Anwendung der Cauchyschen Ungleichung zum Beweis von Ungleichungen. Cauchys Ungleichung: ein neuer induktiver Beweis und einige Anwendungen zur Problemlösung. Verschiedene Durchschnittswerte der positiven Ergebnisse. Cauchys Ungleichung

Belavina Ksenia

Ungleichheiten spielen grundlegende Rolle in den meisten Abschnitten moderne Mathematik, weder Physik noch Mathe-Statistik noch die Wirtschaft. Weder Chemie noch Astronomie kommen ohne sie aus. Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik, Finanzmathematik, Wirtschaftswissenschaften – all diese sich gegenseitig durchdringenden und verallgemeinernden Wissenschaften nutzen ständig Ungleichungen bei der Formulierung ihrer Grundgesetze, bei den Methoden zu ihrer Erlangung und bei ihren Anwendungen. Ungleichheiten spielen bei der Erlangung und Rechtfertigung vieler wichtiger Dinge eine Rolle mathematische Ergebnisse und hilft, die Gesetze und Methoden zu verstehen mathematisches System und Wirtschaft.

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Cauchys Ungleichheit

Einführung

„Grundlegende Ergebnisse der Mathematik

Häufiger ausgedrückt als Ungleichheiten,

Keine Gleichberechtigung.“

E. Beckenbach, R. Bellman.

1. Ungleichungen spielen in den meisten Bereichen der modernen Mathematik eine grundlegende Rolle; weder die Physik noch die mathematische Statistik noch die Wirtschaftswissenschaften kommen ohne sie aus. Weder Chemie noch Astronomie kommen ohne sie aus. Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik, Finanzmathematik, Wirtschaftswissenschaften – all diese sich gegenseitig durchdringenden und verallgemeinernden Wissenschaften nutzen ständig Ungleichungen bei der Formulierung ihrer Grundgesetze, bei den Methoden zu ihrer Erlangung und bei ihren Anwendungen. Ungleichungen spielen bei der Erlangung und Begründung vieler wichtiger mathematischer Ergebnisse eine Rolle, die zum Verständnis der Gesetze und Methoden des mathematischen Systems und der Wirtschaftswissenschaften beitragen.

Mithilfe klassischer Ungleichungen ist es in vielen Fällen möglich, das Maximum und Minimum einer Reihe von Funktionen zu untersuchen, ohne auf die Suche und Untersuchung ihrer Ableitungen zurückgreifen zu müssen (insbesondere, da die Ableitung der untersuchten Funktion möglicherweise fehlt).

Probleme mit größten und kleinsten Werten oder Maximum- und Minimum-Problemen sind attraktiver als andere mathematische Probleme, und das ist auch der Fall einfache Gründe. Jeder von uns hat seine ganz persönlichen Aufgaben. Bei diesen Aufgaben handelt es sich sehr oft um eine Art Maximal- oder Minimalaufgaben. Wir wollen bekommen spezifisches Thema für einen möglichst niedrigen Preis, für einen bestimmten Aufwand den größtmöglichen Effekt oder für die maximale Arbeitsleistung in einer bestimmten Zeit, und natürlich möchten wir so wenig Risiko wie möglich eingehen. Maximale mathematische Probleme sind attraktiv, weil sie unsere alltäglichen Probleme idealisieren.

Die Tatsache, dass ähnliche Optimierungsprobleme schon damals aufgetreten sind Antike, Mythen zu uns gebracht Antikes Griechenland und Rom. Hier ist einer dieser Mythen, halb altgriechisch, halb altrömisch. Die Tochter des Königs von Tyrus, Dido, die Frau des Priesters des Herkules-Tempels Akerbas, musste aus Phönizien fliehen Nordafrika. Der Grund für die Flucht ist ihr Bruder Pygmalion, der den Reichtum ihres Mannes begehrte und ihn tötete. Die zahlreichen Schätze ihres Mannes und (anscheinend deshalb) Didos zahlreiche Gefährten brauchten Schutz. Um es zu finden, kaufte die Flüchtige Land vom Berberkönig Yarba, und je nach Bedingung konnte sie im Austausch gegen beträchtliche Schätze genau so viel Land nehmen, wie eine Ochsenhaut bedecken würde. Um diese Bedingung zu erfüllen und genug zu bekommen großes Gebiet, Dido schnitt die Haut in dünne Streifen, machte daraus ein langes Seil und „umgab“ damit natürlich ein großes Stück Land. runde Form, auf dem Karthago gegründet wurde.

Das von Dido gelöste Problem lässt sich wie folgt formulieren: Finden Sie eine geschlossene Kurve einer gegebenen Länge, die den Teil der Ebene mit der größten Fläche begrenzt. Probleme wie Didos Problem werden in der Mathematik als isoperimetrische Probleme bezeichnet (vom griechischen Wort „.“) isos - gleich und perimetrio - Ich messe ungefähr).

2. Cauchys Ungleichung, ihre Sonderfälle.

Eine der bekanntesten bemerkenswerten Ungleichungen ist die Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel mehrerer reeller Zahlen nicht negative Zahlen, 1821 vom französischen Mathematiker Agustin Louis Cauchy veröffentlicht und so populär geworden, dass mittlerweile Dutzende Beweise und Hunderte Anwendungen dafür gefunden wurden.

2.1. „Schulversion“ von Cauchys Ungleichung.

Beweisen Sie, dass für jedes nichtnegative a und b die folgende Ungleichung gilt:

(a + b) / 2 ≥ √ ab,

a=b.

Lösung. Lassen Sie uns den Unterschied zwischen der linken und rechten Seite der zu beweisenden Gleichheit zusammenstellen und transformieren und diesen Unterschied dann mit vergleichen 0 :

a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,

was die untersuchte Ungleichung beweist und auch die Bedingung für die Umsetzung dieser Beziehung in der Version der Gleichheit angibt, nämlich wann a=b.

2.2. Beweisen Sie das für alle nicht-negativen Zahlen A B C D Es gilt die folgende Ungleichung (Cauchys Ungleichung für vier Variablen):

(a+b+c+d)/4≥ 4 √abcd¸

wobei diese Relation in der Version der Gleichheit nur dann realisiert ist, wenn a=b=c=d.

Lösung. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab √cd= 4 √abcd¸

Darüber hinaus liegt Gleichheit genau dann vor, wenn drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind: (a+b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd ; √ab=√cd ¸ d.h. wenn a=b=c=d. Der Beweis ist vollständig.

2.3.Theorem. Cauchys Ungleichung für irgendeine Nummer Parameter.

Für alle reellen nicht negativen Zahlen x 1, x 2, …, x n die folgende Ungleichung ist wahr(x 1 + x 2 + … + x n)/n ≥ n √ x 1 · x 2 · … · x n

wobei Gleichheit genau dann vorliegt, wenn x 1= x 2= …= x n

Die linke Seite der obigen Ungleichung wird als arithmetisches Mittel bezeichnet x 1, x 2, …, x n , und die rechte Seite ist das geometrische Mittel. Manchmal wird der Satz auch „Satz des arithmetischen Mittels und geometrischen Mittels“ oder kurz „Satz des Mittelwerts“ genannt.

Andere Möglichkeiten, Cauchys Ungleichung zu schreiben:

a) ((x+, x 2 + … + x n)/n) n ≥ x 1 · x 2 · … · x n

b) (x 1 + x 2 + … + x n) n ≥ n n · x 1 · x 2 · … · x n

2.4. Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung.

Satz 1. Für jeden reale Nummern a 1, a 2 ¸ …, a n, b 1, b 2 ¸ …, b n (n - jede natürliche Zahl größer als 1) Die folgende Ungleichung ist wahr

(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n )²≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²)(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) oder a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n ≤√ a 1 ²+ a 2 ²+…+ a 2 n · √ b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ² , genannt Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung, und diese Beziehung wird in der Version der Gleichheit genau dann realisiert, wennBedingungen erfüllt sind b 1 /a 1 = b 2 /a 2 =...= b n /a n.

Nachweisen.

1. Sei a 1 =a 2 =…= a n =0 und die Aussagen von Satz 1 offensichtlich fair.

2. Lassen Sie nun mindestens eine der Zahlen a 1, a 2, ... a n verschieden von Null. Führen wir dann die folgende Notation ein: A= a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²>0, C=b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ², B= a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n, Dies ermöglicht es uns, die untersuchte Ungleichung in der folgenden Form aufzuschreiben B 2 ≥ AC. Offensichtlich wird es der Ungleichung (2B) entsprechen. 2 – 4AC ≤ 0, was uns dazu veranlasst, Folgendes vorzustellen Hilfsfunktion f(x)=Ax 2 + 2Bx+C, xє R. Das ist leicht zu erkennen f(x)=Ax 2 + 2Bx+C= (a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n)x 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n)x+(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²)=(a 1 x+b 1) 2 +… +(a n x+b n) 2, d.h. für jedes x den Wert davon quadratische Funktion (mit einem positiven Koeffizienten bei x 2 ) ist nicht negativ, was bedeutet, dass die Diskriminante des betreffenden Trinoms kleiner als oder ist gleich Null, d.h. D=4B 2 -4AC≤0, was bedeutet B 2 ≤A·C, mit anderen Worten, für alle reellen Zahlen a 1, a 2, … a n, b 1, b 2, …, b n Es gilt die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung: ( a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n ) 2 ≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) , und Gleichheit in der resultierenden Beziehung wird genau dann erreicht, wenn D=0 , d.h. wenn der Graph einer Funktion f(x) berührt die OX-Achse , was die Gleichung bedeutet Ax 2 + 2Bx+C=0 hat genau eine Wurzel, d.h. Wann nächstes System Gleichungen sind konsistent:

a 1 x+b 1 =0,

a n x+b n =0,

diese. wenn b 1 / a 1 = b 2 / a 2 =...= b n / a n . Der Satz ist bewiesen.

3 . Monotonie-Eigenschaft des Potenzmittelwerts.

С α (а) =(( a 1 α + a 2 α +…+ a n α )/п) 1/α – Durchschnitt Machtordnung α positive Zahlen a 1, a 2, ... a n. Für reelles α und β mit α ≤ β gilt die Ungleichung (Monotonieigenschaft) Cα (a) ≤ С β (a).

Satz 1. Wenn die Summe von zwei positiv ist Variablen konstant ist, dann hat das Produkt dieser Variablen Höchster Wert, wenn beide Faktoren die gleichen Werte annehmen.

Nachweisen. Seien x und y x+y=c, wobei c - konstanter Wert.

Wenn wir die Ungleichung über das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel anwenden, erhalten wir:(x+y)/2≥√xy oder mit /2≥√xy oder schließlich

xy≤c²/4.

Daraus lässt sich der größte Wert des Produkts erkennen xy entspricht c²/4 und es stellt sich heraus, wann x=y.

Satz 2. Wenn die Summe n Sind positive Variablen konstant, dann hat das Produkt dieser Variablen den größten Wert, wenn alle diese Variablen die gleichen Werte annehmen.

Nachweisen. Sei x 1, x 2,…, x n sind positive Variablen und lassen x 1 + x 2 + … + x n =с, wobei с ist konstant. Nach dem Satz von Cauchy über das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel gilt:

(x 1 + x 2 + … + x n)/ n ≥ n √ x 1, x 2,…, x n.

Daher x 1 x 2 …x n ≤(s/n) n, hier findet das Gleichheitszeichen genau dann statt, wenn x 1 = x 2 = ... = x n. Daher der größte Wert des Produkts x 1 x 2 …x n gleich (s/n) n und es stellt sich heraus, wann x 1 = x 2 = … = x n . Der Satz ist bewiesen.

Satz 3. Wenn das Produkt von Variablen x 1, x 2,…, x n konstant, dann ihre Summe x 1 + x 2 + … + x n akzeptiert kleinster Wert bei x 1 = x 2 = ... = x n.

5. Problemlösung.

5.1. Probleme mit den kleinsten und größten Werten einer Funktion.

Problem 1 . Finden Sie den größten Wert einer Funktion f(x)=x 4 (32- x 4).

Lösung. Beachten Sie, dass für x‹ 4 √32 Faktoren x 4 und 32 x 4 sind positiv und ihre Summe ist konstant. Nach Satz 1 erhalten wir den größten Wert dieser Funktion, vorausgesetzt, dass

x 4 = 32- x 4,

2x 4 = 32,

X 4 =16,

x=2.

Für x=2 f(x)=2 4 (32- 2 4)= 16·16=256.

Antwort: 256.

Aufgabe 2. Finden Sie den größten Wert einer Funktion f(x) =√x-2 + +√16-x.

Wenn f(x)≥ 0 und kann den größten und kleinsten Wert nicht finden f(x), Dann kann das Problem in einigen Fällen gelöst werden, indem der größte oder kleinste Wert der Funktion ermittelt wird [ f(x) ] 2 diese. Quadrat dieser Funktion.

Lösung. x-2 ≥ 0, x ≥ 2,

16er≥0; x ≤ 16; 2 ≤ x≤ 16.

Funktion f(x) für Werte definiert X, Befriedigung der Ungleichheit

2 ≤ x≤ 16.

Bei x=2 und x=16 die Funktion verschwindet, und zwar für alle Werte X, zwischen 2 und 16 ist es positiv.

Finden wir den größten Wert des Quadrats dieser Funktion, d.h. Funktionen 14+2√ (x-2)(16-x).

Multiplikatoren (x-2) und (16-x) sind positiv und addieren sich zu 14, d.h. konstanter Wert. Daher wird unter dieser Bedingung der kleinste Wert erhalten x-2=16,

2x=18,

X=9.

Der größte Wert des Quadrats dieser Funktion ist gleich

14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, und der größte Wert dieser Funktion selbst wird gleich sein√28.

Antwort: √28.

Aufgabe 3. Auf der Hyperbel y=2/x Finden Sie die Punkte, die dem Ursprung am nächsten liegen.

Lösung. OOF: x≠0. Funktion y=2/x – seltsam, es werden zwei Punkte benötigt.

Lassen Sie den kürzesten (kleinsten) Abstand von O(0;0) zu Hyperbelpunkten M(x;y) und M 1 (x 1;y 1) sind gleich d.

Dann ist d=√x 2 +y 2, wobei y=2/x,

D=√x 2 +4/x 2.

X 2 +4/x 2 ≥2 √x 2 ∙4/x 2,

X 2 +4/x 2 ≥4,

√x 2 +4/x 2 ≥2,

D≥2.

Offensichtlich, d Name. =2, wenn x 2 =4/x 2, x 4 =4, x 1 =√2,

X 2 = -√2.

Wir haben: x=√2 und x=-√2,

У=√2. y=-√2.

Antwort: M 1 (√2;√2), M 2 (-√2; -√2).

5.2. Extrema-Probleme.

Aufgabe 4. Finden Sie die Extrema der Funktion y=x 4 -4x 3 +4x 2.

Lösung. O.O.F.: x - jede reelle Zahl.

y=x 2 (x 2 -4x+4)=x 2 (x-2) 2 =x x(2-x)(2-x)

y=0, wenn x=0; 2.

Bei 0 ≤ x ≤ 2, 2 – x ≥ 0, damit wir schreiben können

(x+x+2-x+2-x)/4 ≥ 4 √ x 2 (2-x) 2 ,

4 √ x 2 (2-x) 2 ≤ 1,

X 2 (2-x) 2 ≤ 1,

У ≤ 1.

Wir finden y max = 1 für x = 2, x = 1.

Y min = 0 bei x = 0; 2.

Aufgabe 5. Finden Sie den Extremwert der Funktion y = x 2 - x 3.

Lösung . D(y) = R (OOF: x - jede reelle Zahl).

Y = x 2 - x 3 = x 2 (1-x) = 1/2x 2 (2-2x).

Wir verwenden die Cauchysche Ungleichung:

x+x+2-2x/3≥ 3 √x∙x(2-2x),

daher 3 √х 2 (2-2х)≤2/3

X 2 (2-2x)≤8/27,

2x 2 (1-x)≤8/27,

2Å≤8/27,

y≤4/27.

Daraus können wir schließen: y max = 4/27 bei x = 2-2x, d.h. bei x = 2/3.

Antwort: y max = 4/27.

5.3. Verwenden Sie die Monotonieeigenschaft des Potenzmittels.

Problem 6 . Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

Y = (1+x) n + (1-x) n auf [-1;1].

Lösung. Unter Verwendung der Eigenschaft der Monotonie des Potenzmittels erhalten wir:

(((1+x) n +(1-x) n )/2) 1/ n ≥((1+x)+(1-x))/2=1.

Also min = 2.

Bei x = 0.

Um den größten Wert der Funktion zu finden, verwenden wir offensichtliche Ungleichungen:

((1+x)/2) n ≤(1+x) und ((1-x)/2) n ≤(1-x) (da durch Bedingung 0≤(1+x) und 0≤(1-x)≤1 ). Wenn wir diese Ungleichungen addieren, erhalten wir:

Ymax = 2n.

Aufgabe 7. Punkt M liegt innerhalb des Dreiecks ABC - Entfernung von M zur Seite des Dreiecks, NKR – entsprechende Höhen. Finden Sie den kleinsten Wert des Ausdrucks:

(A/N) α +(B/K) α +(C/P) α für α≥1.

Lösung. Wir haben 2S =aA+bB+cC=aH=bК=сР, wobei S - Fläche eines Dreiecks. Teilen wir beide Seiten der Gleichheit aA+bB+cC=aH bis aH:

A/N+ (b/a)(B/N)+(s/a)(C/N)=1,da (b/a)=(N/K) und (c/a)=(N/K), dann A/N+B/K+C/P=1.

In der Summe der Monotonieeigenschaft des mittleren Potenzgesetzes erhalten wir:

(EIN)α +(V/C)α +(S/R)α ≥3(⅓) α =1/3 α -1 beiα≥1.

Dies bedeutet den kleinsten Wert Ausdruck gegeben gleicht1/3 α -1.

5.4. Anwendung der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung.

Aufgabe 8.Finden Sie den kleinsten und größten Wert der Funktionu = x1 bei1 +x2 bei2 +…+xNbeiN, wenn das bekannt istX1 2 +x2 2 +…+xN2 ≤a2 , ja1 2 +y2 2 +…+yN2 ≤b2 , Woa,b– positive Zahlen.

Lösung.Aufgrund der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung

(X1 bei1 +x2 bei2 +…+xNbeiN) 2 ≤(x1 2 +x2 2 +…+xN2 )∙(y1 2 +y2 2 +…+yN2 ) oderu2 ≤a2 B2 , Wo- ab≤u≤ab. Bedeutet,uMindest=-ab,umax=ab.

5.5 Geometrische Probleme zu Höhen und Tiefen.

Aufgabe 9.Die Ebene der Kastenoberfläche ist angegeben; Finden Sie das Maximum seines Volumens.

Lösung.Der Kasten ist ein rechteckiges Parallelepiped. LassenABC– die Längen von drei Kanten des Kastens, die von demselben Scheitelpunkt ausgehen,S- Oberfläche,V- Lautstärke.

Offensichtlich,S=2(ab+ac+bc), V=abc.beachte dasab+ac+bc = S/2, ab∙ac∙bc = V2 .

Nach dem MittelwertsatzV2 =(abc)‹((ab+ac+bc)/3)3 =(S/6)3 , wenn die Gleichheit nicht giltab=ac=bc,odera=b=c.

Mit anderen Worten,V‹(S/6)3/2 , wenn die Box kein Würfel war, wenn Gleichheit erreicht ist. Das Ergebnis kann in zwei verschiedenen (wenn auch im Wesentlichen äquivalenten) Formen ausgedrückt werden:

1) Von allen Kisten mit gegebener Oberfläche hat der Würfel das größte Volumen;

2) Alle Kisten mit einem bestimmten Volumen haben einen Würfel kleinste Fläche Oberflächen.

Aufgabe 10. Finden Sie unter allen Dreiecken mit angegebenen Umfang derjenige, dessen Fläche am größten ist.

Lösung. Wenn wir die Seiten bezeichnen beliebiges Dreieck Symbolex, yUndz, dann nach Bedingung0‹х‹у+z, 0‹у‹х+z, 0‹z‹х+yUndx+y+z=2p, wobei es sich um eine feste Zahl handeltð›0. Es ist erforderlich, den größten Wert des Ausdrucks zu ermittelnS=√ð(ð-а)(ð-b)(ð-с)=√ð∙√(ð-Å)(ð-b)(Ç-с). Cauchys Ungleichung ergibt sofort3 √(ð-а)(ð-b)(ð-с)≤((ð-Å)+(ð-b)+(ð-Ç))/3=ð/3,diese. S≤√ð∙√(ð/3)3 =S2 /3√3 , und Gleichheit wird genau dann erreicht, wennð-à=ð-b=ð-с, d.h. für ein gleichseitiges Dreieck.

Aufgabe 11. Aus Granit müssen Sie einen Sockel in Form ausschneiden rechteckiges Parallelepiped, dessen Höhe der Diagonale des Sockels entsprechen sollte und dessen Grundfläche 4 m betragen sollte2 . Bei welchen Seitenlängen des Sockels ist die Fläche des Sockels am kleinsten?

Lösung.Bezeichnen wir mit SymbolenXUndbeidie Länge (in Metern) der Seiten des Rechtecks, das an der Basis des Sockels liegt. Dann die Höhe des Sockelsh=√x2 +y2 und die OberflächeS=2(x+y)√ x2 +y2 +8, Undxy=4 und x,y- positive Zahlen. Alsx∙y=4, x›0, y›0, dann ergibt die Cauchysche Ungleichung dasx+y≥2√xy=4, AX2 +y2 ≥2xy=8, d.h.√x2 +y2 ≥√ 8. Deshalb,S≥8+16√2(M2 ), und Gleichheit wird offensichtlich erreicht, wennx=y=2.

6. Fazit.Ich habe einen nicht-traditionellen Weg aufgezeigt, eine Reihe von Problemen beim Finden der Extrema einer Funktion mithilfe der bemerkenswerten Cauchy-Ungleichung zu lösen. Diese Methode ist praktisch und in vielen Fällen einfacher und einfacher schnelle Lösung Maximal- und Minimalprobleme, ohne auf die Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion zurückgreifen zu müssen.

1. Einleitung.

2 . Cauchys Ungleichung, ihre Sonderfälle.

3.Eigenschaft der Monotonie des Potenzmittelwerts.

4. Sätze über konstante Summe und konstantes Produkt.

5. Problemlösung.

6. Fazit.

7. Referenzliste.

7. Referenzen.

1. V. K. Smyshlyaev. Problemlösungsworkshop Schulmathematik. Aufklärung, 1978.

2. D. Polya. Mathematik und plausibles Denken. Wissenschaft, 1975.

3. S. I. Tumanov. Auf der Suche nach einer Lösung für das Problem. Aufklärung, 1967.

4. A. V. Efremov, M. A. Efremov, S. A. Zagidullina. Spezielle Anwendungen zur Lösung extremer Probleme. Magarif, 2003.

5. S. A. Gomonov. Bemerkenswerte Ungleichungen: Methoden zur Gewinnung und Anwendungsbeispiele. Trappe, 2005.

Kalinin Sergej Iwanowitsch, Arzt Pädagogische Wissenschaften, Leiter der Abteilung für mathematische Analyse und Methoden des Mathematikunterrichts FSBEI HPE Vyatka State Humanitarian University“, Kirow [email protected]

Cauchys Ungleichung: ein neuer induktiver Beweis und einige Anwendungen zur Problemlösung

Anmerkung. Der Artikel diskutiert einen neuen Beweis der verallgemeinerten Cauchy-Ungleichung für arithmetisch-geometrische Mittelwerte positiver Zahlen unter Verwendung der Methode der direkten und Rückwärtsinduktion. Es werden Beispiele für die Anwendung einfacher und verallgemeinerter Cauchy-Ungleichungen bei der Lösung von Problemen gegeben höheres Level Komplexität des schulischen Mathematikkurses. Schlüsselwörter: arithmetische und geometrische Mittel, Cauchys Ungleichung, Probleme einer erhöhten Komplexität des schulischen Mathematikkurses.

Erinnern wir den Leser an die im Titel erwähnte Ungleichung für die arithmetischen und geometrischen Mittelwerte positiver Zahlen. Das ist Ungleichheit

in dem Gleichheit genau dann erreicht wird, wenn. Diese Ungleichung wurde 1821 vom großen französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy entdeckt. und trägt daher zu Recht seinen Namen. IN Pädagogische Mathematik Cauchys Ungleichung ist bekannt, sie wird regelmäßig auf den Seiten wissenschaftlich-methodischer und populärwissenschaftlicher Publikationen diskutiert, mit ihrer Hilfe viele Probleme des Beweises algebraischer und trigonometrische Ungleichungen, geometrische Beziehungen, zum Lösen von Gleichungen und ihren Systemen, zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte von Variablen sowie geometrischer Extrema. Neben der Ungleichung 1 wird häufig die sogenannte verallgemeinerte oder gewichtete Cauchy-Ungleichung berücksichtigt Das Thema Durchschnittswerte

wobei das gewichtete arithmetische Mittel und das geometrische Mittel der Zahlen sind

dementsprechend und

– Zahlen, sogenannte Skalen. In 2 wird Gleichheit wieder nur unter der Bedingung erreicht. Es ist klar, dass sich die Ungleichung 1 aus 2 ergibt, wenn alle Gewichte übereinstimmen. Im Lehrbuch zum Spezialkurs 1] haben wir mehr als ein Dutzend untersucht Beweise der Ungleichungen 1–2 , grundsätzlich unter Verwendung unterschiedliche Ansätze. Insbesondere in § 2 von Kapitel 3 des zitierten Handbuchs wird ein induktiver Beweis der Ungleichung 1 gegeben, der Cauchy selbst zugeschrieben wird. Wir betonen, dass Cauchys Beweis auf der Methode der direkten und Rückwärtsinduktion basiert (andernfalls Auf- und Abwärtsinduktion) 2, S. 13–14] oder „verzweigte“ Induktion 3, Kapitel 9 von I. S. Rubanova, S. 105]. Sein Wesen besteht darin, dass nach Festlegung der Induktionsbasis für den Übergang von zu die Ungleichung 1 für alle n bewiesen wird, die Zweierpotenzen sind was der direkten Induktion entspricht. Dann wird gezeigt, dass die Gültigkeit der Ungleichung 1 für n Zahlen ihre Erfüllung für n–1 Zahlen mit sich bringt (Rückwärtsinduktion). In dieser Anmerkung wollen wir die beschriebene Cauchy-Technik zur Bestimmung von 1 anders implementieren. Tun wir dies und versuchen gleichzeitig, die Ungleichung 2 zu rechtfertigen, die 1 verallgemeinert. Zuerst legen wir die Basis der Induktion fest, d. h. wir zeigen, dass die Ungleichung wahr ist

in der Gleichheit genau dann erreicht wird, wenn. Um 3 zu beweisen, wenden wir Jensens Ungleichung 4, S. 58]

für eine konkave konvexe Aufwärts-Funktion, Einstellung

Werde haben:,

Gleichheit in der letzten Beziehung wird nur unter der Bedingung  erreicht logarithmische Funktion ISS nicht lineare Funktion. Dies impliziert die Ungleichung 3, zusammen mit der Begründung der Bedingungen für die Erreichung der Gleichheit darin. Die Basis der Induktion ist gelegt. Nehmen wir nun an, dass die Ungleichung 2 gilt für, d.h.

In diesem Fall wird Gleichheit in 4 genau dann erreicht, wenn. Zeigen wir, dass die Ungleichung 2 auch gilt, während Gleichheit darin nur dann erreicht wird, wenn. Wir haben:

In der Transformationskette haben wir zunächst zweimal eine niedrigere Schätzung basierend auf der induktiven Annahme angewendet und dann eine weitere ähnliche Schätzung basierend auf der Induktionsbasis. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass Gleichheit im Verhältnis nur dann erreicht wird, wenn und, d.h. angesichts dessen. Das Notwendige wird gezeigt. Unter Berücksichtigung der Basis lässt die implementierte direkte Induktion den Schluss zu, dass die Ungleichung 2 für alle n gilt, die Zweierpotenzen sind. Lassen Sie uns die Rückwärtsinduktion implementieren. Nehmen wir an, dass die Ungleichung 2 für einige wahr ist. Zeigen wir, dass es auch so bleibt. In der Tat, lasst uns Ungleichheit einbauen. Werde haben:

Es folgt dem

Es ist leicht zu erkennen, dass Gleichheit in der letzten Ungleichung nur dann auftritt, wenn alle Zahlen übereinstimmen. Die Ungleichung 2 ist völlig gerechtfertigt. Hinweis. Wir laden den Leser ein, den Cauchy-Ansatz zum Beweis der Ungleichung 1 in Bezug auf die verallgemeinerte Ungleichung 2 anzuwenden. Betrachten wir mehrere Anwendungen von Ungleichungen 1–(2). Problem 15]. Beweisen Sie die Ungleichung, . Lösung. Diese Ungleichung kann sowohl mit der einfachen Cauchy-Ungleichung 1 als auch mit der verallgemeinerten 2 bewiesen werden, daher werden wir zwei Möglichkeiten zur Lösung des Problems betrachten. I-Methode.

In der Beziehungskette wurde Cauchys Ungleichung 1 dreimal für zwei positive Zahlen angewendet. Methode II. Hier wird Cauchys Ungleichung 2 auf Größen mit den Gewichten 1, 3, 4 angewendet. Die zweite Lösung des Problems ist wirtschaftlicher. Problem 26]. Beweisen Sie die Ungleichung (N). Lösung. Mit der verallgemeinerten Cauchy-Ungleichung können wir schreiben:

In der vorgenommenen Schätzung ist das Ungleichheitszeichen streng, da die Zahlen unterschiedlich sind. Dies impliziert die zu beweisende Ungleichung. Problem 37]. Beweisen Sie das.Lösung. Aufgrund der Cauchyschen Ungleichung 1 ergibt sich folgende Abschätzung:

Aufgabe 4. Beweisen Sie für ein Dreieck mit Seiten die Ungleichung

wobei p der Halbumfang des Dreiecks ist.

Lösung. Unter Verwendung der Cauchyschen Ungleichung für das gewichtete arithmetische Mittel und das geometrische Mittel mit den Gewichtungen 1, 2, 3, 1, 2, 3 erhalten wir die Schätzung:

Dabei ist das Ungleichheitszeichen streng, weil die Bedingung nicht erfüllt ist. Aufgabe 58]. Beweisen Sie, dass von allen Dreiecken einer gegebenen Fläche das regelmäßige Dreieck den kleinsten Umfang hat. Lösung. Seien die Seiten des Dreiecks und p sein Halbumfang. Nach der Formel von Heron wird die Fläche S eines Dreiecks wie folgt ausgedrückt: . Schätzen wir S von oben, indem wir Cauchys Ungleichung für Zahlen anwenden:

Also, von wo. In der letzten Ungleichung ist Gleichheit nur möglich, wenn, d.h. Dies deutet darauf hin, dass der kleinste Umfang bei liegt regelmäßiges Dreieck. Aufgabe 6. Lösen Sie die Gleichung. Lösung. Der Definitionsbereich einer unbekannten gegebenen Gleichung ist ein Intervall. In diesem Intervall rechte Seite Schätzen wir die Gleichungen von unten mithilfe der Cauchyschen Ungleichung 1: .

Beachten Sie, dass Gleichheit in der Bewertung nur erreicht wird, wenn, oder. Das ist leicht zu erkennen, und Gleichheit in dieser Beziehung wird nur dann erreicht, wenn. Daher hat die ursprüngliche Gleichung eine einzige Wurzel. Hinweis. In der obigen Lösung kann die Schätzung durch Anwendung der verallgemeinerten Cauchy-Ungleichung erhalten werden:

Aufgabe 7. Lösen Sie das Gleichungssystem. Lösung. Durch eine einfache Cauchy-Ungleichung haben wir aus der ersten Gleichung des Systems eine Schätzung, daher ist die erste Gleichung äquivalent zur Bedingung oder. Von hier aus erhalten wir aufgrund der zweiten Gleichung des Systems die Gleichung für: . Es gibt zwei Lösungen, was bedeutet, dass die entsprechenden Werte für sein werden. Durch die Überprüfung stellen wir sicher, dass dies der Fall ist dieses System hat eine eindeutige Lösung. Aufgabe 8. Lösen Sie die Gleichung. Lösung. Die betrachtete Gleichung ist auf der Menge definiert. Schreiben wir es im Formular um.

Wir schätzen die linke Seite der letzten Gleichung von unten unter Verwendung der Cauchyschen Ungleichung 2 für das gewichtete arithmetische Mittel und das geometrische Mittel der Potenzen und mit Gewichten und: =1.

Daher ist diese Gleichung äquivalent zur Gleichung

Denn es kommt darauf an, die Gleichung zu lösen.

Aus letzterem erfahren wir das. Die gefundenen Werte liegen in der Region akzeptable Werte Gleichungen, was bedeutet, dass dies die gewünschten Wurzeln sind. Betrachten Sie eine Gleichung, die von Problem 8 inspiriert ist. Problem 9. Lösen Sie die Gleichung. Lösung. Diese Gleichungähnlich dem vorherigen. Offensichtlich ist es auch am Set definiert. Schreiben wir es in der entsprechenden Form

Wir schätzen die linke Seite der letzten Gleichung von unten mit der Ungleichung 2. Um dies zu tun, setzen wir . Wir haben:

Bei der vorgenommenen Beurteilung ist Gleichheit nur dann erreicht, wenn

was aufgrund der Gleichheit der Bedingung entspricht. Von hier aus finden wir die erforderlichen Wurzeln. Links zu Quellen 1. Kalinin S. I. Durchschnittswerte der Leistungsart. Cauchy- und Ki-Fan-Ungleichungen: ein Lehrbuch für einen speziellen Kurs. –Kirov: Verlag der VGGU, 2002. –368 S. 2. Beckenbach E., Bellman R. Ungleichheiten. –M.: Mir, 1965. –276 S.3.Genkin S.A., Itenberg I.V., Fomin D.V. Leningrader mathematische Kreise: ein Leitfaden für außerschulische Aktivitäten. -Kirov: Verlag ASA", 1994. -272 S. 4. Izhboldin O., Kurlyandchik L. Jensens Ungleichung // Quantum. –1990. –Nr. 4. –S.57–62.5. Galitsky M. Algebra-Aufgaben für die Klassen 8–9 // Mathematik: Wöchentliche Beilage zur Zeitung Erster September.“ –1998. –Nr. 6. –S. 7–10. 6. Veresova E. E. et al. Workshop zur Lösung mathematische Probleme. –M.: Bildung, 1979. 7. Quantum –1985. –Nr. 11. –S. 25.8. Kurlyandchik L. D. Annäherung an ein Extremum // Quantum. –1981. –Nr. 1.–S. 21–25.

9. Kalinin S.I. Zwei „verwandte“ Gleichungen // Mathematik in der Schule. –2002. –Nr. 6. –S. 70–71.

Kalinin Sergey, Doktor der Pädagogik, Leiter des Lehrstuhls für mathematische Analyse und Methoden des Mathematikunterrichts an der Vyatka State University of Humanities, [email protected]

Ungleichung Cauchy: ein neuer induktiver Beweis und einige Anwendungen zur ProblemlösungZusammenfassung. Der Artikel widmet sich einem neuen Beweis der verallgemeinerten Cauchy-Ungleichung für das arithmetische und geometrische Mittel positiver Zahlen unter Verwendung der Methode der Vorwärts- und Rückwärtsinduktion. Wir geben Beispiele für einfach und verallgemeinerte Cauchy-Ungleichungen zur Lösung von Problemen der höheren Schulmathematik. Schlüsselwörter: Arithmetische und geometrische Mittelwerte, die Cauchy-Ungleichung, das Problem der hohen Schulmathematik.

]). Die Autoren erklären das Erscheinen dieses Namens damit, dass einer der Eckpfeiler Die vorgestellte Theorie ist die Ungleichheit zwischen dem geometrischen Mittel und dem arithmetischen Mittel und ihren Verallgemeinerungen. Fügen wir außerdem hinzu, dass die ursprüngliche Grundlage für das GP einige geometrische Probleme und Methoden zu deren Lösung waren. Es war die Geometrie, die sich seit der Antike insbesondere mit der Lösung von Problemen bei der Suche nach Figuren mit bestimmten extremen Eigenschaften beschäftigte. Um solche Probleme zu lösen, wurden häufig die geometrische Cauchy-Ungleichung und ihre Verallgemeinerungen verwendet. Einer der meisten bekannte Probleme Diese Klasse ist die sogenannte Didos Problem.

Didos Problem

Didos Problem oder das klassische isoperimetrische Problem wird wie folgt formuliert: unter geschlossenen ebenen Kurven mit gegebene Länge Finden Sie die Kurve, die die maximale Fläche abdeckt.

Diese Aufgabe ist mit dem Namen Dido, der Gründerin der Stadt Karthago und ihrer ersten Königin, verbunden. Der Legende nach zog die phönizische Prinzessin Dido (Elissa) auf der Flucht vor der Verfolgung ihres Bruders, des Königs von Tyrus, entlang der Küste nach Westen Mittelmeer Asyl suchen. Der Ort an der Küste des heutigen Golfs von Tunesien gefiel ihr. Dido nahm Verhandlungen mit dem örtlichen Anführer Yarb über den Verkauf von Grundstücken auf. Sie verlangte sehr wenig – so viel wie möglich mit Stierfell umgeben. Dido gelang es, Yarb zu überzeugen. Der Deal kam zustande, und dann schnitt die schlaue Dido die Haut des Stiers, der ihr zur Verfügung gestellt wurde, auf Anwohner, in schmale Streifen, band sie zusammen und umgab das Gebiet, auf dem sie die Festung gründete, und in der Nähe davon die Stadt Karthago.

Wenn wir berücksichtigen, dass Dido ein an die Küste angrenzendes Gebiet gewählt hat, kann die Aufgabe, vor der Dido steht, wie folgt formuliert werden: Welche Form sollte eine Längenkurve haben, damit die Fläche der durch diese Kurve begrenzten Figur und Eine bestimmte Zeile ist die größte. Unter der Annahme, dass es sich um eine gerade Linie handelt, ist die Lösung des Problems ein Halbkreis der Länge .

Cauchys Ungleichung

Die Lösung für einen Sonderfall des Dido-Problems, bei dem es darum geht, zu bestimmen, welches der Rechtecke eines gegebenen Umfangs die größte Fläche hat, war den Mathematikern des antiken Griechenlands bekannt. Darüber hinaus gilt dieses geometrische Problem als das älteste Extremumproblem. Die Lösung dieses Problems findet sich im Buch VI der Elemente von Euklid, wo bewiesen wird, dass, wenn wir ein Rechteck und ein Quadrat mit demselben Umfang betrachten, die Fläche des Quadrats größer sein wird als die Fläche des Rechteck.

Die Lösung des Dido-Problems für Rechtecke und einige andere Spezialfälle dieses Problems kann leicht mit erhalten werden Cauchys Ungleichungen, was feststellt, dass das arithmetische Mittel nicht negativer Zahlen nicht kleiner ist als ihr geometrisches Mittel:

Gleichheit wird nur erreicht, wenn .

Beweis der Cauchyschen Ungleichung in Gesamtansicht nimmt viel Platz ein, daher werden wir hier einen Beweis dieser Ungleichung nur für Folgendes liefern:

Lassen Sie uns nun anhand von Beispielen zeigen, wie die Cauchysche Ungleichung zur Lösung geometrischer Optimierungsprobleme verwendet werden kann.

Beispiel 1 (Dido-Problem für Rechtecke). Finden Sie die Längen der Seiten eines Rechtecks ​​mit Umfang größte Fläche .

Bezeichnen wir die Seitenlängen des Rechtecks ​​mit und und seine Fläche mit . Dann wird das mathematische Modell des Problems die Form annehmen:

mit Einschränkungen:

Verwenden wir die Cauchysche Ungleichung für:

Ungleichheit (2) wird zu Gleichheit, wenn . Somit ist das Rechteck mit der größten Fläche und einem gegebenen Umfang ein Quadrat, dessen Seitenlänge gleich ist.

Beispiel 2 (inverses Problem Didons für Rechtecke). Ermitteln Sie die Längen der Seiten eines Rechtecks, dessen Fläche den kleinsten Umfang hat.

Wir verwenden die in Beispiel 1 eingeführte Notation. Dann nimmt das mathematische Modell des Problems die Form an:

mit Einschränkungen:

Aus der Ungleichung (1) folgt Folgendes

Somit, . Diese Ungleichheit wird zur Gleichheit, wenn . Somit hat das Rechteck den kleinsten Umfang gegebenen Bereich, ist ein Quadrat, dessen Seitenlänge gleich ist.

Beispiel 3 (Dido-Problem für Parallelepipede). Die Oberfläche des Parallelepipeds beträgt. Lassen Sie uns bestimmen, bei welcher Seitenlänge das Volumen maximal sein wird.

Bezeichnen wir die Seitenlängen des Parallelepipeds mit , und und sein Volumen mit . Dann wird das mathematische Modell des Problems die Form annehmen:

mit Einschränkungen:

Verwenden wir Cauchys Ungleichung für die Zahlen , und :

Aus Ungleichung (4) wird Gleichheit für , was Folgendes impliziert: . Aus (3) ergibt sich: . Gleichzeitig die maximale Lautstärke

Somit hat ein Parallelepiped mit maximalem Volumen und Oberfläche die Form eines Würfels mit der Seitenlänge . Ebenso lässt sich zeigen, dass ein Volumenquader mit minimaler Oberfläche die Form eines Würfels hat.

Beispiel 4 (Dido-Problem für Dreiecke). Ermitteln Sie die Längen der Seiten eines Dreiecks, dessen Umfang die größte Fläche hat.

Bezeichnen wir die Längen der Seiten des Dreiecks mit , und . Wir berechnen die Fläche des Dreiecks mit der Heron-Formel. Mathematisches Modell Das Problem wird die Form annehmen

mit Einschränkungen:

Verwenden wir die Cauchysche Ungleichung für die Zahlen , , :

das impliziert

Aus (5) erhalten wir

Ungleichheit (13) wird zu Gleichheit, wenn , d. h. unterliegt . Aus (6) erhalten wir

Somit ist das Dreieck mit dem Umfang die größte Fläche gleichseitiges Dreieck mit Seite.

Bei der Lösung komplexerer Probleme kommt es ebenfalls zum Einsatz geometrische Ungleichung oder verallgemeinerte Cauchy-Ungleichung, was in direktem Zusammenhang mit der Dualität im GP steht (siehe Vorlesung 4):

(8)

Mithilfe der Ungleichung (8) können wir zwei Theoreme beweisen, die häufig zur Schätzung nichtlinearer Funktionen verwendet werden.

Satz 1 Ein extremes Problem lösen

unter Einschränkungen

ist ein Vektor mit Komponenten

a) Zweidimensionale Option: Fahren wir fort mit neues Thema. Wie rein Musikstück, dieses Thema wird mit verflochten sein Hauptthema, was in Zukunft zu noch bemerkenswerteren Schlussfolgerungen führen wird.

Zunächst stellen wir fest, dass die Ungleichheit

auf dem alle Schlussfolgerungen in den vorherigen Absätzen dieses Kapitels basierten (siehe § 2 S. b)), ist einfach

Konsequenz der Identität

Dies geschieht nicht nur für nichtnegative Zahlen, sondern auch für alle reellen Zahlen. Betrachten Sie nun das Produkt

Nach der Multiplikation erhalten wir das Polynom

stimmt mit dem überein, der nach dem Öffnen der Klammern im Ausdruck erhalten wird

Von hier aus bekommen wir

Da das Quadrat nicht negativ ist, folgt aus (4.37) die Ungleichung

Für alle reellen Zahlen gilt diese sehr schöne Ungleichung sehr wichtig für viele Fragen der Analyse und mathematische Physik. Man nennt sie Cauchysche Ungleichung oder genauer gesagt die zweidimensionale Version der Cauchyschen Ungleichung.

Aus Beziehung (4.37) folgt, dass Gleichheit in (4.38) genau dann erreicht wird, wenn

In diesem Fall sagen wir, dass zwei Zahlenpaare proportional sind. Wenn mit Bedingung (4.39)

kann wie folgt geschrieben werden:

B) Geometrische Interpretation. Nachdem der Leser zum ersten Mal auf Identität (4.37) gestoßen ist, wird er ganz natürlich und berechtigterweise daran interessiert sein, wie es möglich war, auf dieses Ergebnis zu stoßen. Die Identität der Ausdrücke (4.35) und (4.36) wird ihm für einige unmotiviert und zufällig erscheinen. Mathe-Trick“, was nur von der bekannten „Taschenspielertrickserei“ des Autors des oben genannten Beweises zeugt.

Der unantastbare Grundsatz der Mathematik besteht darin, dass es in ihr keine zufälligen Tatsachen und Positionen gibt. Jedes Ergebnis, egal an welcher Stelle es steht, findet seine eigene Interpretation, wodurch dieses Ergebnis transparent und selbstverständlich wird. Diese Interpretation ist möglicherweise nicht sofort ersichtlich und kann möglicherweise nicht sofort gefunden werden. Oft wahre Bedeutung Der mathematische Satz wird erst klar, wenn wir ihn sozusagen „von oben“ betrachten, also aus der Sicht von mehr allgemeine Theorie. Es gibt jedoch immer eine Interpretation, die die Bedeutung des Theorems erklärt – und das ist äußerst wichtig. Wäre dies nicht der Fall, würde die Mathematik zu einer Ansammlung unzusammenhängender formaler Tricks und schulischer Schnickschnack verkommen.

Die einfachste Interpretation eines algebraischen Ergebnisses ist oft geometrischer Charakter. Formeln, die völlig unverständlich und komplex erscheinen, werden offensichtlich, wenn ihr geometrischer Inhalt offenbart wird.

Betrachten Sie das in Abb. gezeigte Dreieck. 21. Offensichtlich werden die Längen der Segmente und durch die Gleichheiten bestimmt

Bezeichnen wir den Winkel zwischen den Seiten und mit 0. Basierend auf dem Kosinussatz haben wir

Wenn wir die Werte ersetzen und den resultierenden Ausdruck vereinfachen, erhalten wir

Da der Kosinuswert immer dazwischen eingeschlossen ist, haben wir

Indem wir die Gleichung (4.40) quadrieren und (4.41) berücksichtigen, erhalten wir

und endlich,

Und das ist es wieder zweidimensionale Version Cauchys Ungleichung (4.38) – eine Ungleichung, die zuvor so unverständlich und seltsam erschien.

Reis. 21. Geometrische Interpretation der Cauchyschen Ungleichung.

Darüber hinaus sehen wir, dass Gleichheit hier genau dann erreicht wird, wenn, also genau dann, oder mit anderen Worten, genau dann, wenn die Punkte auf derselben Geraden liegen. In diesem Fall müssen die Anstiege der geraden Linien gleich sein, und mit anderen Worten, wenn c, dann muss dies der Fall sein

c) Dreidimensionale Version der Cauchyschen Ungleichung. Die obige Interpretation der Cauchyschen Ungleichung für zweidimensionaler Fall ist auch insofern gut, als es uns mit Hilfe der geometrischen Intuition ermöglicht, leicht herauszufinden, welche Form ähnliche Ergebnisse haben werden, wenn sie sich auf mehr beziehen schwieriger Fall beliebig viele Dimensionen.

Kommen wir zum Fall des gewöhnlichen oder dreidimensionalen Raums (dreidimensionaler Raum). Es gebe zwei Punkte, die nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen. Dann wird der Kosinus des Winkels 9 zwischen den Linien durch die Gleichheit bestimmt

was aufgrund der Tatsache, dass es zu einer dreidimensionalen Version der berühmten Cauchy-Ungleichung führt

Gleichheit ist hier genau dann erreicht, wenn drei Punkte auf derselben Geraden liegen, was durch die Beziehungen ausgedrückt wird

Dies ist sinnvoll, sofern alle Zahlen im Nenner von Null verschieden sind.

d) Die Cauchy-Lagrange-Identität und die -dimensionale Version von Cauchys Ungleichung. Rein

Der algebraische Beweis der dreidimensionalen Version der Cauchyschen Ungleichung (4.42) kann aus der folgenden Identität abgeleitet werden:

Offensichtlich ist der letzte Ausdruck in (4.43) nicht negativ, da er aus der Summe von drei nicht negativen Termen besteht. Deshalb

Somit wird auf andere Weise die Cauchy-Ungleichung für den dreidimensionalen Fall bewiesen. Aus der Identität (4.43) ist auch klar, wann die Cauchysche Ungleichung in Gleichheit übergeht: Der letzte Ausdruck in (4.43) ist nur dann gleich Null, wenn jeder seiner drei Terme gleich Null ist, das heißt, wenn alle Zahlen proportional sind.

Wenn Sie anschließend studieren analytische Geometrie im Raum, dann wissen Sie, dass Identität (4.43) nichts anderes als die Relation ist

II – I Allrussische Fernstudentenkonferenz

Verschiedene Durchschnittswerte der positiven Ergebnisse. Cauchys Ungleichung.

Mathematik, Studie.

Gorbunow Denis, 11. Klasse, Städtische Bildungseinrichtung Lyzeum Nr. 1, Kungur, Perm-Territorium

Wissenschaftlicher Leiter: Tikhomirova Galina Nikolaevna, Mathematiklehrer am Lyceum Nr. 1

Webadresse:/works.html

Anmerkung.

IN Schulkurs Mathematik und Physik studieren Durchschnittswerte (arithmetisches Mittel, geometrisches Mittel, harmonisches Mittel und quadratisches Mittel).

Es gibt erstaunliche Beziehungen zwischen ihnen, die von Wissenschaftlern untersucht wurden. O. Cauchy, ein französischer Mathematiker, kam nach dem Vergleich zweier Durchschnittswerte zu dem Schluss, dass das arithmetische Mittel von n Zahlen immer nicht kleiner ist als das geometrische Mittel dieser Zahlen.

Die Cauchysche Ungleichung wird beim Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Systemen mithilfe der Schätzmethode verwendet und erscheint in Versionen des Unified State Exam-Tests (z. B. Aufgabe C 3 im Jahr 2006).

Die Entwicklung der Theorie der Ungleichungen mit Variablen in den letzten hundert Jahren hat zur Entstehung einer außerordentlichen Vielfalt an Methoden und Richtungen geführt, die zum Gegenstand meiner Forschung wurden.

Die Arbeit besteht aus zwei Teilen: theoretisch und praktisch. Theoretischer Teil dargestellt in drei Abschnitten: Durchschnittswerte und ihr Vergleich für zwei positive Zahlen; bemerkenswerte Ungleichheiten und Methoden zur Problemlösung.

Ich denke, dass die von mir geleistete Arbeit mir bei der erfolgreichen Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen helfen wird und für Schulabsolventen und Mathematikinteressierte interessant sein wird.

Thema: Verschiedene Durchschnittswerte der positiven Ergebnisse. Cauchys Ungleichung.

Ziel: Untersuchung von Durchschnittswerten, Definition optimale Methoden Lösen von Problemen mit Durchschnittswerten.

Aufgaben:

sich mit der Entstehungsgeschichte von Durchschnittswerten vertraut machen,

Durchschnittswerte definieren,

den Zusammenhang zwischen Durchschnittswerten algebraisch und geometrisch beweisen,

Betrachten Sie die Anwendung der Cauchyschen Ungleichung bei der Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen.

systematisieren verschiedene Methoden Lösung nicht standardmäßiger Probleme.

Warum habe ich dieses Thema gewählt?

Als ich vor der Frage der Themenwahl stand, habe ich mich aus allen in Betracht gezogenen Optionen sofort für dieses entschieden. Ich habe meine Wahl darauf gestützt, dass dieses Thema mir helfen würde, mich auf Prüfungen vorzubereiten und viel Neues für mich selbst zu lernen.

Planen:

Einführung

A) Theoretischer Teil

1. 2.1. Das Konzept des Durchschnittswerts.

   2.2.Aus der Geschichte der Durchschnittswerte

   2.3.Zusammenhang zwischen Durchschnittswerten

2.3.1.Vergleich des arithmetischen Mittels und des geometrischen Mittels

2.3.2.Vergleich des arithmetischen Mittels und des mittleren Quadrats

2.3.3. Vergleich des harmonischen Mittels und des geometrischen Mittels

2.3.4. Geometrischer Nachweis des Vergleichs von Durchschnittswerten

2.3.4.1. Arithmetisches Mittel und mittleres Quadrat

2.3.4.2. Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel

2.3.4.3. Harmonisches Mittel und geometrisches Mittel

2.3.4.4. Konstruktion von vier Durchschnittswerten für gegebene Segmente A Und B

2.3.5. Geometrische Probleme lösen, um Durchschnittswerte zu vergleichen

2.4. Durchschnittlich für N positive Zahlen

2.5. Wunderbare Grenzen, generiert durch klassische Durchschnittswerte.

2.6. Cauchys bemerkenswerte Ungleichung

B) Praktischer Teil

2.7.Grundlegende Methoden zur Lösung von Problemen zum Nachweis von Ungleichungen

2.7.1. Analysemethode

2.7.2. Synthesemethode

2.7.3. Die umgekehrte Methode

2.7.4. Methode zur Verwendung von Identitäten

2.7.5. Bewertungsmethode

2.7.6. Methode zur Einführung neuer Variablen oder Methode

Substitutionen

2.7.7. Methode zur Einführung von Hilfsfunktionen

2.7.8. Methode zur Reduzierung der Anzahl der Ungleichheitsvariablen und zur Reduzierung des Ungleichheitsgrads

2.8. Anwendung der Cauchyschen Ungleichung bei der Lösung von Problemen.

2.9. Didos Problem und andere Optimierungsprobleme

III. Abschluss

IV. Referenzliste

Einführung.

Jeder Fünftklässler stößt in einem Schulmathematikkurs auf das arithmetische Mittel von zwei oder mehr natürliche Zahlen (;
;…). Beim Geometriestudium in der achten Klasse lernt jeder Schüler durch die Untersuchung eines rechtwinkligen Dreiecks das geometrische Mittel zweier Segmente kennen (
). In einem rechtwinkligen Dreieck haben drei Segmente diese Eigenschaft: zwei Schenkel und eine Senkrechte, die vom Scheitelpunkt abfällt rechter Winkel zur Hypotenuse. Aus dem Physikunterricht ist bekannt, dass wenn Und - Geschwindigkeit auf zwei Streckenabschnitten, dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit gleich
, das heißt, ist das harmonische Mittel und . Es gibt auch einen vierten Durchschnitt – den quadratischen Mittelwert.
.

Sie können auswählen große Klasse Probleme, bei denen es ausreicht, relativ einfache Ungleichungen zu kennen und anwenden zu können. Zu diesen Ungleichungen gehört zunächst die Cauchysche Ungleichung: das arithmetische Mittel zweier positiver Zahlen A Und B nicht weniger als ihr geometrisches Mittel:
. Neben der Cauchyschen Ungleichung ist es nützlich, ihre Folgerungen zu kennen:

Bei Ungleichungen wird Gleichheit erreicht, wenn A = B. Diese Ungleichungen sind einander gleichwertig, wenn
,
.

Diese Ungleichungen werden beim Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Systemen mithilfe der Schätzmethode verwendet und erscheinen in Versionen des Unified State Exam-Tests (z. B. Aufgabe C 3 im Jahr 2006).

Es ist anzumerken, dass die Entwicklung der Theorie der Ungleichungen mit Variablen in den letzten hundert Jahren zur Entstehung einer außerordentlichen Vielfalt an Methoden und Richtungen geführt hat.

Ich habe studiert große Menge Literatur zu diesem Thema systematisiert. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen: theoretisch und praktisch. Der theoretische Teil gliedert sich in drei Abschnitte: Durchschnittswerte und ihr Vergleich für zwei positive Zahlen; bemerkenswerte Ungleichheiten und Methoden zur Problemlösung.

Der zweite Teil war praktisch und zielte darauf ab, zu lernen, wie man bemerkenswerte Ungleichungen bei der Lösung verschiedener Probleme anwenden kann.

Ich denke, dass die von mir geleistete Arbeit mir helfen wird, mich erfolgreich auf das Einheitliche Staatsexamen vorzubereiten.

Das Konzept des Durchschnittswerts.

Durchschnittliche Größe reale Nummern
Rufen Sie jede echte Nummer an X, Erfüllung der Bedingung
, Wo M – der kleinste, und M - die größte unter den Zahlen.

Durchschnittswert Es gibt nur dann eine Zahl, wenn
.

Geometrisches Mittel reelle nichtnegative Zahlen
Eine solche reelle nichtnegative Zahl heißt .

Arithmetisches Mittel reelle Zahlen heißen reelle Zahlen
.

Harmonische Mittel reelle positive Zahlen heißen positive Zahlen
.

Mittleres Quadrat (Quadrat) der reellen Zahlen ist eine nichtnegative reelle Zahl
.

Wenn wir zwei positive Zahlen a und b betrachten, sehen diese Durchschnittswerte folgendermaßen aus:

Folgende Aufgaben kommen in Betracht.

Aufgaben Nr. 1. Bestimmen Durchschnittsgeschwindigkeit Tourist den ganzen Weg, wenn er von Punkt A nach Punkt B mit Geschwindigkeit ging und mit Geschwindigkeit zurück.

Lösung. Bezeichnen wir also mit dem Symbol S den Abstand zwischen den Punkten A und B

- Touristenzeit von A nach B, und

- Touristenzeit zurück.

+ - Zeitaufwand für die gesamte Reise.

Dann

Verstanden ist das harmonische Mittel der Geschwindigkeiten und .

Problem Nr. 2. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC wird eine senkrechte CD vom Scheitelpunkt C zur Hypotenuse fallen gelassen, die die Hypotenuse in Segmente AD = a; BD = b. Drücken Sie in Form von a und b aus:

DE (wobei E der Schnittpunkt des um das Dreieck ABC umschriebenen Kreises und der durch den Mittelpunkt des Kreises zu AB gezogenen Senkrechten ist)

SC (wobei Punkt K- die Basis der Senkrechten ist, die von Punkt D zu r = CO fällt.

Lösung.

1) ∆ABC ist rechteckig, daher ist AB der Durchmesser des Kreises

AB = a + b, O ist der Mittelpunkt des Kreises, also AO = OB = OE =

Wir haben herausgefunden, dass EO = das arithmetische Mittel zweier Segmente ist, deren Längen a und b sind.

2) CD┴AB (durch Bedingung), also aufgrund der Eigenschaft der Senkrechten, die vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels zur Hypotenuse abfällt, CD²=AD D.B. Bedeutet

, also
.

CD ist das geometrische Mittel zweier Segmente, deren Längen gleich a und b sind.

3) ∆OED – rechteckig, da EO ┴ AB (nach Bedingung)

(als Radius eines Kreises)

Nach dem Satz des Pythagoras

DE² = OD² + OE²

, das heißt, DE ist das mittlere Quadrat für zwei Segmente, deren Längen a und b sind.

∆DOC ist rechteckig, da CD ┴ AB. Lasst uns ausführen

┴ CO.

Nach Eigentum rechtwinkliges Dreieck CD² = CO CK, das heißt

, das heißt, MC ist das harmonische Mittel für a und b.

Aus der Lösung dieses Problems geht hervor, dass für zwei Segmente a und b vier Abhängigkeiten gefunden werden können: quadratischer Mittelwert, harmonischer Mittelwert, arithmetischer Mittelwert, geometrischer Mittelwert.

In welcher Weise sind sie voneinander abhängig?

Aus der Geschichte der Durchschnittswerte.

Es ist nicht genau bekannt, wann die Konzepte der Durchschnittswerte in der Mathematik entstanden sind. Es wird jedoch angenommen, dass die Babylonier sie bereits vor mehr als dreitausend Jahren bei der Berechnung von Quadratwurzeln verwendeten. In den uns überlieferten Tafeln werden die Quadratwurzeln natürlicher Zahlen tatsächlich nach der uns bekannten Formel berechnet:

wenn N = β² + r, dann
=

.

Moderne Gelehrte haben die Argumentation der Babylonier rekonstruiert und sind zu dem Schluss gekommen, dass sie den Durchschnitt angenommen haben Arithmetische Zahlenβ und . Tatsächlich, wenn wir bezeichnen
, dann β =
.

Viel später verwendete der antike griechische Mathematiker Heron (1. Jahrhundert) in seinen „Metriken“ die gleiche Methode der Näherungsberechnung Quadratwurzel, schrieb, dass das Ergebnis auch so ist großer Fehler, dann kann der angegebene Vorgang wiederholt werden, d.h. Nehmen Sie das arithmetische Mittel der Zahlen β und .

Wenden wir diesen Algorithmus auf die Berechnung der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl an und schreiben sie als Produkt zweier natürlicher Zahlen: N = ab (für die Primzahl N ist einer der Faktoren gleich 1). Als erste Näherung des Wertes
Lass uns nehmen
, dann folgen wir Herons Empfehlung, finden wir
, was sich als harmonisches Mittel herausstellt
Zahlen A Und B.

Auch Durchschnittswerte waren den antiken Mathematikern bekannt. In einem der Mathe-Tests zugeschrieben altgriechischer Mathematiker Archyta (ca. 428 – 365 v. Chr.), arithmetisches Mittel A, geometrisches Mittel G und harmonisches Mittel N wurden definiert als gleichberechtigte Mitglieder jeweils arithmetische, geometrische und harmonische Proportionen:

a – A = A – b;

a: G = G: b;

(a – H): a = (H – b): b.

Aus diesen Gleichheiten erhalten wir

;
;
.

Die aufgeführten Durchschnittswerte erhielten ihren Namen in Antike. Aristoteles (384 – 322 v. Chr.), der große Philosoph der Antike, erklärte den Ursprung der Namen wie folgt. Unter den Zahlen
jeder weitere ist größer als der vorherige konstante Zahl
(vorausgesetzt a jeder nächste ist um eine feste Zahl größer als der vorherige
einmal; Ein solcher Vergleich wird nur in der Geometrie durchgeführt. Natürlich drückte Aristoteles seine Einstellung zu den Operationen aus, die in der antiken griechischen Mathematik existierten.

Manchmal wird anstelle des Begriffs „geometrisches Mittel“ der Name verwendet durchschnittlich proportional. Das lässt sich ganz einfach erklären: Denn Gleichheit ist gleichbedeutend mit Verhältnis A : G = G : B.

Der Legende nach wurde das harmonische Mittel von Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) eingeführt, um das Verhältnis der wichtigsten harmonischen Intervalle auszudrücken. Pythagoras stellte das fest, zusammen mit einer Saitenlänge von 12 l, damit verschmelzen Saiten gleicher Spannung mit Längen von 6 Tönen l (eine Oktave höher), 8 l und 9 l(höher um ein Quantum und ein Quart), während 9 l ist das arithmetische Mittel der Zahlen 6 l und 12 l, und 8 l er definierte es als das harmonische Mittel dieser Zahlen. Diese Konsonanz (und das Verhältnis 6, 8, 9, 12, das sie definiert) wurde Tetrade genannt. Die Pythagoräer glaubten, dass die Tetrade „die Tonleiter ist, in der die Sirenen singen“.

Die Entdeckung der Tetrade veranlasste die Pythagoräer, nach ähnlichen Beziehungen in anderen Bereichen des menschlichen Wissens zu suchen, darunter Architektur („Goldener Schnitt“), Geometrie, Kosmologie usw.

In der antiken griechischen Mathematik, die überwiegend geometrisch war, waren mehrere Methoden bekannt, um Durchschnittswerte über zwei gegebene Segmente zu bilden A Und V. Papst von Alexandria (III. Jahrhundert) präsentiert in seiner „Mathematischen Sammlung“, einer Sammlung von Ergebnissen der antiken griechischen Mathematik, die Konstruktion des geometrischen Mittels zweier Segmente nach den Methoden seiner Vorgänger Eratosthenes (276 - 174 v. Chr.), Nikomedes ( Chr.) und Heron (1. Jahrhundert) wird auch der Aufbau aller drei Segmente auf einer Figur beschrieben.

Formeln, die unterschiedliche Durchschnittswerte angeben, sind im Allgemeinen nicht nur für positive Werte sinnvoll A Und B. Um jedoch nicht jedes Mal über die Frage nach der Existenz eines Durchschnittswerts nachzudenken, wird dieser in der Regel in Betracht gezogen A Und B positiv .

Beziehung zwischen DurchschnittswertenMengen.

Vergleich von arithmetischem Mittel und geometrischem Mittel.

Es ist bekannt, dass mit zwei positiven Zahlen A Und V, ihr arithmetisches Mittel und ihr geometrisches Mittel hängen zusammen, und (die Gleichheit gilt nur, wenn a = b). Der algebraische Beweis dieser Ungleichung ist äußerst einfach:

(a – c)² ≥ 0;

Wenden wir die Formel „Quadratdifferenz“ an:

a² - 2av + b² ≥0;

Fügen wir beide Seiten der Ungleichung hinzu 4av:

a² + 2av + b² ≥4av;

Wenden wir die Formel „Quadrat der Summe“ an:

(a + b)² ≥4av;

Teilen wir beide Seiten der Ungleichung durch 4 :

T
Ok, wie A Und V durch die Bedingung positiv sind, ziehen wir die Quadratwurzel beider Seiten der Ungleichung:

Wir haben den gewünschten Ausdruck bekommen.

Vergleich des arithmetischen Mittels und des mittleren Quadrats.

Per Definition von Ungleichheit, wenn (a – c) ≥0, Das a ≥ b, und wenn (a – c)≤0, Das a ≤ c. Aber zum Positiven A Und V Es gilt der Ausdruck: if ( a² - b²)≥0, Das a ≥ b umgekehrt .

Zum Beweis
Bedenken Sie den Unterschied

Dies bedeutet per Definition von Ungleichheit (z a≥0;B≥0 ) Die Quadratdifferenz ist negativ, das heißt, der Minuend ist kleiner als der Subtrahend. Somit wird Gleichheit nur dann erreicht, wenn A= B.

Vergleich des harmonischen Mittels und des geometrischen Mittels.

Lassen Sie uns beweisen, dass das harmonische Mittel nicht größer als das geometrische Mittel ist
. Betrachten wir den Unterschied

Unter der Vorraussetzung, dass A Und B positive Quadratdifferenz
, das heißt, der Minuend ist kleiner als der Subtrahend. Dies bedeutet, dass Gleichheit nur erreicht wird, wenn A= B.

Damit haben wir eine der wichtigsten Ungleichungen im Zusammenhang mit Durchschnittswerten nachgewiesen:

.

Geometrische Beweise.

Vergleich des arithmetischen Mittels und des geometrischen Mittels für zwei positive Zahlen a und b.

Gegeben: ca. (O;OA);ANZEIGE = A; BD = B

Beweisen:

Nachweisen:

Bogen AKB = 180° bedeutet den Winkel DIA = 90° (durch die Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels)

Auf diese Weise, ∆ASV– rechteckig,

∆ABCähnlich ∆ ADC

(durch gesamten spitzen Winkel)

2) ∆ABCähnlich ∆ CBD

3) CD┴AB, also ∆ ADCähnlich ∆ CBD.

4)
, somit,

, somit,

, somit,
, das heißt, das ist
.

5) ∆ CDO– rechteckig, CD ┴ Außendurchmesser, Bedeutet, CD < O.C., also
.

6) Wenn A = B, dann zeigen D stimmt mit dem Punkt überein UM, Das
.

Deshalb musste dies nachgewiesen werden.

Diese Ungleichheit kann auf andere Weise nachgewiesen werden.

II-Methode.

Gegeben: ABCD – rechteckig, AD = a, AB = b, AK – Winkelhalbierende BAD.

Beweisen:

Nachweisen:

4)

Es ist klar, dass
,
Gleichheit ist erreicht, wenn

A = B, das heißt, ABCD ist ein Quadrat.

;
,

lasst uns in der Ungleichung ersetzen a² An M, B² An N, wir bekommen

oder
,

das heißt, das geometrische Mittel ist nicht größer als das arithmetische Mittel.

Vergleich des mittleren Quadrats und des arithmetischen Mittels.

Durchschnittlich für N positive Zahlen .

Durchschnittswerte können für eine beliebige Anzahl positiver Zahlen ermittelt werden
. Die Definitionen dieser Durchschnittswerte sind oben angegeben. Für alle positiven Zahlen erfüllen das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel, das harmonische Mittel und das quadratische Mittel die Ungleichungen:

in jedem davon wird das Gleichheitszeichen nur dann erreicht, wenn
.

Die wichtigste und bedeutendste dieser Ungleichungen ist die Ungleichung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel, die als Cauchy-Ungleichung bezeichnet wird.

Bemerkenswerte Grenzen, die durch klassische Durchschnittswerte generiert werden.

Gegeben seien zwei positive Zahlen A Und B, A < B. Nachdem wir ein Paar Durchschnittswerte dieser Zahlen berechnet haben, erhalten wir die Zahlen Und . Dann berechnen wir für die Zahlen die gleichen Durchschnittswerte – wir erhalten die Zahlen Und . Wir werden den gleichen Vorgang mit ihnen wiederholen und so weiter. Als Ergebnis erhalten wir die Sequenzen
Und
.

Wenn wir zum Beispiel das geometrische Mittel und das arithmetische Mittel nehmen und von den Zahlen 1 und 3 ausgehen, erhalten wir

In diesem Beispiel konvergieren die Folgen und sehr schnell. Wird es immer so sein? Es stellt sich heraus, dass solche Folgen immer einen gemeinsamen Grenzwert haben.

Arithmetik – harmonisches Mittel.

Das ausgewählte Mittelwertpaar sei das harmonische Mittel und das arithmetische Mittel; Somit werden die Terme der Folgen durch die Formeln bestimmt

,
,

,
.

Betrachten Sie das harmonische Mittel, das geometrische Mittel und das arithmetische Mittel

.

Es folgt dem

Das heißt, die Folge steigt „in Richtung“ der absteigenden Folge.

Somit sind beide Folgen monoton und beschränkt, daher haben sie Grenzen. Lassen
,
. Berechnen wir den Grenzwert

Das heißt, Folgen haben einen gemeinsamen Grenzwert. Diese Grenze wird als arithmetisch-harmonischer Mittelwert der Zahlen bezeichnet A Und B.

Finden wir es:

Seit und wo N=0, 1, 2, 3,… ; ;
, Das

Deshalb

Deshalb
.

Das arithmetisch-harmonische Mittel stimmt mit dem geometrischen Mittel überein.

Somit konvergieren die Folgen und schnell genug, um . Daher können sie für die näherungsweise Berechnung von Quadratwurzeln nützlich sein. Berechnen
Sie müssen die Sequenz mit solchen Zahlen beginnen A Und B, Was C= ab(Zum Beispiel, A=1, B= C), und der Prozess konvergiert umso schneller, je kleiner die Differenz zwischen diesen Faktoren ist (z. B. zur Berechnung).
es ist besser, es nicht zu nehmen A=1, B=56 , A A=7, B=8 ). Sequenzen und werden durch Formeln erhalten

;
.

Lassen Sie uns zur Veranschaulichung rechnen
, setzen B=4 . Wir bekommen

.

Arithmetik – geometrisches Mittel.

Der vierzehnjährige Carl Friedrich Gauß entdeckte anhand numerischer Beispiele, dass bei der Berechnung von Folgen und der Verwendung arithmetischer und geometrischer Mittel:

, ,

diese Folgen konvergieren sehr schnell.

Ihr gemeinsamer Grenzwert wird als arithmetisch-geometrisches Mittel der Zahlen bezeichnet A Und B und wird mit bezeichnet
. Finden Sie einen expliziten Ausdruck über A Und B nicht ganz einfach. Es wurde erstmals von Gauß als Ergebnis ungewöhnlich witziger und meisterhafter Überlegungen und Transformationen unter Verwendung der Eigenschaften der sogenannten elliptischen Integrale gewonnen.

Geometrisch - harmonisches Mittel.

Wenn Sie Sequenzen mit harmonischen und geometrischen Mitteln erstellen:

; ,

dann konvergieren sie in diesem Fall gegen einen gemeinsamen Grenzwert. Nennen wir es geometrisch harmonisches Mittel A Und B und bezeichne es mit
. Allerdings gibt es hier im Vergleich zu den vorherigen Sequenzen nichts Wesentliches Neues, da

;
.

.

Bemerkenswerte Cauchy-Ungleichung.

Diese berühmte Ungleichung gehört dem französischen Mathematiker O. Cauchy und wurde 1821 veröffentlicht. Sein Beweis umfasste damals mehrere Seiten komplexer Berechnungen und basierte auf der Methode der mathematischen Induktion. Seitdem sind mehrere Dutzend verschiedene Beweise für diese Ungleichheit aufgetaucht.

Satz. Für nichtnegative Zahlen gilt die Cauchy-Ungleichung

Gleichheit wird genau dann erreicht, wenn .

Nachweisen. Lassen Sie die Zahlen positiv sein und
. Diese Zahl wird als geometrisches Mittel positiver Zahlen bezeichnet
(Wenn n=1, dann
).

Erhöhen wir beide Seiten der Gleichheit N – neuer Abschluss. Wir bekommen

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner dieser Gleichheit mit

, N = 2, 3, 4, 5,…

Wenden wir Bernoullis Ungleichung an (
), darin ersetzen Q An
. Wir bekommen

Auf diese Weise

Wenn n = 2, dann
;

Wenn n = 3 dann
;

Wenn n = 4, dann
;

……………………………..

Addieren wir diese Ungleichungen Term für Term und erhalten wir:

Gehen Sie nach links und dividieren Sie die Ungleichung durch N.

, Wo

Auf diese Weise
.

Gleichheit wird erreicht, wenn alle A sind gleich.

Diese Ungleichung gilt auch für nichtnegative Zahlen.

Es gibt andere Möglichkeiten, die Cauchysche Ungleichung zu schreiben:

Lassen Sie uns beide Seiten der Cauchyschen Ungleichung anheben N- neuer Abschluss

Wir bekommen:

Betrachten wir Probleme bei der Anwendung der Cauchyschen Ungleichung.

Problem Nr. 1. Produkt positiver Zahlen
. Beweise das

Lösung. Wenden wir Cauchys Ungleichung an:

;

Aufgabe Nr. 2. Löse die Gleichung:

Lösung. Für x = 2 ist die rechte Seite der Gleichung gleich 2 und für
wird kleiner als 2 sein, da jeder Term kleiner als 1 ist. Die rechte Seite überschreitet also nicht 2. Wir stellen die linke Seite in der Form dar

(x>1)

Komponenten
Und
.

(x > 1)

Somit ist die rechte Seite der Gleichung nicht größer als 2 und die linke Seite nicht kleiner als 2. Gleichheit wird erreicht, wenn beide Seiten gleich zwei sind

Also wenn x = 2.

Antwort: x = 2

Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion.

Mit der Cauchyschen Ungleichung können Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion ermitteln, ohne die Ableitung zu verwenden. Dazu sind Aussagen erforderlich, die direkt aus der Cauchyschen Ungleichung folgen:

Aufgabe Nr. 1. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
,
.

Lösung. Stellen wir uns die Funktion vor
als Summe von Begriffen

.

Lassen Sie uns das Produkt dieser Begriffe finden

.

Dies bedeutet, dass die Summe der Terme ihren Minimalwert annimmt
, das ist wenn
.

.

Antwort: y = 4– der kleinste Wert der Funktion, der erreicht wird, wenn x = 1.

Aufgabe Nr. 2. Finden Sie den größten Wert der Funktion
auf dem Segment
.

Lösung. Quadrieren wir die Funktion und erhalten:

, teile beide Teile durch 4:

.

Lassen Sie uns die Arbeit in Form eines Produkts darstellen

.

Lassen Sie uns die Summe dieser Faktoren ermitteln

,

das heißt, der Betrag dauert konstante Werte. Daher die Funktion
, was bedeutet, dass die Funktion ihren größten Wert bei erreicht
.

Suchen wir die Werte der Funktion an diesen Punkten

Daher ist der größte Wert der Funktion
bei
.

Problem Nr. 3. Bei welchen Werten X Erreicht die Funktion ihren größten Wert?

Lösung. Schreiben wir die Funktion
als

Lassen Sie uns die Summe dieser 5 Faktoren ermitteln

Wenden wir die Cauchysche Ungleichung an N = 5

Folglich erreicht die Funktion ihren größten Wert gleich
, Wenn

Antwort: Wann
Die Funktion erreicht ihren Maximalwert.

Aufgabe Nr. 4. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion
.

Lösung. Finden wir den Definitionsbereich der Funktion
.

1)
- der kleinste Wert seit
.

2) Wenden wir Cauchys Ungleichung an N = 2 für Begriffe
Und
.

, das heißt, die Funktion hat den größten Wert, sie wird erreicht, wenn

Wirklich,
.

Antwort:

.

Grundlegende Methoden zur Lösung von Problemen zur Feststellung der Wahrheit von Ungleichungen mit Variablen.

Analysemethode.

Dies ist eine Methode, die auf der Analyse der untersuchten Ungleichheit und einer solchen Analyse basiert, mit deren Hilfe sie unter Verwendung „umkehrbarer“ Überlegungen eine Kette von Übergängen von einer nachweisbaren Ungleichheit (durch eine Reihe von Zwischenungleichungen) zu aufbauen einige offensichtliche (dank zuvor erzielter Ergebnisse) Ungleichheit.

Betrachten wir die Lösung des Problems mithilfe der Analysemethode.

A, B, C, D so dass
Und
, die Ungleichung ist erfüllt
.

Lösung. Betrachten wir eine Kette von Übergängen von einer Ungleichung zu einer anderen, die ihr äquivalent ist, und berücksichtigen wir dabei die Bedingung.

Quadrieren wir beide Seiten, da sie nicht negativ sind:

Ersetzen wir die Werte C² Und D² aus Zustand.

Wir haben eine offensichtliche Ungleichheit.

Synthesemethode.

Hierbei handelt es sich um eine Methode, die auf der Gewinnung (Synthese) einer Ungleichheit (die gerechtfertigt werden muss) aus unterstützenden (Grund-)Ungleichungen und Methoden zu deren Feststellung basiert.

Lösen wir das Problem mit der Synthesemethode.

Problem Nr. 2. Beweisen Sie das für jedes Nicht-Negativ A, B, C Ungleichheit ist wahr

Lösung. Schreiben wir drei Ungleichungen auf, die die Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel zweier nichtnegativer Zahlen begründen

;
;

Multiplizieren wir die resultierenden Ungleichungen Term für Term, da ihre linke und rechte Seite nicht negativ sind

Die umgekehrte Methode.

Der Kern der Methode besteht darin, dass davon ausgegangen wird, dass alle Bedingungen des Problems erfüllt sind, die Ungleichung selbst jedoch nicht erfüllt ist. Anschließend wird eine Kette äquivalenter Transformationen durchgeführt und eine Hypothese identifiziert, die Widersprüche über die Erfüllung dieser Ungleichung aufstellt.

Betrachten wir Problem Nr. 1, gelöst durch die Analysemethode. Lösen wir es durch Widerspruch.

Aufgabe Nr. 1. Beweisen Sie das für beliebige reelle Zahlen A, B, C, D

Lösung. Lassen Sie die Bedingungen des Problems erfüllt sein, das heißt, und und .

Nehmen wir an, dass diese Ungleichung falsch ist und unter diesen Bedingungen die folgende Ungleichung gilt:

.

Diese Ungleichung entspricht einer Reihe von Ungleichungen:

Lassen Sie uns beide Seiten der Ungleichung mit 2 multiplizieren und die rechte Seite als Summe 1+1 darstellen:

Ersetzen wir den Wert 1 aus der Bedingung:

Verschieben wir alles auf die linke Seite und wenden die Formel für das Quadrat der Summe an:

Wir haben eine Menge von Ungleichungen erhalten, die keine Lösungen haben, was bedeutet, dass die Annahme, dass die Ungleichung wahr ist, falsch ist.

Methode zur Verwendung von Identitäten.

Der Kern der Methode besteht darin, dass diese Ungleichung durch äquivalente Transformationen auf eine offensichtliche Identität reduziert wird.

Betrachten wir die Lösung des Problems mit dieser Methode.

A Und B Ungleichheit ist wahr
.

Lösung. Wählen wir ein vollständiges Quadrat auf der linken Seite der Ungleichung

Für alle gültigen A Und B Dieser Ausdruck ist nicht negativ, was bedeutet, dass diese Ungleichung auch erfüllbar ist, d. h. .

Bewertungsmethode (Stärkungs- oder Schwächungsmethode).

Die Verstärkungsmethode besteht in einem sequentiellen Übergang von einer kleineren Funktion zu einer größeren (wie man sagt, der Schätzung dieser kleineren Funktion „von oben“). Solche „Übergänge“ führen zur sogenannten stärkeren Ungleichung, also einer Ungleichung mit einer größeren rechten Seite als ihre Vorgänger – Ungleichungen. Mit anderen Worten, wenn Sie eine Ungleichung der Form A beweisen müssen< B и удалось установить, что A < C и С < B, где А, В, С - функции от соответствующих переменных, принимающих произвольные значения из оговорённой области определения, то тем самым оказывается установленным и неравенство А < В.

Die Abschwächungsmethode – die Methode, um zum Beweis einer schwächeren Ungleichung überzugehen, ist wie folgt: Wenn Sie eine Ungleichung der Form A > B beweisen müssen und festgestellt werden konnte, dass A > C und C > B, wobei A , B, C Funktionen der entsprechenden Variablen sind, die beliebige Werte aus dem angegebenen Definitionsbereich annehmen, dann wird dadurch die Ungleichung A > B festgestellt.

Ein ähnlicher Ansatz kann zum Nachweis nichtstrikter Ungleichungen verwendet werden.

Kehren wir zu Problem Nr. 1 zurück und lösen es auf die dritte Weise – die Verstärkungsmethode.

Aufgabe Nr. 1. Beweisen Sie das für beliebige reelle Zahlen A, B, C, D so dass und die Ungleichung erfüllt ist.

Lösung. Wenden wir die Moduleigenschaft an
auf der linken Seite der Ungleichung
.

Stellen wir die Begriffe auf der rechten Seite als Wurzeln dar:

Auf diese Ausdrücke wenden wir die Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel an

Auf diese Weise, .

Die Methode zur Einführung neuer Variablen oder die Substitutionsmethode.

Der Kern der Methode besteht darin, dass in einer gegebenen Ungleichung jeder Ausdruck durch eine neue Variable bezeichnet wird und dann die resultierende Ungleichheit in Bezug auf die neue Variable mit bereits bekannten Methoden bewiesen wird.

Betrachten wir das Problem der Verwendung dieser Methode.

Problem Nr. 4. Beweisen Sie das positiv A, B, C Ungleichheit ist wahr

.

Lösung. Lassen
;
;
.

Lassen Sie uns die Summe der neuen Variablen ermitteln X+ j+ z und wenden Sie die Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel an

;
;

Ersetzen wir die Werte X, j Und z:

Als A>0, B>0, C>0 also je nach Zustand

Eine Methode zur Einführung von Hilfsfunktionen, um deren Eigenschaften zu nutzen.

Der Kern der Methode besteht darin, dass bei der Ungleichung ein Wert einer Variablen als Parameter festgelegt wird und der andere Wert durch eine Variable bezeichnet wird X. Als Ergebnis erhalten wir eine Hilfsfunktion bzgl X. Um die Bedingungen des Problems zu beweisen, sollte man die Wertemenge der resultierenden Hilfsfunktion ermitteln.

Lassen Sie uns ein Problem mit dieser Methode lösen.

Aufgabe Nr. 3. Beweisen Sie das für beliebige reelle Zahlen A Und B Ungleichheit ist wahr.

Lösung. Lösen wir dieses Problem auf die zweite Art und Weise, indem wir eine Hilfsfunktion einführen. Lassen B – feste reelle Zahl, Parameter, a = x, dann erhalten wir die Funktion
, das quadratisch ist, sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet.

Deshalb quadratische Funktion nimmt nur nicht negative Werte an, das heißt
, also .

Eine Methode zur Reduzierung der Anzahl der Ungleichheitsvariablen und zur Reduzierung des Ungleichheitsgrads.

Der Kern der Methode besteht darin, dass die Anzahl der Variablen in der Ungleichung mithilfe der Substitutions- und Ausführungsmethode reduziert wird Rechenoperationen und die Anwendung offensichtlicher Identitäten.

Betrachten wir den Beweis der Ungleichung mit dieser Methode.

Problem Nr. 1. Beweisen Sie das positiv A, B, C die folgende Ungleichung ist wahr: .

Lösung. Teilen wir die rechte und die linke Seite der Ungleichung auf Mit 3 (C > 0 , und deshalb Mit 3 > 0 ) und neue Variablen einführen:

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Ungleichung

;
,

deren Beweis gleichbedeutend mit dem Beweis der ursprünglichen Ungleichung ist. Schreiben wir die linke Seite in der folgenden Form um:

und neue Variablen einführen:

;
, Und X > 0 , j > 0 Und X² ≥ 4j. Jetzt haben wir eine Ungleichung der Form

Wo
,

deren Begründung einen Rückschluss auf die Gültigkeit der ursprünglichen Ungleichung erlaubt. Bedeutende Erfolge als Ergebnis der durchgeführten Transformationen waren folgende: Die Anzahl der Variablen hat abgenommen und der Grad relativ zur Variablen bei Es stellte sich heraus, dass es gleich eins war. Umwandeln der resultierenden Ungleichung in die Form

und die folgende Hilfsfunktion in Betracht ziehen (angenommen X beliebige positive feste Zahl) mit Definitionsbereich R Wir können das für jeden festen Wert schließen X Der Graph dieser Funktion ist eine gerade Linie. Daher ist es im Intervall am kleinsten
wird an einem seiner Enden erreicht. Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesen Punkten ermitteln:

Und
. Somit sind die Werte der Funktion an den Enden des Segments positiv, wenn X > 0 , und dies beweist die Wahrheit der ursprünglichen Ungleichung.

Anwendung der Cauchyschen Ungleichung zum Beweis von Ungleichungen

Aufgabe Nr. 1. Ungleichheit beweisen

.

Didos Problem und andere Optimierungsprobleme.

Schon in der Antike fragten sich die Menschen, wie sie, wenn ihnen diese oder jene Ressource (zum Beispiel Geld) zur Verfügung stand, darüber verfügen sollten (Geld in ein „Geschäft investieren“, es gegen Zinsen verleihen, es an die Armen verteilen, begraben). im eigenen Garten usw.). d.) um den größtmöglichen Nutzen und den geringsten Schaden für sich selbst zu erzielen.

Die Tatsache, dass ähnliche Optimierungsprobleme bereits in der Antike auftraten, wurde uns durch die Mythen des antiken Griechenlands und Roms vermittelt. Darüber hinaus ermöglichte die menschliche Intuition und Erfahrung schon damals, nach Lösungen für solche Probleme zu „tasten“, die ein optimales oder nahezu optimales Ergebnis liefern würden.

Hier ist einer der Mythen, halb altgriechisch, halb altrömisch. Die Tochter von König Tyrus, Dido, die Frau des Priesters des Herkules-Tempels Akerbas, musste aus Phönizien nach Nordafrika fliehen. Der Grund für die Flucht ist ihr Bruder Pygmalion, der den Reichtum ihres Mannes begehrte und ihn tötete. Die zahlreichen Schätze ihres Mannes und Didos viele Gefährten brauchten Schutz. Um es zu finden, kaufte die Flüchtige Land vom Berberkönig Yarb, und je nach Bedingung konnte sie im Austausch gegen beträchtliche Schätze genau so viel Land nehmen, wie eine Ochsenhaut bedecken würde. Um diese Bedingung zu erfüllen und ein ziemlich großes Territorium zu erhalten, schnitt Dido die Haut in dünne Gürtel und fertigte sie an langes Seil und „umgab“ damit ein großes Stück Land von natürlich runder Form, auf dem sie Karthago gründete. Es ist merkwürdig, dass die karthagische Zitadelle Birsa (Birsu) heißt, was aus dem Griechischen übersetzt „Haut“ bedeutet. Jedoch weiteres Schicksal Dido war tragisch: Sie beging Selbstmord.

Aber kehren wir zur Mathematik zurück. Das von Dido gelöste Problem lässt sich wie folgt formulieren: Finden Sie eine geschlossene Kurve, die den Teil der Ebene mit der größten Fläche begrenzt. In dieser allgemeinen Form ist diese Aufgabe zu schwierig. Wenn wir jedoch Didos Problem vereinfachen und uns auf spezifischere Landformen einigen, dann entstehen Probleme, deren Lösungen ohne Rückgriff erreicht werden können höhere Mathematik, unter Verwendung bemerkenswerter Ungleichungen. Probleme wie das Didon-Problem werden in der Mathematik isoperimetrische Probleme genannt (von Griechische Wörter Isos– gleich und perimetrio – Ich messe ungefähr).

Aufgabe Nr. 1. Finden Sie aus der Menge aller Rechtecke mit einem gegebenen Umfang dasjenige, dessen Fläche die größte ist.

Lösung. Bezeichnen wir die Seiten des gewünschten Rechtecks ​​mit Symbolen X Und j, und sein Umfang wird symbolisiert p > 0, dann ist das Problem: bei was X Und j– positive Zahlen, die die Bedingung erfüllen
, ihr Produkt wird das Größte sein. Wenden wir Cauchys Ungleichung an: ,

wo ist eine feste Zahl
. Es ist erforderlich, den größten Wert des Ausdrucks zu ermitteln

Wenden wir die Cauchysche Ungleichung an N = 3

also
, und Gleichheit wird genau dann erreicht, wenn , also für ein gleichseitiges Dreieck.

Betrachten Sie Problem C 3, das in vorgeschlagen wurde Einheitlicher Staatsexamenstest im 2006-Jahr.

Aufgabe Nr. 3. Es ist erforderlich, ein Grundstück auf dem Boden zu platzieren 3400 M 2 , das aus drei besteht rechteckige Stücke und hat die Form eines Polygons ABCDFGHM, in der Abbildung gezeigt, wo Sonne= 20 m,CD= 15 m,G.H.= 30 m Und HM.≥ 40 m. Finden Sie den kleinsten Wert des Umfangs eines solchen Abschnitts und alle Werte der Längen AK,

Gleichheit wird erreicht, wenn
, also
.

Auf diese Weise,

, also

Und dieser Wert wird erreicht, wenn

Antwort. P = 280 m; AK = 70;AL = 70; HM. = 40.

Abschluss.

Ungleichungen für Durchschnittswerte und Durchschnittswerte selbst werden nicht nur in der Algebra, Geometrie, mathematische Analyse, aber auch in der Statistik, in der Wahrscheinlichkeitstheorie (woher das mittlere Quadrat stammt), bei der Verarbeitung von Messergebnissen. Durchschnittsertrag, durchschnittliche Dichte Bevölkerung, Durchschnittstemperatur, durchschnittliche Geburtenrate, durchschnittliche Flusstiefe – das sind Beispiele für Durchschnittswerte, die uns ständig umgeben.

Ungleichungen spielen in den meisten Bereichen der modernen Mathematik eine grundlegende Rolle; weder die Physik noch die mathematische Statistik noch die Wirtschaftswissenschaften kommen ohne sie aus. Laut E. Beckenbach „... werden die Hauptergebnisse der Mathematik häufiger durch Ungleichungen als durch Gleichheiten ausgedrückt.“ Es gibt jedoch noch keine gut entwickelte, ausreichend allgemeine „Theorie der Ungleichungen“, obwohl eine solche Theorie erstellt wurde, um bestimmte Klassen von Ungleichungen zu untermauern – dazu gehören einige Abschnitte der Konvexanalyse und der Majorisierungstheorie und eine Reihe von Andere. So oder so, aber Ungleichungen kommen sowohl in den klassischen Zweigen der Mathematik (in der Geometrie, im Differential und Integralrechnung, in der Zahlentheorie) und in seinen recht modernen Abschnitten (Automatentheorie, Kodierungstheorie). Die Zahl neuer Produkte unter nicht einmal Ungleichungen, sondern Klassen von Ungleichheiten nimmt ungewöhnlich schnell, schnell und unkontrolliert zu.

Es wäre möglich, die Namen derjenigen Wissenschaftler anzugeben, die als erste zu dem einen oder anderen Ergebnis in Bezug auf Ungleichungen gelangten. Viele der Ergebnisse wurden jedoch als solche ermittelt und angewendet AIDS in einem Werk der Geometrie, Astronomie oder Physik entdeckt und dann viele Jahre später wiederentdeckt. Dies war der Grund, warum nicht einmal die Namen vieler bemerkenswerter Ungleichungen sowie die Terminologie im Allgemeinen festgelegt wurden. IN verschiedene Länder und in verschiedenen Mathematikschulen Dieselbe Ungleichung wird unterschiedlich genannt und ihre Entdeckung wird verschiedenen Mathematikern zugeschrieben. Oft erweist sich eine vor langer Zeit erlangte Ungleichung plötzlich als Sonderfall einer allgemeineren und im Hinblick auf den Zeitpunkt ihres Auftretens noch jüngeren Ungleichheit. Beispielsweise ist es unmöglich, den Entdecker der grundlegenden Tatsache zu finden, dass das Quadrat jeder reellen Zahl immer nicht negativ ist, und zwar für alle reellen Zahlen A Und B Das Verhältnis ist gültig
, was bedeutet
, wo wir die berühmte Beziehung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel erhalten, also wo
.

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