Fünf Arten regelmäßiger Polyeder. Polyeder. Arten von Polyedern und ihre Eigenschaften. Liste der verwendeten Literatur

Thema."Polyeder. Elemente eines Polyeders – Flächen, Eckpunkte, Kanten.“

Ziele. Bedingungen für Expansion schaffen Theoretisches Wissen zu räumlichen Figuren: Einführung in die Konzepte „Polyeder“, „Gesichter“, „Scheitelpunkt“, „Kante“; sicherzustellen, dass Schulkinder die Fähigkeit entwickeln, die Hauptsache in einem kognitiven Objekt hervorzuheben; fördern die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler.

Lehrmaterial. Lehrbuch „Mathematik. 4. Klasse“ (Autor V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); Computer; Beamer; Präsentation „Polygone“; Druckformulare „Koordinatenwinkel“, „Polygone“, „Problem“; Modelle von Polyedern, Entwicklung von Polyedern; Spiegel; Schere.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

Vor Unterrichtsbeginn werden die Kinder entsprechend ihrem Wissensstand in drei Gruppen eingeteilt – hoch, mittel, niedrig.

I. Organisatorischer Moment

Lehrer. Meine lieben unruhigen Menschen, ich lade euch noch einmal dazu ein faszinierende Welt Mathematik. Und ich bin sicher, dass Sie in dieser Lektion Neues lernen, das Gelernte festigen und das erworbene Wissen in der Praxis anwenden können.

Heute möchte ich unsere Lektion mit den Worten beginnen Englischer Philosoph Roger Bacon über Mathematik: „Wer Mathematik nicht kennt, kann keine anderen Wissenschaften lernen und die Welt nicht verstehen.“ Ich denke, dass wir in der Lektion sicherlich eine Bestätigung der Worte dieses Philosophen finden werden.

II. Wiederholung des abgedeckten Materials. Konstruieren von Polygonen anhand von Koordinaten

U. Im Mathematikunterricht der Klassen 1, 2, 3 haben wir verschiedene flache geometrische Figuren studiert und auch gelernt, wie man sie baut. Ich schlage vor, dass Sie einbauen Koordinatenwinkel flache Figuren nach diesen Koordinaten.

Die Aufgabe wird auf gedruckten Formularen erledigt.

Gruppe 1

Konstruieren Sie eine Figur, wenn die Koordinaten bekannt sind A (0; 2), IN (2; 5), MIT(9; 2). Was für eine Figur hast du bekommen?

Gruppe 2

Konstruieren Sie ein Rechteck, wenn die Punkte vorhanden sind A(3; 2) und IN(6; 5) sind seine gegenüberliegenden Eckpunkte. Benennen Sie die Koordinaten gegenüberliegende Eckpunkte. Was ist ein anderer Name für diese Figur?

Gruppe 3

Konstruieren Sie eine Figur, wenn die Koordinaten ihrer Eckpunkte bekannt sind A (2; 3), IN (2; 6), MIT (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Was für eine Figur hast du bekommen?

– Wie kann man all diese Zahlen nennen?

Kinder. Das sind Polygone.

Folie 1

U. Wir wissen, dass alle Polygone Eckpunkte und Seiten haben. Benennen Sie sie und zeigen Sie sie.

Eine Person aus der Gruppe erledigt die Aufgabe an der Tafel.

III. Neues Material kennenlernen

U. Heute stelle ich Ihnen dreidimensionale geometrische Formen vor, die Polygone genannt werden. Ihre Modelle werden auf Ihren Tischen präsentiert.

Die Schüler haben dreidimensionale Figuren auf ihren Tischen: Würfel, Parallelepipede, Pyramiden, Prismen.

– Lehnen Sie sich zurück, schauen Sie genau hin, hören Sie genau zu und erinnern Sie sich.

Einführung in die Konzepte „Polyeder“, „Fläche“, „Scheitelpunkt“, „Kante“

– Wenn Sie 4 Dreiecke nehmen, können Sie erstellen dreidimensionale Figur – Pyramide. Aus Quadraten kann man eine andere Figur erhalten – einen Würfel, aus Rechtecken – ein Parallelepiped. Sie haben eine weitere Figur auf Ihrem Tisch – ein Prisma, das aus Rechtecken und Dreiecken besteht. Alle diese Figuren werden aufgerufen Polyeder .

Jedes der Polygone (in in diesem Fall Dreiecke) genannt werden Rand Polyeder. Und die Seiten von Polygonen werden genannt Rippen Polyeder. Und natürlich werden es auch die Eckpunkte des Polygons sein Gipfel Polyeder. So sieht die Zeichnung eines Polyeders auf einem Blatt Papier aus.

Folie 2

– Es scheint, dass die Figur aus Glas besteht. Was wird Ihrer Meinung nach durch die gepunktete Linie in der Zeichnung dargestellt?

D. Unsichtbare Rippen.

Kinder arbeiten nach einer Zeichnung an der Tafel.

U. Also, was ist es?

D. Polyeder.

U. Benennen und zeigen Sie die Flächen des Polyeders, seine Kanten und Eckpunkte.

Kinder zeigen mit Zeiger und Liste.

– Wenn man die Pyramide von der Spitze bis zur Basis entlang der Kanten durchschneidet, erhält man so etwas.
Und jetzt, meine lieben Zappelei, finden Sie auf dem Tisch ein Formular mit einem Bild eines Polygons, lesen Sie die Anweisungen sorgfältig durch:

1. Untersuchen Sie die Zeichnung des Polygons sorgfältig.
2. Finden Sie die gewünschte Entwicklung des Polygons (Modelle auf der Tafel).
3. Bauen Sie das Polygonmodell zusammen.
4. Geben Sie die Anzahl der Eckpunkte __, Flächen __ und Kanten __ des Polygons an.
5. Benennen Sie jeden Scheitelpunkt __, jede Kante __ und jede Fläche __ des Polygons.

Gruppe 1

Gruppe 2

Gruppe 3

– Die Tafel zeigt Entwicklungen von Polyedern. Versuchen Sie, anhand der Zeichnung die Entwicklung Ihrer Figur zu ermitteln und ein Polyeder zusammenzusetzen. Arbeiten Sie zusammen und ich denke, Sie werden Erfolg haben.

Überprüfung der Erledigung der Aufgabe (Folien 3, 4, 5).

Gipfel – 8; Rippen – 12; Gesichter – 6; Eckpunkte – M, B, C, A, X, K, O, T; Rippen – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; Gesichter – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

Gipfel – 8; Rippen – 12; Gesichter – 6; Eckpunkte – M, B, C, A, X, K, O, T; Rippen – MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; Gesichter – MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

Gipfel – 12; Rippen – 18; Gesichter – 8; Eckpunkte – Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C; Rippen – YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB; Gesichter – BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen

U. Sagen Sie mir, gibt es auf der Welt um uns herum Objekte, die die Form von Polyedern haben?

Den Antworten der Kinder wird zugehört. Es findet ein spontaner „Spaziergang“ um den Schulhof statt. Kinder „untersuchen“ Modelle des Schulgebäudes und der Wirtschaftsräume, die wie Polyeder aussehen.

- Die Aufgabe erledigen:

Der Wolf und der Hase haben aus farbigem Papier ein Haus zusammengeklebt. Wie viele Gesichter jeder Farbe wurden benötigt? Welche Polygonform hat der Rand jeder Farbe?

Folie 6

V. Festigung des bereits Gelernten

U. Leute, stellt euch vor, ihr seid Architekten, Designer oder Bauherren und versucht, Probleme zu lösen.

Aufgabe der Gruppe 1

Finden Sie die Fläche, die das neue Schulgebäude einnehmen wird, wenn seine Länge 74 m und seine Breite 13 m beträgt. Antwort: 962 qm. M.)

Aufgabe Gruppe 2

Die Fläche des Spielplatzes im Innenhof unserer Schule beträgt 1080 Quadratmeter. m. Dies ist für 1320 qm. m weniger als die Fläche der Hockeybahn. Berechnen Sie die Fläche des Hockeyfeldes. ( Antwort: 2400 qm. M)

Aufgabe der Gruppe 3

Für den Bau eines neuen Gebäudes unserer Schule ist eine Fläche von 2.500 Quadratmetern vorgesehen. Es ist bekannt, dass das Gebäude 13 m breit und 74 m lang sein wird. Welche Fläche des Geländes bleibt nach dem Bau des Gebäudes für Blumenbeete und Wege übrig? ( Antwort: 1) 962 qm. M; 2) 1538 qm M)

Kinder überprüfen Lösungen für Probleme und erklären, wie sie diese gelöst haben.

VI. Zusammenfassung der Lektion

U. Es stellt sich heraus, dass Roger Bacon Recht hatte, als er sagte: „Wer Mathematik nicht kennt, kann keine anderen Wissenschaften lernen und die Welt nicht verstehen.“

Der Lehrer bewertet die Arbeit der Gruppen.

Regelmäßige Polyeder werden als konvexe Polyeder bezeichnet, deren Flächen alle identische regelmäßige Vielecke sind und an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl von Flächen zusammentrifft. Solche Polyeder werden auch platonische Körper genannt.

Es gibt nur fünf reguläre Polyeder:

Bild	Typ eines regelmäßigen Polyeders	Anzahl der Seiten einer Fläche	Anzahl der an einen Scheitelpunkt angrenzenden Kanten	Gesamtzahl der Scheitelpunkte	Gesamtzahl der Kanten	Gesamtzahl der Gesichter
Tetraeder
Hexaeder oder Würfel
Dodekaeder
Ikosaeder

Der Name jedes Polyeders stammt von Griechischer Name die Anzahl seiner Gesichter und das Wort „Gesicht“.

Tetraeder

Ein Tetraeder (griechisch fefsbedspn – Tetraeder) ist ein Polyeder mit vier dreieckigen Flächen, an deren Ecken sich jeweils 3 Flächen treffen. Ein Tetraeder hat 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten.

Eigenschaften des Tetraeders

Parallele Ebenen, die durch Paare sich schneidender Kanten des Tetraeders verlaufen, definieren das um das Tetraeder beschriebene Parallelepiped.

Das Segment, das den Scheitelpunkt eines Tetraeders mit dem Schnittpunkt der Mediane der gegenüberliegenden Fläche verbindet, wird als Median bezeichnet und an diesem Scheitelpunkt weggelassen.

Das Segment, das die Mittelpunkte der sich schneidenden Kanten eines Tetraeders verbindet, wird als sein Bimedian bezeichnet, der diese Kanten verbindet.

Ein Segment, das einen Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Fläche und senkrecht zu dieser Fläche verbindet, wird als seine Höhe bezeichnet, die vom gegebenen Scheitelpunkt weggelassen wird.

Satz. Alle Mediane und Bimediane eines Tetraeders schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt teilt die Mediane im Verhältnis 3:1, gerechnet vom Scheitelpunkt. Dieser Punkt teilt die Bimediane in zwei Hälften.

Markieren:

• · ein isoedrisches Tetraeder, bei dem alle Flächen gleiche Dreiecke sind;
• ein orthozentrisches Tetraeder, bei dem alle Höhen von den Ecken nach unten abfallen gegenüberliegende Gesichter, sich in einem Punkt schneiden;
• · ein rechteckiges Tetraeder, bei dem alle an einen der Eckpunkte angrenzenden Kanten senkrecht zueinander stehen;
• · regelmäßiges Tetraeder, dessen Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind;
• · Rahmentetraeder – ein Tetraeder, der eine der folgenden Bedingungen erfüllt:
• · Es gibt eine Kugel, die alle Kanten berührt.
• · Die Summen der Längen der sich kreuzenden Kanten sind gleich.
• · Die Summen der Diederwinkel an gegenüberliegenden Kanten sind gleich.
• · In Gesichter eingeschriebene Kreise berühren sich paarweise.
• · Alle Vierecke, die sich aus der Entwicklung eines Tetraeders ergeben, werden beschrieben.
• · Senkrechte, die von den Mittelpunkten der darin eingeschriebenen Kreise auf die Flächen zurückgeführt werden, schneiden sich in einem Punkt.
• · ein entsprechendes Tetraeder, dessen Doppelhöhen alle gleich sind;
• · ein inzentrisches Tetraeder, bei dem sich die Segmente, die die Eckpunkte des Tetraeders mit den Mittelpunkten von Kreisen verbinden, die in gegenüberliegende Flächen eingeschrieben sind, in einem Punkt schneiden.

Ein Würfel oder regelmäßiges Hexaeder ist ein regelmäßiges Polyeder, dessen jede Fläche ein Quadrat ist. Besonderer Fall Parallelepiped und Prisma.

Cube-Eigenschaften

• · Die vier Abschnitte des Würfels sind regelmäßige Sechsecke – diese Abschnitte verlaufen durch die Mitte des Würfels senkrecht zu seinen vier Hauptdiagonalen.
• · Es gibt zwei Möglichkeiten, ein Tetraeder in einen Würfel einzupassen. In beiden Fällen werden die vier Eckpunkte des Tetraeders an den vier Eckpunkten des Würfels ausgerichtet und alle sechs Kanten des Tetraeders gehören zu den Flächen des Würfels. Im ersten Fall gehören alle Eckpunkte des Tetraeders zu den Flächen Dreieckswinkel, dessen Scheitelpunkt mit einem der Scheitelpunkte des Würfels zusammenfällt. Im zweiten Fall gehören sich paarweise kreuzende Kanten des Tetraeders zu paarweise gegenüberliegenden Flächen des Würfels. Dieses Tetraeder ist regelmäßig.
• · Sie können ein Oktaeder in einen Würfel einfügen und alle sechs Eckpunkte des Oktaeders werden an den Mittelpunkten der sechs Flächen des Würfels ausgerichtet.
• · Ein Würfel kann in ein Oktaeder eingeschrieben werden, und alle acht Eckpunkte des Würfels liegen in den Mittelpunkten der acht Flächen des Oktaeders.
• · Ein Ikosaeder kann in einen Würfel eingeschrieben werden, wobei sechs zueinander parallele Kanten des Ikosaeders jeweils auf den sechs Flächen des Würfels liegen, die restlichen 24 Kanten liegen im Inneren des Würfels. Alle zwölf Eckpunkte des Ikosaeders liegen auf den sechs Flächen des Würfels.

Die Diagonale eines Würfels ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die symmetrisch zum Mittelpunkt des Würfels liegen. Die Diagonale eines Würfels wird durch die Formel ermittelt

Polyeder Ikosaeder Oktaeder Dodekaeder

Dabei ist d die Diagonale und die Kante des Würfels.

Oktaeder

Das Oktaeder (griech. pkfedspn, von griech. pkfyu „acht“ und griech. Edsb – „Basis“) ist eines der fünf konvexen regelmäßigen Polyeder, die sogenannten platonischen Körper.

Das Oktaeder hat 8 dreieckige Gesichter, 12 Kanten, 6 Eckpunkte, 4 Kanten konvergieren an jedem Eckpunkt.

Wenn die Länge einer Oktaederkante a ist, dann ist ihre Fläche vollflächig(S) und das Volumen des Oktaeders (V) werden nach den Formeln berechnet:

Der Radius einer um ein Oktaeder umschriebenen Kugel ist gleich:

Der Radius einer in ein Oktaeder eingeschriebenen Kugel kann mit der Formel berechnet werden:

Ein regelmäßiges Oktaeder hat eine Oh-Symmetrie, die mit der Symmetrie eines Würfels übereinstimmt.

Das Oktaeder hat die Form eines einzelnen Sterns. Das Oktaeder wurde von Leonardo da Vinci entdeckt, dann fast 100 Jahre später von Johannes Kepler wiederentdeckt und er nannte es Stella octangula – einen achteckigen Stern. Daher hat diese Form den zweiten Namen „Keplers Stella Octangula“.

Im Wesentlichen handelt es sich um eine Kombination zweier Tetraeder

Dodekaeder

Dodekaeder (von griechisch dudekb – zwölf und edspn – Gesicht), Dodekaeder – ein regelmäßiger Polyeder, der aus zwölf regelmäßigen Fünfecken besteht. Jeder Scheitelpunkt des Dodekaeders ist die Spitze von drei regelmäßige Fünfecke.

Somit hat das Dodekaeder 12 Flächen (fünfeckig), 30 Kanten und 20 Eckpunkte (jeweils 3 Kanten laufen zusammen). Summe flache Winkel an jedem der 20 Eckpunkte beträgt 324°.

Das Dodekaeder hat drei Sternformen: kleines Sterndodekaeder, großes Dodekaeder, großes Sterndodekaeder (Sterndodekaeder, die endgültige Form). Die ersten beiden wurden von Kepler (1619) entdeckt, der dritte von Poinsot (1809). Im Gegensatz zum Oktaeder ist keine der Sternformen des Dodekaeders eine Kombination platonischer Körper, sondern bildet ein neues Polyeder.

Alle drei sternförmigen Formen des Dodekaeders bilden zusammen mit dem großen Ikosaeder die Familie der Kepler-Poinsot-Körper, also der regelmäßigen nichtkonvexen (sternförmigen) Polyeder.

Die Flächen des großen Dodekaeders sind Fünfecke, deren fünf an jeder Spitze zusammentreffen. Die kleinen Sterndodekaeder und die großen Sterndodekaeder haben Gesichter – fünfzackige Sterne(Pentagramme), die im ersten Fall um 5 und im zweiten Fall um 3 konvergieren. Die Eckpunkte des großen Sterndodekaeders fallen mit den Eckpunkten des beschriebenen Dodekaeders zusammen. Jeder Scheitelpunkt hat drei verbundene Flächen.

Grundformeln:

Nehmen wir a als Kantenlänge, dann ist die Oberfläche des Dodekaeders:

Dodekaedervolumen:

Radius der beschriebenen Kugel:

Radius der beschrifteten Kugel:

Symmetrieelemente des Dodekaeders:

· Das Dodekaeder hat ein Symmetriezentrum und 15 Symmetrieachsen.

Jede der Achsen verläuft durch die Mittelpunkte gegenüberliegender paralleler Kanten.

· Das Dodekaeder hat 15 Symmetrieebenen. Jede der Symmetrieebenen verläuft in jeder Fläche durch die Oberseite und die Mitte der gegenüberliegenden Kante.

Ikosaeder

Ikosaeder (von griechisch ekpubt – zwanzig; -edspn – Fläche, Fläche, Basis) ist ein regelmäßiges konvexes Polyeder, Zwanzigeder, einer der platonischen Körper. Jede der 20 Flächen ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Anzahl der Kanten beträgt 30, die Anzahl der Eckpunkte beträgt 12.

Die Fläche S, das Volumen V eines Ikosaeders mit der Kantenlänge a sowie die Radien der ein- und umschriebenen Kugeln werden nach den Formeln berechnet:

Radius der eingeschriebenen Kugel:

Radius der umschriebenen Kugel:

Eigenschaften

• · Das Ikosaeder kann in einen Würfel eingeschrieben werden, in diesem Fall liegen sechs zueinander senkrechte Kanten des Ikosaeders jeweils auf sechs Flächen des Würfels, die restlichen 24 Kanten innerhalb des Würfels, alle zwölf Eckpunkte des Ikosaeders liegen auf sechs Flächen des Würfels.
• · Ein Tetraeder kann in ein Ikosaeder eingeschrieben werden, außerdem werden die vier Eckpunkte des Tetraeders mit den vier Eckpunkten des Ikosaeders kombiniert.
• · Ein Ikosaeder kann in ein Dodekaeder eingeschrieben werden, wobei die Eckpunkte des Ikosaeders an den Mittelpunkten der Dodekaederflächen ausgerichtet sind.
• · Ein Dodekaeder kann in ein Ikosaeder eingeschrieben werden, indem die Eckpunkte des Dodekaeders und die Mittelpunkte der Flächen des Ikosaeders kombiniert werden.
• · Ikosaederstumpf kann durch Abschneiden von 12 Eckpunkten erhalten werden, um Flächen in Form regelmäßiger Fünfecke zu bilden. In diesem Fall erhöht sich die Anzahl der Eckpunkte des neuen Polyeders um das Fünffache (12?5=60), es entstehen 20 Dreiecksflächen regelmäßige Sechsecke(Die Gesamtzahl der Flächen beträgt 20+12=32) und die Anzahl der Kanten erhöht sich auf 30+12?5=90.

Das Ikosaeder hat 59 Sternformen, von denen 32 vollständige und 27 unvollständige Ikosaedersymmetrie aufweisen. Eine dieser Sternbilder (20., Mod. 41 nach Wenninger), das Große Ikosaeder, ist eines davon vier richtig Kepler-Poinsot-Sternpolyeder. Seine Gesichter sind regelmäßige Dreiecke, die an jedem Scheitelpunkt in Fünfern zusammenlaufen; Diese Eigenschaft hat das große Ikosaeder mit dem Ikosaeder gemeinsam.

Unter den Sternformen gibt es auch: eine Verbindung von fünf Oktaedern, eine Verbindung von fünf Tetraedern, eine Verbindung von zehn Tetraedern.

IN Lehrplan Leider werden die sphärische Geometrie und die Lobatschewski-Geometrie nicht untersucht. Inzwischen ermöglicht uns ihre Untersuchung zusammen mit der euklidischen Geometrie, besser zu verstehen, was mit Objekten geschieht. Verstehen Sie beispielsweise den Zusammenhang regelmäßiger Polyeder mit Teilungen der Kugel, Teilungen der euklidischen Ebene und Teilungen der Lobatschewski-Ebene.
Die Kenntnis der Geometrie von Räumen konstanter Krümmung hilft, über drei Dimensionen hinauszuwachsen und Polyeder in Räumen der Dimension 4 und höher zu identifizieren. Fragen zum Finden von Polyedern, zum Finden von Partitionen von Räumen konstanter Krümmung, zum Ableiten der Formel für den Diederwinkel eines regelmäßigen Polyeders in n-dimensionaler Raum- sind so eng miteinander verflochten, dass es sich als problematisch erwies, alles in den Titel des Artikels zu packen. Der Fokus liegt auf regelmäßigen Polyedern, die für jedermann verständlich sind, obwohl sie nicht nur das Ergebnis aller Schlussfolgerungen, sondern gleichzeitig auch ein Werkzeug zum Verständnis von Räumen höherer Dimension und gleichmäßig gekrümmten Räumen sind.

Denjenigen, die es nicht wissen (vergessen) möchte ich mitteilen (daran erinnern), dass es im dreidimensionalen euklidischen Raum, den wir gewohnt sind, nur fünf reguläre Polyeder gibt:

1. Tetraeder:	2. Würfel:	3. Oktaeder:	4. Dodekaeder:	5. Ikosaeder:

Im dreidimensionalen Raum ist ein regelmäßiges Polyeder ein konvexes Polyeder, bei dem alle Eckpunkte einander gleich sind, alle Kanten einander gleich sind, alle Flächen einander gleich sind und die Flächen regelmäßige Polyeder sind.

Ein regelmäßiges Vieleck ist konvexes Polygon, in dem alle Seiten einander gleich sind und alle Winkel einander gleich sind.

Die Scheitelpunkte sind einander gleich, was bedeutet, dass die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen, die sich jedem Scheitelpunkt nähern, gleich sind und sie sich an jedem Scheitelpunkt im gleichen Winkel nähern.

In dieser Notation erhalten unsere Polyeder folgende Bezeichnungen:
1. Tetraeder (3, 3),
2. Würfel (4, 3),
3. Oktaeder (3, 4),
4. Dodekaeder (5, 3),
5. Ikosaeder (3, 5)
Beispiel: (4, 3) – ein Würfel hat 4 Eckflächen und 3 dieser Flächen treffen sich an jedem Scheitelpunkt.
Das Oktaeder (3, 4) hingegen hat 3 Kohlenstoffflächen, von denen 4 an der Spitze zusammenlaufen.
Somit bestimmt das Schläfli-Symbol vollständig die kombinatorische Struktur des Polyeders.

Warum gibt es nur 5 reguläre Polyeder? Vielleicht gibt es noch mehr davon?

Um diese Frage vollständig zu beantworten, müssen Sie zunächst ein intuitives Verständnis der Geometrie auf der Kugel und auf der Lobatschewski-Ebene erlangen. Für diejenigen, die noch keine solche Idee haben, werde ich versuchen, die notwendigen Erklärungen zu geben.

Kugel

1. Was ist ein Punkt auf einer Kugel? Ich denke, es ist für jeden intuitiv klar. Es ist nicht schwer, sich gedanklich einen Punkt auf einer Kugel vorzustellen.

2. Was ist ein Segment auf einer Kugel? Wir nehmen zwei Punkte und verbinden sie durch den kürzesten Abstand auf der Kugel; wir erhalten einen Bogen, wenn wir die Kugel von der Seite betrachten.

3. Wenn Sie dieses Segment in beide Richtungen fortsetzen, wird es geschlossen und Sie erhalten einen Kreis. In diesem Fall enthält die Kreisebene den Mittelpunkt der Kugel; dies folgt aus der Tatsache, dass wir die beiden Startpunkte durch den kürzesten und nicht willkürlichen Abstand verbunden haben. Von der Seite sieht es aus wie ein Kreis, aber in Bezug auf die Kugelgeometrie ist es eine gerade Linie, da sie aus einem Segment gewonnen wurde, das sich in beide Richtungen bis ins Unendliche erstreckt.

4. Und schließlich: Was ist ein Dreieck auf einer Kugel? Wir nehmen drei Punkte auf der Kugel und verbinden sie mit Segmenten.

Analog zu einem Dreieck können Sie auf einer Kugel ein beliebiges Polygon zeichnen. Für uns ist die Eigenschaft eines sphärischen Dreiecks von grundlegender Bedeutung, nämlich dass die Winkelsumme eines solchen Dreiecks größer als 180 Grad ist, was wir vom euklidischen Dreieck gewohnt sind. Darüber hinaus ist die Winkelsumme zweier verschiedener sphärischer Dreiecke unterschiedlich. Wie größeres Dreieck, desto GRÖSSER ist die Summe der Winkel, die es hat.

Dementsprechend erscheint das 4. Zeichen der Gleichheit von Dreiecken auf einer Kugel – in drei Winkeln: Zwei sphärische Dreiecke sind einander gleich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich sind.

Der Einfachheit halber ist es einfacher, die Kugel selbst nicht zu zeichnen, da das Dreieck dann etwas aufgebläht aussieht:

Eine Kugel wird auch als Raum konstanter positiver Krümmung bezeichnet. Die Krümmung des Raumes führt gerade dazu, dass die kürzeste Entfernung ein Bogen ist und nicht das gewohnte gerade Liniensegment. Das Segment scheint verbogen zu sein.

Lobatschewski

Nachdem wir uns nun mit der Geometrie auf der Kugel vertraut gemacht haben, wird es nicht schwer sein, die vom großen russischen Wissenschaftler Nikolai Iwanowitsch Lobachevsky entdeckte Geometrie auf der hyperbolischen Ebene zu verstehen, da hier alles ähnlich wie auf der Kugel geschieht, nur „von innen nach außen“. ", "im Rückwärtsgang". Wenn wir Bögen auf einer Kugel in Kreisen mit einem Mittelpunkt innerhalb der Kugel gezeichnet haben, müssen jetzt Bögen in Kreisen mit einem Mittelpunkt außerhalb der Kugel gezeichnet werden.

Lass uns anfangen. Wir werden die Lobatschewski-Ebene in der Interpretation von Poincaré II (Jules Henri Poincaré, dem großen französischen Wissenschaftler) darstellen. Diese Interpretation der Lobatschewski-Geometrie wird auch Poincaré-Scheibe genannt.

1. Punkt in der Lobatschewski-Ebene. Punkt – das ist auch in Afrika ein Punkt.

2. Ein Segment auf der Lobatschewski-Ebene. Wir verbinden zwei Punkte mit einer Linie auf dem kürzesten Weg im Sinne der Lobatschewski-Ebene.

Die kürzeste Distanz wird wie folgt konstruiert:

Es ist notwendig, einen Kreis orthogonal zur Poincaré-Scheibe durch die beiden angegebenen Punkte (Z und V in der Abbildung) zu zeichnen. Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt immer außerhalb der Scheibe. Der Bogen, der die beiden ursprünglichen Punkte verbindet, ist die kürzeste Entfernung im Sinne der Lobatschewski-Ebene.

3. Durch Entfernen der Hilfsbögen erhalten wir die Gerade E1 - H1 in der Lobatschewski-Ebene.

Die Punkte E1, H1 „liegen“ im Unendlichen der Lobatschewski-Ebene; im Allgemeinen besteht der Rand der Poincaré-Scheibe aus allen unendlich weit entfernten Punkten der Lobatschewski-Ebene.

4. Und schließlich: Was ist ein Dreieck in der Lobatschewski-Ebene? Wir nehmen drei Punkte und verbinden sie mit Segmenten.

Analog zu einem Dreieck können Sie auf der Lobatschewski-Ebene ein beliebiges Polygon zeichnen. Für uns ist die Eigenschaft eines hyperbolischen Dreiecks von grundlegender Bedeutung, nämlich dass die Winkelsumme eines solchen Dreiecks immer kleiner als 180 Grad ist, was wir vom euklidischen Dreieck gewohnt sind. Darüber hinaus ist die Winkelsumme zweier verschiedener hyperbolischer Dreiecke unterschiedlich. Je größer die Fläche des Dreiecks ist, desto geringer ist die Summe seiner Winkel.

Dementsprechend findet hier auch das 4. Gleichheitszeichen hyperbolischer Dreiecke statt – um drei Winkel: Zwei hyperbolische Dreiecke sind einander gleich, wenn ihre entsprechenden Winkel gleich sind.

Der Einfachheit halber kann die Poincaré-Scheibe selbst manchmal nicht gezeichnet werden, dann sieht das Dreieck etwas „geschrumpft“, „entleert“ aus:

Die Lobatschewski-Ebene (und allgemein der Lobatschewski-Raum beliebiger Dimension) wird auch als Raum konstanter NEGATIVER Krümmung bezeichnet. Die Krümmung des Raumes führt gerade dazu, dass die kürzeste Entfernung ein Bogen ist und nicht das gewohnte gerade Liniensegment. Das Segment scheint verbogen zu sein.

Regelmäßige Partitionen einer zweidimensionalen Kugel und regelmäßige dreidimensionale Polyeder

Alles, was über die Kugel und die Lobatschewski-Ebene gesagt wird, bezieht sich auf die Zweidimensionalität, d.h. Die Oberfläche einer Kugel ist zweidimensional. Was hat das mit der im Titel des Artikels angedeuteten Dreidimensionalität zu tun? Es stellt sich heraus, dass jedes dreidimensionale reguläre euklidische Polyeder eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit seiner eigenen Unterteilung der zweidimensionalen Kugel hat. Dies ist am besten in der Abbildung zu sehen:

Um eine Teilung einer Kugel aus einem regelmäßigen Polyeder zu erhalten, müssen Sie eine Kugel um das Polyeder herum beschreiben. Die Eckpunkte des Polyeders erscheinen auf der Oberfläche der Kugel. Durch die Verbindung dieser Punkte mit Segmenten auf der Kugel (Bögen) erhalten wir eine Aufteilung der zweidimensionalen Kugel in regelmäßige sphärische Polygone. Als Beispiel wurde eine Videodemonstration erstellt, die zeigt, wie das Ikosaeder der Aufteilung einer Kugel in sphärische Dreiecke und umgekehrt entspricht und wie die Aufteilung einer Kugel in sphärische Dreiecke, die an der Spitze zu Fünfern zusammenlaufen, dem Ikosaeder entspricht.

Um ein Polyeder aus einer Teilung einer Kugel zu konstruieren, müssen die den Bögen entsprechenden Eckpunkte der Teilung durch gewöhnliche, geradlinige euklidische Segmente verbunden werden.

Dementsprechend gibt das Schläfli-Symbol des Ikosaeders (3, 5) – Dreiecke, die zu fünft an einer Spitze zusammenlaufen – nicht nur die Struktur dieses Polyeders an, sondern auch die Struktur der Aufteilung einer zweidimensionalen Kugel. Ähnlich wie bei anderen Polytopen bestimmen ihre Schläfli-Symbole auch die Struktur der entsprechenden Partitionen. Darüber hinaus können auch Zerlegungen der Euklidischen Ebene und der Lobatschewski-Ebene in regelmäßige Polygone durch das Schläfli-Symbol angegeben werden. Zum Beispiel (4, 4) – Vierecke, die zu Vieren zusammenlaufen – das ist das quadratische Notizbuch, das wir alle kennen, d. h. Dies ist eine Unterteilung der euklidischen Ebene in Quadrate. Gibt es andere Unterteilungen der euklidischen Ebene? Wir werden weiter sehen.

Konstruktion von Partitionen einer zweidimensionalen Kugel, der Euklidischen Ebene und der Lobatschewski-Ebene

Partitionen erstellen zweidimensionale Räume konstante Krümmung (das ist gemeinsamen Namen Diese drei Räume) benötigen wir Grundschulgeometrie und das Wissen, dass die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks größer als 180 Grad ist (größer als Pi), dass die Winkelsumme eines hyperbolischen Dreiecks kleiner als 180 Grad ist (weniger). als Pi) und was das Schläfli-Symbol ist. All dies wurde bereits oben gesagt.

Nehmen wir also ein beliebiges Schläfli-Symbol (p1, p2), es gibt eine Partition eines von drei Räumen konstanter Krümmung an (für eine Ebene gilt dies, für Räume höherer Dimensionen ist die Situation komplizierter, aber nichts hindert uns daran Erkunden aller Kombinationen des Symbols).

Betrachten wir ein regelmäßiges p1-Quadrat und zeichnen wir Segmente, die seinen Mittelpunkt und seine Eckpunkte verbinden. Wir bekommen p1 Stücke gleichschenkligen Dreiecks(In der Abbildung ist nur ein solches Dreieck dargestellt). Wir bezeichnen die Summe der Winkel jedes dieser Dreiecke als t und drücken t durch Pi und den Lambda-Koeffizienten aus.

Wenn dann Lambda = 1, dann ist das euklidische Dreieck, d.h. liegt in der euklidischen Ebene, wenn Lambda im Intervall (1, 3) liegt, dann bedeutet dies, dass die Summe der Winkel größer als pi ist und das bedeutet, dass dieses Dreieck sphärisch ist (das kann man sich beim Erhöhen von a nicht schwer vorstellen Im Grenzfall eines sphärischen Dreiecks erhält man einen Kreis mit drei Punkten. An jedem Punkt ist der Winkel des Dreiecks gleich pi, und die Summe beträgt 3*pi. Dies erklärt. Höchstgrenze Intervall = 3). Liegt Lambda im Intervall (0, 1), dann ist das Dreieck hyperbolisch, da die Summe seiner Winkel kleiner als pi (also kleiner als 180 Grad) ist. Kurz gesagt kann man es so schreiben:

Andererseits ist es für die Konvergenz von p2 Teilen (d. h. einer ganzen Zahl) derselben Polygone am Scheitelpunkt erforderlich, dass

Gleichsetzen der aus der Konvergenzbedingung und dem Polygon ermittelten Ausdrücke für 2*betta:

Wir haben eine Gleichung erhalten, die zeigt, welcher der drei Räume durch die Zahl geteilt wird, die durch sein Schläfli-Symbol (p1, p2) gegeben ist. Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir uns auch daran erinnern, dass p1, p2 ganze Zahlen größer oder gleich 3 sind. Dies folgt sozusagen aus ihnen physikalische Bedeutung, da es sich um p1 Winkel (mindestens 3 Winkel) handelt, die entlang p2 Stücken am Scheitelpunkt zusammenlaufen (ebenfalls mindestens 3, sonst wäre es kein Scheitelpunkt).

Die Lösung dieser Gleichung besteht darin, alles durchzugehen mögliche Werte für p1, p2 größer oder gleich 3 und Berechnen des Lambda-Wertes. Wenn sich herausstellt, dass es gleich 1 ist, dann teilt (p1, p2) die euklidische Ebene, wenn es größer als 1, aber kleiner als 3 ist, dann ist dies eine Teilung der Kugel, wenn von 0 bis 1, dann ist dies eine Teilung der Sphäre eine Teilung des Lobatschewski-Flugzeugs. Es ist zweckmäßig, alle diese Berechnungen in einer Tabelle zusammenzufassen.

Daraus ist ersichtlich, dass:
1. Die Kugel entspricht nur 5 Lösungen; wenn Lamda größer als 1 und kleiner als 3 ist, werden sie hervorgehoben Grün in der Tabelle. Dies sind: (3, 3) – Tetraeder, (3, 4) – Oktaeder, (3, 5) – Ikosaeder, (4, 3) – Würfel, (5, 3) – Dodekaeder. Ihre Bilder wurden am Anfang des Artikels vorgestellt.
2. Partitionen der euklidischen Ebene entsprechen nur drei Lösungen. Bei Lambda = 1 werden sie in der Tabelle blau hervorgehoben. So sehen diese Spaltungen aus.

3. Und schließlich entsprechen alle anderen Kombinationen (p1, p2) Partitionen der Lobatschewski-Ebene; dementsprechend gibt es eine unendliche (abzählbare) Anzahl solcher Partitionen. Es bleibt nur noch, einige davon beispielsweise zu veranschaulichen.

Ergebnisse

Somit gibt es nur 5 reguläre Polyeder, sie entsprechen fünf Unterteilungen der zweidimensionalen Kugel, es gibt nur 3 Unterteilungen der euklidischen Ebene und es gibt eine abzählbare Anzahl von Unterteilungen der Lobatschewski-Ebene.
Was ist die Anwendung dieses Wissens?

Es gibt Leute, die sich direkt für die Aufteilung einer Kugel interessieren.

Der Zweck der Lektion:

1. Führen Sie das Konzept der regelmäßigen Polyeder ein.
2. Betrachten Sie die Arten regelmäßiger Polyeder.
3. Probleme lösen.
4. Um Interesse an dem Thema zu wecken, lehren Sie, Schönheit in geometrischen Körpern zu sehen, und entwickeln Sie räumliches Vorstellungsvermögen.
5. Interdisziplinäre Verbindungen.

Sichtweite: Tische, Modelle.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren. Informieren Sie über das Thema der Lektion und formulieren Sie die Ziele der Lektion.

II. Neues Material lernen/

Verfügbar in Schulgeometrie Sonderthemen, auf das Sie sich freuen, in Erwartung einer Begegnung mit unglaublich schönem Material. Zu diesen Themen gehören „ Regelmäßige Polyeder" Hier eröffnet sich nicht nur eine wunderbare Welt geometrische Körper, besitzt einzigartige Eigenschaften, aber auch interessante wissenschaftliche Hypothesen. Und dann wird der Geometrieunterricht zu einer Art Studium unerwarteter Aspekte eines vertrauten Schulfachs.

Kein geometrischer Körper ist so perfekt und schön wie regelmäßige Polyeder. „Es gibt eine erschreckend kleine Anzahl regelmäßiger Polyeder“, schrieb L. Carroll einmal, „aber dieser zahlenmäßig sehr bescheidenen Abteilung gelang es, in die Tiefen verschiedener Wissenschaften vorzudringen.“

Definition eines regelmäßigen Polyeders.

Ein Polyeder heißt regulär, wenn:

1. es ist konvex;
2. all seine Facetten - gleichberechtigter Freund andere regelmäßige Vielecke;
3. konvergiert an jedem seiner Eckpunkte selbe Nummer Rippen;
4. alles davon Diederwinkel sind gleich.

Satz: Es gibt fünf verschiedene (bis zur Ähnlichkeit) Arten regelmäßiger Polyeder: regelmäßiges Tetraeder, regelmäßiges Hexaeder (Würfel), regelmäßiges Oktaeder, regelmäßiges Dodekaeder und regelmäßiges Ikosaeder.

Tabelle 1.Einige Eigenschaften regelmäßiger Polyeder sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Gesichtstyp	Flacher Spitzenwinkel	Ansicht eines polyedrischen Scheitelwinkels	Summe der Ebenenwinkel an einem Scheitelpunkt	IN	R	G	Polyedername
Regelmäßiges Dreieck	60º	3-seitig	180º	4	6	4	Regelmäßiges Tetraeder
Regelmäßiges Dreieck	60º	4-seitig	240º	6	12	8	Regelmäßiges Oktaeder
Regelmäßiges Dreieck	60º	5-seitig	300º	12	30	20	Regelmäßiges Ikosaeder
Quadrat	90º	3-seitig	270º	8	12	6	Regelmäßiges Hexaeder (Würfel)
Regelmäßiges Dreieck	108º	3-seitig	324º	20	30	12	Regelmäßiges Dodekaeder

Betrachten wir die Arten von Polyedern:

Regelmäßiges Tetraeder

<Рис. 1>

Regelmäßiges Oktaeder

<Рис. 2>

Regelmäßiges Ikosaeder

<Рис. 3>

Regelmäßiges Hexaeder (Würfel)

<Рис. 4>

Regelmäßiges Dodekaeder

<Рис. 5>

Tabelle 2. Formeln zum Ermitteln der Volumina regelmäßiger Polyeder.

Art des Polyeders	Volumen eines Polyeders
Regelmäßiges Tetraeder
Regelmäßiges Oktaeder
Regelmäßiges Ikosaeder
Regelmäßiges Hexaeder (Würfel)
Regelmäßiges Dodekaeder

„Platonische Körper“.

Der Würfel und das Oktaeder sind dual, d.h. erhält man voneinander, wenn man die Schwerpunkte der Flächen der einen als Eckpunkte der anderen nimmt und umgekehrt. Dodekaeder und Ikosaeder sind ebenfalls dual. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Ein regelmäßiges Dodekaeder erhält man aus einem Würfel, indem man auf seinen Flächen „Dächer“ konstruiert (Euklidische Methode); die Eckpunkte des Tetraeders sind beliebige vier Eckpunkte des Würfels, die nicht paarweise entlang einer Kante benachbart sind. Auf diese Weise erhält man alle anderen regulären Polyeder aus dem Würfel. Allein die Tatsache, dass es nur fünf wirklich regelmäßige Polyeder gibt, ist überraschend – schließlich gibt es unendlich viele regelmäßige Polyeder auf der Ebene!

Alle regulären Polyeder waren schon damals bekannt Antikes Griechenland, und das letzte, XII. Buch ist ihnen gewidmet berühmte Anfänge Euklid. Diese Polyeder werden oft genannt platonische Körper im idealistischen Weltbild der Großen antiker griechischer Denker Plato. Vier von ihnen verkörperten die vier Elemente: Tetraeder-Feuer, Würfel-Erde, Ikosaeder-Wasser und Oktaeder-Luft; Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, symbolisierte das gesamte Universum. Im Lateinischen wurde es quinta essentia („fünfte Essenz“) genannt.

Anscheinend war es nicht schwer, das richtige Tetraeder, den richtigen Würfel oder das richtige Oktaeder zu finden, zumal diese Formen es waren natürliche Kristalle, zum Beispiel: Würfel – Einkristall aus Speisesalz (NaCl), Oktaeder – Einkristall aus Kaliumalaun ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Es wird angenommen, dass die alten Griechen die Form des Dodekaeders durch die Untersuchung von Pyritkristallen (Schwefelpyrit FeS) erlangten. Mit einem Dodekaeder ist es nicht schwierig, ein Ikosaeder zu konstruieren: Seine Eckpunkte sind die Mittelpunkte der 12 Flächen des Dodekaeders.

Wo sonst kann man diese erstaunlichen Körper sehen?

In einem sehr schönen Buch des deutschen Biologen vom Anfang dieses Jahrhunderts, E. Haeckel, „Die Schönheit der Formen in der Natur“, können Sie die folgenden Zeilen lesen: „Die Natur nährt in ihrem Schoß eine unerschöpfliche Anzahl erstaunlicher Kreaturen, die an Schönheit und Vielfalt übertreffen alle von der menschlichen Kunst geschaffenen Formen bei weitem.“ Die in diesem Buch dargestellten Naturgeschöpfe sind wunderschön und symmetrisch. Dies ist eine untrennbare Eigenschaft der natürlichen Harmonie. Aber hier sieht man es einzellige Organismen– Feodaria, deren Form das Ikosaeder genau widerspiegelt. Was verursacht diese natürliche Geometrisierung? Vielleicht weil alle Polyeder die gleiche Anzahl an Flächen haben, hat das Ikosaeder das größte Volumen und die kleinste Oberfläche. Das geometrische Eigenschaft hilft dem Meeresmikroorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden.

Interessant ist auch, dass es das Ikosaeder war, das im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit der Biologen bei ihren Auseinandersetzungen über die Form von Viren stand. Das Virus kann nicht, wie bisher angenommen, perfekt rund sein. Um seine Form zu bestimmen, nahmen sie verschiedene Polyeder und richteten Licht im gleichen Winkel auf sie, wie der Atomfluss auf das Virus. Es stellte sich heraus, dass die oben genannten Eigenschaften die Speicherung genetischer Informationen ermöglichen. Regelmäßige Polyeder sind die vorteilhaftesten Figuren. Und die Natur nutzt dies in großem Umfang. Regelmäßige Polyeder bestimmen bei manchen die Form der Kristallgitter Chemikalien. Nächste Aufgabe wird diese Idee veranschaulichen.

Aufgabe. Das Modell des CH 4 -Methanmoleküls hat die Form eines regelmäßigen Tetraeders mit Wasserstoffatomen an den vier Ecken und einem Kohlenstoffatom in der Mitte. Bestimmen Sie den Bindungswinkel zwischen zwei CH-Bindungen.

<Рис. 6>

Lösung. Da ein regelmäßiger Tetraeder sechs gleiche Kanten hat, ist es möglich, einen Würfel so auszuwählen, dass die Diagonalen seiner Flächen die Kanten eines regelmäßigen Tetraeders sind. Der Mittelpunkt des Würfels ist auch der Mittelpunkt des Tetraeders, denn die vier Eckpunkte des Tetraeders sind auch die Eckpunkte des Würfels und die um sie herum beschriebene Kugel wird eindeutig durch vier Punkte bestimmt, die nicht in derselben Ebene liegen.

Das Dreieck AOC ist gleichschenklig. Daher ist a die Seite des Würfels, d die Länge der Diagonale der Seitenfläche oder der Kante des Tetraeders. Also, a = 54,73561 0 und j = 109,47 0

Aufgabe. In einem Würfel mit einem Scheitelpunkt (D) werden die Diagonalen der Flächen DA, DB und DC gezeichnet und ihre Enden durch gerade Linien verbunden. Beweisen Sie, dass das Polyeder DABC, das aus vier durch diese Linien verlaufenden Ebenen besteht, ein reguläres Tetraeder ist.

<Рис. 7>

Aufgabe. Die Kante des Würfels ist gleich A. Berechnen Sie die Oberfläche der Beschriftung regelmäßiges Oktaeder. Finden Sie sein Verhältnis zur Oberfläche eines regelmäßigen Tetraeders, der in denselben Würfel eingeschrieben ist.

<Рис. 8>

Verallgemeinerung des Konzepts des Polyeders.

Ein Polyeder ist eine Ansammlung einer endlichen Anzahl flacher Polygone, so dass:

1. jede Seite eines der Polygone ist gleichzeitig eine Seite eines anderen (aber nur eine (neben der ersten genannt) auf dieser Seite);
2. Von jedem der Polygone aus, aus denen das Polyeder besteht, können Sie jedes erreichen, indem Sie zu dem angrenzenden Polyeder wechseln und von diesem wiederum zu dem benachbarten usw.

Diese Polyeder werden Flächen, ihre Seiten Kanten und ihre Eckpunkte Eckpunkte des Polyeders genannt.

Die obige Definition eines Polyeders hat je nach Definition des Polyeders unterschiedliche Bedeutungen:

– Wenn wir mit Polygon flache geschlossene gestrichelte Linien meinen (auch wenn sie sich selbst schneiden), dann kommen wir zu diese Definition Polyeder;

– Versteht man unter einem Polygon einen durch gestrichelte Linien begrenzten Teil einer Ebene, so versteht man unter diesem Gesichtspunkt ein Polyeder als eine aus Polygonstücken zusammengesetzte Fläche. Wenn diese Fläche sich selbst nicht schneidet, handelt es sich um die vollständige Fläche eines geometrischen Körpers, der auch Polyeder genannt wird. Daraus ergibt sich eine dritte Sichtweise auf Polyeder als geometrische Körper, die auch die Existenz von „Löchern“ in diesen Körpern begrenzt zulässt endliche Zahl flache Kanten.

Die einfachsten Beispiele für Polyeder sind Prismen und Pyramiden.

Das Polyeder heißt N- Kohle Pyramide, wenn sie eine ihrer Seiten (Basis) hat N- Dreieck, und die restlichen Flächen sind Dreiecke mit gemeinsame Spitze, nicht in der Ebene der Basis liegen. Eine dreieckige Pyramide wird auch Tetraeder genannt.

Das Polyeder heißt N-ein Kohlenstoffprisma, wenn seine beiden Flächen (Grundflächen) gleich sind N-Ecke (die nicht in derselben Ebene liegen), die sich aus einander ergeben Parallelübertragung, und die übrigen Flächen sind Parallelogramme, gegenüberliegende Seiten Das sind die entsprechenden Seiten der Basen.

Für jedes Polyeder der Gattung Null ist die Euler-Charakteristik (Anzahl der Eckpunkte minus Anzahl der Kanten plus Anzahl der Flächen) gleich zwei; symbolisch: B – P + G = 2 (Satz von Euler). Für ein Polyeder der Gattung P Es gilt folgende Beziehung: B – P + G = 2 – 2 P.

Ein konvexes Polyeder ist ein Polyeder, das auf einer Seite der Ebene einer seiner Flächen liegt. Die wichtigsten sind die folgenden konvexen Polyeder:

<Рис. 9>

1. regelmäßige Polyeder (platonische Körper) – solche konvexen Polyeder, deren Flächen alle identische regelmäßige Vielecke sind und alle Polyederwinkel an den Eckpunkten regelmäßig und gleich sind<Рис. 9, № 1-5>;
2. Isogone und Isoeder – konvexe Polyeder, alle polyedrische Winkel von denen alle Flächen gleich (Isogone) oder gleich (Isoeder) sind; Darüber hinaus wandelt eine Gruppe von Rotationen (mit Spiegelungen) eines Isogons (Isoeders) um den Schwerpunkt jeden seiner Scheitelpunkte (Flächen) in jeden anderen seiner Scheitelpunkte (Flächen) um. Die auf diese Weise erhaltenen Polyeder werden semireguläre Polyeder (archimedische Körper) genannt.<Рис. 9, № 10-25>;
3. Paralleloeder (konvex) – als Körper betrachtete Polyeder, paralleler Schnittpunkt die den gesamten unendlichen Raum ausfüllen können, sodass sie nicht ineinander passen und keine Lücken zwischen sich hinterlassen, d.h. bildete eine Raumteilung<Рис. 9, № 26-30>;
4. Wenn wir mit Polygon flache geschlossene gestrichelte Linien meinen (auch wenn sie sich selbst schneiden), dann können wir vier weitere nicht konvexe (sternförmige) regelmäßige Polyeder (Poinsot-Körper) angeben. In diesen Polyedern schneiden sich entweder die Flächen gegenseitig, oder die Flächen sind sich selbst schneidende Polygone<Рис. 9, № 6-9>.

III. Hausaufgabe.

IV. Probleme lösen Nr. 279, Nr. 281.

V. Zusammenfassend.

Liste der verwendeten Literatur:

1. „Mathematische Enzyklopädie“, herausgegeben von I. M. Vinogradova, Verlag " Sowjetische Enzyklopädie“, Moskau, 1985. Band 4, S. 552–553 Band 3, S. 708–711.
2. "Klein mathematische Enzyklopädie”,E. Fried, I. Pastor, I. Reiman und andere. Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, Budapest, 1976. S. 264–267.
3. „Sammlung von Mathematikproblemen für Studienanfänger“ in zwei Büchern, herausgegeben von M.I. Scanavi, Buch 2 – Geometrie, Verlag „ Handelshochschule“, Moskau, 1998. S. 45–50.
4. “Praktischer Unterricht Mathematik: Lernprogramm für technische Schulen“, Verlag „Higher School“, Moskau, 1979. S. 388–395, S. 405.
5. „Repeat Mathematics“, Ausgabe 2–6, Ergänzung, Lehrbuch für Studienbewerber, Higher School-Verlag, Moskau, 1974. S. 446–447.
6. Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker, A. P. Savin, Verlag „Pädagogik“, Moskau, 1989. S. 197–199.
7. „Enzyklopädie für Kinder. T.P. Mathematik", Chefredakteur M. D. Aksenova; Methode und Antwort. Herausgeber V. A. Volodin, Verlag Avanta+, Moskau, 2003. S. 338–340.
8. Geometrie, 10–11: Lehrbuch für Bildungsinstitutionen/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev und andere – 10. Auflage – M.: Bildung, 2001. S. 68–71.
9. „Kvant“ Nr. 9, 11 – 1983, Nr. 12 – 1987, Nr. 11, 12 – 1988, Nr. 6, 7, 8 – 1989. Populärwissenschaftliche Zeitschrift für Physik und Mathematik der Akademie der Wissenschaften und der Akademie der UdSSR Pädagogische Wissenschaften DIE UDSSR. Verlag „Wissenschaft“. Hauptredaktion physikalische und mathematische Literatur. Seite 5–9, 6–12, 7–9, 10, 4–8, 13, 16, 58.
10. Probleme lösen erhöhte Komplexität in Geometrie: 11. Klasse - M.: ARKTI, 2002. S. 9, 19–20.

Polyeder nehmen nicht nur in der Geometrie einen herausragenden Platz ein, sondern kommen auch in vor Alltagsleben jede Person. Ganz zu schweigen von künstlich hergestellten Haushaltsgegenständen in der Form verschiedene Polygone, ab Streichholzschachtel und endend mit architektonischen Elementen kommen in der Natur auch Kristalle in Form eines Würfels (Salz), eines Prismas (Kristalls), einer Pyramide (Scheelit), eines Oktaeders (Diamant) usw. vor.

Das Konzept eines Polyeders, Arten von Polyedern in der Geometrie

Die Geometrie als Wissenschaft umfasst einen Abschnitt der Stereometrie, der Merkmale und Eigenschaften untersucht volumetrische Körper, deren Seiten im dreidimensionalen Raum durch begrenzte Ebenen (Flächen) gebildet werden, werden „Polyeder“ genannt. Es gibt Dutzende Arten von Polyedern, die sich in der Anzahl und Form der Flächen unterscheiden.

Dennoch haben alle Polyeder gemeinsame Eigenschaften:

1. Sie alle haben drei integrale Komponenten: eine Fläche (die Oberfläche eines Polygons), einen Scheitelpunkt (die Ecken, die an der Verbindung der Flächen gebildet werden), eine Kante (die Seite der Figur oder eines Segments, die an der Verbindung zweier Flächen gebildet wird). ).
2. Jede Kante eines Polygons verbindet zwei, und zwar nur zwei, einander benachbarte Flächen.
3. Konvexität bedeutet, dass sich der Körper vollständig nur auf einer Seite der Ebene befindet, auf der eine der Flächen liegt. Die Regel gilt für alle Flächen des Polyeders. In der Stereometrie werden solche geometrischen Figuren als konvexe Polyeder bezeichnet. Die Ausnahme bilden Sternpolyeder, die Ableitungen regelmäßiger polyedrischer geometrischer Körper sind.

Polyeder können unterteilt werden in:

1. Arten konvexe Polyeder, bestehend aus den folgenden Klassen: gewöhnlich oder klassisch (Prisma, Pyramide, Parallelepiped), regelmäßig (auch platonische Körper genannt), halbregulär (der zweite Name ist archimedische Körper).
2. Nichtkonvexe Polyeder (sternförmig).

Prisma und seine Eigenschaften

Die Stereometrie als Zweig der Geometrie untersucht die Eigenschaften dreidimensionaler Figuren, Polyedertypen (darunter Prisma). Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, in dem zwangsläufig zwei völlig identische Flächen (auch Grundflächen genannt) liegen parallele Ebenen und die n-te Anzahl von Seitenflächen in Form von Parallelogrammen. Das Prisma wiederum hat auch mehrere Varianten, darunter solche Arten von Polyedern wie:

1. Parallelepiped – gebildet, wenn die Basis ein Parallelogramm ist – ein Polygon mit 2 gleichen Paaren gegenüberliegende Ecken und zwei Paare kongruenter gegenüberliegender Seiten.
2. Ein gerades Prisma hat Rippen senkrecht zur Basis.
3. gekennzeichnet durch das Vorhandensein indirekter Winkel (außer 90) zwischen den Kanten und der Basis.
4. Ein regelmäßiges Prisma zeichnet sich durch Grundflächen in Form gleicher Seitenflächen aus.

Grundlegende Eigenschaften eines Prismas:

• Kongruente Basen.
• Alle Kanten des Prismas sind gleich und parallel zueinander.
• Alle Seitenflächen haben die Form eines Parallelogramms.

Pyramide

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, der aus einer Basis und der n-ten Anzahl dreieckiger Flächen besteht, die an einem Punkt – der Spitze – verbunden sind. Es ist zu beachten, dass, wenn die Seitenflächen der Pyramide notwendigerweise durch Dreiecke dargestellt werden, dies an der Basis so sein kann dreieckiges Polygon, und das gilt auch für ein Viereck, ein Fünfeck und so weiter bis ins Unendliche. In diesem Fall entspricht der Name der Pyramide dem Polygon an der Basis. Befindet sich beispielsweise an der Basis einer Pyramide ein Dreieck, handelt es sich um ein Viereck usw.

Pyramiden sind kegelförmige Polyeder. Zu den Polyedertypen dieser Gruppe zählen neben den oben aufgeführten auch folgende Vertreter:

1. Eine regelmäßige Pyramide hat an ihrer Basis regelmäßiges Vieleck, und seine Höhe wird in die Mitte eines Kreises projiziert, der in die Basis eingeschrieben oder um sie herum umschrieben ist.
2. Eine rechteckige Pyramide entsteht, wenn eine der Seitenkanten die Grundfläche im rechten Winkel schneidet. In diesem Fall kann man diese Kante auch als Höhe der Pyramide bezeichnen.

Eigenschaften der Pyramide:

• Für den Fall alles seitliche Rippen Die Pyramiden sind kongruent (gleich hoch), dann schneiden sie alle die Basis im gleichen Winkel, und um die Basis herum kann man einen Kreis zeichnen, dessen Mittelpunkt mit der Projektion der Spitze der Pyramide übereinstimmt.
• Liegt an der Basis der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck, dann sind alle Seitenkanten deckungsgleich und die Flächen sind gleichschenklige Dreiecke.

Regelmäßiges Polyeder: Arten und Eigenschaften von Polyedern

In der Stereometrie spezieller Ort besetzen geometrische Körper mit absolut gleichen Flächen, an deren Eckpunkten gleich viele Kanten verbunden sind. Diese Körper werden platonische Körper oder regelmäßige Polyeder genannt. Es gibt nur fünf Arten von Polyedern mit diesen Eigenschaften:

1. Tetraeder.
2. Hexaeder.
3. Oktaeder.
4. Dodekaeder.
5. Ikosaeder.

Regelmäßige Polyeder verdanken ihren Namen dem antiken griechischen Philosophen Platon, der diese geometrischen Körper in seinen Werken beschrieb und sie mit den natürlichen Elementen Erde, Wasser, Feuer, Luft in Verbindung brachte. Der fünften Figur wurde Ähnlichkeit mit der Struktur des Universums zugesprochen. Seiner Meinung nach haben die Atome natürlicher Elemente die Form regelmäßiger Polyeder. Dank ihrer faszinierendsten Eigenschaft – der Symmetrie – stellen diese geometrischen Körper dar großes Interesse nicht nur für antike Mathematiker und Philosophen, sondern auch für Architekten, Künstler und Bildhauer aller Zeiten. Das Vorhandensein von nur 5 Arten von Polyedern mit absoluter Symmetrie galt als grundlegender Fund, sie wurden sogar mit dem göttlichen Prinzip in Verbindung gebracht.

Hexaeder und seine Eigenschaften

In der Form eines Sechsecks nahmen Platons Nachfolger eine Ähnlichkeit mit der Struktur der Atome der Erde an. Natürlich ist diese Hypothese derzeit vollständig widerlegt, was jedoch nicht verhindert, dass die Figuren in der Neuzeit Aufmerksamkeit erregen berühmte Persönlichkeiten seine Ästhetik.

In der Geometrie gilt ein Hexaeder, auch Würfel genannt, als Sonderfall eines Parallelepipeds, das wiederum eine Art Prisma ist. Dementsprechend hängen die Eigenschaften des Würfels mit dem einzigen Unterschied zusammen, dass alle Flächen und Ecken des Würfels einander gleich sind. Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:

1. Alle Kanten des Würfels sind deckungsgleich und liegen in parallelen Ebenen zueinander.
2. Alle Flächen sind kongruente Quadrate (es gibt 6 davon im Würfel), von denen jedes als Basis genommen werden kann.
3. Alle interhedralen Winkel sind gleich 90.
4. Von jedem Scheitelpunkt kommt gleiche Menge Rippen, nämlich 3.
5. Der Würfel hat 9, die sich alle im Schnittpunkt der Diagonalen des Hexaeders schneiden, dem sogenannten Symmetriezentrum.

Tetraeder

Ein Tetraeder ist ein Tetraeder mit gleichen Flächen in Form von Dreiecken, deren Eckpunkte jeweils der Verbindungspunkt dreier Flächen sind.

Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:

1. Alle Flächen eines Tetraeders – das bedeutet, dass alle Flächen eines Tetraeders deckungsgleich sind.
2. Da die Basis durch das Richtige dargestellt wird geometrische Figur, das heißt, es hat gleiche Seiten, dann konvergieren die Flächen des Tetraeders im gleichen Winkel, das heißt, alle Winkel sind gleich.
3. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 180. Da alle Winkel gleich sind, beträgt jeder Winkel eines regelmäßigen Tetraeders 60.
4. Jeder Scheitelpunkt wird auf den Schnittpunkt der Höhen der gegenüberliegenden Fläche (Orthozentrum) projiziert.

Oktaeder und seine Eigenschaften

Bei der Beschreibung der Arten regelmäßiger Polyeder kann man nicht umhin, ein solches Objekt wie das Oktaeder zu erwähnen, das visuell als zwei an ihrer Basis zusammengeklebte viereckige regelmäßige Pyramiden dargestellt werden kann.

Eigenschaften des Oktaeders:

1. Schon der Name eines geometrischen Körpers deutet auf die Anzahl seiner Flächen hin. Ein Oktaeder besteht aus 8 kongruenten gleichseitige Dreiecke, an deren Ecken jeweils die gleiche Anzahl von Flächen zusammenläuft, nämlich 4.
2. Da alle Flächen des Oktaeders gleich sind, sind auch seine Grenzflächenwinkel gleich, die jeweils 60 betragen, und die Summe der Ebenenwinkel aller Eckpunkte beträgt somit 240.

Dodekaeder

Wenn wir uns vorstellen, dass alle Flächen eines geometrischen Körpers vorhanden sind regelmäßiges Fünfeck, dann erhält man ein Dodekaeder – eine Figur aus 12 Polygonen.

Eigenschaften des Dodekaeders:

1. An jedem Scheitelpunkt schneiden sich drei Flächen.
2. Alle Gesichter sind gleich und haben die gleiche Länge Rippen sowie eine gleiche Fläche.
3. Das Dodekaeder hat 15 Achsen und Symmetrieebenen, und jede davon verläuft durch den Scheitelpunkt der Fläche und die Mitte der ihr gegenüberliegenden Kante.

Ikosaeder

Die Ikosaederfigur ist nicht weniger interessant als das Dodekaeder und ein dreidimensionaler geometrischer Körper mit 20 gleichen Flächen. Zu den Eigenschaften des regulären 20-Eders zählen:

1. Alle Flächen des Ikosaeders sind gleichschenklige Dreiecke.
2. An jedem Scheitelpunkt eines Polyeders treffen sich fünf Flächen und die Summe angrenzende Ecken Tops ist 300.
3. Das Ikosaeder hat wie das Dodekaeder 15 Achsen und Symmetrieebenen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen.

Halbregelmäßige Polygone

Zur Gruppe der konvexen Polyeder gehören neben den platonischen Körpern auch die archimedischen Körper, bei denen es sich um abgeschnittene regelmäßige Polyeder handelt. Die Polyedertypen dieser Gruppe haben die folgenden Eigenschaften:

1. Geometrische Körper haben Paare gleiche Gesichter Es gibt mehrere Arten, zum Beispiel hat ein Tetraederstumpf wie ein regulärer Tetraeder acht Flächen, aber im Fall des archimedischen Körpers sind vier Flächen dreieckig und vier sechseckig.
2. Alle Winkel einer Ecke sind kongruent.

Sternpolyeder

Vertreter nicht-volumetrischer Arten geometrischer Körper sind sternförmige Polyeder, deren Flächen sich kreuzen. Sie können durch die Verschmelzung zweier regelmäßiger dreidimensionaler Körper oder durch die Verlängerung ihrer Flächen entstehen.

Daher sind solche sternförmigen Polyeder bekannt als: sternförmige Formen von Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder, Kuboktaeder, Ikosidodekaeder.