Diagonale eines Parallelepipeds. Formel. Wie finde ich die Diagonale eines Parallelepipeds? — Nützliche Informationen für alle. Geneigtes Parallelepiped: Eigenschaften, Formeln und Aufgaben für einen Mathe-Nachhilfelehrer. Über die eingeführten Notationen

Anweisungen

Methode 2. Nehmen wir das an Quader ist ein Würfel. Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, wobei jede Fläche durch ein Quadrat dargestellt wird. Daher sind alle seine Seiten gleich. Um dann die Länge seiner Diagonale zu berechnen, wird sie wie folgt ausgedrückt:

Quellen:

• Rechteck-Diagonalformel

Parallelepiped - besonderer Fall ein Prisma, bei dem alle sechs Flächen Parallelogramme oder Rechtecke sind. Parallelepiped mit rechteckige Kanten auch rechteckig genannt. Ein Parallelepiped hat vier sich schneidende Diagonalen. Wenn drei Kanten a, b, c gegeben sind, können Sie durch zusätzliche Konstruktionen alle Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds ermitteln.

Anweisungen

Finden Sie die Diagonale des Parallelepipeds m. Finden Sie dazu die unbekannte Hypotenuse in a, n, m: m² = n² + a². Ersatz bekannte Werte, dann berechnen Sie die Quadratwurzel. Das erhaltene Ergebnis ist die erste Diagonale des Parallelepipeds m.

Zeichnen Sie auf die gleiche Weise nacheinander alle anderen drei Diagonalen des Parallelepipeds. Führen Sie außerdem für jede von ihnen eine zusätzliche Konstruktion der Diagonalen benachbarter Flächen durch. Berücksichtigen Sie die gebildeten rechtwinkligen Dreiecke und wenden Sie den Satz des Pythagoras an, um die Werte der verbleibenden Diagonalen zu ermitteln.

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Quellen:

• ein Parallelepiped finden

Die Hypotenuse ist die gegenüberliegende Seite rechter Winkel. Schenkel sind die Seiten eines Dreiecks, die an einen rechten Winkel angrenzen. Angewendet Dreiecke ABC und ACD: AB und BC, AD und DC–, AC ist die gemeinsame Hypotenuse für beide Dreiecke (die gewünschte). Diagonale). Daher ist AC = Quadrat AB + Quadrat BC oder AC b = Quadrat AD + Quadrat DC. Ersetzen Sie die Seitenlängen Rechteck in die obige Formel ein und berechne die Länge der Hypotenuse (Diagonale). Rechteck).

Zum Beispiel die Seiten Rechteck ABCD sind gleich die folgenden Werte: AB = 5 cm und BC = 7 cm. Das Quadrat der Diagonale AC eines gegebenen Rechteck nach dem Satz des Pythagoras: AC im Quadrat = Quadrat AB + Quadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 cm². Verwenden Sie einen Taschenrechner, um den Wert zu berechnen Quadratwurzel 74. Sie sollten 8,6 cm (gerundeter Wert) erhalten. Bitte beachten Sie, dass es sich um eine der Eigenschaften handelt Rechteck, seine Diagonalen sind gleich. Also die Länge der zweiten Diagonale BD Rechteck ABCD ist gleich der Länge der Diagonale AC. Für das obige Beispiel dieser Wert

In der Geometrie werden folgende Arten von Parallelepipeden unterschieden: rechteckiges Parallelepiped (die Flächen des Parallelepipeds sind Rechtecke); rechtes Parallelepiped (sein Seitenflächen fungieren als Rechtecke); geneigtes Parallelepiped (seine Seitenflächen wirken als Senkrechte); Ein Würfel ist ein Parallelepiped mit absolut identischen Abmessungen und die Flächen des Würfels sind Quadrate. Parallelepipede können entweder geneigt oder gerade sein.

Die Hauptelemente eines Parallelepipeds sind die beiden dargestellten Flächen geometrische Figur, die keine gemeinsame Kante haben, sind gegenüberliegend, und diejenigen, die eine gemeinsame Kante haben, sind benachbart. Die Eckpunkte des Parallelepipeds, die nicht zur gleichen Fläche gehören, wirken einander entgegengesetzt. Ein Parallelepiped hat eine Dimension – das sind drei Kanten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Das Segment, das verbindet gegenüberliegende Eckpunkte, heißt Diagonale. Die vier Diagonalen eines Parallelepipeds, die sich in einem Punkt schneiden, werden gleichzeitig in zwei Hälften geteilt.

Um die Diagonale eines Parallelepipeds zu bestimmen, müssen Sie die Seiten und Kanten bestimmen, die aus den Bedingungen des Problems bekannt sind. Mit drei bekannten Rippen A , IN , MIT Zeichne eine Diagonale im Parallelepiped. Gemäß der Eigenschaft eines Parallelepipeds, die besagt, dass alle seine Winkel richtig sind, wird die Diagonale bestimmt. Konstruieren Sie eine Diagonale aus einer der Flächen des Parallelepipeds. Die Diagonalen müssen so gezeichnet werden, dass die Diagonale der Fläche, die gewünschte Diagonale des Parallelepipeds und die bekannte Kante ein Dreieck ergeben. Nachdem ein Dreieck gebildet wurde, ermitteln Sie die Länge dieser Diagonale. Die Diagonale im anderen resultierenden Dreieck fungiert als Hypotenuse und kann daher mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden, der unter der Quadratwurzel gezogen werden muss. Auf diese Weise kennen wir den Wert der zweiten Diagonale. Um die erste Diagonale eines Parallelepipeds im gebildeten zu finden rechtwinkliges Dreieck, ist es auch notwendig, die unbekannte Hypotenuse zu finden (nach dem Satz des Pythagoras). Finden Sie anhand desselben Beispiels nacheinander die verbleibenden drei im Parallelepiped vorhandenen Diagonalen, führen Sie zusätzliche Konstruktionen von Diagonalen durch, die rechtwinklige Dreiecke bilden, und lösen Sie sie mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Ein rechteckiges Parallelepiped (PP) ist nichts anderes als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. Bei einem PP sind alle Diagonalen gleich, was bedeutet, dass jede seiner Diagonalen nach der Formel berechnet wird:

a, c - Seiten der Basis des PP;

c ist seine Höhe.

Eine weitere Definition kann durch Betrachtung des Kartesischen gegeben werden rechteckiges System Koordinaten:

Die PP-Diagonale ist der Radiusvektor eines beliebigen Punktes im Raum, durch Koordinaten gegeben x, y und z im kartesischen Koordinatensystem. Dieser Radiusvektor zum Punkt wird vom Ursprung aus gezeichnet. Und die Koordinaten des Punktes sind die Projektionen des Radiusvektors (Diagonalen des PP) auf Koordinatenachsen. Die Projektionen fallen mit den Eckpunkten dieses Parallelepipeds zusammen.

Parallelepiped und seine Typen

Wenn wir seinen Namen wörtlich aus dem Altgriechischen übersetzen, stellt sich heraus, dass es sich um eine Figur handelt, die aus besteht parallele Ebenen. Es gibt die folgenden äquivalenten Definitionen eines Parallelepipeds:

• ein Prisma mit einer Basis in Form eines Parallelogramms;
• ein Polyeder, dessen jede Seite ein Parallelogramm ist.

Seine Typen werden unterschieden, je nachdem, welche Figur an seiner Basis liegt und wie die seitlichen Rippen ausgerichtet sind. IN Allgemeiner Fall sprich darüber geneigtes Parallelepiped, dessen Basis und alle Flächen Parallelogramme sind. Wenn die Seitenflächen der vorherigen Ansicht zu Rechtecken werden, muss sie aufgerufen werden Direkte. Und rechteckig und die Basis hat auch 90°-Winkel.

Darüber hinaus versucht man in der Geometrie, Letzteres so darzustellen, dass auffällt, dass alle Kanten parallel sind. Hier liegt übrigens der Hauptunterschied zwischen Mathematikern und Künstlern. Für letztere ist es wichtig, den Körper im Einklang mit dem Gesetz der Perspektive zu vermitteln. Und in diesem Fall ist die Parallelität der Rippen völlig unsichtbar.

Über die eingeführten Notationen

In den folgenden Formeln gelten die in der Tabelle angegebenen Notationen.

Formeln für ein geneigtes Parallelepiped

Erstens und zweitens für Bereiche:

Die dritte besteht darin, das Volumen eines Parallelepipeds zu berechnen:

Da die Basis ein Parallelogramm ist, müssen Sie zur Berechnung ihrer Fläche die entsprechenden Ausdrücke verwenden.

Formeln für ein rechteckiges Parallelepiped

Ähnlich wie beim ersten Punkt – zwei Formeln für Flächen:

Und noch etwas zur Lautstärke:

Erste Aufgabe

Zustand. Gegeben sei ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Volumen ermittelt werden muss. Bekannt ist die Diagonale – 18 cm – und die Tatsache, dass sie mit der Ebene der Seitenfläche bzw. der Seitenkante Winkel von 30 und 45 Grad bildet.

Lösung. Um die Problemfrage zu beantworten, müssen Sie alle Seiten in drei rechtwinkligen Dreiecken kennen. Sie werden geben erforderliche Werte Kanten, entlang derer Sie das Volumen berechnen müssen.

Zuerst müssen Sie herausfinden, wo der 30°-Winkel liegt. Dazu müssen Sie eine Diagonale der Seitenfläche vom gleichen Scheitelpunkt aus zeichnen, von dem aus die Hauptdiagonale des Parallelogramms gezeichnet wurde. Der Winkel zwischen ihnen wird das sein, was benötigt wird.

Das erste Dreieck, das einen der Seitenwerte der Basis angibt, ist das folgende. Es enthält die erforderliche Seite und zwei gezeichnete Diagonalen. Es ist rechteckig. Jetzt müssen wir die Beziehung verwenden gegenüberliegende Seite(Basisseiten) und Hypotenuse (Diagonalen). Er entspricht dem Sinus von 30°. Also unbekannte Partei Die Basis wird als Diagonale multipliziert mit dem Sinus von 30° oder ½ definiert. Lassen Sie es mit dem Buchstaben „a“ bezeichnen.

Das zweite wird ein Dreieck sein, das eine bekannte Diagonale und eine Kante enthält, mit der es einen 45°-Winkel bildet. Es ist auch rechteckig, und Sie können wieder das Verhältnis von Bein zu Hypotenuse verwenden. Mit anderen Worten: Seitenkante zur Diagonale. Er entspricht dem Kosinus von 45°. Das heißt, „c“ wird als Produkt aus der Diagonale und dem Kosinus von 45° berechnet.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Im selben Dreieck müssen Sie ein weiteres Bein finden. Dies ist notwendig, um dann die dritte Unbekannte – „in“ – zu berechnen. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben „x“. Es lässt sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Jetzt müssen wir ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachten. Es enthält bereits bekannte Parteien„c“, „x“ und das zu zählende „b“:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Alle drei Größen sind bekannt. Sie können die Formel für das Volumen verwenden und es berechnen:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Antwort: das Volumen des Parallelepipeds beträgt 729√2 cm 3.

Zweite Aufgabe

Zustand. Sie müssen das Volumen eines Parallelepipeds ermitteln. Darin sind die Seiten des an der Basis liegenden Parallelogramms mit 3 und 6 cm sowie sein spitzer Winkel mit 45° bekannt. Die Seitenrippe hat eine Neigung zur Basis von 30° und beträgt 4 cm.

Lösung. Um die Frage des Problems zu beantworten, müssen Sie die Formel verwenden, die für das Volumen eines geneigten Parallelepipeds geschrieben wurde. Aber beide Größen sind darin unbekannt.

Die Fläche der Basis, also eines Parallelogramms, wird durch eine Formel bestimmt, in der Sie die bekannten Seiten und den Sinus des spitzen Winkels zwischen ihnen multiplizieren müssen.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Die zweite unbekannte Größe ist die Höhe. Es kann von jedem der vier Eckpunkte über der Basis aus gezeichnet werden. Es kann aus einem rechtwinkligen Dreieck, in dem die Höhe das Bein ist, und gefunden werden seitliche Rippe- Hypotenuse. In diesem Fall liegt der unbekannten Höhe ein Winkel von 30° gegenüber. Dies bedeutet, dass wir das Verhältnis von Bein zu Hypotenuse verwenden können.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Nun sind alle Werte bekannt und das Volumen kann berechnet werden:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Antwort: das Volumen beträgt 18 √2 cm 3.

Dritte Aufgabe

Zustand. Ermitteln Sie das Volumen eines Parallelepipeds, wenn bekannt ist, dass es gerade ist. Die Seiten seiner Basis bilden ein Parallelogramm und betragen 2 und 3 cm. Der spitze Winkel zwischen ihnen beträgt 60°. Die kleine Diagonale eines Parallelepipeds ist größere Diagonale Gründe.

Lösung. Um das Volumen eines Parallelepipeds herauszufinden, verwenden wir die Formel mit Grundfläche und Höhe. Beide Größen sind unbekannt, aber leicht zu berechnen. Der erste ist die Höhe.

Da die kleinere Diagonale des Parallelepipeds gleich groß ist wie größere Basis, dann können sie mit einem Buchstaben d bezeichnet werden. Größerer Winkel Ein Parallelogramm ist 120°, da es mit einem spitzen Winkel 180° bildet. Die zweite Diagonale der Basis sei mit dem Buchstaben „x“ gekennzeichnet. Nun können wir für die beiden Diagonalen der Basis die Kosinussätze schreiben:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Es macht keinen Sinn, Werte ohne Quadrate zu finden, da diese später wieder in die zweite Potenz erhoben werden. Nach dem Ersetzen der Daten erhalten wir:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Jetzt wird die Höhe, die gleichzeitig die Seitenkante des Parallelepipeds ist, ein Bein im Dreieck sein. Die Hypotenuse wird sein bekannte Diagonale Körper und das zweite Bein - „x“. Wir können den Satz des Pythagoras schreiben:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Daher: n = √12 = 2√3 (cm).

Die zweite unbekannte Größe ist nun die Fläche der Basis. Sie kann mit der in der zweiten Aufgabe genannten Formel berechnet werden.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Wenn wir alles in die Volumenformel kombinieren, erhalten wir:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Antwort: V = 18 cm 3.

Vierte Aufgabe

Zustand. Es ist erforderlich, das Volumen eines Parallelepipeds zu ermitteln, das die folgenden Bedingungen erfüllt: Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm; die Seitenflächen sind Rauten; Einer der über der Basis liegenden Scheitelpunkte ist von allen an der Basis liegenden Scheitelpunkten gleich weit entfernt.

Lösung. Zuerst müssen Sie sich mit der Erkrankung auseinandersetzen. Beim ersten Punkt zum Platz gibt es keine Fragen. Der zweite, über Rauten, macht deutlich, dass das Parallelepiped geneigt ist. Darüber hinaus sind alle Kanten gleich 5 cm, da die Seiten der Raute gleich sind. Und ab der dritten wird deutlich, dass die drei daraus gezogenen Diagonalen gleich sind. Dies sind zwei, die auf den Seitenflächen liegen, und die letzte befindet sich im Inneren des Parallelepipeds. Und diese Diagonalen sind gleich der Kante, das heißt, sie haben auch eine Länge von 5 cm.

Um das Volumen zu bestimmen, benötigen Sie eine Formel für ein geneigtes Parallelepiped. Es ist nicht wieder da bekannte Mengen. Da es sich jedoch um ein Quadrat handelt, lässt sich die Fläche der Grundfläche leicht berechnen.

So = 5 2 = 25 (cm 2).

Etwas komplizierter ist die Situation mit der Höhe. In drei Figuren wird es so aussehen: ein Parallelepiped, viereckige Pyramide Und gleichschenkligen Dreiecks. Dieser letzte Umstand sollte ausgenutzt werden.

Da es sich um die Höhe handelt, handelt es sich um ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse darin wird eine bekannte Kante und das zweite Bein sein gleich der Hälfte Diagonalen des Quadrats (Höhe ist auch der Median). Und die Diagonale der Basis ist leicht zu finden:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Antwort: 62,5 √2 (cm 3).

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ...die Diskussionen dauern derzeit noch an generelle Meinungüber das Wesen von Paradoxien Wissenschaftsgemeinschaft Bisher war es nicht möglich... wir waren an der Untersuchung des Problems beteiligt mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und Philosophische Ansätze; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. So weit ich das verstehe, mathematischer Apparat Die Verwendung variabler Maßeinheiten ist entweder noch nicht entwickelt oder wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. MIT physikalischer Punkt Aus der Sicht sieht es so aus, als würde die Zeit langsamer werden Punkt in dem Moment, als Achilles die Schildkröte erreicht. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstante Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und springen Sie nicht zu Gegenseitigkeiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Für das nächste Zeitintervall gleich zuerst, Achilles wird noch tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Aber es ist nicht komplette Lösung Probleme. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie logisches Paradoxon Es kann ganz einfach überwunden werden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos von verschiedene Punkte Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, aber es ist unmöglich, daraus die Tatsache der Bewegung zu bestimmen (natürlich werden für Berechnungen noch zusätzliche Daten benötigt, die Trigonometrie hilft Ihnen). Worauf ich hinweisen möchte Besondere Aufmerksamkeit, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Was für eine absurde Logik fühlende Wesen niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Scheiß auf mich, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematikstudium“ verstecken abstrakte Konzepte„Es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Bewerben mathematische Theorie setzt auf die Mathematiker selbst.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine des gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben ihn dem Mathematiker. mathematischer Satz Gehälter.“ Wir erklären dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann werden sie uns das auf den Banknoten versichern gleiche Würde Es gibt unterschiedliche Banknotennummern, sodass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier wird der Mathematiker anfangen, sich verzweifelt an die Physik zu erinnern: Auf verschiedenen Münzen gibt es sie unterschiedliche Mengen Schmutz, Kristallstruktur und Atomanordnung sind bei jeder Münze einzigartig...

Und jetzt habe ich das meiste Interesse Fragen: Wo ist die Linie, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Zahlen zu ermitteln angegebene Nummer. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme In der Analysis ist die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als angegeben Index rechts neben der Zahl. MIT eine große Anzahl 12345 Ich möchte mir nichts vormachen, schauen wir uns die Nummer 26 aus dem Artikel über an. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen; das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten der gleichen Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist, wenn das Ergebnis mathematische Operation hängt nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und demjenigen ab, der die Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Laboratorium für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen dumm ist, nein Kenntnisse in Physik. Sie hat einfach ein uraltes Wahrnehmungsstereotyp grafische Bilder. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Man nennt es Parallelepiped viereckiges Prisma, deren Basen Parallelogramme sind. Die Höhe eines Parallelepipeds ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. In der Abbildung ist die Höhe durch das Segment dargestellt . Es gibt zwei Arten von Parallelepipeden: gerade und geneigte. Allgemein, Mathe Nachhilfelehrer gibt zunächst die entsprechenden Definitionen für ein Prisma und überträgt sie dann auf ein Parallelepiped. Wir werden das Gleiche tun.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein Prisma gerade genannt wird, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen; wenn es keine Rechtwinkligkeit gibt, heißt das Prisma geneigt. Diese Terminologie wird auch vom Parallelepiped übernommen. Ein Parallelepiped ist nichts anderes als eine Art gerades Prisma, dessen Seitenkante mit der Höhe übereinstimmt. Definitionen von Konzepten wie Fläche, Kante und Scheitelpunkt, die der gesamten Familie der Polyeder gemeinsam sind, bleiben erhalten. Konzept erscheinen gegenüberliegende Gesichter. Ein Parallelepiped hat 3 Paare gegenüberliegender Flächen, 8 Eckpunkte und 12 Kanten.

Die Diagonale eines Parallelepipeds (die Diagonale eines Prismas) ist ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Polyeders verbindet und auf keiner seiner Flächen liegt.

Diagonaler Abschnitt – ein Abschnitt eines Parallelepipeds, der durch seine Diagonale und die Diagonale seiner Basis verläuft.

Eigenschaften eines geneigten Parallelepipeds:
1) Alle seine Flächen sind Parallelogramme und die gegenüberliegenden Flächen sind gleiche Parallelogramme.
2)Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und halbieren sich in diesem Punkt.
3)Jedes Parallelepiped besteht aus sechs dreieckigen Pyramiden gleichen Volumens. Um sie dem Schüler zu zeigen, muss der Mathematiklehrer die Hälfte davon vom Parallelepeder abschneiden Diagonalabschnitt und teile es separat in 3 Pyramiden. Ihre Fundamente müssen darin liegen verschiedene Gesichter das ursprüngliche Parallelepiped. Ein Mathematiklehrer wird diese Eigenschaft in verwenden analytische Geometrie. Es wird verwendet, um das Volumen der Pyramide anzuzeigen gemischte Arbeit Vektoren.

Formeln für das Volumen eines Parallelepipeds:
1) Wo ist die Fläche der Basis, h ist die Höhe.
2) Volumen eines Parallelepipeds gleich dem Produkt Querschnittsfläche pro Seitenrippe.
Mathe Nachhilfelehrer: Wie Sie wissen, ist die Formel allen Prismen gemeinsam, und wenn der Tutor sie bereits bewiesen hat, macht es keinen Sinn, dasselbe für ein Parallelepiped zu wiederholen. Wenn man jedoch mit einem durchschnittlichen Schüler arbeitet (die Formel ist für einen schwachen Schüler nicht nützlich), ist es für den Lehrer ratsam, genau das Gegenteil zu tun. Lassen Sie das Prisma in Ruhe und führen Sie einen sorgfältigen Beweis für das Parallelepiped durch.
3) , wo ist das Volumen von einem der sechs Dreieckige Pyramide woraus das Parallelepiped besteht.
4) Wenn, dann

Die Fläche der Seitenfläche eines Parallelepipeds ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen:
Die Gesamtoberfläche eines Parallelepipeds ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen, also die Fläche + zwei Flächen der Grundfläche: .

Über die Arbeit eines Tutors mit einem geneigten Parallelepiped:
Ein Mathe-Nachhilfelehrer befasst sich nicht oft mit Problemen, bei denen es um einen geneigten Parallelepiped geht. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Einheitlichen Staatsexamen erscheinen, ist recht gering und die Didaktik ist unanständig schlecht. Ein mehr oder weniger anständiges Problem mit der Lautstärke eines geneigten Parallelepipeds ernsthafte Probleme, verbunden mit der Bestimmung der Lage des Punktes H – der Basis seiner Höhe. In diesem Fall kann dem Mathelehrer empfohlen werden, den Parallelepiped auf eine seiner sechs Pyramiden (ca wir reden über in Eigenschaft Nr. 3), versuchen Sie, sein Volumen zu ermitteln und es mit 6 zu multiplizieren.

Wenn die Seitenkante eines Parallelepipeds hat gleiche Winkel mit den Seiten der Basis, dann liegt H auf der Winkelhalbierenden A der Basis ABCD. Und wenn ABCD zum Beispiel eine Raute ist, dann

Aufgaben für Mathe-Nachhilfelehrer:
1) Die Flächen des Parallelepipeds sind einander gleich mit einer Seitenlänge von 2 cm und spitzer Winkel. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds.
2) Bei einem geneigten Parallelepiped beträgt die Seitenkante 5 cm. Der dazu senkrechte Schnitt ist ein Viereck mit gegenseitigem Bezug senkrechte Diagonalen, mit Längen von 6 cm und 8 cm. Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds.
3) Bei einem geneigten Parallelepiped ist bekannt, dass und in ABCD die Basis eine Raute mit einer Seitenlänge von 2 cm und einem Winkel ist. Bestimmen Sie das Volumen des Parallelepipeds.

Mathematiklehrer Alexander Kolpakov