Modul per Definition. Der absolute Wert einer Zahl. Komplette Lektionen - Wissens-Hypermarkt. Historische Informationen zum Zahlenmodul

Der absolute Wert einer Zahl A ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt A(A).

Um diese Definition zu verstehen, ersetzen wir die Variable A Geben Sie eine beliebige Zahl ein, zum Beispiel 3, und versuchen Sie erneut, sie zu lesen:

Der absolute Wert einer Zahl 3 ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt A(3 ).

Es wird deutlich, dass es sich bei dem Modul um nichts anderes als eine gewöhnliche Distanz handelt. Versuchen wir, den Abstand vom Ursprung zum Punkt A( 3 )

Abstand vom Ursprung zum Punkt A( 3 ) ist gleich 3 (drei Einheiten oder drei Schritte).

Der Modul einer Zahl wird durch zwei vertikale Linien angezeigt, zum Beispiel:

Der Modul der Zahl 3 wird wie folgt bezeichnet: |3|

Der Modul der Zahl 4 wird wie folgt bezeichnet: |4|

Der Modul der Zahl 5 wird wie folgt bezeichnet: |5|

Wir haben nach dem Modul der Zahl 3 gesucht und herausgefunden, dass er gleich 3 ist. Also schreiben wir es auf:

Liest sich wie: „Der Modul der Zahl Drei ist drei“

Versuchen wir nun, den Modul der Zahl -3 zu ermitteln. Wir kehren wieder zur Definition zurück und ersetzen darin die Zahl -3. Nur statt eines Punktes A wir gebrauchen neuer Punkt B. Punkt A haben wir bereits im ersten Beispiel verwendet.

Modul der Zahl - 3 ist der Abstand vom Ursprung zu einem Punkt B(—3 ).

Der Abstand von einem Punkt zum anderen kann nicht negativ sein. Daher ist der Modul einer negativen Zahl, da er ein Abstand ist, auch nicht negativ. Der Modul der Zahl -3 ist die Zahl 3. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt B(-3) beträgt ebenfalls drei Einheiten:

Liest sich wie: „Der Modul von minus drei ist drei.“

Der Modul der Zahl 0 ist gleich 0, da der Punkt mit der Koordinate 0 mit dem Ursprung zusammenfällt, d.h. Abstand vom Ursprung zum Punkt O(0) gleich Null:

„Der Modul von Null ist Null“

Wir ziehen Schlussfolgerungen:

• Der Modul einer Zahl kann nicht negativ sein;
• Für eine positive Zahl und Null ist der Modul gleich der Zahl selbst und für eine negative Zahl – das Gegenteil;
• Gegenteilige Zahlen haben gleiche Module.

Gegensätzliche Zahlen

Es werden Zahlen genannt, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden Gegenteil. Beispielsweise sind die Zahlen −2 und 2 Gegensätze. Sie unterscheiden sich nur in den Merkmalen. Die Zahl −2 hat ein Minuszeichen und 2 ein Pluszeichen, aber wir sehen es nicht, weil Plus, wie wir bereits sagten, traditionell nicht geschrieben wird.

Weitere Beispiele für entgegengesetzte Zahlen:

Gegenüberliegende Zahlen haben gleiche Module. Suchen wir zum Beispiel die Module für −2 und 2

Die Abbildung zeigt den Abstand vom Ursprung zu den Punkten A(−2) Und B(2) gleich zwei Schritten.

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Anweisungen

Wenn das Modul im Formular dargestellt wird kontinuierliche Funktion, dann kann der Wert seines Arguments entweder positiv oder negativ sein: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Es ist leicht zu erkennen, dass die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen derselben Regel folgt wie die Addition und .

Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist gleich:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Da i^2 = -1, dann Endergebnis gleich:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Die Potenzierungs- und Wurzelziehoperationen für komplexe Zahlen werden auf die gleiche Weise definiert wie für reelle Zahlen. Im komplexen Bereich gibt es jedoch für jede Zahl genau n Zahlen b mit b^n = a, also n Wurzeln n-ten Grades.

Dies bedeutet insbesondere, dass jede algebraische Gleichung n-te Potenz mit einer Variablen hat genau n komplexe Wurzeln, einige davon können und sein.

Video zum Thema

Quellen:

• Vorlesung „Komplexe Zahlen“ im Jahr 2019

Eine Wurzel ist ein Symbol, das darstellt mathematische Operation Finden einer Zahl, deren Potenzierung vor dem Wurzelzeichen die unter diesem Zeichen angegebene Zahl ergeben sollte. Um Probleme mit Wurzeln zu lösen, reicht es oft nicht aus, nur den Wert zu berechnen. Es müssen zusätzliche Operationen ausgeführt werden, darunter die Eingabe einer Zahl, Variablen oder eines Ausdrucks unter dem Wurzelzeichen.

Anweisungen

Bestimmen Sie den Wurzelexponenten. Ein Exponent ist eine ganze Zahl, die angibt, mit welcher Potenz das Ergebnis der Wurzelberechnung erhalten werden muss radikaler Ausdruck(die Zahl, aus der diese Wurzel extrahiert wird). Der Wurzelexponent im Formular hochgestellt vor dem Root-Symbol. Wenn dieser nicht angegeben ist, ist er es Quadratwurzel, dessen Grad zwei ist. Beispielsweise ist der Exponent der Wurzel √3 zwei, der Exponent von ³√3 ist drei, der Exponent der Wurzel ⁴√3 ist vier usw.

Erhöhen Sie die Zahl, die Sie unter dem Wurzelzeichen eingeben möchten, auf eine Potenz, gleich dem Indikator Diese Wurzel, die Sie im vorherigen Schritt bestimmt haben. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 5 unter dem Wurzelzeichen ⁴√3 eingeben müssen, dann ist der Index des Wurzelgrades vier und Sie benötigen das Ergebnis der Erhöhung von 5 auf die vierte Potenz 5⁴=625. Sie können dies auf jede für Sie bequeme Weise tun – im Kopf, mit einem Taschenrechner oder den entsprechenden gehosteten Diensten.

Geben Sie den im vorherigen Schritt erhaltenen Wert unter dem Wurzelzeichen als Multiplikator des Wurzelausdrucks ein. Für das im vorherigen Schritt verwendete Beispiel mit dem Hinzufügen von ⁴√3 5 (5*⁴√3) unter der Wurzel kann diese Aktion wie folgt durchgeführt werden: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Vereinfachen Sie den resultierenden radikalen Ausdruck, wenn möglich. Für ein Beispiel aus den vorherigen Schritten müssen Sie nur die Zahlen unter dem Wurzelzeichen multiplizieren: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. Damit ist die Eingabe der Nummer unter der Wurzel abgeschlossen.

Wenn das Problem unbekannte Variablen enthält, können die oben beschriebenen Schritte in allgemeiner Form durchgeführt werden. Wenn Sie beispielsweise unter der vierten Wurzel Wurzel eine unbekannte Variable x eingeben müssen und der Wurzelausdruck 5/x³ ist, kann die gesamte Aktionsfolge wie folgt geschrieben werden: x*⁴√(5/x³)=⁴ √(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).

Quellen:

• Wie heißt das Wurzelzeichen?

Reelle Zahlen reichen nicht aus, um eine quadratische Gleichung zu lösen. Das einfachste davon quadratische Gleichungen, keine Wurzeln unter reale Nummern- das ist x^2+1=0. Bei der Lösung stellt sich heraus, dass x=±sqrt(-1), und ziehen Sie gemäß den Gesetzen der Elementaralgebra die Wurzel sogar Grad von negativ Zahlen es ist verboten.

Der Zahlenmodul ist ein neues Konzept in der Mathematik. Schauen wir uns genauer an, was ein Zahlenmodul ist und wie man damit arbeitet.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wir verließen das Haus, um in den Laden zu gehen. Wir sind 300 m gelaufen, mathematisch kann dieser Ausdruck als +300 geschrieben werden, die Bedeutung der Zahl 300 aus dem „+“-Zeichen wird sich nicht ändern. Der Abstand oder Modul einer Zahl ist in der Mathematik dasselbe und kann wie folgt geschrieben werden: |300|=300. Das Vorzeichen einer Zahl wird durch zwei vertikale Linien angezeigt.

Und dann rein umgekehrte Richtung 200m gelaufen. Mathematisch Hin-und Rückfahrt wir können es als -200 schreiben. Aber wir sagen nicht „wir sind minus zweihundert Meter gegangen“, obwohl wir zurückgekehrt sind, weil die Entfernung als Größe positiv bleibt. Zu diesem Zweck wurde in der Mathematik der Begriff eines Moduls eingeführt. Sie können den Abstand oder Modul der Zahl -200 wie folgt schreiben: |-200|=200.

Moduleigenschaften.

Definition:
Modul einer Zahl oder Absolutwert einer Zahl ist die Entfernung von Startpunkt zu Ihrem Ziel.

Der Modul einer ganzen Zahl ist es nicht gleich Null ist immer eine positive Zahl.

Das Modul ist wie folgt geschrieben:

1. Der Modul einer positiven Zahl ist gleich der Zahl selbst.
| a|=A

2. Der Modul einer negativen Zahl ist gleich der entgegengesetzten Zahl.
|- a|=A

3. Der Modul von Null ist gleich Null.
|0|=0

4. Die Module entgegengesetzter Zahlen sind gleich.
| a|=|-a|=A

Verwandte Fragen:
Was ist der Modul einer Zahl?
Antwort: Modul ist die Entfernung vom Startpunkt zum Zielpunkt.

Was passiert, wenn Sie vor einer Ganzzahl ein „+“-Zeichen setzen?
Antwort: Die Bedeutung der Zahl ändert sich nicht, zum Beispiel 4=+4.

Was passiert, wenn Sie vor einer Ganzzahl ein „-“-Zeichen setzen?
Antwort: Die Zahl ändert sich beispielsweise in 4 und -4.

Welche Zahlen haben den gleichen Modul?
Antwort: Positive Zahlen und Null haben den gleichen Modul. Beispiel: 15=|15|.

Welche Zahlen haben einen Modul der entgegengesetzten Zahl?
Antwort: Bei negativen Zahlen ist der Modul gleich der entgegengesetzten Zahl. Beispiel: |-6|=6.

Beispiel 1:
Finden Sie den Modul der Zahlen: a) 0 b) 5 c) -7?

Lösung:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Beispiel #2:
Gibt es zwei verschiedene Zahlen, wessen Module sind gleich?

Lösung:
|10|=10
|-10|=10

Die Moduli entgegengesetzter Zahlen sind gleich.

Beispiel #3:
Welche zwei entgegengesetzten Zahlen haben Modul 9?

Lösung:
|9|=9
|-9|=9

Antwort: 9 und -9.

Beispiel #4:
Befolgen Sie diese Schritte: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Lösung:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Beispiel #5:
Finden Sie: a) den Modul von Nummer 2, b) den Modul von Nummer 6, c) den Modul von Nummer 8, d) den Modul von Nummer 1, e) den Modul von Nummer 0.
Lösung:

a) Der Modul der Zahl 2 wird als |2| bezeichnet oder |+2| Es ist das Gleiche.
|2|=2

b) Der Modul der Zahl 6 wird mit |6| bezeichnet oder |+6| Es ist das Gleiche.
|6|=6

c) Der Modul der Zahl 8 wird als |8| bezeichnet oder |+8| Es ist das Gleiche.
|8|=8

d) Der Modul der Zahl 1 wird als |1| bezeichnet oder |+1| Es ist das Gleiche.
|1|=1

e) Der Modul der Zahl 0 wird als |0|, |+0| bezeichnet oder |-0| Es ist das Gleiche.
|0|=0

Moduldefinition kann wie folgt angegeben werden: Absoluter Wert Zahlen A(Modul) ist der Abstand vom darstellenden Punkt angegebene Nummer A auf der Koordinatenlinie zum Ursprung. Aus der Definition folgt:

Um ein Modul zu erweitern, ist es daher notwendig, das Vorzeichen des submodularen Ausdrucks zu bestimmen. Wenn es positiv ist, können Sie einfach das Modulzeichen entfernen. Wenn der submodulare Ausdruck negativ ist, muss er mit „Minus“ multipliziert werden, und auch hier sollte das Modulzeichen nicht mehr geschrieben werden.

Haupteigenschaften des Moduls:

Einige Methoden zum Lösen von Gleichungen mit Modulen

Es gibt verschiedene Arten von Modulgleichungen, für die es eine bevorzugte Lösung gibt. Dabei diese Methode ist nicht der Einzige. Zum Beispiel für eine Gleichung der Form:

Die bevorzugte Lösung wäre, zum Aggregat zu gehen:

Und für Gleichungen der Form:

Sie können auch zu einem fast ähnlichen Satz übergehen, da das Modul jedoch nur akzeptiert positive Werte, Dann rechter Teil Gleichung muss positiv sein. Diese Bedingung muss als allgemeine Einschränkung für das gesamte Beispiel hinzugefügt werden. Dann erhalten wir das System:

Beide Arten von Gleichungen können auf andere Weise gelöst werden: indem das Modul entsprechend für Intervalle geöffnet wird, in denen der submodulare Ausdruck ein bestimmtes Vorzeichen hat. In diesem Fall erhalten wir eine Kombination aus zwei Systemen. Geben wir generelle Form Lösungen für beide oben angegebenen Gleichungstypen:

Um Gleichungen zu lösen, die mehr als ein Modul enthalten, verwenden Sie Intervallmethode, was wie folgt lautet:

• Zuerst finden wir die Punkte auf der Zahlenachse, an denen jeder der Ausdrücke unter dem Modul verschwindet.
• Als nächstes teilen wir alles auf Zahlenachse in die Intervalle zwischen den erhaltenen Punkten und untersuchen Sie das Vorzeichen jedes der submodularen Ausdrücke in jedem Intervall. Beachten Sie, dass Sie zur Bestimmung des Vorzeichens eines Ausdrucks einen beliebigen Wert darin einsetzen müssen X aus dem Intervall, mit Ausnahme der Randpunkte. Wählen Sie diese Werte X, die leicht zu ersetzen sind.
• Als nächstes entwickeln wir in jedem resultierenden Intervall alle Module in der ursprünglichen Gleichung entsprechend ihren Vorzeichen gegebenes Intervall und lösen Sie die resultierende gewöhnliche Gleichung. In der endgültigen Antwort schreiben wir nur die Wurzeln dieser Gleichung auf, die in das untersuchte Intervall fallen. Nochmals: Wir führen diesen Vorgang für jedes der resultierenden Intervalle durch.

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• Nach vorne

Wie bereitet man sich erfolgreich auf den CT in Physik und Mathematik vor?

Um sich erfolgreich auf den CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, müssen unter anderem drei wichtige Voraussetzungen erfüllt sein:

1. Studieren Sie alle Themen und erledigen Sie alle Tests und Aufgaben, die in den Lehrmaterialien auf dieser Website aufgeführt sind. Dafür brauchen Sie gar nichts, nämlich: jeden Tag drei bis vier Stunden damit verbringen, sich auf den CT in Physik und Mathematik vorzubereiten, Theorie zu studieren und Probleme zu lösen. Fakt ist, dass CT eine Prüfung ist, bei der es nicht ausreicht, nur Physik oder Mathematik zu kennen, man muss sie auch schnell und fehlerfrei lösen können große Menge Aufgaben für andere Themen und von unterschiedlicher Komplexität. Letzteres kann nur durch die Lösung tausender Probleme erlernt werden.
2. Lernen Sie alle Formeln und Gesetze der Physik sowie Formeln und Methoden der Mathematik. Tatsächlich ist dies auch sehr einfach zu bewerkstelligen, notwendige Formeln in der Physik sind es nur etwa 200 Stück, in der Mathematik sogar etwas weniger. Jeder dieser Artikel enthält etwa ein Dutzend Standardmethoden Probleme lösen Basislevel Schwierigkeiten, die auch erlernt und somit völlig automatisch und problemlos gelöst werden können richtiger Moment am meisten CT. Danach müssen Sie nur noch an die schwierigsten Aufgaben denken.
3. Nehmen Sie an allen drei Phasen der Probeprüfung in Physik und Mathematik teil. Jeder RT kann zweimal besucht werden, um sich für beide Optionen zu entscheiden. Nochmals zum CT: Neben der Fähigkeit, Probleme schnell und effizient zu lösen, und der Kenntnis von Formeln und Methoden ist es auch notwendig, die Zeit richtig zu planen, Kräfte zu verteilen und vor allem das Antwortformular korrekt auszufüllen, ohne die Anzahl der Antworten und Probleme verwirren, oder eigener Nachname. Außerdem ist es während des RT wichtig, sich an den Stil des Fragenstellens bei Problemen zu gewöhnen, der für eine unvorbereitete Person beim DT sehr ungewöhnlich erscheinen kann.

Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, beim CT ein hervorragendes Ergebnis zu zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.

Einen Fehler gefunden?

Wenn Sie glauben, einen Fehler gefunden zu haben Lehrmaterial, dann schreiben Sie bitte per E-Mail darüber. Sie können einen Fehler auch an melden Soziales Netzwerk(). Geben Sie im Brief das Fach (Physik oder Mathematik), den Namen oder die Nummer des Themas oder der Prüfung, die Nummer der Aufgabe oder die Stelle im Text (Seite) an, an der Ihrer Meinung nach ein Fehler vorliegt. Beschreiben Sie außerdem, um welchen vermuteten Fehler es sich handelt. Ihr Schreiben bleibt nicht unbemerkt, der Fehler wird entweder korrigiert oder es wird Ihnen erklärt, warum es sich nicht um einen Fehler handelt.

In diesem Artikel werden wir es im Detail analysieren der absolute Wert einer Zahl. Wir werden geben verschiedene Definitionen Modul einer Zahl, führen in die Notation ein und liefern grafische Illustrationen. Lassen Sie uns gleichzeitig überlegen verschiedene Beispiele Ermitteln des Moduls einer Zahl per Definition. Anschließend werden wir die Haupteigenschaften des Moduls auflisten und begründen. Am Ende des Artikels werden wir darüber sprechen, wie ein Modul definiert und lokalisiert wird komplexe Zahl.

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Zahlenmodul – Definition, Notation und Beispiele

Zuerst stellen wir vor Zahlenmodulbezeichnung. Wir schreiben den Modul der Zahl a als , d. h. links und rechts von der Zahl setzen wir vertikale Striche, um das Modulzeichen zu bilden. Lassen Sie uns ein paar Beispiele nennen. Modul −7 kann beispielsweise geschrieben werden als ; Modul 4.125 wird als geschrieben und das Modul hat eine Notation der Form .

Nächste Definition Modul bezieht sich auf und daher auf und auf ganze Zahlen und auf rational und auf irrationale Zahlen, hinsichtlich der Bestandteile der Menge der reellen Zahlen. Wir werden über den Modul einer komplexen Zahl sprechen.

Definition.

Modul der Zahl a– Dies ist entweder die Zahl a selbst, wenn a eine positive Zahl ist, oder die Zahl −a, gegensätzliche Nummer a , wenn a – eine negative Zahl, oder 0, wenn a=0 .

Die stimmhafte Definition des Moduls einer Zahl wird oft geschrieben das folgende Formular , dieser Eintrag bedeutet, dass wenn a>0 , wenn a=0 und wenn a<0 .

Der Datensatz kann kompakter dargestellt werden . Diese Notation bedeutet, dass wenn (a größer oder gleich 0 ist) und wenn a<0 .

Dort ist auch der Eintrag . Hier sollten wir den Fall, wenn a=0 ist, gesondert erläutern. In diesem Fall haben wir , aber −0=0, da Null als eine zu sich selbst entgegengesetzte Zahl betrachtet wird.

Geben wir Beispiele für die Ermittlung des Moduls einer Zahl unter Verwendung einer angegebenen Definition. Suchen wir zum Beispiel die Module der Zahlen 15 und . Beginnen wir mit der Suche. Da die Zahl 15 positiv ist, ist ihr Modul per Definition gleich dieser Zahl selbst, also . Was ist der Modul einer Zahl? Da es sich um eine negative Zahl handelt, ist ihr Modul gleich der der Zahl entgegengesetzten Zahl, also der Zahl . Auf diese Weise, .

Um diesen Punkt abzuschließen, präsentieren wir eine Schlussfolgerung, die in der Praxis sehr praktisch ist, wenn es darum geht, den Modul einer Zahl zu ermitteln. Aus der Definition des Moduls einer Zahl folgt Folgendes Der Modul einer Zahl ist gleich der Zahl unter dem Modulzeichen, ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens, und aus den oben diskutierten Beispielen ist dies sehr deutlich ersichtlich. Die angegebene Aussage erklärt, warum der Modul einer Zahl auch aufgerufen wird absoluter Wert der Zahl. Der Modul einer Zahl und der Absolutwert einer Zahl sind also ein und dasselbe.

Modul einer Zahl als Abstand

Geometrisch kann der Modul einer Zahl interpretiert werden als Distanz. Geben wir Bestimmen des Moduls einer Zahl durch Entfernung.

Definition.

Modul der Zahl a– Dies ist der Abstand vom Ursprung auf der Koordinatenlinie zu dem Punkt, der der Zahl a entspricht.

Diese Definition steht im Einklang mit der Definition des Moduls einer Zahl im ersten Absatz. Lassen Sie uns diesen Punkt klären. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt, der einer positiven Zahl entspricht, ist gleich dieser Zahl. Null entspricht dem Ursprung, daher ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 0 gleich Null (Sie müssen kein einzelnes Einheitssegment beiseite legen und kein einzelnes Segment, das einen Bruchteil eines Einheitssegments in der Reihenfolge ausmacht). um von Punkt O zu einem Punkt mit der Koordinate 0 zu gelangen). Der Abstand vom Ursprung zu einem Punkt mit einer negativen Koordinate ist gleich der Zahl, die der Koordinate dieses Punktes entgegengesetzt ist, da er gleich dem Abstand vom Ursprung zu dem Punkt ist, dessen Koordinate die entgegengesetzte Zahl ist.

Beispielsweise ist der Modul der Zahl 9 gleich 9, da der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 9 gleich neun ist. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben. Der Punkt mit der Koordinate −3,25 befindet sich in einem Abstand von 3,25 vom Punkt O, also .

Die angegebene Definition des Moduls einer Zahl ist ein Sonderfall der Definition des Moduls der Differenz zweier Zahlen.

Definition.

Modul der Differenz zweier Zahlen a und b ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie mit den Koordinaten a und b.

Das heißt, wenn Punkte auf der Koordinatenlinie A(a) und B(b) gegeben sind, dann ist der Abstand von Punkt A zu Punkt B gleich dem Modul der Differenz zwischen den Zahlen a und b. Wenn wir Punkt O (Ursprung) als Punkt B nehmen, erhalten wir die Definition des Moduls einer Zahl, die am Anfang dieses Absatzes angegeben ist.

Bestimmen des Moduls einer Zahl mithilfe der arithmetischen Quadratwurzel

Kommt gelegentlich vor Bestimmung des Moduls über die arithmetische Quadratwurzel.

Berechnen wir zum Beispiel die Moduli der Zahlen −30 und basierend auf dieser Definition. Wir haben. Ebenso berechnen wir den Modul von zwei Dritteln: .

Die Definition des Moduls einer Zahl durch die arithmetische Quadratwurzel stimmt auch mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels überein. Zeigen wir es. Sei a eine positive Zahl und −a eine negative Zahl. Dann Und , wenn a=0 , dann .

Moduleigenschaften

Das Modul hat eine Reihe charakteristischer Ergebnisse - Moduleigenschaften. Jetzt stellen wir die wichtigsten und am häufigsten verwendeten vor. Bei der Begründung dieser Eigenschaften stützen wir uns auf die Definition des Moduls einer Zahl als Abstand.

Beginnen wir mit der offensichtlichsten Eigenschaft des Moduls – Der Modul einer Zahl kann keine negative Zahl sein. In wörtlicher Form hat diese Eigenschaft für jede Zahl a die Form. Diese Eigenschaft lässt sich sehr leicht begründen: Der Modul einer Zahl ist ein Abstand, und der Abstand kann nicht als negative Zahl ausgedrückt werden.

Fahren wir mit der nächsten Moduleigenschaft fort. Der Modul einer Zahl ist genau dann Null, wenn diese Zahl Null ist. Der Modul von Null ist per Definition Null. Null entspricht dem Ursprung; kein anderer Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht Null, da jede reelle Zahl einem einzelnen Punkt auf der Koordinatenlinie zugeordnet ist. Aus dem gleichen Grund entspricht jede Zahl ungleich Null einem Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet. Und der Abstand vom Ursprung zu jedem anderen Punkt als Punkt O ist nicht Null, da der Abstand zwischen zwei Punkten genau dann Null ist, wenn diese Punkte zusammenfallen. Die obige Argumentation beweist, dass nur der Modul von Null gleich Null ist.

Fortfahren. Entgegengesetzte Zahlen haben gleiche Module, also für jede Zahl a. Tatsächlich haben zwei Punkte auf der Koordinatenlinie, deren Koordinaten entgegengesetzte Zahlen sind, den gleichen Abstand vom Ursprung, was bedeutet, dass die Module der entgegengesetzten Zahlen gleich sind.

Die folgende Eigenschaft des Moduls ist: Der Modul des Produkts zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen, also, . Per Definition ist der Modul des Produkts der Zahlen a und b entweder gleich a·b if oder −(a·b) if . Aus den Regeln der Multiplikation reeller Zahlen folgt, dass das Produkt der Moduli der Zahlen a und b entweder gleich a·b, oder −(a·b) if ist, was die fragliche Eigenschaft beweist.

Der Modul des Quotienten von a dividiert durch b ist gleich dem Quotienten des Moduls einer Zahl dividiert durch den Modul von b, also, . Begründen wir diese Eigenschaft des Moduls. Da also der Quotient gleich dem Produkt ist. Aufgrund des bisherigen Eigentums haben wir . Es bleibt nur noch die Gleichheit zu verwenden, die aufgrund der Definition des Moduls einer Zahl gilt.

Die folgende Eigenschaft eines Moduls wird als Ungleichung geschrieben: , a , b und c sind beliebige reelle Zahlen. Die geschriebene Ungleichung ist nichts anderes als Dreiecksungleichung. Um dies zu verdeutlichen, nehmen wir die Punkte A(a), B(b), C(c) auf der Koordinatenlinie und betrachten ein entartetes Dreieck ABC, dessen Eckpunkte auf derselben Linie liegen. Per Definition ist der Modul der Differenz gleich der Länge des Segments AB, – der Länge des Segments AC und – der Länge des Segments CB. Da die Länge einer Seite eines Dreiecks die Summe der Längen der beiden anderen Seiten nicht überschreitet, ist die Ungleichung wahr Daher ist die Ungleichung auch wahr.

Die gerade bewiesene Ungleichung kommt in der Form viel häufiger vor . Die schriftliche Ungleichung wird üblicherweise als eigenständige Eigenschaft des Moduls betrachtet mit der Formulierung: „ Der Modul der Summe zweier Zahlen überschreitet nicht die Summe der Module dieser Zahlen" Aber die Ungleichung folgt direkt aus der Ungleichung, wenn wir −b statt b setzen und c=0 nehmen.

Modul einer komplexen Zahl

Geben wir Definition des Moduls einer komplexen Zahl. Möge es uns geschenkt werden komplexe Zahl, geschrieben in algebraischer Form, wobei x und y einige reelle Zahlen sind, die jeweils den Real- und Imaginärteil einer gegebenen komplexen Zahl z darstellen, und die imaginäre Einheit ist.