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Was ist moralische Verantwortung? Moralische Entscheidung bei der Tätigkeit von Strafverfolgungsbeamten. Was ist Persönlichkeit?

ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben auch Zahlen und Zeichen verwendet werden können Rechenoperationen und Klammern werden algebraische Ausdrücke genannt.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch einige ersetzt werden kann verschiedene Zahlen, dann wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet.

II. Werden in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt, dann wird die resultierende Zahl als Wert bezeichnet Algebraischer Ausdruck.

Beispiele. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6.

Lösung.

1) a + 2b -c mit a = -2; b = 10; c = -3,5. Statt Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y = -5; z = 6. Ersatz angegebenen Werte. Wir erinnern uns, dass der Modul einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modul einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte des Buchstabens (der Variablen), für die der algebraische Ausdruck einen Sinn ergibt, werden als zulässige Werte des Buchstabens (der Variablen) bezeichnet.

Beispiele. Für welche Werte der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Lösung. Wir wissen, dass man nicht durch Null dividieren kann, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn, wenn man den Wert des Buchstabens (der Variablen) berücksichtigt, der den Nenner des Bruchs auf Null macht!

In Beispiel 1) ist dieser Wert a = 0. Wenn Sie 0 anstelle von a einsetzen, müssen Sie zwar die Zahl 6 durch 0 dividieren, dies ist jedoch nicht möglich. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0.

Im Beispiel 2) ist der Nenner von x 4 = 0 bei x = 4, daher kann dieser Wert x = 4 nicht angenommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn, wenn x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0, wenn x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht keinen Sinn, wenn x = -2.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| = 5, dann können Sie x = 5 und x = -5 nicht nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht bei x = -5 und bei x = 5 keinen Sinn.
IV. Zwei Ausdrücke heißen identisch gleich, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind ebenfalls gleich, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für alle Werte von a und b gilt. Die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind beispielsweise die Eigenschaften Addition und Multiplikation, Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird aufgerufen identische Transformation oder einfach durch Umwandeln eines Ausdrucks. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Zahlenoperationen durchgeführt.

Beispiele.

A) Konvertieren Sie den Ausdruck mithilfe der Verteilungseigenschaft der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Lösung. Erinnern wir uns an die Verteilungseigenschaft (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b)c=ac+bc(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Ergebnisse addieren.)
(a-b) c=a c-b c(Verteilungsgesetz der Multiplikation relativ zur Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man den Minuenden multiplizieren und separat mit dieser Zahl subtrahieren und die zweite Zahl vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) Transformieren Sie den Ausdruck in identisch gleich, indem Sie die kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition verwenden:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(kommutativ: Durch Umordnen der Terme ändert sich die Summe nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(kombinativ: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) Wandeln Sie den Ausdruck mithilfe der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

a·b=b·a(kommutativ: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht).
(a b) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.)

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7u.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Wenn ein algebraischer Ausdruck in Form eines reduzierbaren Bruchs angegeben wird, kann er mit der Regel zum Reduzieren eines Bruchs vereinfacht werden, d.h. Ersetzen Sie es durch einen identisch gleichen, einfacheren Ausdruck.

Beispiele. Vereinfachen Sie durch Bruchreduktion.

Lösung. Einen Bruch zu reduzieren bedeutet, seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (Ausdruck) zu dividieren, die nicht Null ist. Fraktion 10) wird um reduziert 3b; Fraktion 11) wird um reduziert A und Bruch 12) wird um reduziert 7n. Wir bekommen:

Zur Erstellung von Formeln werden algebraische Ausdrücke verwendet.

Eine Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der als Gleichheit geschrieben wird und die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen ausdrückt. Beispiel: Pfadformel, die Sie kennen s=v t(s – zurückgelegte Strecke, v – Geschwindigkeit, t – Zeit). Denken Sie daran, welche anderen Formeln Sie kennen.

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Ein Literalausdruck (oder Variablenausdruck) ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Buchstaben und Symbolen besteht mathematische Operationen. Zum Beispiel, nächster Ausdruck ist wörtlich:

a+b+4

Mit alphabetischen Ausdrücken können Sie Gesetze, Formeln, Gleichungen und Funktionen schreiben. Die Fähigkeit, Buchstabenausdrücke zu manipulieren, ist der Schlüssel gute Kenntnisse Algebra und höhere Mathematik.

Jedes ernsthafte Problem in der Mathematik besteht darin, Gleichungen zu lösen. Und um Gleichungen lösen zu können, muss man mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten können.

Um mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten zu können, müssen Sie mit den Grundrechenarten vertraut sein: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Grundgesetze der Mathematik, Brüche, Operationen mit Brüchen, Proportionen. Und nicht nur studieren, sondern gründlich verstehen.

Unterrichtsinhalte

Variablen

Buchstaben, die in Literalausdrücken enthalten sind, werden aufgerufen Variablen. Zum Beispiel im Ausdruck a+b+ 4 Variablen sind Buchstaben A Und B. Wenn wir diese Variablen durch beliebige Zahlen ersetzen, erhalten wir einen Literalausdruck a+b+ 4 wird in einen numerischen Ausdruck umgewandelt, dessen Wert gefunden werden kann.

Zahlen, die Variablen ersetzen, werden aufgerufen Werte von Variablen. Lassen Sie uns beispielsweise die Werte der Variablen ändern A Und B. Das Gleichheitszeichen wird zum Ändern von Werten verwendet

a = 2, b = 3

Wir haben die Werte der Variablen geändert A Und B. Variable A einen Wert zugewiesen 2 , variabel B einen Wert zugewiesen 3 . Daraus ergibt sich der wörtliche Ausdruck a+b+4 wird zu einem regulären numerischen Ausdruck 2+3+4 dessen Wert zu finden ist:

Wenn Variablen multipliziert werden, werden sie zusammengeschrieben. Zum Beispiel aufzeichnen ab bedeutet dasselbe wie der Eintrag a×b. Wenn wir die Variablen ersetzen A Und B Zahlen 2 Und 3 , dann erhalten wir 6

Sie können die Multiplikation einer Zahl mit einem Ausdruck auch in Klammern zusammenfassen. Zum Beispiel statt a×(b + c) kann aufgeschrieben werden a(b + c). Unter Anwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation erhalten wir a(b + c)=ab+ac.

Chancen

In literalen Ausdrücken findet man häufig eine Schreibweise, bei der beispielsweise eine Zahl und eine Variable zusammen geschrieben werden 3a. Dies ist eigentlich eine Abkürzung für die Multiplikation der Zahl 3 mit einer Variablen. A und dieser Eintrag sieht so aus 3×a .

Mit anderen Worten, der Ausdruck 3a ist das Produkt der Zahl 3 und der Variablen A. Nummer 3 in dieser Arbeit nennen sie Koeffizient. Dieser Koeffizient gibt an, wie oft die Variable erhöht wird A. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ A dreimal“ oder „dreimal A“ oder „den Wert einer Variablen erhöhen“. A dreimal“, wird aber am häufigsten als „drei“ gelesen A«

Wenn beispielsweise die Variable A gleich 5 , dann der Wert des Ausdrucks 3a wird gleich 15 sein.

3 × 5 = 15

Apropos in einfacher Sprache, der Koeffizient ist die Zahl, die vor dem Buchstaben (vor der Variablen) steht.

Es können beispielsweise mehrere Buchstaben sein 5abc. Hier ist der Koeffizient die Zahl 5 . Dieser Koeffizient zeigt das Produkt von Variablen ABC verfünffacht. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ ABC fünfmal“ oder „den Wert des Ausdrucks erhöhen“. ABC fünfmal“ oder „fünf ABC«.

Wenn anstelle von Variablen ABC Ersetzen Sie die Zahlen 2, 3 und 4 und dann den Wert des Ausdrucks 5abc wird gleich sein 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Sie können sich gedanklich vorstellen, wie die Zahlen 2, 3 und 4 zunächst multipliziert wurden und sich der resultierende Wert verfünffachte:

Das Vorzeichen des Koeffizienten bezieht sich nur auf den Koeffizienten und gilt nicht für die Variablen.

Betrachten Sie den Ausdruck −6b. Minus vor dem Koeffizienten 6 , gilt nur für den Koeffizienten 6 und gehört nicht zur Variablen B. Wenn Sie diese Tatsache verstehen, können Sie in Zukunft keine Fehler mehr bei Schildern machen.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln −6b bei b = 3.

−6b −6×b. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck −6b in erweiterter Form und ersetzen Sie den Wert der Variablen B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −6b bei b = −5

Schreiben wir den Ausdruck auf −6b in erweiterter Form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −5a+b bei a = 3 Und b = 2

−5a+b Dies ist eine Kurzform für −5 × a + b, also schreiben wir der Klarheit halber den Ausdruck −5×a+b in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen A Und B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Manchmal werden beispielsweise Buchstaben ohne Koeffizienten geschrieben A oder ab. In diesem Fall ist der Koeffizient eins:

aber traditionell wird die Einheit nicht aufgeschrieben, also wird einfach geschrieben A oder ab

Steht vor dem Buchstaben ein Minus, ist der Koeffizient eine Zahl −1 . Zum Beispiel der Ausdruck −a sieht tatsächlich so aus −1a. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen A. Es stellte sich so heraus:

−1 × a = −1a

Hier gibt es einen kleinen Haken. Im Ausdruck −a Minuszeichen vor der Variablen A bezieht sich tatsächlich eher auf eine „unsichtbare Einheit“ als auf eine Variable A. Daher sollten Sie bei der Lösung von Problemen vorsichtig sein.

Zum Beispiel, wenn der Ausdruck gegeben wird −a und wir werden gebeten, seinen Wert zu ermitteln a = 2, dann haben wir in der Schule eine Zwei anstelle einer Variablen ersetzt A und erhielt eine Antwort −2 , ohne sich zu sehr darauf zu konzentrieren, wie es ausgegangen ist. Tatsächlich wurde minus eins mit der positiven Zahl 2 multipliziert

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Wenn der Ausdruck gegeben ist −a und Sie müssen seinen Wert finden a = −2, dann ersetzen wir −2 anstelle einer Variablen A

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Um Fehler zu vermeiden, können zunächst unsichtbare Einheiten explizit angegeben werden.

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=2 , b=3 Und c=4

Ausdruck ABC 1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck ABC a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Beispiel 5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=−2 , b=−3 Und c=−4

Schreiben wir den Ausdruck auf ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Beispiel 6. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=3, b=5 und c=7

Ausdruck − ABC Dies ist eine Kurzform für −1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck − ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Beispiel 7. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=−2 , b=−4 und c=−3

Schreiben wir den Ausdruck auf − ABC in erweiterter Form:

−abc = −1 × a × b × c

Ersetzen wir die Werte der Variablen A , B Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

So bestimmen Sie den Koeffizienten

Manchmal müssen Sie ein Problem lösen, bei dem Sie den Koeffizienten eines Ausdrucks bestimmen müssen. Im Prinzip, diese Aufgabe sehr einfach. Es reicht aus, Zahlen richtig multiplizieren zu können.

Um den Koeffizienten in einem Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie die in diesem Ausdruck enthaltenen Zahlen und die Buchstaben separat multiplizieren. Der resultierende numerische Faktor ist der Koeffizient.

Beispiel 1. 7m×5a×(−3)×n

Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Dies ist deutlich zu erkennen, wenn Sie den Ausdruck in erweiterter Form schreiben. Das heißt, die Werke 7m Und 5a schreibe es in das Formular 7×m Und 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Wenden wir das assoziative Multiplikationsgesetz an, das es Ihnen ermöglicht, Faktoren in beliebiger Reihenfolge zu multiplizieren. Wir werden nämlich die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben (Variablen) separat multiplizieren:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Der Koeffizient ist −105 . Nach Fertigstellung empfiehlt es sich, den Buchstabenteil alphabetisch zu ordnen:

−105 Uhr

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Der Koeffizient beträgt 6.

Beispiel 3. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck:

Lassen Sie uns Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

Der Koeffizient ist −1. Bitte beachten Sie, dass die Einheit nicht angeschrieben wird, da es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht anzugeben.

Diese scheinbar einfachsten Aufgaben können für uns eine sehr große Rolle spielen. grausamer Witz. Es stellt sich oft heraus, dass das Vorzeichen des Koeffizienten falsch eingestellt ist: Entweder fehlt das Minus oder es ist im Gegenteil vergeblich eingestellt. Um diese zu vermeiden ärgerliche Fehler, muss auf einem guten Niveau studiert werden.

Addends in Literalausdrücken

Bei der Addition mehrerer Zahlen erhält man die Summe dieser Zahlen. Zahlen, die addieren, werden Addenden genannt. Es kann mehrere Begriffe geben, zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wenn ein Ausdruck aus Termen besteht, ist die Auswertung viel einfacher, da das Addieren einfacher ist als das Subtrahieren. Der Ausdruck kann aber nicht nur Addition, sondern auch Subtraktion enthalten, zum Beispiel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In diesem Ausdruck sind die Zahlen 3 und 5 Subtrahenden, keine Summanden. Aber nichts hindert uns daran, die Subtraktion durch die Addition zu ersetzen. Dann erhalten wir wieder einen Ausdruck bestehend aus Termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Es spielt keine Rolle, dass die Zahlen −3 und −5 jetzt ein Minuszeichen haben. Die Hauptsache ist, dass alle Zahlen in diesem Ausdruck durch ein Additionszeichen verbunden sind, das heißt, der Ausdruck ist eine Summe.

Beide Ausdrücke 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Und 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gleich dem gleichen Wert - minus eins

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Daher wird die Bedeutung des Ausdrucks nicht beeinträchtigt, wenn wir irgendwo die Subtraktion durch die Addition ersetzen.

Sie können in Literalausdrücken auch die Subtraktion durch die Addition ersetzen. Betrachten Sie beispielsweise den folgenden Ausdruck:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Für beliebige Werte von Variablen A B C D Und S Ausdrücke 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Und 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) wird dem gleichen Wert entsprechen.

Sie müssen darauf vorbereitet sein, dass ein Lehrer in einer Schule oder einem Institut gerade Zahlen (oder Variablen) nennen kann, die keine Summanden sind.

Zum Beispiel, wenn die Differenz an die Tafel geschrieben wird a−b, dann wird der Lehrer das nicht sagen A ist ein Minuend, und B- subtrahierbar. Er wird beide Variablen eins nennen allgemein gesagt — Bedingungen. Und das alles wegen des Ausdrucks der Form a−b Der Mathematiker sieht, wie die Summe entsteht a+(−b). In diesem Fall wird der Ausdruck zu einer Summe und den Variablen A Und (−b) werden zu Begriffen.

Ausdrücke vereinfachen

"den Ausdruck vereinfachen" und unten ist der Ausdruck, der vereinfacht werden muss. Vereinfachen Sie einen Ausdruck bedeutet, es einfacher und kürzer zu machen.

Tatsächlich haben wir Ausdrücke bereits vereinfacht, als wir Brüche reduziert haben. Nach der Reduktion wurde der Bruch kürzer und leichter verständlich.

Lassen Sie uns überlegen nächstes Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.

Diese Aufgabe kann wörtlich wie folgt verstanden werden: „Wenden Sie alle gültigen Aktionen auf diesen Ausdruck an, aber machen Sie es einfacher.“ .

In diesem Fall können Sie den Bruch kürzen, nämlich Zähler und Nenner des Bruchs durch 2 dividieren:

Was kannst du noch tun? Sie können den resultierenden Bruch berechnen. Dann erhalten wir den Dezimalbruch 0,5

Infolgedessen wurde der Bruch auf 0,5 vereinfacht.

Die erste Frage, die Sie sich bei Ihrer Entscheidung stellen müssen ähnliche Aufgaben, muss sein „Was kann getan werden?“ . Denn es gibt Aktionen, die Sie ausführen können, und es gibt Aktionen, die Sie nicht ausführen können.

Noch eins wichtiger Punkt Beachten Sie, dass sich der Wert des Ausdrucks nach der Vereinfachung des Ausdrucks nicht ändern sollte. Kehren wir zum Ausdruck zurück. Dieser Ausdruck stellt eine Division dar, die durchgeführt werden kann. Nachdem wir diese Division durchgeführt haben, erhalten wir den Wert dieses Ausdrucks, der 0,5 beträgt

Aber wir haben den Ausdruck vereinfacht und einen neuen vereinfachten Ausdruck erhalten. Der Wert des neuen vereinfachten Ausdrucks beträgt immer noch 0,5

Wir haben aber auch versucht, den Ausdruck zu vereinfachen, indem wir ihn berechnet haben. Als Ergebnis erhielten wir eine endgültige Antwort von 0,5.

Unabhängig davon, wie wir den Ausdruck vereinfachen, ist der Wert der resultierenden Ausdrücke immer noch gleich 0,5. Dies bedeutet, dass die Vereinfachung in jeder Phase korrekt durchgeführt wurde. Genau das sollten wir bei der Vereinfachung von Ausdrücken anstreben – die Bedeutung des Ausdrucks soll durch unser Handeln nicht leiden.

Es besteht oft Bedarf an Vereinfachungen wörtliche Ausdrücke. Für sie gelten die gleichen Vereinfachungsregeln wie für numerische Ausdrücke. Sie können alle gültigen Aktionen ausführen, solange sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 5,21s × t × 2,5

Vereinfachen dieser Ausdruck können Sie Zahlen separat multiplizieren und Buchstaben separat multiplizieren. Diese Aufgabe ist derjenigen sehr ähnlich, die wir uns angesehen haben, als wir lernten, den Koeffizienten zu bestimmen:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Also der Ausdruck 5,21s × t × 2,5 vereinfacht zu 13.025st.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2

Zweites Stück (−6,3b) kann in eine für uns verständliche Form übersetzt werden, nämlich geschrieben in der Form ( −6,3)×b , Dann multipliziere die Zahlen einzeln und multipliziere die Buchstaben einzeln:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Also der Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2 vereinfacht zu 5.04b

Beispiel 3. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um klar zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen einzeln und die Buchstaben einzeln:

Also der Ausdruck vereinfacht zu −abc. Diese Lösung kann kurz geschrieben werden:

Beim Vereinfachen von Ausdrücken können Brüche während des Lösungsprozesses reduziert werden und nicht ganz am Ende, wie wir es getan haben gewöhnliche Brüche. Wenn wir beispielsweise im Laufe der Lösung auf einen Ausdruck der Form stoßen, ist es überhaupt nicht notwendig, Zähler und Nenner zu berechnen und so etwas zu tun:

Ein Bruch lässt sich reduzieren, indem man im Zähler und im Nenner einen Faktor auswählt und diese Faktoren um ihren größten Wert reduziert gemeinsamer Teiler. Mit anderen Worten, eine Verwendung, bei der wir nicht im Detail beschreiben, in was Zähler und Nenner unterteilt wurden.

Zum Beispiel ist im Zähler der Faktor 12 und im Nenner kann der Faktor 4 um 4 reduziert werden. Wir behalten die Vier im Kopf, dividieren 12 und 4 durch diese Vier und schreiben die Antworten neben diese Zahlen. nachdem ich sie zuerst durchgestrichen habe

Nun können Sie die resultierenden kleinen Faktoren multiplizieren. In diesem Fall gibt es nur wenige davon und Sie können sie in Ihrem Kopf multiplizieren:

Mit der Zeit stellen Sie möglicherweise fest, dass die Ausdrücke beim Lösen eines bestimmten Problems „fetter“ werden. Daher ist es ratsam, sich daran zu gewöhnen schnelle Berechnungen. Was im Kopf berechnet werden kann, muss im Kopf berechnet werden. Was schnell reduziert werden kann, muss schnell reduziert werden.

Beispiel 4. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 5. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt multiplizieren:

Also der Ausdruck vereinfacht zu mn.

Beispiel 6. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um klar zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt. Zur Vereinfachung der Berechnung ist der Dezimalbruch −6,4 und gemischte Zahl kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Die Lösung für dieses Beispiel kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Beispiel 7. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns Zahlen getrennt und Buchstaben getrennt multiplizieren. Zur Vereinfachung der Berechnung wird eine gemischte Zahl und verwendet Dezimalzahlen 0,1 und 0,6 können in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu A B C D. Wenn Sie die Details überspringen, dann diese Entscheidung kann viel kürzer geschrieben werden:

Beachten Sie, wie der Bruch reduziert wurde. Auch neue Faktoren, die durch Reduzierung früherer Faktoren entstehen, dürfen reduziert werden.

Lassen Sie uns nun darüber sprechen, was Sie nicht tun sollten. Bei der Vereinfachung von Ausdrücken ist es strengstens verboten, Zahlen und Buchstaben zu multiplizieren, wenn der Ausdruck eine Summe und kein Produkt ist.

Zum Beispiel, wenn Sie den Ausdruck vereinfachen möchten 5a+4b, dann kannst du es nicht so schreiben:

Das ist dasselbe, als ob wir aufgefordert würden, zwei Zahlen zu addieren und diese zu multiplizieren, anstatt sie zu addieren.

Beim Ersetzen beliebiger Variablenwerte A Und B Ausdruck 5a +4b verwandelt sich in einen gewöhnlichen numerischen Ausdruck. Nehmen wir an, dass die Variablen A Und B haben folgende Bedeutung:

a = 2, b = 3

Dann ist der Wert des Ausdrucks gleich 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Zuerst wird eine Multiplikation durchgeführt und dann werden die Ergebnisse addiert. Und wenn wir versuchen würden, diesen Ausdruck durch Multiplikation von Zahlen und Buchstaben zu vereinfachen, würden wir Folgendes erhalten:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Es ergibt sich eine völlig andere Bedeutung des Ausdrucks. Im ersten Fall hat es funktioniert 22 , im zweiten Fall 120 . Dies bedeutet, dass der Ausdruck vereinfacht wird 5a+4b wurde falsch durchgeführt.

Nach der Vereinfachung eines Ausdrucks sollte sich sein Wert bei gleichen Werten der Variablen nicht ändern. Wenn, beim Ersetzen in ursprünglicher Ausdruck Wenn alle Werte der Variablen einen Wert ergeben, sollte nach der Vereinfachung des Ausdrucks derselbe Wert wie vor der Vereinfachung erhalten werden.

Mit Ausdruck 5a+4b Es gibt wirklich nichts, was du tun kannst. Es vereinfacht es nicht.

Wenn ein Ausdruck ähnliche Begriffe enthält, können diese hinzugefügt werden, wenn unser Ziel darin besteht, den Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 8. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

oder kürzer: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Also der Ausdruck 0,3a−0,4a+a vereinfacht zu 0,9a

Beispiel 9. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −7,5a − 2,5b + 4a

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

oder kürzer −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Begriff (−2,5b) blieb unverändert, weil es nichts gab, was man dagegen tun könnte.

Beispiel 10. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Der Koeffizient diente der einfacheren Berechnung.

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 11. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

IN in diesem Beispiel Sinnvoller wäre es, zuerst den ersten und den letzten Koeffizienten zu addieren. In diesem Fall hätten wir eine kurze Lösung. Es würde so aussehen:

Beispiel 12. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

Der Begriff blieb unverändert, da ihm nichts hinzuzufügen war.

Diese Lösung kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

IN kurze Lösung Die Schritte zum Ersetzen der Subtraktion durch Addition und eine detaillierte Aufzeichnung, wie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert wurden, wurden übersprungen.

Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass in detaillierte Lösung Die Antwort sieht so aus , aber kurz als . Tatsächlich handelt es sich um denselben Ausdruck. Der Unterschied besteht darin, dass im ersten Fall die Subtraktion durch die Addition ersetzt wird, da wir zu Beginn, als wir die Lösung detailliert niederschrieben, die Subtraktion, wo immer möglich, durch die Addition ersetzt haben und dieser Ersatz für die Antwort beibehalten wurde.

Identitäten. Identisch gleiche Ausdrücke

Sobald wir einen Ausdruck vereinfacht haben, wird er einfacher und kürzer. Um zu überprüfen, ob der vereinfachte Ausdruck korrekt ist, reicht es aus, alle Variablenwerte zuerst in den vorherigen Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den neuen, vereinfachten Ausdruck einzusetzen. Wenn der Wert in beiden Ausdrücken gleich ist, ist der vereinfachte Ausdruck wahr.

Lassen Sie uns überlegen einfachstes Beispiel. Lassen Sie es notwendig sein, den Ausdruck zu vereinfachen 2a×7b. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Überprüfen wir, ob wir den Ausdruck richtig vereinfacht haben. Ersetzen wir dazu beliebige Werte der Variablen A Und B Zuerst in den ersten Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den zweiten, der vereinfacht wurde.

Lassen Sie die Werte der Variablen A , B wird wie folgt sein:

a = 4, b = 5

Ersetzen wir sie im ersten Ausdruck 2a×7b

Ersetzen wir nun dieselben Variablenwerte in den Ausdruck, der sich aus der Vereinfachung ergibt 2a×7b, nämlich im Ausdruck 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Wir sehen das, wenn a=4 Und b=5 Wert des ersten Ausdrucks 2a×7b und die Bedeutung des zweiten Ausdrucks 14ab gleich

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Das Gleiche gilt für alle anderen Werte. Lassen Sie zum Beispiel a=1 Und b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Also für beliebige Werte Ausdrucksvariablen 2a×7b Und 14ab gleich dem gleichen Wert sind. Solche Ausdrücke heißen identisch gleich.

Wir schließen daraus zwischen den Ausdrücken 2a×7b Und 14ab Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben.

2a × 7b = 14ab

Eine Gleichheit ist jeder Ausdruck, der durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden ist.

Und Gleichheit der Form 2a×7b = 14ab angerufen Identität.

Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt.

Weitere Beispiele für Identitäten:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, die Gesetze der Mathematik, die wir untersucht haben, sind Identitäten.

Auch echte numerische Gleichheiten sind Identitäten. Zum Beispiel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Entscheiden schwierige Aufgabe um die Berechnung zu erleichtern, komplexer Ausdruck durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt, der mit dem vorherigen identisch ist. Dieser Ersatz wird aufgerufen identische Transformation des Ausdrucks oder einfach den Ausdruck umwandeln.

Wir haben zum Beispiel den Ausdruck vereinfacht 2a×7b, und erhielt einen einfacheren Ausdruck 14ab. Diese Vereinfachung kann als Identitätstransformation bezeichnet werden.

Oft findet man eine Aufgabe, die besagt „Beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist“ und dann ist die zu beweisende Gleichheit gegeben. Typischerweise besteht diese Gleichheit aus zwei Teilen: der linken und der rechten Seite der Gleichheit. Unsere Aufgabe besteht darin, Identitätstransformationen mit einem der Teile der Gleichheit durchzuführen und den anderen Teil zu erhalten. Oder führen Sie identische Transformationen auf beiden Seiten der Gleichheit durch und stellen Sie sicher, dass beide Seiten der Gleichheit dieselben Ausdrücke enthalten.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichheit beweisen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Vereinfachen wir die linke Seite dieser Gleichheit. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen und Buchstaben getrennt:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Durch eine kleine Identitätstransformation wurde die linke Seite der Gleichheit gleich der rechten Seite der Gleichheit. Damit haben wir die Gleichheit bewiesen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Durch identische Transformationen haben wir gelernt, Zahlen zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, Brüche zu reduzieren, ähnliche Terme hinzuzufügen und auch einige Ausdrücke zu vereinfachen.

Dies sind jedoch nicht alle identischen Transformationen, die es in der Mathematik gibt. Es gibt noch viele weitere identische Transformationen. Das werden wir in Zukunft noch mehr als einmal sehen.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

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Einträge 2 A + 8, 3A + 5B, A 4 – bс werden Ausdrücke mit Variablen genannt. Wenn wir Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen, erhalten wir numerische Ausdrücke. Allgemeines Konzept Ausdrücke mit Variablen werden genauso definiert wie das Konzept eines numerischen Ausdrucks, nur können Ausdrücke mit Variablen neben Zahlen auch Buchstaben enthalten.

Bei Ausdrücken mit einer Variablen werden auch Vereinfachungen verwendet: Setzen Sie keine Klammern, die nur eine Zahl oder einen Buchstaben enthalten, setzen Sie kein Multiplikationszeichen zwischen Buchstaben, zwischen Zahlen und Buchstaben usw.

Es gibt Ausdrücke mit eins, zwei, drei usw. Variablen. Benennen A(X), IN(x, y) usw.

Ein Ausdruck mit einer Variablen kann weder als Anweisung noch als Prädikat bezeichnet werden. Zum Beispiel zu Ausdruck 2 A+ 5 Es kann nicht gesagt werden, ob es wahr oder falsch ist, daher ist es keine Aussage. Wenn anstelle einer Variablen A Wenn wir Zahlen ersetzen, erhalten wir verschiedene numerische Ausdrücke, die ebenfalls keine Aussagen sind, daher ist dieser Ausdruck auch kein Prädikat.

Jeder Ausdruck mit einer Variablen entspricht einer Menge von Zahlen, deren Ersetzung einen sinnvollen numerischen Ausdruck ergibt. Diese Menge wird als Definitionsbereich des Ausdrucks bezeichnet.

Beispiel. 8: (4 – X) – Domäne R\(4), weil bei X= 4 Ausdruck 8: (4 – 4) ergibt keinen Sinn.

Wenn der Ausdruck mehrere Variablen enthält, z. B. X Und bei, dann wird der Definitionsbereich dieses Ausdrucks als eine Menge von Zahlenpaaren verstanden ( A; B) so dass beim Ersetzen X An A Und bei An B Das Ergebnis ist ein numerischer Ausdruck, der einen Wert hat.

Beispiel. , der Definitionsbereich ist die Menge der Paare ( A; B) │A≥ B.

Definition. Zwei Ausdrücke mit einer Variablen gelten für jeden Wert als identisch gleich. Bei Variablen aus dem Ausdrucksbereich sind die entsprechenden Werte gleich.

Das. zwei Ausdrücke A(X), IN(X) sind auf der Menge identisch gleich X, Wenn

1) Sätze akzeptable Werte die Variablen in diesen Ausdrücken sind dieselben;

2) für jeden X 0 ihrer Sätze zulässiger Werte, die Bedeutung von Ausdrücken bei X 0 zusammenfallen, d.h. A(X 0) = IN(X 0) – richtig numerische Gleichheit.

Beispiel. (2 X+ 5) 2 und 4 X 2 + 20X+ 25 – identisch gleiche Ausdrücke.

Benennen A(X) º IN(X). Beachten Sie, dass zwei Ausdrücke in einem Satz identisch gleich sind E, dann sind sie auf jeder Teilmenge identisch gleich E 1 М E. Zu beachten ist auch, dass die Aussage über die Identitätsgleichheit zweier Ausdrücke mit einer Variablen eine Aussage ist.

Wenn wir zwei identisch gleiche Ausdrücke auf einer bestimmten Menge mit einem Gleichheitszeichen verbinden, erhalten wir einen Satz, der auf dieser Menge Identität genannt wird.

Auch echte numerische Gleichheiten gelten als Identitäten. Die Identitäten sind die Gesetze der Addition und Multiplikation reale Nummern, Regeln zum Subtrahieren einer Zahl von einer Summe und einer Summe von einer Zahl, Regeln zum Teilen einer Summe durch eine Zahl usw. Identitäten sind auch die Regeln für Aktionen mit Null und Eins.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm in einer bestimmten Menge identisch ist, wird als identische Transformation eines bestimmten Ausdrucks bezeichnet.

Beispiel. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - identische Transformation, es handelt sich nicht um eine identische Transformation R.

§ 5. Klassifizierung von Ausdrücken mit einer Variablen

1) Ein Ausdruck, der aus Variablen und Zahlen besteht und nur die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzierung verwendet, wird Ganzzahlausdruck oder Polynom genannt.

Beispiel. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3bei)

2) Rational ist ein Ausdruck, der aus Variablen und Zahlen mithilfe der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung erstellt wird. Rationaler Ausdruck kann als Verhältnis zweier ganzzahliger Ausdrücke dargestellt werden, d.h. Polynome. Beachten Sie, dass ganzzahlige Ausdrücke ein Sonderfall rationaler Ausdrücke sind.

Beispiel. .

3) Irrational ist ein Ausdruck, der aus Variablen und Zahlen unter Verwendung der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung sowie der Operation des Ziehens der Wurzel erstellt wird P-ter Grad.

Ausdrücke mit einer Variablen können Buchstaben, Zahlen, Operationszeichen und Klammern enthalten. Ja, 4 X + 3, X +2bei – 2, (bei+ 4) : X – Ausdrücke mit Variablen.

Definitionsbereich eines Ausdrucks mit einer Variablen ist die Wertemenge einer Variablen, für die dieser Wert sinnvoll ist. Wenn ein Ausdruck mit zwei Variablen angegeben wird X Und bei, dann ist sein Definitionsbereich die Menge der Zahlenpaare ( x, y), für die dieser Ausdruck Sinn macht.

Identitäten

Zwei mathematische Ausdrücke werden genannt Identität, wenn daraus eine echte numerische Gleichheit für alle Werte der zugehörigen Variablen wird allgemeinen Bereich Definitionen (d. h. bei Werten von Variablen, für die Ausdrücke sinnvoll sind).

Ungleichungen mit einer Variablen. Grundlegendes Konzept. Äquivalente Ungleichheiten. Sätze über äquivalente Ungleichungen, Konsequenzen daraus.

Bietet 2x+7>10er, x²+7x<2 называют неравенством с одной переменной.

Seien f(x) und g(x) zwei Ausdrücke mit Variable x und Definitionsbereich X. Dann ist eine Ungleichung der Form f(x)>g(x) oder f(x)

Man nennt den Wert einer Variablen x aus der Menge X, bei dem die Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung übergeht Entscheidung. Ungleichheit lösen- das bedeutet, viele Lösungen dafür zu finden.

Die Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen basiert auf dem Konzept Gleichwertigkeit.

Die beiden Ungleichungen heißen Äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen gleich sind.

Die Ungleichungen 2x+7>10 und 2x>3 sind äquivalent, da die Mengen ihrer Lösungen gleich sind und das Intervall (2/3; ∞) darstellen.

Satz 3. Die Ungleichung f(x)>g(x) sei auf der Menge X definiert, h(x) sei ein Ausdruck, der auf derselben Menge definiert sei. Dann sind die Ungleichungen f(x)>g(x) und f(x)+ h(x)> g(x)+ h(x) auf der Menge X äquivalent.

Folgen:

1. Wenn wir auf beiden Seiten der Ungleichung f(x)>g(x) die gleiche Zahl d hinzufügen, erhalten wir die Ungleichung f(x)+d>g(x)+d, die der ursprünglichen Ungleichung entspricht .

2. Wenn ein Begriff von einem Teil auf einen anderen übertragen wird und dabei das Vorzeichen des Begriffs in das Gegenteil geändert wird, erhalten wir eine Ungleichung, die dem gegebenen entspricht.

Satz 4. Sei die Ungleichung f(x)>g(x) auf der Menge X definiert und sei h(x) ein Ausdruck, der auf derselben Menge definiert ist, und für alle x aus der Menge X gilt der Ausdruck h(x). negative Werte. Dann sind die Ungleichungen f(x)>g(x) und f(x) h(x)

Folge: wenn beide Seiten der Ungleichung f(x)>g(x) mit demselben multipliziert werden eine negative Zahl d und ändern Sie das Ungleichheitszeichen in das umgekehrte, erhalten wir die Ungleichung f(x) d

Gleichungen mit zwei Variablen. Grundkonzepte (Definitionsbereich, Lösung, Lösungsmenge, Beziehung zwischen ihnen).

Gleichwertigkeit f(x; y) = 0 Ist Gleichung mit zwei Variablen.

Durch Entscheidung Eine solche Gleichung ist Paar variabler Werte, was eine Gleichung mit zwei Variablen in eine echte Gleichheit umwandelt.

Wenn wir eine Gleichung mit zwei Variablen haben, müssen wir in ihrer Notation x an die erste Stelle und y an die zweite Stelle setzen.

Betrachten Sie die Gleichung x – 3y = 10. Paare (10; 0), (16; 2), (-2; -4) sind Lösungen der betrachteten Gleichung, während Paar (1; 5) keine Lösung ist.

Um andere Lösungspaare für diese Gleichung zu finden, ist es notwendig, eine Variable durch eine andere auszudrücken – zum Beispiel x durch y. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung

Wenn Gleichungen mit zwei Variablen die gleichen Wurzeln haben, werden solche Gleichungen aufgerufen Äquivalent.

Für Gleichungen mit zwei Variablen gelten Sätze über äquivalente Gleichungstransformationen.

Betrachten Sie den Graphen einer Gleichung mit zwei Variablen.

Gegeben sei eine Gleichung mit zwei Variablen f(x; y) = 0. Alle ihre Lösungen können durch Punkte dargestellt werden Koordinatenebene. Diese Menge von Punkten auf der Ebene wird als Graph der Gleichung f(x; y) = 0 bezeichnet.

Somit ist der Graph der Gleichung y – x 2 = 0 die Parabel y = x 2; der Graph der Gleichung y – x = 0 ist eine Gerade; der Graph der Gleichung y – 3 = 0 ist eine Gerade parallel zur x-Achse usw.

Die gleichung der Form ax + by = c, wobei x und y Variablen und a, b und c Zahlen sind, heißt linear; die Zahlen a, b heißen Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term.

Der Graph der linearen Gleichung ax + by = c lautet:

Wenn die lineare Gleichung ax + by = c die Form 0 ∙ x + 0 ∙ y = c hat, müssen wir zwei Fälle betrachten:

1. c = 0. In diesem Fall erfüllt jedes Paar (x; y) die Gleichung, und daher ist der Graph der Gleichung die gesamte Koordinatenebene;

2. c ≠ 0. In diesem Fall hat die Gleichung keine Lösung, was bedeutet, dass ihr Graph keinen einzigen Punkt enthält.

25. Grafische Lösung von Ungleichungen und Ungleichungssystemen mit zwei Variablen.

Prädikat der Form f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) -Es werden Ausdrücke mit Variablen x und y aufgerufen, die auf der Menge XxY definiert sind Ungleichung mit zwei Variablen (mit zwei Unbekannten) x und y. Es ist klar, dass jede Ungleichung der Form mit zwei Variablen in die Form geschrieben werden kann f(x, y) > 0,ХОХ, du U. Die Ungleichung lösen mit zwei Variablen ist ein Paar von Variablenwerten, das eine Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung umwandelt. Es ist bekannt, dass es sich um ein Paar reeller Zahlen handelt (x, y) Bestimmt eindeutig einen Punkt auf der Koordinatenebene. Dadurch ist es möglich, Lösungen von Ungleichungen oder Ungleichungssystemen mit zwei Variablen geometrisch in Form einer bestimmten Punktmenge auf der Koordinatenebene darzustellen. Wenn Gl. f(x, y)= 0 definiert eine bestimmte Linie auf der Koordinatenebene, dann besteht die Menge der Punkte der Ebene, die nicht auf dieser Linie liegen endliche Zahl Regionen C₁, C 2,...,S p(Abb. 17.8). In jedem der Bereiche C ist die Funktion f(x, y) ist von Null verschieden, weil Punkte, an denen f(x, y)= 0 gehören zu den Grenzen dieser Gebiete

Gleichung einer Geraden

Allgemeine Geradengleichung- eine Gleichung ersten Grades bezüglich der Variablen x und y, d.h. Gleichung der Form Ax+Ву + С = 0, vorausgesetzt, dass die Koeffizienten A und B nicht gleichzeitig gleich Null sind.

Gleichung einer Geraden in Segmenten hat die Form x/a + y/b= 1, wobei A und b - Abszisse bzw. Ordinate der Schnittpunkte der Linie mit den Achsen Oh Und OU.

Gleichung einer Geraden mit Steigung hat die Form y = kx + b, Wo k = tgά - Winkelkoeffizient, gleich Tangente Neigungswinkel der Geraden zur Achse Oh, und b~ Ordinate des Schnittpunktes der Geraden mit der Achse OU

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuftA(x ], y ]) Und B(x 2,y 2), sieht aus wie

(x – x₁) )(x₂ -x₁ )= (y - y₁)/ (y₂ - y₁)

Steigungsfaktor gerade Linie, die durch Punkte gehtA und B, gefunden durch die Formel

k = (y₂ - y₁) / (x₂ -x₁ )

27.Die relative Position von Linien auf einer Ebene

Im Flugzeug sind Linien vorgegeben allgemeine Gleichungen:

Wenn die Bedingungen erfüllt sind , dann fallen die Linien zusammen.

Wenn die Bedingungen erfüllt sind , dann sind die Geraden parallel.

Vektoren - Normalenvektoren gerade Linien bzw.

Wenn Skalarprodukt Vektoren und Verschwinden, d. h. sie sind gerade und senkrecht.

Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Linien und in Koordinatenform:

Zeit und ihre Messung

Zeit- eine der Hauptmengen. Das Erlernen von Zeitmessungen und Zeitorientierung stellt für Kinder erhebliche Schwierigkeiten dar. Die Zeit fließt kontinuierlich, sie kann weder gestoppt noch zurückgegeben werden, daher bereitet die Wahrnehmung von Zeitintervallen und der Vergleich von Ereignissen nach Dauer gewisse Schwierigkeiten.

Zeiträume können verglichen werden.

Zeitintervalle können addiert, subtrahiert und mit einer positiven reellen Zahl multipliziert werden.

Zeitintervalle werden gemessen... Die Zeiteinheit muss ein sich regelmäßig wiederholender Prozess sein. Eine solche Einheit in Internationales System Einheiten benannt zweite.

Ein Jahrhundert ist eine Zeiteinheit, deren Dauer kaum zu spüren ist. Wir müssen Kindern beibringen, zu bestimmen, wie viele ganze Jahrhunderte in einem bestimmten Zeitraum vergangen sind.

Ein Jahr ist ein Zeitraum, der in seiner Dauer der Periode des Umlaufs der Erde um die Sonne nahe kommt. Das Jahr ist durch 12 teilbar Kalendermonate unterschiedlicher Dauer (28, 29, 30, 31 Tage). Das Jahr hat etwa 365 Tage. Ich unterscheide zwischen: Kalender (julianisch, gregorianisch), Mondkalender, Sternkalender, tropisch, drakonisch, anomalistisch.

Ein Monat ist ein Zeitraum, der nahe an der Umlaufperiode des Mondes um die Erde liegt. Der Monat ist in 4 Wochen mit jeweils 7 Tagen unterteilt. Es gibt: Kalender, siderisch, synodisch, drakonisch.

Tage sind Ephemeriden (24 Stunden = 1440 Minuten = 86400 s), Sonnentage, mittlere Sonnentage und Sterntage.

Eine Woche ist eine Zeiteinheit, die 7 Tagen entspricht. Die Woche hat etwa 168 Stunden.

Eine Minute (vom lateinischen minutus – „klein“, „klein“) ist eine Zeiteinheit, die 1/60 einer Stunde entspricht, d.h. 60 Sekunden.

Eine Sekunde (von lateinisch secunda divisio – „zweite Division“) ist eine Zeiteinheit, die 1/60 Minute entspricht.

1 Jahr = 12 Monate = 52 Wochen 1 Monat = 4 Wochen 1 Woche = 7 Tage

1 Tag = 24 Stunden = 1440 Minuten = 86400 Sekunden

1 Stunde = 1/24 Tag = 60 Minuten = 3600 Sekunden

1 Minute = 1/1440 Tage = 1/60 Stunden = 60 Sekunden

1 Sekunde = 1000 Millisekunden

Kalender- Zahlensystem lange Zeiträume Zeit, basierend auf der Periodizität von Naturphänomenen wie dem Wechsel von Tag und Nacht, Veränderungen der Mondphasen und dem Wechsel der Jahreszeiten. Mondkalender; Sonnen-Mond-Kalender; alter Stil»); Gregorianischer Kalender (« ein neuer Stil") usw.

35. Abhängigkeit zwischen Mengen. Die Abhängigkeiten zwischen Größen sind vielfältig. Betrachten wir die Größen, die mit einer gleichmäßigen linearen Bewegung verbunden sind – Zeit, Geschwindigkeit und Entfernung. Die Beziehung zwischen Zeit (t), Geschwindigkeit (v) und Entfernung (S), die ein Körper in einer geraden Linie zurücklegt gleichmäßige Bewegung, kann durch die Formel S = v · t ausgedrückt werden.

Wenn die Bewegung so ist, dass die Geschwindigkeit den gleichen Wert annimmt, ist die Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke von der Zeit direkt proportional, wie sie durch eine Formel der Form ausgedrückt wird.y = kh (S = v t)/ Die Variable x ist die Zeit der Bewegung, und die Variable y ist die zurückgelegte Strecke / Faktor k gibt die Geschwindigkeit der Bewegung an.

Direkt proportionale Abhängigkeit zwischen Zeit und zurückgelegter Strecke hat die Eigenschaft: Je öfter die Bewegungszeit zunimmt (abnimmt), desto mehr erhöht (abnimmt) die zurückgelegte Strecke.

Abhängigkeit der Distanz der geradlinigen gleichförmigen Bewegung von der Zeit (bei konstante Geschwindigkeit) kann auch linear sein, das heißt, es kann durch eine Formel der Form y = kx + b ausgedrückt werden, wobei k und b einige gegebene Zahlen sind

Nimmt man von den Größen S, v, t zwei Größen – Geschwindigkeit und Zeit – unterschiedliche Bedeutungen, und der Abstand konstant ist, dann ist die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Bewegungszeit umgekehrt proportional, da sie durch die Formel y = k: x ausgedrückt werden kann, wobei die Variable x die Bewegungsgeschwindigkeit und die Variable y die ist Zeit der Bewegung (oder umgekehrt), die Konstante k ist die Entfernung, die der Körper zurücklegen muss.

Der umgekehrt proportionale Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Bewegungszeit hat die Eigenschaft: Je öfter die Bewegungsgeschwindigkeit zunimmt (abnimmt), desto mehr nimmt die für die Bewegung aufgewendete Zeit ab (zunimmt).

36. Abhängigkeit zwischen Mengen, Merkmalen von Kauf- und Verkaufsvorgängen

37. Geradlinige gleichmäßige Bewegung- Dabei handelt es sich um eine Bewegung, bei der der Körper in gleichen Zeiträumen die gleiche Strecke zurücklegt.

Gleichmäßige Bewegung- Dies ist die Bewegung eines Körpers, bei der seine Geschwindigkeit konstant bleibt (), das heißt, er bewegt sich immer mit der gleichen Geschwindigkeit und es erfolgt keine Beschleunigung oder Verzögerung ().

Geradlinige Bewegung- Dies ist die Bewegung eines Körpers in einer geraden Linie, das heißt, die Flugbahn, die wir erhalten, ist gerade.

Hängt nicht von der Zeit ab und ist an jedem Punkt der Flugbahn auf die gleiche Weise gerichtet wie die Bewegung des Körpers. Das heißt, der Geschwindigkeitsvektor fällt mit dem Verschiebungsvektor zusammen. Mit all dem Durchschnittsgeschwindigkeit zu jedem Zeitintervall ist gleich der Anfangs- und Momentangeschwindigkeit:

Geschwindigkeit gleichmäßig geradlinige Bewegung - es ist körperlich Anzahl der Vektoren, gleich dem Verhältnis Bewegung des Körpers über einen beliebigen Zeitraum bis zum Wert dieses Intervalls t:

Aus dieser Formel. Wir können die Verschiebung eines Körpers bei gleichförmiger Bewegung leicht ausdrücken:

38. Winkel- Das geometrische Figur, der aus einem Punkt und zwei von diesem Punkt ausgehenden Strahlen besteht. Die Strahlen heißen Seiten des Winkels, und ihre allgemeiner Anfang – oben in der Ecke.

Der Winkel heißt erweitert, wenn beide Seiten auf derselben Geraden liegen. Wir können sagen, dass jede Seite eines geraden Winkels eine Fortsetzung der anderen Seite ist.

Der Winkel heißt Direkte, wenn es gleich 90° ist, scharf, wenn es weniger ist rechter Winkel, d.h. weniger als 90°, dumm, wenn es mehr als 90°, aber weniger als 180° beträgt, d.h. mehr als ein rechter Winkel, aber weniger als ein gerader Winkel.

Man nennt zwei Winkel, bei denen eine Seite gemeinsam ist und die beiden anderen Fortsetzungen voneinander sind benachbart.

Summe angrenzende Ecken gleich 180°.

Die beiden Winkel werden aufgerufen Vertikale, wenn die Seiten eines Winkels Fortsetzungen der Seiten des anderen sind.

39. Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf derselben Geraden liegen, und drei Segmente diese drei Punkte verbinden.

Elemente: Seiten, Winkel, Höhen, Winkelhalbierende, Mittellinien, Mittellinien.

Höhe Ein von einem bestimmten Scheitelpunkt fallendes Dreieck wird als Senkrechte bezeichnet, die von diesem Scheitelpunkt zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.

Median eines Dreiecks ist ein Segment, das den Scheitelpunkt eines Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite dieses Dreiecks verbindet.

Eigenschaften:

1. Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

2. Die Mittellinien eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der sie jeweils im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.

3. Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleiche Bereiche unterteilt Dreiecke.

Winkelhalbierende - Es ist ein Strahl, der von seiner Spitze ausgeht, zwischen seinen Seiten verläuft und sich teilt angegebenen Winkel entzwei. Winkelhalbierende eines Dreiecks wird als Winkelhalbierende eines Winkels eines Dreiecks bezeichnet, der einen Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite dieses Dreiecks verbindet.

Eigenschaften

1. Die Winkelhalbierende ist Ort Punkte, die von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt sind.

2. Winkelhalbierende Innenecke eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten: .

3. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.

Höhe

Höhe eines Dreiecks ist die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Dreiecks zur enthaltenden Linie gezogen wird die gegenüberliegende Seite dieses Dreieck.

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Erstellungsdatum der Seite: 08.08.2016

Betrachten wir ein kleines Problem, das häufig in verschiedenen Magazinen und Tricks zu finden ist.

Der Zauberer bietet an, Ihnen eine bestimmte Zahl zu wünschen. Als nächstes bittet er darum, es mit drei zu multiplizieren und sechs zum Ergebnis zu addieren. Dann bittet er darum, den resultierenden Betrag durch drei zu dividieren und die resultierende Zahl vom Ergebnis abzuziehen. Dann sagt er Ihnen die richtige Antwort.

Wie kann das passieren, ist das wirklich Magie?

Nein, eigentlich ist alles einfacher. Denken wir an die Zahl 5. Führen wir nun alle Aktionen aus, die uns der Zauberer vorgeschlagen hat.

1. 5*3=15.
2. 15+6=21.
3. 21:3=7.
4. 7-5=2.

Als Antwort erhielten wir eine Zwei. Wir könnten dieselbe Lösung als numerischen Ausdruck (5*3+6) schreiben: 3 - 5. Und sein Wert wäre die Zahl 2.

Nehmen wir an, wir haben an die Zahl 3 gedacht. Das Ergebnis wäre ein numerischer Ausdruck (3*3+6): 3 - 3. Und sein Wert wäre die Zahl 2.

Wieder zwei. Es kommt auf den Gedanken, dass es hier keinen Trick gibt und wir auf jeden Fall die Nummer 2 erhalten. Versuchen wir dies zu überprüfen. Bezeichnen wir die Zahl, an die wir denken, mit dem Buchstaben x und schreiben wir alle Aktionen, die der Zauberer verlangt hat, in der erforderlichen Reihenfolge auf.

Wir erhalten (x*3+6):3 -x.

(x*3+6):3 –x = x+2-x=2.

Es stellt sich heraus, dass die Zahl, die wir im Auge haben, überhaupt keine Rolle spielt; sie wird auf jeden Fall reduziert.

Bei der Analyse des Problems haben wir den Ausdruck (x * 3 + 6): 3 – x erhalten, der mit einem Buchstaben geschrieben wird, der eine beliebige Zahl, die Zahlen 3 und 6, Klammern und Aktionszeichen bezeichnet. Ein solcher Ausdruck wird algebraischer Ausdruck oder Ausdruck mit einer Variablen genannt.

Definieren eines Ausdrucks mit einer Variablen

Als algebraischer Ausdruck oder Ausdruck mit einer Variablen wird jede sinnvolle Notation bezeichnet, die aus Buchstaben besteht, die eine beliebige Zahl, Zahlen und Aktionszeichen bezeichnen.

Folgende Einträge wären beispielsweise algebraische Ausdrücke:

2*(x+y),
34*a-13*a*x,
(123-65*a):3 +4.

Wenn wir anstelle jedes Buchstabens, der in einem algebraischen Ausdruck enthalten ist, einige ersetzen Zahlenwert, und führen Sie dann alle Aktionen aus. Das Ergebnis ist eine bestimmte Zahl. Diese Nummer wird angerufen der Wert eines algebraischen Ausdrucks.

Beispielsweise ist der Wert des algebraischen Ausdrucks 5*a+2*x-7 mit a=2 und x=3 die Zahl 9, da 5*2+2*3 -7 = 9.

In dem Problem, das wir zu Beginn betrachtet haben, ist der Wert des algebraischen Ausdrucks (x*3+6):3 – x die Zahl 2, für jeden Wert der Variablen x.

Typ