sind.

Multiplizieren wir 2,7 mit 1,3. Wir haben 27 \cdot 13=351 . Wir trennen zwei Ziffern rechts durch ein Komma (die erste und zweite Zahl haben eine Nachkommastelle; 1+1=2). Als Ergebnis erhalten wir 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Wenn das erhaltene Ergebnis ist weniger Zahlen Wenn Sie es durch ein Komma trennen müssen, schreiben Sie die fehlenden Nullen voran, zum Beispiel:

Um mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren, müssen Sie den Dezimalpunkt um 1, 2, 3 Stellen nach rechts verschieben (ggf. wird er nach rechts verschoben). bestimmte Nummer Nullen).

Beispiel: 1,47\cdot 10\.000 = 14.700.

Dezimaldivision

Die Division eines Dezimalbruchs durch eine natürliche Zahl erfolgt auf die gleiche Weise wie die Division einer natürlichen Zahl durch eine natürliche Zahl. Das Komma im Quotienten wird gesetzt, nachdem die Division des ganzen Teils abgeschlossen ist.

Wenn der ganzzahlige Teil der Dividende kleiner als Teiler, dann stellt sich heraus, dass die Antwort null ganze Zahlen ist, zum Beispiel:

Schauen wir uns die Division einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl an. Nehmen wir an, wir müssen 2,576 durch 1,12 teilen. Lassen Sie uns zunächst den Dividenden und den Teiler des Bruchs mit 100 multiplizieren, d in diesem Beispiel um zwei). Dann müssen Sie den Bruch 257,6 durch die natürliche Zahl 112 dividieren, d. h. das Problem reduziert sich auf den bereits betrachteten Fall:

Es kommt vor, dass man den letzten Dezimalbruch nicht immer erhält, wenn man eine Zahl durch eine andere dividiert. Das Ergebnis ist ein unendlicher Dezimalbruch. In solchen Fällen gehen wir zu gewöhnlichen Brüchen über.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).