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Graph der Funktion x 0. Funktionen und ihre Graphen. Gebrochene lineare Funktion und ihr Graph

Lass uns im Flugzeug wählen rechteckiges System Koordinaten und wir werden die Werte des Arguments auf der Abszissenachse darstellen X, und auf der Ordinate - die Werte der Funktion y = f(x).

Funktionsgraph y = f(x) ist die Menge aller Punkte, deren Abszissen zum Definitionsbereich der Funktion gehören und deren Ordinaten gleich den entsprechenden Werten der Funktion sind.

Mit anderen Worten, der Graph der Funktion y = f (x) ist die Menge aller Punkte der Ebene, Koordinaten X, bei die die Relation erfüllen y = f(x).

In Abb. 45 und 46 zeigen Funktionsgraphen y = 2x + 1 Und y = x 2 - 2x.

Streng genommen sollte man zwischen dem Graphen einer Funktion (exakt) unterscheiden mathematische Definition die oben angegeben wurde) und eine gezeichnete Kurve, die immer nur eine mehr oder weniger genaue Skizze des Graphen liefert (und selbst dann in der Regel nicht den gesamten Graphen, sondern nur einen Teil davon, der sich im endlichen Teil des Graphen befindet). Flugzeug). Im Folgenden sprechen wir jedoch generell von „Grafik“ und nicht von „Grafikskizze“.

Mithilfe eines Diagramms können Sie den Wert einer Funktion an einem Punkt ermitteln. Nämlich, wenn der Punkt x = ein gehört zum Definitionsbereich der Funktion y = f(x), dann um die Nummer zu finden Fa)(also die Funktionswerte am Punkt x = ein) du solltest das tun. Es ist notwendig, durch den Abszissenpunkt zu gehen x = ein Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zur Ordinatenachse. Diese Linie schneidet den Graphen der Funktion y = f(x) an einer Stelle; Die Ordinate dieses Punktes ist aufgrund der Definition des Diagramms gleich Fa)(Abb. 47).

Zum Beispiel für die Funktion f(x) = x 2 - 2x Mithilfe des Diagramms (Abb. 46) finden wir f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 usw.

Ein Funktionsgraph veranschaulicht anschaulich das Verhalten und die Eigenschaften einer Funktion. Aus der Betrachtung von Abb. 46 Es ist klar, dass die Funktion y = x 2 - 2x akzeptiert positive Werte bei X< 0 und bei x > 2, negativ - bei 0< x < 2; kleinster Wert Funktion y = x 2 - 2x akzeptiert bei x = 1.

Eine Funktion grafisch darstellen f(x) Sie müssen alle Punkte der Ebene und Koordinaten finden X,bei die die Gleichung erfüllen y = f(x). In den meisten Fällen ist dies nicht möglich, da es unendlich viele solcher Punkte gibt. Daher wird der Graph der Funktion näherungsweise dargestellt – mit mehr oder weniger Genauigkeit. Am einfachsten ist es, einen Graphen anhand mehrerer Punkte zu zeichnen. Es besteht darin, dass das Argument X Geben Sie eine endliche Anzahl von Werten an – sagen wir x 1, x 2, x 3,..., x k und erstellen Sie eine Tabelle, die die ausgewählten Funktionswerte enthält.

Die Tabelle sieht so aus:

Nachdem wir eine solche Tabelle zusammengestellt haben, können wir mehrere Punkte im Funktionsgraphen skizzieren y = f(x). Wenn wir diese Punkte dann mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir eine ungefähre Ansicht des Funktionsgraphen y = f(x).

Es ist jedoch zu beachten, dass die Mehrpunkt-Plotmethode sehr unzuverlässig ist. Tatsächlich bleibt das Verhalten des Diagramms zwischen den beabsichtigten Punkten und sein Verhalten außerhalb des Segments zwischen den aufgenommenen Extrempunkten unbekannt.

Beispiel 1. Eine Funktion grafisch darstellen y = f(x) jemand hat eine Tabelle mit Argument- und Funktionswerten zusammengestellt:

Die entsprechenden fünf Punkte sind in Abb. dargestellt. 48.

Aufgrund der Lage dieser Punkte kam er zu dem Schluss, dass der Graph der Funktion eine gerade Linie ist (in Abb. 48 mit einer gepunkteten Linie dargestellt). Kann diese Schlussfolgerung als zuverlässig angesehen werden? Sofern es keine zusätzlichen Überlegungen gibt, die diese Schlussfolgerung stützen, kann sie kaum als zuverlässig angesehen werden. zuverlässig.

Um unsere Aussage zu untermauern, betrachten wir die Funktion

Berechnungen zeigen, dass die Werte dieser Funktion an den Punkten -2, -1, 0, 1, 2 durch die obige Tabelle genau beschrieben werden. Der Graph dieser Funktion ist jedoch überhaupt keine Gerade (er ist in Abb. 49 dargestellt). Ein anderes Beispiel wäre die Funktion y = x + l + sinπx; Seine Bedeutung ist ebenfalls in der obigen Tabelle beschrieben.

Diese Beispiele zeigen, dass die Methode, einen Graphen anhand mehrerer Punkte zu zeichnen, in ihrer „reinen“ Form unzuverlässig ist. Um einen Graphen einer gegebenen Funktion zu zeichnen, geht man daher normalerweise wie folgt vor. Zunächst untersuchen wir die Eigenschaften dieser Funktion, mit deren Hilfe wir eine Skizze des Diagramms erstellen können. Durch Berechnen der Werte der Funktion an mehreren Punkten (deren Wahl von den festgelegten Eigenschaften der Funktion abhängt) werden dann die entsprechenden Punkte des Diagramms gefunden. Und schließlich wird mithilfe der Eigenschaften dieser Funktion eine Kurve durch die konstruierten Punkte gezeichnet.

Wir werden uns später einige (die einfachsten und am häufigsten verwendeten) Eigenschaften von Funktionen ansehen, die zum Auffinden einer Diagrammskizze verwendet werden, aber jetzt werden wir uns einige häufig verwendete Methoden zum Erstellen von Diagrammen ansehen.

Graph der Funktion y = |f(x)|.

Oft ist es notwendig, eine Funktion darzustellen y = |f(x)|, wo f(x) - gegebene Funktion. Wir erinnern Sie daran, wie das geht. Indem wir den absoluten Wert einer Zahl definieren, können wir schreiben

Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion y =|f(x)| kann aus dem Graphen, der Funktion, erhalten werden y = f(x) wie folgt: alle Punkte im Graphen der Funktion y = f(x), deren Ordinaten nicht negativ sind, sollte unverändert bleiben; weiter, anstelle der Punkte des Graphen der Funktion y = f(x) haben negative Koordinaten, sollten Sie die entsprechenden Punkte im Diagramm der Funktion konstruieren y = -f(x)(d. h. Teil des Graphen der Funktion
y = f(x), die unterhalb der Achse liegt X, sollte symmetrisch um die Achse gespiegelt werden X).

Beispiel 2. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x|.

Nehmen wir den Graphen der Funktion y = x(Abb. 50, a) und Teil dieser Grafik bei X< 0 (unter der Achse liegend X) symmetrisch zur Achse reflektiert X. Als Ergebnis erhalten wir einen Graphen der Funktion y = |x|(Abb. 50, b).

Beispiel 3. Stellen Sie die Funktion grafisch dar y = |x 2 - 2x|.

Lassen Sie uns zunächst die Funktion grafisch darstellen y = x 2 - 2x. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, der Scheitelpunkt der Parabel hat die Koordinaten (1; -1), ihr Graph schneidet die x-Achse in den Punkten 0 und 2. Auf dem Intervall (0; 2) Die Funktion übernimmt negative Werte Daher werden wir diesen Teil des Diagramms relativ zur Abszissenachse symmetrisch anzeigen. Abbildung 51 zeigt den Graphen der Funktion y = |x 2 -2x|, basierend auf dem Graphen der Funktion y = x 2 - 2x

Graph der Funktion y = f(x) + g(x)

Betrachten Sie das Problem der Konstruktion eines Funktionsgraphen y = f(x) + g(x). wenn Funktionsgraphen gegeben sind y = f(x) Und y = g(x).

Beachten Sie, dass der Definitionsbereich der Funktion y = |f(x) + g(x)| ist die Menge aller Werte von x, für die beide Funktionen y = f(x) und y = g(x) definiert sind, d.h. dieser Definitionsbereich ist der Schnittpunkt der Definitionsbereiche, Funktionen f(x) und g(x).

Lassen Sie die Punkte (x 0 , y 1) Und (x 0, y 2) gehören jeweils zu den Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x), d.h. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Dann gehört der Punkt (x0;. y1 + y2) zum Graphen der Funktion y = f(x) + g(x)(für f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. und jeder Punkt im Graphen der Funktion y = f(x) + g(x) können auf diese Weise erhalten werden. Daher der Graph der Funktion y = f(x) + g(x) kann aus Funktionsgraphen gewonnen werden y = f(x). Und y = g(x) Ersetzen Sie jeden Punkt ( x n, y 1) Funktionsgrafiken y = f(x) Punkt (x n, y 1 + y 2), Wo y 2 = g(x n), d. h. durch Verschieben jedes Punktes ( x n, y 1) Funktionsgraph y = f(x) entlang der Achse bei um den Betrag y 1 = g(x n). In diesem Fall werden nur solche Punkte berücksichtigt X n, für die beide Funktionen definiert sind y = f(x) Und y = g(x).

Diese Methode zum Zeichnen einer Funktion y = f(x) + g(x) heißt Addition von Funktionsgraphen y = f(x) Und y = g(x)

Beispiel 4. In der Abbildung wurde ein Diagramm der Funktion mithilfe der Methode zum Hinzufügen von Diagrammen erstellt
y = x + sinx.

Beim Zeichnen einer Funktion y = x + sinx das dachten wir f(x) = x, A g(x) = sinx. Um den Funktionsgraphen darzustellen, wählen wir Punkte mit den Abszissen -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, 1,5, 2 aus. Werte f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Berechnen wir an den ausgewählten Punkten und tragen die Ergebnisse in die Tabelle ein.

Der Graph einer Funktion ist visuelle Darstellung Verhalten einer Funktion auf Koordinatenebene. Grafiken helfen beim Verständnis verschiedene Aspekte Funktionen, die nicht aus der Funktion selbst bestimmt werden können. Sie können Diagramme für viele Funktionen erstellen, und jede davon wird angegeben eine bestimmte Formel. Der Graph einer beliebigen Funktion wird mithilfe eines bestimmten Algorithmus erstellt (falls Sie den genauen Prozess der grafischen Darstellung einer bestimmten Funktion vergessen haben).

Schritte

Eine lineare Funktion grafisch darstellen

Bestimmen Sie, ob die Funktion linear ist. Die lineare Funktion wird durch eine Formel der Form gegeben F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) oder y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(zum Beispiel), und sein Graph ist eine gerade Linie. Somit umfasst die Formel eine Variable und eine Konstante (Konstante) ohne Exponenten, Wurzelzeichen oder Ähnliches. Wenn eine Funktion eines ähnlichen Typs gegeben ist, ist es recht einfach, einen Graphen einer solchen Funktion zu zeichnen. Hier sind weitere Beispiele für lineare Funktionen:

Verwenden Sie eine Konstante, um einen Punkt auf der Y-Achse zu markieren. Die Konstante (b) ist die „y“-Koordinate des Punktes, an dem der Graph die Y-Achse schneidet. Das heißt, es ist ein Punkt, dessen „x“-Koordinate gleich 0 ist. Wenn also x = 0 ist, wird sie in die Formel eingesetzt , dann y = b (konstant). In unserem Beispiel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) die Konstante ist gleich 5, d. h. der Schnittpunkt mit der Y-Achse hat die Koordinaten (0,5). Tragen Sie diesen Punkt auf der Koordinatenebene ein.

Finden Neigung gerade. Er gleich dem Multiplikator mit einer Variablen. In unserem Beispiel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) bei der Variablen „x“ gibt es einen Faktor von 2; somit ist der Steigungskoeffizient gleich 2. Der Steigungskoeffizient bestimmt den Neigungswinkel der Geraden zur X-Achse, d. h. je größer der Steigungskoeffizient, desto schneller steigt oder fällt die Funktion.

Schreiben Sie die Steigung als Bruch. Steigungsfaktor gleich Tangente der Neigungswinkel, also das Verhältnis des vertikalen Abstands (zwischen zwei Punkten auf einer Geraden) zum horizontalen Abstand (zwischen denselben Punkten). In unserem Beispiel beträgt die Steigung 2, sodass wir sagen können, dass der vertikale Abstand 2 und der horizontale Abstand 1 beträgt. Schreiben Sie dies als Bruch: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Wenn die Steigung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

Zeichnen Sie von dem Punkt, an dem die gerade Linie die Y-Achse schneidet, einen zweiten Punkt unter Verwendung vertikaler und horizontaler Abstände. Zeitplan lineare Funktion kann aus zwei Punkten konstruiert werden. In unserem Beispiel hat der Schnittpunkt mit der Y-Achse die Koordinaten (0,5); Von diesem Punkt aus bewegt man sich 2 Felder nach oben und dann 1 Feld nach rechts. Markieren Sie einen Punkt; es wird die Koordinaten (1,7) haben. Jetzt können Sie eine gerade Linie zeichnen.

Zeichnen Sie mit einem Lineal eine gerade Linie durch zwei Punkte. Um Fehler zu vermeiden, suchen Sie den dritten Punkt. In den meisten Fällen kann die Grafik jedoch auch mit zwei Punkten erstellt werden. Sie haben also eine lineare Funktion gezeichnet.

Eine komplexe Funktion grafisch darstellen

Finden Sie die Nullstellen der Funktion. Die Nullstellen einer Funktion sind die Werte der x-Variablen mit y = 0, das heißt, dies sind die Punkte, an denen der Graph die X-Achse schneidet. Beachten Sie, dass nicht alle Funktionen Nullstellen haben, aber sie sind die ersten Schritt im Prozess der grafischen Darstellung einer Funktion. Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, setzen Sie sie mit Null gleich. Zum Beispiel:

Suchen und markieren Sie die horizontalen Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion annähert, die sie jedoch nie schneidet (d. h. in diesem Bereich ist die Funktion nicht definiert, beispielsweise bei der Division durch 0). Markieren Sie die Asymptote mit einer gepunkteten Linie. Wenn die Variable „x“ im Nenner eines Bruchs steht (z. B. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setze den Nenner auf Null und finde „x“. In den erhaltenen Werten der Variablen „x“ ist die Funktion nicht definiert (in unserem Beispiel zeichnen Sie gepunktete Linien durch x = 2 und x = -2), da Sie nicht durch 0 dividieren können. Aber Asymptoten existieren nicht nur in Fällen, in denen die Funktion enthält gebrochener Ausdruck. Daher wird die Verwendung empfohlen gesunder Menschenverstand:

Finden Sie die Koordinaten mehrerer Punkte und tragen Sie sie auf der Koordinatenebene ein. Wählen Sie einfach mehrere x-Werte aus und fügen Sie sie in die Funktion ein, um die entsprechenden y-Werte zu finden. Zeichnen Sie dann die Punkte auf der Koordinatenebene ein. Wie komplexere Funktion, desto mehr Punkte müssen Sie finden und darstellen. In den meisten Fällen ersetzen Sie x = -1; x = 0; x = 1, aber wenn die Funktion komplex ist, finden Sie drei Punkte auf jeder Seite des Ursprungs.
- Bei Funktion y = 5 x 2 + 6 (\displaystyle y=5x^(2)+6) Ersatz folgende Werte„x“: -1, 0, 1, -2, 2, -10, 10. Sie erhalten ausreichende Menge Punkte.
- Wählen Sie Ihre x-Werte mit Bedacht aus. An unserem Beispiel ist das leicht zu verstehen negatives Zeichen spielt keine Rolle: Der Wert von „y“ bei x = 10 und bei x = -10 wird gleich sein.
Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, beginnen Sie mit der Funktionsersetzung unterschiedliche Bedeutungen„x“, um die „y“-Werte (und damit die Koordinaten der Punkte) zu finden. Theoretisch kann ein Graph einer Funktion nur mit dieser Methode erstellt werden (wenn man natürlich eine unendliche Vielfalt von „x“-Werten ersetzt).

1. Gebrochene lineare Funktion und ihr Graph

Eine Funktion der Form y = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind, wird als gebrochene rationale Funktion bezeichnet.

Mit dem Konzept Rationale Zahlen ihr kennt euch wahrscheinlich schon. Ebenfalls rationale Funktionen sind Funktionen, die als Quotient zweier Polynome dargestellt werden können.

Wenn eine gebrochene rationale Funktion der Quotient zweier linearer Funktionen ist – Polynome ersten Grades, d.h. Funktion der Form

y = (ax + b) / (cx + d), dann heißt es gebrochen linear.

Beachten Sie, dass in der Funktion y = (ax + b) / (cx + d) c ≠ 0 ist (sonst wird die Funktion linear y = ax/d + b/d) und dass a/c ≠ b/d (sonst ist). Funktion ist konstant). Die gebrochene lineare Funktion ist für alle definiert reale Nummern, außer x = -d/c. Graphen gebrochener linearer Funktionen unterscheiden sich in ihrer Form nicht von dem Graphen y = 1/x, den Sie kennen. Eine Kurve, die ein Graph der Funktion y = 1/x ist, heißt Hyperbel. Mit unbegrenzter Vergrößerung von x Absolutwert Die Funktion y = 1/x nimmt im Absolutwert unbegrenzt ab und beide Zweige des Diagramms nähern sich der x-Achse: der rechte nähert sich von oben und der linke von unten. Die Linien, denen sich die Zweige einer Hyperbel nähern, werden als ihre bezeichnet Asymptoten.

Beispiel 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Lösung.

Wählen wir den gesamten Teil aus: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x erhalten wird mit den folgenden Transformationen: Verschiebung um 3 Einheitssegmente nach rechts, 7-fache Dehnung entlang der Oy-Achse und Verschiebung um 2 Einheitssegmente nach oben.

Jeder Bruch y = (ax + b) / (cx + d) kann auf ähnliche Weise geschrieben werden, wobei der „ganzzahlige Teil“ hervorgehoben wird. Folglich sind die Graphen aller gebrochenen linearen Funktionen Hyperbeln, die auf unterschiedliche Weise entlang der Koordinatenachsen verschoben und entlang der Oy-Achse gestreckt sind.

Um einen beliebigen Graphen zu erstellen gebrochene lineare Funktion Es ist überhaupt nicht notwendig, den Bruch, der diese Funktion definiert, umzuwandeln. Da wir wissen, dass der Graph eine Hyperbel ist, reicht es aus, die Geraden zu finden, denen sich seine Zweige nähern – die Asymptoten der Hyperbel x = -d/c und y = a/c.

Beispiel 2.

Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion y = (3x + 5)/(2x + 2).

Lösung.

Die Funktion ist bei x = -1 nicht definiert. Das bedeutet, dass die Gerade x = -1 als vertikale Asymptote dient. Um die horizontale Asymptote zu finden, wollen wir herausfinden, wie sich die Werte der Funktion y(x) nähern, wenn der Absolutwert des Arguments x zunimmt.

Teilen Sie dazu Zähler und Nenner des Bruchs durch x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Da x → ∞, tendiert der Bruch zu 3/2. Das bedeutet, dass die horizontale Asymptote die Gerade y = 3/2 ist.

Beispiel 3.

Zeichnen Sie die Funktion y = (2x + 1)/(x + 1).

Lösung.

Wählen wir den „ganzen Teil“ des Bruchs aus:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x durch die folgenden Transformationen erhalten wird: eine Verschiebung um 1 Einheit nach links, eine symmetrische Darstellung bezüglich Ox und eine Verschiebung um 2 Einheitensegmente nach oben entlang der Oy-Achse.

Domäne D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Wertebereich E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Schnittpunkte mit Achsen: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Die Funktion nimmt in jedem Intervall des Definitionsbereichs zu.

Antwort: Abbildung 1.

2. Bruchrationale Funktion

Betrachten Sie eine gebrochene rationale Funktion der Form y = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome mit höherem Grad als dem ersten sind.

Beispiele für solche rationalen Funktionen:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) oder y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Wenn die Funktion y = P(x) / Q(x) den Quotienten zweier Polynome mit höherem Grad als dem ersten darstellt, ist ihr Graph in der Regel komplexer und es kann manchmal schwierig sein, ihn genau zu konstruieren , mit allen Details. Allerdings reicht es oft aus, Techniken anzuwenden ähnliche Themen, die wir oben bereits kennengelernt haben.

Der Bruch sei ein echter Bruch (n< m). Известно, что любую несократимую rationaler Bruch kann auf einzigartige Weise als Summe dargestellt werden endliche Zahl Elementarbrüche, deren Form durch Zerlegung des Nenners des Bruchs Q(x) in das Produkt reeller Faktoren bestimmt wird:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Offensichtlich der Zeitplan gebrochene rationale Funktion kann als Summe von Graphen elementarer Brüche erhalten werden.

Zeichnen von Graphen gebrochener rationaler Funktionen

Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, Graphen einer gebrochenen rationalen Funktion zu erstellen.

Beispiel 4.

Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = 1/x 2 .

Lösung.

Wir verwenden den Graphen der Funktion y = x 2, um einen Graphen von y = 1/x 2 zu konstruieren, und verwenden die Technik des „Teilens“ der Graphen.

Domäne D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Wertebereich E(y) = (0; +∞).

Es gibt keine Schnittpunkte mit den Achsen. Die Funktion ist gerade. Steigt für alle x ab dem Intervall (-∞; 0), sinkt für x von 0 bis +∞.

Antwort: Abbildung 2.

Beispiel 5.

Zeichnen Sie die Funktion y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Lösung.

Domäne D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Hier verwendeten wir die Technik der Faktorisierung, Reduktion und Reduktion auf eine lineare Funktion.

Antwort: Abbildung 3.

Beispiel 6.

Zeichnen Sie die Funktion y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafisch auf.

Lösung.

Der Definitionsbereich ist D(y) = R. Da die Funktion gerade ist, ist der Graph symmetrisch zur Ordinate. Bevor wir ein Diagramm erstellen, transformieren wir den Ausdruck noch einmal und heben den gesamten Teil hervor:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Beachten Sie, dass die Isolierung des ganzzahligen Teils in der Formel einer gebrochenen rationalen Funktion eine der wichtigsten Aufgaben beim Erstellen von Diagrammen ist.

Wenn x → ±∞, dann ist y → 1, d. h. die Gerade y = 1 ist eine horizontale Asymptote.

Antwort: Abbildung 4.

Beispiel 7.

Betrachten wir die Funktion y = x/(x 2 + 1) und versuchen wir, ihren größten Wert genau zu finden, d. h. am meisten Hochpunkt rechte Hälfte Grafik. Um dieses Diagramm genau zu erstellen, reicht der heutige Wissensstand nicht aus. Offensichtlich kann unsere Kurve nicht sehr hoch „steigen“, weil Der Nenner beginnt schnell, den Zähler zu „überholen“. Mal sehen, ob der Wert der Funktion gleich 1 sein kann. Dazu müssen wir die Gleichung x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 lösen. Diese Gleichung hat nicht echte Wurzeln. Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist. Um das Meiste zu finden sehr wichtig Funktion müssen Sie herausfinden, bei welchem größten A die Gleichung A = x/(x 2 + 1) eine Lösung hat. Ersetzen wir die ursprüngliche Gleichung durch eine quadratische: Аx 2 – x + А = 0. Diese Gleichung hat eine Lösung, wenn 1 – 4А 2 ≥ 0. Von hier aus finden wir Höchster Wert A = 1/2.

Antwort: Abbildung 5, max y(x) = ½.

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Länge des Segments Koordinatenachse wird durch die Formel gefunden:

Die Länge eines Segments auf der Koordinatenebene wird mit der Formel ermittelt:

Um die Länge eines Segments in einem dreidimensionalen Koordinatensystem zu ermitteln, verwenden Sie die folgende Formel:

Die Koordinaten der Segmentmitte (für die Koordinatenachse wird nur die erste Formel verwendet, für die Koordinatenebene die ersten beiden Formeln, für ein dreidimensionales Koordinatensystem alle drei Formeln) werden nach den Formeln berechnet:

Funktion– Dies ist eine Entsprechung des Formulars j= F(X) zwischen variablen Größen, aufgrund derer jeder den Wert von einigen berücksichtigt variable Größe X(Argument oder unabhängige Variable) entspricht spezifischen Wert eine weitere Variable, j(abhängige Variable, manchmal wird dieser Wert einfach als Wert der Funktion bezeichnet). Beachten Sie, dass die Funktion diesen einen Argumentwert annimmt X Es kann nur ein Wert der abhängigen Variablen entsprechen bei. Allerdings der gleiche Wert bei kann mit verschiedenen erhalten werden X.

Funktionsdomäne– Dies sind alle Werte der unabhängigen Variablen (Funktionsargument, normalerweise dies X), für die die Funktion definiert ist, d.h. seine Bedeutung existiert. Der Definitionsbereich ist angegeben D(j). Von im Großen und Ganzen Sie kennen dieses Konzept bereits. Der Definitionsbereich einer Funktion wird auch Definitionsbereich genannt akzeptable Werte, oder ODZ, die Sie schon lange finden konnten.

Funktionsumfang- das ist alles mögliche Werte abhängige Variable dieser Funktion. Festgelegt E(bei).

Die Funktion nimmt zu auf dem Intervall, wo höherer Wert Das Argument entspricht dem größeren Wert der Funktion. Die Funktion nimmt ab auf dem Intervall, in dem ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion- Dies sind die Intervalle der unabhängigen Variablen, über die die abhängige Variable ihr positives oder negatives Vorzeichen behält.

Funktionsnullstellen– Dies sind die Werte des Arguments, bei denen der Wert der Funktion gleich Null ist. An diesen Punkten schneidet der Funktionsgraph die Abszissenachse (OX-Achse). Sehr oft bedeutet die Notwendigkeit, die Nullstellen einer Funktion zu finden, die Notwendigkeit, die Gleichung einfach zu lösen. Außerdem bedeutet die Notwendigkeit, Intervalle mit Vorzeichenkonstanz zu finden, oft auch die Notwendigkeit, die Ungleichung einfach zu lösen.

Funktion j = F(X) werden genannt sogar X

Das bedeutet für jeden gegensätzliche Bedeutungen Argument, die Werte der geraden Funktion sind gleich. Zeitplan gleiche Funktion immer symmetrisch relativ zur Ordinatenachse des Operationsverstärkers.

Funktion j = F(X) werden genannt seltsam, wenn es auf einer symmetrischen Menge definiert ist und für jeden X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit:

Dies bedeutet, dass für alle entgegengesetzten Werte des Arguments auch die Werte der ungeraden Funktion entgegengesetzt sind. Der Graph einer ungeraden Funktion ist immer symmetrisch zum Ursprung.

Die Summe der Wurzeln von geraden und seltsame Funktionen(Schnittpunkte der Abszissenachse OX) ist immer gleich Null, weil für jede positive Wurzel X müssen negative Wurzel –X.

Es ist wichtig zu beachten: Einige Funktionen müssen nicht gerade oder ungerade sein. Es gibt viele Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Solche Funktionen werden aufgerufen allgemeine Funktionen, und für sie ist keine der oben angegebenen Gleichheiten oder Eigenschaften erfüllt.

Lineare Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel angegeben werden kann:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade und sieht im allgemeinen Fall so aus (ein Beispiel wird für den Fall gegeben, wenn k> 0, in diesem Fall ist die Funktion steigend; für den Anlass k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graph einer quadratischen Funktion (Parabel)

Der Graph einer Parabel wird durch eine quadratische Funktion gegeben:

Eine quadratische Funktion schneidet wie jede andere Funktion die OX-Achse an den Punkten, die ihre Wurzeln sind: ( X 1 ; 0) und ( X 2 ; 0). Wenn es keine Wurzeln gibt, schneidet die quadratische Funktion die OX-Achse nicht; wenn es nur eine Wurzel gibt, dann ist an diesem Punkt ( X 0 ; 0) Die quadratische Funktion berührt die OX-Achse nur, schneidet sie aber nicht. Die quadratische Funktion schneidet die OY-Achse immer an dem Punkt mit den Koordinaten: (0; C). Zeitplan quadratische Funktion(Parabel) könnte so aussehen (die Abbildung zeigt Beispiele, die bei weitem nicht erschöpfend sind). mögliche Typen Parabeln):

Dabei:

wenn der Koeffizient A> 0, in Funktion j = Axt 2 + bx + C, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet;
Wenn A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel können mit den folgenden Formeln berechnet werden. X-Tops (P- in den Bildern oben) Parabeln (oder der Punkt, an dem das quadratische Trinom seinen größten oder kleinsten Wert erreicht):

Igrek-Tops (Q- in den Abbildungen oben) Parabeln oder das Maximum, wenn die Äste der Parabel nach unten gerichtet sind ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), Wert quadratisches Trinom:

Diagramme anderer Funktionen

Power-Funktion

Hier sind einige Beispiele für Diagramme von Potenzfunktionen:

Invers proportional Rufen Sie die Funktion auf gegeben durch die Formel:

Abhängig vom Vorzeichen der Zahl k zurück Zeitplan proportionale Abhängigkeit kann zwei grundlegende Optionen haben:

Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion unendlich nahe annähert, die sie aber nicht schneidet. Asymptoten für Graphen umgekehrte Proportionalität In der Abbildung oben sind die Koordinatenachsen dargestellt, denen der Graph der Funktion unendlich nahe kommt, sie aber nicht schneidet.

Exponentialfunktion mit Sockel A ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben ist:

A Zeitplan Exponentialfunktion kann zwei grundlegende Optionen haben (wir geben auch Beispiele, siehe unten):

Logarithmische Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel gegeben ist:

Je nachdem ob mehr bzw Weniger als eins Nummer A Zeitplan logarithmische Funktion kann zwei grundlegende Optionen haben:

Graph einer Funktion j = |X| wie folgt:

Diagramme periodischer (trigonometrischer) Funktionen

Funktion bei = F(X) wird genannt periodisch, wenn es eine solche Zahl ungleich Null gibt T, Was F(X + T) = F(X), für jeden X aus dem Bereich der Funktion F(X). Wenn die Funktion F(X) ist periodisch mit Punkt T, dann die Funktion:

Wo: A, k, B – konstante Zahlen, Und k ungleich Null, auch periodisch mit Periode T 1, die durch die Formel bestimmt wird:

Die meisten Beispiele für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen. Hier sind die Diagramme der wichtigsten trigonometrische Funktionen. Die folgende Abbildung zeigt einen Teil des Diagramms der Funktion j= Sünde X(Der gesamte Graph setzt sich nach links und rechts auf unbestimmte Zeit fort), Graph der Funktion j= Sünde X angerufen Sinusoid:

Graph einer Funktion j=cos X angerufen Kosinus. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Da sich der Sinusgraph entlang der OX-Achse nach links und rechts unbegrenzt fortsetzt:

Graph einer Funktion j= tg X angerufen Tangentoid. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer Funktionen, diesen Zeitplan wiederholt sich auf unbestimmte Zeit entlang der OX-Achse nach links und rechts.

Und schließlich der Graph der Funktion j=ctg X angerufen Cotangentoid. Dieses Diagramm ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Wie die Graphen anderer periodischer und trigonometrischer Funktionen wiederholt sich dieser Graph auf unbestimmte Zeit entlang der OX-Achse nach links und rechts.

Lernen Sie alle Formeln und Gesetze der Physik sowie Formeln und Methoden der Mathematik. Tatsächlich ist dies auch sehr einfach; in der Physik gibt es nur etwa 200 notwendige Formeln, in der Mathematik sogar noch etwas weniger. In jedem dieser Fächer gibt es etwa ein Dutzend Standardmethoden zur Lösung von Problemen grundlegender Komplexität, die auch erlernt werden können und so die meisten CT-Probleme zum richtigen Zeitpunkt völlig automatisch und problemlos lösen können. Danach müssen Sie nur noch an die schwierigsten Aufgaben denken.

Nehmen Sie an allen drei Phasen der Probeprüfung in Physik und Mathematik teil. Jeder RT kann zweimal besucht werden, um sich für beide Optionen zu entscheiden. Nochmals zum CT: Neben der Fähigkeit, Probleme schnell und effizient zu lösen, und der Kenntnis von Formeln und Methoden ist es auch notwendig, die Zeit richtig zu planen, Kräfte zu verteilen und vor allem das Antwortformular korrekt auszufüllen, ohne die Anzahl der Antworten und Probleme verwirren, oder eigener Nachname. Außerdem ist es während des RT wichtig, sich an den Stil zu gewöhnen, bei Problemen Fragen zu stellen, der für eine unvorbereitete Person beim DT sehr ungewöhnlich erscheinen kann.

Die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte ermöglicht es Ihnen, beim CT ein hervorragendes Ergebnis zu zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.

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Betrachten Sie die Funktion y=k/y. Der Graph dieser Funktion ist eine Linie, in der Mathematik Hyperbel genannt. Generelle Form Hyperbeln sind in der folgenden Abbildung dargestellt. (Die Grafik zeigt die Funktion y gleich k dividiert durch x, wobei k gleich eins ist.)

Man erkennt, dass der Graph aus zwei Teilen besteht. Diese Teile werden Hyperbelzweige genannt. Es ist auch erwähnenswert, dass sich jeder Zweig der Hyperbel in einer der Richtungen immer näher an die Koordinatenachsen annähert. Die Koordinatenachsen werden in diesem Fall Asymptoten genannt.

Im Allgemeinen werden alle Geraden, denen sich der Graph einer Funktion unendlich nähert, sie aber nicht erreicht, Asymptoten genannt. Eine Hyperbel hat wie eine Parabel Symmetrieachsen. Für die in der Abbildung oben gezeigte Hyperbel ist dies die Linie y=x.

Kommen wir nun zu zweien allgemeine Fälle Hyperbel. Der Graph der Funktion y = k/x ist für k ≠0 eine Hyperbel, deren Zweige entweder im ersten oder dritten liegen Koordinatenwinkel, für k>0, oder im zweiten und vierten Koordinatenwinkel, für k<0.