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Grafische Lösung komplexer Gleichungen. Vortrag in Mathematik zum Thema „Problemlösung mit Funktionsgraphen“. Lösen durch grafische Darstellung einer linearen Funktion

Systeme rationaler Ungleichheiten

Unterrichtstext

Zusammenfassung [Bezdenezhnykh L.V.]

Algebra, 9. Klasse UMK: A.G. Mordkovich. Algebra. 9.Klasse. Um 2 Uhr Teil 1. Lehrbuch; Teil 2. Problembuch; M.: Mnemosyne, 2010 Lernniveau: Grundkenntnisse Unterrichtsthema: Systeme rationaler Ungleichheiten. (Erste Unterrichtsstunde zum Thema, insgesamt sind 3 Stunden für das Studium des Themas vorgesehen) Unterrichtsstunde zum Studium eines neuen Themas. Ziel der Lektion: Wiederholen Sie das Lösen linearer Ungleichungen; die Konzepte eines Systems von Ungleichungen einführen, die Lösung der einfachsten Systeme linearer Ungleichungen erklären; die Fähigkeit entwickeln, Systeme linearer Ungleichungen beliebiger Komplexität zu lösen. Ziele: Pädagogisch: Das Thema auf der Grundlage vorhandener Kenntnisse studieren und festigen praktische Fähigkeiten und Fähigkeiten zur Lösung von Systemen linearer Ungleichungen als Ergebnis unabhängige Arbeit Studenten und Vorlesungs- und Beratungstätigkeiten der am besten vorbereiteten von ihnen. Pädagogisch: Entwicklung kognitives Interesse, Unabhängigkeit des Denkens, Gedächtnis, Eigeninitiative der Studierenden durch den Einsatz kommunikativer und handlungsorientierter Methoden und Elemente des problemorientierten Lernens. Pädagogisch: Bildung Kommunikationsfähigkeit, Kommunikationskultur, Zusammenarbeit. Durchführungsmethoden: - Vorlesung mit Gesprächselementen und problembasiertem Lernen; -Selbstständiges Arbeiten der Studierenden mit theoretischen und praktisches Material laut Lehrbuch; -Entwicklung einer Kultur der Formalisierung von Lösungen für Systeme linearer Ungleichungen. Geplante Ergebnisse: Die Schüler werden sich daran erinnern, wie man lineare Ungleichungen löst, den Schnittpunkt von Lösungen für Ungleichungen auf der Zahlenlinie markieren und lernen, Systeme linearer Ungleichungen zu lösen. Unterrichtsausrüstung: Tafel, Handzettel(Anwendung), Lehrbücher, Arbeitsbücher. Unterrichtsinhalte: 1. Zeit organisieren. Hausaufgaben überprüfen. 2. Wissen aktualisieren. Die Schüler füllen zusammen mit dem Lehrer die Tabelle an der Tafel aus: Intervall der Ungleichungsfigur Unten finden Sie die fertige Tabelle: Intervall der Ungleichungsfigur 3. Mathematische Diktat. Vorbereitung auf die Wahrnehmung eines neuen Themas. 1. Lösen Sie mithilfe einer Beispieltabelle die Ungleichungen: Option 1 Option 2 Option 3 Option 4 2. Lösen Sie die Ungleichungen, zeichnen Sie zwei Bilder auf derselben Achse und prüfen Sie, ob die Zahl 5 die Lösung für zwei Ungleichungen ist: Option 1 Option 2 Option 3 Option 4 4. Erläuterung des neuen Materials . Erläuterung des neuen Materials (S. 40-44): 1. Definieren Sie das System der Ungleichungen (S. 41). Definition: Mehrere Ungleichungen mit einer Variablen x bilden ein Ungleichungssystem, wenn die Aufgabe darin besteht, alle solchen Werte der Variablen zu finden, für die jede der gegebenen Ungleichungen mit der Variablen zu einer korrekten numerischen Ungleichung wird. 2. Stellen Sie das Konzept von Privat und vor gemeinsame Entscheidung Ungleichheitssysteme. Ein solcher Wert von x wird als Lösung (oder besondere Lösung) des Ungleichungssystems bezeichnet. Die Menge aller besonderen Lösungen eines Ungleichheitssystems stellt die allgemeine Lösung des Ungleichheitssystems dar. 3. Betrachten Sie im Lehrbuch die Lösung von Ungleichungssystemen gemäß Beispiel Nr. 3 (a, b, c). 4. Fassen Sie die Argumentation zusammen, indem Sie das System lösen:. 5. Konsolidierung von neuem Material. Lösen Sie Aufgaben aus Nr. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Testarbeit Überprüfen Sie die Aufnahme von neuem Stoff durch aktive Mithilfe bei der Lösung von Aufgaben gemäß den Optionen: Option 1 a, c Nr. 4.6, 4.8 Option 2 b, d Nr. 4.6, 4.8 7. Zusammenfassung. Reflexion Welche neuen Konzepte haben Sie heute gelernt? Haben Sie gelernt, Lösungen für ein System linearer Ungleichungen zu finden? Was ist Ihnen am besten gelungen, welche Aspekte wurden am erfolgreichsten umgesetzt? 8. Hausaufgaben: Nr. 4.5, 4.7.; Theorie im Lehrbuch S. 40-44; Für Studierende mit erhöhter Motivation Nr. 4.23 (c, d). Anwendung. Option 1. Ungleichheitszeichnungsintervall 2. Lösen Sie die Ungleichungen, zeichnen Sie zwei Zeichnungen auf derselben Achse und prüfen Sie, ob die Zahl 5 die Lösung für zwei Ungleichungen ist: Ungleichheitszeichnung Antwort auf die Frage. Option 2. Ungleichheitszeichnungsintervall 2. Lösen Sie die Ungleichungen, zeichnen Sie zwei Zeichnungen auf derselben Achse und prüfen Sie, ob die Zahl 5 die Lösung für zwei Ungleichungen ist: Ungleichheitszeichnung Antwort auf die Frage. Option 3. Ungleichheitszeichnungsintervall 2. Lösen Sie die Ungleichungen, zeichnen Sie zwei Zeichnungen auf derselben Achse und prüfen Sie, ob die Zahl 5 die Lösung für zwei Ungleichungen ist: Ungleichheitszeichnung Antwort auf die Frage. Option 4. Ungleichheitszeichnungsintervall 2. Lösen Sie die Ungleichungen, zeichnen Sie zwei Zeichnungen auf derselben Achse und prüfen Sie, ob die Zahl 5 die Lösung für zwei Ungleichungen ist: Ungleichheitszeichnung Antwort auf die Frage.
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Lektionsnotizen 2-4 [Zvereva L.P.]

Algebra 9. Klasse UMK: ALGEBRA-9. KLASSE, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonow, 2014. Niveau - Grundlernen Thema der Lektion: Systeme rationaler Ungleichheiten Gesamtzahl der für das Studium des Themas vorgesehenen Stunden - 4 Stunden Ort der Lektion im Unterrichtssystem zum Thema Lektion Nr. 2; Nr. 3; Nummer 4. Zweck der Lektion: Den Schülern beizubringen, wie man Ungleichungssysteme erstellt, und wie man vorgefertigte Systeme löst, die vom Autor des Lehrbuchs vorgeschlagen wurden. Ziele des Unterrichts: Die Fähigkeiten entwickeln: Ungleichungssysteme frei analytisch lösen zu können und auch in der Lage zu sein, die Lösung auf die Koordinatenlinie zu übertragen, um die Antwort richtig zu schreiben, selbstständig mit dem gegebenen Material zu arbeiten. .Geplante Ergebnisse: Die Studierenden sollen in der Lage sein, vorgefertigte Systeme zu lösen sowie Ungleichungssysteme auf Basis der Textbedingungen der Aufgaben zu erstellen und das kompilierte Modell zu lösen. Technische Unterstützung für den Unterricht: UMK: ALGEBRA-9TH CLASS, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semjonow. Arbeitsbuch, Projektor zur Durchführung geistiges Zählen, Ausdrucke zusätzliche Aufgaben für starke Schüler. Zusätzliche methodische und didaktische Unterstützung für den Unterricht (Links zu Internetressourcen sind möglich): 1. Handbuch N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova „Ausbildung von Rechenkompetenzen im Mathematikunterricht, Klassen 5-9“ 2.G.G. Levitas „Mathematische Diktate“ Klassen 7-11,3. T.G. Gulina „Mathematischer Simulator“ 5-11 (4 Schwierigkeitsgrade) Mathematiklehrer: Zvereva L.P. Lektion Nr. 2 Ziele: Entwicklung von Fähigkeiten zur Lösung eines Systems rationaler Ungleichungen unter Verwendung geometrischer Interpretation zur Veranschaulichung des Lösungsergebnisses. Unterrichtsfortschritt 1. Organisatorischer Moment: Die Klasse auf die Arbeit vorbereiten, Thema und Zweck der Unterrichtsstunde kommunizieren 11 Hausaufgaben überprüfen 1. Theoretischer Teil: * Was ist die analytische Aufzeichnung einer rationalen Ungleichung? * Was ist die analytische Aufzeichnung eines Systems rationaler Ungleichungen? * Was bedeutet es, ein System von Ungleichungen zu lösen? 2. Praktischer Teil: *Lösen Sie die Aufgaben an der Tafel, die den Schülern Schwierigkeiten bereitet haben. Während der Hausaufgaben II1 Übungen machen. 1.Wiederholen Sie die Methoden zur Faktorisierung eines Polynoms. 2. Wiederholen Sie die Intervallmethode zum Lösen von Ungleichungen. 3. Lösen Sie das System. Die Lösung wird vom starken Schüler an der Tafel unter Aufsicht des Lehrers geleitet. 1) Lösen wir die Ungleichung 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х> 5; X< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Die Lösung dieses Ungleichungssystems x> Antwort: x> 6. Lösen Sie Nr. 4.10 (c) an der Tafel und in Heften. Lösen wir die Ungleichung 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> – 2, dann – 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Wiederholung von zuvor gelerntem Material. Lösen Sie Nr. 2.33. Die anfängliche Geschwindigkeit des Radfahrers sei x km/h, nach der Verringerung beträgt sie (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; dann x2 – 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 erfüllt nicht die Bedeutung des Problems. ANTWORT: 15 km/h; 12 km/h. IV. Fazit aus der Lektion: In der Lektion haben wir gelernt, Ungleichungssysteme komplexer Art zu lösen, insbesondere mit einem Modul, und haben uns an selbstständigem Arbeiten versucht. Zeichen setzen. Hausaufgabe: Vervollständigen Sie den Hausaufgabentest Nr. 1 von Nr. 7 bis Nr. 10 auf S. 32–33, Nr. 4.34 (a; b), Nr. 4.35 (a; b). Lektion 4 Vorbereitung auf den Test Ziele: Zusammenfassen und Systematisieren des untersuchten Materials, Vorbereitung der Schüler auf den Test zum Thema „Systeme rationaler Ungleichheiten“. Unterrichtsfortschritt 1. Organisatorischer Moment: Einrichten der Klasse für die Arbeit, Vermittlung des Themas und der Ziele von der Unterricht. 11.Wiederholung des gelernten Materials. *Was bedeutet es, ein System von Ungleichungen zu lösen? *Was ist das Ergebnis der Lösung eines Systems rationaler Ungleichungen? 1. Sammeln Sie Zettel aus Ihrer Hausaufgabe. 2. Welche Regeln werden beim Lösen von Ungleichungen verwendet? Erklären Sie die Lösung der Ungleichungen: a) 3x – 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Formulieren Sie die Definition eines Ungleichungssystems mit zwei Variablen. Was bedeutet es, ein System von Ungleichungen zu lösen? 5. Welche Intervallmethode wird aktiv zur Lösung rationaler Ungleichungen eingesetzt? Erklären Sie dies am Beispiel der Lösung der Ungleichung: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Trainingsübungen. 1. Lösen Sie die Ungleichung: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> – 2. Dies entspricht weder Aufgabe a) noch Aufgabe b). Dies bedeutet, dass wir annehmen können, dass p ≠ 2 ist, d. h. die gegebene Ungleichung ist quadratisch. a) Eine quadratische Ungleichung der Form ax2 + bx + c> 0 hat keine Lösungen, wenn a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 ist für alle Werte von x erfüllt, wenn a > 0 und D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Zusammenfassung der Lektion. Sie müssen den gesamten Stoff, den Sie zu Hause gelernt haben, noch einmal durchgehen und sich auf den Test vorbereiten. Hausaufgaben: Nr. 1.21 (b; d), Nr. 2.15 (c; d); Nr. 4.14 (g), Nr. 4.28 (g); Nr. 4.19 (a), Nr. 4.33 (d).

Wir suchen weiterhin nach Möglichkeiten, Ungleichungen zu lösen, die eine Variable betreffen. Wir haben bereits lineare und quadratische Ungleichungen untersucht, die Spezialfälle rationaler Ungleichungen sind. In diesem Artikel klären wir, welche Arten von Ungleichungen als rational gelten, und erklären Ihnen, in welche Arten sie unterteilt werden (ganzzahlige und gebrochene). Anschließend zeigen wir, wie man diese richtig löst, die notwendigen Algorithmen bereitstellt und konkrete Probleme analysiert.

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Das Konzept der rationalen Gleichheiten

Wenn sie sich in der Schule mit dem Thema der Lösung von Ungleichheiten befassen, fallen ihnen sofort rationale Ungleichheiten ein. Sie erwerben und verfeinern Fähigkeiten im Umgang mit dieser Ausdrucksform. Lassen Sie uns die Definition dieses Konzepts formulieren:

Definition 1

Eine rationale Ungleichung ist eine Ungleichung mit Variablen, die in beiden Teilen rationale Ausdrücke enthält.

Beachten Sie, dass die Definition keinerlei Einfluss auf die Frage nach der Anzahl der Variablen hat, es also beliebig viele davon geben kann. Daher sind rationale Ungleichungen mit 1, 2, 3 oder mehr Variablen möglich. Meistens muss man es mit Ausdrücken zu tun haben, die nur eine Variable enthalten, seltener zwei, und Ungleichungen mit einer großen Anzahl von Variablen liegen normalerweise innerhalb des Rahmens Schulkurs werden überhaupt nicht berücksichtigt.

Somit können wir eine rationale Ungleichung erkennen, indem wir ihre Schrift betrachten. Es sollte sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite rationale Ausdrücke enthalten. Hier sind einige Beispiele:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Aber hier liegt eine Ungleichung der Form 5 + x + 1 vor< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Alle rationalen Ungleichungen werden in ganze und gebrochene Ungleichungen unterteilt.

Definition 2

Die gesamte rationale Gleichheit besteht aus ganzen rationalen Ausdrücken (in beiden Teilen).

Definition 3

Bruchteil der rationalen Gleichheit ist eine Gleichheit, die in einem oder beiden Teilen einen Bruchausdruck enthält.

Beispielsweise sind Ungleichungen der Form 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 und 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 gebrochenes rationales und 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y) Und 1: x + 3 > 0- ganz.

Wir haben analysiert, was rationale Ungleichheiten sind, und ihre Haupttypen identifiziert. Wir können mit der Überprüfung der Lösungsmöglichkeiten fortfahren.

Nehmen wir an, wir müssen Lösungen für eine ganze rationale Ungleichheit finden r(x)< s (x) , die nur eine Variable x enthält. Dabei r(x) Und s(x) stellen beliebige ganze Zahlen dar Rationale Zahlen oder Ausdrücke, und das Ungleichheitszeichen kann unterschiedlich sein. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir es transformieren und eine äquivalente Gleichheit erhalten.

Beginnen wir damit, den Ausdruck von der rechten Seite nach links zu verschieben. Wir erhalten Folgendes:

der Form r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Wir wissen das r (x) − s (x) wird ein ganzzahliger Wert sein und jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom umgewandelt werden. Lasst uns transformieren r (x) − s (x) im h(x). Dieser Ausdruck wird identisch sein gleiches Polynom. Bedenkt man, dass r (x) − s (x) und h (x) eine Region haben akzeptable Werte x gleich ist, können wir zu den Ungleichungen h (x) übergehen< 0 (≤ , >, ≥), was dem Original entspricht.

Oftmals ist dies der Fall einfache Konvertierung wird ausreichen, um die Ungleichung zu lösen, da das Ergebnis linear sein kann oder quadratische Ungleichung, dessen Wert leicht zu berechnen ist. Lassen Sie uns solche Probleme analysieren.

Beispiel 1

Zustand: Lösen Sie eine ganze rationale Ungleichung x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Lösung

Beginnen wir damit, den Ausdruck mit dem umgekehrten Vorzeichen von der rechten Seite nach links zu verschieben.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Nachdem wir nun alle Operationen mit den Polynomen auf der linken Seite abgeschlossen haben, können wir mit fortfahren lineare Ungleichung 3 x − 2 ≤ 0, entspricht dem, was in der Bedingung angegeben wurde. Es ist einfach zu lösen:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Antwort: x ≤ 2 3 .

Beispiel 2

Zustand: Finden Sie die Lösung für die Ungleichung (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).

Lösung

Wir übertragen den Ausdruck von der linken Seite auf die rechte Seite und führen weitere Transformationen mit abgekürzten Multiplikationsformeln durch.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Als Ergebnis unserer Transformationen haben wir eine Ungleichung erhalten, die für alle Werte von x gilt, daher kann die Lösung der ursprünglichen Ungleichung jede reelle Zahl sein.

Antwort: eigentlich jede Zahl.

Beispiel 3

Zustand: Lösen Sie die Ungleichung x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

Lösung

Wir werden nichts von der rechten Seite übertragen, da dort 0 steht. Beginnen wir gleich damit, die linke Seite in ein Polynom umzuwandeln:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Wir haben eine zur ursprünglichen äquivalente quadratische Ungleichung abgeleitet, die mit mehreren Methoden leicht gelöst werden kann. Lassen Sie uns eine grafische Methode verwenden.

Beginnen wir mit der Berechnung der Wurzeln des quadratischen Trinoms − 2 x 2 + 11 x + 6:

D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6

Nun markieren wir im Diagramm alle notwendigen Nullen. Da der führende Koeffizient kleiner als Null ist, zeigen die Äste der Parabel im Diagramm nach unten.

Wir benötigen den Bereich der Parabel oberhalb der x-Achse, da wir in der Ungleichung ein >-Zeichen haben. Das erforderliche Intervall beträgt (− 0 , 5 , 6) Daher wird dieser Wertebereich die Lösung sein, die wir brauchen.

Antwort: (− 0 , 5 , 6) .

Da sind mehr komplexe Fälle, wenn auf der linken Seite ein Polynom von einem Drittel oder mehr erhalten wird hochgradig. Um eine solche Ungleichung zu lösen, wird empfohlen, die Intervallmethode zu verwenden. Zuerst berechnen wir alle Wurzeln des Polynoms h(x), was am häufigsten durch Faktorisieren eines Polynoms erfolgt.

Beispiel 4

Zustand: Berechnung (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Lösung

Beginnen wir wie immer damit, den Ausdruck auf die linke Seite zu verschieben. Anschließend müssen wir die Klammern erweitern und umwandeln ähnliche Begriffe.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Als Ergebnis der Transformationen erhielten wir eine der ursprünglichen Gleichheit, auf deren linken Seite sich ein Polynom dritten Grades befindet. Lassen Sie uns die Intervallmethode verwenden, um es zu lösen.

Zuerst berechnen wir die Wurzeln des Polynoms, nach dem wir auflösen müssen kubische Gleichung x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Hat es rationale Wurzeln? Sie können nur unter den Teilern des freien Termes liegen, d.h. unter den Zahlen ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Setzen wir sie einzeln in die ursprüngliche Gleichung ein und finden wir heraus, dass die Zahlen 1, 2 und 3 ihre Wurzeln sein werden.

Also das Polynom x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 kann als Produkt beschrieben werden (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) und Ungleichheit x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 kann dargestellt werden als (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Mit einer solchen Ungleichung wird es uns dann leichter fallen, die Vorzeichen auf den Intervallen zu bestimmen.

Als nächstes führen wir die restlichen Schritte durch Intervallmethode: Zeichne einen Zahlenstrahl und zeige darauf mit den Koordinaten 1, 2, 3. Sie unterteilen die Gerade in 4 Intervalle, in denen sie die Vorzeichen bestimmen müssen. Schattieren wir die Intervalle mit einem Minus, da die ursprüngliche Ungleichung das Vorzeichen hat < .

Alles was wir tun müssen, ist die fertige Antwort aufzuschreiben: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Antwort: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Gehen Sie in manchen Fällen von der Ungleichung r (x) − s (x) aus< 0 (≤ , >, ≥) nach h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , wo h(x)– ein Polynom mit einem höheren Grad als 2, unangemessen. Dies erstreckt sich auf Fälle, in denen r (x) − s (x) als Produkt linearer Binome und dargestellt wird quadratische Trinome einfacher als die Zerlegung von h(x) in einzelne Faktoren. Schauen wir uns dieses Problem an.

Beispiel 5

Zustand: Finden Sie die Lösung für die Ungleichung (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

Lösung

Diese Ungleichung gilt für ganze Zahlen. Wenn wir den Ausdruck von rechts nach links verschieben, die Klammern öffnen und eine Reduktion der Terme durchführen, erhalten wir x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Eine solche Ungleichung zu lösen ist nicht einfach, da man nach den Wurzeln eines Polynoms vierten Grades suchen muss. Es hat keine rationale Wurzel(so, 1, − 1, 19 oder − 19 sind nicht geeignet) und es ist schwierig, nach anderen Wurzeln zu suchen. Das bedeutet, dass wir diese Methode nicht verwenden können.

Aber es gibt auch andere Lösungen. Wenn wir die Ausdrücke von der rechten Seite der ursprünglichen Ungleichung nach links verschieben, können wir eine Klammerung durchführen gemeinsamer Multiplikator x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Wir haben eine der ursprünglichen Ungleichung äquivalente Ungleichung erhalten, deren Lösung uns die gewünschte Antwort liefern wird. Suchen wir die Nullstellen des Ausdrucks auf der linken Seite, nach denen wir auflösen quadratische Gleichungen x 2 − 2 x − 1 = 0 Und x 2 − 2 x − 19 = 0. Ihre Wurzeln sind 1 ± 2, 1 ± 2 5. Wir gehen weiter zur Gleichheit x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, die mit der Intervallmethode gelöst werden kann:

Gemäß der Abbildung lautet die Antwort - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.

Antwort: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Fügen wir hinzu, dass es manchmal nicht möglich ist, alle Wurzeln eines Polynoms zu finden h(x) Daher können wir es nicht als Produkt linearer Binome und quadratischer Trinome darstellen. Dann lösen Sie eine Ungleichung der Form h (x)< 0 (≤ , >, ≥) können wir nicht, was bedeutet, dass es auch unmöglich ist, die ursprüngliche rationale Ungleichung zu lösen.

Angenommen, wir müssen gebrochenrationale Ungleichungen der Form r (x) lösen.< s (x) (≤ , >, ≥) , wobei r (x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, x ist eine Variable. Zumindest einer davon angegebene Ausdrücke wird gebrochen sein. Der Lösungsalgorithmus sieht in diesem Fall wie folgt aus:

Wir bestimmen den Bereich zulässiger Werte der Variablen x.
Wir verschieben den Ausdruck von der rechten Seite der Ungleichung nach links und den resultierenden Ausdruck r (x) − s (x) Stellen Sie es als Bruch dar. Außerdem, wo p(x) Und q(x) werden ganzzahlige Ausdrücke sein, die Produkte linearer Binome, unzerlegbarer quadratischer Trinome sowie Potenzen mit einem natürlichen Exponenten sind.
Als nächstes lösen wir die resultierende Ungleichung mit der Intervallmethode.
Der letzte Schritt besteht darin, die während der Lösung erhaltenen Punkte aus dem Bereich akzeptabler Werte der Variablen x auszuschließen, die wir zu Beginn definiert haben.

Dies ist der Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Ungleichungen. Großer Teil Es ist klar; kleine Erläuterungen sind nur für Absatz 2 erforderlich. Wir haben den Ausdruck von der rechten Seite nach links verschoben und erhalten r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) und wie man es dann in die Form p (x) q (x) bringt< 0 (≤ , > , ≥) ?

Lassen Sie uns zunächst feststellen, ob diese Transformation immer durchgeführt werden kann. Theoretisch besteht eine solche Möglichkeit immer, da in rationaler Bruch Sie können jedes konvertieren rationaler Ausdruck. Hier haben wir einen Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Erinnern wir uns an den Grundsatz der Algebra und den Satz von Bezout und stellen wir fest, dass jedes Polynom vom Grad n, das eine Variable enthält, in ein Produkt linearer Binome umgewandelt werden kann. Daher können wir den Ausdruck theoretisch immer auf diese Weise umwandeln.

In der Praxis ist die Faktorisierung von Polynomen oft recht einfach schwierige Aufgabe, insbesondere wenn der Abschluss höher als 4 ist. Wenn wir die Erweiterung nicht durchführen können, können wir diese Ungleichung nicht lösen, aber solche Probleme werden normalerweise nicht in Schulkursen behandelt.

Als nächstes müssen wir entscheiden, ob die resultierende Ungleichung p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) äquivalent bezüglich r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) und zum Original. Es besteht die Möglichkeit, dass es sich als ungleich herausstellt.

Die Äquivalenz der Ungleichung wird gewährleistet, wenn der Bereich akzeptabler Werte liegt p(x)q(x) entspricht dem Ausdrucksbereich r (x) − s (x). Dann muss der letzte Punkt der Anleitung zur Lösung gebrochener rationaler Ungleichungen nicht befolgt werden.

Aber der Wertebereich für p(x)q(x) kann breiter sein als r (x) − s (x), zum Beispiel durch Reduzierung von Brüchen. Ein Beispiel wäre der Übergang von x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 zu x · x - 1 x + 3 . Oder dies kann passieren, wenn ähnliche Begriffe verwendet werden, zum Beispiel hier:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 bis 1 x + 3

Für solche Fälle wurde der letzte Schritt des Algorithmus hinzugefügt. Durch die Ausführung werden Sie überflüssige Variablenwerte los, die durch die Erweiterung des Bereichs akzeptabler Werte entstehen. Nehmen wir ein paar Beispiele, um klarer zu machen, wovon wir sprechen.

Beispiel 6

Zustand: Finden Sie Lösungen für die rationale Gleichheit x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Lösung

Wir handeln nach dem oben angegebenen Algorithmus. Zuerst bestimmen wir den Bereich akzeptabler Werte. IN in diesem Fall es wird durch das Ungleichungssystem x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 bestimmt, dessen Lösung die Menge (− ∞, − 1) ist ∪ (− 1, 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Danach müssen wir es so transformieren, dass es bequem ist, die Intervallmethode anzuwenden. Zunächst einmal geben wir algebraische Brüche auf das Geringste gemeinsamer Nenner (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Wir kollabieren den Ausdruck im Zähler mit der Formel für das Quadrat der Summe:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Der Bereich akzeptabler Werte des resultierenden Ausdrucks ist (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Wir sehen, dass es dem ähnelt, was für die ursprüngliche Gleichheit definiert wurde. Wir kommen zu dem Schluss, dass die Ungleichung x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 der ursprünglichen Ungleichung entspricht, was bedeutet, dass wir den letzten Schritt des Algorithmus nicht benötigen.

Wir verwenden die Intervallmethode:

Wir sehen die Lösung ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), die die Lösung der ursprünglichen rationalen Ungleichung x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - sein wird 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Antwort: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Beispiel 7

Zustand: Berechnen Sie die Lösung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Lösung

Wir bestimmen den Bereich akzeptabler Werte. Im Fall dieser Ungleichung ist sie gleich allen reellen Zahlen außer − 2, − 1, 0 und 1 .

Wir verschieben die Ausdrücke von der rechten Seite nach links:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Unter Berücksichtigung des Ergebnisses schreiben wir:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Für den Ausdruck - 1 x - 1 ist der Bereich gültiger Werte die Menge aller reale Nummern, mit Ausnahme von einem. Wir sehen, dass sich der Wertebereich erweitert hat: − 2 , − 1 und 0 . Das bedeutet, dass wir den letzten Schritt des Algorithmus ausführen müssen.

Da wir zu der Ungleichung - 1 x - 1 > 0 gekommen sind, können wir ihr Äquivalent 1 x - 1 schreiben< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Wir schließen Punkte aus, die nicht im Bereich akzeptabler Werte der ursprünglichen Gleichheit liegen. Wir müssen aus (− ∞ , 1) die Zahlen − 2 , − 1 und ausschließen 0 . Somit ist die Lösung der rationalen Ungleichung x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 die Werte (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Antwort: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Abschließend geben wir ein weiteres Beispiel für ein Problem, bei dem die endgültige Antwort vom Bereich akzeptabler Werte abhängt.

Beispiel 8

Zustand: Finden Sie die Lösung der Ungleichung 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.

Lösung

Der Bereich der zulässigen Werte der in der Bedingung angegebenen Ungleichung wird durch das System x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - bestimmt 1 x - 1 ≠ 0.

Dieses System hat keine Lösungen, weil

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Das bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichheit 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 – x + 1 – x 2 – 1 x – 1 ≥ 0 keine Lösung hat, da es keine Werte der Variablen gibt, für die sie gelten würde Sinn.

Antwort: es gibt keine Lösungen.

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Unterrichtsthema „Systeme rationaler Ungleichungen lösen“

Klasse 10

Unterrichtstyp: Suche

Ziel: Wege finden, Ungleichungen mit dem Modul zu lösen und die Intervallmethode in einer neuen Situation anzuwenden.

Lernziele:

Testen Sie Ihre Fähigkeiten bei der Lösung rationaler Ungleichungen und ihrer Systeme; - den Schülern die Möglichkeit zeigen, die Intervallmethode bei der Lösung von Ungleichungen mit Modul zu verwenden;

Lehren Sie, logisch zu denken;

Entwickeln Sie die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung Ihrer Arbeit;

Lernen Sie, Ihre Gedanken auszudrücken

Lernen Sie, Ihren Standpunkt mit Vernunft zu verteidigen;

Um bei den Schülern ein positives Lernmotiv zu bilden;

Entwickeln Sie die Unabhängigkeit der Schüler.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren(1 Minute)

Hallo, heute werden wir uns weiter mit dem Thema „System rationaler Ungleichheiten“ befassen und unser Wissen und unsere Fähigkeiten in einer neuen Situation anwenden.

Notieren Sie Datum und Thema der Lektion „Systeme rationaler Ungleichungen lösen“. Heute lade ich Sie zu einer Reise durch die Straßen der Mathematik ein, wo Prüfungen auf Sie warten, ein Krafttest. Auf Ihren Schreibtischen liegen Straßenkarten mit Aufgaben, einem Selbsteinschätzungs-Reiseblatt, das Du mir (dem Disponenten) am Ende der Reise übergibst.

Das Motto der Reise wird der Aphorismus sein: „Wer geht, kann den Weg meistern, aber wer in Mathematik denkt.“. Nehmen Sie Ihr Wissen mit. Anmachen Denkprozess und los geht's. Unterwegs werden wir von einem Straßenradio begleitet.Ein Musikfragment erklingt (1 Min.). Dann ertönt ein scharfes Signal.

II. Wissenstestphase. In Gruppen arbeiten.„Gepäckkontrolle“

Hier kommt der erste Gepäckkontrolle-Test, bei dem Ihr Wissen zu diesem Thema getestet wird

Nun werden Sie in Gruppen von 3 oder 4 Personen eingeteilt. Jeder hat ein Blatt Papier mit einer Aufgabe auf seinem Schreibtisch. Verteilen Sie diese Aufgaben untereinander, lösen Sie sie, allgemeines Blatt Schreiben Sie Ihre Antworten auf. Eine Gruppe von 3 Personen wählt 3 beliebige Aufgaben aus. Wer alle Aufgaben erledigt, meldet dies dem Lehrer. Ich oder meine Assistenten überprüfen die Antworten und wenn mindestens eine Antwort falsch ist, erhält die Gruppe ein Blatt zur erneuten Überprüfung zurück. (Kinder sehen die Antworten nicht, ihnen wird nur gesagt, welche Aufgabe die falsche Antwort hat).Sieger ist die Gruppe, die als erste alle Aufgaben fehlerfrei erledigt. Vorwärts zum Sieg.

Die Musik ist sehr leise.

Wenn zwei oder drei Gruppen ihre Arbeit gleichzeitig beenden, hilft eines der Kinder der anderen Gruppe der Lehrkraft bei der Kontrolle. Antworten auf dem Lehrerblatt (4 Exemplare).

Die Arbeit wird beendet, wenn die Gewinnergruppe erscheint.

Vergessen Sie nicht, das Arbeitsblatt zur Selbsteinschätzung auszufüllen. Und wir machen weiter.

Aufgabenblatt „Gepäckkontrolle“

1) 3)

2) 4)

III. Die Phase der Wissensaktualisierung und der Entdeckung neuen Wissens. „Heureka“

Die Inspektion hat gezeigt, dass Sie über umfangreiche Kenntnisse verfügen.

Aber unterwegs passieren die verschiedensten Situationen, manchmal ist Einfallsreichtum gefragt und wir prüfen, ob Sie vergessen haben, es mitzunehmen.

Sie haben gelernt, Systeme rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode zu lösen. Heute schauen wir uns an, bei welchen Problemen es ratsam ist, diese Methode anzuwenden. Aber erinnern wir uns zunächst daran, was ein Modul ist.

1. Setzen Sie die Sätze „Der Modul einer Zahl ist gleich der Zahl selbst, wenn...“ fort.(oral)

„Der Modul der Zahl ist gegensätzliche Nummer, Wenn..."

2. Sei A(X) ein Polynom in x

Aufnahme fortsetzen:

Antwort:

Schreiben Sie den entgegengesetzten Ausdruck von A(x) auf.

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Der Schüler schreibt an die Tafel, die Jungs schreiben in ihre Hefte.

3. Versuchen wir nun, eine Lösung zu finden quadratische Ungleichung mit Modul

Was sind Ihre Vorschläge zur Lösung dieser Ungleichheit?

Hören Sie sich die Vorschläge der Jungs an.

Wenn es keine Vorschläge gibt, stellen Sie die Frage: „Kann diese Ungleichheit durch Ungleichheitssysteme gelöst werden?“

Der Student kommt heraus und entscheidet.

IV. Die Phase der primären Konsolidierung neuen Wissens, die Erstellung eines Lösungsalgorithmus. Gepäckauffüllung.

(Arbeiten Sie in Gruppen von 4 Personen).

Jetzt schlage ich vor, dass Sie Ihr Gepäck auffüllen. Sie arbeiten in Gruppen.Jede Gruppe erhält 2 Aufgabenkarten.

Auf der ersten Karte müssen Sie Systeme zur Lösung der an der Tafel dargestellten Ungleichungen aufschreiben und einen Algorithmus zur Lösung dieser Ungleichungen entwickeln; es besteht keine Notwendigkeit, sie zu lösen.

Die erste Karte ist für die Gruppen unterschiedlich, die zweite ist gleich

Was ist passiert?

Unter jede Gleichung an der Tafel müssen Sie eine Reihe von Systemen schreiben.

4 Schüler kommen heraus und schreiben Systeme. Zu diesem Zeitpunkt besprechen wir den Algorithmus mit der Klasse.

V. Stufe der Wissenskonsolidierung."Heimweg".

Das Gepäck ist aufgefüllt, jetzt geht es los Hin-und Rückfahrt. Lösen Sie nun selbst eine der vorgeschlagenen Modulungleichungen gemäß dem kompilierten Algorithmus.

Das Straßenradio wird Sie auch unterwegs wieder dabei haben.

Spielen Sie leise Hintergrundmusik. Der Lehrer prüft den Entwurf und gibt bei Bedarf Ratschläge.

Aufgaben an der Tafel.

Die Arbeiten sind abgeschlossen. Überprüfen Sie die Antworten (sie sind verfügbar). Rückseite Tafeln), füllen Sie das Reiseblatt zur Selbsteinschätzung aus.

Hausaufgaben machen.

Schreib es auf Hausaufgaben(Kopieren Sie die Ungleichungen, die Sie nicht oder mit Fehlern gemacht haben, in Ihr Heft, bei Bedarf zusätzlich Nr. 84 (a) auf Seite 373 des Lehrbuchs)

VI. Entspannungsphase.

Wie war diese Reise für Sie nützlich?

Was hast du gelernt?

Zusammenfassen. Zählen Sie, wie viele Punkte jeder von Ihnen verdient hat.(Die Jungs nennen das Endergebnis).Übergeben Sie die Selbstauskunftsbögen an den Disponenten, also an mich.

Ich möchte die Lektion mit einem Gleichnis beenden.

„Ein Weiser ging, und drei Leute trafen ihn, die Karren mit Steinen trugen, um in der heißen Sonne zu bauen. Der Weise blieb stehen und stellte jedem eine Frage. Er fragte den ersten: „Was hast du den ganzen Tag gemacht?“ Und dieser antwortete grinsend, dass er die verdammten Steine den ganzen Tag getragen habe. Der Weise fragte den zweiten: „Was hast du den ganzen Tag gemacht?“ und er antwortete: „Ich habe meine Arbeit gewissenhaft gemacht“, und der dritte lächelte, sein Gesicht leuchtete vor Freude und Vergnügen: „Und ich habe am Bau teilgenommen.“ des Tempels!“

Die Lektion ist beendet.

Selbsteinschätzungsbogen

Nachname, Vorname, Klasse

Anzahl der Punkte

In einer Gruppe arbeiten, um Ungleichheiten oder Ungleichheitssysteme zu lösen.

2 Punkte bei korrekter Ausführung ohne fremde Hilfe;

1 Punkt bei korrekter Durchführung mit fremder Hilfe;

0 Punkte, wenn Sie die Aufgabe nicht erledigt haben

1 Extrapunkt für den Gruppensieg

Intervallmethode- Das universelle Methode Lösungen für fast alle Ungleichungen, die in einem Schulalgebrakurs auftauchen. Es basiert auf die folgenden Eigenschaften Funktionen:

1. Eine stetige Funktion g(x) kann das Vorzeichen nur an der Stelle ändern, an der sie gleich 0 ist. Grafisch bedeutet dies, dass der Graph kontinuierliche Funktion kann sich nur dann von einer Halbebene zur anderen bewegen, wenn es die Abszissenachse kreuzt (wir erinnern uns, dass die Ordinate jedes Punktes, der auf der OX-Achse (Abszissenachse) liegt, gleich Null ist, d. h. der Wert der Funktion an diesem Punkt ist 0):

Wir sehen, dass die im Diagramm dargestellte Funktion y=g(x) die OX-Achse an den Punkten x= -8, x=-2, x=4, x=8 schneidet. Diese Punkte werden Nullstellen der Funktion genannt. Und an den gleichen Stellen ändert die Funktion g(x) das Vorzeichen.

2. Die Funktion kann auch das Vorzeichen an den Nullstellen des Nenners ändern - einfachstes Beispiel bekannte Funktion:

Wir sehen, dass die Funktion das Vorzeichen an der Wurzel des Nenners am Punkt ändert, aber an keinem Punkt verschwindet. Wenn eine Funktion also einen Bruch enthält, kann sie an den Wurzeln des Nenners das Vorzeichen ändern.

2. Die Funktion ändert jedoch nicht immer das Vorzeichen an der Wurzel des Zählers oder an der Wurzel des Nenners. Beispielsweise ändert die Funktion y=x 2 das Vorzeichen am Punkt x=0 nicht:

Weil die Gleichung x 2 =0 hat zwei gleiche Wurzeln x=0, am Punkt x=0 scheint sich die Funktion zweimal auf 0 zu drehen. Eine solche Wurzel wird Wurzel der zweiten Multiplizität genannt.

Funktion ändert das Vorzeichen bei Null des Zählers, ändert aber nicht das Vorzeichen bei Null des Nenners: , da die Wurzel die Wurzel der zweiten Multiplizität ist, d. h. der geraden Multiplizität:

Wichtig! In Wurzeln gerader Multiplizität ändert die Funktion das Vorzeichen nicht.

Beachten Sie! Beliebig nichtlinear Ungleichungen im Schulalgebraunterricht werden üblicherweise mit der Intervallmethode gelöst.

Ich biete Ihnen eine detaillierte Anleitung, mit der Sie Fehler vermeiden können, wenn Lösung nichtlinearer Ungleichungen.

1. Zuerst müssen Sie die Ungleichung in die Form bringen

P(x)V0,

wobei V das Ungleichheitszeichen ist:<,>,≤ oder ≥. Dazu benötigen Sie:

a) Verschiebe alle Terme auf die linke Seite der Ungleichung,

b) Finden Sie die Wurzeln des resultierenden Ausdrucks,

c) Faktorisieren Sie die linke Seite der Ungleichung

d) Schreiben Sie identische Faktoren als Potenzen.

Aufmerksamkeit! Letzte Aktion muss getan werden, um keinen Fehler mit der Multiplizität der Wurzeln zu machen – wenn das Ergebnis ein Multiplikator von ist sogar Grad, was bedeutet, dass die entsprechende Wurzel gerade Multiplizität hat.

2. Wenden Sie die gefundenen Wurzeln an Zahlenachse.

3. Wenn die Ungleichung streng ist, bleiben die Kreise, die die Wurzeln auf der Zahlenachse angeben, „leer“, wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Kreise ausgefüllt.

4. Wir wählen Wurzeln gerader Vielfachheit aus – in ihnen P(x) das Vorzeichen ändert sich nicht.

5. Bestimmen Sie das Vorzeichen P(x) auf der Lücke ganz rechts. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Wert x 0, der größer ist größere Wurzel und ersetzen P(x).

Wenn P(x 0)>0 (oder ≥0), dann setzen wir ganz rechts ein „+“-Zeichen.

Wenn P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Beim Durchgang durch den Punkt, der eine Wurzel gerader Multiplizität angibt, ändert sich das Vorzeichen NICHT.

7. Wir schauen uns noch einmal das Vorzeichen der ursprünglichen Ungleichung an und wählen die Intervalle des Vorzeichens aus, die wir benötigen.

8. Achtung! Wenn unsere Ungleichung NICHT STRENG ist, prüfen wir die Bedingung der Gleichheit mit Null separat.

9. Schreiben Sie die Antwort auf.

Wenn das Original die Ungleichung enthält eine Unbekannte im Nenner, dann verschieben wir auch alle Terme nach links und reduzieren die linke Seite der Ungleichung auf die Form

(wobei V das Ungleichheitszeichen ist:< или >)

Eine strenge Ungleichung dieser Art ist äquivalent zur Ungleichung

Nicht streng Ungleichheit der Form

Äquivalent System:

Wenn die Funktion in der Praxis die Form hat, dann gehen wir wie folgt vor:

Finden Sie die Wurzeln von Zähler und Nenner.
Wir bringen sie auf die Achse an. Lassen Sie alle Kreise leer. Wenn die Ungleichung dann nicht streng ist, übermalen wir die Wurzeln des Zählers und lassen die Wurzeln des Nenners immer leer.
Als nächstes folgen wir dem allgemeinen Algorithmus:
Wir wählen Wurzeln gerader Multiplizität (wenn Zähler und Nenner Folgendes enthalten). identische Wurzeln, dann zählen wir, wie oft identische Wurzeln vorkommen). Bei Wurzeln gerader Vielfachheit ändert sich das Vorzeichen nicht.
Wir finden das Schild in der Lücke ganz rechts.
Wir stellen Schilder auf.
Im Falle einer nichtstrikten Ungleichung prüfen wir die Gleichheitsbedingung und die Nullgleichheitsbedingung getrennt.
Wir wählen die notwendigen Lücken und freistehenden Wurzeln aus.
Wir schreiben die Antwort auf.

Um besser zu verstehen Algorithmus zur Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode Schauen Sie sich das VIDEO-TUTORIAL an, in dem das Beispiel ausführlich erklärt wird Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode.

Mit Hilfe diese Lektion Sie lernen rationale Ungleichheiten und ihre Systeme kennen. Das System rationaler Ungleichungen wird durch äquivalente Transformationen gelöst. Es wird die Definition der Äquivalenz betrachtet, die Methode, eine fraktional-rationale Ungleichung durch eine quadratische zu ersetzen, und man versteht auch den Unterschied zwischen einer Ungleichung und einer Gleichung und wie äquivalente Transformationen durchgeführt werden.

Einführung

Algebra 9. Klasse

Abschließende Überprüfung des Algebrakurses der 9. Klasse

Rationale Ungleichheiten und ihre Systeme. Systeme rationaler Ungleichheiten.

1.1 Abstrakt.

Äquivalente Transformationen rationaler Ungleichungen

1. Äquivalente Transformationen rationaler Ungleichungen.

Entscheiden rationale Ungleichheit bedeutet, alle seine Lösungen zu finden. Im Gegensatz zu einer Gleichung ergeben sich beim Lösen einer Ungleichung in der Regel unendlich viele Lösungen. Unzählige Lösungen können nicht durch Substitution verifiziert werden. Daher müssen Sie die ursprüngliche Ungleichung so transformieren, dass Sie in jeder folgenden Zeile eine Ungleichung mit demselben Lösungssatz erhalten.

Rationale Ungleichheiten kann nur mit Hilfe gelöst werden Äquivalent oder gleichwertige Transformationen. Solche Transformationen verzerren die Lösungsmenge nicht.

Definition. Rationale Ungleichheiten angerufen Äquivalent, wenn die Mengen ihrer Lösungen übereinstimmen.

Um anzuzeigen Gleichwertigkeit Benutze das Schild

Lösung eines Systems von Ungleichheiten. Äquivalente Systemtransformationen

2. Lösung des Ungleichungssystems

Die erste und zweite Ungleichung sind gebrochene rationale Ungleichungen. Methoden zu ihrer Lösung sind natürliche Fortsetzung Methoden zur Lösung linearer und quadratischer Ungleichungen.

Verschieben wir die Zahlen auf der rechten Seite mit dem umgekehrten Vorzeichen nach links.

Infolgedessen bleibt die rechte Seite 0. Diese Transformation ist äquivalent. Darauf weist das Schild hin

Lassen Sie uns die Aktionen ausführen, die die Algebra vorschreibt. Subtrahieren Sie „1“ in der ersten Ungleichung und „2“ in der zweiten.

Lösen der ersten Ungleichung mit der Intervallmethode

3. Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode

1) Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Wir müssen wissen, wann diese Funktion kleiner als 0 ist.

2) Finden wir den Definitionsbereich der Funktion: Der Nenner sollte nicht 0 enthalten. „2“ ist der Bruchpunkt. Bei x=2 ist die Funktion undefiniert.

3) Finden Sie die Wurzeln der Funktion. Die Funktion ist gleich 0, wenn der Zähler 0 enthält.

Die platzierten Punkte unterteilen die Zahlenachse in drei Intervalle – das sind Intervalle mit konstantem Vorzeichen. In jedem Intervall behält die Funktion ihr Vorzeichen. Bestimmen wir das Vorzeichen des ersten Intervalls. Lassen Sie uns einen Wert ersetzen. Zum Beispiel 100. Es ist klar, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner größer als 0 sind. Das bedeutet, dass der gesamte Bruch positiv ist.

Bestimmen wir die Vorzeichen der verbleibenden Intervalle. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert nur der Nenner das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der gesamte Bruch das Vorzeichen ändert und negativ wird. Lassen Sie uns eine ähnliche Überlegung anstellen. Beim Durchgang durch den Punkt x=-3 ändert nur der Zähler das Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Bruch das Vorzeichen ändert und positiv ist.

Wählen wir ein Intervall dem Zustand entsprechend Ungleichheiten. Lassen Sie es uns schattieren und als Ungleichung schreiben

Eine Technik zur Reduzierung einer gebrochenen rationalen Ungleichung auf eine quadratische.

Lösen Sie die erste Ungleichung, indem Sie sie auf eine quadratische Gleichung reduzieren

4. Lösen der Ungleichung mithilfe der quadratischen Ungleichung

Wichtiger Fakt.

Beim Vergleich mit 0 (falls strenge Ungleichheit) kann der Bruch durch das Produkt aus Zähler und Nenner ersetzt oder Zähler bzw. Nenner vertauscht werden.

Dies liegt daran, dass alle drei Ungleichungen erfüllt sind, vorausgesetzt, dass u und v gelten anderes Zeichen. Diese drei Ungleichungen sind äquivalent.

Nutzen wir diese Tatsache und ersetzen wir gebrochene rationale Ungleichung Quadrat.

Lösen wir die quadratische Ungleichung.

Stellen wir uns vor quadratische Funktion. Lassen Sie uns seine Wurzeln finden und eine Skizze seines Diagramms erstellen.

Das bedeutet, dass die Äste der Parabel nach oben zeigen. Innerhalb des Wurzelintervalls behält die Funktion ihr Vorzeichen. Sie ist negativ.

Außerhalb des Wurzelintervalls ist die Funktion positiv.

Lösung der ersten Ungleichung:

Lösung der zweiten Ungleichung

5. Lösung der Ungleichheit

Lassen Sie uns die Funktion vorstellen:

Finden wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen:

Dazu ermitteln wir die Wurzeln und Haltepunkte des Definitionsbereichs der Funktion. Wir stoßen immer auf Bruchstellen. (x=3/2) Wir ziehen die Wurzeln abhängig vom Ungleichheitszeichen heraus. Unsere Ungleichheit ist streng. Deshalb graben wir die Wurzel aus.

Platzieren wir die Schilder:

Schreiben wir die Lösung auf:

Schnittpunkt der Lösungsmengen der ersten und zweiten Ungleichungen. Formular zur Entscheidungsaufzeichnung

Lassen Sie uns das System fertig lösen. Finden wir den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung.

Das Lösen eines Systems von Ungleichungen bedeutet, den Schnittpunkt der Lösungsmenge der ersten Ungleichung und der Lösungsmenge der zweiten Ungleichung zu finden. Nachdem Sie die erste und zweite Ungleichung getrennt gelöst haben, müssen Sie daher die erhaltenen Ergebnisse in einem System aufschreiben.

Lassen Sie uns die Lösung der ersten Ungleichung über der Ox-Achse darstellen.

Lassen Sie uns die Lösung der zweiten Ungleichung unter der Achse darstellen.

Die Lösung des Systems sind die Werte der Variablen, die sowohl die erste als auch die zweite Ungleichung erfüllen. Also die Lösung des Systems :

Abschluss

Algebra, 9. Klasse. Teil 1 von 2. Lehrbuch (A. G. Mordkovich, P. V. Semenov) 2010 Algebra, 9. Klasse. Teil 2 von 2. Problembuch (A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina usw.) 2010 Algebra, Klasse 9 (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich usw.) 2010 Algebra, 9. Klasse. Problembuch (L. I. Zvavich, A. R. Ryazanovsky, P. V. Semenov) 2008 Algebra, 9. Klasse (Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova) 2009 Algebra, 9. Klasse (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich usw. ) 2010

1.3. Zusätzliche Webressourcen

http://slovo. ws/urok/algebra -Lehrmaterial(Lehrbücher, Artikel) zum Thema Algebra für die 9. Klasse. Alle in der Liste aufgeführten Lehrbücher können ohne Download online eingesehen werden.

http://mathe-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Machen Sie es zu Hause

Algebra, 9. Klasse. Teil 2 von 2. Problembuch (A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina usw.) 2010

Hausaufgaben: 4,24; 4.28

Sonstige Aufgaben: 4,25; 4.26