Ein großer Kreis ist ein Abschnitt. Kugel, Kugel, Segment und Sektor. Formeln und Eigenschaften der Kugel. Die Ebene einer bestimmten Position
Wenn man das Gespräch über die Potenz einer Zahl fortsetzt, ist es logisch, herauszufinden, wie man den Wert der Potenz ermittelt. Dieser Vorgang wird aufgerufen Potenzierung. In diesem Artikel untersuchen wir, wie Potenzierung durchgeführt wird, und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein – natürlich, ganzzahlig, rational und irrational. Und der Tradition entsprechend werden wir Lösungen für Beispiele für die Potenzierung von Zahlen im Detail betrachten.
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Was bedeutet „Potenzierung“?
Beginnen wir mit der Erklärung der sogenannten Potenzierung. Hier ist die entsprechende Definition.
Definition.
Potenzierung- Hier geht es darum, den Wert der Potenz einer Zahl zu ermitteln.
Daher ist es dasselbe, den Wert der Potenz einer Zahl a mit dem Exponenten r zu ermitteln und die Zahl a mit der Potenz r zu potenzieren. Wenn die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“ lautet, kann sie wie folgt umformuliert werden: „Erhöhen Sie die Zahl 0,5 auf die Potenz 5.“
Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.
Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen
In der Praxis wird Gleichheit aufgrund von meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn die Zahl a auf erhöht wird Teilleistung m/n Zuerst wird die n-te Wurzel der Zahl a gezogen und anschließend das Ergebnis auf die ganzzahlige Potenz m erhöht.
Schauen wir uns Lösungen für Beispiele für die Erhöhung auf eine Bruchpotenz an.
Beispiel.
Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.
Lösung.
Wir zeigen zwei Lösungen.
Erster Weg. Per Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Wert des Grades unter dem Wurzelzeichen und extrahieren ihn dann Kubikwurzel: 
.
Zweiter Weg. Durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und basierend auf den Eigenschaften der Wurzeln gelten die folgenden Gleichungen: 
. Jetzt extrahieren wir die Wurzel 
, schließlich erhöhen wir es auf eine ganzzahlige Potenz 
.
Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse der Erhöhung auf eine gebrochene Potenz überein.
Antwort:
Beachten Sie, dass der Bruchexponent als Dezimalbruch oder geschrieben werden kann gemischte Zahl In diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt und dann potenziert werden.
Beispiel.
Berechnen Sie (44,89) 2,5.
Lösung.
Schreiben wir den Exponenten in die Form gemeinsamer Bruch(ggf. siehe Artikel): 
. Nun führen wir die Potenzierung auf eine gebrochene Potenz durch: 
Antwort:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Es sollte auch gesagt werden, dass die Potenzierung von Zahlen ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner vorhanden sind). Bruchindikator Die Abschlüsse sind ausreichend große Zahlen), was normalerweise mit durchgeführt wird Computertechnologie.
Um diesen Punkt abzuschließen, wollen wir uns mit der Potenzierung der Zahl Null auf eine gebrochene Potenz befassen. Wir haben der gebrochenen Potenz von Null der Form folgende Bedeutung gegeben: wenn wir haben 
, und bei Null ist die m/n-Potenz nicht definiert. Also Null im Bruch positiver Grad gleich Null, zum Beispiel, 
. Und Null im Bruch negativer Grad macht keinen Sinn, zum Beispiel machen die Ausdrücke 0 -4,3 keinen Sinn.
Aufstieg zu einer irrationalen Macht
Manchmal ist es notwendig, den Wert der Potenz einer Zahl mit einem irrationalen Exponenten herauszufinden. Zur gleichen Zeit, in praktische Zwecke Normalerweise reicht es aus, den Wert des Grades bis zu einem bestimmten Vorzeichen zu ermitteln. Wir stellen sofort fest, dass dieser Wert in der Praxis mithilfe elektronischer Computertechnologie berechnet wird, da er auf IR angehoben wird rationaler Grad manuell erforderlich große Menge umständliche Berechnungen. Aber wir werden es trotzdem beschreiben allgemeiner Überblick die Essenz der Aktion.
Um einen Näherungswert für die Potenz einer Zahl mit ir zu erhalten rationaler Indikator, wird eine dezimale Näherung des Exponenten vorgenommen und der Wert des Exponenten berechnet. Dieser Wert ist ein Näherungswert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung einer Zahl zunächst vorgenommen wird, desto mehr genauer Wert Am Ende wird der Abschluss erworben.
Berechnen wir als Beispiel den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung des irrationalen Exponenten: . Erhöhen wir nun 2 auf die rationale Potenz 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), erhalten wir 2 1,17 ≈2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir beispielsweise eine genauere dezimale Näherung des irrationalen Exponenten vornehmen, erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Referenzliste.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematiklehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).
Mit dem Rechner können Sie online schnell eine Zahl potenzieren. Die Basis des Grades kann eine beliebige Zahl sein (sowohl ganze Zahlen als auch reelle Zahlen). Der Exponent kann auch eine ganze Zahl oder reell sein und kann auch positiv oder negativ sein. Beachten Sie, dass bei negativen Zahlen die Potenzierung mit einer nicht ganzzahligen Zahl undefiniert ist, sodass der Rechner einen Fehler meldet, wenn Sie es versuchen.
Abschlussrechner
Aufstieg zur Macht
Potenzierungen: 20880
Was ist eine natürliche Potenz einer Zahl?
Die Zahl p heißt n-te Potenz einer Zahl, wenn p gleich der n-fach mit sich selbst multiplizierten Zahl a ist: p = a n = a·...·a
n - genannt Exponent, und die Zahl a ist Abschlussbasis.
Wie kann man eine Zahl auf eine natürliche Potenz erhöhen?
Um zu verstehen, wie man baut verschiedene Zahlen Betrachten Sie einige Beispiele für natürliche Kräfte:
Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl drei auf die vierte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 3 4 zu berechnen
Lösung: wie oben erwähnt, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Antwort: 3 4 = 81 .
Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl fünf auf die fünfte Potenz. Das heißt, es ist notwendig, 5 5 zu berechnen
Lösung: ebenso 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Antwort: 5 5 = 3125 .
Also, um eine Zahl zu erhöhen natürlicher Grad, Sie müssen es nur n-mal mit sich selbst multiplizieren.
Was ist eine negative Potenz einer Zahl?
Die negative Potenz -n von a ist eins dividiert durch a hoch n: a -n = .In diesem Fall existiert ein negativer Grad nur für Zahlen ungleich Null, da in ansonsten Es würde eine Division durch Null erfolgen.
Wie kann man eine Zahl negativ potenzieren?
Um eine Zahl ungleich Null negativ zu potenzieren, müssen Sie den Wert dieser Zahl mit derselben positiven Potenz berechnen und eins durch das Ergebnis dividieren.
Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl zwei auf die negative vierte Potenz. Das heißt, Sie müssen 2 -4 berechnen
Lösung: wie oben angegeben, 2 -4 = = = 0,0625.Antwort: 2 -4 = 0.0625 .
Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)
Warum werden Abschlüsse benötigt? Wo werden Sie sie brauchen? Warum sollten Sie sich die Zeit nehmen, sie zu studieren?
Erfahren Sie alles über Abschlüsse, wozu sie dienen und wie Sie Ihr Wissen einsetzen können Alltagsleben Lesen Sie diesen Artikel.
Und natürlich bringt Ihnen die Kenntnis der Abschlüsse näher Erfolgreiche Fertigstellung OGE oder Einheitliches Staatsexamen und Zulassung zur Universität Ihrer Träume.
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ERSTE EBENE
Das Gleiche gilt auch für die Potenzsteigerung mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.
Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache sehr erklären einfache Beispiele. Seien Sie vorsichtig. Die Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.
Beginnen wir mit der Addition.
Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola gibt es? Genau, 16 Flaschen.
Jetzt Multiplikation.
Das gleiche Beispiel mit Cola kann anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann einen Weg, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.
Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, schwieriger und mit Fehlern! Aber…
Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.
Und noch eins, schöneres:
Welche anderen? listige Tricks Wurden die Konten von faulen Mathematikern erfunden? Rechts - eine Zahl potenzieren.
Eine Zahl potenzieren
Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf... Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.
Alles was Sie tun müssen ist Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihr Leben viel einfacher machen.
Warum heißt es übrigens zweiter Grad? Quadrat Zahlen und der dritte - Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.
Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben
Beginnen wir mit dem Quadrat oder der zweiten Potenz der Zahl.
Stell dir vor quadratischer Pool Meter für Meter groß. Der Pool befindet sich in Ihrer Datscha. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber... der Pool hat keinen Boden! Sie müssen den Boden des Pools mit Fliesen abdecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie den Bodenbereich des Beckens kennen.
Sie können ganz einfach per Fingerzeig ausrechnen, dass der Boden des Beckens aus meterweise großen Würfeln besteht. Wenn Sie Fliesen von einem Meter mal einem Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hat man solche Fliesen gesehen? Die Fliese wird höchstwahrscheinlich Zentimeter für Zentimeter groß sein, und dann wird man mit dem „Zählen mit dem Finger“ gequält. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multiplizieren Sie mit und Sie erhalten Kacheln ().
Ist Ihnen aufgefallen, dass wir zur Bestimmung der Fläche des Beckenbodens dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet das? Da wir dieselbe Zahl multiplizieren, können wir die Technik der „Potenzierung“ verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist die Potenzierung viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für das Einheitliche Staatsexamen ist dies sehr wichtig).
Dreißig hoch zwei ist also (). Oder wir können sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.
Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben
Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder es auf dem Schachbrett gibt ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu berechnen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Sie bemerken, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, dann können Sie acht quadrieren. Sie erhalten Zellen. () Also?
Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben
Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumina und Flüssigkeiten werden übrigens in gemessen Kubikmeter. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Boden von einem Meter und eine Tiefe von einem Meter und versuchen Sie zu zählen, wie viele Würfel von einem Meter mal einem Meter in Ihr Becken passen.
Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viele hast du bekommen? Nicht verloren? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel... Einfacher, oder?
Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau die Mathematiker wären, wenn sie auch dies vereinfachen würden. Wir haben alles auf eine Aktion reduziert. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben: .
Es bleibt nur noch Denken Sie an die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie weiterhin mit dem Finger zählen.
Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Aufgebenden und schlauen Leuten erfunden wurden, um ihre Probleme zu lösen Lebensprobleme, und um Ihnen keine Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.
Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben
Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, eine weitere Million. Das heißt, jede Million, die Sie haben, verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr – zwei multipliziert mit zwei … im zweiten Jahr – was im dritten Jahr um zwei weitere geschah … Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der am schnellsten zählen kann, wird diese Millionen bekommen ... Es lohnt sich, sich an die Macht der Zahlen zu erinnern, finden Sie nicht?
Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben
Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, zwei weitere. Großartig, nicht wahr? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr – mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. In der vierten Potenz entspricht es also einer Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch die vierte Potenz oder ist.
Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen weiteren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.
Begriffe und Konzepte... um nicht durcheinander zu kommen
Definieren wir also zunächst die Konzepte. Wie denkst du, Was ist ein Exponent?? Es ist ganz einfach: Es ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...
Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Abschlussbasis? Noch einfacher: Dies ist die Nummer, die sich unten an der Basis befindet.
Hier ist eine Zeichnung zur Sicherheit.
Na gut rein Gesamtansicht, um es zu verallgemeinern und besser zu merken... Ein Grad mit einer Basis „ “ und einem Exponenten „ “ wird als „bis zum Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:
Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten
Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent ist natürliche Zahl. Ja, aber was ist das? natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Objekte zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht: „ein Drittel“ oder „null Komma fünf“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Welche Zahlen sind das Ihrer Meinung nach?
Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und Zahlen. Null ist leicht zu verstehen – es ist, wenn es nichts gibt. Was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.
Alle Brüche sind Rationale Zahlen. Wie sind sie Ihrer Meinung nach entstanden? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen natürliche Zahlen zur Messung von Länge, Gewicht, Fläche usw. fehlten. Und sie haben es sich ausgedacht Rationale Zahlen... Interessant, nicht wahr?
Gibt es noch mehr? irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, endlos Dezimal. Teilt man beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man eine irrationale Zahl.
Zusammenfassung:
Definieren wir das Konzept eines Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.
- Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
- Eine Zahl quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
- Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:
Definition. Eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.
Eigenschaften von Graden
Woher kamen diese Eigenschaften? Ich werde es dir jetzt zeigen.
Mal sehen: Was ist das? Und ?
A-Priorat:
Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?
Es ist ganz einfach: Wir haben den Faktoren Multiplikatoren hinzugefügt und das Ergebnis sind Multiplikatoren.
Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, also: , was bewiesen werden musste.
Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung:
Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss sein identische Gründe!
Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:
nur für das Produkt der Potenzen!
Das darf man auf keinen Fall schreiben.
2. Das ist es Potenz einer Zahl
Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:
Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:
Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:
Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben?
Aber das stimmt schließlich nicht.
Leistung mit negativer Basis
Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.
Doch was soll die Grundlage sein?
In Potenzen von natürlicher Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar.
Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.
Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.
Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, funktioniert es.
Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Hast du es geschafft?
Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.
Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).
Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach!
6 Beispiele zum Üben
Analyse der Lösung 6 Beispiele
Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate! Wir bekommen:
Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Bei einer Umkehrung könnte die Regel gelten.
Aber wie geht das? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.
Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern.
Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!
Kehren wir zum Beispiel zurück:
Und noch einmal die Formel:
Ganz Wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem „ “-Zeichen genommen) und die Zahl.
positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.
Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.
Beliebige Zahl in Null Grad gleich eins:
Fragen wir uns wie immer: Warum ist das so?
Betrachten wir einen Grad mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:
Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen das Gleiche wie es war – . Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.
Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:
Wiederholen wir die Regel:
Jede Zahl hoch null ist gleich eins.
Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).
Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl hoch null gleich sein. Wie viel davon ist wahr? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht darauf einzulassen und weigerten sich, Null in die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.
Lass uns weitermachen. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, gehen wir wie folgt vor letztes Mal: einige multiplizieren normale Zahl in gleicher Weise in negativem Maße:
Von hier aus können Sie ganz einfach ausdrücken, wonach Sie suchen:
Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:
Formulieren wir also eine Regel:
Eine Zahl mit negativer Potenz ist der Kehrwert derselben Zahl mit positiver Potenz. Aber zur selben Zeit Die Basis darf nicht null sein:(weil man nicht durch teilen kann).
Fassen wir zusammen:
I. Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.
II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .
III. Zahl, nicht gleich Null, zu einem negativen Grad ist die Umkehrung derselben Zahl zu einem positiven Grad: .
Aufgaben zur eigenständigen Lösung:
Nun, wie immer Beispiele für unabhängige Lösungen:
Analyse von Problemen zur eigenständigen Lösung:
Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber beim Einheitlichen Staatsexamen muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie ihre Lösungen, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, in der Prüfung problemlos damit umzugehen!
Erweitern wir den Zahlenbereich, der als Exponent „geeignet“ ist, weiter.
Lassen Sie uns nun überlegen Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?
Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und ganze Zahlen sind und.
Um zu verstehen, was es ist „Bruchgrad“ Betrachten Sie den Bruch:
Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:
Erinnern wir uns nun an die Regel über „Grad zu Grad“:
Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?
Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.
Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.
Das heißt, die Wurzel der Potenz ist die umgekehrte Operation der Potenzierung: .
Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich das besonderer Fall erweiterbar: .
Nun fügen wir den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort lässt sich leicht mit der Power-to-Power-Regel erhalten:
Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.
Keiner!
Denken Sie an die Regel: jede Zahl, die auf erhöht wird sogar Grad- Die Zahl ist positiv. Das heißt, es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!
Dies bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner in eine gebrochene Potenz gebracht werden können, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.
Was ist mit dem Ausdruck?
Aber hier entsteht ein Problem.
Die Zahl kann beispielsweise in Form anderer, reduzierbarer Brüche dargestellt werden, oder.
Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, aber das sind nur zwei verschiedene Einträge die gleiche Nummer.
Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber wenn wir den Indikator anders aufschreiben, geraten wir erneut in Schwierigkeiten: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).
Um solche Paradoxien zu vermeiden, überlegen wir nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.
Wenn also:
- - natürliche Zahl;
- - ganze Zahl;
Beispiele:
Rationale Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:
5 Beispiele zum Üben
Analyse von 5 Beispielen für das Training
Nun kommt der schwierigste Teil. Jetzt werden wir es herausfinden Grad mit irrationalem Exponenten.
Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier mit einer Ausnahme genau die gleichen wie für einen Grad mit rationalem Exponenten
Schließlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).
Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt.
Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl;
...Zahl hoch null- das ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich eine Zahl;
...Grad mit Ganzzahl negativer Indikator - Es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.
Übrigens wird in der Wissenschaft oft ein Grad mit einem komplexen Indikator verwendet, das heißt, ein Indikator ist nicht gerade reelle Zahl.
Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.
WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))
Zum Beispiel:
Entscheide dich selbst:
Analyse der Lösungen:
1. Beginnen wir mit der üblichen Regel zur Potenzsteigerung:
Schauen Sie sich nun den Indikator an. Erinnert er dich an nichts? Erinnern wir uns an die Formel für die abgekürzte Multiplikation der Quadratdifferenz:
In diesem Fall,
Es stellt sich heraus, dass:
Antwort: .
2. Wir reduzieren Brüche in Exponenten auf gleiches Aussehen: entweder beide dezimal oder beide regulär. Wir erhalten zum Beispiel:
Antwort: 16
3. Nichts Besonderes, nutzen wir es normale Eigenschaften Abschlüsse:
FORTGESCHRITTENES LEVEL
Bestimmung des Abschlusses
Ein Abschluss ist ein Ausdruck der Form: , wobei:
- — Abschlussbasis;
- - Exponent.
Abschluss mit natürlichem Indikator (n = 1, 2, 3,...)
Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten (0, ±1, ±2,...)
Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:
Konstruktion bis zum Nullgrad:
Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.
Wenn der Exponent ist negative ganze Zahl Nummer:
(weil man nicht durch teilen kann).
Noch einmal zu den Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.
Beispiele:
Potenz mit rationalem Exponenten
- - natürliche Zahl;
- - ganze Zahl;
Beispiele:
Eigenschaften von Graden
Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.
Mal sehen: Was ist und?
A-Priorat:
Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhalten wir also das folgende Produkt:
Aber per Definition ist es eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:
Q.E.D.
Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung : .
Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben. Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:
Ein anderer wichtiger Hinweis: Diese Regel ist - nur für Potenzprodukte!
Das darf man auf keinen Fall schreiben.
Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:
Lassen Sie uns diese Arbeit wie folgt neu gruppieren:
Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:
Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze schaffen: !
Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt schließlich nicht.
Macht mit negativer Basis.
Bisher haben wir nur besprochen, wie es sein sollte Index Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Potenzen von natürlich Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer .
Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.
Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ?
Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.
Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir - .
Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Wir können Folgendes formulieren einfache Regeln:
- sogar Grad, - Zahl positiv.
- Eine negative Zahl, eingebaut seltsam Grad, - Zahl Negativ.
- Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
- Null zu jeder Potenz ist gleich Null.
Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.
Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).
Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.
Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:
Alles ist wie immer – wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie durcheinander, teilen sie in Paare auf und erhalten:
Bevor wir uns die letzte Regel ansehen, lösen wir einige Beispiele.
Berechnen Sie die Ausdrücke:
Lösungen :
Was sehen wir hier, wenn wir die achte Potenz ignorieren? Erinnern wir uns an das Programm der 7. Klasse. Also, erinnerst du dich? Dies ist die Formel für die abgekürzte Multiplikation, nämlich die Differenz der Quadrate!
Wir bekommen:
Schauen wir uns den Nenner genau an. Es sieht einem der Zählerfaktoren sehr ähnlich, aber was ist falsch? Die Reihenfolge der Begriffe ist falsch. Im umgekehrten Fall könnte Regel 3 gelten. Aber wie? Es stellt sich heraus, dass es ganz einfach ist: Der gerade Grad des Nenners hilft uns hier.
Wenn man es mit multipliziert, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt kommt es so:
Auf magische Weise wechselten die Begriffe ihre Plätze. Dieses „Phänomen“ gilt in gleichem Maße für jeden Ausdruck: Wir können die Vorzeichen in Klammern leicht ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Sie können es nicht ersetzen, indem Sie nur einen Nachteil ändern, der uns nicht gefällt!
Kehren wir zum Beispiel zurück:
Und noch einmal die Formel:
Nun also die letzte Regel:
Wie werden wir es beweisen? Natürlich wie immer: Lassen Sie uns das Konzept des Abschlusses erweitern und vereinfachen:
Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben gibt es insgesamt? mal durch Multiplikatoren - woran erinnert dich das? Dies ist nichts weiter als eine Definition einer Operation Multiplikation: Da gab es nur Multiplikatoren. Das heißt, dies ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:
Beispiel:
Grad mit irrationalem Exponenten
Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Exponenten. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).
Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt. Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl; eine Zahl hoch null ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d „Leerzahl“, nämlich eine Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten – es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.
Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept des Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.
In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.
Was machen wir also, wenn wir etwas sehen? irrationaler Indikator Grad? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden! :)
Zum Beispiel:
Entscheide dich selbst:
| 1) | 2) | 3) |
Antworten:
- Erinnern wir uns an die Formel für die Differenz der Quadrate. Antwort: .
- Wir reduzieren die Brüche auf die gleiche Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnlichen. Wir erhalten zum Beispiel: .
- Nichts Besonderes, wir verwenden die üblichen Eigenschaften von Graden:
ZUSAMMENFASSUNG DES ABSCHNITTS UND GRUNDFORMELN
Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten
ein Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).
Potenz mit rationalem Exponenten
Grad, dessen Exponent negative und gebrochene Zahlen sind.
Grad mit irrationalem Exponenten
ein Grad, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.
Eigenschaften von Graden
Merkmale von Abschlüssen.
- Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
- Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
- Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
- Null ist gleich jeder Potenz.
- Jede Zahl hoch null ist gleich.
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Und viel Glück bei deinen Prüfungen!
Einführung
Eine Kugel ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem Abstand befinden, der nicht größer als ein bestimmter Wert von einem bestimmten Punkt ist. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des Balls genannt und dieser Abstand ist der Radius des Balls.
Der Rand einer Kugel wird Kugeloberfläche oder Kugel genannt. Somit sind die Punkte der Kugel alle Punkte der Kugel, die um einen Abstand vom Mittelpunkt entfernt sind gleich dem Radius. Jedes Liniensegment, das den Mittelpunkt einer Kugel mit einem Punkt auf der Kugeloberfläche verbindet, auch Radius genannt.
Ein Segment, das zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, wird Durchmesser genannt. Enden mit beliebigem Durchmesser werden als diametral bezeichnet gegensätzliche Punkte Ball.
Eine Kugel ist wie ein Zylinder und ein Kegel ein Rotationskörper. Man erhält ihn, indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser als Achse dreht.
Schnitt einer Kugel durch eine Ebene
Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene gezogen wird.
Beweis: Sei eine Schnittebene und O der Mittelpunkt der Kugel (Abb. 1). Lassen wir eine Senkrechte vom Mittelpunkt der Kugel auf die Ebene fallen und bezeichnen wir die Basis dieser Senkrechten mit O.
Sei X beliebiger Punkt Ball, zum Flugzeug gehörend. Nach dem Satz des Pythagoras OX2=OO"2+O"X2. Da OX nicht größer als der Radius R der Kugel ist, gilt O"X?, d Kreis mit Mittelpunkt O" und Radius. Umgekehrt: Jeder Punkt X dieses Kreises gehört zur Kugel. Und das bedeutet, dass der Schnitt der Kugel durch die Ebene ein Kreis ist, dessen Mittelpunkt im Punkt O liegt." Der Satz ist bewiesen.
Die Fläche, die durch die Mitte der Kugel verläuft, wird Diametralebene genannt. Der Schnitt einer Kugel durch die Diametralebene wird Großkreis genannt, und der Schnitt einer Kugel wird Großkreis genannt.
