Subtrahieren von Dezimalbrüchen Regeln Beispiele Lösungen. Subtraktion von Dezimalzahlen in gemischter Form

Anwendung

Integrale online auf der Website, um das von Studenten und Schülern behandelte Material zu konsolidieren. Und üben Sie Ihre praktischen Fähigkeiten. Eine vollständige Lösung von Integralen online für Sie in wenigen Augenblicken hilft Ihnen, alle Phasen des Prozesses zu bestimmen.Jedes Mal, wenn Sie anfangen, ein Integral online zu lösen, müssen Sie seinen Typ identifizieren, ohne den Sie keine Methode verwenden können, außer die integrale Tabelle. Nicht jedes Tabellenintegral ist klar ersichtlich aus gegebenes Beispiel, manchmal müssen Sie die ursprüngliche Funktion transformieren, um die Stammfunktion zu finden. In der Praxis läuft die Lösung von Integralen darauf hinaus, das Problem zu interpretieren, das Original zu finden, dh die Stammfunktion aus einer unendlichen Familie von Funktionen, aber wenn die Integrationsgrenzen gegeben sind, dann nach der Newton-Leibniz-Formel nur eine Überreste die einzige Funktion auf die die Berechnungen angewendet werden. Online-Integrale sind das unbestimmte Online-Integral und das bestimmte Online-Integral. Das Integral einer Online-Funktion ist die Summe beliebiger Zahlen, die zu ihrer Integration vorgesehen sind. Daher ist das definitive Online-Integral informell die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse innerhalb der Integration. Beispiele zur Lösung von Problemen mit Integralen. Lassen Sie uns rechnen komplexes Integral eine Variable nach der anderen und verbinde seine Antwort mit der weiteren Lösung des Problems. Sie können, wie sie sagen, direkt das Integral des Integranden finden. Jedes Integral mit hoher Genauigkeit bestimmt die Fläche durch Linien begrenzt Zahlen. Das ist einer von ihm geometrische Bedeutungen. Diese Methode erleichtert den Schülern die Arbeit. Mehrere Stufen in der Tat nicht besonderen Einfluss auf der Vektoranalyse. Das Online-Funktionsintegral stellt das Grundkonzept der Integralrechnung dar. Unbestimmte Integrale lösen. Nach dem Hauptsatz der Analysis ist die Integration eine Operation, die der Differentiation entgegengesetzt ist, was zur Lösung beiträgt Differentialgleichung. Es gibt einige verschiedene Definitionen Integrationsoperationen, die sich unterscheiden in technische Details. Sie sind jedoch alle kompatibel, d. h. zwei beliebige Integrationsmethoden ergeben, wenn sie auf eine gegebene Funktion angewendet werden können, das gleiche Ergebnis. Das einfachste ist das Riemann-Integral - ein bestimmtes Integral oder ein unbestimmtes Integral. Informell kann das Integral einer Funktion einer Variablen als die Fläche unter dem Graphen eingeführt werden (die Zahl, die zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossen ist). Jedes solche Teilproblem kann rechtfertigen, dass es äußerst notwendig sein wird, das Integral ganz am Anfang eines wichtigen Ansatzes zu berechnen. Vergiss es nicht! Um diesen Bereich zu finden, kann man sich Figuren vorstellen, die aus einer Anzahl vertikaler Rechtecke bestehen, deren Basen zusammen ein Integrationssegment bilden und durch Teilen des Segments in die entsprechende Anzahl kleiner Segmente erhalten werden. Integrale online lösen Online-Integral - unbestimmtes Online-Integral und bestimmtes Online-Integral. Integrale online lösen: unbestimmtes Online-Integral und bestimmtes Online-Integral. Der Rechner löst Integrale mit Beschreibung der Aktionen ausführlich und kostenlos! Das unbestimmte Online-Integral für eine Funktion ist die Gesamtheit aller Stammfunktionen der gegebenen Funktion. Wenn eine Funktion auf einem Intervall definiert und stetig ist, dann hat sie eine Stammfunktion (oder eine Familie von Stammfunktionen). Das Integral definiert nur einen Ausdruck, dessen Bedingungen von Ihnen beim Auftreten eines solchen Bedarfs festgelegt werden. Es ist besser, vorsichtig an diese Angelegenheit heranzugehen und durch die geleistete Arbeit innere Zufriedenheit zu erfahren. Aber das Integral anders als klassisch zu berechnen, führt manchmal zu unerwarteten Ergebnissen und darüber sollte man sich nicht wundern. Erfreut darüber, dass positive Resonanz zu dem, was passiert. Liste der bestimmten Integrale und unbestimmten Integrale von Integralen mit allen Details Schritt-für-Schritt Lösung. Alle Integrale mit detaillierter Lösung online. Unbestimmtes Integral. Das unbestimmte Integral online zu finden, ist eine sehr häufige Aufgabe in höhere Mathematik und andere technische Wissenschaftszweige. Grundlegende Methoden der Integration. Definition von Integral, bestimmtem und unbestimmtem Integral, Integraltabelle, Newton-Leibniz-Formel. Und wieder können Sie Ihr Integral anhand der Tabelle der Integralausdrücke finden, aber dazu müssen Sie noch kommen, da nicht alles so einfach ist, wie es auf den ersten Blick scheinen mag. Denken Sie an fertiggestellte Gebäude, bevor Fehler gefunden werden. Bestimmtes Integral und Methoden seiner Berechnung. Online bestimmtes Integral mit variabler Obergrenze. Integrale online lösen. Jedes Beispiel, das bei der Berechnung des Integrals mithilfe von Tabellenformeln hilft, ist ein nützlicher Leitfaden für Schüler aller Ausbildungsstufen. Kritischer Schritt auf dem Weg zur richtigen Antwort Integrale online. Nicht bestimmte Integrale enthält Exponential und Logarithmische Funktionen. Integrale online lösen - Sie erhalten ausführliche Lösung zum verschiedene Typen Integrale: unbestimmt, bestimmt, uneigentlich. Der Bestimmte-Integral-Rechner berechnet das bestimmte Online-Integral einer Funktion auf einem Intervall mit Numerische Integration. Das Integral einer Funktion ist analog zur Summe einer Folge. Informell gesprochen ist ein bestimmtes Integral die Fläche eines Teils des Graphen einer Funktion. Online-Integrallösung Online-Integral - Online-unbestimmtes Integral und Online-bestimmtes Integral. Oft bestimmt ein solches Integral, wie viel ein Körper schwerer ist als ein Objekt gleicher Dichte im Vergleich zu ihm, und es spielt keine Rolle, welche Form er hat, da die Oberfläche kein Wasser aufnimmt. Integrale online lösen.. Online Integrale - online unbestimmtes Integral und online bestimmtes Integral. Jeder Student weiß, wie man das Integral online findet Studenten. In der Basis Lehrplan Dieser Teil der Mathematik wird ebenfalls studiert, aber nicht im Detail, sondern nur die Grundlagen eines so komplexen und wichtigen Themas. In den meisten Fällen beginnt das Studium der Integrale mit einer ausführlichen Theorie, der auch eine vorangestellt ist wichtige Themen, wie die Ableitung und Übergänge begrenzen- Sie sind die Grenzen. Die Lösung von Integralen beginnt allmählich bei den meisten elementare Beispiele aus einfache Funktionen, und endet mit der Anwendung vieler Ansätze und Regeln, die im letzten Jahrhundert und sogar noch viel früher vorgeschlagen wurden. Integralrechnung ist einführend in Lyzeen und Schulen, dh in der Sekundarstufe Bildungsinstitutionen. Unsere Website wird Ihnen immer helfen, und das Online-Lösen von Integralen wird für Sie zu einer gewöhnlichen und vor allem verständlichen Aufgabe. In der Basis diese Ressource Sie können in diesem Mathematikabschnitt leicht Perfektion erreichen. Indem Sie die gelernten Regeln Schritt für Schritt lernen, wie z. B. die Integration nach Teilen oder die Anwendung der Tschebyscheff-Methode, können Sie sich leicht entscheiden Höchstbetrag Punkte bei jedem Test. Wie können wir also das Integral noch anhand der allen bekannten Integraltabelle berechnen, aber so, dass die Lösung richtig, richtig und mit möglichst genauer Antwort ist? Wie kann man das lernen und ist es möglich, es für einen gewöhnlichen Neuling in zu tun? so bald wie möglich? Wir beantworten diese Frage mit Ja – es ist möglich! In diesem Fall können Sie nicht nur jedes Beispiel lösen, sondern auch das Niveau eines erstklassigen Ingenieurs erreichen. Das Geheimnis ist so einfach wie immer – Sie müssen sich maximal anstrengen, geben erforderliche Menge Zeit zum Selbststudium. Leider ist noch niemand auf eine andere Möglichkeit gekommen! Doch nicht alles ist so trüb, wie es auf den ersten Blick scheint. Wenn Sie sich mit dieser Frage an unseren Site-Service wenden, dann machen wir Ihnen das Leben leichter, denn unsere Site kann Integrale online detailliert, in sehr hoher Geschwindigkeit und mit einer tadellos genauen Antwort berechnen. Im Kern bestimmt das Integral nicht, wie sich das Verhältnis der Argumente auf die Stabilität des Systems als Ganzes auswirkt. Wenn nur alles ausgeglichen wäre. Zusammen mit, wie Sie die Grundlagen dazu lernen mathematisches Thema, kann der Dienst das Integral eines beliebigen Integranden finden, wenn dieses Integral aufgelöst werden kann elementare Funktionen. BEI Andernfalls für Integrale, die nicht in elementaren Funktionen genommen werden, ist es in der Praxis nicht erforderlich, eine Antwort in analytischer oder mit anderen Worten in expliziter Form zu finden. Alle Berechnungen von Integralen werden auf die Definition reduziert Stammfunktion aus dem gegebenen Integranden. Berechnen Sie dazu zunächst das unbestimmte Integral nach allen Gesetzen der Mathematik online. Ersetzen Sie dann, falls erforderlich, die oberen und unteren Werte des Integrals. Wenn Sie nicht bestimmen oder berechnen müssen numerischer Wert unbestimmtes Integral, dann wird der resultierenden Stammfunktion eine Konstante hinzugefügt, wodurch eine Familie von Stammfunktionen definiert wird. Spezieller Ort in Naturwissenschaften und allgemein in allen technischen Bereichen, einschließlich Mechanik kontinuierliche Medien, Integration beschreibt ganze mechanische Systeme, deren Bewegungen und vieles mehr. In vielen Fällen bestimmt das gebildete Integral das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes. Es ist ein sehr wichtiges Hilfsmittel beim Lernen angewandte Wissenschaften. Auf dieser Grundlage kann man nur von groß angelegten Berechnungen sprechen, um die Gesetze der Existenz und des Verhaltens zu bestimmen mechanische Systeme. Der Online-Rechner für integrale Lösungen auf der Website ist ein leistungsstarkes Tool für professionelle Ingenieure. Wir garantieren Ihnen dies eindeutig, können Ihr Integral jedoch erst berechnen, nachdem Sie den richtigen Ausdruck in den Bereich des Integranden eingegeben haben. Haben Sie keine Angst, einen Fehler zu machen, in dieser Angelegenheit ist alles reparabel! Üblicherweise wird die Lösung von Integralen auf die Anwendung reduziert Tabellenfunktionen aus bekannten Lehrbüchern oder Enzyklopädien. Wie jedes andere unbestimmte Integral wird es ohne grobe Kritik nach der Standardformel berechnet. Leicht und natürlich begreifen Studienanfänger den gelernten Stoff im Handumdrehen, und manchmal dauert es nicht länger als zwei Minuten, bis sie das Integral finden. Und wenn ein Schüler die Integraltabelle gelernt hat, dann kann er im Allgemeinen die Antworten in seinem Kopf bestimmen. Funktionen relativ zu Flächen um Variablen zu erweitern bedeutet zunächst die richtige Vektorrichtung an einem Punkt auf der Abszisse. Unvorhersehbarem Verhalten von Oberflächenlinien liegen bestimmte Integrale in der Antwortquelle zugrunde mathematische Funktionen. Der linke Rand der Kugel berührt nicht den Zylinder, in den der Kreis eingeschrieben ist, wenn Sie den Schnitt in der Ebene betrachten. Die Summe kleiner Bereiche, die in Hunderte unterteilt sind Stückweise stetige Funktionen Es gibt ein Online-Integral von gegebene Funktion. mechanischen Sinn Integral besteht aus vielen angewandte Aufgaben, dies ist die Definition des Volumens von Körpern und die Berechnung der Körpermasse. Dreifach und doppelte Integrale an diesen Berechnungen beteiligt. Wir bestehen darauf, dass die Online-Lösung von Integralen nur unter Aufsicht durchgeführt wird erfahrene Lehrer und durch zahlreiche Überprüfungen Wir werden oft nach dem Fortschritt von Studenten gefragt, die Vorlesungen nicht besuchen, sie grundlos schwänzen, wie sie es schaffen, selbst das Integral zu finden. Wir antworten, dass Studenten freie Menschen sind und gut extern ausgebildet werden können, um sich in bequemen häuslichen Bedingungen auf einen Test oder eine Prüfung vorzubereiten. In Sekundenschnelle hilft unser Service jedem, der das Integral einer beliebigen Funktion in Bezug auf eine Variable berechnen möchte. Überprüfen Sie das Ergebnis, das Sie erhalten, indem Sie die Ableitung der Stammfunktion bilden. In diesem Fall verschwindet die Konstante aus der Lösung des Integrals. Diese Regel gilt natürlich für alle. Da multidirektionale Operationen begründet werden, wird das unbestimmte Integral oft auf die Aufteilung der Region in kleine Teile reduziert. Einige Studenten und Schüler vernachlässigen diese Anforderung jedoch. Wie immer können Online-Integrale detailliert von unserer Serviceseite gelöst werden und es gibt keine Beschränkungen bei der Anzahl der Anfragen, alles ist kostenlos und für jedermann verfügbar. Es gibt nicht viele solcher Websites, die innerhalb von Sekunden eine Schritt-für-Schritt-Antwort geben, und vor allem mit hoher Genauigkeit und in einer bequemen Form. BEI letztes Beispiel auf der fünften Seite Hausaufgaben eine erfüllt, die auf die Notwendigkeit hinweist, das Integral stufenweise zu berechnen. Aber wir sollten nicht vergessen, wie es möglich ist, das Integral unter Verwendung zu finden Bereitschaftsdienst, erprobt und an Tausenden von gelösten Beispielen online getestet. Wie ein solches Integral die Bewegung des Systems bestimmt, ergibt sich ganz klar und deutlich aus der Natur der Bewegung einer viskosen Flüssigkeit, die durch dieses Gleichungssystem beschrieben wird.

Zuvor haben wir, nach einer bestimmten Funktion, durch geführt verschiedene Formeln und Regeln, fand seine Ableitung. Die Ableitung hat zahlreiche Anwendungen: sie ist die Bewegungsgeschwindigkeit (oder allgemeiner die Geschwindigkeit jedes Prozesses); Neigung Tangente an den Graphen der Funktion; mit der Ableitung können Sie die Funktion auf Monotonie und Extrema untersuchen; Es hilft, Optimierungsprobleme zu lösen.

Aber zusammen mit dem Problem, die Geschwindigkeit in Bezug auf zu finden bekanntes Gesetz Bewegung trifft und umgekehrtes Problem- das Problem der Wiederherstellung des Bewegungsgesetzes entlang bekannte Geschwindigkeit. Betrachten wir eines dieser Probleme.

Beispiel 1 Bewegt sich in einer geraden Linie materieller Punkt, ist die Geschwindigkeit seiner Bewegung zum Zeitpunkt t durch die Formel v=gt gegeben. Finden Sie das Bewegungsgesetz.
Lösung. Sei s = s(t) das gesuchte Bewegungsgesetz. Es ist bekannt, dass s"(t) = v(t). Um das Problem zu lösen, müssen Sie also eine Funktion s = s(t) wählen, deren Ableitung gleich gt ist. Es ist leicht zu erraten, dass \( s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \) In der Tat
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt\)
Antwort: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Wir stellen gleich fest, dass das Beispiel richtig, aber unvollständig gelöst ist. Wir haben \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Tatsächlich hat das Problem unendlich viele Lösungen: Jede Funktion der Form \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), wobei C eine beliebige Konstante ist, kann als Gesetz von dienen Bewegung, da \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Um das Problem zu konkretisieren, mussten wir die Ausgangssituation fixieren: Geben Sie die Koordinate des sich bewegenden Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt an, zum Beispiel bei t = 0. Wenn, sagen wir, s(0) = s 0 , dann von die Gleichheit s(t) = (gt 2)/2 + C erhalten wir: s(0) = 0 + C, also C = s 0 . Nun ist das Bewegungsgesetz eindeutig definiert: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

In der Mathematik werden reziproke Operationen zugeordnet verschiedene Namen, erfinden Sie eine spezielle Notation, zum Beispiel: Quadrieren (x 2) und Extrahieren Quadratwurzel(\(\sqrt(x) \)), Sinus (sin x) und Arkussinus (arcsin x) usw. Der Prozess des Findens der Ableitung in Bezug auf eine gegebene Funktion wird aufgerufen Unterscheidung, und die inverse Operation, d. h. der Prozess, eine Funktion durch eine gegebene Ableitung zu finden, - Integration.

Der Begriff "Ableitung" selbst kann "weltlich" gerechtfertigt werden: Die Funktion y \u003d f (x) "produziert in die Welt" neue Funktion y" = f"(x). Die Funktion y \u003d f (x) fungiert als „Elternteil“, aber Mathematiker nennen sie natürlich nicht „Elternteil“ oder „Produzent“, sie sagen, dass dies in Bezug auf die Funktion y " = f" (x) , das primäre Bild oder die Stammfunktion.

Definition. Eine Funktion y = F(x) heißt Stammfunktion für eine Funktion y = f(x) auf einem Intervall X, wenn \(x \in X \) die Gleichheit F"(x) = f(x) erfüllt

In der Praxis wird das Intervall X normalerweise nicht angegeben, sondern impliziert (wie natürlichen Bereich Funktionsdefinitionen).

Lassen Sie uns Beispiele geben.
1) Die Funktion y \u003d x 2 ist eine Stammfunktion für die Funktion y \u003d 2x, da für jedes x die Gleichheit (x 2) "\u003d 2x wahr ist
2) Die Funktion y \u003d x 3 ist eine Stammfunktion für die Funktion y \u003d 3x 2, da für jedes x die Gleichheit (x 3)" \u003d 3x 2 wahr ist
3) Die Funktion y \u003d sin (x) ist eine Stammfunktion für die Funktion y \u003d cos (x), da für jedes x die Gleichheit (sin (x)) "= cos (x) wahr ist

Beim Auffinden von Stammfunktionen sowie Ableitungen werden nicht nur Formeln verwendet, sondern auch einige Regeln. Sie stehen in direktem Zusammenhang mit den entsprechenden Regeln zur Berechnung von Ableitungen.

Wir wissen, dass die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist. Diese Regel generiert die entsprechende Regel zum Finden von Stammfunktionen.

Regel 1 Die Stammfunktion einer Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen.

Wir wissen das konstanter Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Diese Regel generiert die entsprechende Regel zum Finden von Stammfunktionen.

Regel 2 Wenn F(x) eine Stammfunktion zu f(x) ist, dann ist kF(x) eine Stammfunktion zu kf(x).

Satz 1. Wenn y = F(x) die Stammfunktion für die Funktion y = f(x) ist, dann ist die Stammfunktion für die Funktion y = f(kx + m) die Funktion \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Satz 2. Wenn y = F(x) eine Stammfunktion für eine Funktion y = f(x) auf einem Intervall X ist, dann hat die Funktion y = f(x) unendlich viele Stammfunktionen, und sie haben alle die Form y = F(x) +C.

Integrationsmethoden

Variablenersetzungsverfahren (Substitutionsverfahren)

Die Substitutionsintegrationsmethode besteht darin, eine neue Integrationsvariable (d. h. eine Substitution) einzuführen. In diesem Fall wird das gegebene Integral auf ein neues Integral reduziert, das tabellarisch oder darauf reduzierbar ist. Allgemeine Methoden Vertretungsauswahl existiert nicht. Die Fähigkeit, die Substitution richtig zu bestimmen, wird durch Übung erworben.
Es soll das Integral \(\textstyle \int F(x)dx \) berechnet werden. Nehmen wir eine Substitution \(x= \varphi(t) \) vor, wobei \(\varphi(t) \) eine Funktion ist, die eine stetige Ableitung hat.
Dann \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) und basierend auf der Invarianzeigenschaft der unbestimmten integralen Integrationsformel erhalten wir die Substitutionsintegrationsformel:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integration von Ausdrücken wie \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Wenn m ungerade ist, m > 0, dann ist es bequemer, die Substitution sin x = t vorzunehmen.
Wenn n ungerade ist, n > 0, dann ist es bequemer, die Substitution cos x = t vorzunehmen.
Wenn n und m gerade sind, dann ist es bequemer, die Substitution tg x = t vorzunehmen.

Integration in Teilstücken

Teilweise Integration - Anwendung der folgenden Integrationsformel:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
oder:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabelle der unbestimmten Integrale (Stammfunktionen) einiger Funktionen

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

In diesem Lernprogramm werden wir uns jede dieser Operationen einzeln ansehen.

Unterrichtsinhalt

Dezimalstellen hinzufügen

Wie wir wissen, hat eine Dezimalzahl einen ganzzahligen Teil und einen Bruchteil. Wenn hinzugefügt Dezimalbrüche, ganze und gebrochene Teile werden separat addiert.

Addieren wir zum Beispiel die Dezimalstellen 3,2 und 5,3. Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen.

Zuerst schreiben wir diese beiden Brüche in eine Spalte, wobei die ganzzahligen Teile unter den ganzzahligen Teilen und die gebrochenen unter den gebrochenen Teilen stehen müssen. In der Schule wird diese Anforderung genannt "Komma unter Komma".

Schreiben wir die Brüche so in eine Spalte, dass das Komma unter dem Komma steht:

Wir fangen an, die Bruchteile zu addieren: 2 + 3 \u003d 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile: 3 + 5 = 8. Wir schreiben die Acht in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu folgen wir wieder der Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 8.5. Der Ausdruck 3,2 + 5,3 ist also gleich 8,5

Tatsächlich ist nicht alles so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch hier gibt es Fallstricke, über die wir jetzt sprechen werden.

Stellen in Dezimalstellen

Dezimalzahlen haben wie gewöhnliche Zahlen ihre eigenen Ziffern. Das sind Zehntelstellen, Hundertstelstellen, Tausendstelstellen. In diesem Fall beginnen die Ziffern nach dem Komma.

Dabei ist die erste Nachkommastelle für die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle für die Hundertstelstelle, die dritte Nachkommastelle für die Tausendstelstelle zuständig.

Die Ziffern in Dezimalbrüchen speichern einige nützliche Informationen. Insbesondere geben sie an, wie viele Zehntel, Hundertstel und Tausendstel in einer Dezimalzahl enthalten sind.

Betrachten Sie zum Beispiel die Dezimalzahl 0,345

Die Position, an der sich das Tripel befindet, wird aufgerufen zehnter Platz

Die Position, an der sich die Vier befindet, wird aufgerufen Hundertstel Stelle

Die Position, an der sich die Fünf befindet, wird aufgerufen Tausendstel

Schauen wir uns diese Figur an. Wir sehen, dass es in der Kategorie der Zehntel eine Drei gibt. Dies deutet darauf hin, dass der Dezimalbruch 0,345 drei Zehntel enthält.

Wenn wir die Brüche addieren, erhalten wir den ursprünglichen Dezimalbruch 0,345

Es ist ersichtlich, dass wir zuerst die Antwort erhalten haben, sie aber in einen Dezimalbruch umgewandelt haben und 0,345 erhalten haben.

Beim Addieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Prinzipien und Regeln wie beim Addieren gewöhnlicher Zahlen. Die Addition von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise: Zehntel werden zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert.

Daher muss beim Addieren von Dezimalbrüchen die Regel befolgt werden "Komma unter Komma". Ein Komma unter einem Komma sorgt für die gleiche Reihenfolge, in der Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert werden.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4

Zunächst addieren wir die Nachkommastellen 5 + 4 = 9. Wir schreiben die Neun in die Nachkommastellen unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 1 + 3 = 4. Wir schreiben die vier in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu beachten wir wieder die Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 4.9. Der Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4 ist also 4,9

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,51 + 1,22

Schreiben Sie in eine Spalte gegebenen Ausdruck, wobei die Regel "Komma unter Komma" eingehalten wird

Addiere zuerst den Bruchteil, nämlich die Hundertstel 1+2=3. Wir schreiben das Tripel in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere nun Zehntel von 5+2=7. Die sieben schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 3+1=4 hinzu. Wir schreiben die vier im ganzen Teil unserer Antwort auf:

Wir trennen den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma, wobei wir die „Komma unter dem Komma“-Regel beachten:

Habe die Antwort 4.73. Der Wert des Ausdrucks 3,51 + 1,22 ist also 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Wie bei gewöhnlichen Zahlen gilt auch beim Addieren von Dezimalbrüchen . In diesem Fall wird eine Ziffer in die Antwort geschrieben und der Rest auf die nächste Ziffer übertragen.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27

Diesen Ausdruck schreiben wir in eine Spalte:

Addiere Hundertstel von 5+7=12. Die Zahl 12 passt nicht in den hundertsten Teil unserer Antwort. Deshalb schreiben wir im hundertsten Teil die Zahl 2 und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die Zehntel von 6+2=8 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 9. Wir schreiben die Zahl 9 in das Zehntel unserer Antwort:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 2+3=5 hinzu. Wir schreiben die Zahl 5 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Habe die Antwort 5.92. Der Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27 ist also 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8

Schreiben Sie diesen Ausdruck in eine Spalte

Wir addieren die Bruchteile 5 + 8 = 13. Die Zahl 13 passt nicht in den Bruchteil unserer Antwort, also schreiben wir zuerst die Zahl 3 auf und übertragen die Einheit auf die nächste Ziffer, bzw. übertragen sie auf die ganze Zahl Teil:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 9+2=11 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 12. Wir schreiben die Zahl 12 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 12.3. Der Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8 ist also 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Bei der Addition von Dezimalbrüchen muss die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich sein. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese Stellen im Bruchteil mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 12,725 + 1,7

Bevor wir diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben, lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Der Dezimalbruch 12,725 hat drei Stellen nach dem Komma, während der Bruch 1,7 nur eine hat. Also musst du im Bruch 1,7 am Ende zwei Nullen hinzufügen. Dann erhalten wir den Bruchteil 1.700. Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und mit der Berechnung beginnen:

Addiere Tausendstel von 5+0=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den tausendsten Teil unserer Antwort:

Addiere Hundertstel von 2+0=2. Wir schreiben die Zahl 2 in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere Zehntel von 7+7=14. Die Zahl 14 passt nicht in ein Zehntel unserer Antwort. Deshalb schreiben wir zuerst die Zahl 4 auf und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 12+1=13 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 14. Wir schreiben die Zahl 14 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 14.425. Der Wert des Ausdrucks 12,725+1,700 ist also 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Subtraktion von Dezimalstellen

Beim Subtrahieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Addieren: „Komma unter Komma“ und „ gleiche Menge Ziffern nach dem Komma.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die „Komma unter Komma“-Regel beachten:

Wir berechnen den Bruchteil 5−2=3. Wir schreiben die Zahl 3 in den zehnten Teil unserer Antwort:

Berechnen Sie den ganzzahligen Teil 2−2=0. Wir schreiben Null in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben die Antwort 0,3. Der Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2 ist also gleich 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7,353 - 3,1

In diesem Ausdruck unterschiedlicher Betrag Ziffern nach dem Komma. Beim Bruch 7,353 gibt es drei Nachkommastellen und beim Bruch 3,1 nur eine. Das bedeutet, dass beim Bruch 3.1 zwei Nullen am Ende hinzugefügt werden müssen, damit die Anzahl der Stellen in beiden Brüchen gleich ist. Dann bekommen wir 3.100.

Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und berechnen:

Habe die Antwort 4.253. Der Wert des Ausdrucks 7,353 − 3,1 ist also 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Wie bei gewöhnlichen Zahlen müssen Sie manchmal eine vom benachbarten Bit ausleihen, wenn eine Subtraktion unmöglich wird.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39

Subtrahiere Hundertstel von 6−9. Subtrahieren Sie von der Zahl 6 nicht die Zahl 9. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Aus der Zahl 6 wird durch Ausleihen von der Nachbarziffer die Zahl 16. Jetzt können wir die Hundertstel von 16−9=7 berechnen. Wir schreiben die sieben in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Ziehe jetzt Zehntel ab. Da wir eine Einheit in die Kategorie der Zehntel genommen haben, hat sich die Zahl, die sich dort befand, um eine Einheit verringert. Mit anderen Worten, die zehnte Stelle ist jetzt nicht die Zahl 4, sondern die Zahl 3. Berechnen wir die Zehntel von 3−3=0. Wir schreiben Null in den zehnten Teil unserer Antwort:

Subtrahiere nun die ganzzahligen Teile 3−2=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.07. Der Wert des Ausdrucks 3,46−2,39 ist also gleich 1,07

3,46−2,39=1,07

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3−1,2

Dieses Beispiel subtrahiert eine Dezimalzahl von einer ganzen Zahl. Schreiben wir diesen Ausdruck in eine Spalte damit ganzer Teil Dezimalbruch 1,23 war unter der Zahl 3

Lassen Sie uns nun die Anzahl der Nachkommastellen gleich machen. Setzen Sie dazu nach der Zahl 3 ein Komma und fügen Sie eine Null hinzu:

Jetzt Zehntel subtrahieren: 0−2. Subtrahieren Sie nicht die Zahl 2 von 0. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Indem Sie eins von der benachbarten Ziffer leihen, wird aus 0 die Zahl 10. Jetzt können Sie die Zehntel von 10−2=8 berechnen. Die acht schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Subtrahiere nun die ganzen Teile. Früher befand sich die Zahl 3 in der ganzen Zahl, aber wir haben uns eine Einheit davon geliehen. Als Ergebnis wurde daraus die Zahl 2. Daher subtrahieren wir 1 von 2. 2−1=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.8. Der Wert des Ausdrucks 3−1,2 ist also 1,8

Dezimale Multiplikation

Dezimalzahlen zu multiplizieren ist einfach und macht sogar Spaß. Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, musst du sie wie normale Zahlen multiplizieren und die Kommas ignorieren.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen zählen, dann rechts in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen zählen und ein Komma setzen.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5

Wir multiplizieren diese Dezimalbrüche als gewöhnliche Zahlen, wobei wir die Kommas ignorieren. Um die Kommas zu ignorieren, können Sie sich vorübergehend vorstellen, dass sie ganz fehlen:

Wir haben 375. Bei dieser Zahl muss der ganze Teil vom Bruchteil mit einem Komma getrennt werden. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Bruchteilen von 2,5 und 1,5 zählen. Beim ersten Bruch steht eine Nachkommastelle, beim zweiten Bruch ebenfalls eine. Insgesamt zwei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 375 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 3,75. Der Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5 ist also 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7

Lassen Sie uns diese Dezimalstellen multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren:

Wir haben 34695. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 12,85 und 2,7 berechnen. Beim Bruch 12,85 stehen zwei Nachkommastellen, beim Bruch 2,7 eine Stelle – also insgesamt drei Stellen.

Wir kehren zur Nummer 34695 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Ich habe die Antwort 34.695 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7 ist also 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer regulären Zahl

Manchmal gibt es Situationen, in denen Sie eine Dezimalzahl mit multiplizieren müssen gemeinsame Nummer.

Um eine Dezimalzahl und eine gewöhnliche Zahl zu multiplizieren, müssen Sie sie unabhängig vom Komma in der Dezimalzahl multiplizieren. Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Stellen nach dem Dezimalkomma im Dezimalbruch zählen, dann in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts zählen und ein Komma setzen.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,54 mit 2

Wir multiplizieren den Dezimalbruch 2,54 mit der üblichen Zahl 2, wobei wir das Komma ignorieren:

Wir haben die Nummer 508. In dieser Nummer müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,54 zählen. Der Bruch 2,54 hat zwei Nachkommastellen.

Wir kehren zur Nummer 508 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 5.08. Der Wert des Ausdrucks 2,54 × 2 ist also 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit regulären Zahlen. Es ist notwendig, die Multiplikation durchzuführen, wobei das Komma im Dezimalbruch ignoriert wird, und dann in der Antwort den ganzzahligen Teil vom Bruchteil zu trennen und rechts die gleiche Anzahl von Ziffern zu zählen, wie es Ziffern nach dem Dezimalkomma in der Dezimalzahl gab Fraktion.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,88 mit 10

Lassen Sie uns den Dezimalbruch 2,88 mit 10 multiplizieren und dabei das Komma im Dezimalbruch ignorieren:

Wir haben 2880. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,88 zählen. Wir sehen, dass im Bruch 2,88 zwei Nachkommastellen stehen.

Wir kehren zur Nummer 2880 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 28.80. Wir verwerfen die letzte Null - wir erhalten 28,8. Der Wert des Ausdrucks 2,88 × 10 ist also 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass sich das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts verschiebt, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 2,88 × 10 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, schauen wir uns sofort den Faktor 10 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um eine Stelle nach rechts, wir erhalten 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Versuchen wir, 2,88 mit 100 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 100 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um zwei Stellen nach rechts, wir erhalten 288

2,88 x 100 = 288

Versuchen wir, 2,88 mit 1000 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 1000 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir beim Bruch 2,88 das Komma um drei Stellen nach rechts. Die dritte Ziffer fehlt, also fügen wir eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Multiplizieren von Dezimalstellen mit 0,1 0,01 und 0,001

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 funktioniert genauso wie das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl. Es ist notwendig, Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu multiplizieren und ein Komma in die Antwort zu setzen, wobei rechts so viele Ziffern zu zählen sind, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Multiplizieren Sie beispielsweise 3,25 mit 0,1

Wir multiplizieren diese Brüche wie gewöhnliche Zahlen und ignorieren dabei die Kommas:

Wir haben 325. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 3,25 und 0,1 berechnen. Beim Bruch 3,25 gibt es zwei Nachkommastellen, beim Bruch 0,1 eine Nachkommastelle. Insgesamt drei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 325 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern rechts zählen und ein Komma setzen. Nachdem wir drei Ziffern gezählt haben, stellen wir fest, dass die Zahlen zu Ende sind. In diesem Fall müssen Sie eine Null hinzufügen und ein Komma setzen:

Wir haben die Antwort 0,325 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 3,25 × 0,1 ist also 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach links wandert, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 3,25 × 0,1 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, betrachten wir sofort den Faktor 0,1. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um eine Stelle nach links. Wenn wir das Komma um eine Ziffer nach links verschieben, sehen wir, dass vor der Drei keine Ziffer mehr steht. Fügen Sie in diesem Fall eine Null hinzu und setzen Sie ein Komma. Als Ergebnis erhalten wir 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,01 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,01 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um zwei Stellen nach links, wir erhalten 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,001 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,001 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um drei Stellen nach links, wir erhalten 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Verwechseln Sie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,001 und 0,001 nicht mit dem Multiplizieren mit 10, 100, 1000. Häufiger Fehler die meisten Leute.

Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 wird das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Und beim Multiplizieren mit 0,1, 0,01 und 0,001 wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Wenn es anfangs schwierig ist, sich zu erinnern, können Sie die erste Methode verwenden, bei der die Multiplikation wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt wird. In der Antwort müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennen, indem Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Dividieren einer kleineren Zahl durch eine größere. Fortgeschrittenes Level.

In einer der vorherigen Lektionen haben wir gesagt, dass beim Teilen einer kleineren Zahl durch eine größere ein Bruch erhalten wird, in dessen Zähler der Dividende und in dessen Nenner der Divisor steht.

Um zum Beispiel einen Apfel in zwei Teile zu teilen, musst du 1 (ein Apfel) in den Zähler und 2 (zwei Freunde) in den Nenner schreiben. Das Ergebnis ist ein Bruchteil. Also bekommt jeder Freund einen Apfel. Mit anderen Worten, ein halber Apfel. Ein Bruchteil ist die Antwort auf ein Problem wie man einen apfel zwischen zwei teilt

Es stellt sich heraus, dass Sie dieses Problem weiter lösen können, wenn Sie 1 durch 2 dividieren. Schließlich bedeutet ein Bruchstrich in jedem Bruch eine Division, was bedeutet, dass diese Division auch in einem Bruch erlaubt ist. Aber wie? Wir sind daran gewöhnt, dass der Dividenden immer größer als der Divisor ist. Und hier ist im Gegenteil der Dividenden kleiner als der Divisor.

Alles wird klar, wenn wir uns daran erinnern, dass ein Bruch Zerkleinern, Teilen, Teilen bedeutet. Das bedeutet, dass das Gerät in beliebig viele Teile zerlegt werden kann und nicht nur in zwei Teile.

Wenn Sie eine kleinere Zahl durch eine größere teilen, erhalten Sie einen Dezimalbruch, bei dem der ganzzahlige Teil 0 (Null) ist. Bruchteil es kann jeder sein.

Teilen wir also 1 durch 2. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Man kann nicht einfach so in zwei geteilt werden. Wenn Sie eine Frage stellen "wie viele zwei sind in einer" , dann ist die Antwort 0. Daher schreiben wir privat 0 und setzen ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir wie üblich den Quotienten mit dem Divisor, um den Rest herauszuziehen:

Der Moment ist gekommen, in dem die Einheit in zwei Teile geteilt werden kann. Fügen Sie dazu rechts neben der empfangenen eine weitere Null hinzu:

Wir haben 10. Wir teilen 10 durch 2, wir bekommen 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt nehmen wir den letzten Rest heraus, um die Berechnung abzuschließen. Multipliziere 5 mit 2, wir bekommen 10

Wir haben die Antwort 0,5 bekommen. Der Bruch ist also 0,5

Ein halber Apfel kann auch mit dem Dezimalbruch 0,5 geschrieben werden. Wenn wir diese beiden Hälften (0,5 und 0,5) addieren, erhalten wir wieder den ursprünglichen einen ganzen Apfel:

Dieser Punkt kann auch verstanden werden, wenn wir uns vorstellen, wie 1 cm in zwei Teile geteilt wird. Wenn Sie 1 Zentimeter in 2 Teile teilen, erhalten Sie 0,5 cm

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4:5

Wie viele Fünfer sind vier? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben Null unter die Vier. Subtrahieren Sie diese Null sofort vom Dividenden:

Beginnen wir nun damit, die vier in 5 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu addieren wir rechts von 4 Null und teilen 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben die Acht privat.

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 8 mit 5 multiplizieren und erhalten 40:

Wir haben die Antwort 0,8 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 4: 5 ist also 0,8

Beispiel 3 Finden Sie den Wert von Ausdruck 5: 125

Wie viele Zahlen 125 sind in fünf? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben 0 unter die fünf. Ziehe sofort von den fünf 0 ab

Beginnen wir nun damit, die fünf in 125 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu schreiben wir rechts von diesen fünf eine Null:

Teilen Sie 50 durch 125. Wie viele Zahlen 125 sind 50? Gar nicht. Also schreiben wir in den Quotienten wieder 0

Wir multiplizieren 0 mit 125, wir erhalten 0. Wir schreiben diese Null unter 50. Subtrahieren Sie sofort 0 von 50

Jetzt teilen wir die Zahl 50 in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von 50 eine weitere Null:

Teilen Sie 500 durch 125. Wie viele Zahlen sind 125 in der Zahl 500. In der Zahl 500 gibt es vier Zahlen 125. Wir schreiben die vier privat:

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 4 mit 125 multiplizieren und erhalten 500

Wir haben die Antwort 0,04 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 5: 125 ist also 0,04

Division von Zahlen ohne Rest

Setzen wir also ein Komma in den Quotienten nach der Einheit, um anzuzeigen, dass die Division der ganzzahligen Teile beendet ist, und fahren wir mit dem Bruchteil fort:

Null zum Rest addieren 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat:

40−40=0. Im Rest 0 erhalten. Damit ist die Teilung vollständig abgeschlossen. Die Division von 9 durch 5 ergibt eine Dezimalzahl von 1,8:

9: 5 = 1,8

Beispiel 2. Teilen Sie 84 ohne Rest durch 5

Zuerst teilen wir wie gewohnt 84 durch 5 mit Rest:

Privat erhalten 16 und 4 weitere in der Bilanz. Jetzt dividieren wir diesen Rest durch 5. Wir setzen ein Komma in das Private und addieren 0 zum Rest 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht im Quotienten nach dem Komma:

und vervollständigen Sie das Beispiel, indem Sie prüfen, ob noch ein Rest vorhanden ist:

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine normale Zahl

Ein Dezimalbruch besteht bekanntlich aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Wenn Sie einen Dezimalbruch durch eine normale Zahl dividieren, benötigen Sie zunächst:

• dividiere den ganzzahligen Teil des Dezimalbruchs durch diese Zahl;
• Nachdem der ganzzahlige Teil geteilt wurde, müssen Sie sofort ein Komma in den privaten Teil setzen und die Berechnung fortsetzen, wie in regelmäßige Teilung.

Teilen wir zum Beispiel 4,8 durch 2

Schreiben wir dieses Beispiel als Ecke:

Jetzt teilen wir den ganzen Teil durch 2. Vier geteilt durch zwei ist zwei. Wir schreiben die Zwei privat und setzen sofort ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und sehen, ob bei der Division ein Rest übrig bleibt:

4−4=0. Rest Null. Wir schreiben noch keine Null, da die Lösung noch nicht abgeschlossen ist. Dann rechnen wir weiter, wie bei der gewöhnlichen Division. Nehmen Sie 8 ab und teilen Sie es durch 2

8: 2 = 4. Wir schreiben die Vier in den Quotienten und multiplizieren ihn gleich mit dem Divisor:

Habe die Antwort 2.4. Ausdruckswert 4,8: ​​2 entspricht 2,4

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 8,43:3

Wir teilen 8 durch 3, wir erhalten 2. Setzen Sie sofort ein Komma nach den beiden:

Nun multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor 2 × 3 = 6. Wir schreiben die Sechs unter die Acht und finden den Rest:

Wir teilen 24 durch 3, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat. Wir multiplizieren es sofort mit dem Divisor, um den Rest der Division zu finden:

24−24=0. Der Rest ist Null. Null ist noch nicht aufgezeichnet. Nehmen Sie die letzten drei des Dividenden und dividieren Sie durch 3, wir erhalten 1. Multiplizieren Sie sofort 1 mit 3, um dieses Beispiel zu vervollständigen:

Habe die Antwort 2.81. Der Wert des Ausdrucks 8,43: 3 ist also gleich 2,81

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl

Um einen Dezimalbruch in einen Dezimalbruch zu dividieren, verschieben Sie im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, die nach dem Dezimalkomma im Divisor stehen, und dividieren Sie dann durch eine reguläre Zahl.

Teilen Sie zum Beispiel 5,95 durch 1,7

Lassen Sie uns diesen Ausdruck als Ecke schreiben

Jetzt verschieben wir im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, wie es im Divisor nach dem Komma gibt. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also müssen wir im Dividenden und im Divisor das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Übertragen:

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben wurde, wurde aus dem Dezimalbruch 5,95 ein Bruch 59,5. Und der Dezimalbruch 1,7 verwandelte sich nach dem Verschieben des Dezimalkommas um eine Ziffer nach rechts in die übliche Zahl 17. Und wir wissen bereits, wie man den Dezimalbruch durch die übliche Zahl dividiert. Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Das Komma wird nach rechts verschoben, um die Trennung zu erleichtern. Dies ist möglich, da sich der Quotient beim Multiplizieren oder Dividieren des Dividenden und des Divisors mit derselben Zahl nicht ändert. Was bedeutet das?

Dies ist einer von interessante Funktionen Aufteilung. Nennt sich Privateigentum. Betrachten Sie Ausdruck 9: 3 = 3. Wenn in diesem Ausdruck der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Quotient 3 nicht.

Lassen Sie uns den Dividenden und den Divisor mit 2 multiplizieren und sehen, was passiert:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, hat sich der Quotient nicht verändert.

Dasselbe passiert, wenn wir im Dividenden und im Divisor ein Komma führen. Im vorherigen Beispiel, wo wir 5,91 durch 1,7 dividiert haben, haben wir das Komma im Dividenden und Divisor um eine Stelle nach rechts verschoben. Nach dem Verschieben des Kommas wurde der Bruch 5,91 in den Bruch 59,1 und der Bruch 1,7 in die übliche Zahl 17 umgewandelt.

Tatsächlich fand innerhalb dieses Prozesses eine Multiplikation mit 10 statt, die so aussah:

5,91 × 10 = 59,1

Daher hängt die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor davon ab, womit der Dividende und der Divisor multipliziert werden. Mit anderen Worten, die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor bestimmt, wie viele Stellen im Dividenden und im Divisor das Komma nach rechts verschoben wird.

Dezimalteilung durch 10, 100, 1000

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Teilen wir zum Beispiel 2,1 durch 10. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie es Nullen im Divisor gibt.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 2.1: 10. Wir schauen uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach links verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach links und sehen, dass keine Ziffern mehr übrig sind. In diesem Fall fügen wir vor der Zahl eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 0,21

Versuchen wir, 2,1 durch 100 zu teilen. Die Zahl 100 enthält zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 100 = 0,021

Versuchen wir, 2,1 durch 1000 zu teilen. Die Zahl 1000 enthält drei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 1000 = 0,0021

Dezimalteilung durch 0,1, 0,01 und 0,001

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 0,1, 0,01 und 0,001 erfolgt auf die gleiche Weise wie bei . Im Dividenden und im Divisor müssen Sie das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie im Divisor nach dem Komma stehen.

Teilen wir zum Beispiel 6,3 durch 0,1. Zunächst verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um eine Stelle nach rechts.

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschoben wurde, wird aus dem Dezimalbruch 6,3 die übliche Zahl 63, und aus dem Dezimalbruch 0,1 wird nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Ziffer nach rechts eins. Und 63 durch 1 zu teilen ist sehr einfach:

Der Wert des Ausdrucks 6,3: 0,1 ist also gleich 63

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 6.3:0.1. Schauen wir uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach rechts verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach rechts und erhalten 63

Versuchen wir, 6,3 durch 0,01 zu teilen. Der Divisor 0,01 hat zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach rechts verschieben. Aber im Dividenden gibt es nur eine Nachkommastelle. In diesem Fall muss am Ende noch eine Null hinzugefügt werden. Als Ergebnis erhalten wir 630

Versuchen wir, 6,3 durch 0,001 zu teilen. Der Divisor von 0,001 hat drei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach rechts verschieben:

6,3: 0,001 = 6300

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

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• Zuerst müssen Sie die Anzahl der Dezimalstellen ausgleichen.
• Als nächstes müssen Sie Dezimalbrüche untereinander schreiben, damit die Kommas lagen untereinander. Dies ist der wichtigste Teil!
• Als nächstes subtrahieren Sie Dezimalbrüche ohne Kommas gemäß den Subtraktionsregeln in Spalte der natürlichen Zahlen.
• Und schließlich setzen Sie ein Komma unter die Kommas in der Antwort.

Zweite Option dezimale subtraktion:

Wenn Sie sich gut mit Dezimalbrüchen auskennen, was Zehntel, Hundertstel usw. sind, dann werden Sie es tunDiese Option ist interessant.

Regeln zum Subtrahieren von Dezimalstellen in einer Zeile:

• Dezimalstellen von rechts nach links subtrahieren. Das heißt, beginnend mit der Zahl ganz rechts nach dem Dezimalpunkt.
• Stück für Stück subtrahieren. Ganzzahlen von ganzen Zahlen, Zehntel von Zehntel, Hundertstel von Hundertstel, Tausendstel Tausendstel und so weiter.
• Beim Abziehen höhere Zahl von der kleineren, vom Nachbarn links von der kleineren Ziffer, nehmen wir zehn.

Zum Beispiel:

Die Ziffer ganz rechts in gegebene Brüche- Hundertste Klasse. 1 - 1 = 0 . Wir bekommen null, das heißt, in der KategorieSchreiben Sie Hundertstel der Differenz0 .

Subtrahiere Zehntel von Zehnteln. 2 - beim Abnehmen 3 - abziehbar. Da aus 2 (kleiner) kann nicht subtrahiert werden3 (größer), dann müssen Sie eine Zehn von der linken Zahl für nehmen2. Hier ist es 5. 2 + 10 = 12. Auf diese Weise, 3 subtrahieren nicht von 2 , und von 12 .

12 - 3 = 9

Wir schreiben auf 9 in den Unterschied. Da wir aus sind 5 abgezogen 1 zehn, in den verminderten bleibt nicht 15 , a 14 dazuüberziehen nicht vergessen5 leerer Kreis oder Punkt, je nachdem, was bequemer ist.

Von 14 8 abziehen:

14 - 8 = 6

Beachten Sie! Zehntel können nur von Zehnteln, Hundertstel von Hundertstel, Tausendstel von Tausendstel usw. subtrahiert werdenusw. Wenn es in einem der Brüche keine Ziffer der entsprechenden Kategorie gibt, stattdessen aufschreiben 0 .

Bei der zweiten Zahl ist die Ziffer ganz rechts eine Zwei (Hundertstelle), und bei der ersten Zahl sind Hundertstel nicht sichtbar.Also zur ersten Zahl rechts von9 Wir fügen hinzu 0 und dann subtrahieren basierend aufGrundregeln.

Dritte Möglichkeit dezimale subtraktion:

Wie die Addition hängt auch die Dezimalsubtraktion von der korrekten Schreibweise der Zahlen ab.

Regel zum Subtrahieren von Dezimalstellen

1) KOMMA UNTER KOMMA!

Dieser Teil der Regel ist der wichtigste. Bei der Subtraktion von Dezimalbrüchen sollten diese so geschrieben werden, dass die Kommas des Minuends und des Subtrahends streng untereinander stehen.

2) Gleichen Sie die Anzahl der Nachkommastellen aus. Dazu fügen wir, auch bei weniger Nachkommastellen, am Ende Nullen nach dem Komma hinzu.

3) Subtrahieren Sie die Zahlen und ignorieren Sie das Komma.

4) Wir entfernen das Komma unter den Kommas.

Beispiele für das Subtrahieren von Dezimalzahlen.

Um den Unterschied zwischen den Dezimalbrüchen 9,7 und 3,5 zu finden, schreiben wir sie so, dass die Kommas in beiden Zahlen streng untereinander stehen. Dann subtrahieren, das Komma ignorieren. In dem erhaltenen Ergebnis entfernen wir das Komma, dh wir schreiben den Minuend und den Subtrahend unter die Kommas:

2) 23,45 — 1,5

Um einen anderen von einem Dezimalbruch zu subtrahieren, müssen Sie sie so schreiben, dass die Kommas genau untereinander stehen. Da 23,45 zwei Nachkommastellen hat und 1,5 nur eine, addieren wir null zu 1,5. Danach subtrahieren wir und ignorieren das Komma. Als Ergebnis entfernen wir ein Komma unter Kommas:

23,45 — 1,5=21,95.

Wir beginnen mit der Subtraktion von Dezimalbrüchen, indem wir sie so schreiben, dass die Kommas genau eins unter eins stehen. Bei der ersten Zahl steht eine Nachkommastelle, bei der zweiten drei, also schreiben wir Nullen anstelle der fehlenden zwei Stellen in der ersten Zahl. Subtrahieren Sie dann die Zahlen und ignorieren Sie das Komma. Im Ergebnis entfernen wir das Komma unter den Kommas:

63,5-8,921=54,579.

4) 2,8703 — 0,507

Um diese Dezimalstellen zu subtrahieren, schreiben wir sie so, dass das Komma der zweiten Zahl genau unter dem Komma der ersten steht. Die erste Zahl hat vier Nachkommastellen, die zweite drei, also wird die zweite Zahl am Ende mit einer Null nach dem Komma ergänzt. Danach subtrahieren wir diese Zahlen wie gewöhnliche natürliche Zahlen, ohne das Komma zu berücksichtigen. Im Ergebnis schreiben wir ein Komma unter die Kommas:

2,8703 — 0,507 = 2,3663.

5) 35,46 — 7,372

Wir beginnen mit dem Subtrahieren von Dezimalbrüchen, indem wir Zahlen so schreiben, dass die Kommas untereinander stehen. Wir ergänzen die erste Zahl mit Null nach dem Komma, sodass beide Brüche nach dem Komma dreistellig sind. Dann subtrahieren, das Komma ignorieren. In der Antwort entfernen wir ein Komma unter Kommas:

35,46 — 7,372 = 28,088.

Aus natürliche Zahl subtrahieren Sie den Dezimalbruch, setzen Sie ein Komma am Ende und fügen Sie die erforderliche Anzahl von Nullen nach dem Dezimalpunkt hinzu. Warum subtrahieren ohne das Komma zu berücksichtigen. Als Antwort entfernen wir das Komma genau unter den Kommas:

45 — 7,303 = 37,698.

7) 17,256 — 4,756

Wir führen dieses Beispiel für die Subtraktion von Dezimalbrüchen auf die gleiche Weise durch. Als Ergebnis erhalten wir eine Zahl mit Nullen nach dem Komma am Ende. Wir schreiben sie nicht in die Antwort: 17,256 - 4,756 \u003d 12,5.