Wie schreibt man identische Ausdrücke auf Russisch? Identisch gleiche Ausdrücke: Definition, Beispiele. Beispiele für Ausdrücke, die einander identisch sind
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| Frage Nr. 296845 | ||
Sagen Sie mir, ist in Klammern ein Komma erforderlich? Während der Regierungszeit von Nikolaus II. wurden mehr Heilige heiliggesprochen als während aller seiner Vorfahren zusammen, beginnend mit Peter dem Großen.
Das angegebene Komma ist erforderlich.
| Frage Nr. 296782 | ||
Guten Tag, lieber Diploma! Можно Вас попросить ответить побыстрее, так как пособие сдаем в типографию завтра, нужна ли данная запятая в следующем предложении: Начиная с первого отечественного учебника криминалистики (1935 г.) и кончая изданиями начала 90-х гг.(,) зарубежная буржуазная криминалистика рассматривалась. .. Danke!
Antwort Beratungsstelle russische Sprache
| Frage Nr. 295327 | ||
Bitte sagen Sie mir, warum A. S. Puschkin in „Dubrovsky“ einen Buchstaben „l“ in seinem Patronym hat?
Antwort des russischen Helpdesks
Früher gab es zwei Varianten des Namens – Kirill Und Kirila. Sie gehen zurück zu Griechischer Name Κύριλλος, das über das Altkirchenslawische in die russische Sprache gelangte. Möglichkeit Kirila wurde in der fünften Auflage vermerkt Forschungsinstitut des „Rechtschreibwörterbuchs der russischen Sprache“ (1963) als Folk. Allerdings wurde es ab der 13. Auflage (1974) nicht mehr aufgenommen. Zur gleichen Zeit, in moderne Wörterbücher Eigennamen Kirila oft als umgangssprachliche Variante des Namens angegeben Kirill(siehe z.B.« Wörterbuch der russischen Namen» N. A. Petrowski).A. S. Puschkin nannte seinen Helden Kirila Petrowitsch, daher Maschas zweiter Vorname – Kirilowna.
Vielen Dank für Interesse Fragen!
| Frage Nr. 294766 | ||
Guten Tag! Warum ist es vorzuziehen, ein Substantiv in der Formulierung „trägt keine Verantwortung, kein Risiko(s)“ zu verwenden? Genitiv? Ist es möglich, auf maßgebliche Quellen zu verweisen und nicht auf die Intuition?
Antwort des russischen Helpdesks
| Frage Nr. 293736 | ||
Guten Tag! Ich möchte die Betonung im Wort „Apostille“ klarstellen. Vor einem Jahr gab das Wörterbuch gramita.ru die Betonung auf O an, jetzt auf I. Warum hat sich die Norm geändert? Und was für richtigen Akzent?
Antwort des russischen Helpdesks
Die Vokabelfixierung in wissenschaftlichen Wörterbüchern hat sich verändert. Substantiv Apostille wurde zuvor mit einem anderen Schwerpunkt aufgenommen - auf Ö (siehe: Russisches Rechtschreibwörterbuch / Herausgegeben von V.V. Lopatin. 2. Aufl. M., 2005). Ab der 4. Auflage (M., 2012) - Apostel Und l. Fixierung Apostel Und l- auch in " Rechtschreibwörterbuch Russische Sprache“ hrsg. N. A. Eskova (10. Aufl. M., 2015), im „New Dictionary Fremdwörter„E. N. Zakharenko, L. N. Komarova, I. V. Nechaeva (3. Aufl., überarbeitet und ergänzt. M., 2008).
| Frage Nr. 293041 | ||
Guten Tag! Substantiv „Soldat“. Warum Dativ Plural in Ordnungszahlen bis tausend gibt es eine Endung -am (z. B. zwei SoldatenAM, zehn SoldatenAM, neunhundert SoldatenAM), und ab tausend gibt es keine Endung (tausend Soldaten, eine Million Soldaten), aber wenn in Zusätzlich zu diesen Ziffern wird die Ziffer bis tausend verwendet, dann die Endung - Erscheine ich wieder (eintausendeinhundert SoldatenAM)? Welche Regel wird in diesem Fall verwendet? Danke!
Antwort des russischen Helpdesks
| Frage Nr. 290583 | ||
Hallo, unser Lehrer hat uns eine Vergleichsaufgabe gestellt moderne Standards unter Verwendung der r.p.-Form pl. einschließlich der Wörter „Gramm“, „Kilogramm“ und der Verwendungsnormen in den 2000er Jahren, und schickte uns zu Ihrem Portal, um es herauszufinden. Ich habe heute herausgefunden, wie man diese Wörter richtig verwendet, aber ich möchte Sie fragen, wie es in den 2000er Jahren war.
Antwort des russischen Helpdesks
Danke für die interessante Frage! Aber es ist interessant, die Geschichte der Formen zu verfolgen Gramm – Gramm, Kilogramm – Kilogramm beginnend nicht ab den 2000er Jahren, aber zumindest für letztes halbes Jahrhundert. Es wird immer noch allgemein angenommen, dass sich Formen bilden Gramm, Kilogramm im Plural Genitiv. Die Zahlen sind falsch. Mittlerweile wurde bereits in den 1950er Jahren in Wörterbüchern auf ihre Zulässigkeit hingewiesen.
Im Wörterbuch-Nachschlagewerk „Russisch literarische Aussprache und Stress“, hrsg. R. I. Avanesov und S. I. Ozhegov (M., 1959) nehmen die folgende Unterteilung vor: Gramm – hauptsächlich in Schreiben, Gramm – hauptsächlich in mündliche Rede nach Ziffern. Das Gleiche gilt für Kilogramm: Kilogramm – schriftlich, Kilogramm - mündlich (von Zahlen ist hier keine Rede).
Diese Unterteilung blieb bis in die frühen 2000er Jahre bestehen, obwohl Wörterbücher im Laufe dieses halben Jahrhunderts manchmal auf diese Option hingewiesen haben Gramm, Kilogramm Als akzeptabel wurde es nicht angegeben. Zum Beispiel nur in der 10. Auflage des „Rechtschreibwörterbuchs der russischen Sprache“ (M., 1970). Gramm Und Kilogramm, und die zwei Jahre später veröffentlichte 9. Auflage des „Wörterbuchs der russischen Sprache“ von S. I. Ozhegov (herausgegeben von N. Yu. Shvedova) wiederholt die Empfehlung von 1959: Gramm –hauptsächlich schriftlich,Gramm –hauptsächlich in der mündlichen Rede nach Ziffern;Kilogramm –schriftlich,Kilogramm -oral. Auch die akademische „Russische Grammatik“ (M., 1980) weist darauf hin, dass in der mündlichen Rede die Formen Gramm, Kilogramm nicht üblich.
In der 21. Auflage des „Wörterbuchs der russischen Sprache“ von S. I. Ozhegov (M., 1989) Optionen Gramm Und Gramm, Kilogramm Und Kilogramm bereits als Gleichberechtigung gegeben. Es scheint, dass die Formen Gramm Und Kilogramm sind endlich normativ geworden. Allerdings ist die 2. Auflage des Wörterbuchs von L.K. Graudina, V.A. Itskovich, L.P. Katlinskaya " Grammatische Korrektheit Russische Rede“ (M., 2001) besagt, dass die Unterteilung in mündliche und schriftliche Rede in letztes Jahrzehnt XX Jahrhundert und um die Jahrhundertwende wurde auch vermerkt: „ Haushaltseinheiten Gewichtsmessungen Gramm, Kilogramm in der mündlichen Rede werden sie in der überwiegenden Mehrheit ohne Beugung verwendet. In der schriftlichen Rede werden unter dem Einfluss des redaktionellen Korrekturlesens derzeit nur die Formulare verwendet Gramm Und Kilogramm».
Moderne Wörterbücher der russischen Sprache geben in der Regel keine gesonderten Empfehlungen mehr für die Verwendung dieser Wörter in mündlicher und schriftlicher Sprache. Es gibt Veröffentlichungen, in denen Formulare mit Null-Ende und mit dem Ende - ov als gleichwertig erfasst – zum Beispiel „Wörterbuch der russischen Sprachschwierigkeiten für Medienschaffende“ von M. A. Studiner (M., 2016). Dennoch bieten die meisten Wörterbücher mehr ausführliche Empfehlung, wobei die Verwendung dieser Formen in Kombination mit einer Zahl (in Zählform) und außerhalb einer solchen Kombination unterschieden wird. In Kombination mit Ziffernoptionen Gramm Und Gramm, Kilogramm Und Kilogramm werden als gleichwertig anerkannt, aber nur außerhalb einer solchen Kombination (die allerdings deutlich seltener vorkommt). Gramm, Kilogramm. Eine solche Empfehlung – in „Russisch Rechtschreibwörterbuch» RAS-Hrsg. V. V. Lopatina, O. E. Ivanova (4. Aufl. M., 2012), „Orthoepic Dictionary of the Russian Language“, hrsg. N. A. Eskova (10. Aufl. M., 2015), „Bolschoi Universelles Wörterbuch Russische Sprache“ hrsg. V. V. Morkovkina (M., 2016). Es scheint am gerechtfertigtsten zu sein.
Nun ist es also wahr: fünf Gramm Und fünf Gramm, sechs Kilogramm Und sechs Kilogramm aber (außerhalb der Kombination mit einer Zahl): Zählen der Gramm- und Kilogrammzahl(Nicht Gramm und Kilogramm).
| Frage Nr. 287601 | ||
Nein, Gramota, das kann ich nicht, ich ziehe dich zur Rechenschaft. Aus Frage Nr. 176838: „In der künstlerischen, insbesondere poetischen Sprache ist es jedoch erlaubt, Formen zu schreiben.“ Präpositionalfall neutrale Substantive in -ye (normalerweise mit der Präposition in) mit der Endung -i, zum Beispiel: In der Stille gingst du allein mit einem großen Gedanken (Puschkin). Das ist hier kein Fehler.“ Erklären Sie: „Puschkin hat automatisch in allem Recht, egal was er schreibt“ – hier Hauptstein die Grundlage der Regeln der russischen Sprache oder was? Glauben Sie, dass es zuverlässig genug ist? Weil habe meines ignoriert letzte Frage, um keine neuen Wörter zu erfinden, füge ich es einfach noch einmal ein, ohne es anzupassen: „Warum (v.p.) „Ust-Luga-Station“ (erschien in Frage Nr. 287291) – das generische ist geneigt, das eigene man ist nicht – sondern „die Stadt Moskau“ – und das Allgemeine ist geneigt, und das Persönliche ist geneigt? In Ihrem „Hot“ steht geschrieben: „Im Wörterbuch geografische Namen„A.V. Superanskaya (M., 2013) wies darauf hin, dass Toponyme normalerweise nicht in Kombination mit Folgendem dekliniert werden in geografischer Hinsicht: ... " ... und die automatische Ausnahmewarteschlange tra-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta-ta (einschließlich „Station“). Aber Leute, so wird es nicht funktionieren! Ihr selbst seid nicht müde von diesen unschluckbaren Gerinnsel-Ausnahmen in der russischen Sprache? Warum nicht – sowohl hier als auch überall – eine EINZIGE Regel festigen: „Nur die generischen Bögen mit ihren eigenen“ ? Das ist es! Aber nein! Alle Regeln in der russischen Sprache laufen darauf hinaus, dass, wenn Vasya Pupkin 10.000 Mal sagt, was für eine „Scheiße“ – männlich, und Tausende von Ivanovs werden es wiederholen, alle Nachschlagewerke werden sofort die „veränderte Norm“ aufzeichnen. Und sagen Sie nicht, dass „die Sprache lebt“ – das ist alles Unsinn! Wer hat sich diese höllisch umständliche Zeichensetzung ausgedacht? Menschen? Lassen Sie ihm freien Lauf, er wird alles mit Kleinbuchstaben schreiben und als Satzzeichen nur Punkte, Ausrufezeichen und Fragezeichen verwenden. Es wird alles von oben heruntergebracht! Tun Sie also nicht so, als hätten Sie keinen Einfluss auf die Sprache. Alle Sprachnachschlagewerke sind keine Regelwerke, sondern Beobachtungen. " Beteiligungsumsatz, ist natürlich vom Hauptsatz getrennt“, sagt Rosenthal, „aber Puschkin hat das Subjekt in den Satz eingefügt, der Teil des Satzes ist, nicht der Satz, und es nicht hervorhebt.“ So sagen sie. Es passiert So. Und das gilt nicht nur für die Sprache und alle russischen Regeln: angefangen bei der Gesetzgebung (tatsächlich) bis hin zu ethischen Normen. Dabei geht es um Folgendes: „Das ist natürlich unmöglich, aber wenn Sie es wirklich wollen, dann kannst du; Das ist natürlich notwendig, aber wenn Sie stark und/oder autoritär sind, müssen Sie es nicht tun.“ Wissen Sie, warum Englisch eine Sprache ist? internationale Kommunikation? (Ja, die Tatsache, dass die USA das größte BIP der Welt haben, ist wahrscheinlich auch wichtig, aber nicht nur aus diesem Grund) Denn Englisch ist nicht an jeden Furz von Fitzgerald oder Bradbury angepasst, sondern an die Benutzerfreundlichkeit gewöhnliche Menschen! Und dank all dem wird der Russe niemals so sein (in seiner jetzigen Form). Aber „großartig und mächtig“, oder? Und es spielt keine Rolle, dass jeder die russische Sprache betrachtet, als wäre sie ein Affe mit einer quadratischen akademischen Mütze. Ich möchte das alles mit Ihnen besprechen – wenn ich Ihre Arbeit und Ihre Meinung nicht respektieren würde, egal was passiert, würde ich Ihnen das alles nicht schreiben. Es haben sich angesehene, kompetente Menschen versammelt – also lasst uns offen und ohne Zögern reden!“
Antwort des russischen Helpdesks
Von deiner sehr langen und emotionaler Brief, es scheint, dass wir die folgende Schlussfolgerung ziehen können: Sie glauben, dass Linguisten, anstatt einfache und zu etablieren klare Regeln, verkomplizieren sie absichtlich und passen sie an die Launen der Klassiker an, weshalb es in unserer Sprache Dutzende und Hunderte von Ausnahmen gibt, oder? Versuchen wir, diesen Standpunkt zu kommentieren.
Erstens ist die russische Sprache wirklich lebendig – was könnten wir ohne diese These tun? Wenn wir Sprache als künstliches Konstrukt erschaffen würden, hätten wir einheitliche Regeln für Aussprache und Schrift, nach denen wir die Wörter sorgfältig verteilen würden grammatikalische Kategorien ohne Ausnahmen oder Abweichungen... Aber die russische Sprache ist kein künstliches Vorbild, und viele auf den ersten Blick seltsame Regeln, viele Ausnahmen sind ihr geschuldet jahrhundertealte Geschichte. Warum schreiben wir zum Beispiel? live Und schi mit einem Brief Und? Denn es waren einmal die Geräusche Und Und w waren weich. Sie sind längst verhärtet, aber die Schrift ist geblieben. Eine Schrift, die nur durch Tradition erklärt werden kann. Und derartige traditionelle Schreibweisen charakteristisch nicht nur für Russisch, sondern auch für andere Weltsprachen. Kein Wunder, dass es dasselbe ist englische Sprache(welche " „Sie passen Fitzgerald oder Bradbury nicht an jeden Furz an“), es gibt einen Witz: „Es heißt Manchester, aber lesen Sie Liverpool.“
Zweitens wurden die Normen der russischen Schrift (insbesondere die Zeichensetzungsnormen) präzise unter der Feder klassischer Schriftsteller formuliert, da das erste (und einzige) allgemein verbindliche Regelwerk der russischen Rechtschreibung in unserem Land erst 1956 erschien. Daher basieren Rechtschreibbücher selbstverständlich auf Beispielen aus dem Russischen klassische Literatur und Literatur des 20. Jahrhunderts. Aber mit Ihrer These „in„Alle Sprachnachschlagewerke sind keine Regelwerke, sondern Beobachtungen“, da kann man nur schwer zustimmen. R Russische Sprachtradition gerade in in einem größeren Ausmaß präskriptiv statt beschreibend (das heißt, es schreibt vor, statt nur zu beschreiben): Es bezieht sich viel häufiger auf die Konzepte „richtig“ und „falsch“ als beispielsweise die westliche Linguistik.
Drittens verkomplizieren Linguisten die Regeln nicht – ganz im Gegenteil. Die Kodifizierungsarbeit der Linguisten im gesamten 20. Jahrhundert zielte auf die Vereinheitlichung und Eliminierung von Optionen ab, und deshalb haben wir heute viel weniger Optionen als vor 100 Jahren. Es sind in der Regel Linguisten, die sich am aktivsten dafür einsetzen, Rechtschreibregeln zu ändern und ungerechtfertigte Ausnahmen zu eliminieren – nicht um die Regeln zu vereinfachen, sondern damit unsere Rechtschreibung noch systematischer und logischer wird. Aber die Gesellschaft verhindert in der Regel aktiv Versuche, die Normen und Regeln zu ändern.
| Frage Nr. 286457 | ||
Guten Tag. Tolstoi schrieb in Anna Karenina: „Alles war neu, von der neuen französischen Tapete bis zum Teppich, der den ganzen Raum bedeckte.“ Ist es jetzt richtig, „beides“ oder „beides“ zu sagen?
Antwort des russischen Helpdesks
Das veraltete Form. Im Augenblick: Hintergrund.
| Frage Nr. 285176 | ||
Stimmt die Interpunktion? 1. Die von den Parteien in der vorgeschriebenen Weise vereinbarte und unterzeichnete Abnahmebescheinigung für die erbrachten Dienstleistungen ist ein Dokument, das die Annahme der Verpflichtungen des Auftragnehmers aus dem Vertrag durch den Staatskunden bestätigt und die Grundlage für die Zahlung der Dienstleistungen zu den vorgesehenen Bedingungen darstellt im Vertrag. 2. Die Strafe wird für jeden Tag der Verzögerung bei der Erfüllung der in dieser Vereinbarung festgelegten Verpflichtung durch den Auftragnehmer berechnet, beginnend mit dem Tag, der auf den Tag des Ablaufs der Frist für die Erfüllung der in dieser Vereinbarung festgelegten Verpflichtung folgt, und wird festgestellt durch diese Vereinbarung in Höhe von einem Dreihundertstel des zum Zeitpunkt der Zahlung der Strafe geltenden Refinanzierungssatzes der Zentralbank Russische Föderation vom Preis dieser Vereinbarung, gekürzt um einen Betrag, der proportional zum Umfang der in dieser Vereinbarung vorgesehenen und vom Auftragnehmer tatsächlich erfüllten Verpflichtungen ist.
Antwort des russischen Helpdesks
1. Die von den Parteien in der vorgeschriebenen Weise vereinbarte und unterzeichnete Abnahmebescheinigung für die erbrachten Dienstleistungen ist ein Dokument, das die Annahme der Verpflichtungen des Auftragnehmers aus dem Vertrag durch den Staatskunden bestätigt und die Grundlage für die Zahlung der Dienstleistungen zu den bereitgestellten Bedingungen darstellt für im Vertrag.
2. Die Strafe fällt für jeden Tag der Verzögerung bei der Erfüllung der in dieser Vereinbarung festgelegten Verpflichtung durch den Auftragnehmer an, beginnend mit dem Tag, der auf den Tag des Ablaufs der Frist für die Erfüllung der in dieser Vereinbarung festgelegten Verpflichtung folgt, und wird von festgelegt dieser Vereinbarung in Höhe von einem Dreihundertstel des zum Zeitpunkt der Zahlung der Strafe geltenden Refinanzierungssatzes der Zentralbank der Russischen Föderation. vom Preis dieser Vereinbarung, gekürzt um einen Betrag, der proportional zum Umfang der bereitgestellten Verpflichtungen ist die in diesem Vertrag vorgesehen sind und vom Auftragnehmer tatsächlich erfüllt werden.
| Frage Nr. 284895 | ||
Bitte sagen Sie mir, ob in diesem Satz ein Komma erforderlich ist: An der Schule werden ab der 1. Klasse zwei Fremdsprachen unterrichtet. Nun, niemand auf der ganzen Welt weiß es. Vielleicht sogar du?
Antwort des russischen Helpdesks
Wir wissen :) Die Zeichensetzung hängt von der Bedeutung des Satzes ab. Wenn die Bedeutung ist, dass zwei Fremdsprachen Sie beginnen bereits in der ersten Klasse zu lernen, ein Komma ist nicht erforderlich. Umsatz mit Präposition mit ... anfangen ist nicht isoliert, wenn diese Präposition in vorkommt buchstäblich gibt die Startzeit von etwas an, in diesen Fällen das Wort Anfang kann in der Regel weggelassen werden, ohne den Sinn und Aufbau des Satzes zu beeinträchtigen (vgl.: Die Schule unterrichtet ab der 1. Klasse zwei Fremdsprachen).
Wenn der Sinn des Satzes aber darin besteht, dass in der Schule genau zwei Fremdsprachen unterrichtet werden ( logischer Stress in Worten zwei) und die Worte ab der 1. Klasse haben den Charakter einer beiläufigen Erläuterung (d. h. es handelt sich um zusätzliche, optionale Informationen), dann ein Komma davor Anfang muss gespeichert werden.
| Frage Nr. 284865 | ||
Können Sie Präpositionen auflisten, denen kein Komma vorangestellt ist? Wie zum Beispiel die Präposition „beginnend mit“. Ist das tatsächlich ein Partizip, das isoliert werden sollte?
Antwort des russischen Helpdesks
Wenn wir reden über zur Frage 284861, dann im gegebenen Beispiel mit ... anfangen- Vorwand.
Es ist nicht möglich, alle Präpositionen aufzulisten, denen kein Komma vorangestellt ist, da die Zeichensetzung meist von der Struktur eines bestimmten Satzes abhängt.
| Frage Nr. 284861 | ||
Antwort des russischen Helpdesks
Das angegebene Komma ist nicht erforderlich, wenn die Bedeutung des Satzes ist: vollständiges Studium Es wird empfohlen, in der achten Klasse mit Chemie zu beginnen. Details zur Zeichensetzung für Phrasen, die durch eine Präposition verbunden sindmit ... anfangen, lesen Sie im „Interpunktionshandbuch“.
| Frage Nr. 284037 | ||
Guten Tag! Bitte helfen Sie mir bei der Zeichensetzung in diesem Satz: In den letzten 30 Jahren (,) und insbesondere (,) seit 2000 (,) gab es einen Anstieg der Investitionen. Ist es notwendig, die Phrase mit „und insbesondere“ hervorzuheben und wo genau? Andere Antworten raten manchmal zum Hervorheben, manchmal nicht. Ich möchte allgemeine Regel. Danke!
Antwort des russischen Helpdesks
Wort besonders kann Mitglieder des Vorschlags mit zusätzlichen Kommentaren und Klarstellungen beifügen. In diesem Fall werden die verbindenden Glieder zusammen mit dem Wort durch Kommas getrennt besonders.
IN in diesem Fall und vor allem seit 2000- P verbindendes Mitglied des Satzes, das durch Kommas getrennt ist:In den letzten 30 Jahren und insbesondere seit dem Jahr 2000 ist ein Anstieg der Investitionen zu verzeichnen.
| Frage Nr. 283823 | ||
Wie schreibe ich richtig, damit klar ist, dass der 1. Januar im Zeitraum enthalten ist (es gibt kein Enddatum)? Basierend auf den Ergebnissen der seit dem 1. Januar 2014 durchgeführten Auktionen. oder Basierend auf den Ergebnissen von Auktionen, die im Zeitraum ab dem 1. Januar 2014 durchgeführt wurden.
Antwort des russischen Helpdesks
Du kannst schreiben: Basierend auf den Ergebnissen der Auktionen, die ab dem 1. Januar 2014 durchgeführt wurden... oder Basierend auf den Ergebnissen von Auktionen, die am 1. Januar 2014 und später durchgeführt wurden.
Dieser Artikel gibt einen Ausgangspunkt Vorstellung von Identitäten. Hier werden wir die Identität definieren, die verwendete Notation vorstellen und natürlich angeben verschiedene Beispiele Identitäten
Seitennavigation.
Was ist Identität?
Es ist logisch, mit der Präsentation des Materials zu beginnen Identitätsdefinitionen. Im Lehrbuch „Algebra für die 7. Klasse“ von Makarychev Yu. N. wird Identität wie folgt definiert:
Definition.
Identität– Dies ist eine Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt; jede echte numerische Gleichheit ist auch eine Identität.
Gleichzeitig weist der Autor sofort darauf hin, dass diese Definition in Zukunft präzisiert wird. Diese Klärung erfolgt in der 8. Klasse, nachdem man sich mit der Definition zulässiger Werte von Variablen und DL vertraut gemacht hat. Die Definition lautet:
Definition.
Identitäten- Das sind die Treuen numerische Gleichheiten sowie Gleichheiten, die für alle gelten akzeptable Werte die darin enthaltenen Variablen.
Warum sprechen wir also bei der Definition von Identität in der 7. Klasse über beliebige Werte von Variablen und in der 8. Klasse beginnen wir über die Werte von Variablen aus ihrem DL zu sprechen? Bis zur 8. Klasse wird ausschließlich mit ganzen Ausdrücken (insbesondere mit Monomen und Polynomen) gearbeitet und diese sind für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll. Deshalb sagen wir in der 7. Klasse, dass Identität eine Gleichheit ist, die für alle Werte der Variablen gilt. Und in der 8. Klasse tauchen Ausdrücke auf, die nicht mehr für alle Werte von Variablen, sondern nur für Werte aus deren ODZ sinnvoll sind. Daher beginnen wir, Gleichheiten zu nennen, die für alle zulässigen Werte der Variablen gelten.
Identität ist also besonderer Fall Gleichwertigkeit. Das heißt, jede Identität ist Gleichheit. Aber nicht jede Gleichheit ist eine Identität, sondern nur eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen aus ihrem zulässigen Wertebereich gilt.
Identitätszeichen
Es ist bekannt, dass beim Schreiben von Gleichheiten ein Gleichheitszeichen der Form „=“ verwendet wird, links und rechts davon stehen einige Zahlen oder Ausdrücke. Wenn wir diesem Zeichen eine weitere horizontale Linie hinzufügen, erhalten wir Identitätszeichen„≡“, oder wie es auch genannt wird Gleichheitszeichen.
Das Zeichen der Identität wird meist nur dann verwendet, wenn besonders betont werden muss, dass wir es nicht nur mit Gleichheit, sondern mit Identität zu tun haben. In anderen Fällen unterscheiden sich Aufzeichnungen über Identitäten optisch nicht von Gleichheiten.
Beispiele für Identitäten
Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Identitäten. Die im ersten Absatz gegebene Definition von Identität wird uns dabei helfen.
Numerische Gleichheiten 2=2 sind Beispiele für Identitäten, da diese Gleichheiten wahr sind und jede echte numerische Gleichheit per Definition eine Identität ist. Sie können als 2≡2 und geschrieben werden.
Numerische Gleichungen der Form 2+3=5 und 7−1=2·3 sind ebenfalls Identitäten, da diese Gleichungen wahr sind. Das heißt, 2+3≡5 und 7−1≡2·3.
Kommen wir zu Beispielen für Identitäten, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen enthalten.
Betrachten Sie die Gleichung 3·(x+1)=3·x+3. Für jeden Wert der Variablen x ist die geschriebene Gleichheit aufgrund von wahr Verteilungseigenschaft Multiplikation relativ zur Addition, daher ist die ursprüngliche Gleichheit ein Beispiel für Identität. Hier ist ein weiteres Beispiel für eine Identität: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, hier besteht der Bereich zulässiger Werte der Variablen x und y aus allen Paaren (x, y), wobei x und y beliebige Zahlen außer Null sind.
Aber die Gleichungen x+1=x−1 und a+2·b=b+2·a sind keine Identitäten, da es Werte der Variablen gibt, für die diese Gleichungen nicht gelten. Wenn beispielsweise x=2, wird die Gleichheit x+1=x−1 zur falschen Gleichheit 2+1=2−1. Darüber hinaus wird die Gleichheit x+1=x−1 für keinen der Werte der Variablen x erreicht. Und die Gleichheit a+2·b=b+2·a wird zu einer falschen Gleichheit, wenn wir welche annehmen unterschiedliche Bedeutungen Variablen a und b. Mit a=0 und b=1 kommen wir beispielsweise zur falschen Gleichheit 0+2·1=1+2·0. Gleichheit |x|=x, wobei |x| - Variable x ist ebenfalls keine Identität, da sie nicht gilt für negative Werte X.
Beispiele für die bekanntesten Identitäten sind die Form sin 2 α+cos 2 α=1 und a log a b =b.
Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich darauf hinweisen, dass wir im Mathematikstudium immer wieder auf Identitäten stoßen. Aufzeichnungen von Eigenschaften von Aktionen mit Zahlen sind Identitäten, zum Beispiel a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 und a+(−a)=0. Auch die Identitäten sind
Betrachten wir zwei Gleichheiten:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Diese Gleichheit gilt für alle Werte der Variablen a. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Gleichheit umfasst die gesamte Menge reale Nummern.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Diese Ungleichung gilt für alle Werte der Variablen a, außer a gleich Null. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Ungleichung umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen außer Null.
Für jede dieser Gleichungen kann argumentiert werden, dass sie für alle zulässigen Werte der Variablen a gilt. Solche Gleichheiten nennt man in der Mathematik Identitäten.
Der Begriff der Identität
Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der Variablen gilt. Wenn Sie in diese Gleichung anstelle von Variablen gültige Werte einsetzen, sollten Sie eine korrekte numerische Gleichheit erhalten.
Es ist erwähnenswert, dass echte numerische Gleichheiten auch Identitäten sind. Identitäten werden beispielsweise Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen sein.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Wenn zwei Ausdrücke für beliebige zulässige Variablen jeweils gleich sind, werden solche Ausdrücke aufgerufen identisch gleich. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke:
1. (a 2) 4 und a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) und -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) und x 10.
Wir können einen Ausdruck jederzeit durch jeden anderen Ausdruck ersetzen, und zwar identisch gleich dem ersten. Ein solcher Ersatz wird eine Identitätstransformation sein.
Beispiele für Identitäten
Beispiel 1: Sind die folgenden Gleichheiten identisch:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nicht alle oben dargestellten Ausdrücke sind Identitäten. Von diesen Gleichheiten sind nur 1, 2 und 3 Gleichheiten Identitäten. Egal welche Zahlen wir darin einsetzen, anstelle der Variablen a und b erhalten wir immer noch korrekte numerische Gleichheiten.
Aber 4 Gleichheit ist keine Identität mehr. Denn diese Gleichheit gilt nicht für alle gültigen Werte. Mit den Werten a = 5 und b = 2 erhält man beispielsweise folgendes Ergebnis:
Diese Gleichheit ist nicht wahr, da die Zahl 3 nicht gleich der Zahl -3 ist.
Identitätstransformationen stellen die Arbeit dar, die wir mit Zahlen und machen wörtliche Ausdrücke sowie mit Ausdrücken, die Variablen enthalten. Wir führen all diese Transformationen durch, um etwas zu bringen ursprünglicher Ausdruck in eine Form bringen, die zur Lösung des Problems geeignet ist. Wir werden in diesem Thema die wichtigsten Arten von Identitätstransformationen betrachten.
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Identische Transformation eines Ausdrucks. Was ist das?
Das Konzept der identischen Transformation begegneten wir erstmals im Algebraunterricht der 7. Klasse. Damals lernten wir erstmals den Begriff identisch gleicher Ausdrücke kennen. Lassen Sie uns die Konzepte und Definitionen verstehen, um das Thema leichter verständlich zu machen.
Definition 1
Identische Ausdruckstransformation– Hierbei handelt es sich um Aktionen, die mit dem Ziel durchgeführt werden, den ursprünglichen Ausdruck durch einen Ausdruck zu ersetzen, der dem Original identisch ist.
Häufig wird diese Definition in abgekürzter Form verwendet, wobei das Wort „identisch“ weggelassen wird. Es wird davon ausgegangen, dass wir den Ausdruck in jedem Fall so umwandeln, dass wir einen Ausdruck erhalten, der mit dem ursprünglichen identisch ist, und dies muss nicht gesondert hervorgehoben werden.
Lassen Sie uns diese Definition anhand von Beispielen veranschaulichen.
Beispiel 1
Wenn wir den Ausdruck ersetzen x + 3 − 2 zu einem identisch gleichen Ausdruck x+1, dann werden wir es durchführen Identitätstransformation Ausdrücke x + 3 − 2.
Beispiel 2
Ersetzen des Ausdrucks 2 a 6 durch den Ausdruck eine 3 ist eine Identitätstransformation, während der Ausdruck ersetzt wird X zum Ausdruck x 2 ist keine Identitätstransformation, da die Ausdrücke X Und x 2 sind nicht identisch gleich.
Wir machen Sie auf die Schreibweise von Ausdrücken bei identischen Transformationen aufmerksam. Normalerweise schreiben wir das Original und den resultierenden Ausdruck als Gleichheit. Wenn man also x + 1 + 2 = x + 3 schreibt, bedeutet dies, dass der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 reduziert wurde.
Die aufeinanderfolgende Ausführung von Aktionen führt uns zu einer Gleichheitskette, die mehrere hintereinander liegende identische Transformationen darstellt. Somit verstehen wir den Eintrag x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x als sequentielle Umsetzung zweier Transformationen: Zuerst wurde der Ausdruck x + 1 + 2 auf die Form x + 3 gebracht, und zwar auf die Form 3 + x.
Identische Transformationen und ODZ
Eine Reihe von Ausdrücken, die wir in der 8. Klasse zu studieren beginnen, ergeben nicht für alle Werte der Variablen einen Sinn. Um in diesen Fällen identische Transformationen durchzuführen, müssen wir auf den Bereich der zulässigen Variablenwerte (APV) achten. Durch die Durchführung identischer Transformationen kann die ODZ unverändert bleiben oder eingeschränkt werden.
Beispiel 3
Beim Durchführen eines Übergangs von einem Ausdruck a + (− b) zum Ausdruck a − b Bereich der zulässigen Variablenwerte A Und B Bleibt das selbe.
Beispiel 4
Übergang von Ausdruck x zu Ausdruck x 2 x führt zu einer Einengung des Bereichs zulässiger Werte der Variablen x aus der Menge aller reale Nummern zur Menge aller reellen Zahlen, aus denen Null ausgeschlossen wurde.
Beispiel 5
Identische Ausdruckstransformation x 2 x Ausdruck x führt zu einer Erweiterung des Bereichs zulässiger Werte der Variablen x von der Menge aller reellen Zahlen außer Null auf die Menge aller reellen Zahlen.
Das Einschränken oder Erweitern des Bereichs zulässiger Werte von Variablen bei der Durchführung von Identitätstransformationen ist bei der Lösung von Problemen wichtig, da dies die Genauigkeit von Berechnungen beeinträchtigen und zu Fehlern führen kann.
Grundlegende Identitätstransformationen
Sehen wir uns nun an, was Identitätstransformationen sind und wie sie durchgeführt werden. Lassen Sie uns die Arten von Identitätstransformationen, mit denen wir am häufigsten zu tun haben, in eine Gruppe grundlegender Transformationen einteilen.
Zusätzlich zu den Hauptidentitätstransformationen gibt es eine Reihe von Transformationen, die sich auf Ausdrücke eines bestimmten Typs beziehen. Bei Brüchen handelt es sich um Techniken zum Reduzieren und Bringen auf einen neuen Nenner. Bei Ausdrücken mit Wurzeln und Kräften alle Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Wurzeln und Kräften ausgeführt werden. Für logarithmische Ausdrücke Aktionen, die basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen ausgeführt werden. Für trigonometrische Ausdrücke alle Aktionen mit trigonometrische Formeln. Alle diese besonderen Transformationen werden im Detail besprochen einzelne Themen, die auf unserer Ressource zu finden ist. In diesem Zusammenhang werden wir in diesem Artikel nicht näher darauf eingehen.
Betrachten wir nun die wichtigsten Identitätstransformationen.
Begriffe und Faktoren neu anordnen
Beginnen wir mit der Neuordnung der Begriffe. Wir beschäftigen uns am häufigsten mit dieser identischen Transformation. Und hier kann die Hauptregel berücksichtigt werden die folgende Aussage: In jeder Summe hat eine Neuanordnung der Begriffe keinen Einfluss auf das Ergebnis.
Diese Regel basiert auf den kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition. Diese Eigenschaften ermöglichen es uns, Begriffe neu anzuordnen und Ausdrücke zu erhalten, die den Originalen identisch sind. Deshalb ist die Neuordnung der Terme in der Summe eine Identitätstransformation.
Beispiel 6
Wir haben die Summe der drei Terme 3 + 5 + 7. Wenn wir die Terme 3 und 5 vertauschen, erhält der Ausdruck die Form 5 + 3 + 7. Für den Begriffstausch gibt es in diesem Fall mehrere Möglichkeiten. Sie alle führen zu Ausdrücken, die identisch mit dem Original sind.
Nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke können als Terme in der Summe fungieren. Genau wie Zahlen können sie ohne Auswirkungen neu angeordnet werden Endergebnis Berechnungen.
Beispiel 7
Die Summe der drei Terme 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 und - 12 a der Form 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12 ) · a-Begriffe können beispielsweise wie folgt neu angeordnet werden: (- 12) · a + 1 a + b + a 2 + 2 · a + 5 + a 7 · a 3 . Im Gegenzug können Sie die Terme im Nenner des Bruchs 1 a + b neu anordnen, und der Bruch nimmt die Form 1 b + a an. Und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen a 2 + 2 a + 5 ist auch eine Summe, bei der die Begriffe vertauscht werden können.
Genau wie Terme können Sie Faktoren in den ursprünglichen Ausdrücken austauschen und identisch korrekte Gleichungen erhalten. Diese Aktion unterliegt der folgenden Regel:
Definition 2
In einem Produkt hat die Neuanordnung von Faktoren keinen Einfluss auf das Ergebnis der Berechnungen.
Diese Regel basiert auf den kommutativen und kombinativen Eigenschaften der Multiplikation, die die Richtigkeit der identischen Transformation bestätigen.
Beispiel 8
Arbeiten 3 5 7 Durch Umordnen können die Faktoren in einem von dargestellt werden die folgenden Typen: 5 3 7, 5 7 3, 7 3 5, 7 5 3 oder 3 7 5.
Beispiel 9
Die Umordnung der Faktoren im Produkt x + 1 x 2 - x + 1 x ergibt x 2 - x + 1 x x + 1
Erweiternde Klammern
Klammern können numerische und variable Ausdrücke enthalten. Diese Ausdrücke können identisch transformiert werden gleiche Ausdrücke, in dem es überhaupt keine oder weniger Klammern als in den ursprünglichen Ausdrücken gibt. Diese Methode zur Transformation von Ausdrücken wird Klammererweiterung genannt.
Beispiel 10
Lassen Sie uns Operationen mit Klammern in einem Ausdruck der Form ausführen 3 + x − 1 x um identisch zu erhalten richtigen Ausdruck 3 + x − 1 x.
Der Ausdruck 3 x - 1 + - 1 + x 1 - x kann in den identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern 3 x - 3 - 1 + x 1 - x umgewandelt werden.
Wir haben die Regeln zum Konvertieren von Ausdrücken mit Klammern ausführlich im Thema „Klammern erweitern“ besprochen, das auf unserer Ressource veröffentlicht ist.
Gruppierung von Begriffen, Faktoren
In Fällen, in denen es sich um drei und handelt Große anzahl Begriffe können wir auf diese Art von Identitätstransformationen als Gruppierung von Begriffen zurückgreifen. Bei dieser Transformationsmethode werden mehrere Begriffe zu einer Gruppe zusammengefasst, indem man sie neu anordnet und in Klammern setzt.
Beim Gruppieren werden die Begriffe vertauscht, sodass die gruppierten Begriffe im Ausdrucksdatensatz nebeneinander liegen. Sie können dann in Klammern eingeschlossen werden.
Beispiel 11
Nehmen wir den Ausdruck 5 + 7 + 1 . Wenn wir den ersten Term mit dem dritten gruppieren, erhalten wir (5 + 1) + 7 .
Die Gruppierung von Faktoren erfolgt analog zur Gruppierung von Begriffen.
Beispiel 12
Auf der Arbeit 2 3 4 5 Wir können den ersten Faktor mit dem dritten und den zweiten mit dem vierten gruppieren und erhalten so den Ausdruck (2 4) (3 5). Und wenn wir den ersten, zweiten und vierten Faktor gruppieren würden, würden wir den Ausdruck erhalten (2 3 5) 4.
Die gruppierten Begriffe und Faktoren können wie folgt dargestellt werden: Primzahlen und Ausdrücke. Gruppierungsregeln wurden ausführlich im Thema „Gruppieren von Summanden und Faktoren“ besprochen.
Ersetzen von Differenzen durch Summen, Teilprodukte und umgekehrt
Dank unserer Bekanntschaft mit wurde es möglich, Differenzen durch Summen zu ersetzen entgegengesetzte Zahlen. Nun subtrahiere ich von einer Zahl A Zahlen B kann als Addition zu einer Zahl betrachtet werden A Zahlen − b. Gleichwertigkeit a − b = a + (− b) kann als gerecht angesehen werden und auf dieser Grundlage Differenzen durch Summen ersetzen.
Beispiel 13
Nehmen wir den Ausdruck 4 + 3 − 2 , in dem die Differenz der Zahlen 3 − 2 wir können es als Summe schreiben 3 + (− 2) . Wir bekommen 4 + 3 + (− 2) .
Beispiel 14
Alle Unterschiede im Ausdruck 5 + 2 x − x 2 − 3 x 3 − 0 , 2 kann durch Summen wie ersetzt werden 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).
Aus etwaigen Differenzen können wir Summen bilden. Die umgekehrte Substitution können wir auf die gleiche Weise durchführen.
Das Ersetzen der Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors wird dank des Konzepts des Kehrwerts möglich reziproke Zahlen. Diese Transformation kann geschrieben werden als a: b = a (b − 1).
Diese Regel war die Grundlage für die Regel zur Division gewöhnlicher Brüche.
Beispiel 15
Privat 1 2: 3 5 kann durch ein Produkt der Form ersetzt werden 1 2 5 3.
Ebenso kann analog die Division durch Multiplikation ersetzt werden.
Beispiel 16
Im Fall des Ausdrucks 1 + 5: x: (x + 3) Ersetzen Sie die Division durch X kann mit multipliziert werden 1x. Division durch x+3 wir können durch Multiplikation mit ersetzen 1x + 3. Die Transformation ermöglicht es uns, einen Ausdruck zu erhalten, der mit dem Original identisch ist: 1 + 5 · 1 x · 1 x + 3.
Das Ersetzen der Multiplikation durch Division erfolgt nach dem Schema a · b = a: (b − 1).
Beispiel 17
Im Ausdruck 5 x x 2 + 1 - 3 kann die Multiplikation durch Division als 5: x 2 + 1 x - 3 ersetzt werden.
Dinge mit Zahlen machen
Das Ausführen von Operationen mit Zahlen unterliegt der Regel der Reihenfolge, in der Aktionen ausgeführt werden. Zunächst werden Operationen mit Zahlenpotenzen und Zahlenwurzeln durchgeführt. Danach ersetzen wir Logarithmen, trigonometrische und andere Funktionen durch ihre Werte. Dann werden die Aktionen in Klammern ausgeführt. Und dann können Sie alle weiteren Aktionen von links nach rechts ausführen. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion stehen.
Durch Operationen mit Zahlen können Sie den ursprünglichen Ausdruck in einen ihm gleichen identischen Ausdruck umwandeln.
Beispiel 18
Lassen Sie uns den Ausdruck 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x transformieren und so alles vervollständigen mögliche Aktionen mit Zahlen.
Lösung
Achten wir zunächst auf den Abschluss 2 3 und Wurzel 4 und berechnen Sie ihre Werte: 2 3 = 8 und 4 = 2 2 = 2 .
Setzen wir die erhaltenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck ein und erhalten: 3 · (8 - 1) · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Führen wir nun die Schritte in Klammern aus: 8 − 1 = 7 . Kommen wir nun zum Ausdruck 3 · 7 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Alles was wir tun müssen, ist Zahlen zu multiplizieren 3 Und 7 . Wir erhalten: 21 · a + 2 · (x 2 + 5 · x) .
Antwort: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)
Operationen mit Zahlen können andere Arten von Identitätstransformationen vorausgehen, wie etwa das Gruppieren von Zahlen oder das Öffnen von Klammern.
Beispiel 19
Nehmen wir den Ausdruck 3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11.
Lösung
Zunächst ersetzen wir den Quotienten in Klammern 6: 3 über seine Bedeutung 2 . Wir erhalten: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11.
Erweitern wir die Klammern: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.
Lasst uns gruppieren numerische Faktoren im Produkt, sowie Begriffe, die Zahlen sind: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.
Führen wir die Schritte in Klammern durch: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3
Antwort:3 + 2 (6:3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3
Wenn wir mit numerischen Ausdrücken arbeiten, besteht das Ziel unserer Arbeit darin, den Wert des Ausdrucks zu ermitteln. Wenn wir Ausdrücke mit Variablen transformieren, besteht das Ziel unseres Handelns darin, den Ausdruck zu vereinfachen.
Den gemeinsamen Faktor ausklammern
In Fällen, in denen die Terme im Ausdruck denselben Faktor haben, können wir diesen herausnehmen gemeinsamer Multiplikator außerhalb der Klammern. Dazu müssen wir zunächst den ursprünglichen Ausdruck als Produkt eines gemeinsamen Faktors und eines Ausdrucks in Klammern darstellen, der aus den ursprünglichen Termen ohne gemeinsamen Faktor besteht.
Beispiel 20
Numerisch 2 7 + 2 3 Wir können den gemeinsamen Faktor herausnehmen 2 außerhalb der Klammern und erhalten einen identisch korrekten Ausdruck der Form 2 (7 + 3).
Die Regeln zum Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern können Sie im entsprechenden Abschnitt unserer Ressource auffrischen. Das Material bespricht ausführlich die Regeln zum Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern und liefert zahlreiche Beispiele.
Ähnliche Begriffe reduzieren
Kommen wir nun zu Summen, die ähnliche Begriffe enthalten. Hier gibt es zwei Möglichkeiten: Summen, die identische Terme enthalten, und Summen, deren Terme sich um einen numerischen Koeffizienten unterscheiden. Aktionen mit Summen, die ähnliche Begriffe enthalten, werden Reduktionen genannt ähnliche Begriffe. Es wird wie folgt durchgeführt: Wir nehmen den gemeinsamen Buchstabenteil aus Klammern und berechnen die Summe numerische Koeffizienten in Klammern.
Beispiel 21
Betrachten Sie den Ausdruck 1 + 4 x − 2 x. Wir können den Literalteil x aus Klammern herausnehmen und den Ausdruck erhalten 1 + x (4 − 2). Berechnen wir den Wert des Ausdrucks in Klammern und erhalten eine Summe der Form 1 + x · 2.
Ersetzen von Zahlen und Ausdrücken durch identisch gleiche Ausdrücke
Die Zahlen und Ausdrücke, aus denen der ursprüngliche Ausdruck besteht, können durch identisch gleiche Ausdrücke ersetzt werden. Eine solche Transformation des ursprünglichen Ausdrucks führt zu einem ihm identischen Ausdruck.
Beispiel 22 Beispiel 23
Betrachten Sie den Ausdruck 1 + eine 5, in dem wir den Grad a 5 durch ein dazu identisches Produkt ersetzen können, beispielsweise der Form a · a 4. Dies wird uns den Ausdruck geben 1 + a · a 4.
Die durchgeführte Transformation ist künstlich. Es macht nur Sinn, sich auf andere Veränderungen vorzubereiten.
Beispiel 24
Betrachten Sie die Transformation der Summe 4 x 3 + 2 x 2. Hier der Begriff 4 x 3 wir uns als Werk vorstellen können 2 x 2 2 x. Dadurch nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form an 2 x 2 2 x + 2 x 2. Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor isolieren 2 x 2 und setze es aus Klammern: 2 x 2 (2 x + 1).
Addieren und Subtrahieren derselben Zahl
Das gleichzeitige Addieren und Subtrahieren derselben Zahl oder desselben Ausdrucks ist mit künstlichen Mitteln Ausdruckstransformationen.
Beispiel 25
Betrachten Sie den Ausdruck x 2 + 2 x. Wir können eins davon addieren oder subtrahieren, was es uns ermöglicht, anschließend eine weitere identische Transformation durchzuführen – um das Quadrat des Binomials zu isolieren: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 − 1 = (x + 1) 2 − 1.
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Nachdem man sich ein Bild von Identitäten gemacht hat, ist es logisch, mit dem Kennenlernen fortzufahren. In diesem Artikel werden wir die Frage beantworten, was identisch gleiche Ausdrücke sind, und anhand von Beispielen verstehen, welche Ausdrücke identisch gleich sind und welche nicht.
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Was sind identisch gleiche Ausdrücke?
Die Definition identisch gleicher Ausdrücke erfolgt parallel zur Definition der Identität. Dies geschieht im Algebraunterricht der 7. Klasse. Im Lehrbuch über Algebra für die 7. Klasse des Autors Yu. N. Makarychev wird folgende Formulierung gegeben:
Definition.
– Dies sind Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind. Numerische Ausdrücke, die antworten gleiche Werte, auch identisch gleich genannt.
Diese Definition wird bis zur 8. Klasse verwendet; sie gilt für ganzzahlige Ausdrücke, da sie für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll sind. Und in der 8. Klasse wird die Definition identisch gleicher Ausdrücke geklärt. Lassen Sie uns erklären, womit das zusammenhängt.
In der 8. Klasse beginnt das Studium anderer Arten von Ausdrücken, die im Gegensatz zu ganzen Ausdrücken für einige Werte der Variablen möglicherweise keinen Sinn ergeben. Dies zwingt uns dazu, Definitionen zulässiger und inakzeptabler Werte von Variablen sowie des Bereichs zulässiger Werte des Variablenwerts der Variablen einzuführen und infolgedessen die Definition identisch gleicher Ausdrücke zu klären.
Definition.
Es werden zwei Ausdrücke aufgerufen, deren Werte für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind identisch gleiche Ausdrücke. Zwei numerische Ausdrücke mit gleichen Werten werden auch als identisch gleich bezeichnet.
IN diese Definition Bei identisch gleichen Ausdrücken lohnt es sich, die Bedeutung des Ausdrucks „für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen“ zu klären. Damit sind alle Werte von Variablen gemeint, für die beide identisch gleichen Ausdrücke gleichzeitig Sinn ergeben. Wir werden diese Idee im nächsten Absatz anhand von Beispielen erläutern.
Die Definition identisch gleicher Ausdrücke im Lehrbuch von A. G. Mordkovich ist etwas anders:
Definition.
Identisch gleiche Ausdrücke- das sind Ausdrücke auf der linken Seite und die richtigen Teile Identitäten.
Die Bedeutung dieser und der vorherigen Definitionen stimmt überein.
Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke
Die im vorherigen Absatz eingeführten Definitionen ermöglichen uns eine Angabe Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke.
Beginnen wir mit identisch gleichen numerischen Ausdrücken. Die Zahlenausdrücke 1+2 und 2+1 sind identisch gleich, da sie den gleichen Werten 3 und 3 entsprechen. Die Ausdrücke 5 und 30:6 sind ebenfalls identisch gleich, ebenso wie die Ausdrücke (2 2) 3 und 2 6 (Werte). Neueste Ausdrücke gleich stark). Und hier numerische Ausdrücke 3+2 und 3−2 sind nicht identisch gleich, da ihre entsprechenden Werte 5 bzw. 1 sind und sie nicht gleich sind.
Lassen Sie uns nun Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke mit Variablen geben. Dies sind die Ausdrücke a+b und b+a. Tatsächlich nehmen die geschriebenen Ausdrücke für alle Werte der Variablen a und b die gleichen Werte an (wie aus den Zahlen hervorgeht). Zum Beispiel haben wir mit a=1 und b=2 a+b=1+2=3 und b+a=2+1=3 . Für alle anderen Werte der Variablen a und b erhalten wir ebenfalls gleiche Werte dieser Ausdrücke. Die Ausdrücke 0·x·y·z und 0 sind auch für alle Werte der Variablen x, y und z identisch gleich. Aber die Ausdrücke 2 x und 3 x sind nicht identisch gleich, da zum Beispiel bei x=1 ihre Werte nicht gleich sind. Tatsächlich ist für x=1 der Ausdruck 2 x gleich 2 x 1=2 und der Ausdruck 3 x ist gleich 3 x 1=3.
Wenn die Bereiche zulässiger Werte von Variablen in Ausdrücken übereinstimmen, wie zum Beispiel in den Ausdrücken a+1 und 1+a, oder a·b·0 und 0, oder und, und die Werte dieser Ausdrücke für alle Werte der Variablen aus diesen Bereichen gleich sind, dann ist hier alles klar – diese Ausdrücke sind für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen identisch gleich. Also a+1≡1+a für jedes a, die Ausdrücke a·b·0 und 0 sind für alle Werte der Variablen a und b identisch und die Ausdrücke und sind für alle x von identisch; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
