Axialsymmetrie ist ein komplexes Muster. Mathe Stunde. Thema: „Symmetrieachse.“ Symmetrie- und Raumobjekte

Du wirst brauchen

• - Eigenschaften symmetrischer Punkte;
• - Eigenschaften symmetrischer Figuren;
• - Herrscher;
• - Quadrat;
• - Kompass;
• - Bleistift;
• - Blatt Papier;
• - ein Computer mit einem Grafikeditor.

Anweisungen

Zeichnen Sie eine gerade Linie a, die die Symmetrieachse sein wird. Wenn seine Koordinaten nicht angegeben sind, zeichnen Sie es willkürlich. Platzieren Sie einen beliebigen Punkt A auf einer Seite dieser Linie. Sie müssen finden symmetrischer Punkt.

Hilfreicher Rat

Symmetrieeigenschaften werden in AutoCAD ständig verwendet. Nutzen Sie dazu die Option „Spiegeln“. Um ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren oder gleichschenkliges Trapez Es reicht zum Zeichnen untere Basis und der Winkel zwischen ihm und der Seite. Reflektieren Sie sie mit dem angegebenen Befehl und erweitern Sie sie Seiten auf den erforderlichen Wert. Bei einem Dreieck ist dies der Schnittpunkt und bei einem Trapez - Wert einstellen.

In Grafikeditoren stößt man immer wieder auf Symmetrie, wenn man die Option „vertikal/horizontal spiegeln“ verwendet. In diesem Fall wird als Symmetrieachse eine Gerade angenommen, die einer der vertikalen oder horizontalen Seiten des Bilderrahmens entspricht.

Quellen:

• Wie zeichnet man eine zentrale Symmetrie?

Einen Querschnitt eines Kegels zu konstruieren ist nicht so schwierige Aufgabe. Die Hauptsache ist, sich daran zu halten strenge Reihenfolge Aktionen. Dann diese Aufgabe wird einfach zu bewerkstelligen sein und erfordert nicht viel Arbeit von Ihnen.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff;
• - Kreis;
• - Herrscher.

Anweisungen

Bei der Beantwortung dieser Frage müssen Sie zunächst entscheiden, welche Parameter den Abschnitt definieren.
Dies sei die Schnittlinie der Ebene l mit der Ebene und dem Punkt O, der der Schnittpunkt mit ihrem Abschnitt ist.

Der Aufbau ist in Abb. 1 dargestellt. Der erste Schritt beim Konstruieren eines Abschnitts erfolgt durch die Mitte des Abschnitts mit seinem Durchmesser, der senkrecht zu dieser Linie auf l verlängert wird. Das Ergebnis ist Punkt L. Als nächstes zeichnen Sie eine Gerade LW durch Punkt O und konstruieren zwei Leitkegel, die im Hauptabschnitt O2M und O2C liegen. Am Schnittpunkt dieser Hilfslinien liegen Punkt Q sowie der bereits gezeigte Punkt W. Dies sind die ersten beiden Punkte des gewünschten Abschnitts.

Zeichnen Sie nun eine Senkrechte MS an der Basis des Kegels BB1 und konstruieren Sie die Generatoren senkrechter Schnitt O2B und O2B1. Zeichnen Sie in diesem Abschnitt durch Punkt O eine gerade Linie RG parallel zu BB1. Т.R und Т.G sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn der Querschnitt der Kugel bekannt wäre, könnte sie bereits zu diesem Zeitpunkt gebaut werden. Dabei handelt es sich jedoch überhaupt nicht um eine Ellipse, sondern um etwas Elliptisches, das Symmetrie bezüglich der Strecke QW aufweist. Daher sollten Sie möglichst viele Schnittpunkte bilden, um diese später mit einer glatten Kurve zu verbinden und so eine möglichst zuverlässige Skizze zu erhalten.

Konstruieren Sie einen beliebigen Schnittpunkt. Zeichnen Sie dazu einen beliebigen Durchmesser AN an der Basis des Kegels und konstruieren Sie die entsprechenden Führungen O2A und O2N. Zeichnen Sie durch t.O eine gerade Linie, die durch PQ und WG verläuft, bis sie die neu konstruierten Hilfslinien an den Punkten P und E schneidet. Dies sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn Sie auf die gleiche Weise fortfahren, können Sie so viele Punkte finden, wie Sie möchten.

Zwar kann das Verfahren zu ihrer Ermittlung durch Symmetrie in Bezug auf QW etwas vereinfacht werden. Dazu können Sie in der Ebene des gewünschten Abschnitts gerade Linien SS‘ parallel zu RG zeichnen, bis sie die Kegeloberfläche schneiden. Die Konstruktion wird durch Abrunden der konstruierten Polylinie aus Akkorden abgeschlossen. Aufgrund der bereits erwähnten Symmetrie bezüglich QW reicht es aus, die Hälfte des gewünschten Abschnitts zu konstruieren.

Video zum Thema

Tipp 3: So erstellen Sie ein Diagramm Trigonometrische Funktion

Du musst zeichnen Zeitplan trigonometrisch Funktionen? Beherrschen Sie den Aktionsalgorithmus am Beispiel der Konstruktion einer Sinuskurve. Um das Problem zu lösen, verwenden Sie die Forschungsmethode.

Du wirst brauchen

• - Herrscher;
• - Bleistift;
• - Kenntnisse der Grundlagen der Trigonometrie.

Anweisungen

Video zum Thema

beachten Sie

Wenn die beiden Halbachsen eines Einstreifen-Hyperboloids gleich sind, kann die Figur durch Drehen einer Hyperbel mit Halbachsen erhalten werden, von denen eine die obige und die andere von den beiden gleichen verschieden ist imaginäre Achse.

Hilfreicher Rat

Wenn man diese Figur relativ zu den Oxz- und Oyz-Achsen untersucht, wird deutlich, dass ihre Hauptabschnitte Hyperbeln sind. Und wenn man das schneidet räumliche Figur Rotation durch die Oxy-Ebene, sein Querschnitt ist eine Ellipse. Die Halsellipse eines Einstreifen-Hyperboloids verläuft durch den Koordinatenursprung, weil z=0.

Die Halsellipse wird durch die Gleichung x²/a² +y²/b²=1 beschrieben, und die anderen Ellipsen setzen sich aus der Gleichung x²/a² +y²/b²=1+h²/c² zusammen.

Quellen:

• Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide. Geradlinige Generatoren

Die Form eines fünfzackigen Sterns wird vom Menschen seit der Antike häufig verwendet. Wir halten seine Form für schön, weil wir in ihm unbewusst die Zusammenhänge des Goldenen Schnitts erkennen, also Die Schönheit des fünfzackigen Sterns ist mathematisch begründet. Euklid war der erste, der in seinen Elementen den Aufbau eines fünfzackigen Sterns beschrieb. Lassen Sie uns an seiner Erfahrung teilhaben.

Du wirst brauchen

• Herrscher;
• Bleistift;
• Kompass;
• Winkelmesser.

Anweisungen

Bei der Konstruktion eines Sterns kommt es auf die Konstruktion und anschließende Verbindung seiner Spitzen miteinander nacheinander durch eins an. Um den richtigen Kreis zu bilden, müssen Sie den Kreis in fünf Teile teilen.
Konstruieren Sie mit einem Zirkel einen beliebigen Kreis. Markieren Sie seinen Mittelpunkt mit Punkt O.

Markieren Sie Punkt A und zeichnen Sie mit einem Lineal das Liniensegment OA. Jetzt müssen Sie das Segment OA in zwei Hälften teilen. Zeichnen Sie dazu vom Punkt A aus einen Bogen mit dem Radius OA, bis er den Kreis in zwei Punkten M und N schneidet. Konstruieren Sie das Segment MN. Der Punkt E, an dem MN OA schneidet, halbiert das Segment OA.

Stellen Sie die Senkrechte OD auf den Radius OA wieder her und verbinden Sie die Punkte D und E. Machen Sie eine Kerbe B auf OA vom Punkt E aus mit dem Radius ED.

Markieren Sie nun mit dem Liniensegment DB den Kreis um fünf gleiche Teile. Beschriften Sie die Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks der Reihe nach mit Zahlen von 1 bis 5. Verbinden Sie die Punkte in der folgenden Reihenfolge: 1 mit 3, 2 mit 4, 3 mit 5, 4 mit 1, 5 mit 2. Hier ist die richtige fünfzackiger Stern, V regelmäßiges Fünfeck. Genau so habe ich es gebaut

Punkte M Und M 1 werden als symmetrisch bezüglich einer gegebenen Geraden bezeichnet L, wenn diese Gerade die Mittelsenkrechte zum Segment ist MM 1 (Abbildung 1). Jeder Punkt ist gerade L symmetrisch zu sich selbst. Transformation einer Ebene, bei der jeder Punkt auf einen Punkt abgebildet wird, der relativ zu einer gegebenen Linie symmetrisch zu ihm ist L, angerufen axiale Symmetrie mit der L-Achse und ist bezeichnet S L :S L (M) = M 1 .

Punkte M Und M 1 sind zueinander symmetrisch in Bezug auf L, Deshalb S L (M 1 )=M. Daher die Rücktransformation axiale Symmetrie, es gibt die gleiche Achsensymmetrie: S L -1= S L , S L° S L = E. Mit anderen Worten, die Achsensymmetrie der Ebene ist involutiv Transformation.

Das Bild eines bestimmten Punktes mit Achsensymmetrie kann einfach mit nur einem Kompass erstellt werden. Lassen L- Symmetrieachse, A Und B- beliebige Punkte dieser Achse (Abbildung 2). Wenn S L (M) = M 1, dann gilt aufgrund der Eigenschaft der Punkte der Mittelsenkrechten zum Segment: AM = AM 1 Und BM = BM 1 . Also, Punkt M 1 gehört zu zwei Kreisen: einem Kreis mit Mittelpunkt A Radius BIN. und Kreise mit Mittelpunkt B Radius B.M. (M- angegebenen Punkt). Figur F und ihr Bild F 1 mit Achsensymmetrie genannt symmetrische Figuren relativ gerade L(Figur 3).

Satz. Achsensymmetrie einer Ebene ist Bewegung.

Wenn A Und IN- beliebige Punkte der Ebene und S L (A) = A 1 , S L (B) = B 1, dann müssen wir das beweisen A 1 B 1 = AB. Dazu stellen wir vor rechteckiges System Koordinaten OXY damit die Achse OCHSE fällt mit der Symmetrieachse zusammen. Punkte A Und IN Koordinaten haben Axt 1 ,-y 1 ) Und B(x 1 ,-y 2 ) .Punkte A 1 und IN 1 habe Koordinaten A 1 (X 1 ,y 1 ) Und B 1 (X 1 ,y 2 ) (Abbildung 4 - 8). Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten finden wir:

Aus diesen Beziehungen geht hervor, dass AB=A 1 IN 1, was bewiesen werden musste.

Aus einem Vergleich der Ausrichtungen des Dreiecks und seines Bildes erhalten wir, dass die Achsensymmetrie der Ebene ist Bewegung zweiter Art.

Die Achsensymmetrie bildet jede Linie auf eine gerade Linie ab. Insbesondere wird jede der Geraden senkrecht zur Symmetrieachse durch diese Symmetrie auf sich selbst abgebildet.

Satz. Eine gerade Linie, die nicht senkrecht zur Symmetrieachse steht, und ihr Bild bei dieser Symmetrie schneiden sich auf der Symmetrieachse oder sind parallel zu ihr.

Nachweisen. Gegeben sei eine Gerade, nicht senkrecht zur Achse L Symmetrie. Wenn M? L=P Und S L (m)=m 1 also M 1 ?M Und S L (P)=P, Deshalb 1 Uhr(Abbildung 9). Wenn m || L, Das M 1 || L, Seit in ansonsten gerade M Und M 1 würde sich in einem Punkt auf einer Geraden schneiden L, was der Bedingung widerspricht m ||L(Abbildung 10).

Per Definition gleiche Figuren, gerade, symmetrisch zu einer geraden Linie L, mit einer geraden Linie bilden L gleiche Winkel(Abbildung 9).

Gerade L angerufen Symmetrieachse der Figur F, wenn mit Symmetrie zur Achse L Figur F bildet sich selbst ab: S L (F) =F. Sie sagen, dass die Figur F symmetrisch um eine Gerade L.

Beispielsweise ist jede Gerade, die den Mittelpunkt eines Kreises enthält, die Symmetrieachse dieses Kreises. In der Tat, lass M - beliebiger Punkt Kreis sch mit Mitte UM, OL, S L (M)= M 1 . Dann S L (O) = O Und OM 1 =OM, d.h. M 1 є ü. Das Bild eines beliebigen Punktes auf einem Kreis gehört also zu diesem Kreis. Somit, S L (u)=u.

Die Symmetrieachsen eines Paares nichtparalleler Linien sind zwei senkrechte Linien, die die Winkelhalbierenden zwischen diesen Linien enthalten. Die Symmetrieachse eines Segments ist die Gerade, die es enthält, sowie Mittelsenkrechte zu diesem Segment.

Eigenschaften der Achsensymmetrie

• 1. Bei Achsensymmetrie ist das Bild einer Geraden eine Gerade, das Bild paralleler Linien sind parallele Linien
• 3. Die Achsensymmetrie bewahrt die einfache Beziehung von drei Punkten.
• 3. Bei der Achsensymmetrie geht ein Segment in ein Segment über, ein Strahl in einen Strahl, eine Halbebene in eine Halbebene.
• 4. Bei Achsensymmetrie wandelt sich ein Winkel in einen ihm gleichen Winkel um.
• 5. Bei Achsensymmetrie zur d-Achse bleibt jede Gerade senkrecht zur d-Achse an Ort und Stelle.
• 6. Bei axialer Symmetrie wandelt sich ein orthonormaler Rahmen in einen orthonormalen Rahmen um. In diesem Fall geht Punkt M mit den Koordinaten x und y relativ zum Referenzpunkt R zum Punkt M` mit den gleichen Koordinaten x und y, aber relativ zum Referenzpunkt R`.
• 7. Die Achsensymmetrie der Ebene transformiert den rechten Orthonormalrahmen in den linken und umgekehrt den linken Orthonormalrahmen in den rechten.
• 8. Die Zusammensetzung zweier Achsensymmetrien einer Ebene mit parallelen Achsen ist eine Parallelverschiebung zu einem Vektor senkrecht zu den gegebenen Geraden, dessen Länge doppelt so groß ist wie der Abstand zwischen den gegebenen Geraden

„Symmetrie um uns herum“ – Alle Arten von Achsensymmetrie. Rotationen. griechisches Wort Symmetrie bedeutet „Verhältnismäßigkeit“, „Harmonie“. Frei Zentral relativ zu einem Punkt. Symmetrie im Raum. Rotation (rotierend). In der Geometrie gibt es Figuren, die... Symmetrie. Axial. Eine Art Symmetrie. Um uns herum. Zentral.

„In der Welt der Symmetrie“ – Ornamente und Friese basieren auf einem sich periodisch wiederholenden Muster. Die Formen eines Käfers, eines Wurms, eines Pilzes, eines Blattes, einer Blume usw. sind symmetrisch. Die meisten Gebäude sind spiegelsymmetrisch. Sollte alles im Leben symmetrisch sein? Warum muss man beim Lernen über Symmetrie Bescheid wissen? Technische Wissenschaft? Was ist Symmetrie? Symmetrie in Natur und Technik.

„Symmetrie in der Kunst“ – Zentralachsensymmetrie in der Architektur. II.1. Proportionen in der Architektur. Palazzo Spada (Rom). Aufgrund ihrer Natur kreative Möglichkeiten Periodizität ist ein universelles Phänomen. III. Le Corbuier. Rhythmus ist einer davon Hauptelemente Ausdruckskraft der Melodie. R. Descartes. J. A. Fabr. Geometrische Methoden Bilder von Raumfiguren:

„Symmetriepunkt“ – Figuren, die keine Symmetrieachsen haben. Punkt O wird Symmetriezentrum genannt. Zwei Punkte A und A1 heißen symmetrisch bezüglich O, wenn O der Mittelpunkt der Strecke AA1 ist. Ein gleichseitiges Trapez hat nur axiale Symmetrie. Symmetrie in der Natur. Ein Rechteck und eine Raute, die keine Quadrate sind, haben zwei Symmetrieachsen.

„Mathematische Symmetrie“ – Allerdings komplexe Moleküle In der Regel gibt es keine Symmetrie. Palindrome. Axial. Zentrale Symmetrie. Axiale Symmetrie. Arten von Symmetrie. Symmetrie in der Biologie. Rotationssymmetrie. Symmetrie in der Kunst. HAT VIEL MIT DER PROGRESSALEN SYMMETRIE IN DER MATHEMATIK GEMEINSAM. Spiralsymmetrie. Progressiv.

„Arten der Symmetrie“ – Zentrale Symmetrie ist Bewegung. Es stellt sich heraus, dass der Spiegelzwilling in der Richtung senkrecht zur Spiegelebene „umgekehrt“ ist. Achsensymmetrie ist auch Bewegung. Satz. Parallele Übertragung. Zentrale Symmetrie. Bewegungsarten. Der Begriff der Bewegung. Parallelübertragung ist eine der Bewegungsarten.

Insgesamt gibt es 11 Vorträge

Friedrich V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 Gemeindehaushalt Bildungseinrichtung"Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 6“, Alexandrowsk, Gebiet Perm

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln veröffentlicht.
Vollversion Die Arbeit ist im Reiter „Arbeitsdateien“ im PDF-Format verfügbar

Einführung

„Vor einer Tafel stehen und darauf zeichnen

Kreide verschiedene Figuren,

Mir kam plötzlich der Gedanke:

Warum gefällt Symmetrie dem Auge?

Was ist Symmetrie?

Das ist ein angeborenes Gefühl, antwortete ich mir.“

L.N. Tolstoi

Im Lehrbuch Mathematik Klasse 6, Autor Nikolsky S. M., auf den Seiten 132 - 133 Abschnitt Zusätzliche Aufgaben In Kapitel Nr. 3 gibt es Aufgaben zum Studium von Figuren auf einer Ebene, die symmetrisch zu einer Geraden sind. Ich bin interessiert dieses Thema, beschloss ich, die Aufgaben zu erledigen und dieses Thema genauer zu studieren.

Das Untersuchungsobjekt ist Symmetrie.

Gegenstand der Untersuchung ist die Symmetrie als Grundgesetz des Universums.

Welche Hypothese werde ich testen:

Ich glaube, dass Achsensymmetrie nicht nur mathematisch und bedingt ist geometrisches Konzept, und dient nicht nur der Lösung relevanter Probleme, sondern ist auch die Grundlage für Harmonie, Schönheit, Ausgeglichenheit und Nachhaltigkeit. Das Prinzip der Symmetrie wird in fast allen Wissenschaften verwendet, in unserer Alltagsleben und ist eines der „Grundgesetze“, auf denen das Universum als Ganzes basiert.

Relevanz des Themas

Das Konzept der Symmetrie zieht sich durch jahrhundertealte Geschichte menschliche Kreativität. Es findet sich bereits am Anfang seiner Entwicklung. Heutzutage ist es wahrscheinlich schwierig, jemanden zu finden, der keine Vorstellung von Symmetrie hätte. Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Symmetrie von Häusern, Straßen, Schöpfungen der Natur und des Menschen. Symmetrie begegnet uns im wahrsten Sinne des Wortes auf Schritt und Tritt: in Technik, Kunst, Wissenschaft.

Daher sind Kenntnisse und Verständnis über die Symmetrie in der Welt um uns herum zwingend erforderlich und notwendig, was in Zukunft für das Studium anderer nützlich sein wird wissenschaftliche Disziplinen. Das ist die Relevanz meines gewählten Themas.

Ziel und Aufgaben

Ziel der Arbeit: Finden Sie heraus, welche Rolle Symmetrie im menschlichen Alltag, in der Natur, der Architektur, dem Alltag, der Musik und anderen Wissenschaften spielt.

Um mein Ziel zu erreichen, muss ich folgende Aufgaben erledigen:

1. Finden notwendige Informationen, Literatur und Fotografien. Installieren größte Zahl Daten, die für meine Arbeit notwendig sind, unter Verwendung der mir zur Verfügung stehenden Quellen: Lehrbücher, Enzyklopädien oder andere für ein bestimmtes Thema relevante Medien.

2. Geben allgemeines Konzeptüber Symmetrie, Symmetrietypen und die Entstehungsgeschichte des Begriffs.

3. Um Ihre Hypothese zu bestätigen, erstellen Sie Kunsthandwerk und führen Sie ein Experiment mit diesen Figuren durch, die symmetrisch und nicht asymmetrisch sind.

4. Demonstrieren und präsentieren Sie die Ergebnisse der Beobachtungen in Ihrer Forschung.

Für den praktischen Teil Forschungsarbeit Ich muss Folgendes tun, wofür ich einen Arbeitsplan erstellt habe:

1. Erstellen Sie Ihr eigenes Kunsthandwerk mit gegebene Eigenschaften- symmetrische und asymmetrische Modelle, Komposition, Verwendung buntes Papier, Pappe, Schere, Marker, Kleber usw.;

2. Führen Sie ein Experiment mit meinem Handwerk durch, mit zwei Möglichkeiten der Symmetrie.

3. Recherchieren, analysieren und systematisieren Sie die erzielten Ergebnisse durch Erstellung einer Tabelle.

4. Um das erworbene Wissen visuell und interessant zu festigen, erstellen Sie mit der Anwendung „Paint 3 D“ Zeichnungen zur Verdeutlichung und zeichnen Sie Bilder mit Aufgaben – um die Zeichnung einer symmetrischen Hälfte zu vervollständigen (beginnend mit einfachen Zeichnungen und endend mit komplexe) und kombinieren Sie sie, um ein elektronisches Buch zu erstellen.

Forschungsmethoden:

1. Analyse der Artikel und aller Informationen zur Symmetrie.

2. Computermodellierung(Fotobearbeitung mit einem Grafikeditor).

3. Verallgemeinerung und Systematisierung der erhaltenen Daten.

Hauptteil.

Achsensymmetrie und das Konzept der Perfektion

Seit der Antike hat der Mensch Vorstellungen von Schönheit entwickelt und versucht, die Bedeutung von Vollkommenheit zu verstehen. Alle Schöpfungen der Natur sind wunderschön. Menschen sind auf ihre Art schön, Tiere und Pflanzen sind erstaunlich. Der Anblick erfreut das Auge Edelstein oder ein Salzkristall, es ist schwer, eine Schneeflocke oder einen Schmetterling nicht zu bewundern. Aber warum passiert das? Es scheint uns, dass das Erscheinungsbild von Objekten korrekt und vollständig ist, deren rechte und linke Hälfte gleich aussehen.

Anscheinend waren die Kunstschaffenden die ersten, die über das Wesen der Schönheit nachdachten.

Dieses Konzept wurde erstmals von Künstlern, Philosophen und Mathematikern konkretisiert Antikes Griechenland. Antike Bildhauer, die die Struktur untersuchten menschlicher Körper, im 5. Jahrhundert v. Chr. Das Konzept der „Symmetrie“ wurde verwendet. Dieses Wort hat Griechischer Ursprung und bedeutet Harmonie, Proportionalität und Ähnlichkeit in der Anordnung der Einzelteile. Antiker griechischer Denker und der Philosoph Platon argumentierte, dass nur das schön sein kann, was symmetrisch und verhältnismäßig ist.

Tatsächlich erfreuen jene Phänomene und Formen, die proportional und vollständig sind, „das Auge“. Wir nennen sie richtig.

Arten von Symmetrie

In der Geometrie und Mathematik werden drei Arten von Symmetrie berücksichtigt: Achsensymmetrie (relativ zu einer Geraden), Zentralsymmetrie (relativ zu einem Punkt) und Spiegelsymmetrie (relativ zu einer Ebene).

Axialsymmetrie als mathematisches Konzept

Punkte sind symmetrisch zu einer bestimmten Geraden (Symmetrieachse), wenn sie auf einer Geraden senkrecht zu dieser Geraden und im gleichen Abstand von der Symmetrieachse liegen.

Eine Figur gilt als symmetrisch zu einer Geraden, wenn zu jedem Punkt der betrachteten Figur auch ein zu ihr symmetrischer Punkt zu einer gegebenen Geraden auf dieser Figur liegt. Die Gerade ist in diesem Fall die Symmetrieachse der Figur.

Figuren, die symmetrisch zu einer Geraden sind, sind gleich. Wenn geometrische Figur Aufgrund der Achsensymmetrie lässt sich die Definition von Spiegelpunkten visualisieren, indem man sie einfach entlang der Achse biegt und gleiche Hälften „von Angesicht zu Angesicht“ faltet. Die gewünschten Punkte berühren sich.

Beispiele für eine Symmetrieachse: die Winkelhalbierende eines nicht entwickelten Winkels eines gleichschenkligen Dreiecks, jede gerade Linie, die durch den Mittelpunkt eines Kreises gezogen wird usw. Wenn eine geometrische Figur durch Achsensymmetrie gekennzeichnet ist, kann die Definition von Spiegelpunkten visualisiert werden, indem man sie einfach entlang der Achse biegt und gleiche Hälften „gegenüber“ legt. Die gewünschten Punkte berühren sich.

Figuren können mehrere Symmetrieachsen haben:

· die Symmetrieachse eines Winkels ist die Gerade, auf der seine Winkelhalbierende liegt;

· die Symmetrieachse eines Kreises und eines Kreises ist jede gerade Linie, die durch ihren Durchmesser verläuft;

· gleichschenkligen Dreiecks hat eine Symmetrieachse, gleichseitiges Dreieck- drei Symmetrieachsen;

· Ein Rechteck hat zwei Symmetrieachsen, ein Quadrat vier und eine Raute zwei Symmetrieachsen.

Eine Symmetrieachse ist eine imaginäre Linie, die ein Objekt in symmetrische Teile teilt. Der Übersichtlichkeit halber ist es in meiner Zeichnung dargestellt.

Es gibt Figuren, die keine einzige Symmetrieachse haben. Zu diesen Figuren gehören ein Parallelogramm, das sich von einem Rechteck und einer Raute unterscheidet, und ein ungleichseitiges Dreieck.

Achsensymmetrie in der Natur

Die Natur ist weise und rational, daher haben fast alle ihre Schöpfungen eine harmonische Struktur. Dies gilt sowohl für Lebewesen als auch für unbelebte Objekte.

Eine sorgfältige Beobachtung zeigt, dass die Grundlage der Schönheit vieler von der Natur geschaffener Formen die Symmetrie ist. Blätter, Blüten und Früchte weisen eine ausgeprägte Symmetrie auf. Ihre Spiegel-, Radial-, Zentral- und Axialsymmetrie ist offensichtlich. Dies ist größtenteils auf das Phänomen der Schwerkraft zurückzuführen.

Geometrische Formen von Kristallen mit ihren flache Oberflächen vertreten erstaunliches Phänomen Natur. Die wahre physikalische Symmetrie eines Kristalls manifestiert sich jedoch nicht so sehr in seiner Aussehen, wie viel drin Interne Struktur kristalline Substanz.

Achsensymmetrie im Tierreich

Symmetrie in der Welt der Lebewesen manifestiert sich in einer regelmäßigen Anordnung identische Teile eines Körpers relativ zu einem Mittelpunkt oder einer Achse. In der Natur kommt die Achsensymmetrie häufiger vor. Es bestimmt nicht nur allgemeine Struktur Organismus, sondern auch die Möglichkeiten seiner weiteren Entwicklung. Jede Tierart hat eine charakteristische Farbe. Wenn in der Farbgebung ein Muster erscheint, wird es in der Regel auf beiden Seiten dupliziert.

Achsensymmetrie und Mensch

Wenn Sie sich welche ansehen Lebewesen Die Symmetrie der Körperstruktur fällt sofort ins Auge. Mensch: zwei Arme, zwei Beine, zwei Augen, zwei Ohren und so weiter.

Das bedeutet, dass es eine bestimmte Linie gibt, entlang der Tiere und Menschen optisch in zwei identische Hälften „geteilt“ werden können, das heißt, ihre geometrische Struktur basiert auf Achsensymmetrie.

Wie aus den obigen Beispielen ersichtlich ist, erschafft die Natur jeden lebenden Organismus nicht chaotisch und sinnlos, sondern entsprechend allgemeine Gesetze Weltordnung, denn nichts im Universum hat einen rein ästhetischen, dekorativen Zweck. Dies ist auf eine natürliche Notwendigkeit zurückzuführen.

Natürlich zeichnet sich die Natur selten durch mathematische Präzision aus, dennoch ist die Ähnlichkeit der Elemente eines Organismus verblüffend.

Symmetrie in der Architektur

Schon seit der Antike wussten Architekten Bescheid mathematisches Verhältnis und Symmetrie und nutzte sie im Bauwesen architektonische Strukturen. Zum Beispiel die Architektur der Russen Orthodoxe Kirchen und Kathedralen der Rus: der Kreml, die Christ-Erlöser-Kathedrale in Moskau, die Kasaner und die Isaaks-Kathedrale in St. Petersburg usw.

Neben anderen weltberühmten Attraktionen, von denen sich viele in allen Ländern der Welt befinden, können wir noch sehen: ägyptische Pyramiden, Louvre, Taj Mahal, Kölner Dom usw. Wie wir sehen, sind sie alle symmetrisch.

Symmetrie in der Musik

ich studiere in Musikschule Es war für mich interessant, Beispiele für Symmetrie in diesem Bereich zu finden. Nicht nur Musikinstrumente haben offensichtliche Symmetrie, aber auch Teile Musikalische Werke Ton rein in einer bestimmten Reihenfolge, im Einklang mit der Partitur und den Absichten des Komponisten.

Zum Beispiel reprise – (französisch reprise, von reprendre – erneuern). Wiederholung eines Themas oder einer Themengruppe nach der Phase seiner (ihrer) Entwicklung oder Präsentation neuen thematischen Materials.

Auch das musikalische Prinzip des Rhythmus besteht in der eindimensionalen zeitlichen Wiederholung in gleichen Abständen.

Symmetrie in der Technologie

Wir leben in einer sich schnell verändernden High-Tech-Informationsgesellschaft und denken nicht darüber nach, warum manche Objekte und Phänomene um uns herum einen Sinn für Schönheit wecken, andere hingegen nicht. Wir bemerken sie nicht, wir denken nicht einmal über ihre Eigenschaften nach.

Aber darüber hinaus sind die technischen und mechanische Geräte, Teile, Mechanismen, Baugruppen können nicht richtig funktionieren und überhaupt nicht funktionieren, wenn die Symmetrie bzw. eine bestimmte Achse nicht eingehalten wird; in der Mechanik ist dies der Schwerpunkt.

Ausgewogen in der Mitte in diesem Fall ist eine zwingende technische Anforderung, deren Einhaltung durch GOST oder TU streng geregelt ist und eingehalten werden muss.

Symmetrie und Weltraumobjekte

Aber vielleicht sind Weltraumobjekte die mysteriösesten Objekte, die viele seit der Antike beunruhigt haben. Die auch Symmetrie haben – Sonne, Mond, Planeten.

Diese Kette lässt sich fortsetzen, aber jetzt sprechen wir über etwas Einzelnes: dass die Achsensymmetrie das Grundgesetz des Universums ist, die Grundlage für Schönheit, Harmonie und Proportionalität und in ihrer Beziehung zur Mathematik.

Praktischer Teil

Nachdem ich die notwendigen Informationen gefunden und die Literatur studiert hatte, war ich von der Richtigkeit meiner Hypothese überzeugt und kam zu dem Schluss, dass Asymmetrie in den Augen einer Person am häufigsten mit Unregelmäßigkeit oder Minderwertigkeit verbunden ist. Daher sind Symmetrie und Harmonie in den meisten Schöpfungen menschlicher Hände eine notwendige und zwingende Voraussetzung.

Dies ist in meiner Zeichnung deutlich zu erkennen, die ein Schwein mit unverhältnismäßig großen Körperteilen zeigt, was sofort ins Auge fällt!

Und erst wenn man ihn etwas länger anschaut, findet man ihn süß?

Obwohl dieses Thema bekannt und gut untersucht ist, werden alle diese Daten in jeder Disziplin separat betrachtet. Ich bin nicht auf verallgemeinerte Daten gestoßen, dass das Prinzip der Symmetrie verwendet wird, und darauf basieren viele andere Wissenschaften und ihre Beziehung zur Mathematik.

Deshalb habe ich beschlossen, meine Aussage mit der für mich einfachsten und zugänglichsten Methode zu beweisen. Ich glaube, diese Lösung bestünde darin, ein Experiment mit Tests durchzuführen.

Um eindeutig zu beweisen, dass asymmetrische Modelle nicht stabil sind, nicht über die erforderlichen Anforderungen und lebenswichtigen Fähigkeiten verfügen, und um meine Hypothese zu bestätigen, muss ich Kunsthandwerk, Zeichnungen und Kompositionen erstellen:

Option 1 – symmetrisch zur Achse;

Option 2 – mit einer klaren Verletzung der Symmetrie.

Da ich glaube, dass ein solches Ungleichgewicht deutlich sichtbar sein wird folgende Beispiele, für das ich Origami-Kunstwerke (Flugzeug und Frosch) aus farbigem Papier hergestellt habe. Um die Reinheit des Experiments zu gewährleisten, wurden sie aus dem gleichen farbigen Papier hergestellt und unter den gleichen Bedingungen getestet. Und die Komposition „Lighthouse“, bei der der Leuchtturm aus leerem Material besteht Plastikflasche, mit farbigem Papier bedeckt. Zur Dekoration der Komposition wurden menschliche Spielzeugfiguren, Modelle eines Segelboots und eines Bootes verwendet. dekorative Steine, und um Licht zu simulieren, habe ich ein batteriebetriebenes Element verwendet, das leuchtet.

Ich habe Tests mit diesen Fahrzeugen durchgeführt, alle Indikatoren aufgezeichnet und in eine Tabelle eingetragen (Alle Indikatoren können im Anhang Nr. 1, S. 18 - 21 eingesehen werden).

Alle Handarbeiten wurden unter Einhaltung der Sicherheitsvorschriften hergestellt (Anhang Nr. 2 S. 21)

Ich habe alle erhaltenen Daten analysiert und Folgendes herausgefunden:

Analyse der empfangenen Daten

Experiment Nr. 1

Versuch- Weitsprung der Frösche, der diese Distanz misst.

Der Grüne Frosch (symmetrisch) springt sanft über eine größere Distanz, aber der Rote (nicht symmetrisch) sprang nie geradeaus, immer mit einer Drehung oder einem Flip zur Seite, eine Distanz, die zwei- bis dreimal kürzer ist.

Daraus können wir schließen, dass ein solches Tier nicht in der Lage sein wird, schnell zu jagen oder im Gegenteil wegzulaufen und effektiv Nahrung zu beschaffen, was die Überlebenschancen verringert. Dies beweist, dass in der Natur alles ausgewogen, proportional, korrekt und symmetrisch ist .

Experiment Nr. 2

Art des Tests- Flugzeuge in den Flug starten und die Distanz der Fluglänge messen.

Flugzeug Nr. 1 „Pink“ (symmetrisch) fliegt 10 Mal, 8 Mal gleichmäßig und gerade, bis zu seiner maximalen Länge (d. h. der gesamten Länge meines Zimmers) und die Flugbahn von Flugzeug Nr. 2 „Orange“ (nicht symmetrisch). ) ab 10 Mal - flog nie geradeaus, immer mit einer Drehung oder einem Überschlag, über eine kürzere Distanz. Das heißt, wenn es ein echtes Flugzeug wäre, könnte es nicht reibungslos fliegen in die richtige Richtung. Ein solcher Flug wäre für Menschen (wie auch für Vögel), Autos und andere sehr unbequem oder sogar gefährlich Verkehrsmittel Bewegung, wäre nicht in der Lage zu reiten, zu schwimmen usw. in die gewünschte Richtung.

Experiment Nr. 3

Art des Tests -Überprüfung der Stabilität des Mayak-Gebäudes, wenn der Neigungswinkel der Struktur relativ zur Oberfläche abnimmt.

1. Nachdem ich die Komposition „Mayak“ erstellt hatte, installierte ich sie direkt, d.h. senkrecht (in einem Winkel von 90 0) relativ zu den Wänden der Struktur zur Oberfläche. Dieses Design steht waagerecht, hält dem eingebauten Lichtelement und der menschlichen Figur stand.

2. Um das Experiment weiter durchzuführen, musste ich die Basis des Turms in einem Winkel von 10 0 zeichnen.

Danach schneide ich von der Basis einen Winkel von 10 0 ab.

Bei einem Winkel von 80° steht das Gebäude schief, schwankt, hält aber der zusätzlichen Belastung stand.

3. Nachdem ich weitere 10 0 abgeschnitten habe, habe ich einen Neigungswinkel von 70 0 erhalten, bei dem meine gesamte Struktur zusammenbricht.

Diese Erfahrung beweist, dass die historisch gewachsene Tradition des rechtwinkligen Bauens und der Wahrung der Symmetrie des Gebäudes selbst Bestand hat eine notwendige Bedingung für den nachhaltigen, zuverlässigen Bau und Betrieb architektonischer Gebäude und Bauwerke.

Für klares Beispiel Achsensymmetrie und Beweis der Aussage, dass ein Mensch alle ihn umgebenden Gegenstände, Bilder von Tieren usw. wahrnimmt. Nur symmetrisch, das heißt, wenn beide Seiten, „Hälften“, gleich, gleich sind, habe ich ein elektronisches Malbuch erstellt, das ausgedruckt werden kann und so ein Malbuch für Kinder ergibt. Dieses Handbuch wird jedem helfen, der das Thema besser verstehen, eine interessante und unterhaltsame Erfahrung machen möchte Freizeit (Titelblatt(siehe Abbildung, weitere Abbildungen finden Sie im Anhang Nr. 3, S. 21–24).

Die von mir durchgeführten Experimente beweisen, dass Symmetrie nicht nur ein mathematisches und geometrisches Konzept ist, sondern eine Sphäre, die Umgebung unseres Lebens, eine bestimmte technische Anforderung und auch eine notwendige Überlebensbedingung im Allgemeinen, sowohl für Menschen als auch für Tiere. Symmetrie bringt alles zusammen und geht weit über die gewöhnliche Wissenschaft hinaus!

Abschluss

Schlussfolgerungen:

Ich habe herausgefunden, dass Symmetrie eine der Hauptkomponenten im menschlichen Alltag ist, in Haushaltsgegenständen, Architektur, Technik, Natur, Musik, Wissenschaft usw.

Ergebnis:

Ich habe die notwendigen Informationen gefunden, meine Hypothese bewiesen, sie experimentell getestet und bestätigt. Ich habe Kunsthandwerk, Kompositionen, Zeichnungen und ein elektronisches Malbuch erstellt, um das Experiment visuell durchzuführen.

Ich fand heraus, dass alle Naturgesetze – biologische, chemische, genetische, astronomische – mit Symmetrie zusammenhängen. Praktisch alles, was uns umgibt, was vom Menschen geschaffen wurde, unterliegt den uns allen gemeinsamen Symmetrieprinzipien, da sie über ein beneidenswertes System verfügen. Somit haben Gleichgewicht und Identität als Prinzip eine universelle Tragweite.

Können wir sagen, dass Symmetrie ein Grundgesetz ist, auf dem die Grundgesetze der Wissenschaft basieren? Vielleicht ja.

Die großen Denker der Menschheit versuchten, dieses Geheimnis zu verstehen. Auch wir stürzen uns heute in die Lösung dieses Rätsels.

Einer der berühmten Mathematiker Hermann Weil schrieb: „Symmetrie ist die Idee, durch die der Mensch seit Jahrhunderten versucht, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen.“

Vielleicht haben wir das Geheimnis zur Schaffung von Schönheit, Perfektion oder sogar zur Schaffung der Grundgesetze des Universums gefunden? Vielleicht liegt es an der Symmetrie?

Anwendungen

Anhang Nr. 1 Testtabelle:

Experiment Nr. 1
Versuch Nr.	Art des Tests	"Grüner Frosch" (symmetrisch)	Testergebnis und Eigenschaften „Roter Frosch“ (nicht symmetrisch)
	Frosch-Weitsprung (Maß in cm)		6,0 nach links
		14,4 mit einer leichten Rechtsdrehung	9,0 Rückwärtsdrehung
		10,5 fast genau	2.0 Coupé
		9,5 mit einer leichten Rechtsdrehung	5,0 links abbiegen
		10,6 mit einer leichten Rechtsdrehung	3,0 nach links
		9,0 Coupé	9,0 links abbiegen
		13,5 fast genau	1,5 zurück, nach links abbiegen
			9,5 übrig mit einem Flip
		21,2 fast genau	4,5 nach links mit einem Flip
Experiment Nr. 2
		Flugzeug „Rosa“ (Symmetrisch)	Flugzeug "Orange" (Nicht symmetrisch)
	Ein Flugzeug in der Länge starten Maximal (5,1 Meter)	5.1 mit 2 Flips	3.04 mit Flips nach rechts
			2,78 mit Flips nach rechts
		5.1 nach rechts geneigt	3,65 mit Rechtskurven
		5.1 nach rechts geneigt	1,51 fast genau
		5,1 fast genau	4,73 mit Flips nach rechts
		5.1 mit einer Neigung nach links	3,82 rechts abbiegen
		5,1 fast genau	3,41 mit Flips
		5,1 fast genau	3,37 biegen Sie links ab
		5.1 mit Umkehrung	3,51 mit Flips nach links
		5,1 fast genau	3.19 mit Flips nach rechts

Experiment Nr. 3
Versuch Nr.	Eigenschaften von Immobilien Objekt	Art und Merkmale des Tests	Ergebnis
	Das Gebäude steht senkrecht zur Oberfläche (d. h. in einem Winkel von 90 0)	Installation zusätzliche Belastung: Leuchtendes Element und menschliches Figurenspielzeug	Der Leuchtturm steht eben und sicher
	In einem Winkel von 80 0	Vom Sockel des Leuchtturms habe ich einen Winkel von 10 0 geheftet und abgeschnitten	Der Leuchtturm hält der Belastung stand, steht aber unzuverlässig und wackelt
	In einem Winkel von 70 0	Vom Sockel des Leuchtturms habe ich noch einmal 10 0 abgeschnitten	Das Gebäude fällt und stürzt ein

Anhang Nr. 2

Bei der Herstellung meiner Bastelarbeiten wurden Sicherheitsvorkehrungen beachtet, nämlich:

Die Schere bzw. das Messer muss gut geschärft und justiert sein.

Muss an einem bestimmten Ort aufbewahrt werden sicherer Ort oder Kiste.

Beim Umgang mit einer Schere (Messer) darf man sich nicht ablenken lassen, man muss möglichst aufmerksam und diszipliniert vorgehen.

Halten Sie die Schere (Messer) beim Überreichen an der geschlossenen Klinge (Kante).

Platzieren Sie die Schere (Messer) rechts mit der geschlossenen Klinge (Schneide) von Ihnen weg.

Beim Schneiden sollte die schmale Klinge der Schere (Messerspitze) unten liegen.

Waschen Sie Ihre Hände, nachdem Sie den Kleber verwendet haben.

Anhang Nr. 3

Elektronisches Malbuch

Symmetrie-

Dies bedeutet, dass ein Teil eines Objekts einem anderen ähnlich ist.

Achsensymmetrie ist die Symmetrie um eine Gerade (Linie).

Eine Symmetrieachse ist eine imaginäre Linie, die ein Objekt in symmetrische Teile teilt. Zur Verdeutlichung ist es auf den Bildern dargestellt.

In diesem Buch müssen Sie die Zeichnungen vervollständigen, indem Sie die Punkte verbinden.

Dann können Sie das, was Sie haben, ausmalen.

Versuchen Sie, diese Zeichnungen zu vervollständigen:

Herz

Dreieck Haus

Sternblatt

Maus-Weihnachtsbaum

HundSperren

ZU Neben der Achsensymmetrie gibt es auch eine Punktsymmetrie.

Dieser Ball ist symmetrisch

Und eine andere Art von Symmetrie ist die Spiegelsymmetrie.

Spiegelsymmetrie-

das ist Symmetrie um die Ebene. Zum Beispiel, was den Spiegel betrifft.

Symmetrie ist -

Gebrauchte Bücher

2. Hermann Weyl „Symmetrie“ (Verlag „Wissenschaft“) Hauptredaktion Physikalische und mathematische Literatur, Moskau 1968)

4. Meine Zeichnungen und Fotografien.

5. Handbuch des Maschinenbaus, Band 1, (Staatlicher wissenschaftlich-technischer Verlag für Maschinenbauliteratur, Moskau 1960)

6. Fotos und Zeichnungen aus dem Internet.